MATH 4681. Probability and Risks - 统计代写答疑辅导

标签： MATH 4681. Probability and Risks

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Levy formula

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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在数学中，高等概率论Advanced Probability Theory对概率论的基础有更深入的了解。它提供了测量理论概率论中的重要概念、结果和证明，并强调统计学。它涵盖了概率空间和随机元素、积分和微分、分布及其特征、条件期望、渐进理论，以及大量的练习，包括许多额外的结果。

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Advanced Probability Theory 高等楖率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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Fractional Lévy stable motion: Finite difference iterative forecasting model - ScienceDirect — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Levy formula

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Levy formula

$L(x)$ is defined on $\mathcal{R}-{0}$. It is easy to see that
$$
\begin{array}{cl}
L(x)=C_{1}+\int_{-\infty}^{x} \frac{1+y^{2}}{y^{2}} d G(y), & \text { if } x<0, \ C_{2}-\int_{x}^{\infty} \frac{1+y^{2}}{y^{2}} d G(y), & \text { if } x>0,
\end{array}
$$
for any constants $C_{1}$ and $C_{2}$. (Verify that the integrals are well-defined!)
Furthermore, it is easy to see that $L(x)$ is non-decreasing on $(-\infty, 0)$ and $(0, \infty)$, respectively, and satisfies
$$
\lim {x \rightarrow-\infty} L(x)=C{1}, \quad \lim {x \rightarrow \infty} L(x)=C{2} .
$$
Note that, for every finite $\delta>0$, we have
$$
\int_{0<|x|<\delta} x^{2} d L(x)=\int_{0<|x|<\delta}\left(1+x^{2}\right) d G(x) \leq\left(1+\delta^{2}\right) \int_{0<|x|<\delta} d G(x)<\infty
$$
In view of (5.4), the following are equivalent:
$$
\int_{0<|x|<\delta} x^{2} d L(x)<\infty, \quad \Longleftrightarrow \int_{|x|>0}\left(x^{2} \wedge 1\right) d L(x)<\infty, \quad \Longleftrightarrow \quad \int_{|x|>0} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d L(x)<\infty
$$
$L(x)$ is finite for $x \neq 0$. But at $x=0$, they might not be well-defined. Namely, as $x>0$ or $x \searrow 0$, we might have $|L(x)| \rightarrow \infty$ and/or $\left|L^{\prime}(x)\right|=\infty$ (if $L^{\prime}$ exists).
On the other hand, it is easy to see that, for every finite $\epsilon>0$, we have
$$
L\left((-\epsilon, \epsilon)^{\kappa}\right)-\int_{|x|>\epsilon} d L(x)-\int_{|x|>c} \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G(x) \leq\left(1+\epsilon^{-2}\right) \int_{|x|>c} d G(x)<\infty
$$
$L(x)$ is often called “Levy measure”, a very important concept in the studies of Levy processes.
We summarize everything in the next theorem.
THEOREM 12.5.1 (Levy formula) A function $\psi(t)$ is an i.d.c.f. if and only if it admits the following (unique) representation
$$
\psi(t)=\exp \left{i t \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0}\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) d L(x)\right}
$$
where $\gamma$ is a real constant, $\sigma^{2}$ is a non-negative constant, and the function $L$ is non-decreasing on the intervals $(-\infty, 0)$ and $(0, \infty)$, and satisfies
$$
\int_{0<|x|<\delta} x^{2} d L(x)<\infty, \quad \text { for every finite } \delta>0 \text {. }
$$
REMARK 12.5.1 An alternative Levy formula takes the following form:
$$
\begin{aligned}
\psi(t) &=\exp \left{i t \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0}\left(e^{i t x}-1-i t x I{|x|<1}\right) d L(x)\right} \
&=\exp \left{i t \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{0<|x|<1}\left(e^{i t x}-1-i t x\right) d L(x)+\int_{|x| \geq 1}\left(e^{i t x}-1\right) d L(x)\right} .
\end{aligned}
$$
This corresponds to the decomposition of a Levy process, which can be written as the sum of a Brownian motion, small jump component (a martingale), and a compound Poisson process.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Kolmogorov formula

In the special case where the r.v. $X$ has finite second moment $E X^{2}$, we know that $\psi(t)$ is twice differentiable. In this case, we have the following simpler representation.

THEOREM 12.6.1 (Komogorov formula) A function $\psi(t)$ is an i.d.c.f. with a finite variance if and only if it admits the following (unique) representation
$$
\psi(t)=\exp \left{i t \gamma+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{i t x}-1-i t x\right) \frac{1}{x^{2}} d K(x)\right}
$$
where $\gamma$ is a real constant, the function $K$ is a bounded non-decreasing function.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between the sum of independent r.v. and i.d.

What do the limiting d.f. of sums of independent r.v.s look like? We start with some simple examples:

If $E\left|X_{1}\right|<\infty$, then $\bar{X} \rightarrow d \mu$, whose c.f is $e^{i t \mu}$.
If $E\left|X_{1}\right|<\infty$, then $\sqrt{n}(\bar{X}-\mu) / \sigma \rightarrow d N(0,1)$, whose è.f is $e^{-t^{2} / 2}$
If $X_{n k}$ are i.i.d. $\operatorname{Bin}(n, p=\lambda / n)$, then $\sum X_{n k} \rightarrow_{d} \operatorname{Poisson}(\lambda)$, whose c.f. is $e^{\lambda\left(e^{i t}-1\right)}$.
If $X_{k}$ are i.i.d. Cauchy $(0,1)$, then $\bar{X} \rightarrow_{d} X_{1}$, whose c.f. $e^{-|t|}$.
Note that the c.f.s of the limiting distributions are all of the form $e^{\eta(t)}$. In fact, all the above limiting distributions are i.d., this is no accident. See the next theorem.
THEOREM 12.7.1 Let $\sum X_{n k}$ be independent r.v.s satisfying the following infinitesimal condition:
$$
\max {1 \leq k \leq n} P\left(\left|X{n k}\right|>\epsilon\right) \rightarrow 0, \quad \text { as } n \rightarrow \infty
$$
Then,
$$
\left{\text { all limiting d.f.s of } \sum X_{n k}\right}={\text { all i.d. d.f.s }}
$$

Lévy distribution - Wikipedia — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Levy formula

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Levy formula

一世(X)定义在R−0. 很容易看出
一世(X)=C1+∫−∞X1+和2和2dG(和), 如果 X<0, C2−∫X∞1+和2和2dG(和), 如果 X>0,
对于任何常数C1和C2. （验证积分是明确定义的！）
此外，很容易看出一世(X)不减少(−∞,0)和(0,∞), 分别满足
$$
\lim {x \rightarrow-\infty} L(x)=C {1}, \quad \lim {x \rightarrow \infty} L(x)=C {2} 。
$$
注意，对于每一个有限d>0，我们有
∫0<|X|<dX2d一世(X)=∫0<|X|<d(1+X2)dG(X)≤(1+d2)∫0<|X|<ddG(X)<∞
鉴于（5.4），以下是等价的：
∫0<|X|<dX2d一世(X)<∞,⟺∫|X|>0(X2∧1)d一世(X)<∞,⟺∫|X|>0X21+X2d一世(X)<∞
一世(X)是有限的X≠0. 但在X=0，它们可能没有明确定义。即，作为X>0要么X0，我们可能有|一世(X)|→∞和/或|一世′(X)|=∞（如果一世′存在）。
另一方面，很容易看出，对于每一个有限ε>0，我们有
一世((−ε,ε)ķ)−∫|X|>εd一世(X)−∫|X|>C1+X2X2dG(X)≤(1+ε−2)∫|X|>CdG(X)<∞
一世(X)常被称为“Levy 度量”，是 Levy 过程研究中的一个非常重要的概念。
我们在下一个定理中总结了所有内容。
定理 12.5.1（Levy 公式）函数ψ(吨)是一个 idcf 当且仅当它承认以下（唯一）表示
\psi(t)=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0}\left(e^{ itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) d L(x)\right}\psi(t)=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0}\left(e^{ itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) d L(x)\right}
在哪里C是一个实常数，σ2是一个非负常数，函数一世在区间上不减少(−∞,0)和(0,∞)，并且满足
∫0<|X|<dX2d一世(X)<∞, 对于每一个有限 d>0.
备注 12.5.1 另一种征费公式采用以下形式：
\begin{对齐} \psi(t) &=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0} \left(e^{itx}-1-itx I{|x|<1}\right) d L(x)\right} \ &=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2 } \sigma^{2} t^{2}+\int_{0<|x|<1}\left(e^{itx}-1-itx\right) d L(x)+\int_{|x | \geq 1}\left(e^{i t x}-1\right) d L(x)\right} 。\end{对齐}\begin{对齐} \psi(t) &=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0} \left(e^{itx}-1-itx I{|x|<1}\right) d L(x)\right} \ &=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2 } \sigma^{2} t^{2}+\int_{0<|x|<1}\left(e^{itx}-1-itx\right) d L(x)+\int_{|x | \geq 1}\left(e^{i t x}-1\right) d L(x)\right} 。\end{对齐}
这对应于 Levy 过程的分解，可以写成布朗运动、小跳跃分量（鞅）和复合泊松过程的总和。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Kolmogorov formula

在 rv 的特殊情况下X有有限的第二时刻和X2，我们知道ψ(吨)是二次可微的。在这种情况下，我们有以下更简单的表示。

定理 12.6.1 (Komogorov 公式) 一个函数ψ(吨)是具有有限方差的 idcf 当且仅当它承认以下（唯一）表示
\psi(t)=\exp \left{it \gamma+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-itx\right) \frac{1}{x^{ 2}} d K(x)\right}\psi(t)=\exp \left{it \gamma+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-itx\right) \frac{1}{x^{ 2}} d K(x)\right}
在哪里C是一个实常数，函数到是有界非减函数。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between the sum of independent r.v. and i.d.

独立 rv 总和的极限 df 是什么样的？我们从一些简单的例子开始：

如果和|X1|<∞，然后X¯→dμ, 其 cf 是和一世吨μ.
如果和|X1|<∞，然后n(X¯−μ)/σ→dñ(0,1)，其 è.f 是和−吨2/2
如果Xn到是独立同居是⁡(n,p=λ/n)，然后∑Xn到→d鱼⁡(λ), 其 cf 是和λ(和一世吨−1).
如果X到是 iid 柯西吗(0,1)，然后X¯→dX1，其cf和−|吨|.
请注意，限制分布的 cfs 都是形式和这(吨). 其实上面所有的限制分布都是id，这绝非偶然。参见下一个定理。
定理 12.7.1 让∑Xn到是满足以下无穷小条件的独立 rvs：
最大限度1≤到≤n磷(|Xn到|>ε)→0, 作为 n→∞
然后，
\left{\text { 所有限制 dfs } \sum X_{n k}\right}={\text { all id dfs }}

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Proof of necessity

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写高等概率论Advanced Probability Theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Proof of necessity

THEOREM 12.4.2 If $\psi(t)$ is i.d.c.f., then $\psi(t)$ has the representation (t.1).
Proof. We start with $\psi(t)=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n}$. Let $F_{n}$ denote the d.f. corresponding to the c.f. $\psi_{n}$. Now as $0<|\psi(t)| \leq 1, \ln \psi(t)$ exists and is finite. Furthermore,
$$
\psi^{1 / n}(t)=\exp \left(\frac{1}{n} \ln \psi(t)\right)=1+\frac{1}{n} \ln \psi(t)+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)=: 1+\frac{1}{n} \eta(t)+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right),
$$
from which wẻ gèt
$$
\begin{aligned}
\eta(t) &=\lim {n}\left(\psi^{1 / n}(t)-1-O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} n\left(\psi^{1 / n}(t)-1\right) \
&=\lim {n \rightarrow \infty} n\left(\psi{n}(t)-1\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \int{-\infty}^{\infty} n\left(e^{i t x}-1\right) d F_{n}(x) \
&=\lim {n \rightarrow \infty} \int{-\infty}^{\infty} n\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}+\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) d F_{n}(x) \
&=\lim {n \rightarrow \infty}\left{i t \int{-\infty}^{\infty} \frac{n x}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\int_{-\infty}^{\infty} n\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) d F_{n}(x)\right} \
&=\lim {n \rightarrow \infty}\left{i t \int{-\infty}^{\infty} \frac{n x}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\int_{-\infty}^{\infty} n\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d F_{n}(x)\right} \
&=\lim {n \rightarrow \infty}\left{i t \int{-\infty}^{\infty} \frac{n x}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d \int_{-\infty}^{x} \frac{n y^{2}}{1+y^{2}} d F_{n}(y)\right} \
&=\lim {n \rightarrow \infty}\left{i t \gamma{n}+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G_{n}(x)\right} \
&=\lim {n \rightarrow \infty} \eta{n}(t),
\end{aligned}
$$
where
$$
\eta_{n}(t)=: i t \gamma_{n}+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G_{n}(x)
$$
and
$$
\gamma_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{n x}{1+x^{2}} d F_{n}(x), \quad G_{n}(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{n y^{2}}{1+y^{2}} d F_{n}(y)
$$
We have shown that
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \eta{n}(t)=\eta(t),
$$
where $\eta(t)$ is continuous at 0 . From Lemma 12.4.3 below, we have that $\gamma_{n} \rightarrow \gamma$ and $G_{n} \Rightarrow G$ for some constant $\gamma$ and some “nice” function $G$ as described in Theorem 12.4.1.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Appendix: Several useful lemmas

Let
$$
A(y)=:\left(1-\frac{\sin y}{y}\right) \frac{1+y^{2}}{y^{2}}
$$
Note that for $y=o(1)$, we have
$$
A(y)=\left(1-\frac{1}{y}\left(y-\frac{y^{3}}{3 !}+\frac{y^{5}}{5 !}-\ldots\right)\right) \frac{1+y^{2}}{y^{2}}=\left(\frac{1}{3 !}-\frac{y^{2}}{5 !}-\ldots\right)\left(1+y^{2}\right)
$$
so if we define $A(y)$ to be $1 / 3 !$ at $y=0$, so that $A(y)$ is a nonnegative bounded continuous function. Furthermore, it can be shown easily that
$$
0<c_{1} \leq A(y) \leq c s<\infty . \quad \text { for all } y
$$
232
Now define
$$
\Lambda(x)=\int_{-\infty}^{x} A(y) d G(y), \quad \text { and } \quad \Lambda_{n}(x)=\int_{-\infty}^{x} A(y) d G_{n}(y)
$$
Therefore, $\Lambda(x)$ and $\Lambda_{n}(x)$ are bounded and non-decreasing, $\Lambda(-\infty)=0$ and $\Lambda(\infty)<\infty$ as $G(x)$ is bounded and non-decreasing. Furthermore, we can easily work out their Fourier transforms.
LEMMA 12.4.1 We have
$$
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d \Lambda(x)=\eta(t)-\frac{1}{2} \int_{0}^{1}[\eta(t+h)+\eta(t-h)] d h=: \lambda(t) \
&\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d \Lambda_{n}(x)=\eta_{n}(t)-\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left[\eta_{n}(t+h)+\eta_{n}(t-h)\right] d h=: \lambda_{n}(t) .
\end{aligned}
$$
Proof.
$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d \Lambda(x) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x}\left(1-\frac{\sin x}{x}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G(x) \
&=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{1} e^{i t x}(1-\cos h x) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d h d G(x)
\end{aligned}
$$
(by Fubini’s theorem since the integrand is bounded
$$
\begin{aligned}
&\text { contintuous in }[0,1] \times(-\infty, \infty)) \
=& \int_{0}^{1} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x}(1-\cos h x) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G(x) d h \
=& \int_{0}^{1}\left(\eta(t)-\frac{1}{2}[\eta(t+h)+\eta(t-h)]\right) d h \
=& \eta(t)-\frac{1}{2} \int_{0}^{1}[\eta(t+h)+\eta(t-h)] d h \
=& \lambda(t) .
\end{aligned}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Proof of sufficiency

THEOREM 12.4.3 If $\psi(t)$ has the representation $(4.1)$, then $\psi(t)$ is i.d.c.f.
Proof. Denote the integral in $(4.1)$ by $I(t)$, which can be written as
$$
\begin{aligned}
I(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} g(t, x) d G(x) \
&=\int_{{x>0}}+\int_{{x<0}}+\int_{{x=0}} g(t, x) d G(x) \
&=I_{+}(t)+I_{-}(t)+g(t, 0)[G(0+)-G(0-)] \
&=I_{+}(t)+I_{-}(t)-\frac{t^{2}}{2}[G(0+)-G(0-)]
\end{aligned}
$$
Then, we have
Therefore, it suffices to show that $\exp \left{I_{+}(t)\right}$ and $\exp \left{I_{-}(t)\right}$ are i.d.c.f. We will look at the first one nnly sinee the sernd ean he done similarly Note that
$$
\exp \left{I_{+}(t)\right}=\lim {m} \exp \left{I{+}^{1 / m}(t)\right}
$$
where
$$
\begin{aligned}
I_{+}^{\epsilon}(t)=& \int_{\epsilon}^{1 / e} g(t, x) d G(x) \
=& \lim {n} \sum{k=0}^{n-1}\left(e^{i t \xi_{k}}-1-\frac{i t \xi_{k}}{1+\xi_{k}^{2}}\right) \frac{1+\xi_{k}^{2}}{\xi_{k}^{2}}\left[G\left(x_{k+1}\right)-G\left(x_{k+1}\right)\right] \
=&\left(\epsilon=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=1 / \epsilon_{0} \quad x_{k} \leq \xi_{k}<x_{k+1}\right) \
=& \lim {n} \sum{k=0}^{n-1}\left(e^{i+\xi_{0}}-1-\frac{i t \xi_{k}}{1+\xi_{k}^{2}}\right) \lambda_{n k}
\end{aligned}
$$
234
$$
\begin{aligned}
&=: \lim {n} \sum{k=0}^{n-1}\left(e^{i t \xi_{k}}-1\right) \lambda_{n k}-i t \frac{\xi_{k} \lambda_{n k}}{1+\xi_{k}^{2}} \
&=: \quad \lim {n} \sum{k=0}^{n-1}\left(i t a_{n k}+\left(e^{i t \xi_{k}}-1\right) \lambda_{n k}\right) \
&=: \quad \lim {n} \sum{k=0}^{n-1} T_{n k} .
\end{aligned}
$$

