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在数学中，几何度量理论（GMT）是通过度量理论研究集合（通常在欧几里得空间）的几何属性。它允许数学家将微分几何中的工具扩展到更大的一类不一定光滑的表面。

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数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Borel regular measures

The $\sigma$-algebra of the $\mu$-measurable sets with respect to a Borel measure $\mu$ may strictly contain the family of Borel sets. Therefore, knowing a Borel measure on the family of Borel sets may return only a partial description of the measure itself. We say that a Borel measure $\mu$ is regular if for every $F \subset \mathbb{R}^n$ there exists a Borel set $E$ such that
$$
F \subset E, \quad \mu(E)=\mu(F) .
$$
Thus, a regular Borel measure is completely determined by its values on Borel sets. It turns out that the most relevant examples of Borel measures are regular.
Example 2.4 The Lebesgue measure $\mathcal{L}^n$ and the Hausdorff measure $\mathcal{H}^s(s>$ 0 ) are Borel regular measures on $\mathbb{R}^n$. Let us prove the Borel regularity of $\mathcal{H}^s$ (the proof is analogous in the case of $\mathcal{L}^n$ ). By Exercise 1.3, given $E \subset \mathbb{R}^n$ and $k \in \mathbb{N}$ we can find a countable covering $\mathcal{F}k$ of $E$ by closed sets with diameter bounded by $k^{-1}$ such that $$ \omega_s \sum{F \in \mathcal{F}k}\left(\frac{\operatorname{diam}(F)}{2}\right)^s \leq \mathcal{H}{1 / k}^s(E)+\frac{1}{k} .
$$
Since elements of $\mathcal{F}k$ are closed, the set $G=\bigcap{k \in \mathbb{N}} \bigcup_{F \in \mathcal{F}k} F$ is a Borel set with $E \subset G$. Since $\mathcal{F}_k$ is a competitor in the definition of $\mathcal{H}{1 / k}^s(G)$,
$$
\mathcal{H}{1 / k}^s(G) \leq \omega_s \sum{F \in \mathcal{F}k}\left(\frac{\operatorname{diam}(F)}{2}\right)^s \leq \mathcal{H}{1 / k}^s(E)+\frac{1}{k},
$$
for every $k \in \mathbb{N}$. We let $k \rightarrow \infty$ to find that $\mathcal{H}^s(G) \leq \mathcal{H}^s(E)$, as required.

Remark 2.5 We show the equivalence of the Lebesgue measure $\mathcal{L}^n$ on $\mathbb{R}^n$ and the $n$-fold product $\left(\mathcal{L}^1\right)^n$ of the Lebesgue measure $\mathcal{L}^1$ on $\mathbb{R}$, that is
$$
\mathcal{L}^n=\mathcal{L}^1 \times \cdots \times \mathcal{L}^1 \quad \text { (n times). }
$$
Indeed, define a set function $\mu: \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^n\right) \rightarrow \mathbb{R}, \mu(E)=\mathcal{L}^n(E)-\left(\mathcal{L}^1\right)^n(E), E \subset \mathbb{R}^n$. First, we prove that $\mu$ is non-negative: indeed, if $\mathcal{F}$ is a countable covering of $E \subset \mathbb{R}^n$ by cubes with sides parallel to the coordinate axes, then
$$
\sum_{Q \in \mathcal{F}} r(Q)^n=\sum_{Q \in \mathcal{F}}\left(\mathcal{L}^1\right)^n(Q) \geq\left(\mathcal{L}^1\right)^n\left(\bigcup_{Q \in \mathcal{F}} Q\right) \geq\left(\mathcal{L}^1\right)^n(E)
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Approximation theorems for Borel measures

A Borel measure is characterized on $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ by its behavior on compact sets (Theorem 2.8), and open sets may be used in place of compact sets if a local finiteness condition holds true (Theorem 2.10). These two important approximation theorems prepare the ground for the definition of Radon measure.
Theorem $2.8$ (Inner approximation by compact sets) If $\mu$ is a Borel measure on $\mathbb{R}^n$, and $E$ is a Borel set in $\mathbb{R}^n$ with $\mu(E)<\infty$, then for every $\varepsilon>0$ there exists a compact set $K \subset E$ such that $\mu(E \backslash K)<\varepsilon$. In particular;
$$
\mu(E)=\sup {\mu(K): K \subset E, K \text { is compact }} .
$$

Remark 2.9 Consider the Borel measure $\mu=\sum_{h \in \mathbb{N}} \delta_{1 / h}$ on $\mathbb{R}$. If $E=(0,1)$, then $\mu(E)=\infty$ and $\mu(E \backslash K)=\infty$ for every compact set $K \subset E$.

Proof of Theorem $2.8$ Step one: We prove that for every $\varepsilon>0$ there exists a closed set $C \subset E$ such that $\mu(E \backslash C)<\varepsilon$. To this end, we introduce a finite Borel measure $v$ on $\mathbb{R}^n$, defined as $$ v(F)=\mu(E \cap F), \quad \forall F \subset \mathbb{R}^n, $$ and consider the family of sets $$ \begin{aligned} &\mathcal{G}={F \subset \mathcal{M}(\mu): \forall \varepsilon>0, \exists C \subset F, C \text { closed, } v(F \backslash C)<\varepsilon}, \
&\mathcal{F}=\left{F \in \mathcal{G}: \mathbb{R}^n \backslash F \in \mathcal{G}\right} .
\end{aligned}
$$
We claim that, if $\left{F_h\right}_{h \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{G}$. then $\bigcup_{h \in \mathbb{N}} F_h \in \mathcal{G}$ and $\bigcap_{h \in \mathbb{N}} F_h \in \mathcal{G}$. The claim concludes the proof of step one. First, by the claim, $\mathcal{F}$ is a $\sigma$-algebra; second, since $\mathcal{G}$ contains the closed sets, and since every open set of $\mathbb{R}^n$ is a countable union of closed sets, by the claim $\mathcal{G}$ contains the open sets. Hence, by construction, $\mathcal{F}$ contains the open sets, and so $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right) \subset \mathcal{F} \subset \mathcal{G}$. In particular, $E \in \mathcal{G}$, and step one is proved. We now prove the claim. For every $h \in \mathbb{N}$, let $C_h \subset F_h$ be closed with $v\left(F_h \backslash C_h\right)<\varepsilon / 2^h$. Then $C=\bigcap_{h \in \mathbb{N}} C_h$ is closed, with
$$
\begin{aligned}
v\left(\bigcap_{h \in \mathbb{N}} F_h \backslash C\right) &=v\left(\bigcap_{h \in \mathbb{N}} F_h \backslash \bigcap_{h \in \mathbb{N}} C_h\right) \leq v\left(\bigcup_{h \in \mathbb{N}}\left(F_h \backslash C_h\right)\right) \
& \leq \sum_{h \in \mathbb{N}} v\left(F_h \backslash C_h\right)<\varepsilon
\end{aligned}
$$
and $\bigcap_{h \in \mathbb{N}} F_h \in \mathcal{F}$.

