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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Influence of V. E. Katsnelson and D. Z. Arov on the Direction of Our Research Group

While working on generalized matricial Nehari problems (see $[21]$ ), Bernd and I made first contact with the works of V. E. Katsnelson. The problem is stated as follows:
GENERALIZED MATRICIAL NEHARI PROBLEM: Let $p, q \in \mathbb{N}$. Further, let $F_{11}$ and $F_{22}$ be a non-negative Hermitian $p \times p$ and a $q \times q$ measure, respectively, on the Borelian $\sigma$-Algebra $\mathfrak{B}{\mathbb{T}}$ on $\mathbb{T}:={z \in \mathbb{C}:|z|=1}$ and let $\left(\beta{k}\right){k=0}^{\infty}$ be a sequence of complex $p \times q$ matrices. Describe the set $\mathcal{F}\left(F{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right){k=0}^{\infty}\right)$ of all $\sigma$-additive mappings $F{12}$ from $\mathfrak{B}{\mathrm{T}}$ into the set of all complex $p \times q$ matrices fulfilling the conditions $$ \int{\mathbb{T}} z^{-k} F_{12}(\mathrm{~d} z)=\beta_{k}, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
and for which
$$
\left(\begin{array}{ll}
F_{11} & F_{12} \
F_{12}^{} & F_{22} \end{array}\right) $$ is a non-negative Hermitian $(p+q) \times(p+q)$ measure on $\mathfrak{B}{\mathbb{T}}$. In particular, state necessary and sufficient conditions such that the set $\mathcal{F}\left(F{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right){k=0}^{\infty}\right)$ is non-empty. The problem stated above leads one to studying kernels on $\mathbb{N}{0} \times \mathbb{N}{0}$ of so-called mixed Toeplitz-Hankel type. To see this, for all $k \in \mathbb{Z}$, set $$ \alpha{k}:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{11}(\mathrm{~d} z) \quad \text { and } \quad \delta_{k}:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{22}(\mathrm{~d} z)
$$
and, for all $(m, n) \in \mathbb{N}{0} \times \mathbb{N}{0}$, define
$$
K(m, n):=\left(\begin{array}{cc}
\alpha_{m-n} & \beta_{m+n} \
\beta_{m+n}^{} & \delta_{n-m}
\end{array}\right)
$$
The kernel $K$ being non-negative definite turns out to be necessary and sufficient for the set $\mathcal{F}\left(F_{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right)_{k=0}^{\infty}\right)$ to be non-empty.

The just defined kernel $K$ is also important because of the following observation.
GENERALIZED HERGLOTZ-BOCHNER THEOREM: Let $p, q \in \mathbb{N}$ and let $\left(\alpha_{k}\right){k=0}^{\infty},\left(\beta{k}\right){k=0}^{\infty}$, and $\left(\delta{k}\right){k=0}^{\infty}$ be sequences belonging to $\mathbb{C}^{p \times p}, \mathbb{C}^{p \times q}$, and $\mathbb{C}^{q \times q}$, respectively. Then there exists a non-negative Hermitian $(p+q) \times(p+q)$ Borelian measure on T such that for all $m, n \in{0,1,2, \ldots}$ the equation $$ K(m, n)=\int{\mathbb{T}}\left[\operatorname{diag}\left(z^{-m} I_{p}, z^{m} I_{q}\right)\right] F(\mathrm{~d} z)\left[\operatorname{diag}\left(z^{-n} I_{p}, z^{n} I_{q}\right)\right]^{*}
$$
is satisfied if and only if $K$ is non-negative definite.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|A Preamble

As a mathematician, Victor Katsnelson was raised within a fine school of function theory and functional analysis, which was blossoming in Kharkov starting the second half of 1930s. He studied in the Kharkov State University in 1960-1965. Among his teachers were Naum Akhiezer, Boris Levin, Vladimir Marchenko. That time he became acquainted with Vladimir Matsaev whom Victor often mentions as one of his teachers. In 1965 Katsnelson graduated with the master degree, Boris Levin supervised his master thesis. Since then and till 1990, he teaches at the Department of Mathematics and Mechanics of the Kharkov State University. In 1967 he defends the PhD Thesis “Convergence and Summability of Series in Root Vectors of Some Classes of Non-Selfadjoint Operators” also written under Boris Levin guidance. Until he left Kharkov in the early 1990s, Katsnelson remained an active participant of the Kharkov function theory seminar run on Thursdays by Boris Levin and Iossif Ostrovskii. His talks, remarks and questions were always interesting and witty.

Already in the 1960s Victor established himself among the colleagues as one of the finest Kharkov mathematicians of his generation, if not the finest one. Nevertheless, he was not appointed as a professor and was never allowed to travel abroad.

Most of Katsnelson’s work pertain to the spectral theory of functions and operators. I will touch only a handful of his results, mostly published in 1965-1970,that is, at the very beginning of his mathematical career. A big portion of his works written in Kharkov appeared in the local journal “Function Theory, Functional Analysis and Their Applications” and were never translated in English. Today, this journal is available at http://dspace.univer.kharkov.ua/handle/123456789/43.

In this occasion, let me mention two wonderful books carefully written by Katsnelson $[18,19]$. They exist only as manuscripts, and curiously, both have “Part I” in their titles, though, as far as I know, no continuations appeared. In both books mathematics interlaces with interesting historical comments. Last but not least, let me also mention an extensive survey of Issai Schur’s works in analysis written jointly by Dym and Katsnelson [7].

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Influence of V. E. Katsnelson and D. Z. Arov on the Direction of Our Research Group

在处理广义矩阵 Nehari 问题时（参见 $[21]$ ，Bernd 和我第一次接触了 VE Katsnelson 的作品。问题表述如下:
GENERALIZED MATRICIAL NEHARI PROBLEM: Let $p, q \in \mathbb{N}$. 此外，让 $F_{11}$ 和 $F_{22}$ 是一个非负厄米特 $p \times p$ 和一个 $q \times q$ 分别测量 Borelian $\sigma$-代数 $\mathfrak{B T}$ 上T $:=z \in \mathbb{C}:|z|=1$ 然后让 $(\beta k) k=0^{\infty}$ 是一个昆杂的序列 $p \times q$ 矩阵。描述集合 $\mathcal{F}\left(F 11, F_{22},\left(\beta_{k}\right) k=0^{\infty}\right)$ 其中 $\sigma$ – 加法映射 $F 12$ 从 $\mathfrak{B}$ T 进入所有复数的集合 $p \times q$ 满足条件的矩阵
$$
\int \mathbb{T} z^{-k} F_{12}(\mathrm{~d} z)=\beta_{k}, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
并且为此
$$
\left(\begin{array}{llll}
F_{11} & F_{12} & F_{12} & F_{22}
\end{array}\right)
$$
是一个非负厄米特 $(p+q) \times(p+q)$ 测量 $\mathfrak{B} \mathbb{T}$. 特别是，陈述必要和充分条件，使得集合
$\mathcal{F}\left(F 11, F_{22},\left(\beta_{k}\right) k=0^{\infty}\right)$ 是非空的。上述问题导致研究内核 $\mathbb{N} 0 \times \mathbb{N} 0$ 所调的混合 Toeplitz-Hankel 类型。看到这 个，给大家 $k \in \mathbb{Z}$ ，放
$$
\alpha k:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{11}(\mathrm{~d} z) \quad \text { and } \quad \delta_{k}:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{22}(\mathrm{~d} z)
$$
并且，对于所有人 $(m, n) \in \mathbb{N} 0 \times \mathbb{N} 0$ ， 定义
内核 $K$ 非负定对集合来说是必要和充分的 $\mathcal{F}\left(F_{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right){k=0}^{\infty}\right)$ 为非空。 刚刚定义的内核 $K$ 由于以下观㟯，也很重要。 广义 HERGLOTZ-BOCHNER 定理：让 $p, q \in \mathbb{N}$ 然后让 $\left(\alpha{k}\right) k=0^{\infty},(\beta k) k=0^{\infty} ， \quad$ 和 $(\delta k) k=0^{\infty}$ 是属于的序列 $\mathbb{C}^{p \times p}, \mathbb{C}^{p \times q}$ ，和 $\mathbb{C}^{q \times q}$ ，分别。那么存在一个非负厄米特 $(p+q) \times(p+q)$ 在 T 上的 Borelian 测度使得对于所有 $m, n \in 0,1,2, \ldots$ 方程
$$
K(m, n)=\int \mathbb{T}\left[\operatorname{diag}\left(z^{-m} I_{p}, z^{m} I_{q}\right)\right] F(\mathrm{~d} z)\left[\operatorname{diag}\left(z^{-n} I_{p}, z^{n} I_{q}\right)\right]^{*}
$$
当且仅当满足 $K$ 是非负定的。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|A Preamble

作为一名数学家，Victor Katsnelson 在一所优秀的函数理论和泛函分析学校长大，从 1930 年代后半期开始，这所学校在哈尔科夫蓬勃发展。1960-1965年在哈尔科夫国立大学学习。他的老师包括 Naum Akhiezer、Boris Levin、Vladimir Marchenko。那时，他结识了 Victor 经常提到的 Vladimir Matsaev，他是他的老师之一。1965 年 Katsnelson 获得硕士学位，Boris Levin 指导他的硕士论文。此后一直到1990年，他在哈尔科夫国立大学数学与力学系任教。1967 年，他为同样在 Boris Levin 指导下撰写的博士论文“某些类非自联算子的根向量中的级数的收敛性和可和性”进行了辩护。直到他在 1990 年代初离开哈尔科夫，Katsnelson 仍然积极参加每周四由 Boris Levin 和 Iossif Ostrovskii 举办的哈尔科夫函数理论研讨会。他的谈话、评论和问题总是有趣而诙谐。

早在 1960 年代，维克多就已经在同事中确立了自己是他这一代最优秀的哈尔科夫数学家之一，即使不是最优秀的。然而，他没有被任命为教授，也从未被允许出国旅行。

Katsnelson 的大部分工作都与函数和算子的谱理论有关。我将只触及他的一小部分结果，大部分发表于 1965-1970 年，也就是他数学生涯的初期。他用哈尔科夫写的大部分作品出现在当地期刊《泛函理论、泛函分析及其应用》上，从未翻译成英文。今天，该期刊可在 http://dspace.univer.kharkov.ua/handle/123456789/43 获得。

在此之际，让我提两本由 Katsnelson 精心撰写的精彩书籍[18,19]. 它们仅作为手稿存在，奇怪的是，它们的标题中都有“第一部分”，但据我所知，没有出现续集。在这两本书中，数学与有趣的历史评论交织在一起。最后但并非最不重要的一点是，我还要提到由 Dym 和 Katsnelson 联合撰写的对 Issai Schur 分析作品的广泛调查 [7]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Viktor Emmanuilovich’s Year as a Visiting Professor

In order to deepen the scientific collaboration with Viktor Emmanuilovich, Bernd and I intensively thought about possibilities to invite him to Leipzig for a longer period. This aim could indeed be pursued in 1991 on a large scale. At this point a few further words are advisable. One of the most famous scientists in history of Leipzig University is undoubtedly Wilhelm Ostwald (1853-1932), one of the founding fathers of physical chemistry, who was honored with the Nobel prize in chemistry in 1909. In honor of Wilhelm Ostwald, a chair named after him was established at Leipzig University, which was assigned to exceptionally renowned foreign guest researchers by the Faculty of Sciences of Leipzig University. Due to V. E.’s extensive publications in function theory and functional analysis, he had already gained a high reputation in the 1980 s. Among other things, this was particularly shown by an invitation to a week-long guest stay at the famous Weizmann Institute of Science Rehovot in summer 1990 . This sparked the idea to put forward the proposal to assign the Ostwald Chair to V. E. in the first half of 1991 . To our great delight, the proposal was accepted by the Faculty of Sciences of Leipzig University. From today’s perspective, Viktor Emmanuilovich turned out to be the last holder of the Ostwald Chair. The profound changes at Leipzig University after the political turnaround resulted in the abolishment of the Ostwald Chair for guest researchers. During the time of his visit to Leipzig, a big part of V. E.’s family emigrated to Israel. For this reason, he was unsure how and where he could continue his academic career. In order to support him, Bernd and I considered it advisable to extend his stay in Leipzig beyond the duration of the Ostwald Chair. The realization of this idea was complemented by a fortunate circumstance. The DFG offered multiple funding opportunities in order to support universities in the former GDR. Taking advantage of one of these programs, Bernd and I managed to arrange a DFG visiting professorship at Leipzig University for V. E. for the second half of 1991 . Eventually, he stayed in Leipzig for an entire year. On January 22,1992 , he then left Leipzig for the Weizmann Institute, where he was offered a professorship for Theoretical Mathematics (see Fig. 4).

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The 60th Birthday of Viktor Emmanuilovich

In honor of V. E.’s 60 th birthday on September 3,2003 , we organized a workshop at Leipzig University which was among others attended by V. K. Dubovoy, W. Schempp, B. Silbermann. G. Heinig, A. Lasarow. Of course, a scientific contribution of the jubilarian was a must as well. He gave a two-part lecture about rational solutions of Schlesinger’s equation and their tau functions. At the end of the workshop on September 10,2003 , V. K. Dubovoy gave a very appropriate description of V. E. in form of an entry in the guest book of the Mathematical Institute of Leipzig University:
First and foremost, I would like to cordially thank Professor Bernd Kirstein and Professor Bernd Fritzsche for the invitation to Leipzig and the opportunity to speak at the conference in honor of the 60th birthday of Viktor Emmanuilovich Katsnelson.

I first encountered Viktor Emmanuilovich in spring 1963. Forty years have already passed since then. The predominant part of these years, I stood in close contact with Viktor Emmanuilovich. How many different topics were elucidated throughout!!! Regardless of a certain severity in his judgments, Viktor Emmanuilovich is very democratic company and also willing to expose himself to sharp criticism, which he did sufficiently often compared to others, too. To me, the contact with the mathematician Viktor Emmanuilovich was and allowed me to give up a whole series of illusions. I know Viktor Emmanuilovich as a person, who feels mathematics deeply and subtly and who strives to convey this feeling to others. He has written scientific papers that identify him as a great master.

You can compare Viktor Emmanuilovich to a singular point in our lives from which a mighty stream of energies emerges. It has not always been easy (just how it is not always easy for him), but without him the world would be poorer.

I express my wishes for Vitja through a passage from a poem by Boris Pasternak, which he loves a lot:
“… but be alive – this only matters – alive and burning to the end.”

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Viktor Emmanuilovich’s Year as a Visiting Professor

为了加深与 Viktor Emmanuilovich 的科学合作，我和 Bernd 认真考虑了邀请他到莱比锡呆更长时间的可能性。这个目标确实可以在 1991 年大规模实现。在这一点上，建议多说几句。莱比锡大学历史上最著名的科学家之一无疑是威廉·奥斯特瓦尔德（Wilhelm Ostwald，1853-1932），他是物理化学的奠基人之一，他于 1909 年获得诺贝尔化学奖。以他的名字命名的莱比锡大学成立于莱比锡大学，由莱比锡大学理学院分配给特别知名的外国客座研究人员。由于 VE 在泛函理论和泛函分析方面的大量著作，他在 1980 年代已经获得了很高的声誉。除其他外，1990 年夏天在著名的魏茨曼科学研究所雷霍沃特受邀进行为期一周的客人逗留，尤其体现了这一点。这激发了 1991 年上半年提出将 Ostwald 主席分配给 VE 的建议的想法。令我们非常高兴的是，该提案被莱比锡大学理学院接受。从今天的角度来看，Viktor Emmanuilovich 原来是奥斯特瓦尔德主席的最后一位持有者。政治转变后莱比锡大学的深刻变化导致取消了客座研究人员的奥斯特瓦尔德教席。在他访问莱比锡期间，VE 的大部分家庭移民到了以色列。出于这个原因，他不确定如何以及在哪里继续他的学术生涯。为了支持他，Bernd 和我认为最好将他在莱比锡的逗留时间延长到奥斯特瓦尔德主席任期之后。一个幸运的情况补充了这个想法的实现。DFG 提供了多种资助机会，以支持前东德的大学。利用其中一个项目，Bernd 和我在 1991 年下半年设法在莱比锡大学为 VE 安排了 DFG 访问教授职位。最终，他在莱比锡呆了整整一年。1992 年 1 月 22 日，他离开莱比锡前往魏茨曼研究所，在那里他获得了理论数学教授职位（见图 4）。DFG 提供了多种资助机会，以支持前东德的大学。利用其中一个项目，Bernd 和我在 1991 年下半年设法在莱比锡大学为 VE 安排了 DFG 访问教授职位。最终，他在莱比锡呆了整整一年。1992 年 1 月 22 日，他离开莱比锡前往魏茨曼研究所，在那里他获得了理论数学教授职位（见图 4）。DFG 提供了多种资助机会，以支持前东德的大学。利用其中一个项目，Bernd 和我在 1991 年下半年设法在莱比锡大学为 VE 安排了 DFG 访问教授职位。最终，他在莱比锡呆了整整一年。1992 年 1 月 22 日，他离开莱比锡前往魏茨曼研究所，在那里他获得了理论数学教授职位（见图 4）。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The 60th Birthday of Viktor Emmanuilovich