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Proof of necessity

定理 12.4.2 如果ψ(吨)是 idcf，那么ψ(吨)有表示（t.1）。
证明。我们从ψ(吨)=(ψn(吨))n. 让Fn表示对应于cf的dfψn. 现在作为0<|ψ(吨)|≤1,ln⁡ψ(吨)存在并且是有限的。此外，
ψ1/n(吨)=经验⁡(1nln⁡ψ(吨))=1+1nln⁡ψ(吨)+○(1n2)=:1+1n这(吨)+○(1n2),
从中 wẻ gèt
\begin{对齐} \eta(t) &=\lim {n}\left(\psi^{1 / n}(t)-1-O\left(\frac{1}{n^{2}} \right)\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} n\left(\psi^{1 / n}(t)-1\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} n\left(\psi{n}(t)-1\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \int{-\infty}^{\infty} n\left(e^{itx}-1 \right) d F_{n}(x) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \int{-\infty}^{\infty} n\left(e^{itx}-1-\frac{ itx}{1+x^{2}}+\frac{itx}{1+x^{2}}\right) d F_{n}(x) \ &=\lim {n \rightarrow \infty}\左{it \int{-\infty}^{\infty} \frac{nx}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\int_{-\infty}^{\infty} n\left(e^{itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) d F_{n}(x)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty}\left{it \int{-\infty}^{\infty} \frac{nx}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\ int_{-\infty}^{\infty} n\left(e^{itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2} }{x^{2}} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d F_{n}(x)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty}\左{it \int{-\infty}^{\infty} \frac{nx}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\int_{-\infty}^{\infty} \left(e^{itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d \int_{ -\infty}^{x} \frac{ny^{2}}{1+y^{2}} d F_{n}(y)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty}\左{it \gamma{n}+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) \ frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G_{n}(x)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \eta{n}(t), \结束{对齐}=\lim {n \rightarrow \infty}\left{it \int{-\infty}^{\infty} \frac{nx}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\ int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}} {x^{2}} d \int_{-\infty}^{x} \frac{ny^{2}}{1+y^{2}} d F_{n}(y)\right} \ & =\lim {n \rightarrow \infty}\left{it \gamma{n}+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-\frac{itx}{1 +x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G_{n}(x)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty } \eta{n}(t), \end{对齐}=\lim {n \rightarrow \infty}\left{it \int{-\infty}^{\infty} \frac{nx}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\ int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}} {x^{2}} d \int_{-\infty}^{x} \frac{ny^{2}}{1+y^{2}} d F_{n}(y)\right} \ & =\lim {n \rightarrow \infty}\left{it \gamma{n}+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-\frac{itx}{1 +x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G_{n}(x)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty } \eta{n}(t), \end{对齐}\begin{aligned} \eta(t) &=\lim {n}\left(\psi^{1 / n}(t)-1-O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} n\left(\psi^{1 / n}(t)-1\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} n\left(\psi{n}(t)-1\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \int{-\infty}^{\infty} n\left(e^{i t x}-1\right) d F_{n}(x) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \int{-\infty}^{\infty} n\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}+\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) d F_{n}(x) \ &=\lim {n \rightarrow \infty}\left{i t \int{-\infty}^{\infty} \frac{n x}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\int_{-\infty}^{\infty} n\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) d F_{n}(x)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty}\left{i t \int{-\infty}^{\infty} \frac{n x}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\int_{-\infty}^{\infty} n\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d F_{n}(x)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty}\left{i t \int{-\infty}^{\infty} \frac{n x}{1+x^{2}} d F_{n}(x)+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d \int_{-\infty}^{x} \frac{n y^{2}}{1+y^{2}} d F_{n}(y)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty}\left{i t \gamma{n}+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G_{n}(x)\right} \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \eta{n}(t), \end{aligned}
在哪里
这n(吨)=:一世吨Cn+∫−∞∞(和一世吨X−1−一世吨X1+X2)1+X2X2dGn(X)
和
Cn=∫−∞∞nX1+X2dFn(X),Gn(X)=∫−∞Xn和21+和2dFn(和)
我们已经证明
林n→∞这n(吨)=这(吨),
在哪里这(吨)在 0 处连续。从下面的引理 12.4.3，我们有Cn→C和Gn⇒G对于一些常数C和一些“不错”的功能G如定理 12.4.1 所述。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Appendix: Several useful lemmas

让
一种(和)=:(1−没有⁡和和)1+和2和2
请注意，对于和=○(1)，我们有
一种(和)=(1−1和(和−和33!+和55!−…))1+和2和2=(13!−和25!−…)(1+和2)
所以如果我们定义一种(和)成为1/3!在和=0，以便一种(和)是一个非负有界连续函数。此外，很容易证明
0<C1≤一种(和)≤Cs<∞. 对所有人和
232
现在定义
Λ(X)=∫−∞X一种(和)dG(和), 和 Λn(X)=∫−∞X一种(和)dGn(和)
所以，Λ(X)和Λn(X)是有界且不减的，Λ(−∞)=0和Λ(∞)<∞作为G(X)是有界且不减的。此外，我们可以很容易地计算出他们的傅里叶变换。
引理 12.4.1 我们有
∫−∞∞和一世吨XdΛ(X)=这(吨)−12∫01[这(吨+H)+这(吨−H)]dH=:λ(吨) ∫−∞∞和一世吨XdΛn(X)=这n(吨)−12∫01[这n(吨+H)+这n(吨−H)]dH=:λn(吨).
证明。
∫−∞∞和一世吨XdΛ(X)=∫−∞∞和一世吨X(1−没有⁡XX)1+X2X2dG(X) =∫−∞∞∫01和一世吨X(1−某物⁡HX)1+X2X2dHdG(X)
（由 Fubini 定理，因为被积函数是有界的
连续在 [0,1]×(−∞,∞)) =∫01∫−∞∞和一世吨X(1−某物⁡HX)1+X2X2dG(X)dH =∫01(这(吨)−12[这(吨+H)+这(吨−H)])dH =这(吨)−12∫01[这(吨+H)+这(吨−H)]dH =λ(吨).

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Proof of sufficiency

定理 12.4.3 如果ψ(吨)有代表性(4.1)，然后ψ(吨)是 idcf
证明。表示积分(4.1)经过一世(吨), 可以写成
一世(吨)=∫−∞∞G(吨,X)dG(X) =∫X>0+∫X<0+∫X=0G(吨,X)dG(X) =一世+(吨)+一世−(吨)+G(吨,0)[G(0+)−G(0−)] =一世+(吨)+一世−(吨)−吨22[G(0+)−G(0−)]
那么，我们有
因此，足以证明\exp \left{I_{+}(t)\right}\exp \left{I_{+}(t)\right}和\exp \left{I_{-}(t)\right}\exp \left{I_{-}(t)\right}是 idcf 我们将看第一个 nnly sinee the sernd ean 他做的类似注意
$$
\exp \left{I_{+}(t)\right}=\lim {m} \exp \left{I {+ }^{1 / m}(t)\right}
在H和r和
一世+ε(吨)=∫ε1/和G(吨,X)dG(X) =林n∑到=0n−1(和一世吨X到−1−一世吨X到1+X到2)1+X到2X到2[G(X到+1)−G(X到+1)] =(ε=X0<X1<…<Xn=1/ε0X到≤X到<X到+1) =林n∑到=0n−1(和一世+X0−1−一世吨X到1+X到2)λn到
234
=:林n∑到=0n−1(和一世吨X到−1)λn到−一世吨X到λn到1+X到2 =:林n∑到=0n−1(一世吨一种n到+(和一世吨X到−1)λn到) =:林n∑到=0n−1吨n到.
$$

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Infinitely divisible distributions

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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Exponential distribution - Wikipedia — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Infinitely divisible distributions

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some examples

EXAMPLE 12.2.1
1 Degenemte df (ie $P(X=C)=1)$
$$
\psi(t)=e^{i+C}=\left(e^{i t(C / n)}\right)^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n}
$$

Normal d.f.
$$
\psi(t)=\exp \left{i \mu t-\sigma^{2} t^{2} / 2\right}=\left(\exp \left{i(\mu / n) t-\left(\sigma^{2} / n\right) t^{2} / 2\right}\right)^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n}
$$
Poisson d.f.
$$
\psi(t)=\exp \left{\lambda\left(\varepsilon^{\text {it }}-1\right)\right}=\left(\exp \left{(\lambda / n)\left(\varepsilon^{\text {it }}-1\right)\right}\right)^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n} .
$$
Compound Poisson d.f.: $S_{N}=X_{1}+\ldots+X_{N}$, where $X \sim F$ and $N \sim$ Poisson $(\lambda)$. So
$$
\psi(t)=e^{\lambda\left(\varphi_{x}(t)-1\right)}=\left(e^{(\lambda / n)\left(\varphi_{x}(t)-1\right)}\right)^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n} .
$$
Remark: if $P(X=1)=1$, this reduces to Poisson d.f.
229
Cauchy d.f. with p.d.f. $f(x)=\frac{a}{\pi} \frac{1}{a^{2}+x^{2}}$ :
$$
\dot{\psi}(t)=\exp {-a|t|}=(\exp {-(a / n)|t|})^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n}
$$
– stable d.f. (including Cauchy d.f.)
Gamma d.f. with p.d.f. $f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$ :
$$
\psi(t)=\left(1-\frac{i t}{\beta}\right)^{-\alpha}=\left(\left(1-\frac{i t}{\beta}\right)^{-\alpha / n}\right)^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n}
$$
Two special cases:
(a) The $\chi^{2}$-distribution is $i d$. since it is a special case of Gamma d.f.
(b) The $t$-distribution is i.d. since it is a special case of the $\chi^{2}$-distribution (with degree of freedom 1).

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some properties

For every c.f. $\psi(t)$, it is continuous and $\psi(0)=1$. Thus, given $\epsilon \in(0,1)$, we have $|\psi(t)|=$ $|\psi(0)-[\psi(0)-\psi(t)]| \geq|\psi(0)|-|\psi(0)-\psi(t)|>1-\epsilon$ for $|t| \leq \delta$. Since $\psi(t)=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n}$ for every $n \geq 1$, we have
$$
\left|\gamma_{n}(t)\right|=\left|q_{1}(t)\right|^{1 / n}>(1-\epsilon)^{1 / n} \rightarrow 1, \quad \text { as } n \rightarrow \infty \text {, }
$$
which implies that, for $n \geq N_{0}$, we have $\left|\psi_{n}(t)\right|>1-\epsilon / 8>0$ for $|t| \leq \delta$ and $n \geq N_{0}$.
Next we will show that $\left|\psi_{n}(t)\right|>0$ for $|t|<2 \delta$ and $n>N_{0}$. To do that, we use Lemma ??????? to get
$$
1-\left|\psi_{n}(2 t)\right| \leq 8\left(1-\left|\psi_{n}(t)\right|\right)<\epsilon . $$ so $\left|\psi_{n}(2 t)\right| \geq 1-\epsilon>0$ for $|t| \leq \delta$ and $n \geq N_{0}$. That is, $\left|\psi_{n}(t)\right|>0$ for $|t| \leq 2 \delta$ and $n \geq N_{0}$. Continuing like this, we get $\left|\psi_{n}(t)\right|>0$ for all $t \in R$ and $n \geq N_{0}$. Therefore,
$$
|\psi(t)|=\left|\left(\psi_{N_{0}}(t)\right)^{N_{0}}\right|=\left|\psi_{N_{0}}(t)\right|^{N_{0}}>0 .
$$
Take $m=2$ for instance. Since $\psi_{i}(t)=\left(\psi_{i n}(t)\right)^{n}, i=1,2$, we have $\psi_{1}(t) \psi_{2}(t)=\left(\psi_{1 n}(t) \psi_{2 n}(t)\right)^{n}$.
230
If $\psi(t)$ is i.d., $\psi(t)=\left(\psi_{2 n}(t)\right)^{2 n}$ for all $n \geq 1$. Hence,
$$
|\psi(t)|^{2}=\left|\left(\psi_{2 n}(t)\right)^{2 n}\right|^{2}=\left(\left|\psi_{2 n}(t)\right|^{2}\right)^{2 n}
$$
therefore,
$$
|\psi(t)|=\left(\left|\psi_{2 n}(t)\right|^{2}\right)^{n}=:\left(\psi_{n}(t)\right)^{n}
$$
where $\psi_{n}(t)=\left|\psi_{2 n}(t)\right|^{2}$ is a c.f.
We have $\psi^{(m)}(t)=\left(\psi_{n}^{(m)}(t)\right)^{n}$ for all $m$ and $n$. From the assumption, we have
$$
\lim {m \rightarrow \infty} \psi^{(m)}(t)=\lim {m \rightarrow \infty}\left(\psi_{n}^{(m)}(t)\right)^{n}=\left(\lim {m \rightarrow \infty} \psi{n}^{(m)}(t)\right)^{n}=\psi(t)
$$
for each fixed $n$, namely,
$$
\lim {m \rightarrow \infty} \psi{n}^{(m)}(t)=(\psi(t))^{1 / n} .
$$
Since $\left{\psi_{n}^{(m)}(t), m \geq 1\right}$ are c.f.s, and $(\psi(t))^{1 / n}$ is continuous at 0 , then by Levy continuity theorem. $(\psi(t))^{1 / n}$ is a c.f. as well. Therefore, $\psi(t)=\left(\psi^{1 / n}(t)\right)^{n}$ is i.d.
EXAMPLE 12.3.1 We can use Theorem 12.3.1 (part 1) to judge whether a c.f. is NOT i.d.
(a) Let $X \sim$ Uniform $[-1,1]$ with c.f. $f(t)=(\sin t) / t$. Since $f(k \pi)=0$, then, $f(t)$ is $N O T$ i. $d$.
(b) Let $P(X=\pm 1)$ with c.f. $f(t)=\cos t$. Similarly, it is $N O T$ i.d.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Levy-Khintchine representation of infinitely divisible c.f.s

The key theorem in this section is the “Levy-Khintchine” representation.
THEOREM 12.4.1 (“Levy-Khintchine” representation) A function $\psi(t)$ is an i.d.c.f. if and only if it admits the representation
$$
\psi(t)=\exp \left{i t \gamma+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{i c x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G(x)\right}=: e^{x(t)}
$$
where $\gamma$ is a real constant, and $G$ is a bounded non-decreasing function.
(W.L.O.G., we assume that $G$ is left-contenuous and $G(-\infty)=0$; see the remark below.)
REMARK 12.4.1

Denote the function under the integral sign by
$$
g(t, x)=\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}}
$$
It is easy to see that $\lim _{x \rightarrow 0} g(t, x)=-\frac{t^{2}}{2}$, so we can define $g(t, 0)=-\frac{t^{2}}{2}$.
First, we note that the values of $G(x)$ at points of discontinuity do not influence the value of the integral on the RHS of (4.1) since $g(t, x)$ is continuous in $x$. Secondly, adding any constant, $C$, to $G(x)$ does not influence the value of the integral on the RHS of (4.1) either. For the purpose of definiteness, we may assume that it is left-continuous and $G(-\infty)=0$ from now on.