几何测度论代考

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Borel regular measures

这 $\sigma$-的代数 $\mu$-相对于 Borel 测度的可测集 $\mu$ 可能严格包含 Borel 集族。因此，了解 Borel 集族的 Borel 测度可能 只返回对测度本身的部分描述。我们说一个 Borel 测度 $\mu$ 是规则的，如果对于每个 $F \subset \mathbb{R}^n$ 存在一个 Borel 集 $E$ 这 样
$$
F \subset E, \quad \mu(E)=\mu(F)
$$
因此，常规 Borel 测度完全由其在 Borel 集上的值决定。事实证明，最相关的 Borel 措施示例是常规的。
例 $2.4$ 勒贝格测度 $\mathcal{L}^n$ 和豪斯多夫测度 $\mathcal{H}^s(s>0)$ 是 Borel 的常规措施 $\mathbb{R}^n$. 让我们证明Borel正则性 $\mathcal{H}^s$ (证明是类 似的情况 $\left.\mathcal{L}^n\right)$ 。通过练习 $1.3$ ，给定 $E \subset \mathbb{R}^n$ 和 $k \in \mathbb{N}$ 我们可以找到一个可数覆盖 $\mathcal{F} k$ 的 $E$ 由直径为界的闭集 $k^{-1}$ 这样
$$
\omega_s \sum F \in \mathcal{F} k\left(\frac{\operatorname{diam}(F)}{2}\right)^s \leq \mathcal{H} 1 / k^s(E)+\frac{1}{k}
$$
$\mathcal{H} 1 / k^s(G)$
$$
\mathcal{H} 1 / k^s(G) \leq \omega_s \sum F \in \mathcal{F} k\left(\frac{\operatorname{diam}(F)}{2}\right)^s \leq \mathcal{H} 1 / k^s(E)+\frac{1}{k}
$$
对于每个 $k \in \mathbb{N}$. 我们让 $k \rightarrow \infty$ 找到那个 $\mathcal{H}^s(G) \leq \mathcal{H}^s(E)$ ， 按要求。
备注 $2.5$ 我们证明了勒贝格测度的等价性 $\mathcal{L}^n$ 上 $\mathbb{R}^n$ 和 $n$-折曡产品 $\left(\mathcal{L}^1\right)^n$ 勒贝格测度 $\mathcal{L}^1$ 上 $\mathbb{R}$ ，那是
$$
\mathcal{L}^n=\mathcal{L}^1 \times \cdots \times \mathcal{L}^1 \quad(\mathrm{n} \text { times })
$$
确实，定义一个集合函数 $\mu: \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^n\right) \rightarrow \mathbb{R}, \mu(E)=\mathcal{L}^n(E)-\left(\mathcal{L}^1\right)^n(E), E \subset \mathbb{R}^n$. 首先，我们证明 $\mu$ 是非 负的: 确实，如果 $\mathcal{F}$ 是一个可数覆盖 $E \subset \mathbb{R}^n$ 由边平行于坐标轴的立方体，然后
$$
\sum_{Q \in \mathcal{F}} r(Q)^n=\sum_{Q \in \mathcal{F}}\left(\mathcal{L}^1\right)^n(Q) \geq\left(\mathcal{L}^1\right)^n\left(\bigcup_{Q \in \mathcal{F}} Q\right) \geq\left(\mathcal{L}^1\right)^n(E)
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Approximation theorems for Borel measures

Borel 度量的特征是 $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right.$ ) 通过它在紧集上的行为（定理 2.8)，如果局部有限性条件成立（定理 2.10），则可 以使用开集代替紧集。这两个重要的近似定理为氡量度的定义奠定了基础。
定理 $2.8$ (紧集的内部近似) 如果 $\mu$ 是一个 Borel 测度 $\mathbb{R}^n$ ，和 $E$ 是一个 Borel 设置在 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mu(E)<\infty$ ，那么对 于每个 $\varepsilon>0$ 存在一个紧集 $K \subset E$ 这样 $\mu(E \backslash K)<\varepsilon$. 尤其是; $\mu(E)=\sup \mu(K): K \subset E, K$ is compact. 备注 $2.9$ 考虑 Borel 测度 $\mu=\sum_{h \in \mathbb{N}} \delta_{1 / h}$ 上 $\mathbb{R}$. 如果 $E=(0,1)$ ，然后 $\mu(E)=\infty$ 和 $\mu(E \backslash K)=\infty$ 对于每个 紧凑集 $K \subset E$. 定理证明 $2.8$ 第一步: 我们证明对于每个 $\varepsilon>0$ 存在一个闭集 $C \subset E$ 这样 $\mu(E \backslash C)<\varepsilon$. 为此，我们引入了有限 Borel 测度 $v$ 上 $\mathbb{R}^n$ ，定义为 $$ v(F)=\mu(E \cap F), \quad \forall F \subset \mathbb{R}^n, $$ 并考虑集合族 Ibegin{aligned $}$ \& $\backslash$ mathcal ${G}={F \backslash$ subset $\backslash$ Imathcal ${M}(\backslash \operatorname{mu}):$ Iforall Ivarepsilon $>0$, lexists $C$ Isubset $F, C \backslash$ text ${$ closed, $} V(F \backslash}$
我们声称，如果 lleft{{_h\right}_{h \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{G} . 然后 $\bigcup_{h \in \mathbb{N}} F_h \in \mathcal{G}$ 和 $\bigcap_{h \in \mathbb{N}} F_h \in \mathcal{G}$. 索赔 结束了第一步的证明。首先，根据索赔， $\mathcal{F}$ 是一个 $\sigma$-代数; 第二，因为 $\mathcal{G}$ 包含闭集，并且因为每个开集 $\mathbb{R}^n$ 是闭集 的可数并集，由声明 $\mathcal{G}$ 包含开集。因此，通过施工， $\mathcal{F}$ 包含开集，所以 $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right) \subset \mathcal{F} \subset \mathcal{G}$. 尤其是， $E \in \mathcal{G}$ ，并 证明第一步。我们现在证明这个主张。对于每一个 $h \in \mathbb{N}$ ，让 $C_h \subset F_h$ 被关闭 $v\left(F_h \backslash C_h\right)<\varepsilon / 2^h$. 然后 $C=\bigcap_{h \in \mathbb{N}} C_h$ 是封闭的，与
$$
v\left(\bigcap_{h \in \mathbb{N}} F_h \backslash C\right)=v\left(\bigcap_{h \in \mathbb{N}} F_h \backslash \bigcap_{h \in \mathbb{N}} C_h\right) \leq v\left(\bigcup_{h \in \mathbb{N}}\left(F_h \backslash C_h\right)\right) \quad \leq \sum_{h \in \mathbb{N}} v\left(F_h \backslash C_h\right)<\varepsilon
$$
和 $\bigcap_{h \in \mathbb{N}} F_h \in \mathcal{F}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。



广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。



术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。



有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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The graphs above are incomplete. These figures only show a vertex with degree four (vertex E), its nearest neighbors (A, B, C, and D), and segments of A-C Kempe chains. The entire graphs would also contain several other vertices (especially, more colored the same as B or D) and enough edges to be MPG’s. The left figure has A connected to $C$ in a single section of an A-C Kempe chain (meaning that the vertices of this chain are colored the same as A and C). The left figure shows that this A-C Kempe chain prevents B from connecting to $\mathrm{D}$ with a single section of a B-D Kempe chain. The middle figure has A and C in separate sections of A-C Kempe chains. In this case, B could connect to D with a single section of a B-D Kempe chain. However, since the A and C of the vertex with degree four lie on separate sections, the color of C’s chain can be reversed so that in the vertex with degree four, C is effectively recolored to match A’s color, as shown in the right figure. Similarly, D’s section could be reversed in the left figure so that D is effectively recolored to match B’s color.

Kempe also attempted to demonstrate that vertices with degree five are fourcolorable in his attempt to prove the four-color theorem [Ref. 2], but his argument for vertices with degree five was shown by Heawood in 1890 to be insufficient [Ref. 3]. Let’s explore what happens if we attempt to apply our reasoning for vertices with degree four to a vertex with degree five.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The previous diagrams

The previous diagrams show that when the two color reversals are performed one at a time in the crossed-chain graph, the first color reversal may break the other chain, allowing the second color reversal to affect the colors of one of F’s neighbors. When we performed the $2-4$ reversal to change B from 2 to 4 , this broke the 1-4 chain. When we then performed the 2-3 reversal to change E from 3, this caused C to change from 3 to 2 . As a result, F remains connected to four different colors; this wasn’t reversed to three as expected.
Unfortunately, you can’t perform both reversals “at the same time” for the following reason. Let’s attempt to perform both reversals “at the same time.” In this crossed-chain diagram, when we swap 2 and 4 on B’s side of the 1-3 chain, one of the 4’s in the 1-4 chain may change into a 2, and when we swap 2 and 3 on E’s side of the 1-4 chain, one of the 3’s in the 1-3 chain may change into a 2 . This is shown in the following figure: one 2 in each chain is shaded gray. Recall that these figures are incomplete; they focus on one vertex (F), its neighbors (A thru E), and Kempe chains. Other vertices and edges are not shown.