为庆祝 2003 年 9 月 3 日 VE 的 60 岁生日，我们在莱比锡大学组织了一个研讨会，其中有 VK Dubovoy、W. Schempp、B. Silbermann 参加。G. 海尼格，A. Lasarow。当然，禧年的科学贡献也是必须的。他就施莱辛格方程的有理解及其 tau 函数做了两部分的讲座。在 2003 年 9 月 10 日的研讨会结束时，VK Dubovoy 在莱比锡大学数学研究所的留言簿中以条目的形式对 VE 进行了非常恰当的描述：
首先，我要衷心感谢 Bernd 教授感谢 Kirstein 和 Bernd Fritzsche 教授受邀前往莱比锡并有机会在会议上发言，以纪念 Viktor Emmanuilovich Katsnelson 的 60 岁生日。

我第一次见到维克多·埃马努伊洛维奇是在 1963 年春天。从那时起已经过去了 40 年。这些年的大部分时间里，我都与维克多·埃马努伊洛维奇保持着密切的联系。自始至终阐明了多少不同的主题！不管他的判断有多么严厉，维克多·埃马努伊洛维奇是一个非常民主的公司，也愿意让自己受到尖锐的批评，与其他人相比，他也经常这样做。对我来说，与数学家 Viktor Emmanuilovich 的接触让我放弃了一系列的幻想。我知道 Viktor Emmanuilovich 是一个人，他深刻而微妙地感受数学，并努力将这种感受传达给他人。他撰写的科学论文表明他是一位伟大的大师。

你可以将 Viktor Emmanuilovich 比作我们生活中的一个奇异点，从那里涌现出一股强大的能量流。这并不总是那么容易（就像他并不总是那么容易），但没有他，世界会更穷。

我通过鲍里斯·帕斯捷尔纳克 (Boris Pasternak) 的一首诗中的一段话表达了我对维贾的祝福，他非常喜欢这首诗：
“……但要活着——这很重要——活着并燃烧到最后。”

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|First Steps in Schur Analysis

After the defense of our joint dissertation on problems of the filter theory of multidimensional stationary sequences in December 1983, Bernd Fritzsche and I decided to aim our future research at the analytic foundation of prediction theory of multivariate stationary sequences. Against this background, we took up intense studies of the trend-setting works of the Soviet school (Kolmogorov, Rozanov, Matveev) as well as of American scholars (Wiener, Masani, Helson, Lowdenslager). During this process, we became aware of V. P. Potapov’s fundamental work [45] about the multiplicative structure of $J$-contractive matrix functions for the first time and we began to study the basics of $J$-theory systematically. Our choice of this research field was considerably encouraged by $P$. R. Masani. During Masanis’s visit of Leipzig University in May 1986 we had profound discussions about the state of prediction theory at that time and its prospects. P. R. Masani revealed to us that in collaboration with Norbert Wiener, following the works $[43,44,50,51]$, further research on an application of the results of V. P. Potapov in prediction theory was planned. However, the realization of this intention became unattainable due to Norbert Wiener’s death on March 18,1964 . Without Norbert Wiener P. R. Masani was reluctant to tackle this project and he turned towards a systematic elaboration of the theory of measures with orthogonal values in a Hilbert space or rather of the theory of orthoprojector-valued measures. P. R. Masani encouraged us to get in direct touch with the students of V. P. Potapov, who had passed away in the year 1980 . V. P. Potapov had been employed at the FTINT (Russian abbreviation for B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine in Kharkov) during the last period of his life (1976-1980) and he was able to contribute significantly to the popularization of $J$-Theory. In particular, he managed to assemble a group of exceedingly committed mathematicians in Kharkov who devoted themselves with inequalities to matricial versions of classical interpolation and moment problems. Among others, I. V. Kovalishina, V. E. Katsnelson, V. K. Dubovoy, L. B. Golinskii, I. V. Mikhailova, and Yu. M. Dyukarev belonged to this circle of mathematicians. In the summer of 1986 , Bernd Fritzsche and I decided to invite one representative of the circle of the above mentioned mathematicians to a month-long work visit at Leipzig University in the year $1987.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Viktor Emmanuilovich’s First Visit to Leipzig

Over the course of planning the research activities for the year 1989 in fall 1988 , Bernd Fritzsche and I intended to hold a week-long international seminar on Schur analysis. This request was complied with by the administration of the Center for Theoretical Sciences (NTZ). The week from October 16-20, 1989 was specified as the date of the event. In connection with this seminar, we requested a 3-week stay for V. E. at Leipzig University. This request was granted as well. On September 23 , 1989 , he arrived in Leipzig. Aged 46 years it was his very first travel abroad. At the beginning of his stay it was unforeseeable that during his visit certain incidents would happen in Leipzig, which should stir up the political situation in the GDR significantly. V. E. became an eye-witness of the massive Monday protests in the city center of Leipzig on both October 9th and Uctober 16th that set the decay of the GDR in motion. Within a personal evaluation of these events, he reasoned that the reunification of Germany was the only consequence that seemed logical. We ourselves considered his prognosis very utopian at the time. History proved, though, that he had predicted everything completely correctly. Less than 1 year later, on October 3, 1990, the reunification of Germany was in fact enforced. During the first 3 weeks of his stay in Leipzig, Bernd and I had profound mathematical discussions with him, where he drew our attention to central problems in Schur analysis and, moreover, imparted to us fundamental aspects of the research of the Kharkov school. At that time, his lectures were held in Russian and I acted as interpreter into German for the audience (Fig. 2). At the end of his stay in Leipzig, the INTSEM (International Seminar) on Schur Analysis took place. It was P. R. Masani who had suggested the event during his first visit to Leipzig in 1986. The aim of this seminar was to gather leading specialists from the East and the West working on Schur analysis. This goal was successfully pursued. Among the Western participants were P. R. Masani, A. Dijksma, H. S. V. de Snoo, S. Hassi, and others. The list of Soviet participants included I. V. Kovalishina, V. E. Katsnelson, V. K. Dubovoy, Yu. L. Shmulyan, and I. M. Spitkovskii (Fig. 3). On October 17, 1989, the second day of the seminar, Mark Grigorevich Krein, one of the greatest mathematicians of the twentieth century, who had made fundamental contributions to Schur analysis and numerous other fields passed away. For this reason, D. Z. Arov has not been able to come to Leipzig for the seminar in time. He arrived on October 21 st, that is, 1 day after the end of the seminar. Following the seminar, it was intended that he would stay in Leipzig for another 3 weeks. During this time, the foundation for a long-term scientific collaboration with D. Z. Arov was set.

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|First Steps in Schur Analysis

在 1983 年 12 月我们关于多维平稳序列滤波理论问题的联合论文答辩后，我和 Bernd Fritzsche 决定将我们未来的研究瞄准多元平稳序列预测理论的分析基础。在此背景下，我们对苏联学派（Kolmogorov、Rozanov、Matveev）以及美国学者（Wiener、Masani、Helson、Lowdenslager）的引领潮流的作品进行了深入研究。在这个过程中，我们意识到了 VP Potapov 关于乘法结构的基础工作 [45]Ĵ-第一次收缩矩阵函数，我们开始研究Ĵ- 系统地理论。我们选择这个研究领域受到了极大的鼓舞磷. R.马萨尼。1986年5月马萨尼斯访问莱比锡大学期间，我们就当时预测理论的状况及其前景进行了深入的讨论。PR Masani 向我们透露，在与 Norbert Wiener 合作之后，[43,44,50,51]，计划进一步研究VP Potapov的结果在预测理论中的应用。然而，由于诺伯特·维纳于 1964 年 3 月 18 日去世，这一意图的实现变得无法实现。如果没有 Norbert Wiener，PR Masani 不愿意处理这个项目，他转向系统阐述希尔伯特空间中具有正交值的测量理论，或者更确切地说是正交投影测量理论。PR Masani 鼓励我们与 1980 年去世的 VP Potapov 的学生直接联系。VP Potapov 曾受雇于 FTINT（俄罗斯 B.Ĵ-理论。特别是，他设法在哈尔科夫召集了一群非常投入的数学家，他们致力于研究不等式的经典插值和矩问题的矩阵版本。其中包括 IV Kovalishina、VE Katsnelson、VK Dubovoy、LB Golinskii、IV Mikhailova 和 Yu。M. Dyukarev 属于这个数学家圈子。1986 年夏天，我和 Bernd Fritzsche 决定在 1987 年邀请上述数学家界的一位代表到莱比锡大学进行为期一个月的工作访问。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Viktor Emmanuilovich’s First Visit to Leipzig

在 1988 年秋季计划 1989 年研究活动的过程中，我和 Bernd Fritzsche 打算举办一个为期一周的 Schur 分析国际研讨会。理论科学中心（NTZ）的管理部门遵守了这一要求。1989 年 10 月 16 日至 20 日这一周被指定为事件的日期。与本次研讨会有关，我们要求 VE 在莱比锡大学停留 3 周。这个请求也被批准了。1989年9月23日，他抵达莱比锡。46岁那是他第一次出国旅行。在他逗留之初，不可预见的是，在他访问期间，莱比锡会发生某些事件，这将极大地激起东德的政治局势。VE 10 月 9 日和 10 月 16 日在莱比锡市中心发生的大规模周一抗议活动见证了民主德国的衰败。在对这些事件的个人评估中，他认为德国的统一是唯一合乎逻辑的结果。我们自己当时认为他的预测非常乌托邦。然而，历史证明，他完全正确地预测了一切。不到一年后，即 1990 年 10 月 3 日，德国的统一实际上得到了执行。在他在莱比锡逗留的前 3 周里，Bernd 和我与他进行了深入的数学讨论，在那里他提请我们注意舒尔分析中的核心问题，此外，还向我们传授了哈尔科夫学派研究的基本方面。当时，他的讲座以俄语进行，我为听众担任德语的翻译（图 2）。在莱比锡逗留结束时，举行了关于舒尔分析的 INTSEM（国际研讨会）。正是 PR Masani 在 1986 年第一次访问莱比锡时提出了这项活动。这次研讨会的目的是聚集东西方从事舒尔分析工作的领先专家。这个目标成功地实现了。西方参与者包括 PR Masani、A. Dijksma、HSV de Snoo、S. Hassi 等。苏联参与者的名单包括 IV Kovalishina、VE Katsnelson、VK Dubovoy、Yu。L. Shmulyan 和 IM Spitkovskii（图 3）。1989 年 10 月 17 日，研讨会的第二天，二十世纪最伟大的数学家之一 Mark Grigorevich Krein，对舒尔分析和许多其他领域做出了根本性贡献的人去世了。为此，DZ Arov 未能及时来到莱比锡参加研讨会。他于 10 月 21 日到达，也就是研讨会结束后的 1 天。研讨会结束后，他打算在莱比锡再呆 3 周。在此期间，与 DZ Arov 的长期科学合作奠定了基础。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Behavior of a Holomorphic Function

In the proof of the Cauchy integral formula in Section 2.4, we saw that it is often important to consider a function that is holomorphic on a punctured open set $U \backslash{P} \subset \mathbb{C}$. The consideration of a holomorphic function with such an “isolated singularity” turns out to occupy a central position in much of the subject. These singularities can arise in various ways. Perhaps the most obvious way occurs as the reciprocal of a holomorphic function, for instance passing from $z^{j}$ to $1 / z^{j}, j$ a positive integer. More complicated examples can be generated, for instance, by exponentiating the reciprocals of holomorphic functions: for example, $e^{1 / z}, z \neq 0$.

In this chapter we shall study carefully the behavior of holomorphic functions near a singularity. In particular, we shall obtain a new kind of infinite series expansion which generalizes the idea of the power series expansion of a holomorphic function about a (nonsingular) point. We shall in the process completely classify the behavior of holomorphic functions near an isolated singular point.

Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be an open set and $P \in U$. Suppose that $f: U \backslash{P} \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic. In this situation we say that $f$ has an isolated singular point (or isolated singularity) at $P$. The implication of the phrase is usually just that $f$ is defined and holomorphic on some such “deleted neighborhood” of $P$. The specification of the set $U$ is of secondary interest; we wish to consider the behavior of $f$ “near $P^{\prime \prime}$.

There are three possibilities for the behavior of $f$ near $P$ that are worth distinguishing:
(i) $|f(z)|$ is bounded on $D(P, r) \backslash{P}$ for some $r>0$ with $D(P, r) \subseteq$ $U$; that is, there is some $r>0$ and some $M>0$ such that $|f(z)| \leq$ $M$ for all $z \in U \cap D(P, r) \backslash{P}$.
(ii) $\lim _{z \rightarrow P}|f(z)|=+\infty$.
(iii) Neither (i) nor (ii) applies.
Of course this classification does not say much unless we can find some other properties of $f$ related to (i), (ii), and (iii). We shall prove momentarily that if case (i) holds, then $f$ has a limit at $P$ which extends $f$ so that it is holomorphic on all of $U$. It is commonly said in this circumstance that $f$ has a removable singularity at $P$. In case (ii), we will say that $f$ has a pole at $P$. In case (iii), $f$ will be said to have an essential singularity at $P$. Our goal in this and the next section is to understand (i), (ii), and (iii) in some further detail.

Theorem 4.1.1 (The Riemann removable singularities theorem). Let $f$ : $D(P, r) \backslash{P} \rightarrow \mathbb{C}$ be holomorphic and bounded. Then
(1) $\lim {z \rightarrow P} f(z)$ exists; (2) the function $\widehat{f}: D(P, r) \rightarrow \mathbb{C}$ defined by $$ \widehat{f}(z)=\left{\begin{array}{lll} f(z) & \text { if } & z \neq P \ \lim {\zeta \rightarrow P} f(\zeta) & \text { if } & z=P
\end{array}\right.
$$
is holomorphic.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Expansion around Singular Points

To aid in our further understanding of poles and essential singularities, we are going to develop a method of series expansion of holomorphic functions on $D(P, r) \backslash{P}$. Except for removable singularities, we cannot expect to expand such a function in a power series convergent in a neighborhood of $P$, since such a power series would define a holomorphic function on a whole neighborhood of $P$, including $P$ itself. A natural extension of the idea of power series is to allow negative as well as positive powers of $(z-P)$. This extension turns out to be enough to handle poles and essential singularities

both. That it works well for poles is easy to see; essential singularities take a bit more work. We turn now to the details.
A Laurent series on $D(P, r)$ is a (formal) expression of the form
$$
\sum_{j=-\infty}^{+\infty} a_{j}(z-P)^{j}
$$
Note that the individual terms are each defined for all $z \in D(P, r) \backslash{P}$.
To discuss Laurent series in terms of convergence, we must first make a general agreement as to the meaning of the convergence of a “doubly infinite” series $\sum_{j=-\infty}^{+\infty} \alpha_{j}$. We say that such a series converges if $\sum_{j=0}^{+\infty} \alpha_{j}$ and $\sum_{j=1}^{+\infty} \alpha_{-j}$ converge in the usual sense. In this case, we set
$$
\sum_{-\infty}^{+\infty} \alpha_{j}=\left(\sum_{j=0}^{+\infty} \alpha_{j}\right)+\left(\sum_{j=1}^{+\infty} \alpha_{-j}\right)
$$
You can check easily that $\sum_{-\infty}^{+\infty} \alpha_{j}$ converges to a complex number $\sigma$ if and only if for each $\epsilon>0$ there is an $N>0$ such that, if $\ell \geq N$ and $k \geq N$, then $\left|\left(\sum_{j=-k}^{\ell} \alpha_{j}\right)-\sigma\right|<\epsilon$. It is important to realize that $\ell$ and $k$ are independent here. [In particular, the existence of the limit $\lim {k \rightarrow+\infty} \sum{j=-k}^{+k} \alpha_{j}$ does not imply in general that $\sum_{-\infty}^{+\infty} \alpha_{j}$ converges. See Exercises 10 and 11.]

With these convergence ideas in mind, we can now present the analogue for Laurent series of Lemmas $3.2 .3$ and $3.2 .5$ for power series.

Lemma 4.2.1. If $\sum_{j=-\infty}^{+\infty} a_{j}(z-P)^{j}$ converges at $z_{1} \neq P$ and at $z_{2} \neq P$ and if $\left|z_{1}-P\right|<\left|z_{2}-P\right|$, then the series converges for all $z$ with $\left|z_{1}-P\right|<$ $|z-P|<\left|z_{2}-P\right|$.

Refer to Figure $4.1$ for an illustration of the situation described in the Lemma.

Proof of Lemma 4.2.1. If $\sum_{j=-\infty}^{+\infty} a_{j}\left(z_{2}-P\right)^{j}$ converges, then the definition of convergence of a doubly infinite sum implies that $\sum_{j=0}^{+\infty} a_{j}\left(z_{2}-P\right)^{j}$ converges. By Lemma $3.2 .3, \sum_{j=0}^{+\infty} a_{j}(z-P)^{j}$ then converges when $|z-P|<$ $\left|z_{2}-P\right|$. If $\sum_{j=-\infty}^{+\infty} a_{j}\left(z_{1}-P\right)^{j}$ converges, then so does $\sum_{j=1}^{+\infty} a_{-j}\left(z_{1}-P\right)^{-j}$. Since $0<\left|z_{1}-P\right|<|z-P|$, it follows that $|1 /(z-P)|<\left|1 /\left(z_{1}-P\right)\right|$. Hence Lemma 3.2.3 again applies to show that $\sum_{j=1}^{+\infty} a_{-j}(z-P)^{-j}$ converges. Thus $\sum_{-\infty}^{+\infty} a_{j}(z-P)^{j}$ converges when $\left|z_{1}-P\right|<|z-P|<\left|z_{2}-P\right|$.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Existence of Laurent Expansions

We turn now to establishing that convergent Laurent expansions of functions holomorphic on an annulus do in fact exist. We will require the following result.