Infinite divisibility | Semantic Scholar — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Infinitely divisible distributions

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some examples

例 12.2.1
1 Degenemte df（即磷(X=C)=1)
ψ(吨)=和一世+C=(和一世吨(C/n))n=(ψn(吨))n

正常 df
\psi(t)=\exp \left{i \mu t-\sigma^{2} t^{2} / 2\right}=\left(\exp \left{i(\mu / n) t- \left(\sigma^{2} / n\right) t^{2} / 2\right}\right)^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n}\psi(t)=\exp \left{i \mu t-\sigma^{2} t^{2} / 2\right}=\left(\exp \left{i(\mu / n) t- \left(\sigma^{2} / n\right) t^{2} / 2\right}\right)^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n}
df鱼
\psi(t)=\exp \left{\lambda\left(\varepsilon^{\text {it }}-1\right)\right}=\left(\exp \left{(\lambda / n)\左(\varepsilon^{\text {it }}-1\right)\right}\right)^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n} 。\psi(t)=\exp \left{\lambda\left(\varepsilon^{\text {it }}-1\right)\right}=\left(\exp \left{(\lambda / n)\左(\varepsilon^{\text {it }}-1\right)\right}\right)^{n}=\left(\psi_{n}(t)\right)^{n} 。
复合泊松df：小号ñ=X1+…+Xñ，在哪里X∼F和ñ∼鱼(λ). 所以
ψ(吨)=和λ(披X(吨)−1)=(和(λ/n)(披X(吨)−1))n=(ψn(吨))n.
备注：如果磷(X=1)=1, 这减少到泊松 df
229
带有 pdf 的柯西 dfF(X)=一种圆周率1一种2+X2:
ψ˙(吨)=经验⁡−一种|吨|=(经验⁡−(一种/n)|吨|)n=(ψn(吨))n
– 稳定 df（包括 Cauchy df）
带有 pdf 的伽玛 dfF(X)=b一种Γ(一种)X一种−1和−bX:
ψ(吨)=(1−一世吨b)−一种=((1−一世吨b)−一种/n)n=(ψn(吨))n
两种特殊情况：
(a)χ2-分布是一世d.
因为它是 Gamma df (b) 的一个特例吨-distribution 是 id，因为它是χ2-分布（自由度为 1）。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some properties

对于每一个cfψ(吨), 它是连续的并且ψ(0)=1. 因此，给定ε∈(0,1)，我们有|ψ(吨)|= |ψ(0)−[ψ(0)−ψ(吨)]|≥|ψ(0)|−|ψ(0)−ψ(吨)|>1−ε为了|吨|≤d. 自从ψ(吨)=(ψn(吨))n对于每个n≥1，我们有
|Cn(吨)|=|q1(吨)|1/n>(1−ε)1/n→1, 作为 n→∞,
这意味着，对于n≥ñ0，我们有|ψn(吨)|>1−ε/8>0为了|吨|≤d和n≥ñ0.
接下来我们将展示|ψn(吨)|>0为了|吨|<2d和n>ñ0. 为此，我们使用引理 ??????? 要得到
1−|ψn(2吨)|≤8(1−|ψn(吨)|)<ε.所以|ψn(2吨)|≥1−ε>0为了|吨|≤d和n≥ñ0. 那是，|ψn(吨)|>0为了|吨|≤2d和n≥ñ0. 像这样继续下去，我们得到|ψn(吨)|>0对所有人吨∈R和n≥ñ0. 所以，
|ψ(吨)|=|(ψñ0(吨))ñ0|=|ψñ0(吨)|ñ0>0.
拿米=2例如。自从ψ一世(吨)=(ψ一世n(吨))n,一世=1,2，我们有ψ1(吨)ψ2(吨)=(ψ1n(吨)ψ2n(吨))n.
230
如果ψ(吨)是身份证，ψ(吨)=(ψ2n(吨))2n对所有人n≥1. 因此，
|ψ(吨)|2=|(ψ2n(吨))2n|2=(|ψ2n(吨)|2)2n
所以，
|ψ(吨)|=(|ψ2n(吨)|2)n=:(ψn(吨))n
在哪里ψn(吨)=|ψ2n(吨)|2是一个cf
我们有ψ(米)(吨)=(ψn(米)(吨))n对所有人米和n. 根据假设，我们有
林米→∞ψ(米)(吨)=林米→∞(ψn(米)(吨))n=(林米→∞ψn(米)(吨))n=ψ(吨)
对于每个固定n，即，
林米→∞ψn(米)(吨)=(ψ(吨))1/n.
自从\left{\psi_{n}^{(m)}(t), m \geq 1\right}\left{\psi_{n}^{(m)}(t), m \geq 1\right}是cfs，并且(ψ(吨))1/n在 0 处是连续的，则由 Levy 连续性定理。(ψ(吨))1/n也是一个cf。所以，ψ(吨)=(ψ1/n(吨))nis id
示例 12.3.1 我们可以使用定理 12.3.1（第 1 部分）来判断一个 cf 是否不是 id
(a) 让X∼制服[−1,1]与cfF(吨)=(没有⁡吨)/吨. 自从F(到圆周率)=0，然后，F(吨)是ñ○吨一世。d.
(b) 让磷(X=±1)与cfF(吨)=某物⁡吨. 同样，它是ñ○吨ID

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Levy-Khintchine representation of infinitely divisible c.f.s

本节中的关键定理是“Levy-Khintchine”表示。
定理 12.4.1（“Levy-Khintchine”表示）函数ψ(吨)是一个 idcf 当且仅当它承认表示
\psi(t)=\exp \left{it \gamma+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{icx}-1-\frac{itx}{1+x^{2} }\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G(x)\right}=: e^{x(t)}\psi(t)=\exp \left{it \gamma+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{icx}-1-\frac{itx}{1+x^{2} }\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G(x)\right}=: e^{x(t)}
在哪里C是一个实常数，并且G是有界非减函数。
（WLOG，我们假设G是左连续的并且G(−∞)=0; 见下面的备注。）
备注 12.4.1

将积分符号下的函数表示为
G(吨,X)=(和一世吨X−1−一世吨X1+X2)1+X2X2
很容易看出林X→0G(吨,X)=−吨22，所以我们可以定义G(吨,0)=−吨22.
首先，我们注意到G(X)在不连续点处不影响 (4.1) 的 RHS 上的积分值，因为G(吨,X)是连续的X. 其次，添加任何常数，C，到G(X)也不影响 (4.1) 的 RHS 上的积分值。为了明确起见，我们可以假设它是左连续的G(−∞)=0从现在开始。

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Non-Uniform Berry-Esseen Bounds

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Non-Uniform Berry-Esseen Bounds

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|A generalization of Berry-Esseen bounds

Here we shall give Berry-Esseen bounds assuming only second-order moments.
THEOREM 11.2.2 Let $X_{1}, \ldots, X_{n}$ be independent $r . v$.’s such that $E X_{j}=0$ and $E\left|X_{j}\right|^{2+\delta}<\infty(j=$ $1, \ldots, n)$. Put $$ \begin{aligned} &\Lambda_{n}(\epsilon)=B_{n}^{-2} \sum_{j=1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{2} I\left{\left|X_{j}\right|>\epsilon B_{n}\right} \
&\lambda_{n}(\epsilon)=B_{n}^{-3} \sum_{j=1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{3} I\left{\left|X_{j}\right| \leq \epsilon B_{n}\right}
\end{aligned}
$$
Then for all $n$ and $\epsilon>0$,
$$
\sup {x \in R}\left|F{n}(x)-\Phi(x)\right| \leq A\left(\Lambda_{n}(\epsilon)+\lambda_{n}(\epsilon)\right)
$$
Proof. Omitted.
Remarks.

From the definition, we have, for all $\epsilon>0$,
$$
\lambda_{n}(\epsilon) \leq \epsilon B_{n}^{-2} \sum_{j=1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{2} I\left{\left|X_{j}\right| \leq \epsilon B_{n}\right} \leq \epsilon
$$
Therefore, we have the inequality,
$$
\sup {x \in R}\left|F{n}(x)-\Phi(x)\right| \leq A\left(\Lambda_{n}(\epsilon)+\epsilon\right),
$$
which, in turn, implies the Lindeberg CLT since $\Lambda_{n}(\epsilon) \rightarrow 0$ as $\epsilon \rightarrow 0$.
On the other hand, we note that, for every $\delta \in(0,1]$.
$$
\Lambda_{n}(\epsilon)+\lambda_{n}(\epsilon) \leq \frac{\sum_{j=1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{2+\delta}}{B_{n}^{2+\delta}}
$$
Then we derive the Berry-Esseen bounds
$$
\sup {x \in R}\left|F{n}(x)-\Phi(x)\right| \leq \frac{A \sum_{j-1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{2+\delta}}{B_{n}^{2+\delta}},
$$
which, in turn, implies the Lynapnov CLT.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Non-Uniform Berry-Esseen Bounds

So a more informative way to describe rates of convergence to normality is via the Non-uniform Berry-Esseen bounds, which involve both $n$ and $x$.
THEOREM 11.3.1 Let $X_{1}, \ldots, X_{n}$ be i.i.d. r.v.’s. Let
$$
E X_{1}=0, \quad E X_{1}^{2}=\sigma^{2}>0, \quad E\left|X_{1}\right|^{3}<\infty, \quad \rho=E\left|X_{1}\right|^{3} / \sigma^{3} .
$$
and
$$
F_{n}(x)=P\left(\frac{1}{\sigma \sqrt{n}} \sum_{j=1}^{n} X_{i} \leq x\right)
$$
Then for all $x$ and $n$,
$$
\left|F_{n}(x)-\Phi(x)\right| \leq \frac{A \rho}{\sqrt{n}} \frac{1}{\left(1+|x|^{3}\right)}
$$
For the independent case, we have
THEOREM 11.3.2 Let $X_{1}, \ldots, X_{n}$ be independent r.v.’s such that $E X_{j}=0$ and $E\left|X_{j}\right|^{3}<\infty(j=1, \ldots, n)$. Put
$$
\begin{aligned}
E X_{j}^{2}=\sigma_{j}^{2}, \quad B_{n}^{2} &=\sum_{j=1}^{n} \sigma_{j}^{2}, \quad L_{n}=B_{n}^{-3 / 2} \
F_{n}(x) &=P\left(B_{n}^{-1} \sum_{j=1}^{n} X_{j} \leq x\right)
\end{aligned}
$$
Then for all $n$ and $x$,
$$
\left|F_{n}(x)-\Phi(x)\right| \leq \frac{A L_{n}}{1+|x|^{3}}
$$
Tineonem 11.3.3 Let $X_{1}, \ldots, X_{n}$ be i.i.d. with $E\left|X_{1}\right|^{r}<\infty, r \geq 3$. Then for all $x$ and $n$,
$$
\left|F_{n}(x)-\Phi(x)\right| \leq C_{r}\left(\frac{E\left|X_{1}\right|^{3} / \sigma^{3}}{\sqrt{n}}+\frac{E\left|X_{1}\right|^{r} / \sigma^{r}}{n^{(r-2) / 2}}\right) \frac{1}{(1+|x|)^{r}} .
$$
THEOREM 11.3.4 Let $X_{1}, \ldots, X_{n}$ be i.i.d. with $E\left|X_{1}\right|^{2+\delta}<\infty, \delta \in(0,1]$. Then for all $x$ and $n$,
$$
\left|F_{n}(x)-\Phi(x)\right| \leq \frac{C_{\delta} E\left|X_{1}\right|^{2+\delta}}{\sigma^{2+\delta} n^{\delta / 2}} \frac{1}{1+|x|^{2+\delta}}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Heuristic argument for informal Edgeworth expansions

For simplicity, assume that $X, X_{1}, X_{2}, \ldots$ are i.i.d. r.v.s with $E X=0, E X^{2}=1$, and $\rho=E X^{3}$. Let
$$
F_{n}(x)=P(\sqrt{n}(\bar{X}-0) / 1 \leq x)=P(\sqrt{n} \bar{X} \leq x) .
$$
It is known that $F_{n}(x) \Longrightarrow \Phi(x)$. We will use the c.f. approach to derive a more accurate approximation. Note that $\psi_{X}(t)=1+i t E X+(i t)^{2} E X^{2}+\frac{1}{6}(i t)^{3} E X^{3}+o\left(t^{3}\right)=1-t^{2}+\frac{1}{6}(i t)^{3} \rho+o\left(t^{3}\right)$. Hence,
$$
\psi_{\sqrt{n} \mathcal{X}}(t)=\psi_{X}^{n}(t / \sqrt{n})=\left(1-\frac{1}{2 n} t^{2}+\frac{1}{6 n^{3 / 2}}(i t)^{3} \rho+n^{-3 / 2} o\left(t^{3}\right)\right)^{n}
$$
Hence, using $\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\ldots$, we have
$$
\begin{aligned}
\ln \psi_{\sqrt{n} \mathcal{X}}(t) &=n \ln \left(1-\frac{1}{2 n} t^{2}+\frac{1}{6 n^{3 / 2}}(i t)^{3} \rho+n^{-3 / 2} o\left(t^{3}\right)\right) \
&=n\left(-\frac{1}{2 n} t^{2}+\frac{1}{6 n^{3 / 2}}(i t)^{3} \rho+n^{-3 / 2} o\left(t^{3}\right)+\ldots\right) \
&=-\frac{t^{2}}{2}+\frac{1}{6 n^{1 / 2}}(i t)^{3} \rho+n^{-1 / 2} o\left(t^{3}\right)+\ldots
\end{aligned}
$$
Thus,
$$
\begin{aligned}
\psi_{\sqrt{n} \mathcal{X}}(t)=\psi_{X}^{n}(t / \sqrt{n}) &=e^{-t^{2} / 2} \exp \left{\frac{1}{6 n^{1 / 2}}(i t)^{3} \rho+n^{-1 / 2} o(t\right.\
&=e^{-t^{2} / 2}\left(1+\frac{1}{6 n^{1 / 2}}(i t)^{3} \rho+\ldots\right) \
&=e^{-t^{2} / 2}+\frac{\rho}{6 n^{1 / 2}}(i t)^{3} e^{-t^{2} / 2}+\ldots
\end{aligned}
$$
Therefore, the “formal density” of $\sqrt{n} \bar{X}$ is
$$
\begin{aligned}
f_{\sqrt{n} \bar{X}}(x) &=\frac{1}{2 \pi} \int e^{-i t x} \psi_{\sqrt{n}}(t) d t \
&=\frac{1}{2 \pi} \int e^{-i t x} e^{-t^{2} / 2} d t+\frac{\rho}{6 n^{1 / 2}} \frac{1}{2 \pi} \int e^{-i t x}(i t)^{\frac{3}{3}} e^{-t^{2} / 2} d t+\ldots \
&=\phi(x)+\frac{\rho}{6 n^{1 / 2}} H_{3}(x) \phi(x)+\ldots
\end{aligned}
$$
Finally, we integrate the “density” to get the d.f.
$$
\begin{aligned}
P(\sqrt{n} \bar{X} \leq x) &=\int_{-\infty}^{x}\left(\phi(x)+\frac{\rho}{6 n^{1 / 2}} H_{3}(x) \phi(x)+\ldots\right) d x \
&=\Phi(x)-\frac{\rho}{6 n^{1 / 2}} H_{2}(x) \phi(x)+\ldots
\end{aligned}
$$
where the last line follows since
$$
\begin{gathered}
\frac{d}{d x} H_{2}(x) \phi(x)=H_{2}^{\prime}(x) \phi(x)+H_{2}(x)(-x) \phi(x)=2 x \phi(x)+\left(-x^{3}+x\right) \phi(x) \
=-\left(x^{3}-3 x\right) \phi(x)=-H_{3}(x) \phi(x)
\end{gathered}
$$

Berry-Esseen Deserves More Praise — thirdorderscientist — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Non-Uniform Berry-Esseen Bounds

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|A generalization of Berry-Esseen bounds

在这里，我们将只假设二阶矩给出 Berry-Esseen 边界。
定理 11.2.2 让X1,…,Xn独立r.v.是这样的和Xj=0和和|Xj|2+d<∞(j= 1,…,n). 放\begin{aligned} &\Lambda_{n}(\epsilon)=B_{n}^{-2} \sum_{j=1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{2 } I\left{\left|X_{j}\right|>\epsilon B_{n}\right} \ &\lambda_{n}(\epsilon)=B_{n}^{-3} \sum_{j =1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{3} I\left{\left|X_{j}\right| \leq \epsilon B_{n}\right} \end{对齐}\begin{aligned} &\Lambda_{n}(\epsilon)=B_{n}^{-2} \sum_{j=1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{2 } I\left{\left|X_{j}\right|>\epsilon B_{n}\right} \ &\lambda_{n}(\epsilon)=B_{n}^{-3} \sum_{j =1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{3} I\left{\left|X_{j}\right| \leq \epsilon B_{n}\right} \end{对齐}
那么对于所有人n和ε>0,
支持X∈R|Fn(X)−披(X)|≤一种(Λn(ε)+λn(ε))
证明。省略。
评论。

根据定义，我们有，对于所有人ε>0,
\lambda_{n}(\epsilon) \leq \epsilon B_{n}^{-2} \sum_{j=1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{2} I\左{\left|X_{j}\right| \leq \epsilon B_{n}\right} \leq \epsilon\lambda_{n}(\epsilon) \leq \epsilon B_{n}^{-2} \sum_{j=1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{2} I\左{\left|X_{j}\right| \leq \epsilon B_{n}\right} \leq \epsilon
因此，我们有不等式，
支持X∈R|Fn(X)−披(X)|≤一种(Λn(ε)+ε),
反过来，这意味着林德伯格 CLT，因为Λn(ε)→0作为ε→0.
另一方面，我们注意到，对于每个d∈(0,1].
Λn(ε)+λn(ε)≤∑j=1n和|Xj|2+d乙n2+d
然后我们推导出 Berry-Esseen 边界
支持X∈R|Fn(X)−披(X)|≤一种∑j−1n和|Xj|2+d乙n2+d,
反过来，这意味着 Lynapnov CLT。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Non-Uniform Berry-Esseen Bounds

因此，描述收敛到正态性的速率的更有用的方法是通过非均匀 Berry-Esseen 界，它涉及n和X.
定理 11.3.1 让X1,…,Xn成为 iidrv 的。让
和X1=0,和X12=σ2>0,和|X1|3<∞,ρ=和|X1|3/σ3.
和
Fn(X)=磷(1σn∑j=1nX一世≤X)
那么对于所有人X和n,
|Fn(X)−披(X)|≤一种ρn1(1+|X|3)
对于独立情况，我们有
定理 11.3.2 让X1,…,Xn是独立的房车，这样和Xj=0和和|Xj|3<∞(j=1,…,n). 放
和Xj2=σj2,乙n2=∑j=1nσj2,一世n=乙n−3/2 Fn(X)=磷(乙n−1∑j=1nXj≤X)
那么对于所有人n和X,
|Fn(X)−披(X)|≤一种一世n1+|X|3
Tineon 11.3.3 让X1,…,Xn同住和|X1|r<∞,r≥3. 那么对于所有人X和n,
|Fn(X)−披(X)|≤Cr(和|X1|3/σ3n+和|X1|r/σrn(r−2)/2)1(1+|X|)r.
定理 11.3.4 让X1,…,Xn同住和|X1|2+d<∞,d∈(0,1]. 那么对于所有人X和n,
|Fn(X)−披(X)|≤Cd和|X1|2+dσ2+dnd/211+|X|2+d