Note how one of the 3’s changed into 2 on the left. This can happen when we reverse $\mathrm{C}$ and $\mathrm{E}$ (which were originally 3 and 2 ) on E’s side of the 1-4 chain. Note also how one of the 4’s changed into 2 on the right. This can happen when we reverse B and D (which were originally 2 and 4) outside of the 1-3 chain. Now we see where a problem can occur when attempting to swap the colors of two chains at the same time. If these two 2’s happen to be connected by an edge like the dashed edge shown above, if we perform the double reversal at the same time, this causes two vertices of the same color to share an edge, which isn’t allowed. We’ll revisit Kempe’s strategy for coloring a vertex with degree five in Chapter $25 .$

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The shading of one section of the B-R

由于 Kempe 链的每个部分都与同一颜色对的其他部分隔离，因此 Kempe 链的任何部分的颜色可以颠倒，但仍满足四色定理。这是一个重要且有用的概念。

上面 BR 链的一个部分的阴影说明了任何 Kempe 链的任何部分的颜色如何可以反转。请注意，我们反转了 BR 链的一个部分的颜色，但没有反转中心部分的颜色。同一条链的每个部分的颜色可以独立于该链的其他部分反转。

为什么 PG 有 Kempe 链？很容易理解为什么 MPG 有 Kempe 链。（由于 PG 是通过从 MPG 中去除边缘而形成的，并且由于适用于 MPG 的着色也适用于 PG，因此 PG 也具有 Kempe 链。）

• MPG 是三角测量的。它由具有三个边和三个顶点的面组成。
• 每个面的三个顶点必须是三种不同的颜色。
• 每条边由两个相邻的三角形共享，形成一个四边形。
• 每个四边形将有 3 或 4 种不同的颜色。如果与共享边相对的两个顶点恰好是相同的颜色，则它有 3 种颜色。
• 对于每个四边形，四个顶点中的至少 1 个顶点和最多 3 个顶点具有任何颜色对的颜色。例如，具有 R、G、B 和G有 1 个顶点R−是和3个顶点乙−G，或者您可以将其视为 1 个顶点乙−是和3个顶点G−R，或者您可以将其视为 BR 的 2 个顶点和 GY 的 2 个顶点。在后一种情况下，2G’ 不是同一链的连续颜色。
• 当您将更多三角形组合在一起（四边形仅组合两个）并考虑可能的颜色时，您将看到 Kempe 的部分

链子出现。我们将在 Chápter 中看到这些 Kémpé chảins 是如何出现的21.
也很容易看出一对颜色（如 RY）将如何与其对应颜色（BG）相邻：

• 画一张R顶点和一个是由边连接的顶点。
• 如果一个新顶点连接到这些顶点中的每一个，它必须是乙或者G.
• 如果一个新顶点连接到 R 而不是是，可能是是,乙， 或者G.
• 如果一个新的顶点连接到是但不是R，可能是R,乙， 或者G.
• RY 链要么继续增长，要么被 B 包围，G.
• 如果你关注 B 和 G，你会为它的链条得出类似的结论。
• 如果一条链条完全被其对应物包围，则链条的新部分可能会出现在其对应物的另一侧。
  Kempe 证明了所有具有四阶的顶点（那些恰好连接到其他四个顶点的顶点）都是四色的 [Ref. 2]。例如，考虑下面的中心顶点。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|In the previous figure

在上图中，顶点和是四度，因为它连接到其他四个顶点。Kempe 表明顶点 A、B、C 和 D 不能被强制为四种不同的颜色，这样顶点 E 总是可以被着色而不会违反四色定理，无论 MPG 的其余部分看起来如何上一页显示的部分。

• A 和 C 或者是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，或者它们各自位于 AC Kempe 链的不同部分。（如果一种和C例如，是红色和黄色的，则 AC 链是红黄色链。） – 如果一种和C每个位于 AC Kempe 链的不同部分，其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 C 以匹配 A 的颜色。如果 A 和 C 是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，则 B 和 D每个都必须位于 BD Kempe 链的不同部分，因为 AC Kempe 链将阻止任何 BD Kempe 链从 B 到达 D。（如果乙和D是蓝色和绿色，例如，那么一种BD Kempe 链是蓝绿色链。）在这种情况下，由于 B 和 D 分别位于 BD Kempe 链的不同部分，因此 BD Kempe 链的其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 D 以匹配 B颜色。– 因此，可以使 C 与 A 具有相同的颜色或使 D 具有与 A 相同的颜色乙通过反转 Kempe 链的分离部分。

上面的图表是不完整的。这些图只显示了一个四阶顶点（顶点 E）、它的最近邻居（A、B、C 和 D），以及 AC Kempe 链的片段。整个图还将包含几个其他顶点（特别是与 B 或 D 相同的颜色）和足够多的边以成为 MPG。左图有 A 连接到C在 AC Kempe 链的单个部分中（意味着该链的顶点颜色与 A 和 C 相同）。左图显示此 AC Kempe 链阻止 B 连接到DBD Kempe 链条的一个部分。中间的数字在 AC Kempe 链的不同部分有 A 和 C。在这种情况下，B 可以通过 BD Kempe 链的单个部分连接到 D。但是，由于四阶顶点的 A 和 C 位于不同的部分，因此可以反转 C 链的颜色，以便在四阶顶点中，C 有效地重新着色以匹配 A 的颜色，如右图所示. 类似地，可以在左图中反转 D 的部分，以便有效地重新着色 D 以匹配 B 的颜色。

Kempe 还试图证明五阶顶点是可四色的，以证明四色定理 [Ref. 2]，但 Heawood 在 1890 年证明他关于五次顶点的论点是不充分的 [Ref. 3]。让我们探讨一下如果我们尝试将我们对度数为四的顶点的推理应用于度数为五的顶点会发生什么。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The previous diagrams

前面的图表显示，当在交叉链图中一次执行两种颜色反转时，第一次颜色反转可能会破坏另一个链，从而允许第二次颜色反转影响 F 的一个邻居的颜色。当我们执行2−4反转将 B 从 2 更改为 4 ，这打破了 1-4 链。然后，当我们执行 2-3 反转以将 E 从 3 更改时，这导致 C 从 3 更改为 2 。结果，F 仍然连接到四种不同的颜色；这并没有像预期的那样反转为三个。
不幸的是，由于以下原因，您不能“同时”执行两个冲销。让我们尝试“同时”执行两个反转。在这个交叉链图中，当我们在 1-3 链的 B 侧交换 2 和 4 时，1-4 链中的一个 4 可能会变成 2，当我们在 E 侧交换 2 和 3 时1-4 链，1-3 链中的 3 之一可能会变为 2 。如下图所示：每条链中的一个 2 为灰色阴影。回想一下，这些数字是不完整的；他们专注于一个顶点 (F)、它的邻居 (A 到 E) 和 Kempe 链。其他顶点和边未显示。

请注意左侧的 3 之一如何变为 2。当我们反转时会发生这种情况C和和（最初是 3 和 2 ）在 1-4 链的 E 侧。还要注意 4 个中的一个如何在右侧变为 2。当我们在 1-3 链之外反转 B 和 D（最初是 2 和 4）时，就会发生这种情况。现在我们看到了尝试同时交换两条链的颜色时会出现问题的地方。如果这两个 2 恰好通过上图虚线这样的边连接起来，如果我们同时进行双重反转，就会导致两个相同颜色的顶点共享一条边，这是不允许的。我们将在第 1 章重新讨论 Kempe 为五阶顶点着色的策略25.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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在数学中，几何度量理论（GMT）是通过度量理论研究集合（通常在欧几里得空间）的几何属性。它允许数学家将微分几何中的工具扩展到更大的一类不一定光滑的表面。

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数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Measure Theory and integration