Theorem 4.3.1 (The Cauchy integral formula for an annulus). Suppose that $0 \leq r_{1}<r_{2} \leq+\infty$ and that $f: D\left(P, r_{2}\right) \backslash \bar{D}\left(P, r_{1}\right) \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic. Then, for each $s_{1}, s_{2}$ such that $r_{1}<s_{1}<s_{2}<r_{2}$ and each $z \in D\left(P, s_{2}\right) \backslash$ $\bar{D}\left(P, s_{1}\right)$, it holds that
$$
f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=s_{2}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta-\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=s_{1}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta .
$$
Proof. Fix a point $z \in D\left(P, s_{2}\right) \backslash \bar{D}\left(P, s_{1}\right)$. Define, for $\zeta \in D\left(P, r_{2}\right) \backslash$ $\bar{D}\left(P, r_{1}\right)$,
$$
g_{z}(\zeta)= \begin{cases}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z} & \zeta \neq z \ f^{\prime}(z) & \zeta=z\end{cases}
$$
Then $g_{z}$ is a holomorphic function of $\zeta, \zeta \in D\left(P, r_{2}\right) \backslash \bar{D}\left(P, r_{1}\right)$ (by the Riemann removable singularities theorem).
Now we consider the integrals
$$
\oint_{|\zeta-P|=s_{1}} g_{z}(\zeta) d \zeta
$$
and
$$
\oint_{|\zeta-P|=s_{2}} g_{z}(\zeta) d \zeta
$$
By the considerations in Section 2.6, these two. integrals are equal. So
$$
0=\oint_{|\zeta-P|=s_{2}} g_{z}(\zeta) d \zeta-\oint_{|\zeta-P|=s_{1}} g_{z}(\zeta) d \zeta
$$

$$
=\oint_{|\zeta-P|=s_{2}} \frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z} d \zeta-\oint_{|\zeta-P|=s_{1}} \frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z} d \zeta
$$
Hence
$$
\begin{aligned}
&\oint_{|\zeta-P|=s_{2}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta-\oint_{|\zeta-P|=s_{2}} \frac{f(z)}{\zeta-z} d \zeta \
&=\oint_{|\zeta-P|=s_{1}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta-\oint_{|\zeta-P|=s_{1}} \frac{f(z)}{\zeta-z} d \zeta
\end{aligned}
$$
Now
$$
\oint_{|\zeta-P|=s_{2}} \frac{f(z)}{\zeta-z} d \zeta=f(z) \oint_{|\zeta-P|=s_{2}} \frac{1}{\zeta-z} d \zeta=2 \pi i f(z)
$$
by the Cauchy integral formula for the constant function 1 on $D\left(P, r_{2}\right)$ (or by direct calculation).
Also
$$
\oint_{|\zeta-P|=s_{1}} \frac{f(z)}{\zeta-z} d \zeta=f(z) \oint_{|\zeta-P|=s_{1}} \frac{1}{\zeta-z} d \zeta=0 .
$$
This can be seen from the Cauchy integral theorem (Theorem 2.4.3) since $1 /(\zeta-z)$ is holomorphic for $\zeta \in D(P,|z-P|)$ and $\left{\zeta:|\zeta-P| \leq s_{1}\right} \subseteq$ $D(P,|z-P|)$. See Figure $4.2$.
So
$$
2 \pi i f(z)=\oint_{|\zeta-P|=s_{2}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta-\oint_{|\zeta-P|=s_{1}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta
$$
as desired.

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Behavior of a Holomorphic Function

在第 2.4 节的柯西积分公式的证明中，我们看到考虑一个在穿孔开集上的全纯函数通常很重要在∖磷⊂C. 对具有这种“孤立奇点”的全纯函数的考虑在该主题的大部分内容中占据了中心位置。这些奇点可以以各种方式出现。也许最明显的方式是作为全纯函数的倒数出现，例如从和j到1/和j,j一个正整数。例如，可以通过对全纯函数的倒数求幂来生成更复杂的示例：例如，和1/和,和≠0.

在本章中，我们将仔细研究全纯函数在奇点附近的行为。特别是，我们将获得一种新的无限级数展开，它推广了关于（非奇异）点的全纯函数的幂级数展开的概念。在此过程中，我们将对孤立奇异点附近的全纯函数的行为进行完全分类。

让在⊆C是一个开集并且磷∈在. 假设F:在∖磷→C是全纯的。在这种情况下，我们说F在处有一个孤立的奇异点（或孤立的奇异点）磷. 这句话的含义通常就是F在一些这样的“删除邻域”上被定义和全纯磷. 套装规格在是次要利益；我们希望考虑的行为F“靠近磷′′.

行为的三种可能性F靠近磷值得区分的：
(i)|F(和)|有界D(磷,r)∖磷对于一些r>0和D(磷,r)⊆ 在; 也就是说，有一些r>0还有一些米>0这样|F(和)|≤ 米对全部和∈在∩D(磷,r)∖磷.
(二)林和→磷|F(和)|=+∞.
(iii) (i) 或 (ii) 均不适用。
当然这个分类并没有说太多，除非我们能找到一些其他的属性F与 (i)、(ii) 和 (iii) 相关。我们将暂时证明，如果情况 (i) 成立，那么F有一个限制磷延伸F所以它是全纯的在. 在这种情况下，人们常说F在磷. 在情况（ii）中，我们会说F有一个极点磷. 在情况 (iii) 中，F可以说在磷. 我们在本节和下一节中的目标是更详细地理解 (i)、(ii) 和 (iii)。

定理 4.1.1（黎曼可移除奇点定理）。让F : D(磷,r)∖磷→C是全纯的和有界的。那么
（一）林和→磷F(和)存在；(2) 功能F^:D(磷,r)→C由 $$ \widehat{f}(z)=\left{ 定义F(和) 如果 和≠磷 林G→磷F(G) 如果 和=磷\对。
$$
是全纯的。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Expansion around Singular Points

为了帮助我们进一步理解极点和本质奇点，我们将开发一种全纯函数的级数展开方法D(磷,r)∖磷. 除了可移除的奇点，我们不能期望在幂级数中扩展这样的函数，该幂级数收敛于磷，因为这样的幂级数将在整个邻域上定义一个全纯函数磷， 包含磷本身。幂级数概念的自然延伸是允许负幂和正幂(和−磷). 事实证明，这种扩展足以处理极点和基本奇点

两个都。很容易看出它适用于两极；本质奇点需要更多的工作。我们现在转向细节。
一个 Laurent 系列D(磷,r)是形式的（正式）表达
∑j=−∞+∞一种j(和−磷)j
请注意，各个术语均针对所有和∈D(磷,r)∖磷.
要从收敛的角度讨论 Laurent 级数，我们必须首先对“双无穷”级数的收敛意义达成一个一般性的共识∑j=−∞+∞一种j. 我们说这样的级数收敛，如果∑j=0+∞一种j和∑j=1+∞一种−j通常意义上的收敛。在这种情况下，我们设置
∑−∞+∞一种j=(∑j=0+∞一种j)+(∑j=1+∞一种−j)
您可以轻松检查∑−∞+∞一种j收敛到一个复数σ当且仅当对于每个ε>0有一个ñ>0这样，如果ℓ≥ñ和ķ≥ñ， 然后|(∑j=−ķℓ一种j)−σ|<ε. 认识到这一点很重要ℓ和ķ在这里是独立的。【特别是存在极限$\lim {k \rightarrow+\infty} \sum {j=-k}^{+k} \alpha_{j}d这和sn这吨一世米pl是一世nG和n和r一种l吨H一种吨\sum_{-\infty}^{+\infty} \alpha_{j}$ 收敛。见练习 10 和 11。]

考虑到这些收敛思想，我们现在可以展示 Laurent 系列引理的类比3.2.3和3.2.5为幂级数。

引理 4.2.1。如果∑j=−∞+∞一种j(和−磷)j收敛于和1≠磷并且在和2≠磷而如果|和1−磷|<|和2−磷|，则该级数收敛于所有和和|和1−磷|< |和−磷|<|和2−磷|.

参考图4.1用于说明引理中描述的情况。

引理 4.2.1 的证明。如果∑j=−∞+∞一种j(和2−磷)j收敛，则双重无限和收敛的定义意味着∑j=0+∞一种j(和2−磷)j收敛。引理3.2.3,∑j=0+∞一种j(和−磷)j然后收敛时|和−磷|< |和2−磷|. 如果∑j=−∞+∞一种j(和1−磷)j收敛，然后也收敛∑j=1+∞一种−j(和1−磷)−j. 自从0<|和1−磷|<|和−磷|， 它遵循|1/(和−磷)|<|1/(和1−磷)|. 因此引理 3.2.3 再次适用于证明∑j=1+∞一种−j(和−磷)−j收敛。因此∑−∞+∞一种j(和−磷)j收敛时|和1−磷|<|和−磷|<|和2−磷|.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Existence of Laurent Expansions

我们现在转向确定环上全纯函数的收敛 Laurent 展开实际上确实存在。我们将需要以下结果。

定理 4.3.1（环的柯西积分公式）。假设0≤r1<r2≤+∞然后F:D(磷,r2)∖D¯(磷,r1)→C是全纯的。然后，对于每个s1,s2这样r1<s1<s2<r2并且每个和∈D(磷,s2)∖ D¯(磷,s1), 它认为
F(和)=12圆周率一世∮|G−磷|=s2F(G)G−和dG−12圆周率一世∮|G−磷|=s1F(G)G−和dG.
证明。定点和∈D(磷,s2)∖D¯(磷,s1). 定义，对于G∈D(磷,r2)∖ D¯(磷,r1),
G和(G)={F(G)−F(和)G−和G≠和 F′(和)G=和
然后G和是一个全纯函数G,G∈D(磷,r2)∖D¯(磷,r1)（由黎曼可移动奇点定理）。
现在我们考虑积分
∮|G−磷|=s1G和(G)dG
和
∮|G−磷|=s2G和(G)dG
通过第 2.6 节中的考虑，这两个。积分相等。所以
0=∮|G−磷|=s2G和(G)dG−∮|G−磷|=s1G和(G)dG=∮|G−磷|=s2F(G)−F(和)G−和dG−∮|G−磷|=s1F(G)−F(和)G−和dG
因此
∮|G−磷|=s2F(G)G−和dG−∮|G−磷|=s2F(和)G−和dG =∮|G−磷|=s1F(G)G−和dG−∮|G−磷|=s1F(和)G−和dG
现在
∮|G−磷|=s2F(和)G−和dG=F(和)∮|G−磷|=s21G−和dG=2圆周率一世F(和)
由常数函数 1 的柯西积分公式D(磷,r2)（或直接计算）。
还
∮|G−磷|=s1F(和)G−和dG=F(和)∮|G−磷|=s11G−和dG=0.
这可以从柯西积分定理（定理 2.4.3）中看出，因为1/(G−和)是全纯的G∈D(磷,|和−磷|)和\左{\zeta:|\zeta-P| \leq s_{1}\right} \subseteq\左{\zeta:|\zeta-P| \leq s_{1}\right} \subseteq D(磷,|和−磷|). 见图4.2.
所以
2圆周率一世F(和)=∮|G−磷|=s2F(G)G−和dG−∮|G−磷|=s1F(G)G−和dG
如预期的。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Cauchy Estimates and Liouville’s Theorem

This section will establish some estimates for the derivatives of holomorphic functions in terms of bounds on the function itself. The possibility

of such estimation is a feature of holomorphic function theory that has no analogue in the theory of real variables. For example: The functions $f_{k}(x)=\sin k x, x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}$, are for all $k$ bounded in absolute value by 1 ; but their derivatives at 0 are not bounded since $f_{k}^{\prime}(0)=k$. The reader should think frequently about the ways in which real function theory and complex holomorphic function theory differ. In the subject matter of this section, the differences are particularly pronounced.
Theorem 3.4.1 (The Cauchy estimates). Let $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ be a holomorphic function on an open set $U, P \in U$, and assume that the closed disc $\bar{D}(P, r), r>0$, is contained in $U$. Set $M=\sup {z \in \bar{D}(P, r)}|f(z)|$. Then for $k=1,2,3 \ldots$ we have $$ \left|\frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(P)\right| \leq \frac{M k !}{r^{k}} $$ Proof. By Theorem 3.1.1, $$ \frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(P)=\frac{k !}{2 \pi i} \oint{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-P)^{k+1}} d \zeta
$$
Now we use Proposition 2.1.8 to see that
$$
\left|\frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(P)\right| \leq \frac{k !}{2 \pi} \cdot 2 \pi r \sup {|\zeta-P|=r} \frac{|f|}{|\zeta-P|^{k+1}} \leq \frac{M k !}{r^{k}} $$ Notice that the Cauchy estimates enable one to estimate directly the radius of convergence of the power series $$ \sum \frac{f^{(k)}(P)}{k !}(z-P)^{k} $$ Namely $$ \limsup {k \rightarrow+\infty}\left|\frac{f^{(k)}(P)}{k !}\right|^{1 / k} \leq \limsup {k \rightarrow+\infty}\left|\frac{M \cdot k !}{r^{k}} \cdot \frac{1}{k !}\right|^{1 / k}=\frac{1}{r} $$ for any $r$ such that $\bar{D}(P, r) \subseteq U$. In particular, the radius of convergence, which equals $$ \left[\limsup {k \rightarrow+\infty}\left|\frac{f^{(k)}(P)}{k !}\right|^{1 / k}\right]^{-1}
$$
is at least $1 /(1 / r)=r$ for all $r$ such that $\bar{D}(P, r) \subseteq U$. Hence the radius of convergence is at least as large as the distance from $P$ to $\mathbb{C} \backslash U$ (this result was considered from a different perspective in Theorem 3.3.1).

The derivative bounds of Theorem 3.4.1 have some remarkable consequences. The first one is the fact that a holomorphic function on $\mathbb{C}$ that is bounded in absolute value is in fact constant. We shall need the following lemma to prove this.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Uniform Limits of Holomorphic Functions

We have already seen that a convergent power series (in $z$ ) defines a holomorphic function (Lemma 3.2.10). One can think of this fact as the assertion that a certain sequence of holomorphic functions, namely the finite partial sums of the series, has a holomorphic limit. This idea, that a limit of holomorphic functions is holomorphic, holds in almost unrestricted generality.
Theorem 3.5.1. Let $f_{j}: U \rightarrow \mathbb{C}, j=1,2,3 \ldots$, be a sequence of holomorphic functions on an open set $U$ in $\mathbb{C}$. Suppose that there is a function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ such that, for each compact subset $E$ of $U$, the sequence $\left.f_{j}\right|{E}$ converges uniformly to $\left.f\right|{E}$. Then $f$ is holomorphic on $U$. (In particular, $\left.f \in C^{\infty}(U)_{.}\right)$

Before beginning the proof, we again note the contrast with the realvariable situation. Any continuous function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ is the limit, uniformly on compact subsets of $\mathbb{R}$, of some sequence of polynomials: This is the well-known Weierstrass approximation theorem. But, of course, a continuous function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ certainly need not be real analytic, or even $C^{\infty}$. The difference between the real-variable situation and that of the theorem is related to the Cauchy estimates. The convergence of a sequence of holomorphic functions implies convergence of their derivatives also. No such estimation holds in the real case, and a sequence of $C^{\infty}$ functions can converge uniformly without their derivatives having any convergence properties at all (see Exercise 1 and [RUD1]).

We shall give one detailed proof of Theorem 3.5.1 and sketch a second. The first method is especially brief.

Proof of Theorem 3.5.1. Let $P \in U$ be arbitrary. Then choose $r>0$ such that $\bar{D}(P, r) \subseteq U$. Since $\left{f_{j}\right}$ converges to $f$ uniformly on $\bar{D}(P, r)$ and since each $f_{j}$ is continuous, $f$ is also continuous on $\bar{D}(P, r)$. For any $z \in D(P, r)$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Zeros of a Holomorphic Function

Let $f$ be a holomorphic function. If $f$ is not identically zero, then it turns out that $f$ cannot vanish at too many points. This once again bears out the dictum that holomorphic functions are a lot like polynomials. The idea has a precise formulation as follows:

Theorem 3.6.1. Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be a connected open set and let $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ be holomorphic. Let $\mathbf{Z}={z \in U: f(z)=0}$. If there are a $z_{0} \in \mathbf{Z}$ and $\left{z_{j}\right}_{j=1}^{\infty} \subseteq \mathbf{Z} \backslash\left{z_{0}\right}$ such that $z_{j} \rightarrow z_{0}$, then $f \equiv 0$.

Let us formulate Theorem $3.6 .1$ in topological terms. We recall that a point $z_{0}$ is said to be an accumulation point of a set $Z$ if there is a sequence $\left{z_{j}\right} \subseteq Z \backslash\left{z_{0}\right}$ with $\lim {j \rightarrow \infty} z{j}=z_{0}$. Then Theorem $3.6 .1$ is equivalent to the statement: If $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic function on a connected open set $U$ and if $Z={z \in U: f(z)=0}$ has an accumulation point in $U$, then $f \equiv 0$.