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Heuristic argument for informal Edgeworth expansions

为简单起见，假设X,X1,X2,…是 iidrvs和X=0,和X2=1，和ρ=和X3. 让
Fn(X)=磷(n(X¯−0)/1≤X)=磷(nX¯≤X).
众所周知Fn(X)⟹披(X). 我们将使用 cf 方法得出更准确的近似值。注意ψX(吨)=1+一世吨和X+(一世吨)2和X2+16(一世吨)3和X3+○(吨3)=1−吨2+16(一世吨)3ρ+○(吨3). 因此，
ψnX(吨)=ψXn(吨/n)=(1−12n吨2+16n3/2(一世吨)3ρ+n−3/2○(吨3))n
因此，使用ln⁡(1+X)=X−X22+X33+…，我们有
ln⁡ψnX(吨)=nln⁡(1−12n吨2+16n3/2(一世吨)3ρ+n−3/2○(吨3)) =n(−12n吨2+16n3/2(一世吨)3ρ+n−3/2○(吨3)+…) =−吨22+16n1/2(一世吨)3ρ+n−1/2○(吨3)+…
因此，
$$
\begin{aligned}
\psi_{\sqrt{n} \mathcal{X}}(t)=\psi_{X}^{n}(t / \sqrt{n}) &=e^{ -t^{2} / 2} \exp \left{\frac{1}{6 n^{1 / 2}}(it)^{3} \rho+n^{-1 / 2} o(t \right.\
&=e^{-t^{2} / 2}\left(1+\frac{1}{6 n^{1 / 2}}(it)^{3} \rho+\ldots\对) \
&=e^{-t^{2} / 2}+\frac{\rho}{6 n^{1 / 2}}(it)^{3} e^{-t^{2} / 2}+\ldots
\end{对齐}
吨H和r和F○r和,吨H和“F○r米一种一世d和ns一世吨和”○F$nX¯$一世s
FnX¯(X)=12圆周率∫和−一世吨Xψn(吨)d吨 =12圆周率∫和−一世吨X和−吨2/2d吨+ρ6n1/212圆周率∫和−一世吨X(一世吨)33和−吨2/2d吨+… =φ(X)+ρ6n1/2H3(X)φ(X)+…
F一世n一种一世一世和,在和一世n吨和Gr一种吨和吨H和“d和ns一世吨和”吨○G和吨吨H和d.F.
磷(nX¯≤X)=∫−∞X(φ(X)+ρ6n1/2H3(X)φ(X)+…)dX =披(X)−ρ6n1/2H2(X)φ(X)+…
在H和r和吨H和一世一种s吨一世一世n和F○一世一世○在ss一世nC和
ddXH2(X)φ(X)=H2′(X)φ(X)+H2(X)(−X)φ(X)=2Xφ(X)+(−X3+X)φ(X) =−(X3−3X)φ(X)=−H3(X)φ(X)
$$

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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On a bound of the absolute constant in the Berry–Esseen inequality for i.i.d. Bernoulli random variables — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Uniform Berry-Esseen Bounds

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Central Limit Theorems with infinite variances

So far, we have discussed the CLT under the second moment condition. In fact, CLT can hold under slightly weaker condition.
THEOREM 11.1.4 If $X,\left{X_{n}, n \geq 1\right}$ are i.i.d. r.v.s with non-degenerate d.f. $F$, then
$$
\lim {n \rightarrow \infty} P\left(\frac{1}{B{n}} \sum_{i=1}^{n} X_{i}-A_{n} \leq x\right)=\Phi(x)
$$
for some $B_{n}>0$ and $A_{n}$ iff
$$
\lim {C \rightarrow \infty} \frac{P(|X|>C)}{C^{-2} E X^{2} I{|X| \leq C}}=0 $$ Moreover, $A{n}, B_{n}$ may be chosen as
$$
\begin{aligned}
B_{n} &=\sup \left{C: C^{-2} E X^{2} I{|X| \leq C} \geq \frac{1}{n}\right}, \
A_{n} &=\frac{n}{B_{n}} E X I\left{|X|<B_{n}\right} .
\end{aligned}
$$
Proof. See Theorem 4, Chow and Teicher, p323.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some useful lemmas

In this section, we write $X_{n, k}=X_{k} / B_{n}, \psi_{n, k}(t)=E e^{i t X_{n, k}}$ and $\psi_{n}(t)=E e^{i t \sum_{k=1}^{n} X_{n, k}}$.
LEMMA 11.2.1
$$
\left|\psi_{n}(t)-e^{-t^{2} / 2}\right| \leq 3 L_{n, \delta}|t|^{2+\delta} e^{-t^{2} / 2} \quad \text { for }|t|<\frac{1}{2} L_{n, \delta}^{-1 /(2+\delta)} .
$$
Remark: In the i.i.d. case, $L_{n, \delta}^{-1 /(2+\delta)}=C n^{\delta /[2(2+\delta)]}$.
Proof. Note that
$$
\begin{aligned}
\left|\psi_{n}(t)-e^{-t^{2} / 2}\right| &=\left|\prod_{k=1}^{n} \psi_{n, k}(t)-e^{-t^{2} / 2}\right| \
&=\left|\exp \left{\sum_{k=1}^{n} \ln \psi_{n, k}(t)\right}-e^{-t^{2} / 2}\right| \
&=e^{-t^{2} / 2}\left|\exp \left{\sum_{k=1}^{n} \ln \psi_{n, k}(t)+\frac{t^{2}}{2}\right}-1\right|
\end{aligned}
$$
Using Theorem 10.5.3, we have
$$
\begin{aligned}
\psi_{n, k}(t) &=1+i t E X_{n, k}+\frac{1}{2}(i t)^{2} E X_{n, k}^{2}+\theta|t|^{2+\delta} E\left|X_{n, k}\right|^{2+\delta} \
&=1-\frac{1}{2} t^{2} \sigma_{n, k}^{2}+\theta|t|^{2+\delta} E\left|X_{n, k}\right|^{2+\delta}
\end{aligned}
$$
where $\theta$ is a complex number with $|\theta| \leq 1$. Noting that
$$
|t| \sigma_{n, k} \leq|t|\left(E\left|X_{n, k}\right|^{2+\delta}\right)^{1 /(2+\delta)} \leq|t| L_{n, \delta}^{1 /(2+\delta)}<\frac{1}{2}
$$
Thus,
$$
\begin{aligned}
\left|\psi_{n, k}(t)-1\right| & \leq \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{2^{2+\delta}}<\frac{3}{8} \
\left|\psi_{n, k}(t)-1\right|^{2} & \leq 2\left[\left(\frac{1}{2} t^{2} \sigma_{n, k}^{2}\right)^{2}+\left(|t|^{2+\delta} E\left|X_{n, k}\right|^{2+\delta}\right)^{2}\right] \
&=2\left(\frac{1}{8}\left|t \sigma_{n, k}\right|^{2+\delta}\left|t \sigma_{n, k}\right|^{2-\delta}+\left(|t|^{2+\delta} E\left|X_{n, k}\right|^{2+\delta}\right)\left(|t|^{2+\delta} E\left|X_{n, k}\right|^{2+\delta}\right)\right) \
& \leq 2\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2^{2+\delta}}\right)|t|^{2+\delta} E\left|X_{n, k}\right|^{2+\delta} \
&=\frac{3}{4}|t|^{2+\delta} E\left|X_{k}\right|^{2+\delta} .
\end{aligned}
$$
By Taylor expansion of $\log (1+z)$, we can easily find that (see Appendix)
$$
\log (1+z)=z+\frac{4}{5} \theta|z|^{2}, \quad \text { where }|\theta| \leq 1 \text { and }|z|<\frac{3}{8} \text {. }
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Berry-Esseen bounds

THEOREM 11.2.1 (Berry-Esseen bounds for independent r.v.’s) Let $X_{1}, \ldots, X_{n}$ be independent r.v.’s such that $E X_{2}=0$ and $E\left|X_{j}\right|^{2+\delta}<\infty(j=1, \ldots, n)$ for some $0<\delta \leq 1$. Put $$ L_{n, \sigma}=B_{n}^{+(2+s)} \sum_{j=1}^{n} E\left|X_{j}\right|^{2+s} . $$ Then for all $n$, $$ \sup {x \in R}\left|F{\mathrm{n}}(x)-\Phi(x)\right| \leq A L_{n, \delta^{-}} $$ Proof. In the Smoothing Lemma we set $T=\left(36 L_{n, \delta}\right)^{-1 / \delta}$. Note that $\Phi^{\prime}(x)=\phi(x)=(2 \pi)^{-1 / 2} e^{-x^{2} / 2} \leq$ $(2 \pi)^{-1 / 2}$. Then we have $$ \begin{aligned} \sup {x}\left|F{n}(x)-\Phi(x)\right| & \leq \frac{2}{\pi} \int_{0}^{T}|t|^{-1}\left|\psi_{n}(t)-e^{-t^{2} / 2}\right| d t+\frac{24 \lambda}{\pi T} \ & \leq \pi^{-1} \int_{0}^{T} 16 L_{n, \delta} t^{1+\delta} e^{-t^{2} / 3} d t+\frac{24 \lambda}{\pi}\left(36 L_{n, \delta}\right)^{1 / \delta} \ & \leq C_{\delta} L_{n, \delta}+C_{\delta} L_{n, \delta}^{1 / \delta} . \end{aligned} $$ If $L_{n, \delta}^{1 / \delta} \leq 1$, then $\sup {x}\left|F{n}(x)-\Phi(x)\right| \leq 2 C_{\delta} L_{n, \delta}$ with $A=2 C_{\delta}$. On the other hand, if $L_{n, \delta}^{1 / \delta}>1$, then we can simply take $A=1$.
In the i.i.d. case, Theorem $11.2 .1$ reduces to the following corollary.
COROLLARY 11.2.3 (Berry-Esseen bounds for i.i.d. r.v.’s) Let $X_{1}, \ldots, X_{n}$ be i.i.d. r.v.’s. Let $\delta \in$ $(0,1]$, and
$$
E X_{1}=u, \quad E X_{1}^{2}=\sigma^{2}>u, \quad E\left|X_{1}\right|^{2+s}<\infty, \quad \rho_{\delta}=E\left|X_{1}\right|^{2+s} / \sigma^{2+s} .
$$
Then for all $n$,
$$
\sup {x \in R}\left|F{n}(x)-\Phi(x)\right| \leq \frac{\mathcal{A}_{5}}{n^{\delta / 2}}
$$
In particular, the case $\delta=1$ gives the most familiar Berry-Esseen bound.

PDF] On the Berry-Esseen bound for the Student statistic | Semantic Scholar — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Uniform Berry-Esseen Bounds

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Central Limit Theorems with infinite variances

到目前为止，我们已经讨论了二阶矩条件下的 CLT。事实上，CLT 可以在稍弱的情况下持有。
定理 11.1.4 如果X,\left{X_{n}, n \geq 1\right}X,\left{X_{n}, n \geq 1\right}是具有非退化 df 的 iidrvF，然后
林n→∞磷(1乙n∑一世=1nX一世−一种n≤X)=披(X)
对于一些乙n>0和一种n当且当
林C→∞磷(|X|>C)C−2和X2一世|X|≤C=0而且，一种n,乙n可以选择为
\begin{aligned} B_{n} &=\sup \left{C: C^{-2} E X^{2} I{|X| \leq C} \geq \frac{1}{n}\right}, \ A_{n} &=\frac{n}{B_{n}} EXI\left{|X|<B_{n}\right } 。\end{对齐}\begin{aligned} B_{n} &=\sup \left{C: C^{-2} E X^{2} I{|X| \leq C} \geq \frac{1}{n}\right}, \ A_{n} &=\frac{n}{B_{n}} EXI\left{|X|<B_{n}\right } 。\end{对齐}
证明。见定理 4，Chow 和 Teicher，p323。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some useful lemmas

在本节中，我们写Xn,到=X到/乙n,ψn,到(吨)=和和一世吨Xn,到和ψn(吨)=和和一世吨∑到=1nXn,到.
引理 11.2.1
|ψn(吨)−和−吨2/2|≤3一世n,d|吨|2+d和−吨2/2 为了 |吨|<12一世n,d−1/(2+d).
备注：在 iid 情况下，一世n,d−1/(2+d)=Cnd/[2(2+d)].
证明。注意
\begin{对齐} \left|\psi_{n}(t)-e^{-t^{2} / 2}\right| &=\left|\prod_{k=1}^{n} \psi_{n, k}(t)-e^{-t^{2} / 2}\right| \ &=\left|\exp \left{\sum_{k=1}^{n} \ln \psi_{n, k}(t)\right}-e^{-t^{2} / 2} \对| \ &=e^{-t^{2} / 2}\left|\exp \left{\sum_{k=1}^{n} \ln \psi_{n, k}(t)+\frac{ t^{2}}{2}\right}-1\right| \end{对齐}\begin{对齐} \left|\psi_{n}(t)-e^{-t^{2} / 2}\right| &=\left|\prod_{k=1}^{n} \psi_{n, k}(t)-e^{-t^{2} / 2}\right| \ &=\left|\exp \left{\sum_{k=1}^{n} \ln \psi_{n, k}(t)\right}-e^{-t^{2} / 2} \对| \ &=e^{-t^{2} / 2}\left|\exp \left{\sum_{k=1}^{n} \ln \psi_{n, k}(t)+\frac{ t^{2}}{2}\right}-1\right| \end{对齐}
使用定理 10.5.3，我们有
ψn,到(吨)=1+一世吨和Xn,到+12(一世吨)2和Xn,到2+θ|吨|2+d和|Xn,到|2+d =1−12吨2σn,到2+θ|吨|2+d和|Xn,到|2+d
在哪里θ是一个复数|θ|≤1. 注意到
|吨|σn,到≤|吨|(和|Xn,到|2+d)1/(2+d)≤|吨|一世n,d1/(2+d)<12
因此，
|ψn,到(吨)−1|≤12×14+122+d<38 |ψn,到(吨)−1|2≤2[(12吨2σn,到2)2+(|吨|2+d和|Xn,到|2+d)2] =2(18|吨σn,到|2+d|吨σn,到|2−d+(|吨|2+d和|Xn,到|2+d)(|吨|2+d和|Xn,到|2+d)) ≤2(18+122+d)|吨|2+d和|Xn,到|2+d =34|吨|2+d和|X到|2+d.
由泰勒展开日志⁡(1+和)，我们很容易发现（见附录）
日志⁡(1+和)=和+45θ|和|2, 在哪里 |θ|≤1 和 |和|<38.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Berry-Esseen bounds

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Central Limit Theorems

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probability - Are there any examples of where the central limit theorem does not hold? - Cross Validated — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Central Limit Theorems

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Central Limit Theorems

11.1.1 CLT for i.i.d. r.v.s
When $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are i.i.d., we get the following simple CLT.
THEOREM 11.1.1 (Levy theorem) Let $X_{1}, \ldots, X_{n}$ be i.i.d. r.v.’s with $E X_{1}=0$, and $\sigma^{2}=E X_{1}^{2}<\infty$. Let $F_{n}(x)=P(\sqrt{n} \bar{X} / \sigma \leq x)$. Then
$$
\sup {x \in R}\left|F{n}(x)-\Phi(x)\right| \rightarrow 0
$$
Proof. We provide two methods.
Method 1. Since $E X_{1}^{2}<\infty, \psi(t)$ is twice differentiable and has the following Taylor expansion,
$$
\psi(t)=\psi(0)+\psi^{\prime}(0) t+\frac{1}{2} \psi^{\prime \prime}(0) t^{2}+o\left(t^{2}\right)=1-\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+o\left(t^{2}\right)
$$
Then the c.f. of $F_{n}$ is
$$
\psi \sqrt{n} \Omega / \sigma(t)=\psi^{n}\left(\frac{t}{\sqrt{n} \sigma}\right)=\left(1-\frac{t^{2}}{2 n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n} \rightarrow e^{-t^{2} / 2}
$$
Method 2. The Lindeberg condition in Corollary 11.1.2 holds since
$$
\frac{1}{B_{n}^{2}} \sum_{k=1}^{n} E X_{k}^{2} I\left{\left|X_{k}\right| \geq \epsilon B_{n}\right}=\frac{E X_{1}^{2} I\left{\left|X_{1}\right| \geq \epsilon \sqrt{n E X_{1}^{2}}\right}}{E X_{1}^{2}} \rightarrow 0
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|CLT for triangular arrays with finite variances

