## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Dimension of a Vector Space

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Dimension of a Vector Space

In this section, we discuss the definition of dimension and prove the invariance of the cardinality of the basis. Some results on cardinal arithmetic are needed in the infinite-dimensional case. We also prove the existence of a vector space of any given dimension.

Definition. A vector space $U$ is said to be finite dimensional if it contains a finite basis.
Example 1. $\mathbb{K}^n$ and $\mathbb{P}n$ are finite dimensional. Lemma 3.3.1. Consider the following system of linear equations with coefficients in $\mathbb{K}$ : \begin{aligned} & a{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1 m} x_m=0 \ & a_{21} x_1+a_{22} x_2+\ldots+a_{2 m} x_m=0 \ & \vdots \ & \vdots \ & a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\ldots+a_{n m} x_n=0 . \end{aligned}
If $m>n$, then the system has a nontrivial (i.e., nonzero) solution $\left(x_1, \ldots, x_m\right) \in \mathbb{K}^m$.

Proof. Without loss of generality, assume that $m=n+1$, because we can augment the system by adding $m-n-1$ equations with zero coefficients to the system.
Since at least one of the coefficients is different from zero, we may assume, by reordering the equations and renumbering the variables, that $a_{11} \neq 0$. We prove the theorem by induction on $n$. Subtracting $\frac{a_{i, 1}}{a_{11}}$ times the top equation from equation $i, 2 \leq i \leq n$ yields the equivalent system
\begin{aligned} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1, n+1} x_{n+1} & =0, \ b_{22} x_2+\ldots+b_{2, n+1} x_{n+1} & =0, \ \vdots & \vdots \ b_{n 2} x_2+\ldots+b_{n, n+1} x_{n+1} & =0, \end{aligned}
where $b_{i j}=a_{i j}-a_{i 1} a_{1 j} / a_{11}, 2 \leq i \leq n, 2 \leq j \leq n+1$. The bottom $n-1$ equations of the above system have a nontrivial solution $\left(x_2, \ldots, x_{n+1}\right)$, by the inductive hypothesis. Defining $x_1=\frac{-1}{a_{11}} \sum_{j=2}^{n+1} a_{1 j} x_j$ yields a nontrivial solution $\left(x_1, \ldots, x_{n+1}\right)$ of the original system.

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Linear Mappings, Quotient Spaces, and Direct Sums

A proper understanding of this section is essential for a smooth transition to the rest of the book. While the early results in the section are elementary, a number of important concepts make their first debut later in the section. Specifically, this includes quotient spaces and quotient maps, direct sums, projections and algebraic complements, linear functionals and linear operators, maximal subspaces and the co-dimension of a subspace and, finally, the definition of an algebra over a field.
Definition. Let $U$ and $V$ be vector spaces over $\mathbb{K}$. A mapping $T: U \rightarrow V$ is said to be linear if, for all $u, v \in U$, and all $a \in \mathbb{K}$,
$$T(u+v)=T(u)+T(v), \text { and } T(a u)=a T(u)$$
The following are examples of linear mappings.

# 数学分析代考

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Dimension of a Vector Space

\begin{aligned} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1, n+1} x_{n+1} & =0, \ b_{22} x_2+\ldots+b_{2, n+1} x_{n+1} & =0, \ \vdots & \vdots \ b_{n 2} x_2+\ldots+b_{n, n+1} x_{n+1} & =0, \end{aligned}

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Linear Mappings, Quotient Spaces, and Direct Sums

$$T(u+v)=T(u)+T(v), \text { and } T(a u)=a T(u)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Finite, Countable, and Uncountable Sets

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Finite, Countable, and Uncountable Sets

Cantor’s revolutionary ideas were initially focused on understanding infinite sets. His starting point was, as is ours in this chapter, set equivalence. The title of the section accurately captures its objectives: to formulate clear definitions of finite and infinite sets, and to study their properties in good detail. Among the results we establish are Dedekind’s definition of an infinite set, the countability of $\mathbb{Q}$, and, in general, the countability of a countable union of countable sets. We conclude the section by showing the existence of uncountable sets through the establishment of the fact that $2^{\mathbb{N}}$ and $\mathbb{R}$ are uncountable.

Definition. Two sets $A$ and $B$ are equivalent if there is a bijection from $A$ to $B .{ }^1$ We use the notation $A \approx B$ to indicate the equivalence of $A$ and $B$.