There is still more terminology attached to the situation in Theorem 3.6.1. A set $S$ is said to be discrete if for each $s \in S$ there is an $\epsilon>0$ such that $D(s, \epsilon) \cap S={s}$. People also say, in an abuse of language, that a discrete set has points which are “isolated” or that $S$ contains only “isolated points.” Theorem 3.6.1 thus asserts that if $f$ is a nonconstant holomorphic function on a connected open set, then its zero set is discrete or, less formally, the zeros of $f$ are isolated. It is important to realize that Theorem 3.6.1 does not rule out the possibility that the zero set of $f$ can have accumulation points in $\mathbb{C} \backslash U$; in particular, a nonconstant holomorphic function on an open set $U$ can indeed have zeros accumulating at a point of $\partial U$. For example, the function $f(z)=\sin (1 /(1-z))$ is holomorphic on $U=D(0,1)$ and vanishes on the set
$$
\mathbf{Z}=\left{1-\frac{1}{\pi n}: n=1,2,3, \ldots\right} .
$$
Plainly $\mathbf{Z}$ has no accumulation points in $U$; however the point $1 \in \partial U$ is an accumulation point of $\mathbf{Z}$.

Proof of Theorem 3.6.1. We first claim that, under the hypotheses of the theorem, $(\partial / \partial z)^{n} f\left(z_{0}\right)=0$ for every nonnegative integer $n$. If this is not the case, let $n_{0}$ be the least nonnegative integer $n$ such that
$$
\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^{n_{0}} f\left(z_{0}\right) \neq 0
$$
Then we have, on some small disc $D\left(z_{0}, r\right)$, the power series expansion
$$
f(z)=\sum_{j=n_{0}}^{\infty}\left(\frac{\partial^{j}}{\partial z^{j}} f\left(z_{0}\right)\right) \frac{\left(z-z_{0}\right)^{j}}{j !} .
$$
Therefore the function $g$ defined by
$$
g(z) \equiv \sum_{j=n_{0}}^{\infty}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^{j} f\left(z_{0}\right) \frac{\left(z-z_{0}\right)^{j-n_{0}}}{j !}
$$
is holomorphic on $D\left(z_{0}, r\right)$ and $g\left(z_{0}\right) \neq 0$ since $\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^{n_{0}} f\left(z_{0}\right) \neq 0$. Notice that the indicated power series has the same radius of convergence as that for $f$ itself. Furthermore, $g\left(z_{l}\right)=0$ for $l=1,2,3, \ldots$. But then, by the continuity of $g, g\left(z_{0}\right)=0$. This contradiction proves our claim.

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Cauchy Estimates and Liouville’s Theorem

本节将根据函数本身的界限对全纯函数的导数建立一些估计。可能性

这种估计是全纯函数理论的一个特点，在实变量理论中没有类似物。例如：函数Fķ(X)=罪⁡ķX,X∈R,ķ∈从, 适用于所有人ķ绝对值以 1 为界；但它们在 0 处的导数是无界的，因为Fķ′(0)=ķ. 读者应该经常思考实函数论和复全纯函数论的不同之处。在本节的主题中，差异尤其明显。
定理 3.4.1（柯西估计）。让F:在→C是开集上的全纯函数在,磷∈在, 并假设闭合圆盘D¯(磷,r),r>0, 包含在在. 放米=支持和∈D¯(磷,r)|F(和)|. 那么对于ķ=1,2,3…我们有|∂ķF∂和ķ(磷)|≤米ķ!rķ证明。根据定理 3.1.1，∂ķF∂和ķ(磷)=ķ!2圆周率一世∮|G−磷|=rF(G)(G−磷)ķ+1dG
现在我们使用命题 2.1.8 来看看
|∂ķF∂和ķ(磷)|≤ķ!2圆周率⋅2圆周率r支持|G−磷|=r|F||G−磷|ķ+1≤米ķ!rķ请注意，柯西估计使人们能够直接估计幂级数的收敛半径∑F(ķ)(磷)ķ!(和−磷)ķ即林汤ķ→+∞|F(ķ)(磷)ķ!|1/ķ≤林汤ķ→+∞|米⋅ķ!rķ⋅1ķ!|1/ķ=1r对于任何r这样D¯(磷,r)⊆在. 特别是，收敛半径等于[林汤ķ→+∞|F(ķ)(磷)ķ!|1/ķ]−1
至少是1/(1/r)=r对全部r这样D¯(磷,r)⊆在. 因此，收敛半径至少与距离的距离一样大磷到C∖在（这个结果在定理 3.3.1 中从不同的角度考虑）。

定理 3.4.1 的导数界限有一些显着的结果。第一个是一个全纯函数C有界的绝对值实际上是常数。我们需要以下引理来证明这一点。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Uniform Limits of Holomorphic Functions

We have already seen that a convergent power series (in z ) defines a holomorphic function (Lemma 3.2.10). One can think of this fact as the assertion that a certain sequence of holomorphic functions, namely the finite partial sums of the series, has a holomorphic limit. This idea, that a limit of holomorphic functions is holomorphic, holds in almost unrestricted generality.
Theorem 3.5.1. Let fj:U→C,j=1,2,3…, be a sequence of holomorphic functions on an open set U in C. Suppose that there is a function f:U→C such that, for each compact subset E of U, the sequence fj|E converges uniformly to f|E. Then f is holomorphic on U. (In particular, f∈C∞(U).)

Before beginning the proof, we again note the contrast with the realvariable situation. Any continuous function from R to R是限制，一致地在紧凑子集上R, 一些多项式序列：这是著名的 Weierstrass 逼近定理。但是，当然，一个连续的函数R到R当然不必是真正的分析，甚至C∞. 实变量情况与定理的区别与柯西估计有关。一系列全纯函数的收敛也意味着它们的导数的收敛。在实际情况中没有这样的估计，并且一系列C∞函数可以均匀收敛，而它们的导数根本不具有任何收敛特性（参见练习 1 和 [RUD1]）。

我们将给出定理 3.5.1 的一个详细证明，并画出第二个。第一种方法特别简短。

定理 3.5.1 的证明。让磷∈在随意。然后选择r>0这样D¯(磷,r)⊆在. 自从\左{f_{j}\右}\左{f_{j}\右}收敛到F一致地D¯(磷,r)并且由于每个Fj是连续的，F也是连续的D¯(磷,r). 对于任何和∈D(磷,r)

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Zeros of a Holomorphic Function

让F是一个全纯函数。如果F不完全为零，那么事实证明F不能在太多点消失。这再次证实了全纯函数很像多项式的格言。这个想法有一个精确的表述如下：

定理 3.6.1。让在⊆C是一个连通的开集并且让F:在→C是全纯的。让从=和∈在:F(和)=0. 如果有一个和0∈从和\left{z_{j}\right}_{j=1}^{\infty} \subseteq \mathbf{Z} \backslash\left{z_{0}\right}\left{z_{j}\right}_{j=1}^{\infty} \subseteq \mathbf{Z} \backslash\left{z_{0}\right}这样和j→和0， 然后F≡0.

让我们制定定理3.6.1在拓扑方面。我们记得有一点和0据说是一个集合的一个累积点从如果有序列\left{z_{j}\right} \subseteq Z \backslash\left{z_{0}\right}\left{z_{j}\right} \subseteq Z \backslash\left{z_{0}\right}与 $\lim {j \rightarrow \infty} z {j}=z_{0}.吨H和n吨H和这r和米3.6 .1一世s和q在一世在一种l和n吨吨这吨H和s吨一种吨和米和n吨:一世Ff: U \rightarrow \mathbb{C}一世s一种H这l这米这rpH一世CF在nC吨一世这n这n一种C这nn和C吨和d这p和ns和吨在一种nd一世FZ={z \in U: f(z)=0}H一种s一种n一种CC在米在l一种吨一世这np这一世n吨一世n在,吨H和nf \equiv 0$。

定理 3.6.1 中的情况还有更多的术语。一套小号被称为是离散的，如果对于每个s∈小号有一个ε>0这样D(s,ε)∩小号=s. 人们还说，在滥用语言的情况下，离散集合具有“孤立”的点，或者小号仅包含“孤立点”。因此，定理 3.6.1 断言如果F是连通开集上的非常量全纯函数，则其零集是离散的，或者更正式地说，零集F被隔离。重要的是要认识到定理 3.6.1 不排除零集的可能性F可以有积累点C∖在; 特别是开集上的非常数全纯函数在确实可以在某个点累积零∂在. 例如，函数F(和)=罪⁡(1/(1−和))是全纯的在=D(0,1)然后消失在片场
\mathbf{Z}=\left{1-\frac{1}{\pi n}: n=1,2,3, \ldots\right} 。\mathbf{Z}=\left{1-\frac{1}{\pi n}: n=1,2,3, \ldots\right} 。
说白了从没有累积积分在; 然而重点1∈∂在是一个积累点从.

定理 3.6.1 的证明。我们首先声称，在定理的假设下，(∂/∂和)nF(和0)=0对于每个非负整数n. 如果不是这种情况，让n0是最小的非负整数n这样
(∂∂和)n0F(和0)≠0
然后我们有，在一些小光盘上D(和0,r), 幂级数展开
F(和)=∑j=n0∞(∂j∂和jF(和0))(和−和0)jj!.
因此函数G被定义为
G(和)≡∑j=n0∞(∂∂和)jF(和0)(和−和0)j−n0j!
是全纯的D(和0,r)和G(和0)≠0自从(∂∂和)n0F(和0)≠0. 请注意，指示的幂级数具有与F本身。此外，G(和l)=0为了l=1,2,3,…. 但是，由于连续性G,G(和0)=0. 这个矛盾证明了我们的主张。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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回归分析代写

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Differentiability Properties of Holomorphic Functions

The first property that we shall deduce from the Cauchy integral formula is that holomorphic functions, which by definition have (continuous) first partial derivatives with respect to $x$ and $y$, have in fact continuous derivatives of all orders. This property again contrasts strongly with the situation for real functions and for general complex-valued functions on $\mathbb{C}$, where a function can have continuous derivatives up to and including some order $k$, but not have a $(k+1)^{\text {st }}$ derivative at any point (Exercises 58 and 59$)$.
Theorem 3.1.1. Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be an open set and let $f$ be holomorphic on $U$. Then $f \in C^{\infty}(U)$. Moreover, if $\bar{D}(P, r) \subseteq U$ and $z \in D(P, r)$, then
$$
\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^{k} f(z)=\frac{k !}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}} d \zeta, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
Proof. Notice that, for $z \in D(P, r)$, the function
$$
\zeta \longmapsto \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}
$$
is continuous on $\partial D(P, r)$. Also, $|\zeta-z| \geq r-|z-P|>0$ for all $\zeta \in \partial D(P, r)$. It follows that
$$
\frac{f(\zeta)}{\zeta-w} \rightarrow \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}
$$

as $w \rightarrow z$ uniformly over $\zeta \in \partial D(P, r)$. From this assertion, and elementary algebra, it follows that
$$
\frac{1}{h}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-(z+h)}-\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\right) \rightarrow \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}}
$$
uniformly over $\zeta \in \partial D(P, r)$ as $h \rightarrow 0$. Therefore
$$
\begin{aligned}
\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} &=\lim {h \rightarrow 0} \frac{1}{2 \pi i} \frac{1}{h} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{\zeta-(z+h)}-\frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta \
&=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \lim {h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-(z+h)}-\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\right) d \zeta . \end{aligned} $$ [Because the limit occurs uniformly, it was legitimate to interchange the order of the integral and the limit-see Appendix A.] Thus $$ \lim {h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}} d \zeta
$$
Therefore $f^{\prime}(z)$ equals
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}} d \zeta
$$
This same argument applied to $f^{\prime}$ shows that $f^{\prime}$ itself has a complex derivative at each point of $D(P, r)$, given by the formula
$$
\left(f^{\prime}(z)\right)^{\prime}=\frac{2}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{3}} d \zeta
$$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Power Series

The theory of Taylor series in real-variable calculus associates to each infinitely differentiable function $f$ from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ a formal power series expansion at each point of $\mathbb{R}$, namely
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(p)}{n !}(x-p)^{n}, \quad p \in \mathbb{R} .
$$
There is no general guarantee that this series converges for any $x$ other than $x=p$. Moreover, there is also no general guarantee that, even if it does converge at some $x \neq p$, its sum is actually equal to $f(x)$. An instance of this latter phenomenon is the function
$$
f(x)=\left{\begin{array}{lll}
e^{-1 / x^{2}} & \text { if } & x \neq 0 \
0 & \text { if } & x=0
\end{array}\right.
$$
This function can be easily checked to be $C^{\infty}$ on $\mathbb{R}$ with $0=f(0)=$ $f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\ldots$ (use l’Hôpital’s rule to verify this assertion). So the

Taylor expansion of $f$ at 0 is
$$
0+0 x+0 x^{2}+0 x^{3}+\cdots
$$
which obviously converges for all $x$ with sum $\equiv 0$. But $f(x)$ is 0 only if $x=0$. (An example of the phenomenon that the Taylor series need not even converge except at $x=p$ is given in Exercise 64.) The familiar functions of calculus- $\sin , \cos , e^{x}$, and so forth-all have convergent power series. But most $C^{\infty}$ functions on $\mathbb{R}$ do not. Real functions $f$ that have, at each point $p \in \mathbb{R}$, a Taylor expansion that converges to $f$ for all $x$ near enough to $p$ are called real analytic on $\mathbb{R}$.

In holomorphic function theory, it is natural to attempt to expand functions in powers of $z$. We would expect to need $z$ powers only and not $\bar{z}$ powers since our original definition of holomorphic functions was designed to rule out any $\bar{z}$ ‘s (in polynomial functions in particular). Compared to the real-variable case just discussed ( $C^{\infty}$ functions from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ ), the attempt to expand a holomorphic function in powers of $z$ works remarkably well. In fact, we shall see that if $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic function on an open set $U$ and if $P \in U$, then the formal $z$ expansion at $P$,
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(P)}{n !}(z-P)^{n}
$$
converges for all $z$ in some neighborhood of $P$ and it converges to $f(z)$ for all $z$ near $P$. Specifically, if $r>0$ is such that $D(P, r) \subset U$, then the series converges to $f(z)$ for all $z$ in $D(P, r)$. This expansion shows a sense in which holomorphic functions are a natural generalization of polynomials in $z$.
We prove these assertions in the next section. First, we need to introduce complex power series formally and establish a few of their properties. We assume the reader to be familiar with real power series at the level of freshman calculus.

A sequence of complex numbers is a function from ${1,2, \ldots}$ to $\mathbb{C}$ (sometimes it is convenient to renumber and think of a sequence as a function from ${0,1,2, \ldots}$ to $\mathbb{C})$. We usually write a sequence as $\left{a_{1}, a_{2}, \ldots\right}$ or $\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}$ (resp. $\left{a_{0}, a_{1}, \ldots\right}$ or $\left.\left{a_{k}\right}_{k=0}^{\infty}\right)$. The sequence is said to converge to a limit $\ell \in \mathbb{C}$ if for any $\epsilon>0$ there is an $N_{0}$ such that $k \geq N_{0}$ implies $\left|a_{k}-\ell\right|<\epsilon$. It is frequently useful to test convergence by means of the Cauchy criterion:

Lemma 3.2.1. Let $\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}$ be a sequence of complex numbers. Then $\left{a_{k}\right}$ converges to a limit if and only if for each $\epsilon>0$ there is an $N_{0}$ such that $j, k \geq N_{0}$ implies $\left|a_{j}-a_{k}\right|<\epsilon$.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Power Series Expansion for a Holomorphic Function

As previously discussed, we first demonstrate that a holomorphic function has a convergent complex power series expansion (locally) about any point in its domain. Note that since a holomorphic function is defined on an arbitrary open set $U$ while a power series converges on a disc, we cannot expect a single power series expanded about a fixed point $P$ to converge to $f$ on all of $U$.