REMARK 11.1.1 Glearly, the Lindeberg condition implies that
$$
\forall \epsilon>0: \quad \lim {n \rightarrow \infty} \sum{m=1}^{n} P\left(\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right)=0
$$
which further implies that
$$
\forall \epsilon>0: \sup {n} P\left(\left|X{n, k}\right| \geq \epsilon\right) \longrightarrow 0 .
$$
That is, all the individual terms $X_{n, k}$ are uniformly small.
Proof. $”($ i $\Longrightarrow$ (ii)”. We first prove (a) of (ii). For $1 \leq k \leq n$, we have
$$
\begin{aligned}
\sigma_{n, k}^{2} &=E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right|<\epsilon\right}+E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \
& \leq \epsilon^{2}+E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} .
\end{aligned}
$$
Thus $\max {1 \leq k \leq n} \sigma{n, k}^{2} \leq \epsilon^{2}+\sum_{k=1}^{n} E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right}$. Letting $n \rightarrow \infty$, the Lindeberg condition implies that $\max {1 \leq k \leq n} \sigma{n, k}^{2} \leq 2 \epsilon^{2}$. Since $\epsilon$ can be chosen to be arbitrarily small, we have
$$
\max {1 \leq m \leq n} \sigma{n, k}^{2} \rightarrow 0
$$
We now prove (b) of (ii). Write $\psi_{n, k}(t)=E e^{i t X_{n, k}}$. It suffices to show that, $\forall t \in R$,
$$
\prod_{k=1}^{n} \psi_{n, k}(t) \longrightarrow e^{-t^{2} / 2} \Longleftrightarrow \sum_{k=1}^{n} \ln \psi_{n, k}(t)+t^{2} / 2 \longrightarrow 0
$$
It suffices to show that, as $n \rightarrow \infty, \forall t \in R$,
$$
\begin{array}{r}
\sum_{k=1}^{n} \ln \psi_{n, k}(t)-\sum_{k=1}^{n}\left(\psi_{n, k}(t)-1\right) \quad \rightarrow \quad 0, \
\sum_{k=1}^{n}\left(\psi_{n, k}(t)-1\right)+\frac{t^{x}}{2} \rightarrow 0 .
\end{array}
$$
Let us prove (1.2) first. From the inequality $\left|e^{i t}-1-i t\right| \leq t^{2} / 2$ for any real $t$, we have
$$
\left|\psi_{n, k}(t)-1\right|=\left|E e^{i t X_{n, k}}-1-i t E X_{n, k}\right| \leq E\left|e^{i t X_{n, k}}-1-i t X_{n, k}\right| \leq \frac{1}{2} t^{2} E X_{n, k}^{2}=\frac{1}{2} t^{2} \sigma_{n, k}^{2} .
$$
Thus, as $n \rightarrow \infty$
$$
\max {1 \leq k \leq n}\left|\psi{n, k}(t)-1\right| \leq \frac{1}{2} t^{2} \max {1 \leq k \leq n} \sigma{n, k}^{2}=o(1), \quad \text { and } \quad \sum_{k=1}^{n}\left|\psi_{n, k}(t)-1\right| \leq \frac{t^{2}}{2}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Lindeberg condition

Hence, from Theorem $11.8 .1:|\ln (1+z)-z| \leq|z|^{2}$ for $|z| \leq 1 / 2$, (1.2) follows from
$$
\sum_{k=1}^{n}\left|\ln \psi_{n, k}(t)-\left(\psi_{n, k}(t)-1\right)\right| \leq \sum_{k=1}^{n}\left|\psi_{n, k}(t)-1\right|^{2} \leq o(1) \sum_{k=1}^{n}\left|\psi_{n, k}(t)-1\right|=o(1)
$$
Next let us prove (1.3). By using the inequality $\left|e^{i t}-1-i t-\frac{1}{2}(i t)^{2}\right| \leq \min \left{t^{2}, \frac{1}{6}|t|^{3}\right}$ for any real t. we have
$$
\begin{aligned}
\left|\sum_{k=1}^{n}\left(\psi_{n, k}(t)-1\right)+\frac{t^{2}}{2}\right| &=\left|\sum_{k=1}^{n} E\left(e^{i t X_{n, k}}-1-i t X_{n, k}-\frac{1}{2}\left(i t X_{k}\right)^{2}\right)\right| \
& \leq \sum_{k=1}^{n} E \min \left{t^{2} X_{n, k}^{2}, \frac{1}{6}\left|t X_{n, k}\right|^{3}\right} \
& \leq t^{2} \sum_{k=1}^{n} E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{k}\right| \geq \epsilon\right}+\frac{|t|^{3} \epsilon}{6} \sum_{k=1}^{n} E\left|X_{n, k}\right|^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right|<\epsilon\right} \ & \leq t^{2} \sum_{k=1}^{n} E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{k}\right| \geq \epsilon\right}+\frac{1}{6}|t|^{3} \epsilon . \end{aligned} $$ Then (1.3) follows from this, the Lindeberg condition and by choosing $\epsilon$ arbitrarily small. $”$ (ii) $\Longrightarrow$ (i)”. Assume that (ii) holds. First, part (b) of (ii) implies (1.1). Secondly, from the proceeding proof, we can see that that (1.2) is implied from part (a) of (ii). Putting these two together, we see that (1.3) still holds. In particular, the real part of the left hand side in (1.3) should tend to 0 , i.e., $$ 0 \longleftarrow \operatorname{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\left(\psi_{n, k}(t)-1\right)+\frac{t^{2}}{2}\right) $$ $$ \begin{aligned} &=\sum_{k=1}^{n} E\left(\cos \left(t X_{n, k}\right)-1+\frac{1}{2} t^{2} X_{n, k}^{2}\right) \ &\geq \sum_{k=1}^{n} E\left(\cos \left(t X_{n, k}\right)-1+\frac{1}{2} t^{2} X_{n, k}^{2}\right) I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \ &\geq \quad\left(\text { as } \cos (y)-1+\frac{1}{2} y^{2} \geq 0\right) \ &\geq \quad \sum_{k=1}^{n} E\left(\frac{1}{2} t^{2} X_{n, k}^{2}-2\right) I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \quad(\text { as } \cos (y) \geq-1) \ &=\sum_{k=1}^{n} E X_{n, k}^{2}\left(\frac{1}{2} t^{2}-\frac{2}{X_{n, k}^{2}}\right) I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \ &\geq \quad\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{2}{\epsilon^{2}}\right) \sum_{k=1}^{n} E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \end{aligned} $$ so long as $t$ is chosen so that $t^{2} / 2-2 / \epsilon^{2}>0$, i.e., $t^{2}>4 / \epsilon^{2}$. Thus the right side tends to zero. Hence the Lindeberg condition holds.

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高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Central Limit Theorems

11.1.1 用于 iidrv 的 CLT
何时X1,…,Xn是 iid，我们得到以下简单的 CLT。
定理 11.1.1 (Levy 定理) 让X1,…,Xn和 iidrv 在一起和X1=0，和σ2=和X12<∞. 让Fn(X)=磷(nX¯/σ≤X). 然后
$$
\sup {x \in R}\left|F {n}(x)-\Phi(x)\right| \右箭头 0
磷r○○F.在和pr○v一世d和吨在○米和吨H○ds.米和吨H○d1.小号一世nC和$和X12<∞,ψ(吨)$一世s吨在一世C和d一世FF和r和n吨一世一种b一世和一种ndH一种s吨H和F○一世一世○在一世nG吨一种和一世○r和Xp一种ns一世○n,
\psi(t)=\psi(0)+\psi^{\prime}(0) t+\frac{1}{2} \psi^{\prime \prime}(0) t^{2}+o \left(t^{2}\right)=1-\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+o\left(t^{2}\right)
吨H和n吨H和C.F.○F$Fn$一世s
\psi \sqrt{n} \Omega / \sigma(t)=\psi^{n}\left(\frac{t}{\sqrt{n} \sigma}\right)=\left(1-\frac {t^{2}}{2 n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n} \rightarrow e^{-t^{2} / 2}
米和吨H○d2.吨H和一世一世nd和b和rGC○nd一世吨一世○n一世nC○r○一世一世一种r和11.1.2H○一世dss一世nC和
\frac{1}{B_{n}^{2}} \sum_{k=1}^{n} E X_{k}^{2} I\left{\left|X_{k}\right| \geq \epsilon B_{n}\right}=\frac{E X_{1}^{2} I\left{\left|X_{1}\right| \geq \epsilon \sqrt{n E X_{1}^{2}}\right}}{E X_{1}^{2}} \rightarrow 0
$$

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备注 11.1.1 显然，林德伯格条件意味着
∀ε>0:林n→∞∑米=1n磷(|Xn,到|≥ε)=0
这进一步意味着
∀ε>0:支持n磷(|Xn,到|≥ε)⟶0.
也就是说，所有单独的项Xn,到均匀地小。
证明。”(一世⟹(ii)”。我们首先证明（ii）的（a）。为了1≤到≤n，我们有
\begin{对齐} \sigma_{n, k}^{2} &=E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right|<\epsilon\right }+E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \ & \leq \epsilon^{2}+E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} 。\end{对齐}\begin{对齐} \sigma_{n, k}^{2} &=E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right|<\epsilon\right }+E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \ & \leq \epsilon^{2}+E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} 。\end{对齐}
因此\ max {1 \ leq k \ leq n} \ sigma {n, k} ^ {2} \ leq \ epsilon ^ {2} + \ sum_ {k = 1} ^ {n} E X_ {n, k} ^ {2}我\左{\左|X_{n,k}\右| \geq\epsilon\right}\ max {1 \ leq k \ leq n} \ sigma {n, k} ^ {2} \ leq \ epsilon ^ {2} + \ sum_ {k = 1} ^ {n} E X_ {n, k} ^ {2}我\左{\左|X_{n,k}\右| \geq\epsilon\right}. 让n→∞，林德伯格条件意味着最大限度1≤到≤nσn,到2≤2ε2. 自从ε可以选择任意小，我们有
最大限度1≤米≤nσn,到2→0
我们现在证明（ii）的（b）。写ψn,到(吨)=和和一世吨Xn,到. 足以证明，∀吨∈R,
∏到=1nψn,到(吨)⟶和−吨2/2⟺∑到=1nln⁡ψn,到(吨)+吨2/2⟶0
足以证明，如n→∞,∀吨∈R,
∑到=1nln⁡ψn,到(吨)−∑到=1n(ψn,到(吨)−1)→0, ∑到=1n(ψn,到(吨)−1)+吨X2→0.
让我们首先证明（1.2）。从不等式|和一世吨−1−一世吨|≤吨2/2对于任何真实的吨，我们有
|ψn,到(吨)−1|=|和和一世吨Xn,到−1−一世吨和Xn,到|≤和|和一世吨Xn,到−1−一世吨Xn,到|≤12吨2和Xn,到2=12吨2σn,到2.
因此，作为n→∞
最大限度1≤到≤n|ψn,到(吨)−1|≤12吨2最大限度1≤到≤nσn,到2=○(1), 和 ∑到=1n|ψn,到(吨)−1|≤吨22

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Lindeberg condition

因此，从定理11.8.1:|ln⁡(1+和)−和|≤|和|2为了|和|≤1/2, (1.2) 由
∑到=1n|ln⁡ψn,到(吨)−(ψn,到(吨)−1)|≤∑到=1n|ψn,到(吨)−1|2≤○(1)∑到=1n|ψn,到(吨)−1|=○(1)
接下来让我们证明（1.3）。通过使用不等式\left|e^{i t}-1-i t-\frac{1}{2}(i t)^{2}\right| \leq \min \left{t^{2}, \frac{1}{6}|t|^{3}\right}\left|e^{i t}-1-i t-\frac{1}{2}(i t)^{2}\right| \leq \min \left{t^{2}, \frac{1}{6}|t|^{3}\right}对于任何真实的 t。我们有
\begin{对齐} \left|\sum_{k=1}^{n}\left(\psi_{n, k}(t)-1\right)+\frac{t^{2}}{2} \对| &=\left|\sum_{k=1}^{n} E\left(e^{it X_{n, k}}-1-it X_{n, k}-\frac{1}{2} \left(it X_{k}\right)^{2}\right)\right| \ & \leq \sum_{k=1}^{n} E \min \left{t^{2} X_{n, k}^{2}, \frac{1}{6}\left|t X_ {n, k}\right|^{3}\right} \ & \leq t^{2} \sum_{k=1}^{n} E X_{n, k}^{2} I\left{ \left|X_{k}\right| \geq \epsilon\right}+\frac{|t|^{3} \epsilon}{6} \sum_{k=1}^{n} E\left|X_{n, k}\right|^{ 2} I\left{\left|X_{n, k}\right|<\epsilon\right} \ & \leq t^{2} \sum_{k=1}^{n} E X_{n, k }^{2} I\left{\left|X_{k}\right| \geq \epsilon\right}+\frac{1}{6}|t|^{3} \epsilon 。\end{对齐}\begin{对齐} \left|\sum_{k=1}^{n}\left(\psi_{n, k}(t)-1\right)+\frac{t^{2}}{2} \对| &=\left|\sum_{k=1}^{n} E\left(e^{it X_{n, k}}-1-it X_{n, k}-\frac{1}{2} \left(it X_{k}\right)^{2}\right)\right| \ & \leq \sum_{k=1}^{n} E \min \left{t^{2} X_{n, k}^{2}, \frac{1}{6}\left|t X_ {n, k}\right|^{3}\right} \ & \leq t^{2} \sum_{k=1}^{n} E X_{n, k}^{2} I\left{ \left|X_{k}\right| \geq \epsilon\right}+\frac{|t|^{3} \epsilon}{6} \sum_{k=1}^{n} E\left|X_{n, k}\right|^{ 2} I\left{\left|X_{n, k}\right|<\epsilon\right} \ & \leq t^{2} \sum_{k=1}^{n} E X_{n, k }^{2} I\left{\left|X_{k}\right| \geq \epsilon\right}+\frac{1}{6}|t|^{3} \epsilon 。\end{对齐}然后（1.3）由此得出林德伯格条件并通过选择ε任意小。”(二)⟹（一世）”。假设 (ii) 成立。首先，（ii）的（b）部分暗示（1.1）。其次，从前面的证明中，我们可以看出（1.2）是从（ii）的（a）部分隐含的。将这两者放在一起，我们看到（1.3）仍然成立。特别是，（1.3）中左侧的实部应该趋向于 0 ，即0⟵Re⁡(∑到=1n(ψn,到(吨)−1)+吨22)\begin{aligned} &=\sum_{k=1}^{n} E\left(\cos \left(t X_{n, k}\right)-1+\frac{1}{2} t^ {2} X_{n, k}^{2}\right) \ &\geq \sum_{k=1}^{n} E\left(\cos \left(t X_{n, k}\right) -1+\frac{1}{2} t^{2} X_{n, k}^{2}\right) I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \ &\geq \quad\left(\text { as } \cos (y)-1+\frac{1}{2} y^{2} \geq 0\right) \ & \geq \quad \sum_{k=1}^{n} E\left(\frac{1}{2} t^{2} X_{n, k}^{2}-2\right) I\left {\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \quad(\text { as } \cos (y) \geq-1) \ &=\sum_{k=1}^{n} E X_{n, k}^{2} \left(\frac{1}{2} t^{2}-\frac{2}{X_{n, k}^{2}}\right) I\left{\left|X_{n, k} \对| \geq \epsilon\right} \ &\geq \quad\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{2}{\epsilon^{2}}\right) \sum_{k= 1}^{n} E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \end{对齐}\begin{aligned} &=\sum_{k=1}^{n} E\left(\cos \left(t X_{n, k}\right)-1+\frac{1}{2} t^ {2} X_{n, k}^{2}\right) \ &\geq \sum_{k=1}^{n} E\left(\cos \left(t X_{n, k}\right) -1+\frac{1}{2} t^{2} X_{n, k}^{2}\right) I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \ &\geq \quad\left(\text { as } \cos (y)-1+\frac{1}{2} y^{2} \geq 0\right) \ & \geq \quad \sum_{k=1}^{n} E\left(\frac{1}{2} t^{2} X_{n, k}^{2}-2\right) I\left {\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \quad(\text { as } \cos (y) \geq-1) \ &=\sum_{k=1}^{n} E X_{n, k}^{2} \left(\frac{1}{2} t^{2}-\frac{2}{X_{n, k}^{2}}\right) I\left{\left|X_{n, k} \对| \geq \epsilon\right} \ &\geq \quad\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{2}{\epsilon^{2}}\right) \sum_{k= 1}^{n} E X_{n, k}^{2} I\left{\left|X_{n, k}\right| \geq \epsilon\right} \end{对齐}只要吨被选择使得吨2/2−2/ε2>0， IE，吨2>4/ε2. 因此右侧趋于零。因此，林德伯格条件成立。

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Application to Weak Law of Large Numbers

Posted on 2022年4月7日2022年4月7日 by statistics-lab

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Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Application to Weak Law of Large Numbers

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Appendix: Several useful lemmas

LEMMA 10.5.1 For $n=0,1,2, \ldots$ and any real $t$,
$$
\left|e^{i t}-1-i t-\frac{(i t)^{2}}{2 !}-\ldots-\frac{(i t)^{n}}{n !}\right| \leq \min \left{\frac{|t|^{n+1}}{(n+1) !}, \frac{2|t|^{n}}{n !}\right}
$$
Proof. By integration by parts, we have, for any $m \geq 0$,
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{t}(t-s)^{m} e^{i s} d s &=\frac{-1}{m+1} \int_{0}^{t} e^{i s} d(t-s)^{m+1} \
&=\frac{t^{m+1}}{m+1}+\frac{i}{m+1} \int_{0}^{t}(t-s)^{m+1} e^{i s} d s .
\end{aligned}
$$
Therefore, by iteration we get
$$
\begin{aligned}
e^{i t} &=1+\left(e^{i t}-1\right)=1+i \int_{0}^{t} e^{i s} d s \
&=1+i t+i^{2} \int_{0}^{t}(t-s) e^{i s} d s \
&=\ldots \ldots \
&=1+i t+\frac{(i t)^{2}}{2 !}+\ldots+\frac{(i t)^{n}}{n !}+\frac{i^{-n+1}}{n !} \int_{0}^{t}(t-s)^{n} e^{i s} d s
\end{aligned}
$$
Note that
$$
\left|\int_{0}^{t}(t-s)^{n} e^{i s} d s\right| \leq \int_{0}^{|t|}|t-s|^{n} d s \leq \frac{|t|^{n+1}}{n+1}
$$
By integration by parts,
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{t}(t-s)^{n} e^{i s} d s &=(-i) \int_{0}^{t}(t-s)^{n} d e^{i s} \
&=-i t^{n}+i n \int_{0}^{t}(t-s)^{n-1} e^{i s} d s \
&=i n \int_{0}^{t}(t-s)^{n-1}\left[e^{i s}-1\right] d s
\end{aligned}
$$
and hence
$$
\left|\int_{0}^{t}(t-s)^{n} e^{i s} d s\right| \leq 2 n \int_{0}^{|t|}|t-s|^{n-1} d s=2|t|^{n}
$$
189
Using these relationships, we get
$$
\left|e^{i t}-1-i t-\frac{(i t)^{2}}{2 !}-\ldots-\frac{(i t)^{n}}{n !}\right| \leq \min \left{\frac{|t|^{n+1}}{(n+1) !}, \frac{2|t|^{n}}{n !}\right}
$$
The proof is complete.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Esseen’s Smoothing Lemma

Often we are interested in difference of two functions. For instance, if a r.v. $T_{n}$ has an asymptotic normal distribution, as in the central limit theorem, then
$$
\sup {x}\left|P\left(T{n} \leq x\right)-\Phi(x)\right| \rightarrow 0 \quad \text { as } n \rightarrow \infty
$$
The natural question is then how fast this limit goes to zero. In other words, we are interested in the rates of convergence to normality. One fundamental tool in studying the difference in two functions is the “smoothing lemma”.