By Theorem 1.4, every outer measure on $\mathbb{R}^n$ can be seen as a measure on a $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}^n$. In this way, various classical results from Measure Theory are immediately recovered in the context of outer measures. For the sake of clarity, in this chapter we gather those definitions and statements that will be used in the rest of the book. Let $\mu$ be a measure on the $\sigma$-algebra $\mathcal{M}$ on $\mathbb{R}^n$ (if $\mu$ is an outer measure on $\mathbb{R}^n$, then we take by convention $\mathcal{M}=\mathcal{M}(\mu)$ ). A function $u: E \rightarrow[-\infty, \infty]$ is a $\mu$-measurable function on $\mathbb{R}^n$ if its domain $E$ covers $\mu$-almost all of $\mathbb{R}^n$, that is $\mu\left(\mathbb{R}^n \backslash E\right)=0$, and if, for every $t \in \mathbb{R}$, the super-level sets
$$
{u>t}={x \in E: u(x)>t}
$$
belong to $\mathcal{M}$. We say that $u$ is a $\mu$-simple function on $\mathbb{R}^n$ if $u$ is $\mu$-measurable and the image of $u$ is countable. For a non-negative, $\mu$-simple function $u$, the integral of $u$ with respect to $\mu$ is defined in $[0, \infty]$ as the series
$$
\int_{\mathbb{R}^n} u \mathrm{~d} \mu=\sum_{t \in u\left(\mathbb{R}^n\right)} t \mu({u=t}),
$$ with the convention that $0 \cdot \infty=0$. When $u$ is $\mu$-simple, and either $\int_{\mathbb{R}^n} u^{+} \mathrm{d} \mu$ or $\int_{\mathbb{R}^n} u^{-} \mathrm{d} \mu$ is finite (here, $u^{+}=\max {u, 0}, u^{-}=\max {-u, 0}$ ), we say that $u$ is a $\mu$-integrable simple function, and set
$$
\int_{\mathbb{R}^n} u \mathrm{~d} \mu=\int_{\mathbb{R}^n} u^{+} \mathrm{d} \mu-\int_{\mathbb{R}^n} u^{-} \mathrm{d} \mu .
$$
The upper and lower integrals with respect to $\mu$ of a function $u$ whose domain covers $\mu$-almost all of $\mathbb{R}^n$, and which takes values in $[-\infty, \infty]$, are
$$
\begin{gathered}
\int_{\mathbb{R}^n}^{+} u \mathrm{~d} \mu=\inf \left{\int_{\mathbb{R}^n} v: v \geq u \mu \text {-a.e. on } \mathbb{R}^n\right}, \
\int_{* \mathbb{R}^n} u \mathrm{~d} \mu=\sup \left{\int_{\mathbb{R}^n} v: v \leq u \mu \text {-a.e. on } \mathbb{R}^n\right},
\end{gathered}
$$
where $v$ ranges over the family of $\mu$-integrable simple functions on $\mathbb{R}^n$. If $u$ is $\mu$-measurable and its upper and lower integrals coincide, then we say that $u$ is a $\mu$-integrable function, and this common value is called the integral of $u$ with respect to $\mu$, denoted by $\int_{\mathbb{R}^n} u \mathrm{~d} \mu$. The following example suggests that $\mu$-integrable functions define a large subfamily of $\mu$-measurable functions.

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Borel measures and Caratheodory’s criterion

Given an outer measure $\mu$, Theorem $1.4$ provides a $\sigma$-algebra $\mathcal{M}(\mu)$ on which $\mu$ is $\sigma$-additive. Nevertheless, $\mathcal{M}(\mu)$ could be trivial, that is, it could be equal to $\left{\emptyset, \mathbb{R}^n\right}$. The following theorem furnishes a valuable criterion for $\mathcal{M}(\mu)$ to contain the family $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ of the Borel sets of $\mathbb{R}^n$. Let us recall that $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is defined as the $\sigma$-algebra generated by the open sets of $\mathbb{R}^n$, that is the intersection of all the $\sigma$-algebras containing the family of open sets (it is easily seen that this intersection defines a $\sigma$-algebra). By definition, a Borel measure on $\mathbb{R}^n$ is an outer measure $\mu$ on $\mathbb{R}^n$ such that $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right) \subset \mathcal{M}(\mu)$. The following theorem provides an useful characterization of Borel measures on $\mathbb{R}^n$.

Theorem $2.1$ (Carathéodory’s criterion) If $\mu$ is an outer measure on $\mathbb{R}^n$, then $\mu$ is a Borel measure on $\mathbb{R}^n$ if and only if
$$
\mu\left(E_1 \cup E_2\right)=\mu\left(E_1\right)+\mu\left(E_2\right),
$$
for every $E_1, E_2 \subset \mathbb{R}^n$ such that $\operatorname{dist}\left(E_1, E_2\right)>0$.
Example 2.2 By Theorem 2.1, the Lebesgue measure is a Borel measure. Indeed, let us prove that $\left|E_1 \cup E_2\right| \geq\left|E_1\right|+\left|E_2\right|$ for every $E_1, E_2 \subset \mathbb{R}^n$ with $d=\operatorname{dist}\left(E_1, E_2\right)>0$. Let $\mathcal{F}$ be a countable family of disjoint cubes (with sides parallel to the coordinate axes) such that
$$
E_1 \cup E_2 \subset \bigcup_{Q \in \mathcal{F}} Q
$$
Since $\mathcal{L}^n$ is additive on finite disjoint unions of cubes with sides parallel to the coordinate axes, up to further division of each $Q \in \mathcal{F}$ into finitely many sub-cubes, we may also assume that $\operatorname{diam}(Q)<d$ for every $Q \in \mathcal{F}$. If $\mathcal{F}h=$ $\left{Q \in \mathcal{F}: Q \cap E_h \neq \emptyset\right}$, then $\mathcal{F}_1 \cap \mathcal{F}_2=\emptyset$ and $E_h \subset \bigcup{Q \in \mathcal{F}h} Q$ for $h=1,2$, so that $$ \sum{Q \in \mathcal{F}} r(Q)^n \geq \sum_{Q \in \mathcal{F}1} r(Q)^n+\sum{Q \in \mathcal{F}_2} r(Q)^n \geq\left|E_1\right|+\left|E_2\right|
$$
By the arbitrariness of $\mathcal{F}$ we conclude that $\left|E_1 \cup E_2\right| \geq\left|E_1\right|+\left|E_2\right|$, as required.

几何测度论代考

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Measure Theory and integration

根据定理 1.4，每个外测度 $\mathbb{R}^n$ 可以看作是一个衡量 $\sigma$-代数是 $\mathbb{R}^n$. 这样一来，测度论的各种经典结果就可以立即在 外部测度的背景下得到恢复。为了清楚起见，在本章中，我们收集了将在本书其余部分中使用的那些定义和陈述。 让 $\mu$ 成为衡量标准 $\sigma$-代数 $\mathcal{M}$ 上 $\mathbb{R}^n$ (如果 $\mu$ 是一个外部措施 $\mathbb{R}^n$ ，那么我们按照惯例取 $\mathcal{M}=\mathcal{M}(\mu)$ )。一个函数 $u: E \rightarrow[-\infty, \infty]$ 是一个 $\mu$-可测量的功能 $\mathbb{R}^n$ 如果它的域 $E$ 盖子 $\mu-$ 几几乎所有 $\mathbb{R}^n$ ，那是 $\mu\left(\mathbb{R}^n \backslash E\right)=0$ ，如 果，对于每个 $t \in \mathbb{R}$, 超水平集
$$
u>t=x \in E: u(x)>t
$$
属于 $\mathcal{M}$. 我们说 $u$ 是一个 $\mu$-简单的功能 $\mathbb{R}^n$ 如果 $u$ 是 $\mu$ – 可衡量的和形象 $u$ 是可数的。对于非负数， $\mu$-简单的功能u， 的积分 $u$ 关于 $\mu$ 定义在 $[0, \infty]$ 作为系列
$$
\int_{\mathbb{R}^n} u \mathrm{~d} \mu=\sum_{t \in u\left(\mathbb{R}^n\right)} t \mu(u=t),
$$
与约定 $0 \cdot \infty=0$. 什么时候 $u$ 是 $\mu$-简单，或者 $\int_{\mathbb{R}^n} u^{+} \mathrm{d} \mu$ 或者 $\int_{\mathbb{R}^n} u^{-} \mathrm{d} \mu$ 是有限的（这里， $\left.u^{+}=\max u, 0, u^{-}=\max -u, 0\right)$ ，我们说 $u$ 是一个 $\mu$ – 可积的简单函数，并设置
$$
\int_{\mathbb{R}^n} u \mathrm{~d} \mu=\int_{\mathbb{R}^n} u^{+} \mathrm{d} \mu-\int_{\mathbb{R}^n} u^{-} \mathrm{d} \mu .
$$
上下积分相对于 $\mu$ 函数的 $u$ 其领域涵盖 $\mu$ 一几乎所有 $\mathbb{R}^n$ ，并且取值 $[-\infty, \infty]$ ，是
在挪里 $v$ 范围在家庭 $\mu$-可集成的简单功能 $\mathbb{R}^n$. 如果 $u$ 是 $\mu$-measurable 和它的上下积分重合，那么我们说 $u$ 是一个 $\mu$ -可积函数，这个共同的值称为积分 $u$ 关于 $\mu$ ，表示为 $\int_{\mathbb{R}^n} u \mathrm{~d} \mu$. 下面的例子表明 $\mu$-可积函数定义了一个大的子族 $\mu$ 可测量的功能。