Theorem 3.3.1. Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be an open set and let $f$ be holomorphic on $U$. Let $P \in U$ and suppose that $D(P, r) \subseteq U$. Then the complex power series
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\partial^{k} f / \partial z^{k}\right)(P)}{k !}(z-P)^{k}
$$
has radius of convergence at least $r$. It converges to $f(z)$ on $D(P, r)$.
Proof. Recall that from Theorem 3.1.1 we know that $f$ is $C^{\infty}$. So the coefficients of the power series expansion make sense. Given an arbitrary $z \in D(P, r)$, we shall now prove convergence of the series at this $z$. Let $r^{\prime}$ be a positive number greater than $|z-P|$ but less than $r$ so that
$$
z \in D\left(P, r^{\prime}\right) \subseteq \bar{D}\left(P, r^{\prime}\right) \subseteq D(P, r) .
$$
Assume without loss of generality that $P=0$ (this simplifies the notation considerably, but does not change the mathematics) and apply the Cauchy integral formula to $f$ on $D\left(P, r^{\prime}\right)$. Thus for $z \in D\left(P, r^{\prime}\right)=D\left(0, r^{\prime}\right)$ we have
$$
f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta
$$

$$
\begin{aligned}
&=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \frac{1}{1-z \cdot \zeta^{-1}} d \zeta \
&=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \sum_{k=0}^{\infty}\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k} d \zeta
\end{aligned}
$$
Notice that the last equality is true because $|z|<r^{\prime},|\zeta|=r^{\prime}$, hence
$$
\left|z \cdot \zeta^{-1}\right|<1
$$
so $\sum\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k}$ is a convergent geometric series expansion which converges to $1 /\left(1-z \cdot \zeta^{-1}\right)$ (see Exercise 7 of Chapter 2). Moreover, the series converges uniformly on $\left{\zeta:|\zeta|=r^{\prime}\right}$. This fact allows us to switch the sum and the integral. This step is so crucial that we write it out rather carefully (see Appendix A). Set $S_{N}(z, \zeta)=\sum_{k=0}^{N}\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k}$. Then we have
$$
\begin{aligned}
(*) &=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \lim {N \rightarrow \infty} S{N}(z, \zeta) d \zeta \
&=\frac{1}{2 \pi i} \lim {N \rightarrow \infty} \oint{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} S_{N}(z, \zeta) d \zeta
\end{aligned}
$$
by uniform convergence. Now this last expression equals
$$
=\frac{1}{2 \pi i} \lim {N \rightarrow \infty} \sum{k=0}^{N} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta}\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k} d \zeta
$$
since finite sums always commute with integration. The last equation equals
$$
\begin{aligned}
&=\lim {N \rightarrow \infty} \sum{k=0}^{N} z^{k} \cdot \frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{k+1}} d \zeta \
&=\sum_{k=0}^{\infty} z^{k} \frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{k+1}} d \zeta \
&=\sum_{k=0}^{\infty} z^{k} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(0)
\end{aligned}
$$
by Theorem 3.1.1.

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Differentiability Properties of Holomorphic Functions

我们将从柯西积分公式推导出的第一个性质是全纯函数，根据定义，它具有（连续的）一阶偏导数X和是, 实际上有所有阶的连续导数。这个性质再次与实函数和一般复值函数的情况形成强烈对比C，其中一个函数可以有连续导数，直到并包括某个阶ķ，但没有(ķ+1)英石 任何时候的导数（练习 58 和 59).
定理 3.1.1。让在⊆C是一个开集并且让F全纯在. 然后F∈C∞(在). 此外，如果D¯(磷,r)⊆在和和∈D(磷,r)， 然后
(∂∂和)ķF(和)=ķ!2圆周率一世∮|G−磷|=rF(G)(G−和)ķ+1dG,ķ=0,1,2,…
证明。请注意，对于和∈D(磷,r)， 功能
G⟼F(G)G−和
是连续的∂D(磷,r). 还，|G−和|≥r−|和−磷|>0对全部G∈∂D(磷,r). 它遵循
F(G)G−在→F(G)G−和

作为在→和均匀地超过G∈∂D(磷,r). 从这个断言和初等代数可以得出：
1H(F(G)G−(和+H)−F(G)G−和)→F(G)(G−和)2
均匀地超过G∈∂D(磷,r)作为H→0. 所以
林H→0F(和+H)−F(和)H=林H→012圆周率一世1H∮|G−磷|=rF(G)G−(和+H)−F(G)G−和dG =12圆周率一世∮|G−磷|=r林H→01H(F(G)G−(和+H)−F(G)G−和)dG.[因为极限是一致出现的，交换积分的阶和极限是合理的——见附录 A。] 因此林H→0F(和+H)−F(和)H=12圆周率一世∮|G−磷|=rF(G)(G−和)2dG
所以F′(和)等于
12圆周率一世∮|G−磷|=rF(G)(G−和)2dG
同样的论点适用于F′表明F′本身在每个点都有一个复导数D(磷,r)，由公式给出
(F′(和))′=22圆周率一世∮|G−磷|=rF(G)(G−和)3dG

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Power Series

实变微积分中的泰勒级数理论与每个无限可微函数相关联F从R到R在每个点的正式幂级数展开R，即
∑n=0∞F(n)(p)n!(X−p)n,p∈R.
没有一般保证这个系列收敛于任何X以外X=p. 此外，也没有一般的保证，即使它确实收敛于某个X≠p, 它的总和实际上等于F(X). 后一种现象的一个例子是函数
$$
f(x)=\left{和−1/X2 如果 X≠0 0 如果 X=0\对。
$$
这个函数可以很容易地检查为C∞在R和0=F(0)= F′(0)=F′′(0)=…（使用 l’Hôpital 的规则来验证这个断言）。所以

泰勒展开式F在 0 是
0+0X+0X2+0X3+⋯
这显然对所有人都收敛X与总和≡0. 但F(X)仅当为 0X=0. （泰勒级数甚至不需要收敛的现象的一个例子，除了在X=p在习题 64 中给出。) 微积分的熟悉函数——罪,因,和X，等等——都有收敛的幂级数。但最C∞上的功能R不要。实函数F在每一点都有p∈R，泰勒展开式收敛到F对全部X足够接近p被称为实分析R.

在全纯函数论中，很自然地尝试将函数展开为和. 我们期望需要和只有权力而不是权力和¯权力，因为我们最初对全纯函数的定义是为了排除任何和¯的（特别是在多项式函数中）。与刚刚讨论的实变量情况相比（C∞函数来自R到R)，尝试在 的幂中扩展全纯函数和效果非常好。事实上，我们将看到，如果F:在→C是开集上的全纯函数在而如果磷∈在，那么正式的和扩张于磷,
∑n=0∞F(n)(磷)n!(和−磷)n
为所有人收敛和在某个街区磷它收敛到F(和)对全部和靠近磷. 具体来说，如果r>0是这样的D(磷,r)⊂在，则级数收敛到F(和)对全部和在D(磷,r). 这种展开表明全纯函数是多项式的自然概括和.
我们将在下一节中证明这些断言。首先，我们需要正式引入复幂级数并建立它们的一些性质。我们假设读者熟悉大一微积分级别的实幂级数。

复数序列是一个函数1,2,…到C（有时重新编号并将序列视为一个函数很方便0,1,2,…到C). 我们通常写一个序列为\left{a_{1}, a_{2}, \ldots\right}\left{a_{1}, a_{2}, \ldots\right}或者\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}（分别。\left{a_{0}, a_{1}, \ldots\right}\left{a_{0}, a_{1}, \ldots\right}或者\left.\left{a_{k}\right}_{k=0}^{\infty}\right)\left.\left{a_{k}\right}_{k=0}^{\infty}\right). 据说该序列收敛到一个极限ℓ∈C如果有的话ε>0有一个ñ0这样ķ≥ñ0暗示|一种ķ−ℓ|<ε. 通过 Cauchy 准则测试收敛性通常很有用：

引理 3.2.1。让\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}\left{a_{k}\right}_{k=1}^{\infty}是一个复数序列。然后\left{a_{k}\right}\left{a_{k}\right}当且仅当对于每个ε>0有一个ñ0这样j,ķ≥ñ0暗示|一种j−一种ķ|<ε.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Power Series Expansion for a Holomorphic Function

如前所述，我们首先证明了一个全纯函数在其域中的任何点上都有一个收敛的复幂级数展开（局部）。请注意，由于全纯函数是在任意开集上定义的在虽然幂级数会聚在圆盘上，但我们不能期望单个幂级数围绕固定点展开磷收敛到F在所有在.

定理 3.3.1。让在⊆C是一个开集并且让F全纯在. 让磷∈在并假设D(磷,r)⊆在. 那么复幂级数
∑ķ=0∞(∂ķF/∂和ķ)(磷)ķ!(和−磷)ķ
至少有收敛半径r. 它收敛到F(和)在D(磷,r).
证明。回想一下，从定理 3.1.1 我们知道F是C∞. 所以幂级数展开的系数是有意义的。给定一个任意和∈D(磷,r)，我们现在将证明级数的收敛性和. 让r′是大于的正数|和−磷|但小于r以便
和∈D(磷,r′)⊆D¯(磷,r′)⊆D(磷,r).
不失一般性假设磷=0（这大大简化了符号，但不会改变数学）并将柯西积分公式应用于F在D(磷,r′). 因此对于和∈D(磷,r′)=D(0,r′)我们有
F(和)=12圆周率一世∮|G|=r′F(G)G−和dG=12圆周率一世∮|G|=r′F(G)G11−和⋅G−1dG =12圆周率一世∮|G|=r′F(G)G∑ķ=0∞(和⋅G−1)ķdG
请注意，最后一个等式是正确的，因为|和|<r′,|G|=r′， 因此
|和⋅G−1|<1
所以∑(和⋅G−1)ķ是一个收敛的几何级数展开式，它收敛于1/(1−和⋅G−1)（见第 2 章的练习 7）。此外，该级数均匀地收敛于\left{\zeta:|\zeta|=r^{\prime}\right}\left{\zeta:|\zeta|=r^{\prime}\right}. 这个事实允许我们切换和和积分。这一步非常关键，我们非常仔细地写出来（见附录 A）。放小号ñ(和,G)=∑ķ=0ñ(和⋅G−1)ķ. 然后我们有
(∗)=12圆周率一世∮|G|=r′F(G)G林ñ→∞小号ñ(和,G)dG =12圆周率一世林ñ→∞∮|G|=r′F(G)G小号ñ(和,G)dG
通过均匀收敛。现在最后一个表达式等于
=12圆周率一世林ñ→∞∑ķ=0ñ∮|G|=r′F(G)G(和⋅G−1)ķdG
因为有限和总是与积分对易。最后一个等式等于
=林ñ→∞∑ķ=0ñ和ķ⋅12圆周率一世∮|G|=r′F(G)Gķ+1dG =∑ķ=0∞和ķ12圆周率一世∮|G|=r′F(G)Gķ+1dG =∑ķ=0∞和ķ1ķ!∂ķF∂和ķ(0)
由定理 3.1.1。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Cauchy Integral Theorem

In this section we shall study two results which are fundamental to the development of the rest of this subject: the Cauchy Integral Formula and the Cauchy integral theorem. The Cauchy integral formula gives the value of a holomorphic function at each point inside a circle in terms of the values of the function on the circle (later we shall learn that “circle” here may be replaced by a more general closed curve, subject to certain topological restrictions). We proceed now with our study of the Cauchy integral formula.
The Cauchy integral formula is so startling that one may at first be puzzled by it and find it unmotivated. However, as the theory develops, one can look at it in retrospect and see how natural it is. In any case it makes

possible the extremely rapid development of a very powerful theory, and a certain patience with the abruptness of its proof will be richly rewarded.
It will be useful to have at our disposal the following notation: If $P$ is a complex number, and $r$ a positive real number, then we let $D(P, r)={z \in$ $\mathbb{C}:|z-P|<r}$ and $\bar{D}(P, r)={z \in \mathbb{C}:|z-P| \leq r}$. These sets are called, respectively, open and closed discs in the complex plane. The boundary of the disc, $\partial D(P, r)$, is the set of $z$ such that $|z-P|=r$.

The boundary $\partial D(P, r)$ of the disc $D(P, r)$ can be parametrized as a simple closed curve $\gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{C}$ by setting
$$
\gamma(t)=P+r e^{2 \pi i t} .
$$
We say that this $\gamma$ is the boundary of a disc with counterclockwise orientation. The terminology is justified by the fact that, in the usual picture of $\mathbb{C}$, this curve $\gamma$ runs counterclockwise. Similarly, the curve $\sigma:[0,1] \rightarrow \mathbb{C}$ defined by
$$
\sigma(t)=P+r e^{-2 \pi i t}
$$
is called the boundary of the disc $D(P, r)$ with clockwise orientation. Recall that, as already explained, line integrals around $\partial D(P, r)$ do not depend on exactly which parametrization is chosen, but they do depend on the direction or orientation of the curve. Integration along $\sigma$ gives the negative of integration along $\gamma$. Thus we can think of integration counterclockwise around $\partial D(P, r)$ as a well-defined integration process – that is, independent of the choice of parametrization-provided that it goes around in the same direction as our specific parametrization $\gamma$.
We now turn to a fundamental lemma:
Lemma 2.4.1. Let $\gamma$ be the boundary of a disc $D\left(z_{0}, r\right)$ in the complex plane, equipped with counterclockwise orientation. Let $z$ be a point inside the circle $\partial D\left(z_{0}, r\right)$. Then
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{1}{\zeta-z} d \zeta=1
$$
Proof. To evaluate
$$
\oint_{\gamma} \frac{1}{\zeta-z} d \zeta
$$
we could proceed by direct computation. However, this leads to a rather messy (though calculable) integral. Instead, we reason as follows:
Consider the function
$$
I(z)=\oint_{\gamma} \frac{1}{\zeta-z} d \zeta
$$
defined for all $z$ with $\left|z-z_{0}\right|<r$. We shall establish two facts:

(i) $I(z)$ is independent of $z$;
(ii) $I\left(z_{0}\right)=2 \pi i$.
Then we shall have $I(z)=2 \pi i$ for all $z$ with $\left|z-z_{0}\right|<r$, as required.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Cauchy Integral Formula: Some Examples

The Cauchy integral formula will play such an important role in our later work that it is worthwhile to see just how it works out in some concrete cases. In particular, in this section we are going to show how it applies to polynomials by doing some explicit calculations. These calculations will involve integrating some infinite series term by term. It is not very hard to justify this process in detail in the cases we shall be discussing. But the justification will be presented in a more general context later, so for the moment we shall treat the following calculations on just a formal basis, without worrying very much about convergence questions.

To simplify the notation and to make everything specific, we shall consider only integration around the unit circle about the origin. So define $\gamma:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{C}$ by $\gamma(t)=\cos t+i \sin t$. Our first observations are the following:
(1) $\oint_{\gamma} \zeta^{k} d \zeta=0$ if $k \in \mathbb{Z}, k \neq-1$;
(2) $\oint_{\gamma} \zeta^{-1} d \zeta=2 \pi i$
Actually, we proved (2) by a calculation in the previous section, and we shall not repeat it. But we repeated the conclusion here to contrast it with formula (1).

To prove (1), set $f_{k}(\zeta)=(1+k)^{-1} \zeta^{k+1}$, for $k$ an integer unequal to $-1$. Then $f_{k}$ is holomorphic on $\mathbb{C} \backslash{0}$. By Proposition 2.1.6,
$$
0=f_{k}(\gamma(2 \pi))-f_{k}(\gamma(0))=\oint_{\gamma} \frac{\partial f_{k}}{\partial \zeta} d \zeta=\oint_{\gamma} \zeta^{k} d \zeta .
$$

This argument is similar to an argument used in Section 2.4. Of course, (1) can also be established by explicit computation:
$$
\begin{aligned}
\oint_{\gamma} \zeta^{k} d \zeta &=\int_{0}^{2 \pi}(\cos t+i \sin t)^{k} \cdot(-\sin t+i \cos t) d t \
&=i \int_{0}^{2 \pi}(\cos t+i \sin t)^{k+1} d t .
\end{aligned}
$$
If $k+1$ is positive, then
$$
(*)=i \int_{0}^{2 \pi}[\cos (k+1) t+i \sin (k+1) t] d t=0
$$
Here we have used the well-known DeMoivre formula:
$$
(\cos t+i \sin t)^{n}=\cos (n t)+i \sin (n t),
$$
which is easily proved by induction on $n$ and the usual angle-addition formulas for sine and cosine (Exercise 20 of Chapter 1 ).
Notice that
$$
(\cos t+i \sin t)^{-1}=\cos t-i \sin t
$$
since
$$
(\cos t+i \sin t) \cdot(\cos t-i \sin t)=\cos ^{2} t+\sin ^{2} t=1 \text {. }
$$
Hence, if $k+1<0$, then
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{2 \pi}(\cos t+i \sin t)^{k+1} d t &=\int_{0}^{2 \pi}(\cos t-i \sin t)^{-(k+1)} d t \
&=\int_{0}^{2 \pi}[\cos (-(k+1) t)-i \sin (-(k+1) t)] d t \
&=0
\end{aligned}
$$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|An Introduction to the Cauchy Integral Theorem

For many purposes, the Cauchy integral formula for integration around circles and the Cauchy integral theorem for rectangular or disc regions are adequate. But for some applications more generality is desirable. To formulate really general versions requires some considerable effort that would lead us aside (at the present moment) from the main developments that we want to pursue. We shall give such general results later, but for now we instead present a procedure which suffices in any particular case (i.e., in proofs or applications which one is likely to encounter) that may actually arise. The procedure can be easily described in intuitive terms; and, in any concrete case, it is simple to make the procedure into a rigorous proof. In particular, Proposition $2.6 .5$ will be a precise result for the region between two concentric circles; this result will be used heavily later on.

First, we want to extend slightly the class of curves over which we perform line integration.

Definition 2.6.1. A piecewise $C^{1}$ curve $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}, a<b, a, b \in \mathbb{R}$, is a continuous function such that there exists a finite set of numbers $a_{1} \leq a_{2} \leq$ $\cdots \leq a_{k}$ satisfying $a_{1}=a$ and $a_{k}=b$ and with the property that for every $1 \leq j \leq k-1,\left.\gamma\right|{\left[a{j}, a_{j+1}\right]}$ is a $C^{1}$ curve. As before, $\gamma$ is a piecewise $C^{1}$ curve (with image) in an open set $U$ if $\gamma([a, b]) \subseteq U$.