The word “smoothing” is derived from the fact that: any r.v. $X$ perturbed by an independent continuous r.v. $Y$, will also be a continuous r.v.. That is, if $X$ and $Y$ are independent and $Y$ is a continuous r.v., then $X+Y$ is a continuous r.v. for all $X$. Furthermore, the degree of smoothness for $X+Y$ also depends on the degree of smoothness for $Y$. This follows from the following identity:
$$
F_{X+Y}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} F_{Y}(t-y) d F_{X}(y)
$$
Let $V_{T}$ be the d.f. with a p.d.f. (i.e. inverse triangular d.f.)
$$
v_{T}(x)=\frac{1-\cos (T x)}{\pi T x^{2}}
$$
which is the p.d.f of the sum of two independent $U[-1 /(2 T), 1 /(2 T)]$ (try to plot it!) The corresponding c.f. is given by
$$
\omega_{T}(t)=\left(1-\frac{t}{T}\right) I{|t| \leq T}
$$
The explicit form of $\omega_{T}(t)$ is of no importance. What matters is that $\omega_{T}(t)$ vanishes for $|t| \geq T$, since this eliminates all questions of convergence.
For any function $\Delta(x)$, we denote its convolution with $V_{T}(x)$ by
$$
\Delta^{T}(t) \equiv \Delta \star V_{T}(t):=\int_{-\infty}^{\infty} \Delta(t-x) v_{T}(x) d x
$$
Our objective is to estimate the maximum of $|\Delta|$ in terms of the maximum of $\left|\Delta^{T}\right|$.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Characteristic functions and smoothness condition

DEFINITION 10.8.1 If all points of increase of $F$ are among $b, b \pm h, b \pm 2 h, \ldots .$, then we say that $F$ is $a$ lattice d.f. with span $h$.
The following two theorems give a characterization of lattice distribution.
THEOREM 10.8.1 If $\lambda \neq 0$, the following three statements are equivalent:
(a) $\psi(\lambda)=1$.
(b) $\psi(t)$ has period $\lambda$, i.e., $\psi(t \neq n \lambda)=\psi(t)$ for all $t$ and $n$.
(c) All points of increase of $F$ are among $0, \pm h, \pm 2 h, \ldots .$ where $h=2 \pi / \lambda$.
Proof. We shall show that $(c) \rightarrow(b) \rightarrow(a) \rightarrow(c)$.
If (c) is true and $F$ attributes weight $p_{k}$ to $k h, k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, then $\psi(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} p_{k} e^{i k h t}$, which has period $2 \pi / h-\lambda$. So (c) implies (b).
If (b) is true, by taking $n=1$ and $t=0$, we get $\psi(\lambda)=\psi(0)=1$, which proves (a).
If $(\mathrm{a})$ is true, $\psi(\lambda)=E \cos (\lambda X)+i E \sin (\lambda X)=1$, then $\int_{-\infty}^{\infty}[1-\cos (\lambda x)] d F(x)=0$. Note that the integrand is nonnegative. So at every point $x$ of increase for $F$, we must have $1-\cos (\lambda x)=0$. Thus $F$ is concentrated on the multiplesi of $2 \pi / \lambda$, and hence (c) is true.
It is easy to deduce the next corollary by applying the last lemma to $X-b$.
COROLLARY 10.8.1 If $\lambda \neq 0$, the following three statements are equivalent:
(a) $\psi(\lambda)=e^{i b \lambda}$
(b) $\psi(t)$ satisfies $\psi(t+n \lambda)=\psi(t) e^{i n \lambda b}$ for all $t$ and $n$.
(c) All points of increase of $F$ are among $b, b \pm h, b \pm 2 h, \ldots .$ where $h=2 \pi / \lambda$.
The following result is thus immediate. It states that any distribution is either lattice, or nonlattice, or degenerate.
THEOREM 10.8.2 There exist only the following three possibilities:

$|\psi(t)| \equiv 1$ for all t. In this case, $\psi(t)=e^{i b t}$ (degenerate at b).
$|\psi(\lambda)|=1$ and $|\psi(t)|<1$ for $0<t<\lambda$ (lattice with span $h=2 \pi / \lambda$.)
$|\psi(t)|<1$ for all $t \neq 0$ (non-lattice distribution).

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Appendix: Several useful lemmas

引理 10.5.1 对于n=0,1,2,…和任何真实的吨,
\left|e^{it}-1-i t-\frac{(it)^{2}}{2 !}-\ldots-\frac{(it)^{n}}{n !}\right | \leq \min \left{\frac{|t|^{n+1}}{(n+1) !}, \frac{2|t|^{n}}{n !}\right}\left|e^{it}-1-i t-\frac{(it)^{2}}{2 !}-\ldots-\frac{(it)^{n}}{n !}\right | \leq \min \left{\frac{|t|^{n+1}}{(n+1) !}, \frac{2|t|^{n}}{n !}\right}
证明。通过按部分集成，我们有，对于任何米≥0,
∫0吨(吨−s)米和一世sds=−1米+1∫0吨和一世sd(吨−s)米+1 =吨米+1米+1+一世米+1∫0吨(吨−s)米+1和一世sds.
因此，通过迭代我们得到
和一世吨=1+(和一世吨−1)=1+一世∫0吨和一世sds =1+一世吨+一世2∫0吨(吨−s)和一世sds =…… =1+一世吨+(一世吨)22!+…+(一世吨)nn!+一世−n+1n!∫0吨(吨−s)n和一世sds
注意
|∫0吨(吨−s)n和一世sds|≤∫0|吨||吨−s|nds≤|吨|n+1n+1
通过分部整合，
∫0吨(吨−s)n和一世sds=(−一世)∫0吨(吨−s)nd和一世s =−一世吨n+一世n∫0吨(吨−s)n−1和一世sds =一世n∫0吨(吨−s)n−1[和一世s−1]ds
因此
|∫0吨(吨−s)n和一世sds|≤2n∫0|吨||吨−s|n−1ds=2|吨|n
189
利用这些关系，我们得到
\left|e^{it}-1-i t-\frac{(it)^{2}}{2 !}-\ldots-\frac{(it)^{n}}{n !}\right | \leq \min \left{\frac{|t|^{n+1}}{(n+1) !}, \frac{2|t|^{n}}{n !}\right}\left|e^{it}-1-i t-\frac{(it)^{2}}{2 !}-\ldots-\frac{(it)^{n}}{n !}\right | \leq \min \left{\frac{|t|^{n+1}}{(n+1) !}, \frac{2|t|^{n}}{n !}\right}
证明是完整的。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Esseen’s Smoothing Lemma

通常我们对两个功能的差异感兴趣。例如，如果 rv吨n具有渐近正态分布，如中心极限定理，则
支持X|磷(吨n≤X)−披(X)|→0 作为 n→∞
很自然的问题是这个限制变为零的速度有多快。换句话说，我们对收敛到正态的速率感兴趣。研究两个函数差异的一个基本工具是“平滑引理”。

“平滑”一词源于以下事实：任何 rvX受独立连续 rv 扰动和, 也将是一个连续的 rv。也就是说，如果X和和是独立的并且和是一个连续的 rv，那么X+和对所有人来说是一个连续的 rvX. 此外，平滑度为X+和还取决于平滑度和. 这来自以下身份：
FX+和(吨)=∫−∞∞F和(吨−和)dFX(和)
让五吨成为带有pdf的df（即反三角df）
v吨(X)=1−某物⁡(吨X)圆周率吨X2
这是两个独立的总和的pdfü[−1/(2吨),1/(2吨)]（尝试绘制它！）相应的 cf 由下式给出
ω吨(吨)=(1−吨吨)一世|吨|≤吨
的显式形式ω吨(吨)无关紧要。重要的是ω吨(吨)消失|吨|≥吨，因为这消除了所有收敛问题。
对于任何功能Δ(X)，我们将其卷积表示为五吨(X)经过
Δ吨(吨)≡Δ⋆五吨(吨):=∫−∞∞Δ(吨−X)v吨(X)dX
我们的目标是估计最大值|Δ|就最大值而言|Δ吨|.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Characteristic functions and smoothness condition

定义 10.8.1 如果所有的增加点F是其中b,b±H,b±2H,….，那么我们说F是一种带跨度的格 dfH.
以下两个定理给出了晶格分布的表征。
定理 10.8.1 如果λ≠0，以下三个语句是等价的：
(a)ψ(λ)=1.
(二)ψ(吨)有期λ， IE，ψ(吨≠nλ)=ψ(吨)对所有人吨和n.
(c) 所有增加点F是其中0,±H,±2H,….在哪里H=2圆周率/λ.
证明。我们将证明(C)→(b)→(一种)→(C).
如果 (c) 为真并且F属性权重p到到到H,到=0,±1,±2,…，然后ψ(吨)=∑到=−∞∞p到和一世到H吨, 有周期2圆周率/H−λ. 所以（c）暗示（b）。
如果 (b) 为真，则取n=1和吨=0，我们得到ψ(λ)=ψ(0)=1，这证明了（a）。
如果(一种)是真的，ψ(λ)=和某物⁡(λX)+一世和没有⁡(λX)=1，然后∫−∞∞[1−某物⁡(λX)]dF(X)=0. 请注意，被积函数是非负的。所以在每一点X增加为F, 我们必须有1−某物⁡(λX)=0. 因此F集中在倍数上2圆周率/λ，因此 (c) 为真。
通过应用最后一个引理很容易推导出下一个推论X−b.
推论 10.8.1 如果λ≠0，以下三个语句是等价的：
(a)ψ(λ)=和一世bλ
(二)ψ(吨)满足ψ(吨+nλ)=ψ(吨)和一世nλb对所有人吨和n.
(c) 所有增加点F是其中b,b±H,b±2H,….在哪里H=2圆周率/λ.
因此，以下结果是立竿见影的。它指出任何分布要么是格的，要么是非格的，要么是退化的。
定理 10.8.2 只存在以下三种可能性：

|ψ(吨)|≡1对于所有 t。在这种情况下，ψ(吨)=和一世b吨（在 b 处退化）。
|ψ(λ)|=1和|ψ(吨)|<1为了0<吨<λ（带跨度的格子H=2圆周率/λ.)
|ψ(吨)|<1对所有人吨≠0（非晶格分布）。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Levy Continuity Theorem

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Levy Continuity Theorem

Instead of studying d.f.s directly, we could study their corresponding c.f.s. This can be done due to Levy continuity theorem.
LEMMA 10.4.1 For any $a>0$, we have
$$
P\left(|X|>\frac{2}{a}\right) \leq \frac{1}{a} \int_{-a}^{a}(1-\psi(t)) d t .
$$
Proof.
$$
\begin{aligned}
\int_{-a}^{a}(1-\psi(t)) d t &=2 a-\int_{-a}^{a} E e^{i t X} d t \
&=2 a-E\left(\int_{-a}^{a} e^{i t X} d t\right) \quad \text { (by Fubini theorem } \
&=2 a-E\left(\int_{-a}^{a} \cos (t X) d t\right) \
&=2 a-E\left(\frac{2 \sin (a X)}{X}\right) \
&=2 a E\left(1-\frac{\sin (a X)}{a X}\right) \
& \geq 2 a E\left(1-\frac{\sin (a X)}{a X}\right) I{|a X|>2} \
& \geq 2 a E\left(1-\frac{1}{2}\right) I{|a X|>2} \
& \geq a P(|a X|>2)
\end{aligned}
$$
REMARK 10.4.1 When a is chosen to be very small, Lemma 10.4.1 shows that the tail probability behavior of a r.v. $X$ is actually determined by the behavior of its c.f. around the origin.

LEMMA 10.4.2 Let $F_{n}$ be a sequence of d.f.s with c.f.s $\psi_{n}$. If $\psi_{n}(t) \rightarrow g(t)$, and $g(t)$ that is continuous at 0 , then $F_{n}$ is tight.

Proof. First note that $g(0)=\lim {n} \psi{n}(0)=1$ and $g(t)$ is continuous at 0 . Therefore, $\forall \varepsilon>0, \exists a_{0}>0$ such that $|1-g(t)|=|g(t)-g(0)|<\varepsilon / 2$ whenever $|t|\frac{2}{a_{0}}\right) & \leq\left|\frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{0}}\left(1-\psi_{n}(t)\right) d t\right| \quad(\text { Lemma 10.4.1) }\ & \rightarrow\left|\frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{0}}(1-g(t)) d t\right| \quad \text { (dominated convergence theorem) } \ & \leq \frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{u}}|1-g(t)| d t \leq \frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{u}} \varepsilon d t \leq \varepsilon / 2 \end{aligned}$
Thus, $\exists N_{0}>0$ such that, for all $n>N_{0}$, one has $P\left(\left|X_{n}\right|>\frac{2}{a_{0}}\right) \leq \varepsilon$.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Moments of r.v.s and derivatives of their c.f.s

THEOREM 10.4.1 (Levy continuity theorem)
Assume that $X_{n}$ has d.f. $F_{n}$ and c.f. $\psi_{n}$ for $1 \leq n \leq \infty$.
(i) If $X_{n} \rightarrow d X_{\infty}$, (i.e., $F_{n} \Longrightarrow F_{\infty}$ ), then $\psi_{n}(t) \rightarrow \psi_{\infty}(t)$ for all $t$.
(ui) If $\psi_{n}(t) \rightarrow \psi(t)$, and $\psi(t)$ is contsnous at $v$, then there exsts a r.v. $X$ with d.f. $F$ such that $X_{n} \rightarrow$ (i.e., $F_{n} \Longrightarrow F$ ), and $\psi$ is the c.f. of $X$.
Proof.
184
(i) The proof follows from the bounded convergence theorem.
(ii). Now suppose that $\psi_{n}(t) \rightarrow \psi(t)$, and that $\psi(t)$ is continuous at 0. From Lemma 10.4.2, $F_{n}$ is tight.
Now suppose that $F_{n_{k}} \Longrightarrow_{v} F$ for some subsequence $n_{k}$ and some limit $F$. Since $F_{n}$ is tight, we have $F_{n_{k}} \Longrightarrow \bar{F}$, i.e., the limit $\bar{F}$ is a d.f. From part (i) of the current theorem, we see that $\psi_{n_{k}}(t) \rightarrow \psi_{\bar{F}}(t)$ for all $t$. On the other hand, from the assumption, we have $\psi_{n_{k}}(t) \rightarrow \psi(t)$ for all $t$. Therefore,
$$
\psi_{\tilde{F}}(t)=\psi(t) .
$$
Clearly, $\psi(t)$ is a c.f. Suppose that its corresponding d.f. is $F$. By the uniqueness theorem, Theorem 10.3.3, we get $\bar{F}=F$. This shows that $F$ is the only possible weak limit of the $F_{n}$. Therefore,
$$
F_{n} \Longrightarrow F_{-}
$$
The following corollary is immediate.
COROLLARY 10.4.1 (Levy continuity theorem)
$$
X_{n} \rightarrow{ }{d} X \text { if and only if } \psi{X_{n}}(t) \rightarrow \psi_{X}(t) \text { for all } t \text {. }
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relation between moments of a r.v. and derivatives of its c.f.

The smoothness of the c.f. $\psi(t)$ at $t=0$ is closely related to how many moments that $X$ possesses, and hence to the tail behavior of the d.f. of $X$.