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Borel measures and Caratheodory’s criterion

给定一个外部度量 $\mu$ ，定理 $1.4$ 提供了一个 $\sigma$-代数 $\mathcal{M}(\mu)$ 在哪个 $\mu$ 是 $\sigma$-添加剂。尽管如此， $\mathcal{M}(\mu)$ 可能是微不足道 的，也就是说，它可能等于 Neft{lemptyset, \mathbb $\left.{R}^{\wedge} n \backslash r i g h t\right}$. 以下定理提供了一个有价值的标准 $\mathcal{M}(\mu)$ 包含家 庭 $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ Borel 集的 $\mathbb{R}^n$. 让我们回忆一下 $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 被定义为 $\sigma$ – 由开集生成的代数 $\mathbb{R}^n$ ，那是所有的交集 $\sigma$-包含开集 族的代数（很容易看出，这个交集定义了一个 $\sigma$-代数）。根据定义，Borel 测度 $\mathbb{R}^n$ 是一种外部措施 $\mu$ 上趶 ${ }^n$ 这样 $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^n\right) \subset \mathcal{M}(\mu)$. 下面的定理提供了一个有用的表征 Borel 测量 $\mathbb{R}^n$.
定理2.1 (Carathéodory 的标准) 如果 $\mu$ 是一个外部措施 $\mathbb{R}^n$ ，然后 $\mu$ 是一个 Borel 测度 $\mathbb{R}^n$ 当且仅当
$$
\mu\left(E_1 \cup E_2\right)=\mu\left(E_1\right)+\mu\left(E_2\right),
$$
对于每个 $E_1, E_2 \subset \mathbb{R}^n$ 这样 $\operatorname{dist}\left(E_1, E_2\right)>0$.
例 $2.2$ 根据定理 2.1， Lebesgue 测度是 Borel 测度。确实，让我们证明 $\left|E_1 \cup E_2\right| \geq\left|E_1\right|+\left|E_2\right|$ 对于每个 $E_1, E_2 \subset \mathbb{R}^n$ 和 $d=\operatorname{dist}\left(E_1, E_2\right)>0$. 让 $\mathcal{F}$ 是不相交立方体的可数族（边平行于坐标轴)，使得
$$
E_1 \cup E_2 \subset \bigcup_{Q \in \mathcal{F}} Q
$$
自从 $\mathcal{L}^n$ 是边平行于坐标轴的立方体的有限不相交并集上的加法，直到每个立方体的进一步划分 $Q \in \mathcal{F}$ 成有限多个 子立方体，我们也可以假设 $\operatorname{diam}(Q)<d$ 对于每个 $Q \in \mathcal{F}$. 如果 $\mathcal{F} h=$ $h=1,2$ ，以便
$$
\sum Q \in \mathcal{F} r(Q)^n \geq \sum_{Q \in \mathcal{F} 1} r(Q)^n+\sum Q \in \mathcal{F}_2 r(Q)^n \geq\left|E_1\right|+\left|E_2\right|
$$
由于任意性 $\mathcal{F}$ 我们得出结论 $\left|E_1 \cup E_2\right| \geq\left|E_1\right|+\left|E_2\right|$ ，按要求。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。



广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。



术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。



有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。



回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。



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The graphs above are incomplete. These figures only show a vertex with degree four (vertex E), its nearest neighbors (A, B, C, and D), and segments of A-C Kempe chains. The entire graphs would also contain several other vertices (especially, more colored the same as B or D) and enough edges to be MPG’s. The left figure has A connected to $C$ in a single section of an A-C Kempe chain (meaning that the vertices of this chain are colored the same as A and C). The left figure shows that this A-C Kempe chain prevents B from connecting to $\mathrm{D}$ with a single section of a B-D Kempe chain. The middle figure has A and C in separate sections of A-C Kempe chains. In this case, B could connect to D with a single section of a B-D Kempe chain. However, since the A and C of the vertex with degree four lie on separate sections, the color of C’s chain can be reversed so that in the vertex with degree four, C is effectively recolored to match A’s color, as shown in the right figure. Similarly, D’s section could be reversed in the left figure so that D is effectively recolored to match B’s color.

Kempe also attempted to demonstrate that vertices with degree five are fourcolorable in his attempt to prove the four-color theorem [Ref. 2], but his argument for vertices with degree five was shown by Heawood in 1890 to be insufficient [Ref. 3]. Let’s explore what happens if we attempt to apply our reasoning for vertices with degree four to a vertex with degree five.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The previous diagrams

The previous diagrams show that when the two color reversals are performed one at a time in the crossed-chain graph, the first color reversal may break the other chain, allowing the second color reversal to affect the colors of one of F’s neighbors. When we performed the $2-4$ reversal to change B from 2 to 4 , this broke the 1-4 chain. When we then performed the 2-3 reversal to change E from 3, this caused C to change from 3 to 2 . As a result, F remains connected to four different colors; this wasn’t reversed to three as expected.
Unfortunately, you can’t perform both reversals “at the same time” for the following reason. Let’s attempt to perform both reversals “at the same time.” In this crossed-chain diagram, when we swap 2 and 4 on B’s side of the 1-3 chain, one of the 4’s in the 1-4 chain may change into a 2, and when we swap 2 and 3 on E’s side of the 1-4 chain, one of the 3’s in the 1-3 chain may change into a 2 . This is shown in the following figure: one 2 in each chain is shaded gray. Recall that these figures are incomplete; they focus on one vertex (F), its neighbors (A thru E), and Kempe chains. Other vertices and edges are not shown.

Note how one of the 3’s changed into 2 on the left. This can happen when we reverse $\mathrm{C}$ and $\mathrm{E}$ (which were originally 3 and 2 ) on E’s side of the 1-4 chain. Note also how one of the 4’s changed into 2 on the right. This can happen when we reverse B and D (which were originally 2 and 4) outside of the 1-3 chain. Now we see where a problem can occur when attempting to swap the colors of two chains at the same time. If these two 2’s happen to be connected by an edge like the dashed edge shown above, if we perform the double reversal at the same time, this causes two vertices of the same color to share an edge, which isn’t allowed. We’ll revisit Kempe’s strategy for coloring a vertex with degree five in Chapter $25 .$

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The shading of one section of the B-R

由于 Kempe 链的每个部分都与同一颜色对的其他部分隔离，因此 Kempe 链的任何部分的颜色可以颠倒，但仍满足四色定理。这是一个重要且有用的概念。

上面 BR 链的一个部分的阴影说明了任何 Kempe 链的任何部分的颜色如何可以反转。请注意，我们反转了 BR 链的一个部分的颜色，但没有反转中心部分的颜色。同一条链的每个部分的颜色可以独立于该链的其他部分反转。

为什么 PG 有 Kempe 链？很容易理解为什么 MPG 有 Kempe 链。（由于 PG 是通过从 MPG 中去除边缘而形成的，并且由于适用于 MPG 的着色也适用于 PG，因此 PG 也具有 Kempe 链。）

• MPG 是三角测量的。它由具有三个边和三个顶点的面组成。
• 每个面的三个顶点必须是三种不同的颜色。
• 每条边由两个相邻的三角形共享，形成一个四边形。
• 每个四边形将有 3 或 4 种不同的颜色。如果与共享边相对的两个顶点恰好是相同的颜色，则它有 3 种颜色。
• 对于每个四边形，四个顶点中的至少 1 个顶点和最多 3 个顶点具有任何颜色对的颜色。例如，具有 R、G、B 和G有 1 个顶点R−是和3个顶点乙−G，或者您可以将其视为 1 个顶点乙−是和3个顶点G−R，或者您可以将其视为 BR 的 2 个顶点和 GY 的 2 个顶点。在后一种情况下，2G’ 不是同一链的连续颜色。
• 当您将更多三角形组合在一起（四边形仅组合两个）并考虑可能的颜色时，您将看到 Kempe 的部分