Example 1. The set $2 \mathbb{N}$ of even positive integers is equivalent to $\mathbb{N}$. The function $f: \mathbb{N} \rightarrow 2 \mathbb{N}$ defined by $f(n)=2 n$ is bijective.

Example 2. The closed interval $[0,1]$ is equivalent to an arbitrary closed interval $a, b$. The function $f(x)=\frac{x-a}{b-a}$ is a bijection from $[a, b]$ to $[0,1]$.

Example 3. The closed interval $[0,1]$ is equivalent to the open interval $(0,1)$. Define a function $f:[0,1] \rightarrow(0,1)$ as follows:
$$f(x)= \begin{cases}1 / 2 & \text { if } x=0 \ 1 /(n+2) & \text { if } x=1 / n, n \in \mathbb{N}, \ x & \text { otherwise. }\end{cases}$$
It is easy to verify that $f$ is a bijection.
Example 4. Let $A=(-\pi / 2, \pi / 2), B=\mathbb{R}$. The function $f(x)=\tan (x)$ is a bijection from $A$ to $B$. Thus $A \approx B$.

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Zorn’s Lemma and the Axiom of Choice

The axiom of choice is one of the most useful tools in set theory. Although it is easy to state and widely accepted, the axiom of choice has also generated much controversy among mathematicians. In this section, we study the axiom of choice and its most famous and widely applicable equivalent: Zorn’s lemma, which is an indispensable tool in this book. The section and the section exercises contain typical but illuminating illustrations of how Zorn’s lemma is applied. In this section, we also study partially ordered, linearly ordered, and well-ordered sets and establish results such as the Schröder-Bernstein theorem, which will help us study cardinal numbers in the next section. Although ordinal numbers have been avoided in this book, the section exercises are largely focused on well-ordered sets.
Definition. Let $A$ be a nonempty set. A partial ordering on $A$ is a relation $\leq$ on $A$ such that, for all $x, y$, and $z \in A$,
(a) $x \leq x$
(b) if $x \leq y$ and $y \leq z$, then $x \leq z$, and
(c) if $x \leq y$ and $y \leq x$, then $x=y$.
If $x \leq y$ and $x \neq y$, we write $x<y$.
A relation satisfying condition (c) is called antisymmetric.
Definition. Let $A$ be a nonempty set. A partial ordering $\leq$ on $A$ is said to be a linear (or total) ordering if it also satisfies the condition that, for $x, y \in A$, either $x \leq y$ or $y \leq x$. In this case, we say that $A$ is linearly ordered by $\leq$. A linearly ordered set is commonly called a chain.

# 数学分析代考

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Finite, Countable, and Uncountable Sets

$$f(x)= \begin{cases}1 / 2 & \text { if } x=0 \ 1 /(n+2) & \text { if } x=1 / n, n \in \mathbb{N}, \ x & \text { otherwise. }\end{cases}$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Zorn’s Lemma and the Axiom of Choice

(a) $x \leq x$
(b)如果$x \leq y$和$y \leq z$，则$x \leq z$
(c)如果$x \leq y$和$y \leq x$，则$x=y$。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Further properties of real numbers

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Further properties of real numbers

We now look at some further properties of the set $\mathbb{R}$. Recall that there is no rational number $\xi$ such that $\xi^2=2$. Therefore, we would like to see if there exists a real number $x$ such that $x^2=2$. Before going further, we need to make some preparations.

Proposition 3.14. (i) (Bounding of reals by integers) For any $x \in \mathbb{R}$, there exists a unique integer, denoted by $[x]$ such that
$$[x] \leqslant x<[x]+1$$ (ii) (Archimedean property) For any real numbers $x, \varepsilon>0$, there exists a natural number $N$ such that $N \varepsilon>x$.
(iii) (Density of rational numbers) For any real numbers $x<y$, there exists a rational number $q$ such that $x<q<y$.

Proof. (i) Let $x>0$. There exists a sequence $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})$ such that
$$x=\lim \xi_n$$
Since Cauchy sequence is bounded, we can find rational numbers $q, r$ and a natural number $N$ such that
$$0<q \leqslant \xi_n \leqslant r, \quad \forall n \geqslant N$$
Then, by Proposition 2.21, we have
$$[q] \leqslant q \leqslant \xi_n \leqslant r<[r]+1 .$$
Hence,
$$[q] \leqslant x \leqslant[r]+1$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Real exponentiation

We have defined $x^{\xi}$ for any $x \in \mathbb{R}, x>0$ and any $\xi \in \mathbb{Q}$. We now would like to define $x^y$ for any $x, y \in \mathbb{R}, x>0$. Let us begin with the following lemma.