THEOREM 10.5.1 If $E|X|^{n}<\infty$, then $\psi^{(n)}(t)$ exists and is a uniformly continuous function given by
$$
\psi^{(k)}(t)=i^{k} E\left(X^{k} e^{i t X}\right)=i^{k} \int_{-\infty}^{\infty} x^{k} e^{i t x} d F(x), \quad k=0,1,2, \ldots, n .
$$
In particular,
$$
\psi^{(k)}(0)=i^{k} E X^{k}, \quad k=0,1, \ldots, n
$$
Proof. Note that
$$
\frac{\psi(t+h)-\psi(t)}{h}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} \frac{e^{i h x}-1}{h} d F(x) .
$$
Using Lemma 10.5.1, the integrand is dominated by $|x|$. So the first derivative of $\psi(t)$ exists by the dominated convergence theorem, and is given by
$$
\psi^{\prime}(t)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{\psi(t+h)-\psi(t)}{h}=i \int{-\infty}^{\infty} x e^{i t x} d F(x)
$$
The uniform continuity of $\psi^{\prime}(t)$ follows from
$$
\left|\psi^{\prime}(t+\delta)-\psi^{\prime}(t)\right|=\left|\int_{-\infty}^{\infty} x e^{i t x}\left(e^{i t \delta}-1\right) d F(x)\right| \rightarrow 0
$$
by the dominated convergence theorem. Therefore, the assertion is true for $n=1$. The general case follows by induction.
A partial converse is given by the following theorem.
THEOREM 10.5.2 If $\psi^{(n)}(0)$ exists and is finite for some $n=1,2, \ldots$, then $E|X|^{n}<\infty$ if $n$ is even. (Consequently, $E|X|^{n-1}<\infty$ if $n$ is odd.)

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Levy Continuity Theorem

我们可以研究它们对应的cfs，而不是直接研究dfs。这可以通过Levy连续性定理来完成。
LEMMA 10.4.1 对于任何一种>0，我们有
磷(|X|>2一种)≤1一种∫−一种一种(1−ψ(吨))d吨.
证明。
∫−一种一种(1−ψ(吨))d吨=2一种−∫−一种一种和和一世吨Xd吨 =2一种−和(∫−一种一种和一世吨Xd吨) （由富比尼定理 =2一种−和(∫−一种一种某物⁡(吨X)d吨) =2一种−和(2没有⁡(一种X)X) =2一种和(1−没有⁡(一种X)一种X) ≥2一种和(1−没有⁡(一种X)一种X)一世|一种X|>2 ≥2一种和(1−12)一世|一种X|>2 ≥一种磷(|一种X|>2)
备注 10.4.1 当 a 被选为非常小时，引理 10.4.1 表明 rv 的尾部概率行为X实际上是由其 cf 在原点周围的行为决定的。

引理 10.4.2 让Fn是带有 cfs 的 dfs 序列ψn. 如果ψn(吨)→G(吨)，和G(吨)在 0 处连续，则Fn很紧。

证明。首先请注意G(0)=林nψn(0)=1和G(吨)在 0 处连续。所以，∀e>0,∃一种0>0这样|1−G(吨)|=|G(吨)−G(0)|<e/2每当|t|\frac{2}{a_{0}}\right) & \leq\left|\frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{0}} \left(1-\psi_{n}(t)\right) dt\right| \quad(\text { 引理 10.4.1) }\ & \rightarrow\left|\frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{0}}(1-g (t)) dt\right| \quad \text { (支配收敛定理) } \ & \leq \frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{u}}|1-g(t)| d t \leq \frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{u}} \varepsilon d t \leq \varepsilon / 2 \end{对齐}|t|\frac{2}{a_{0}}\right) & \leq\left|\frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{0}} \left(1-\psi_{n}(t)\right) dt\right| \quad(\text { 引理 10.4.1) }\ & \rightarrow\left|\frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{0}}(1-g (t)) dt\right| \quad \text { (支配收敛定理) } \ & \leq \frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{u}}|1-g(t)| d t \leq \frac{1}{a_{0}} \int_{-a_{0}}^{a_{u}} \varepsilon d t \leq \varepsilon / 2 \end{对齐}
因此，∃ñ0>0这样，对于所有人n>ñ0, 一个有磷(|Xn|>2一种0)≤e.

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定理 10.4.1（Levy 连续性定理）
假设Xn有dfFn和cfψn为了1≤n≤∞.
(一) 如果Xn→dX∞，（IE，Fn⟹F∞），然后ψn(吨)→ψ∞(吨)对所有人吨.
(ui) 如果ψn(吨)→ψ(吨)，和ψ(吨)是一致的v, 那么存在一个 rvX与 dfF这样Xn→（IE，Fn⟹F），和ψ是 cfX.
证明。
184
(i) 证明来自有界收敛定理。
(二)。现在假设ψn(吨)→ψ(吨)，然后ψ(吨)在 0 处连续。从引理 10.4.2，Fn很紧。
现在假设Fn到⟹vF对于某些子序列n到和一些限制F. 自从Fn很紧，我们有Fn到⟹F¯，即极限F¯是一个 df 从当前定理的 (i) 部分，我们看到ψn到(吨)→ψF¯(吨)对所有人吨. 另一方面，根据假设，我们有ψn到(吨)→ψ(吨)对所有人吨. 所以，
ψF~(吨)=ψ(吨).
清楚地，ψ(吨)是一个 cf 假设它对应的 df 是F. 通过唯一性定理，定理 10.3.3，我们得到F¯=F. 这表明F是唯一可能的弱极限Fn. 所以，
Fn⟹F−
以下推论是直接的。
推论 10.4.1（Levy 连续性定理）
Xn→dX 当且仅当 ψXn(吨)→ψX(吨) 对所有人吨.

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cf的平滑度ψ(吨)在吨=0与有多少时刻密切相关X拥有，因此对 df 的尾部行为X.

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Inversion formula

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The Complex inversion formula. Bromwich contour. — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Inversion formula

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|The inversion formula

THEOREM 10.3.1 (The inversion formula.) Let $\psi(t)=\int e^{i t x} \mu(d x)$, where $\mu$ is a probability measure. If $a<h$, then
$$
\lim {T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi} \int{-T}^{T} \frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} \psi(t) d t=\mu(a, b)+\frac{1}{2} \mu({a, b}),
$$
provided that the limit on the left hand side exists.
Proof. Let
$$
\begin{aligned}
I(T)=& \frac{1}{2 \pi} \int_{-T}^{T} \frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} \psi(t) d t \
=& \frac{1}{2 \pi} \int_{-T}^{T} \frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} \mu(d x)\right) d t \
=& \frac{1}{2 \pi} \int_{-T}^{T}\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} e^{i t x} \mu(d x)\right) d t \
=& \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-T}^{T} \frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} e^{i t x} d t\right) \mu(d x) \
&\left(b y \text { Fubini’s theorem } \operatorname{since}\left|\frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} e^{i t x}\right|=\left|\int_{a}^{b} e^{-i t x} d x\right|\left|e^{i t x}\right| \leq b-a\right) \
=& \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-T}^{T} \frac{e^{i t(x-a)}-e^{i t(x-b)}}{i t} d t\right) \mu(d x) \
=& \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-T}^{T} \frac{1}{i t}(\cos [t(x-a)]-\cos [t(x-b)]) d t\right) \mu(d x) \
&+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-T}^{T} \frac{i}{i t}(\sin [t(x-a)]-\sin [t(x-b)]) d t\right) \mu(d x)
\end{aligned}
$$
180
$$
\begin{aligned}
&=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-T}^{T} \frac{1}{t}(\sin [t(x-a)]-\sin [t(x-b)]) d t\right) \mu(d x) \
&=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{0}^{T} \frac{1}{t}(\sin [t(x-a)]-\sin [t(x-b)]) d t\right) \mu(d x) \
&=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}[I(x-a, T)-I(x-b, T)] \mu(d x)
\end{aligned}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|One-to-one correspondence between d.f. and c.f.

THEOREM 10.3.3 (Uniqueness) Characteristic functions uniquely determines distribution functions. That is, there is a one-one correspondence between c.f.s and d.f.s.

Proof. Suppose that two d.f.s $F_{1}$ and $F_{2}$ have the same c.f. $\psi(t)$, we need to show that $F_{1} \equiv F_{2}$. Let $a, b \in C\left(F_{1}\right) \cap C\left(F_{2}\right)$ with $a{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi} \int{-T}^{T} \frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} \psi(t) d t=F_{2}(b) \quad F_{2}(a) . $$ Let $a \rightarrow-\infty$ along $C\left(F_{1}\right) \cap C\left(F_{2}\right)$, we get $F_{1}(b)=F_{2}(b)$ for all $b \in C\left(F_{1}\right) \cap C\left(F_{2}\right)$. By the right continuity of d.f., we have $F_{1}(b)=F_{2}(b)$ for all $b \in R$. The case when $\psi$ is integrable It follows from the last theorem that if $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(t)| d t<\infty$, we have $\mu({a})=0$ for all $a$. That is, $\mu$ is a continuous measure. In fact, we can get a stronger result than this. THEOREM 10.3.4 If $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(t)| d t<\infty$, then $\mu$ has bounded continuous density $$ f(y)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i t y} \psi(t) d t $$ 182 Proof. Since $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(t)| d t<\infty$, it follows from Theorem $10.3 .2$ that $\mu({a, b})=0$ for all $a0$, we have
$$
\frac{\mu(y, y+h)}{h}=\lim {T \rightarrow \infty} \frac{1}{9 \pi} \int{-T}^{T} \frac{e^{-i t y}-e^{-i t(y+h)}}{i t h} \psi(t) d t=\frac{1}{9 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-i t y}-e^{-i t(y+h)}}{i t h} \psi(t) d t
$$
as
$$
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{e^{-i t y}-e^{-i t(y+h)}}{i t h} \psi(t)\right| d t=\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{1-e^{-i t h}}{i t h} \psi(t)\right| d t \leq \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(t)| d t<\infty
$$
Then
$$
\lim {h{ }{\searrow 0}} \frac{\mu(y, y+h)}{h}=\lim {h \backslash 0} \frac{1}{2 \pi} \int{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-i t y}-e^{-i t(y+h)}}{i t h} \psi(t) d t
$$
$$
=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \lim {h\rangle 0} \frac{e^{-i t y}-e^{-i t(y+h)}}{i t h} \psi(t) d t $$ (dominated convergence theorem) $=\frac{1}{2 \pi} \int{-\infty}^{\infty} \lim {h \backslash 0} \frac{i t e^{-i t(y+h)}}{i t} \psi(t) d t$ $=\frac{1}{2 \pi} \int{-\infty}^{\infty} e^{-i t y} \psi(t) d t .$
(L’Hospital rule)
This completes the proof.

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|The case when ψ is not integrable

THEOREM 10.3.5 If $P(X \in b+h \mathbf{Z})=1$, where $\mathbf{Z}={0, \pm 1, \pm 2, \ldots}$, then for $x \in b+h \mathbf{Z}$, we have
$$
P(X=x)=\frac{h}{2 \pi} \int_{-\pi / h}^{\pi / h} e^{-i t x} \psi(t) d t
$$
Proof. Assume that $x-b+j h$ for some $j \in Z$. Denote $p_{h}-P(X-b+k h)$ for $k \in Z$. Then,
$$
\begin{aligned}
\frac{h}{2 \pi} \int_{-\pi / h}^{\pi / h} e^{-i t x} \psi^{j(t) d t} &=\frac{h}{2 \pi} \int_{-\pi / h}^{\pi / h} e^{-i t(b+j h)} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i t(b+k h)} p_{k} d t \
&=\frac{h}{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} p_{k} \int_{-\pi / h}^{\pi / h} e^{i t(k-j) h} d t \
&=\frac{h}{2 \pi}\left(\sum_{k \neq j}+\sum_{k=j} p_{k} \int_{-\pi / h}^{\pi / h} e^{i t(k-j) h} d t\right.\
&=\frac{h}{2 \pi}\left(0+p_{j} \int_{-\pi / h}^{\pi / h} 1 d t\right) \
&=p_{j}=P(X=j h) \
&=P(X=x)
\end{aligned}
$$

Inverse Trigonometry Formula: Concept, Formulas. Solved Examples — 统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Inversion formula

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|The inversion formula

定理 10.3.1（反演公式。）让ψ(吨)=∫和一世吨Xμ(dX)，在哪里μ是一种概率测度。如果一种<H，然后
林吨→∞12圆周率∫−吨吨和−一世吨一种−和−一世吨b一世吨ψ(吨)d吨=μ(一种,b)+12μ(一种,b),
前提是左边的极限存在。
证明。让
一世(吨)=12圆周率∫−吨吨和−一世吨一种−和−一世吨b一世吨ψ(吨)d吨 =12圆周率∫−吨吨和−一世吨一种−和−一世吨b一世吨(∫−∞∞和一世吨Xμ(dX))d吨 =12圆周率∫−吨吨(∫−∞∞和−一世吨一种−和−一世吨b一世吨和一世吨Xμ(dX))d吨 =12圆周率∫−∞∞(∫−吨吨和−一世吨一种−和−一世吨b一世吨和一世吨Xd吨)μ(dX) (b和富比尼定理自从⁡|和−一世吨一种−和−一世吨b一世吨和一世吨X|=|∫一种b和−一世吨XdX||和一世吨X|≤b−一种) =12圆周率∫−∞∞(∫−吨吨和一世吨(X−一种)−和一世吨(X−b)一世吨d吨)μ(dX) =12圆周率∫−∞∞(∫−吨吨1一世吨(某物⁡[吨(X−一种)]−某物⁡[吨(X−b)])d吨)μ(dX) +12圆周率∫−∞∞(∫−吨吨一世一世吨(没有⁡[吨(X−一种)]−没有⁡[吨(X−b)])d吨)μ(dX)
180
=12圆周率∫−∞∞(∫−吨吨1吨(没有⁡[吨(X−一种)]−没有⁡[吨(X−b)])d吨)μ(dX) =1圆周率∫−∞∞(∫0吨1吨(没有⁡[吨(X−一种)]−没有⁡[吨(X−b)])d吨)μ(dX) =1圆周率∫−∞∞[一世(X−一种,吨)−一世(X−b,吨)]μ(dX)

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|One-to-one correspondence between d.f. and c.f.

定理 10.3.3（唯一性）特征函数唯一地确定分布函数。也就是cfs和dfs是一一对应的

证明。假设有两个 dfF1和F2有相同的cfψ(吨)，我们需要证明F1≡F2. 让一种,b∈C(F1)∩C(F2)和一种吨→∞12圆周率∫−吨吨和−一世吨一种−和−一世吨b一世吨ψ(吨)d吨=F2(b)F2(一种).一世和吨一个 \rightarrow-\infty一种一世○nGC\left(F_{1}\right) \cap C\left(F_{2}\right),在和G和吨F_{1}(b)=F_{2}(b)F○r一种一世一世b \in C\left(F_{1}\right) \cap C\left(F_{2}\right).乙和吨H和r一世GH吨C○n吨一世n你一世吨和○Fd.F.,在和H一种v和F_{1}(b)=F_{2}(b)F○r一种一世一世b \in R.吨H和C一种s和在H和n\psi一世s一世n吨和Gr一种b一世和一世吨F○一世一世○在sFr○米吨H和一世一种s吨吨H和○r和米吨H一种吨一世F\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(t)| d t<\infty,在和H一种v和\mu({a})=0F○r一种一世一世一种.吨H一种吨一世s,\mu一世s一种C○n吨一世n你○你s米和一种s你r和.一世nF一种C吨,在和C一种nG和吨一种s吨r○nG和rr和s你一世吨吨H一种n吨H一世s.吨H和○R和米10.3.4一世F\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(t)| d t<\infty,吨H和n\muH一种sb○你nd和dC○n吨一世n你○你sd和ns一世吨和F(和)=12圆周率∫−∞∞和−一世吨和ψ(吨)d吨182磷r○○F.小号一世nC和\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(t)| d t<\infty,一世吨F○一世一世○在sFr○米吨H和○r和米10.3 .2吨H一种吨\mu({a, b})=0F○r一种一世一世a0,在和H一种v和μ(和,和+H)H=林吨→∞19圆周率∫−吨吨和−一世吨和−和−一世吨(和+H)一世吨Hψ(吨)d吨=19圆周率∫−∞∞和−一世吨和−和−一世吨(和+H)一世吨Hψ(吨)d吨一种s∫−∞∞|和−一世吨和−和−一世吨(和+H)一世吨Hψ(吨)|d吨=∫−∞∞|1−和−一世吨H一世吨Hψ(吨)|d吨≤∫−∞∞|ψ(吨)|d吨<∞吨H和n林H0μ(和,和+H)H=林H∖012圆周率∫−∞∞和−一世吨和−和−一世吨(和+H)一世吨Hψ(吨)d吨=12圆周率∫−∞∞林H⟩0和−一世吨和−和−一世吨(和+H)一世吨Hψ(吨)d吨(d○米一世n一种吨和dC○nv和rG和nC和吨H和○r和米)=\frac{1}{2 \pi} \int{-\infty}^{\infty} \lim {h \反斜杠 0} \frac{ite^{-it(y+h)}}{it} \ psi(t) dt=\frac{1}{2 \pi} \int{-\infty}^{\infty} e^{-ity} \psi(t) dt .$
(L’Hospital rule)
这样就完成了证明。

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|The case when ψ is not integrable