Intuitively, a piecewise $C^{1}$ curve is a finite number of $C^{1}$ curves attached together at their endpoints. The natural way to integrate over such a curve is to add together the integrals over each $C^{1}$ piece.

Definition 2.6.2. If $U \subseteq \mathbb{C}$ is open and $\gamma:[a, b] \rightarrow U$ is a piecewise $C^{1}$ curve in $U$ (with notation as in Definition 2.6.1) and if $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a continuous, complex-valued function on $U$, then
$$
\oint_{\gamma} f(z) d z \equiv \sum_{j=1}^{k} \oint_{\left.\gamma\right|{\left[a{j}, a_{j+1} \mid\right.}} f(z) d z,
$$
where $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ are as in the definition of “piecewise $C^{1}$ curve.” $^{n}$
In order for this definition to make sense, we need to know that the sum on the right side does not depend on the choice of the $a_{j}$ or of $k$. This independence does indeed hold, and Exercise 33 asks you to verify it.

It follows from the remarks in the preceding paragraph together with the remarks in Section $2.1$ about parametrizations of curves that the complex line integral over a piecewise $C^{1}$ curve has a value which is independent of whatever parametrization for the curve is chosen, provided that the direction of traversal is kept the same. This (rather redundant) remark cannot be overemphasized. We leave as a problem for you (see Exercise 34) the proof of the following technical formulation of this assertion.

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Cauchy Integral Theorem

在本节中，我们将研究两个对本学科其余部分的发展至关重要的结果：柯西积分公式和柯西积分定理。柯西积分公式根据圆上函数的值给出了圆内每个点的全纯函数的值（稍后我们将了解到这里的“圆”可以用更一般的闭合曲线代替，受制于某些拓扑限制）。我们现在继续研究柯西积分公式。
柯西积分公式令人吃惊，一开始可能会被它迷惑并发现它没有动机。然而，随着理论的发展，人们可以回顾它，看看它是多么自然。无论如何，它使

一个非常强大的理论可能会以极快的速度发展，并且对其证明的突然性有一定的耐心将获得丰厚的回报。
使用以下符号将很有用：如果磷是一个复数，并且r一个正实数，那么我们让D(磷,r)=和∈$$C:|和−磷|<r和D¯(磷,r)=和∈C:|和−磷|≤r. 这些集合分别称为复平面中的开盘和闭盘。圆盘的边界，∂D(磷,r), 是集合和这样|和−磷|=r.

边界∂D(磷,r)光盘的D(磷,r)可以参数化为简单的闭合曲线C:[0,1]→C通过设置
C(吨)=磷+r和2圆周率一世吨.
我们说这C是逆时针方向的圆盘的边界。该术语的合理性在于，在通常的情况下C，这条曲线C逆时针运行。同样，曲线σ:[0,1]→C被定义为
σ(吨)=磷+r和−2圆周率一世吨
称为圆盘的边界D(磷,r)顺时针方向。回想一下，正如已经解释过的，线积分∂D(磷,r)不依赖于选择的参数化，但它们确实依赖于曲线的方向或方向。沿着整合σ给出积分的负数C. 因此我们可以考虑逆时针积分∂D(磷,r)作为一个定义明确的集成过程——也就是说，独立于参数化的选择——只要它与我们的特定参数化方向相同C.
我们现在转向一个基本引理：
引理 2.4.1。让C成为圆盘的边界D(和0,r)在复平面上，配备逆时针方向。让和成为圆内的一个点∂D(和0,r). 然后
12圆周率一世∮C1G−和dG=1
证明。评估
∮C1G−和dG
我们可以通过直接计算进行。然而，这会导致一个相当混乱的（虽然是可计算的）积分。相反，我们的推理如下：
考虑函数
一世(和)=∮C1G−和dG
为所有人定义和和|和−和0|<r. 我们要确立两个事实：

（一世）一世(和)独立于和;
(二)一世(和0)=2圆周率一世.
那么我们将有一世(和)=2圆周率一世对全部和和|和−和0|<r， 按要求。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Cauchy Integral Formula: Some Examples

柯西积分公式将在我们以后的工作中发挥如此重要的作用，值得看看它在一些具体情况下是如何工作的。特别是，在本节中，我们将通过一些显式计算来展示它如何应用于多项式。这些计算将涉及逐项积分一些无限级数。在我们将要讨论的案例中，详细地证明这个过程的合理性并不难。但这个理由将在稍后在更一般的背景下提出，所以目前我们将仅在形式基础上处理以下计算，而不用非常担心收敛性问题。

为了简化符号并使一切具体化，我们将只考虑围绕原点的单位圆的积分。所以定义C:[0,2圆周率]→C经过C(吨)=因⁡吨+一世罪⁡吨. 我们的第一个观察结果如下：
（1）∮CGķdG=0如果ķ∈从,ķ≠−1;
(2) ∮CG−1dG=2圆周率一世
实际上，我们在上一节通过计算证明了（2），不再赘述。但是我们在这里重复了结论，以与公式（1）进行对比。

为了证明 (1)，设置Fķ(G)=(1+ķ)−1Gķ+1， 为了ķ一个不等于的整数−1. 然后Fķ是全纯的C∖0. 根据提案 2.1.6，
0=Fķ(C(2圆周率))−Fķ(C(0))=∮C∂Fķ∂GdG=∮CGķdG.

这个论点类似于第 2.4 节中使用的论点。当然，（1）也可以通过显式计算建立：
∮CGķdG=∫02圆周率(因⁡吨+一世罪⁡吨)ķ⋅(−罪⁡吨+一世因⁡吨)d吨 =一世∫02圆周率(因⁡吨+一世罪⁡吨)ķ+1d吨.
如果ķ+1为正，则
(∗)=一世∫02圆周率[因⁡(ķ+1)吨+一世罪⁡(ķ+1)吨]d吨=0
这里我们使用了著名的 DeMoivre 公式：
(因⁡吨+一世罪⁡吨)n=因⁡(n吨)+一世罪⁡(n吨),
这很容易通过归纳证明n以及正弦和余弦的常用角度加法公式（第 1 章的练习 20）。
请注意
(因⁡吨+一世罪⁡吨)−1=因⁡吨−一世罪⁡吨
自从
(因⁡吨+一世罪⁡吨)⋅(因⁡吨−一世罪⁡吨)=因2⁡吨+罪2⁡吨=1. 
因此，如果ķ+1<0， 然后
∫02圆周率(因⁡吨+一世罪⁡吨)ķ+1d吨=∫02圆周率(因⁡吨−一世罪⁡吨)−(ķ+1)d吨 =∫02圆周率[因⁡(−(ķ+1)吨)−一世罪⁡(−(ķ+1)吨)]d吨 =0

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|An Introduction to the Cauchy Integral Theorem

对于许多目的，圆积分的柯西积分公式和矩形或圆盘区域的柯西积分定理就足够了。但是对于某些应用程序来说，更一般性是可取的。制定真正通用的版本需要相当大的努力，这将使我们（目前）远离我们想要追求的主要发展。稍后我们将给出这样的一般结果，但现在我们改为提出一个足以满足任何可能实际出现的特定情况（即，在人们可能遇到的证明或应用中）的过程。该过程可以很容易地用直观的术语来描述；并且，在任何具体情况下，将程序变成严格的证明都很简单。特别是，命题2.6.5将是两个同心圆之间区域的精确结果；这个结果将在以后大量使用。

首先，我们想稍微扩展我们执行线积分的曲线类别。

定义 2.6.1。一个分段的C1曲线C:[一种,b]→C,一种<b,一种,b∈R, 是一个连续函数，因此存在有限的数字集一种1≤一种2≤ ⋯≤一种ķ令人满意的一种1=一种和一种ķ=b并具有对每个1≤j≤ķ−1,C|[一种j,一种j+1]是一个C1曲线。像之前一样，C是分段的C1开放集中的曲线（带图像）在如果C([一种,b])⊆在.

直观地说，分段C1曲线是有限数量的C1在端点处连接在一起的曲线。在这样一条曲线上积分的自然方法是将每个曲线上的积分相加C1片。

定义 2.6.2。如果在⊆C是开放的并且C:[一种,b]→在是分段的C1曲线在在（使用定义 2.6.1 中的符号）并且如果F:在→C是一个连续的复值函数在， 然后
∮CF(和)d和≡∑j=1ķ∮C|[一种j,一种j+1∣F(和)d和,
在哪里一种1,一种2,…,一种ķ与“分段”的定义相同C1曲线。”n
为了使这个定义有意义，我们需要知道右边的和不依赖于一种j或ķ. 这种独立性确实成立，练习 33 要求您验证它。

它来自上一段中的注释以及第 3 节中的注释2.1关于曲线的参数化，该曲线在分段上的复线积分C1如果遍历的方向保持不变，则曲线的值与选择的曲线的任何参数化无关。这个（相当多余的）评论怎么强调都不过分。我们将这个断言的以下技术公式的证明留给您（参见练习 34）。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Real and Complex Line Integrals

In the previous chapter, we approached the question of finding a function with given partial derivatives by integrating along vertical and horizontal directions only. The fact that the horizontal derivative is $\partial / \partial x$ and the vertical derivative is $\partial / \partial y$ then made the computations in Section $1.5$ obvious. But the restriction to such integrals is geometrically unnatural. In this section we are going to develop an integration process along more general curves. It is in fact not a new method of integration at all but is the process of line integration which you learned in calculus. Our chief job here is to make it rigorous and to introduce notation that is convenient for complex analysis.

First, let us define the class of curves we shall consider. It is convenient to think of a curve as a (continuous) function $\gamma$ from a closed interval $[a, b] \subseteq \mathbb{R}$ into $\mathbb{R}^{2} \approx \mathbb{C}$. Although it is frequently convenient to refer to the geometrical object $\tilde{\gamma} \equiv{\gamma(t): t \in[a, b]}$, most of our analysis will be done with the function $\gamma$. It is often useful to write
$$
\gamma(t)=\left(\gamma_{1}(t), \gamma_{2}(t)\right) \quad \text { or } \quad \gamma(t)=\gamma_{1}(t)+i \gamma_{2}(t),
$$
depending on the context. The curve $\gamma$ is called closed if $\gamma(a)=\gamma(b)$. It is called simple closed if $\left.\gamma\right|_{[a, b)}$ is one-to-one and $\gamma(a)=\gamma(b)$. Intuitively, a simple closed curve is a curve with no self-intersections, except of course for the closing up at $t=a, t=b$.

In order to work effectively with $\gamma$, we need to impose on it some differentiability properties. Since $\gamma$ is defined on a closed interval, this requires a new definition.

Definition 2.1.1. A function $\phi:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ is called continuously differentiable (or $\left.C^{1}\right)$, and we write $\phi \in C^{1}([a, b])$, if
(a) $\phi$ is continuous on $[a, b]$
(b) $\phi^{\prime}$ exists on $(a, b)$;
(c) $\phi^{\prime}$ has a continuous extension to $[a, b]$.
In other words, we require that
$$
\lim {t \rightarrow a^{+}} \phi^{\prime}(t) \text { and } \lim {t \rightarrow b^{-}} \phi^{\prime}(t)
$$
both exist.
The motivation for the definition is that if $\phi \in C^{1}([a, b])$ and $\phi$ is realvalued, then
$$
\begin{aligned}
\phi(b)-\phi(a) &=\lim {\epsilon \rightarrow 0^{+}}(\phi(b-\epsilon)-\phi(a+\epsilon)) \ &=\lim {\epsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon} \phi^{\prime}(t) d t \
&=\int_{a}^{b} \phi^{\prime}(t) d t
\end{aligned}
$$
So the fundamental theorem of calculus holds for $\phi \in C^{1}([a, b])$.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Differentiability and Conformality

The goal of our work so far has been to develop a complex differential and integral calculus. We recall from ordinary calculus that when we differentiate functions on $\mathbb{R}^{2}$, we consider partial derivatives and directional derivatives, as well as a total derivative. It is a very nice byproduct of the field structure of $\mathbb{C}$ that we may now unify these ideas in the complex case.

First we need a suitable notion of limit. The definition is in complete analogy with the usual definition in calculus:

Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be open, $P \in U$, and $g: U \backslash{P} \rightarrow \mathbb{C}$ a function. We say that
$$
\lim _{z \rightarrow P} g(z)=\ell, \quad \ell \in \mathbb{C},
$$
if for any $\epsilon>0$ there is a $\delta>0$ such that when $z \in U$ and $0<|z-P|<\delta$, then $|g(z)-\ell|<\epsilon$.

In a similar fashion, if $f$ is a complex-valued function on an open set $U$ and $P \in U$, then we say that $f$ is continuous at $P$ if $\lim {z \rightarrow P} f(z)=f(P)$. Now let $f$ be a function on the open set $U$ in $\mathbb{C}$ and consider, in analogy with one variable calculus, the difference quotient $$ \frac{f(z)-f\left(z{0}\right)}{z-z_{0}}
$$
for $z_{0} \neq z \in U$. In case
$$
\lim {z \rightarrow z{0}} \frac{f(z)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}
$$
exists, then we say that $f$ has a complex derivative at $z_{0}$. We denote the complex derivative by $f^{\prime}\left(z_{0}\right)$. Observe that if $f$ has a complex derivative at $z_{0}$, then certainly $f$ is continuous at $z_{0}$.

The classical method of studying complex function theory is by means of the complex derivative. We take this opportunity to tie up the (well motivated) classical viewpoint with our present one.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Antiderivatives Revisited

It is our goal in this section to extend Theorems 1.5.1 and $1.5 .3$ to the situation where $f$ and $g$ (for Theorem 1.5.1) and $F$ (for Theorem 1.5.3) have isolated singularities. These rather technical results will be needed for our derivation of what is known as the Cauchy integral formula in the next section. In particular, we shall want to study the complex line integral of
$$
\frac{F(z)-F\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}
$$

when $F$ is holomorphic on $U$ and $z_{0} \in U$ is fixed. Such a function is certainly $C^{1}$ on $U \backslash\left{z_{0}\right}$. But it is a priori known only to be continuous on the entire set $U$ (if it is defined to equal $F^{\prime}\left(z_{0}\right)$ at $z_{0}$ ). We need to deal with this situation, and doing so is the motivation for the rather technical refinements of this section.
We begin with a lemma about functions on $\mathbb{R}$.
Lemma 2.3.1. Let $(\alpha, \beta) \subseteq \mathbb{R}$ be an open interval and let $H:(\alpha, \beta) \rightarrow \mathbb{R}$, $F:(\alpha, \beta) \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous functions. Let $p \in(\alpha, \beta)$ and suppose that $d H / d x$ exists and equals $F(x)$ for all $x \in(\alpha, \beta) \backslash{p}$. See Figure 2.2. Then $(d H / d x)(p)$ exists and $(d H / d x)(x)=F(x)$ for all $x \in(\alpha, \beta)$.

Proof. It is enough to prove the result on a compact subinterval $[a, b]$ of $(\alpha, \beta)$ that contains $p$ in its interior. Set
$$
K(x)=H(a)+\int_{a}^{x} F(t) d t
$$
Then $K^{\prime}(x)$ exists on all of $[a, b]$ and $K^{\prime}(x)=F(x)$ on both $[a, p)$ and $(p, b]$. Thus $K$ and $H$ differ by constants on each of these half open intervals. Since both functions are continuous on all of $[a, b]$, it follows that $K-H$ is constant on all of $[a, b]$. Since $(K-H)(a)=0$, it follows that $K \equiv H$.

Theorem 2.3.2. Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be either an open rectangle or an open disc and let $P \in U$. Let $f$ and $g$ be continuous, real-valued functions on $U$ which are continuously differentiable on $U \backslash{P}$ (note that no differentiability hypothesis is made at the point $P$ ). Suppose further that
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x} \quad \text { on } U \backslash{P}
$$
Then there exists a $C^{1}$ function $h: U \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
\frac{\partial h}{\partial x}=f, \quad \frac{\partial h}{\partial y}=g
$$
at every point of $U$ (including the point $P$ ).
Proof. As in the proof of Theorem 1.5.1, we fix a point $\left(a_{0}, b_{0}\right)=a_{0}+i b_{0} \in$ $U$ and define
$$
h(x, y)=\int_{a_{0}}^{x} f\left(t, b_{0}\right) d t+\int_{b_{0}}^{y} g(x, s) d s
$$

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Real and Complex Line Integrals

在上一章中，我们只通过沿垂直和水平方向积分来解决寻找具有给定偏导数的函数的问题。水平导数是∂/∂X垂直导数是∂/∂是然后在 Section 中进行计算1.5明显的。但是对这种积分的限制在几何上是不自然的。在本节中，我们将沿着更一般的曲线开发一个集成过程。它实际上根本不是一种新的积分方法，而是您在微积分中学到的线积分过程。我们在这里的主要工作是使其严谨并引入便于复杂分析的符号。

首先，让我们定义我们要考虑的曲线类别。将曲线视为（连续）函数很方便C从闭区间[一种,b]⊆R进入R2≈C. 尽管参考几何对象通常很方便C~≡C(吨):吨∈[一种,b], 我们的大部分分析将使用函数完成C. 写作通常很有用
C(吨)=(C1(吨),C2(吨)) 或者 C(吨)=C1(吨)+一世C2(吨),
取决于上下文。曲线C被称为关闭如果C(一种)=C(b). 它被称为简单封闭如果C|[一种,b)是一对一的并且C(一种)=C(b). 直观地说，一条简单的闭合曲线是一条没有自相交的曲线，当然除了在吨=一种,吨=b.