Lemma 3.28. Let $x, y \in \mathbb{R}$ with $x>0$, and $y=\lim \eta_n$ with $\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1} \in$ $c(\mathbb{Q})$. Then $\left{x^{\eta_n}\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{R})$. Furthermore, if $\left{\zeta_n\right}_{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$, then $\left{x^{\zeta_n}\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{R})$ and
$$\lim {n \rightarrow \infty} x^{\zeta_n}=\lim {n \rightarrow \infty} x^{\eta_n}$$
Proof. Let $x>1$. Since $\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$ is Cauchy, it is bounded by, say, $M>0:$
$$\left|\eta_n\right| \leqslant M, \quad \forall n \geqslant 1 .$$
Also, since $\lim {n \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{n}}=1$, for any $\varepsilon>0$, there exists a $K \geqslant 1$ such that $$\left|x^{\frac{1}{K}}-1\right|<\varepsilon x^{-M}$$ and there exists an $N \in \mathbb{N}$ such that $$\left|\eta_n-\eta_m\right|<\frac{1}{K}, \quad \forall n, m \geqslant N .$$ Consequently, by assuming, $\eta_n \geqslant \eta_m$, we have $$\left|x^{\eta{\mathrm{n}}}-x^{\eta_m}\right|=x^{\eta_m}\left|x^{\eta_{\mathrm{n}}-\eta_m}-1\right| \leqslant x^M\left|x^{\frac{1}{K}}-1\right|<\varepsilon, \quad \forall m, n \geqslant N .$$
Hence, $\left{x^{\eta_n}\right}_{n \geqslant 1}$ is Cauchy, and it is convergent.
Next, suppose $\left{\zeta_n\right}_{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$. Let $r_n=\eta_n-\zeta_n$. Then $r_n \rightarrow 0$. We claim that
$$\lim _{n \rightarrow \infty} x^{r_n}=1$$

# 数学分析代考

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Further properties of real numbers

$$[x] \leqslant x<[x]+1$$ (ii)(阿基米德性质)对于任何实数$x, \varepsilon>0$，存在一个自然数$N$使得$N \varepsilon>x$。
(iii)(有理数密度)对于任何实数$x<y$，存在一个有理数$q$使得$x<q<y$。

$$x=\lim \xi_n$$

$$0<q \leqslant \xi_n \leqslant r, \quad \forall n \geqslant N$$

$$[q] \leqslant q \leqslant \xi_n \leqslant r<[r]+1 .$$

$$[q] \leqslant x \leqslant[r]+1$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Real exponentiation

$$f(E) \subseteq U \cup V, \quad f(E) \cap U \neq \varnothing, \quad f(E) \cap V \neq \varnothing .$$

$$E \subseteq f^{-1}(U \cup V)=f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)$$

$$E \cap f^{-1}(U) \neq \varnothing, \quad E \cap f^{-1}(V) \neq \varnothing .$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Frechet Differentiability

$$f\left(\xi_0+\xi, \eta_0+\eta\right)-f\left(\xi_0, \eta_0+\eta\right)=f_{\xi}\left(\xi_0+\theta \xi, \eta_0+\eta\right) \xi$$

$$f\left(\xi_0, \eta_0+\eta\right)-f\left(\xi_0, \eta_0\right)=f_\eta\left(\xi_0, \eta_0\right) \eta+R\left(\eta ; \eta_0\right)$$

$$\lim _{|\eta| \rightarrow 0} \frac{\left|R\left(\eta ; \eta_0\right)\right|}{|\eta|}=0$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Poincare problem

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写复分析Complex function方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写复分析Complex function代写方面经验极为丰富，各种代写复分析Complex function相关的作业也就用不着说。