定理 10.3.5 如果磷(X∈b+H和)=1，在哪里和=0,±1,±2,…，那么对于X∈b+H和，我们有
磷(X=X)=H2圆周率∫−圆周率/H圆周率/H和−一世吨Xψ(吨)d吨
证明。假使，假设X−b+jH对于一些j∈和. 表示pH−磷(X−b+到H)为了到∈和. 然后，
H2圆周率∫−圆周率/H圆周率/H和−一世吨Xψj(吨)d吨=H2圆周率∫−圆周率/H圆周率/H和−一世吨(b+jH)∑到=−∞∞和一世吨(b+到H)p到d吨 =H2圆周率∑到=−∞∞p到∫−圆周率/H圆周率/H和一世吨(到−j)Hd吨 =H2圆周率(∑到≠j+∑到=jp到∫−圆周率/H圆周率/H和一世吨(到−j)Hd吨 =H2圆周率(0+pj∫−圆周率/H圆周率/H1d吨) =pj=磷(X=jH) =磷(X=X)

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Definition and some properties of c.f.s

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统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考| Definition and some properties of c.f.s

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some elementary properties of c.f.s

$\psi(0)=1$ and $|\psi(t)|=\left|E e^{i t X}\right| \leq E\left|e^{i t X}\right|=1$ for all $t$.
$\psi(t)$ is uniformly continuous in $t \in(-\infty, \infty)$.
Proof. For any real $t$ and $h \rightarrow 0$,
$$
|\psi(t+h)-\psi(t)|=\left|E e^{i(t+h) X}-E e^{i t X}\right|=\left|E\left[e^{i t X}\left(e^{i h X}-1\right)\right]\right| \leq E\left|e^{i h X}-1\right| \rightarrow 0 .
$$
$\psi_{a X} \times b(t)=E e^{i t(a X+b)}=e^{i t b} E e^{i t a X}=e^{i t b} \psi_{X}(a t)$.
$\psi-X(t)=\psi_{X}(-t)=\overline{\psi x(t)}$, where $\bar{z}$ denotes the complex conjugate of $z$.
$\psi_{X}(t)$ is real iff $X$ is symmetric about zero.
Proof. If $X$ is symmetric about zero, then $X={ }{d}-X$, which implies that $\psi{X}(t)=\psi_{-X}(t)=$ $\psi_{X}(-t)=\overline{\psi_{X}(t)}$. Then $\psi_{X}(t)$ is real. The above argument can be reversed, but in one of the steps we need the following fact: $\psi_{X}(t)=\psi_{Y}(t)$ implies $X={ }_{d} Y$, which will be proved later.
If $X$ and $Y$ are independent r.v.’s, then
$$
\psi_{X+Y}(t)=E e^{i t(X+Y)}=E e^{i t X} E e^{i t Y}=\psi_{X}(t) \psi_{Y}(t)
$$
In particular, if $\psi(t)$ is a c.f., so is $\psi^{m}(t)$, where $m$ is a positive integer.
Let $F_{1}, \ldots, F_{n}$ are d.f.’s with c.f. $\psi_{1}, \ldots, \psi_{n}$. If $\lambda_{i} \geq 0, \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1$, then $\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} F_{i}$ is a d.f. with c.f. given by $\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \psi_{i}$ –
If $\psi(t)$ is a c.f., so are $|\psi(t)|^{2} \mathrm{~ a n d ~ R e}$
In particular, $|\psi(t)|^{2}$ is the c.f. of a symmetric r.v. $X-Y$, where $X, Y$ are i.i.d. with c.f. $\psi \mathrm{~ ; ~ R e}$ is the c.f. of the d.f. $\left(F_{X}(x)+F_{-X}(x)\right) / 2$.
Proof. First, let $X, Y$ be i.i.d. with c.f. $\psi(t)$, then
$$
\psi_{X-Y}(t)=\psi_{X}(t) \psi_{Y}(-t)=\psi(t) \overline{\psi(t)}=|\psi(t)|^{2}
$$
Secondly, $-X$ has c.f. $\overline{\psi(t)}$. So the d.f. $\left(F_{X}(x)+F_{-X}\right) / 2$ has c.f.
$$
\frac{1}{2}(\psi x(t)+\overline{\psi X(t)})=\operatorname{Re} \psi X(t)
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between local and global properties of c.f.

The following theorem is useful in extending local properties of c.f. around the origin to global ones, and visa versa.
THEOREM 10.2.1
$$
\operatorname{Re}(1-\psi(t)) \geq \frac{1}{4} \operatorname{Re}(1-\psi(2 t)) \geq \ldots \geq \frac{1}{4^{n}} \operatorname{Re}\left(1-\psi\left(2^{n} t\right)\right)
$$
In particular, we have
(a) $1-|\psi(t)|^{2} \geq \frac{1}{4}\left(1-|\psi(2 t)|^{2}\right) \geq \cdots \geq \frac{1}{4^{n}}\left(1-\left|\psi\left(2^{n} t\right)\right|^{2}\right)$.
(b) $(1-|\psi(t)|) \geq \frac{1}{8}(1-|\psi(2 t)|) \geq \frac{1}{8^{n}}\left(1-\left|\psi\left(2^{n} t\right)\right|\right)$.
Proof. We prove (2.1) first, which follows by taking expectation to
$$
1-\cos 2 t X=2(\sin (t X))^{2}=2(2 \sin (t X / 2) \cos (t X / 2))^{2} \leq 8 \sin ^{2}(t X / 2)=4(1-\cos t X)
$$
(a) Applying the above to e.f. $|\psi(t)|^{2}$.
(b) Noting $0 \leq|\psi| \leq 1$, we get
$$
\begin{gathered}
1-|\psi(2 t)| \leq(1-|\psi(2 t)|)(1+|\psi(2 t)|) \leq 1-|\psi(2 t)|^{2} \
\leq 4\left(1-|\psi(t)|^{2}\right) \leq 4(1-|\psi(t)|)(1+|\psi(t)|) \leq 8(1-|\psi(t)|)
\end{gathered}
$$
COROLLARY 10.2.1 Suppose that $|\psi(t)| \leq a<1$ for $|t| \geq b>0$. Then
$$
|\psi(t)| \leq 1-c t^{2} \leq e^{-c t^{2}}, \quad \text { for }|t|<b, \text { where } c=\frac{1-a^{2}}{8 b^{2}} .
$$
Proof. Here we know the behavior of $|\psi(t)|$ away from 0 . We would like to find the behavior near 0 . We need to show $1-|\psi(t)| \geq c t^{2}$. (The second inequality follows from $1+x \leq e^{x}$ for all $x$.)
Since $|t| \leq b$, there exists an $m$ such that $b / 2^{m} \leq|t|<2 b / 2^{m}$, i.e., $b \leq\left|2^{m} t\right|<2 b$. Thus,
$$
1-|\psi(t)|^{2} \geq \frac{1}{4^{m}}\left(1-\left|\psi\left(2^{m} t\right)\right|^{2}\right) \geq\left(\frac{1}{2^{m}}\right)^{2}\left(1-a^{2}\right) \geq\left(\frac{t}{2 b}\right)^{2}\left(1-a^{2}\right)=2 c t^{2}
$$
In view of the inequality $(1-x)^{1 / 2} \leq 1-x / 2$ for $|x| \leq 1$, we have
$$
|\psi(t)|=\left(|\psi(t)|^{2}\right)^{1 / 2} \leq\left(1-2 c t^{2}\right)^{1 / 2} \leq 1-c t^{2}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Since X is nondegenerate

THEOREM 10.2.2 Let $X$ be a nondegenerate r.v. with c. $f \psi$. There exist $\delta>0$ and $\epsilon>0$ such that
$$
|\psi(t)| \leq 1-c t^{2} \quad \text { for }|t| \leq \delta .
$$
Proof. Let $Y$ be an independent copy of $X$, and $Z=X-Y$. Then,
$$
\begin{aligned}
1-|\psi(t)| & \geq(1-|\psi(t)|) \frac{1+|\psi(t)|}{2}=\frac{1}{2}\left(1-|\psi(t)|^{2}\right) \
&=\frac{1}{2}\left(1-\psi_{Z}(t)\right)=\frac{1}{2} E(1-\cos t Z)
\end{aligned}
$$
By Taylor expansion, for $|t|<1$, $$ 1-\cos t=1-\left(1-\frac{t^{2}}{2 !}+\frac{t^{4}}{4 !}-\ldots\right)=\frac{t^{2}}{2 !}-\frac{t^{4}}{4 !}+\ldots \geq \frac{t^{2}}{2 !}-\frac{t^{4}}{4 !}=\frac{t^{2}}{2}\left(1-\frac{t^{2}}{12}\right) $$ Thus, $$ \begin{aligned} E[1-\cos t Z] & \geq \frac{t^{2}}{2} E\left(Z^{2}\left(1-\frac{t^{2} Z^{2}}{12}\right) I{|t Z|<1}\right) \ & \geq \frac{t^{2}}{2}\left(1-\frac{1}{12}\right) E\left(Z^{2} I{|Z|<1 /|t|\}\right) \end{aligned} $$ Since $X$ is nondegenerate, so is $Z$. Therefore, when $|t|$ is small enough, say, $|t| \leq \delta$, we have $$ E\left(Z^{2} I\{|Z|<1 /|t|\}\right) \geq E\left(Z^{2} I\{|Z|<1 / \delta\}\right)>0 .
$$
Combining all the above, we have, as $|t| \leq \delta$,
$$
1-|\psi(t)| \geq \frac{1}{2} E(1-\cos t Z) \geq\left(\frac{11}{48} E\left(Z^{2} I{|Z|<1 / \delta}\right)\right) t^{2}=\epsilon t^{2}
$$
THEOREM 10.2.3 For any $t, h \in R$, we have
$$
|\psi(t+h)-\psi(t)|^{2} \leq 2(1-R e \psi(h))=2 E[1-\cos (h X)]
$$
Pronf
$$
\begin{aligned}
|\psi(t+h)-\psi(t)|^{2} &=\left|E e^{i(t+h) X}-E e^{i t X}\right|^{2}=\left|E\left[e^{i t X}\left(e^{i h X}-1\right)\right]\right|^{2} \
& \leq E\left|e^{i h X}-1\right|^{2}=E\left[\left(e^{i h X}-1\right) \overline{\left(e^{i h X}-1\right)}\right] \
&=E\left[\left(e^{i h X}-1\right)\left(e^{-i h X}-1\right)\right] \
&=E\left(e^{i h X} e^{-i h X}-e^{i h X}-e^{-i h X}+1\right) \
&=2 E[1-\cos (h X)]
\end{aligned}
$$

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some elementary properties of c.f.s

ψ(0)=1和|ψ(吨)|=|和和一世吨X|≤和|和一世吨X|=1对所有人吨.
ψ(吨)是一致连续的吨∈(−∞,∞).
证明。对于任何真实的吨和H→0,
|ψ(吨+H)−ψ(吨)|=|和和一世(吨+H)X−和和一世吨X|=|和[和一世吨X(和一世HX−1)]|≤和|和一世HX−1|→0.
ψ一种X×b(吨)=和和一世吨(一种X+b)=和一世吨b和和一世吨一种X=和一世吨bψX(一种吨).
ψ−X(吨)=ψX(−吨)=ψX(吨)¯，在哪里和¯表示的复共轭和.
ψX(吨)是真的当且X关于零对称。
证明。如果X关于零对称，则 $X={ } {d}-X,在H一世CH一世米p一世一世和s吨H一种吨\psi {X}(t)=\psi_{-X}(t)=\psi_{X}(-t)=\overline{\psi_{X}(t)}.吨H和n\psi_{X}(t)一世sr和一种一世.吨H和一种b○v和一种rG你米和n吨C一种nb和r和v和rs和d,b你吨一世n○n和○F吨H和s吨和ps在和n和和d吨H和F○一世一世○在一世nGF一种C吨:\ psi_ {X} (t) = \ psi_ {Y} (t)一世米p一世一世和sX={ }_{d} Y$，后面会证明。
如果X和和是独立的房车，那么
ψX+和(吨)=和和一世吨(X+和)=和和一世吨X和和一世吨和=ψX(吨)ψ和(吨)
特别是，如果ψ(吨)是一个cf，所以是ψ米(吨)，在哪里米是一个正整数。
让F1,…,Fn是df和cfψ1,…,ψn. 如果λ一世≥0,∑一世=1nλ一世=1，然后∑一世=1nλ一世F一世是一个带有 cf 的 df，由∑一世=1nλ一世ψ一世–
如果ψ(吨)是cf，所以也是|ψ(吨)|2 一种nd R和
特别是，|ψ(吨)|2是对称 rv 的 cfX−和，在哪里X,和与 cf 是独立同居的ψ ; R和是df的cf(FX(X)+F−X(X))/2.
证明。首先，让X,和与cf同住ψ(吨)，然后
ψX−和(吨)=ψX(吨)ψ和(−吨)=ψ(吨)ψ(吨)¯=|ψ(吨)|2
其次，−X有cfψ(吨)¯. 所以df(FX(X)+F−X)/2有cf
12(ψX(吨)+ψX(吨)¯)=Re⁡ψX(吨)

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between local and global properties of c.f.

以下定理有助于将 cf 围绕原点的局部属性扩展到全局属性，反之亦然。
定理 10.2.1
Re⁡(1−ψ(吨))≥14Re⁡(1−ψ(2吨))≥…≥14nRe⁡(1−ψ(2n吨))
特别是，我们有
(a)1−|ψ(吨)|2≥14(1−|ψ(2吨)|2)≥⋯≥14n(1−|ψ(2n吨)|2).
(二)(1−|ψ(吨)|)≥18(1−|ψ(2吨)|)≥18n(1−|ψ(2n吨)|).
证明。我们首先证明（2.1），然后将期望
1−某物⁡2吨X=2(没有⁡(吨X))2=2(2没有⁡(吨X/2)某物⁡(吨X/2))2≤8没有2⁡(吨X/2)=4(1−某物⁡吨X)
(a) 将上述应用于 ef|ψ(吨)|2.
(b) 注意到0≤|ψ|≤1，我们得到
1−|ψ(2吨)|≤(1−|ψ(2吨)|)(1+|ψ(2吨)|)≤1−|ψ(2吨)|2 ≤4(1−|ψ(吨)|2)≤4(1−|ψ(吨)|)(1+|ψ(吨)|)≤8(1−|ψ(吨)|)
推论 10.2.1 假设|ψ(吨)|≤一种<1为了|吨|≥b>0. 然后
|ψ(吨)|≤1−C吨2≤和−C吨2, 为了 |吨|<b, 在哪里 C=1−一种28b2.
证明。在这里我们知道的行为|ψ(吨)|远离 0 。我们希望找到 0 附近的行为。我们需要展示1−|ψ(吨)|≥C吨2. （第二个不等式来自1+X≤和X对所有人X.)
因为|吨|≤b, 存在一个米这样b/2米≤|吨|<2b/2米， IE，b≤|2米吨|<2b. 因此，
1−|ψ(吨)|2≥14米(1−|ψ(2米吨)|2)≥(12米)2(1−一种2)≥(吨2b)2(1−一种2)=2C吨2
鉴于不平等(1−X)1/2≤1−X/2为了|X|≤1，我们有
|ψ(吨)|=(|ψ(吨)|2)1/2≤(1−2C吨2)1/2≤1−C吨2

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Since X is nondegenerate

定理 10.2.2 让X是具有 c 的非退化 rv。Fψ. 存在d>0和ε>0这样
|ψ(吨)|≤1−C吨2 为了 |吨|≤d.
证明。让和成为独立副本X，和和=X−和. 然后，
1−|ψ(吨)|≥(1−|ψ(吨)|)1+|ψ(吨)|2=12(1−|ψ(吨)|2) =12(1−ψ和(吨))=12和(1−某物⁡吨和)
通过泰勒展开，对于|吨|<1,1−某物⁡吨=1−(1−吨22!+吨44!−…)=吨22!−吨44!+…≥吨22!−吨44!=吨22(1−吨212)因此，$$ \begin{aligned} E[1-\cos t Z] & \geq \frac{t^{2}}{2} E\left(Z^{2}\left(1-\frac{ t^{2} Z^{2}}{12}\right) I{|t Z|<1}\right) \ & \geq \frac{t^{2}}{2}\left(1- \frac{1}{12}\right) E\left(Z^{2} I{|Z|<1 /|t|\}\right) \end{aligned}小号一世nC和$X$一世sn○nd和G和n和r一种吨和,s○一世s$和$.吨H和r和F○r和,在H和n$|吨|$一世ss米一种一世一世和n○你GH,s一种和,$|吨|≤d$,在和H一种v和E\left(Z^{2} I\{|Z|<1 /|t|\}\right) \geq E\left(Z^{2} I\{|Z|<1 / \delta\} \right)>0 。
C○米b一世n一世nG一种一世一世吨H和一种b○v和,在和H一种v和,一种s$|吨|≤d$,
1-|\psi(t)| \geq \frac{1}{2} E(1-\cos t Z) \geq\left(\frac{11}{48} E\left(Z^{2} I{|Z|<1 / \ delta}\right)\right) t^{2}=\epsilon t^{2}
吨H和○R和米10.2.3F○r一种n和$吨,H∈R$,在和H一种v和
|\psi(t+h)-\psi(t)|^{2} \leq 2(1-R e \psi(h))=2 E[1-\cos (h X)]
磷r○nF
|ψ(吨+H)−ψ(吨)|2=|和和一世(吨+H)X−和和一世吨X|2=|和[和一世吨X(和一世HX−1)]|2 ≤和|和一世HX−1|2=和[(和一世HX−1)(和一世HX−1)¯] =和[(和一世HX−1)(和−一世HX−1)] =和(和一世HX和−一世HX−和一世HX−和−一世HX+1) =2和[1−某物⁡(HX)]
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