链子出现。我们将在 Chápter 中看到这些 Kémpé chảins 是如何出现的21.
也很容易看出一对颜色（如 RY）将如何与其对应颜色（BG）相邻：

• 画一张R顶点和一个是由边连接的顶点。
• 如果一个新顶点连接到这些顶点中的每一个，它必须是乙或者G.
• 如果一个新顶点连接到 R 而不是是，可能是是,乙， 或者G.
• 如果一个新的顶点连接到是但不是R，可能是R,乙， 或者G.
• RY 链要么继续增长，要么被 B 包围，G.
• 如果你关注 B 和 G，你会为它的链条得出类似的结论。
• 如果一条链条完全被其对应物包围，则链条的新部分可能会出现在其对应物的另一侧。
  Kempe 证明了所有具有四阶的顶点（那些恰好连接到其他四个顶点的顶点）都是四色的 [Ref. 2]。例如，考虑下面的中心顶点。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|In the previous figure

在上图中，顶点和是四度，因为它连接到其他四个顶点。Kempe 表明顶点 A、B、C 和 D 不能被强制为四种不同的颜色，这样顶点 E 总是可以被着色而不会违反四色定理，无论 MPG 的其余部分看起来如何上一页显示的部分。

• A 和 C 或者是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，或者它们各自位于 AC Kempe 链的不同部分。（如果一种和C例如，是红色和黄色的，则 AC 链是红黄色链。） – 如果一种和C每个位于 AC Kempe 链的不同部分，其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 C 以匹配 A 的颜色。如果 A 和 C 是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，则 B 和 D每个都必须位于 BD Kempe 链的不同部分，因为 AC Kempe 链将阻止任何 BD Kempe 链从 B 到达 D。（如果乙和D是蓝色和绿色，例如，那么一种BD Kempe 链是蓝绿色链。）在这种情况下，由于 B 和 D 分别位于 BD Kempe 链的不同部分，因此 BD Kempe 链的其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 D 以匹配 B颜色。– 因此，可以使 C 与 A 具有相同的颜色或使 D 具有与 A 相同的颜色乙通过反转 Kempe 链的分离部分。

上面的图表是不完整的。这些图只显示了一个四阶顶点（顶点 E）、它的最近邻居（A、B、C 和 D），以及 AC Kempe 链的片段。整个图还将包含几个其他顶点（特别是与 B 或 D 相同的颜色）和足够多的边以成为 MPG。左图有 A 连接到C在 AC Kempe 链的单个部分中（意味着该链的顶点颜色与 A 和 C 相同）。左图显示此 AC Kempe 链阻止 B 连接到DBD Kempe 链条的一个部分。中间的数字在 AC Kempe 链的不同部分有 A 和 C。在这种情况下，B 可以通过 BD Kempe 链的单个部分连接到 D。但是，由于四阶顶点的 A 和 C 位于不同的部分，因此可以反转 C 链的颜色，以便在四阶顶点中，C 有效地重新着色以匹配 A 的颜色，如右图所示. 类似地，可以在左图中反转 D 的部分，以便有效地重新着色 D 以匹配 B 的颜色。

Kempe 还试图证明五阶顶点是可四色的，以证明四色定理 [Ref. 2]，但 Heawood 在 1890 年证明他关于五次顶点的论点是不充分的 [Ref. 3]。让我们探讨一下如果我们尝试将我们对度数为四的顶点的推理应用于度数为五的顶点会发生什么。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The previous diagrams

前面的图表显示，当在交叉链图中一次执行两种颜色反转时，第一次颜色反转可能会破坏另一个链，从而允许第二次颜色反转影响 F 的一个邻居的颜色。当我们执行2−4反转将 B 从 2 更改为 4 ，这打破了 1-4 链。然后，当我们执行 2-3 反转以将 E 从 3 更改时，这导致 C 从 3 更改为 2 。结果，F 仍然连接到四种不同的颜色；这并没有像预期的那样反转为三个。
不幸的是，由于以下原因，您不能“同时”执行两个冲销。让我们尝试“同时”执行两个反转。在这个交叉链图中，当我们在 1-3 链的 B 侧交换 2 和 4 时，1-4 链中的一个 4 可能会变成 2，当我们在 E 侧交换 2 和 3 时1-4 链，1-3 链中的 3 之一可能会变为 2 。如下图所示：每条链中的一个 2 为灰色阴影。回想一下，这些数字是不完整的；他们专注于一个顶点 (F)、它的邻居 (A 到 E) 和 Kempe 链。其他顶点和边未显示。

请注意左侧的 3 之一如何变为 2。当我们反转时会发生这种情况C和和（最初是 3 和 2 ）在 1-4 链的 E 侧。还要注意 4 个中的一个如何在右侧变为 2。当我们在 1-3 链之外反转 B 和 D（最初是 2 和 4）时，就会发生这种情况。现在我们看到了尝试同时交换两条链的颜色时会出现问题的地方。如果这两个 2 恰好通过上图虚线这样的边连接起来，如果我们同时进行双重反转，就会导致两个相同颜色的顶点共享一条边，这是不允许的。我们将在第 1 章重新讨论 Kempe 为五阶顶点着色的策略25.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

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随机分析代写

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时间序列分析代写

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数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Examples of outer measures

Simple familiar examples of outer measures are the Dirac measure and the counting measure. The Dirac measure $\delta_x$ at $x \in \mathbb{R}^n$ is defined on $E \subset \mathbb{R}^n$ as
$$
\delta_x(E)= \begin{cases}1, & x \in E, \ 0, & x \notin E,\end{cases}
$$
while the counting measure # of $E$ is
$$
#(E)= \begin{cases}\text { number of elements of } E, & \text { if } E \text { is finite, } \ +\infty, & \text { if } E \text { is infinite } .\end{cases}
$$
The two most important examples of outer measures are Lebesgue and Hausdorff measures.
Lebsegue measure: The Lebesgue measure of a set $E \subset \mathbb{R}^n$ is defined as
$$
\mathcal{L}^n(E)=\inf {\mathcal{F}} \sum{Q \in \mathcal{F}} r(Q)^n,
$$
where $\mathcal{F}$ is a countable covering of $E$ by cubes with sides parallel to the coordinate axes, and $r(Q)$ denotes the side length of $Q$ (the cubes $Q$ are not assumed to be open, nor closed). The Lebesgue measure $\mathcal{L}^n(E)$ is interpreted as the $n$-dimensional volume of $E$. Usually, we write
$$
\mathcal{L}^n(E)=|E|,
$$
and refer to $|E|$ as the volume of $E$. Clearly, $\mathcal{L}^n$ is an outer measure. Moreover, it is translation-invariant, that is $|x+E|=|E|$ for every $x \in \mathbb{R}^n$, and satisfies the scaling law $|\lambda E|=\lambda^n|E|, \lambda>0$. If $B=\left{x \in \mathbb{R}^n:|x|<1\right}$ is the Euclidean unit ball of $\mathbb{R}^n$, then we set $\omega_n=|B|$. It is easily seen that $\omega_1=2$.

Hausdorff measure: Let $n, k \in \mathbb{N}$, with $n \geq 2$ and $1 \leq k \leq n-1$. A bounded open set $A \subset \mathbb{R}^k$ and a function $f \in C^1\left(\mathbb{R}^k ; \mathbb{R}^n\right)$ define a $k$-dimensional parametrized surface $f(A)$ in $\mathbb{R}^n$ provided $f$ is injective on $A$ with $J f(x)>0$ for every $x \in A$. Here $J f(x)$ denotes the Jacobian of $f$ at $x$, namely
$$
J f(x)=\sqrt{\operatorname{det}\left(\nabla f(x)^* \nabla f(x)\right)}
$$
where, if $k=1$, this means that $J f(x)=\left|f^{\prime}(x)\right|$. The condition $J f(x)>0$ ensures that $\nabla f(x)\left(\mathbb{R}^k\right)$ is a $k$-dimensional subspace of $\mathbb{R}^n$. The $k$-dimensional area of $f(A)$ is then classically defined as
$$
k \text {-dimensional area of } f(A)=\int_A J f(x) \mathrm{d} x
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Measurable sets and σ-additivity