为了有效地与C，我们需要对其施加一些可微性属性。自从C是在闭合区间上定义的，这需要一个新的定义。

定义 2.1.1。一个函数φ:[一种,b]→R称为连续可微（或C1)，我们写φ∈C1([一种,b]), 如果
(a)φ是连续的[一种,b]
(二)φ′存在于(一种,b);
（C）φ′有一个连续的延伸到[一种,b].
换句话说，我们要求
林吨→一种+φ′(吨) 和 林吨→b−φ′(吨)
两者都存在。
定义的动机是，如果φ∈C1([一种,b])和φ是实值的，那么
φ(b)−φ(一种)=林ε→0+(φ(b−ε)−φ(一种+ε)) =林ε→0+∫一种+εb−εφ′(吨)d吨 =∫一种bφ′(吨)d吨
所以微积分基本定理成立φ∈C1([一种,b]).

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Differentiability and Conformality

到目前为止，我们工作的目标是开发复杂的微积分和微积分。我们从普通微积分中回忆起，当我们在R2，我们考虑偏导数和方向导数，以及全导数。它是字段结构的一个非常好的副产品C我们现在可以在复杂的情况下统一这些想法。

首先，我们需要一个合适的极限概念。该定义与微积分中的通常定义完全类比：

让在⊆C开放，磷∈在， 和G:在∖磷→C一个函数。我们说
林和→磷G(和)=ℓ,ℓ∈C,
如果有的话ε>0有一个d>0这样当和∈在和0<|和−磷|<d， 然后|G(和)−ℓ|<ε.

以类似的方式，如果F是开集上的复值函数在和磷∈在，那么我们说F是连续的磷如果林和→磷F(和)=F(磷). 现在让F是开集上的一个函数在在C并考虑，类似于一个变量演算，差商F(和)−F(和0)和−和0
为了和0≠和∈在. 如果
林和→和0F(和)−F(和0)和−和0
存在，那么我们说F在处有一个复导数和0. 我们将复数导数表示为F′(和0). 观察如果F在处有一个复导数和0, 那么当然F是连续的和0.

研究复函数理论的经典方法是借助复导数。我们借此机会将（动机良好的）古典观点与我们目前的观点联系起来。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Antiderivatives Revisited

本节的目标是扩展定理 1.5.1 和1.5.3到这种情况F和G（对于定理 1.5.1）和F（对于定理 1.5.3）具有孤立的奇点。我们在下一节推导所谓的柯西积分公式将需要这些相当技术性的结果。特别是，我们将要研究的复线积分
F(和)−F(和0)和−和0

什么时候F是全纯的在和和0∈在是固定的。这样的功能肯定是C1在U \backslash\left{z_{0}\right}U \backslash\left{z_{0}\right}. 但它是先验已知的，仅在整个集合上是连续的在（如果它被定义为等于F′(和0)在和0）。我们需要处理这种情况，这样做是本节进行相当技术性改进的动机。
我们从关于函数的引理开始R.
引理 2.3.1。让(一种,b)⊆R是一个开区间并且让H:(一种,b)→R, F:(一种,b)→R是连续函数。让p∈(一种,b)并假设dH/dX存在且等于F(X)对全部X∈(一种,b)∖p. 请参见图 2.2。然后(dH/dX)(p)存在并且(dH/dX)(X)=F(X)对全部X∈(一种,b).

证明。证明紧凑子区间上的结果就足够了[一种,b]的(一种,b)包含p在它的内部。放
ķ(X)=H(一种)+∫一种XF(吨)d吨
然后ķ′(X)存在于所有[一种,b]和ķ′(X)=F(X)双方[一种,p)和(p,b]. 因此ķ和H每个半开区间的常数不同。由于这两个函数在所有[一种,b]， 它遵循ķ−H对所有都是恒定的[一种,b]. 自从(ķ−H)(一种)=0， 它遵循ķ≡H.

定理 2.3.2。让在⊆C是一个开放的矩形或开放的圆盘，让磷∈在. 让F和G是连续的实值函数在是连续可微的在∖磷（请注意，此时没有做出可微性假设磷）。进一步假设
∂F∂是=∂G∂X 在 在∖磷
那么存在一个C1功能H:在→R这样
∂H∂X=F,∂H∂是=G
在每一点在（包括点磷）。
证明。正如在定理 1.5.1 的证明中，我们固定一个点(一种0,b0)=一种0+一世b0∈ 在并定义
H(X,是)=∫一种0XF(吨,b0)d吨+∫b0是G(X,s)ds

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Equations, and Harmonic Functions

Functions $f$ which satisfy $(\partial / \partial \bar{z}) f \equiv 0$ are the main concern of complex analysis. We make a precise definition:

Definition 1.4.1. A continuously differentiable $\left(C^{1}\right)$ function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ defined on an open subset $U$ of $\mathbb{C}$ is said to be holomorphic if
$$
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0
$$
at every point of $U$.
Remark: Some books use the word “analytic” instead of “holomorphic.” Still others say “differentiable” or “complex differentiable” instead of “holomorphic.” The use of “analytic” derives from the fact that a holomorphic function has a local power series expansion about each point of its domain. The use of “differentiable” derives from properties related to the CauchyRiemann equations and conformality. These pieces of terminology, and their significance, will all be sorted out as the book develops.

If $f$ is any complex-valued function, then we may write $f=u+i v$, where $u$ and $v$ are real-valued functions. For example,
$$
z^{2}=\left(x^{2}-y^{2}\right)+i(2 x y)
$$
in this example $u=x^{2}-y^{2}$ and $v=2 x y$. The following lemma reformulates Definition $1.4 .1$ in terms of the real and imaginary parts of $f$ :

Lemma 1.4.2. A continuously differentiable function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ defined on an open subset $U$ of $\mathbb{C}$ is holomorphic if, writing $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$, with $z=x+i y$ and real-valued functions $u$ and $v$, we have that $u$ and $v$ satisfy the equations
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$
at every point of $U$.
Proof. The assertion follows immediately from the definition of holomorphic function and the formula
$$
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{i}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)
$$
The equations
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$
are called the Cauchy-Riemann equations. The proof of the following easy result is left as an exercise for you:

Proposition 1.4.3. If $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is $C^{1}$ and if $f$ satisfies the CauchyRiemann equations, then
$$
\frac{\partial f}{\partial z} \equiv \frac{\partial f}{\partial x} \equiv-i \frac{\partial f}{\partial y}
$$
on $U$.
The Cauchy-Riemann equations suggest a further line of investigation which is of considerable importance. Namely, suppose that $u$ and $v$ are $C^{2}$ functions which satisfy the Cauchy-Riemann equations. Then
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)
$$
and
$$
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)
$$
Exploiting the standard theorem on the equality of mixed partial derivatives $\left(\right.$ that $\left.\partial^{2} v / \partial x \partial y=\partial^{2} v / \partial y \partial x\right)$, we obtain
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$
A similar calculation shows that
$$
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=0
$$
You should check this last equation as an exercise.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Real and Holomorphic Antiderivatives

In this section we want to treat in greater generality the question of whether a real-valued harmonic function $u$ is the real part of a holomorphic function $F$. Notice that if we write $F=u+i v$, then the Cauchy-Riemann equations say that
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \
&\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}
\end{aligned}
$$
In short, once $u$ is given, then $\partial v / \partial x$ and $\partial v / \partial y$ are completely determined. These in turn determine $v$ up to an additive constant. Thus determining the existence of $v$ (and hence of $F$ ) amounts to solving a familiar problem of multivariable calculus: Given two functions $f$ and $g$ (in this case $-\partial u / \partial y$ and $\partial u / \partial x$, respectively), can we find a function $v$ such that $\partial v / \partial x=f$ and $\partial v / \partial y=g$ ?

A partial solution to this problem is given by the following theorem. We shall see later that the practice, begun in this theorem, of restricting consideration to functions defined on rectangles is not simply a convenience. In fact, the next theorem would actually be false if we considered functions defined on arbitrary open sets in $\mathbb{C}$ (see Exercise 52 ).
Theorem 1.5.1. If $f, g$ are $C^{1}$ functions on the rectangle
$$
\mathcal{R}=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:|x-a|<\delta,|y-b|<\epsilon\right}
$$
and if
$$
\frac{\partial f}{\partial y} \equiv \frac{\partial g}{\partial x} \quad \text { on } \mathcal{R}
$$
then there is a function $h \in C^{2}(\mathcal{R})$ such that
$$
\frac{\partial h}{\partial x} \equiv f \quad \text { and } \quad \frac{\partial h}{\partial y} \equiv g
$$
on $\mathcal{R}$. If $f$ and $g$ are real-valued, then we may take $h$ to be real-valued also.
Proof. For $(x, y) \in \mathcal{R}$, set
$$
h(x, y)=\int_{a}^{x} f(t, b) d t+\int_{b}^{y} g(x, s) d s .
$$
By the fundamental theorem of calculus,
$$
\frac{\partial h}{\partial y}(x, y)=g(x, y)
$$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|This is half of our resul

This is half of our result. To calculate $\partial h / \partial x$, notice that, by the fundamental theorem of calculus,
$$
\frac{\partial}{\partial x} \int_{a}^{x} f(t, b) d t=f(x, b) .
$$
Moreover, since $g$ is $C^{1}$, the theorem on differentiation under the integral sign (see Appendix A) guarantees that
$$
\frac{\partial}{\partial x} \int_{b}^{y} g(x, s) d s=\int_{b}^{y} \frac{\partial}{\partial x} g(x, s) d s,
$$
which by (1.5.1.1)
$$
\begin{aligned}
&=\int_{b}^{y} \frac{\partial}{\partial y} f(x, s) d s \
&=f(x, y)-f(x, b)
\end{aligned}
$$
(by the fundamental theorem of calculus). Now (1.5.1.2)-(1.5.1.4) give that $\partial h / \partial x=f$. Since
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial h}{\partial x}=f \in C^{1}(\mathcal{R}) \
&\frac{\partial h}{\partial y}=g \in C^{1}(\mathcal{R})
\end{aligned}
$$
we see that $h \in C^{2}(\mathcal{R})$. It is clear from (1.5.1.2) that $h$ is real-valued if $f$ and $g$ are.

It is worth noting that, while we constructed $h$ using integrals beginning at $(a, b)$ (the coordinates of the center of the square), we could have used any $\left(a_{0}, b_{0}\right) \in \mathcal{R}$ as our base point. This changes $h$ only by an additive constant. Note also that Theorem $1.5 .1$ holds for $\mathcal{R}$ an open disc: The only special property needed for the proof is that for some fixed point $P_{0} \in \mathcal{R}$ and for any point $Q \in \mathcal{R}$ the horizontal-vertical path from $P_{0}$ to $Q$ lies in $\mathcal{R}$. This property holds for the disc if we choose $P_{0}$ to be the center.

Corollary 1.5.2. If $\mathcal{R}$ is an open rectangle (or open disc) and if $u$ is a real-valued harmonic function on $\mathcal{R}$, then there is a holomorphic function $F$ on $\mathcal{R}$ such that $\operatorname{Re} F=u$.
Proof. Notice that
$$
f=-\frac{\partial u}{\partial y}, \quad g=\frac{\partial u}{\partial x}
$$
satisfy
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x} \quad \text { on } \mathcal{R}
$$

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Equations, and Harmonic Functions

职能F满足(∂/∂和¯)F≡0是复分析的主要关注点。我们做一个准确的定义：

定义 1.4.1。连续可微(C1)功能F:在→C在开放子集上定义在的C据说是全纯的，如果
∂F∂和¯=0
在每一点在.
备注：有些书使用“分析”一词而不是“全纯”。还有一些人说“可微”或“复可微”而不是“全纯”。“解析”的使用源于这样一个事实，即全纯函数在其域的每个点上都有一个局部幂级数展开。“可微分”的使用源于与 CauchyRiemann 方程和保形性相关的属性。随着本书的发展，这些术语及其意义都将被整理出来。

如果F是任何复值函数，那么我们可以写F=在+一世在， 在哪里在和在是实值函数。例如，
和2=(X2−是2)+一世(2X是)
在这个例子中在=X2−是2和在=2X是. 以下引理重新表述了定义1.4.1就实部和虚部而言F :

引理 1.4.2。连续可微函数F:在→C在开放子集上定义在的C是全纯的，如果，写作F(和)=在(X,是)+一世在(X,是)， 和和=X+一世是和实值函数在和在, 我们有在和在满足方程
∂在∂X=∂在∂是 和 ∂在∂是=−∂在∂X
在每一点在.
证明。断言直接来自全纯函数的定义和公式
∂F∂和¯=12(∂在∂X−∂在∂是)+一世2(∂在∂X+∂在∂是)
方程
∂在∂X=∂在∂是 和 ∂在∂是=−∂在∂X
称为柯西-黎曼方程。以下简单结果的证明留给您作为练习：

命题 1.4.3。如果F:在→C是C1而如果F满足 CauchyRiemann 方程，则
∂F∂和≡∂F∂X≡−一世∂F∂是
在在.
Cauchy-Riemann 方程提出了一个相当重要的进一步研究方向。即，假设在和在是C2满足 Cauchy-Riemann 方程的函数。然后
∂∂X(∂在∂X)=∂∂X(∂在∂是)
和
∂∂是(∂在∂是)=−∂∂是(∂在∂X)
利用混合偏导数等式的标准定理(那∂2在/∂X∂是=∂2在/∂是∂X)， 我们获得
∂2在∂X2+∂2在∂是2=0
类似的计算表明
∂2在∂X2+∂2在∂是2=0
您应该检查最后一个等式作为练习。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Real and Holomorphic Antiderivatives

在本节中，我们要更一般地处理实值调和函数是否在是全纯函数的实部F. 请注意，如果我们写F=在+一世在, 那么柯西-黎曼方程说
∂在∂X=−∂在∂是 ∂在∂是=∂在∂X
简而言之，一次在给出，那么∂在/∂X和∂在/∂是是完全确定的。这些反过来决定在直到一个附加常数。从而确定存在在（因此F) 相当于解决了一个熟悉的多变量微积分问题：给定两个函数F和G（在这种情况下−∂在/∂是和∂在/∂X，分别），我们能找到一个函数在这样∂在/∂X=F和∂在/∂是=G ?

下面的定理给出了这个问题的部分解决方案。稍后我们将看到，从这个定理开始的将考虑限制在矩形上定义的函数的实践不仅仅是一种方便。事实上，如果我们考虑定义在任意开集上的函数，下一个定理实际上是错误的C（见习题 52）。
定理 1.5.1。如果F,G是C1矩形上的函数
\mathcal{R}=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:|xa|<\delta,|yb|<\epsilon\right}\mathcal{R}=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:|xa|<\delta,|yb|<\epsilon\right}
而如果
∂F∂是≡∂G∂X 在 R
然后有一个功能H∈C2(R)这样
∂H∂X≡F 和 ∂H∂是≡G
在R. 如果F和G是实值的，那么我们可以取H也被实值估价。
证明。为了(X,是)∈R， 放
H(X,是)=∫一种XF(吨,b)d吨+∫b是G(X,s)ds.
根据微积分基本定理，
∂H∂是(X,是)=G(X,是)

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|This is half of our resul

这是我们结果的一半。计算∂H/∂X，请注意，根据微积分基本定理，
∂∂X∫一种XF(吨,b)d吨=F(X,b).
此外，由于G是C1, 积分符号下的微分定理（见附录 A）保证
∂∂X∫b是G(X,s)ds=∫b是∂∂XG(X,s)ds,
由（1.5.1.1）
=∫b是∂∂是F(X,s)ds =F(X,是)−F(X,b)
（由微积分基本定理）。现在 (1.5.1.2)-(1.5.1.4) 给出∂H/∂X=F. 自从
∂H∂X=F∈C1(R) ∂H∂是=G∈C1(R)
我们看到H∈C2(R). 从 (1.5.1.2) 可以清楚地看出H是实值的，如果F和G是。

值得注意的是，虽然我们构建H使用从开始的积分(一种,b)（正方形中心的坐标），我们可以使用任何(一种0,b0)∈R作为我们的基点。这改变了H仅由一个附加常数。还要注意定理1.5.1为R一个开圆盘：证明所需的唯一特殊性质是对于某个不动点磷0∈R对于任何一点问∈R从水平垂直路径磷0到问在于R. 如果我们选择，此属性适用于光盘磷0成为中心。

推论 1.5.2。如果R是一个开放的矩形（或开放的圆盘），如果在是一个实值调和函数R, 那么有一个全纯函数F在R这样关于⁡F=在.
证明。请注意
F=−∂在∂是,G=∂在∂X
满足
∂F∂是=∂G∂X 在 R

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Elementary Properties of the Complex Numbers

We take for granted the real numbers, which will be denoted by the symbol $\mathbb{R}$. Then we set $\mathbb{R}^{2}={(x, y): x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}}$. The complex numbers $\mathbb{C}$ consist of $\mathbb{R}^{2}$ equipped with some special algebraic operations. Namely, one defines
$$
\begin{aligned}
(x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) &=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right) \
(x, y) \cdot\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) &=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}, x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
\end{aligned}
$$
You can check for yourself that these operations of $+$ and $\cdot$ are commutative and associative.