## 数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Poincare problem

a) If we drop the assumption of pseudoconcavity there is no hope to obtain a statement of the nature of theorem (5.2.1); we have already remarked that for $X=\pi$, the functions $e^z, e^{z^2}, \ldots$ are algebraically independent and, therefore, the transcendence degree of $\mathcal{T}(\boldsymbol{\pi})$ is infinite. However if we take as grount field $Q(X)$ instead of $\mathbb{T}$ the situstion is more hopeful. First of all one $h$ is the following useful fact
Theorem $(5.3 .1)$. If $X$ is a normal space, then $\mathcal{Q}(X)$ is algebraically closed in $\pi(X)$.
The proof is the same as the proof given for wanifolds
(theorem $(2.2 .2)$ ). Moreover the previous counter-example disappears as one has:
Theorem $(5.3 .2)$.
(a) If $X$ is a stein space (1) then $Q(X)=K(X)$.
(b) If $X$ is an open connected subset of a Stein manifold then $Q(x)=K(x)$.
(1) A Stein space (or holomorphically complete space) is a complex space. X (with countable topology) satisfying the following conditions
(1) $H(X)$ separates points 1.e. if $x \neq y, x, y \in X$, there exists an $f \in H(X)$ with $f(x) \neq f(y)$.
(ii) for any divergent sequence $\left{x_1\right} \subset X$ there exists an $P \in H(X)$ such that
$\sup \left|f\left(x_1\right)\right|=\alpha_{\text {}}$

## 数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Proof of proposition

(a) First we remark that, given a compact set $K \subset X$ we $c a n$ find finitely many holomor hic functions $f_1, \ldots, f_k$ in $H(\mathrm{X})$ such that:
$$x_1 \approx x_2, x_1, x_2 \text { in } K, \text { iff } f_1\left(x_1\right)=f_1\left(x_2\right), \ldots f_k\left(x_1\right)=$$

by the analytic set
$$\mathscr{R}=f_{\varepsilon}^n \mathcal{A}(x) \quad\left{\left(x_1, x_2\right) \epsilon x \times x \mid f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=0\right} .$$
Locally $R$ can be given by finitely many of its defining equations. Since $K \times K$ is compact finitely many of these defining equations sufice to define $\mathbb{R} \cap K \times K$.
Let $X, Y$ be complex spaces and let $\phi: X \rightarrow Y$ be holonorphic
(i) if $g$ is meromorphic so is $\phi^* g$
(1i) $1 f \phi$ is semiproper and surjective then if $\phi^* g$ is meromorphic so is $\mathrm{g}$.

# 复分析代写

## 数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Poincare problem

a)如果我们放弃假凹性的假设，就没有希望得到定理(5.2.1)性质的陈述;我们已经注意到，对于$X=\pi$，函数$e^z, e^{z^2}, \ldots$是代数独立的，因此，$\mathcal{T}(\boldsymbol{\pi})$的超越度是无限的。然而，如果我们把地面场$Q(X)$而不是$\mathbb{T}$，情况就更有希望了。首先$h$是以下有用的事实

(定理$(2.2 .2)$)。此外，前面的反例也消失了:

(a)如果$X$是斯坦空间(1)，则$Q(X)=K(X)$。
(b)如果$X$是Stein流形的开连通子集，则$Q(x)=K(x)$。
(1) Stein空间(或全纯完备空间)是一个复空间。X(具有可数拓扑)满足以下条件
(1) $H(X)$将1.e点分开。如果是$x \neq y, x, y \in X$，则存在与$f(x) \neq f(y)$对应的$f \in H(X)$。
(ii)对于任何发散序列$\left{x_1\right} \subset X$，存在一个$P \in H(X)$，使得
$\sup \left|f\left(x_1\right)\right|=\alpha_{\text {}}$

## 数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Proof of proposition

(a)首先我们注意到，给定一个紧集$K \subset X$，我们$c a n$在$H(\mathrm{X})$中找到了有限多个全息函数$f_1, \ldots, f_k$，使得:
$$x_1 \approx x_2, x_1, x_2 \text { in } K, \text { iff } f_1\left(x_1\right)=f_1\left(x_2\right), \ldots f_k\left(x_1\right)=$$

$$\mathscr{R}=f_{\varepsilon}^n \mathcal{A}(x) \quad\left{\left(x_1, x_2\right) \epsilon x \times x \mid f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=0\right} .$$

(i)如果$g$是亚纯的，那么$\phi^* g$也是亚纯的
(1) $1 f \phi$是半真满射的，如果$\phi^* g$是亚纯的，那么$\mathrm{g}$也是亚纯的。

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。