Given a family $\mathcal{F}$ of subsets of $\mathbb{R}^n$, we say that the outer measure $\mu$ on $\mathbb{R}^n$ is $\sigma$-additive on $\mathcal{F}$, provided
$$
\mu\left(\bigcup_{h \in \mathbb{N}} E_h\right)=\sum_{h \in \mathbb{N}} \mu\left(E_h\right),
$$
for every disjoint sequence $\left{E_h\right}_{h \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{F}$ (i.e., $E_h \cap E_k=\emptyset$ if $h \neq k$ ). Accordingly to our naive intuition about the notion of measure, we would expect any reasonable measure to be $\sigma$-additive on $\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^n\right)$. However, this fails even in the case of the Lebesgue measure $\mathcal{L}^1$ on $\mathbb{R}$. To show this, let us consider the classical Vitali’s example. Define an equivalence relation $\approx$ on $(0,1)$, so that $x \approx y$ if and only if $x-y$ is rational. By the axiom of choice, there exists a set $E \subset(0,1)$ containing exactly one element from each of the equivalence classes defined by $\approx$ on $(0,1)$. If $\left{x_h\right}_{h \in \mathbb{N}}=\mathbb{Q} \cap(0,1)$, then the sequence of sets
$$
E_h=\left(x_h+\left(E \cap\left(0,1-x_h\right)\right)\right) \cup\left(\left(x_h-1\right)+\left(E \cap\left(1-x_h, 1\right)\right)\right)
$$
is, by construction of $E$, disjoint. By the translation invariance of $\mathcal{L}^1$,
$$
\left|E_h\right|=\left|E \cap\left(0,1-x_h\right)\right|+\left|E \cap\left(1-x_h, 1\right)\right|=|E|,
$$
with $(0,1)=\bigcup_{h \in \mathbb{N}} E_h$. The $\sigma$-additivity of $\mathcal{L}^1$ on $\left{E_h\right}_{h \in \mathbb{N}}$ would then imply
$$
1=|(0,1)|=\sum_{h \in \mathbb{N}}|E|,
$$
against $|E| \in[0, \infty]$. Hence, $\mathcal{L}^1$ is not $\sigma$-additive on $\mathcal{P}(\mathbb{R})$. As we are going to prove in Section $2.1, \mathcal{L}^1$ is, however, $\sigma$-additive on a large family of subsets of $\mathbb{R}^n$. A first step towards this kind of result is the following theorem, which provides, given outer measure $\mu$, a natural domain of $\sigma$-additivity for $\mu$.

几何测度论代考

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Examples of outer measures

外部度量的简单熟息示例是狄拉克度量和计数度量。狄拉克测度 $\delta_x$ 在 $x \in \mathbb{R}^n$ 定义在 $E \subset \mathbb{R}^n$ 作为
$$
\delta_x(E)={1, \quad x \in E, 0, \quad x \notin E,
$$
而计数措施# $E$ 是
外部度量的两个最重要的例子是 Lebesgue 和 Hausdorff 度量。
勒贝格测度: 集合的勒贝格测度 $E \subset \mathbb{R}^n$ 定义为
$$
\mathcal{L}^n(E)=\inf \mathcal{F} \sum Q \in \mathcal{F} r(Q)^n,
$$
在哪里 $\mathcal{F}$ 是一个可数覆盖 $E$ 通过边平行于坐标轴的立方体，和 $r(Q)$ 表示边长 $Q$ (立方体 $Q$ 不假定是打开的，也不 是关闭的) 。勒贝格测度 $\mathcal{L}^n(E)$ 被解释为 $n$-维体积 $E$. 通常，我们写
$$
\mathcal{L}^n(E)=|E|,
$$
并参考 $|E|$ 作为体积 $E$. 清楚地， $\mathcal{L}^n$ 是一种外在措施。此外，它是平移不变的，即 $|x+E|=|E|$ 对于每个 $\mathbb{R}^n$ ，那么我们设 $\omega_n=|B|$. 很容易看出 $\omega_1=2$.
豪斯多夫测度: 让 $n, k \in \mathbb{N}$ ，和 $n \geq 2$ 和 $1 \leq k \leq n-1$. 有界开集 $A \subset \mathbb{R}^k$ 和一个函数 $f \in C^1\left(\mathbb{R}^k ; \mathbb{R}^n\right)$ 定 义一个 $k$ 维参数化曲面 $f(A)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 假如 $f$ 是内射的 $A$ 和 $J f(x)>0$ 对于每个 $x \in A$. 这里 $J f(x)$ 表示的雅可比行列 式 $f$ 在 $x$ ，即
$$
J f(x)=\sqrt{\operatorname{det}\left(\nabla f(x)^* \nabla f(x)\right)}
$$
哪里，如果 $k=1$ ，这意味着 $J f(x)=\left|f^{\prime}(x)\right|$. 条件 $J f(x)>0$ 确保 $\nabla f(x)\left(\mathbb{R}^k\right)$ 是一个 $k$-维子空间 $\mathbb{R}^n$. 这 $k$ 维面积 $f(A)$ 然后经典地定义为
$k$-dimensional area of $f(A)=\int_A J f(x) \mathrm{d} x$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Measurable sets and σ-additivity

给定一个家庭 $\mathcal{F}$ 的子集 $\mathbb{R}^n$ ，我们说外测 $\mu$ 上 $\mathbb{R}^n$ 是 $\sigma$-添加剂 $\mathcal{F}$ ，假如
$$
\mu\left(\bigcup_{h \in \mathbb{N}} E_h\right)=\sum_{h \in \mathbb{N}} \mu\left(E_h\right),
$$
根据我们对度量概念的天真直觉，我们期望任何合理的度量是 $\sigma$-添加剂 $\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^n\right)$. 然而，即使在 Lebesgue 测量的 情况下，这也失败了 $\mathcal{L}^1$ 上 $\mathbb{R}$. 为了说明这一点，让我们考虑经典的维塔利的例子。定义等价关系 $\approx$ 上 $(0,1)$ ，以便 $x \approx y$ 当且仅当 $x-y$ 是理性的。根据选择公理，存在一个集合 $E \subset(0,1)$ 仅包含来自定义的每个等价类的一个
$$
E_h=\left(x_h+\left(E \cap\left(0,1-x_h\right)\right)\right) \cup\left(\left(x_h-1\right)+\left(E \cap\left(1-x_h, 1\right)\right)\right)
$$
是，通过构造 $E$ ，脱节。通过平移不变性 $\mathcal{L}^1$ ，
$$
\left|E_h\right|=\left|E \cap\left(0,1-x_h\right)\right|+\left|E \cap\left(1-x_h, 1\right)\right|=|E|,
$$
$$
1=|(0,1)|=\sum_{h \in \mathbb{N}}|E|
$$
反对 $|E| \in[0, \infty]$. 因此， $\mathcal{L}^1$ 不是 $\sigma$-添加剂 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$. 正如我们将在章节中证明的那样 $2.1, \mathcal{L}^1$ 然而， $\sigma$-对一大类子 集的加法 $\mathbb{R}^n$. 迈向这种结果的第一步是以下定理，它提供给定的外部度量 $\mu$ ，自然域 $\sigma$-可加性 $\mu$.

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The graphs above are incomplete. These figures only show a vertex with degree four (vertex E), its nearest neighbors (A, B, C, and D), and segments of A-C Kempe chains. The entire graphs would also contain several other vertices (especially, more colored the same as B or D) and enough edges to be MPG’s. The left figure has A connected to $C$ in a single section of an A-C Kempe chain (meaning that the vertices of this chain are colored the same as A and C). The left figure shows that this A-C Kempe chain prevents B from connecting to $\mathrm{D}$ with a single section of a B-D Kempe chain. The middle figure has A and C in separate sections of A-C Kempe chains. In this case, B could connect to D with a single section of a B-D Kempe chain. However, since the A and C of the vertex with degree four lie on separate sections, the color of C’s chain can be reversed so that in the vertex with degree four, C is effectively recolored to match A’s color, as shown in the right figure. Similarly, D’s section could be reversed in the left figure so that D is effectively recolored to match B’s color.