It is both conventional and convenient to denote $(1,0)$ by 1 and $(0,1)$ by $i$. We also adopt the convention that, if $\alpha \in \mathbb{R}$, then
$$
\alpha \cdot(x, y)=(\alpha, 0) \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y) .
$$
Then every complex number $(x, y)$ can be written in one and only one way in the form $x \cdot 1+y \cdot i$ with $x, y \in \mathbb{R}$. We usually write the number even more succinctly as $x+i y$. Then our laws of addition and multiplication become
$$
\begin{aligned}
(x+i y)+\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) &=\left(x+x^{\prime}\right)+i\left(y+y^{\prime}\right), \
(x+i y) \cdot\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) &=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}\right)+i\left(x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
\end{aligned}
$$
Observe that $i \cdot i=-1$. Moreover, our multiplication law is consistent with the real multiplication introduced in line $(*)$.

The symbols $z, w, \zeta$ are frequently used to denote complex numbers. Unless it is explicitly stated otherwise, we always take $z=x+i y, w=$ $u+i v, \zeta=\xi+i \eta$. The real number $x$ is called the real part of $z$ and is

written $x=\operatorname{Re} z$. Likewise $y$ is called the imaginary part of $z$ and is written $y=\operatorname{Im} z$.

The complex number $x-i y$ is by definition the conjugate of the complex number $x+i y$. We denote the conjugate of a complex number $z$ by the symbol $\bar{z}$. So if $z=x+i y$, then $\bar{z}=x-i y$.

Notice that $z+\bar{z}=2 x, z-\bar{z}=2 i y$. You should verify for yourself that
$$
\begin{aligned}
\overline{z+w} &=\bar{z}+\bar{w} \
\overline{z \cdot w} &=\bar{z} \cdot \bar{w}
\end{aligned}
$$
A complex number is real (has no imaginary part) if and only if $z=\bar{z}$. It is imaginary (has zero real part) if $z=-\bar{z}$.

The ordinary Euclidean distance of $(x, y)$ to $(0,0)$ is $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. We also call this number the modulus (or absolute value) of the complex number $z=x+i y$, and we write $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Notice that
$$
z \cdot \bar{z}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2} .
$$
You should check for yourself that the distance from $z$ to $w$ is $|z-w|$. Verify also that $|z \cdot w|=|z| \cdot|w|$ (square both sides). Also $|\operatorname{Re} z| \leq|z|$ and $|\operatorname{Im} z| \leq|z|$.

Let $0=0+i 0$. If $z \in \mathbb{C}$, then $z+0=z$. Also, letting $-z=-x-i y$, we notice that $z+(-z)=0$. So every complex number has anditive inverse.
Since $1=1+i 0$, it follows that $1 \cdot z=z \cdot 1=z$ for every complex number $z$. If $|z| \neq 0$, then $|z|^{2} \neq 0$ and
$$
z \cdot \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{|z|^{2}}{|z|^{2}}=1 .
$$
So every nonzero complex number has a multiplicative inverse. It is natural to define $1 / z$ to be the multiplicative inverse $\bar{z} /|z|^{2}$ of $z$ and, more generally, to define
$$
\frac{z}{w}=z \cdot \frac{1}{w}=\frac{z \bar{w}}{|w|^{2}} \quad \text { for } w \neq 0 .
$$
You can also see that $\overline{z / w}=\bar{z} / \bar{w}$.
Observe now that multiplication and addition satisfy the usual distributive, associative, and commutative (as previously noted) laws. So $\mathbb{C}$ is a field. It follows from general properties of fields, or you can just check directly, that every complex number has a unique additive inverse and every nonzero complex number has a unique multiplicative inverse. Also $\mathbb{C}$ contains a copy of the real numbers in an obvious way:
$$
\mathbb{R} \ni x \mapsto x+i 0 \in \mathbb{C} .
$$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Further Properties of the Complex Numbers

We first consider the complex exponential, which we define as follows:
(1) If $z=x$ is real, then
$$
e^{z}=e^{x} \equiv \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j !}
$$
as in calculus.
(2) If $z=i y$ is pure imaginary, then
$$
e^{z}=e^{i y} \equiv \cos y+i \sin y
$$
(3) If $z=x+i y$, then
$$
e^{z}=e^{x+i y} \equiv e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y)
$$
Parts (2) and (3) of the definition, due to Euler, may seem somewhat arbitrary. We shall now show, using power series, that these definitions are

perfectly natural. We shall wait until Section $3.2$ to give a careful presentation of the theory of complex power series. So the power series arguments that we are about to present should be considered purely formal and given primarily for motivation.
Since, as was noted in (1), we have
$$
e^{x}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j !}
$$
then it is natural to attempt to define
$$
e^{z}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{z^{j}}{j !} .
$$
If we assume that this series converges in some reasonable sense and that it can be manipulated like the real power series with which we are familiar, then we can proceed as follows:
If $z=i y, y \in \mathbb{R}$, then
$$
\begin{aligned}
e^{i y}=& \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(i y)^{j}}{j !} \
=& 1+i y-\frac{y^{2}}{2 !}-\frac{i y^{3}}{3 !}+\frac{y^{4}}{4 !} \
\quad & \quad+\frac{i y^{5}}{5 !}-\frac{y^{6}}{6 !}-\frac{i y^{7}}{7 !}+\frac{y^{8}}{8 !}+\cdots \
=&\left(1-\frac{y^{2}}{2 !}+\frac{y^{4}}{4 !}-\frac{y^{6}}{6 !}+\frac{y^{8}}{8 !}-\cdots\right) \
=& \quad \cos y+i \sin y
\end{aligned}
$$
By formal manipulation of series, it is now easily checked, using the definition (*), that
$$
e^{a+b}=e^{a} e^{b}, \quad \text { any } a, b \in \mathbb{C} .
$$
Then for $z=x+i y$ we have
$$
\begin{aligned}
e^{z} &=e^{x+i y}=e^{x} e^{i y} \
&=e^{x}(\cos y+i \sin y)
\end{aligned}
$$
giving thus a formal “demonstration” of our definition of exponential.
To stress that there is no circular reasoning involved here, we reiterate that the definition of the complex exponential is that, for $z=x+i y$,
$$
e^{z}=e^{x}(\cos y+i \sin y) .
$$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Polynomials

In the calculus of real variables, polynomials are the simplest nontrivial functions. The purpose of this section is to consider complex-valued polynomials of a complex variable, with the idea of seeing what new features appear. Later we shall use the discussion as motivation for considering more general functions.

There are several slightly different ways of looking at polynomials from the complex viewpoint. One way is to consider polynomials in $x$ and $y$, $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, with complex coefficients: for example, $(2+i) x y+3 i y^{2}+5 x^{2}$. Such polynomials give functions from $\mathbb{R}^{2}$ to $\mathbb{C}$, which we could equally well think of as functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$, with $(x, y)$ determined by $z=x+$ iy. Another kind of polynomial that we can consider is complex-coefficient polynomials in the complex variable $z$, for example, $i+(3+i) z+5 z^{2}$. These also give functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$. A polynomial in $z$ gives rise naturally to a polynomial in $x$ and $y$ by substituting $z=x+i y$ and expanding. For instance
$$
\begin{aligned}
i+(3+i) z+5 z^{2} &=i+(3+i)(x+i y)+5(x+i y)^{2} \
&=i+3 x-y+i x+3 i y+5 x^{2}+10 i x y-5 y^{2} \
&=i+(3+i) x+(3 i-1) y+5 x^{2}+(10 i) x y-5 y^{2}
\end{aligned}
$$
It is an important and somewhat surprising fact that the converse of this expansion process does not always work: there are many polynomials in $x$ and $y$ that cannot be written as polynomials in $z$. Let us consider a specific simple example: the polynomial $x$ itself. If it were true that
$$
x=P(z)=P(x+i y)
$$
for some polynomial $P(z)$ in $z$, then $P$ would have to be of first degree. But a first degree polynomial $a z+b=a x+i a y+b$ cannot be identically equal to $x$, no matter how we choose $a$ and $b$ in $\mathbb{C}$ (see Exercise 35 ). What is really going on here?

One way to write a polynomial in $x$ and $y$ in complex notation is to use the substitutions
$$
x=\frac{z+\bar{z}}{2}, y=\frac{z-\bar{z}}{2 i},
$$
where $\bar{z}=x-i y$ as in Section 1.1. The point of the previous paragraph is that, when a polynomial in $x, y$ is converted to the $z, \bar{z}$ notation, then there will usually be some $\bar{z}$ ‘s in the resulting expression, and these $\bar{z}$ ‘s may not cancel out.
For example,
$$
x^{2}+y^{2}=\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\right)^{2}
$$

$$
\begin{aligned}
&=\frac{z^{2}}{4}+\frac{z \bar{z}}{2}+\frac{\bar{z}^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{4}+\frac{z \bar{z}}{2}-\frac{\bar{z}^{2}}{4} \
&=z \cdot \bar{z}
\end{aligned}
$$
You can check for yourself that there is no polynomial expression in $z$, without any $\bar{z}$ ‘s, that equals $x^{2}+y^{2}$ : the occurrence of $\bar{z}$ is required.
Of course, sometimes one can be lucky and there will not be any $\bar{z}$ ‘s:
$$
\begin{aligned}
x^{2}-y^{2}+2 i x y &=\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\right)^{2}+2 i\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)\left(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\right) \
&=\frac{z^{2}}{4}+\frac{z \bar{z}}{2}+\frac{\bar{z}^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{4}-\frac{z \bar{z}}{2}+\frac{\bar{z}^{2}}{4}+\frac{2 i\left(z^{2}-\bar{z}^{2}\right)}{2 \cdot 2 i} \
&=z^{2} .
\end{aligned}
$$
In this example, all the $\bar{z}$ terms cancel out.

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Elementary Properties of the Complex Numbers

我们认为实数是理所当然的，用符号表示R. 然后我们设置R2=(X,是):X∈R,是∈R. 复数C包括R2配备了一些特殊的代数运算。即，一个定义
(X,是)+(X′,是′)=(X+X′,是+是′) (X,是)⋅(X′,是′)=(XX′−是是′,X是′+是X′).
你可以自己检查一下这些操作+和⋅是可交换的和关联的。

它既传统又方便表示(1,0)由 1 和(0,1)经过一世. 我们还通过约定，如果一种∈R， 然后
一种⋅(X,是)=(一种,0)⋅(X,是)=(一种X,一种是).
然后每个复数(X,是)可以用一种且只有一种方式写成形式X⋅1+是⋅一世和X,是∈R. 我们通常把这个数字写得更简洁X+一世是. 那么我们的加法和乘法定律就变成了
(X+一世是)+(X′+一世是′)=(X+X′)+一世(是+是′), (X+一世是)⋅(X′+一世是′)=(XX′−是是′)+一世(X是′+是X′).
请注意一世⋅一世=−1. 此外，我们的乘法定律与行中引入的实数乘法一致(∗).

符号和,在,G常用于表示复数。除非另有明确说明，否则我们总是取和=X+一世是,在= 在+一世在,G=X+一世这. 真实数字X被称为实部和并且是

书面X=关于⁡和. 同样地是被称为虚部和并写成是=在里面⁡和.

复数X−一世是根据定义是复数的共轭X+一世是. 我们表示复数的共轭和按符号和¯. 因此，如果和=X+一世是， 然后和¯=X−一世是.

请注意和+和¯=2X,和−和¯=2一世是. 你应该自己验证
和+在¯=和¯+在¯ 和⋅在¯=和¯⋅在¯
复数是实数（没有虚部）当且仅当和=和¯. 如果是虚数（实部为零）和=−和¯.

的普通欧几里得距离(X,是)到(0,0)是X2+是2. 我们也称这个数为复数的模数（或绝对值）和=X+一世是，我们写|和|=X2+是2. 请注意
和⋅和¯=X2+是2=|和|2.
你应该自己检查距离和到在是|和−在|. 还要验证|和⋅在|=|和|⋅|在|（两边正方形）。还|关于⁡和|≤|和|和|在里面⁡和|≤|和|.

让0=0+一世0. 如果和∈C， 然后和+0=和. 还有，让−和=−X−一世是，我们注意到和+(−和)=0. 所以每个复数都有与逆。
自从1=1+一世0， 它遵循1⋅和=和⋅1=和对于每个复数和. 如果|和|≠0， 然后|和|2≠0和
和⋅和¯|和|2=|和|2|和|2=1.
所以每个非零复数都有一个乘法逆元。定义很自然1/和成为乘法逆元和¯/|和|2的和并且，更一般地，定义
和在=和⋅1在=和在¯|在|2 为了 在≠0.
你也可以看到和/在¯=和¯/在¯.
现在观察乘法和加法满足通常的分配、结合和交换（如前所述）定律。所以C是一个字段。它来自域的一般属性，或者您可以直接检查，每个复数都有一个唯一的加法逆，每个非零复数都有一个唯一的乘法逆。还C以明显的方式包含实数的副本：
R∋X↦X+一世0∈C.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Further Properties of the Complex Numbers

我们首先考虑复指数，我们定义如下：
(1) 如果和=X是真实的，那么
和和=和X≡∑j=0∞Xjj!
就像在微积分中一样。
(2) 如果和=一世是是纯虚数，那么
和和=和一世是≡因⁡是+一世罪⁡是
(3) 如果和=X+一世是， 然后
和和=和X+一世是≡和X⋅(因⁡是+一世罪⁡是)
由于欧拉，定义的第 (2) 和 (3) 部分似乎有些武断。我们现在将使用幂级数证明这些定义是

完全自然。我们将等到第3.2详细介绍复幂级数理论。因此，我们将要介绍的幂级数论证应该被认为是纯粹形式的，主要是为了动机。
因为，如（1）中所述，我们有
和X=∑j=0∞Xjj!
那么很自然地尝试定义
和和=∑j=0∞和jj!.
如果我们假设这个级数在某种合理的意义上是收敛的，并且可以像我们熟悉的真实幂级数一样操纵它，那么我们可以进行如下操作：
如果和=一世是,是∈R， 然后
和一世是=∑j=0∞(一世是)jj! =1+一世是−是22!−一世是33!+是44! +一世是55!−是66!−一世是77!+是88!+⋯ =(1−是22!+是44!−是66!+是88!−⋯) =因⁡是+一世罪⁡是
通过对系列的正式操作，现在可以使用定义 (*) 轻松检查，即
和一种+b=和一种和b, 任何 一种,b∈C.
那么对于和=X+一世是我们有
和和=和X+一世是=和X和一世是 =和X(因⁡是+一世罪⁡是)
因此给出了我们对指数定义的正式“证明”。
为了强调这里不涉及循环推理，我们重申复指数的定义是，对于和=X+一世是,
和和=和X(因⁡是+一世罪⁡是).

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Polynomials

在实变量的微积分中，多项式是最简单的非平凡函数。本节的目的是考虑复变量的复值多项式，以了解出现了哪些新特征。稍后我们将使用讨论作为考虑更一般功能的动机。

从复数的角度来看多项式有几种略有不同的方法。一种方法是考虑多项式X和是, (X,是)∈R2，具有复系数：例如，(2+一世)X是+3一世是2+5X2. 这样的多项式给出的函数来自R2到C，我们同样可以将其视为来自的函数C到C， 和(X,是)取决于和=X+我。我们可以考虑的另一种多项式是复变量中的复系数多项式和， 例如，一世+(3+一世)和+5和2. 这些也给出了函数C到C. 多项式在和自然产生多项式X和是通过替换和=X+一世是和扩大。例如
一世+(3+一世)和+5和2=一世+(3+一世)(X+一世是)+5(X+一世是)2 =一世+3X−是+一世X+3一世是+5X2+10一世X是−5是2 =一世+(3+一世)X+(3一世−1)是+5X2+(10一世)X是−5是2
一个重要且有点令人惊讶的事实是，这个展开过程的逆过程并不总是有效：在X和是不能写成多项式和. 让我们考虑一个具体的简单示例：多项式X本身。如果这是真的
X=磷(和)=磷(X+一世是)
对于一些多项式磷(和)在和， 然后磷必须是一级。但是一阶多项式一种和+b=一种X+一世一种是+b不能完全等于X，无论我们如何选择一种和b在C（见习题 35）。这里到底发生了什么？

写多项式的一种方法X和是在复杂的符号是使用替换
X=和+和¯2,是=和−和¯2一世,
在哪里和¯=X−一世是如第 1.1 节所述。上一段的要点是，当多项式在X,是被转换为和,和¯符号，那么通常会有一些和¯’s 在结果表达式中，而这些和¯的可能不会取消。
例如，
X2+是2=(和+和¯2)2+(和−和¯2一世)2=和24+和和¯2+和¯24−和24+和和¯2−和¯24 =和⋅和¯
您可以自己检查是否没有多项式表达式和, 没有任何和¯的，这等于X2+是2: 的发生和¯是必须的。
当然，有时一个人可能很幸运，但不会有任何和¯的：
X2−是2+2一世X是=(和+和¯2)2−(和−和¯2一世)2+2一世(和+和¯2)(和−和¯2一世) =和24+和和¯2+和¯24+和24−和和¯2+和¯24+2一世(和2−和¯2)2⋅2一世 =和2.
在这个例子中，所有和¯条款取消。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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