Kempe also attempted to demonstrate that vertices with degree five are fourcolorable in his attempt to prove the four-color theorem [Ref. 2], but his argument for vertices with degree five was shown by Heawood in 1890 to be insufficient [Ref. 3]. Let’s explore what happens if we attempt to apply our reasoning for vertices with degree four to a vertex with degree five.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The previous diagrams

The previous diagrams show that when the two color reversals are performed one at a time in the crossed-chain graph, the first color reversal may break the other chain, allowing the second color reversal to affect the colors of one of F’s neighbors. When we performed the $2-4$ reversal to change B from 2 to 4 , this broke the 1-4 chain. When we then performed the 2-3 reversal to change E from 3, this caused C to change from 3 to 2 . As a result, F remains connected to four different colors; this wasn’t reversed to three as expected.
Unfortunately, you can’t perform both reversals “at the same time” for the following reason. Let’s attempt to perform both reversals “at the same time.” In this crossed-chain diagram, when we swap 2 and 4 on B’s side of the 1-3 chain, one of the 4’s in the 1-4 chain may change into a 2, and when we swap 2 and 3 on E’s side of the 1-4 chain, one of the 3’s in the 1-3 chain may change into a 2 . This is shown in the following figure: one 2 in each chain is shaded gray. Recall that these figures are incomplete; they focus on one vertex (F), its neighbors (A thru E), and Kempe chains. Other vertices and edges are not shown.

Note how one of the 3’s changed into 2 on the left. This can happen when we reverse $\mathrm{C}$ and $\mathrm{E}$ (which were originally 3 and 2 ) on E’s side of the 1-4 chain. Note also how one of the 4’s changed into 2 on the right. This can happen when we reverse B and D (which were originally 2 and 4) outside of the 1-3 chain. Now we see where a problem can occur when attempting to swap the colors of two chains at the same time. If these two 2’s happen to be connected by an edge like the dashed edge shown above, if we perform the double reversal at the same time, this causes two vertices of the same color to share an edge, which isn’t allowed. We’ll revisit Kempe’s strategy for coloring a vertex with degree five in Chapter $25 .$

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The shading of one section of the B-R

由于 Kempe 链的每个部分都与同一颜色对的其他部分隔离，因此 Kempe 链的任何部分的颜色可以颠倒，但仍满足四色定理。这是一个重要且有用的概念。

上面 BR 链的一个部分的阴影说明了任何 Kempe 链的任何部分的颜色如何可以反转。请注意，我们反转了 BR 链的一个部分的颜色，但没有反转中心部分的颜色。同一条链的每个部分的颜色可以独立于该链的其他部分反转。

为什么 PG 有 Kempe 链？很容易理解为什么 MPG 有 Kempe 链。（由于 PG 是通过从 MPG 中去除边缘而形成的，并且由于适用于 MPG 的着色也适用于 PG，因此 PG 也具有 Kempe 链。）

• MPG 是三角测量的。它由具有三个边和三个顶点的面组成。
• 每个面的三个顶点必须是三种不同的颜色。
• 每条边由两个相邻的三角形共享，形成一个四边形。
• 每个四边形将有 3 或 4 种不同的颜色。如果与共享边相对的两个顶点恰好是相同的颜色，则它有 3 种颜色。
• 对于每个四边形，四个顶点中的至少 1 个顶点和最多 3 个顶点具有任何颜色对的颜色。例如，具有 R、G、B 和G有 1 个顶点R−是和3个顶点乙−G，或者您可以将其视为 1 个顶点乙−是和3个顶点G−R，或者您可以将其视为 BR 的 2 个顶点和 GY 的 2 个顶点。在后一种情况下，2G’ 不是同一链的连续颜色。
• 当您将更多三角形组合在一起（四边形仅组合两个）并考虑可能的颜色时，您将看到 Kempe 的部分

链子出现。我们将在 Chápter 中看到这些 Kémpé chảins 是如何出现的21.
也很容易看出一对颜色（如 RY）将如何与其对应颜色（BG）相邻：

• 画一张R顶点和一个是由边连接的顶点。
• 如果一个新顶点连接到这些顶点中的每一个，它必须是乙或者G.
• 如果一个新顶点连接到 R 而不是是，可能是是,乙， 或者G.
• 如果一个新的顶点连接到是但不是R，可能是R,乙， 或者G.
• RY 链要么继续增长，要么被 B 包围，G.
• 如果你关注 B 和 G，你会为它的链条得出类似的结论。
• 如果一条链条完全被其对应物包围，则链条的新部分可能会出现在其对应物的另一侧。
  Kempe 证明了所有具有四阶的顶点（那些恰好连接到其他四个顶点的顶点）都是四色的 [Ref. 2]。例如，考虑下面的中心顶点。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|In the previous figure

在上图中，顶点和是四度，因为它连接到其他四个顶点。Kempe 表明顶点 A、B、C 和 D 不能被强制为四种不同的颜色，这样顶点 E 总是可以被着色而不会违反四色定理，无论 MPG 的其余部分看起来如何上一页显示的部分。

• A 和 C 或者是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，或者它们各自位于 AC Kempe 链的不同部分。（如果一种和C例如，是红色和黄色的，则 AC 链是红黄色链。） – 如果一种和C每个位于 AC Kempe 链的不同部分，其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 C 以匹配 A 的颜色。如果 A 和 C 是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，则 B 和 D每个都必须位于 BD Kempe 链的不同部分，因为 AC Kempe 链将阻止任何 BD Kempe 链从 B 到达 D。（如果乙和D是蓝色和绿色，例如，那么一种BD Kempe 链是蓝绿色链。）在这种情况下，由于 B 和 D 分别位于 BD Kempe 链的不同部分，因此 BD Kempe 链的其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 D 以匹配 B颜色。– 因此，可以使 C 与 A 具有相同的颜色或使 D 具有与 A 相同的颜色乙通过反转 Kempe 链的分离部分。

上面的图表是不完整的。这些图只显示了一个四阶顶点（顶点 E）、它的最近邻居（A、B、C 和 D），以及 AC Kempe 链的片段。整个图还将包含几个其他顶点（特别是与 B 或 D 相同的颜色）和足够多的边以成为 MPG。左图有 A 连接到C在 AC Kempe 链的单个部分中（意味着该链的顶点颜色与 A 和 C 相同）。左图显示此 AC Kempe 链阻止 B 连接到DBD Kempe 链条的一个部分。中间的数字在 AC Kempe 链的不同部分有 A 和 C。在这种情况下，B 可以通过 BD Kempe 链的单个部分连接到 D。但是，由于四阶顶点的 A 和 C 位于不同的部分，因此可以反转 C 链的颜色，以便在四阶顶点中，C 有效地重新着色以匹配 A 的颜色，如右图所示. 类似地，可以在左图中反转 D 的部分，以便有效地重新着色 D 以匹配 B 的颜色。

Kempe 还试图证明五阶顶点是可四色的，以证明四色定理 [Ref. 2]，但 Heawood 在 1890 年证明他关于五次顶点的论点是不充分的 [Ref. 3]。让我们探讨一下如果我们尝试将我们对度数为四的顶点的推理应用于度数为五的顶点会发生什么。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The previous diagrams

前面的图表显示，当在交叉链图中一次执行两种颜色反转时，第一次颜色反转可能会破坏另一个链，从而允许第二次颜色反转影响 F 的一个邻居的颜色。当我们执行2−4反转将 B 从 2 更改为 4 ，这打破了 1-4 链。然后，当我们执行 2-3 反转以将 E 从 3 更改时，这导致 C 从 3 更改为 2 。结果，F 仍然连接到四种不同的颜色；这并没有像预期的那样反转为三个。
不幸的是，由于以下原因，您不能“同时”执行两个冲销。让我们尝试“同时”执行两个反转。在这个交叉链图中，当我们在 1-3 链的 B 侧交换 2 和 4 时，1-4 链中的一个 4 可能会变成 2，当我们在 E 侧交换 2 和 3 时1-4 链，1-3 链中的 3 之一可能会变为 2 。如下图所示：每条链中的一个 2 为灰色阴影。回想一下，这些数字是不完整的；他们专注于一个顶点 (F)、它的邻居 (A 到 E) 和 Kempe 链。其他顶点和边未显示。

请注意左侧的 3 之一如何变为 2。当我们反转时会发生这种情况C和和（最初是 3 和 2 ）在 1-4 链的 E 侧。还要注意 4 个中的一个如何在右侧变为 2。当我们在 1-3 链之外反转 B 和 D（最初是 2 和 4）时，就会发生这种情况。现在我们看到了尝试同时交换两条链的颜色时会出现问题的地方。如果这两个 2 恰好通过上图虚线这样的边连接起来，如果我们同时进行双重反转，就会导致两个相同颜色的顶点共享一条边，这是不允许的。我们将在第 1 章重新讨论 Kempe 为五阶顶点着色的策略25.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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