## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Dimension of a Vector Space

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Dimension of a Vector Space

In this section, we discuss the definition of dimension and prove the invariance of the cardinality of the basis. Some results on cardinal arithmetic are needed in the infinite-dimensional case. We also prove the existence of a vector space of any given dimension.

Definition. A vector space $U$ is said to be finite dimensional if it contains a finite basis.
Example 1. $\mathbb{K}^n$ and $\mathbb{P}n$ are finite dimensional. Lemma 3.3.1. Consider the following system of linear equations with coefficients in $\mathbb{K}$ : \begin{aligned} & a{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1 m} x_m=0 \ & a_{21} x_1+a_{22} x_2+\ldots+a_{2 m} x_m=0 \ & \vdots \ & \vdots \ & a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\ldots+a_{n m} x_n=0 . \end{aligned}
If $m>n$, then the system has a nontrivial (i.e., nonzero) solution $\left(x_1, \ldots, x_m\right) \in \mathbb{K}^m$.

Proof. Without loss of generality, assume that $m=n+1$, because we can augment the system by adding $m-n-1$ equations with zero coefficients to the system.
Since at least one of the coefficients is different from zero, we may assume, by reordering the equations and renumbering the variables, that $a_{11} \neq 0$. We prove the theorem by induction on $n$. Subtracting $\frac{a_{i, 1}}{a_{11}}$ times the top equation from equation $i, 2 \leq i \leq n$ yields the equivalent system
\begin{aligned} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1, n+1} x_{n+1} & =0, \ b_{22} x_2+\ldots+b_{2, n+1} x_{n+1} & =0, \ \vdots & \vdots \ b_{n 2} x_2+\ldots+b_{n, n+1} x_{n+1} & =0, \end{aligned}
where $b_{i j}=a_{i j}-a_{i 1} a_{1 j} / a_{11}, 2 \leq i \leq n, 2 \leq j \leq n+1$. The bottom $n-1$ equations of the above system have a nontrivial solution $\left(x_2, \ldots, x_{n+1}\right)$, by the inductive hypothesis. Defining $x_1=\frac{-1}{a_{11}} \sum_{j=2}^{n+1} a_{1 j} x_j$ yields a nontrivial solution $\left(x_1, \ldots, x_{n+1}\right)$ of the original system.

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Linear Mappings, Quotient Spaces, and Direct Sums

A proper understanding of this section is essential for a smooth transition to the rest of the book. While the early results in the section are elementary, a number of important concepts make their first debut later in the section. Specifically, this includes quotient spaces and quotient maps, direct sums, projections and algebraic complements, linear functionals and linear operators, maximal subspaces and the co-dimension of a subspace and, finally, the definition of an algebra over a field.
Definition. Let $U$ and $V$ be vector spaces over $\mathbb{K}$. A mapping $T: U \rightarrow V$ is said to be linear if, for all $u, v \in U$, and all $a \in \mathbb{K}$,
$$T(u+v)=T(u)+T(v), \text { and } T(a u)=a T(u)$$
The following are examples of linear mappings.

# 数学分析代考

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Dimension of a Vector Space

\begin{aligned} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1, n+1} x_{n+1} & =0, \ b_{22} x_2+\ldots+b_{2, n+1} x_{n+1} & =0, \ \vdots & \vdots \ b_{n 2} x_2+\ldots+b_{n, n+1} x_{n+1} & =0, \end{aligned}

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Linear Mappings, Quotient Spaces, and Direct Sums

$$T(u+v)=T(u)+T(v), \text { and } T(a u)=a T(u)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Finite, Countable, and Uncountable Sets

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Finite, Countable, and Uncountable Sets

Cantor’s revolutionary ideas were initially focused on understanding infinite sets. His starting point was, as is ours in this chapter, set equivalence. The title of the section accurately captures its objectives: to formulate clear definitions of finite and infinite sets, and to study their properties in good detail. Among the results we establish are Dedekind’s definition of an infinite set, the countability of $\mathbb{Q}$, and, in general, the countability of a countable union of countable sets. We conclude the section by showing the existence of uncountable sets through the establishment of the fact that $2^{\mathbb{N}}$ and $\mathbb{R}$ are uncountable.

Definition. Two sets $A$ and $B$ are equivalent if there is a bijection from $A$ to $B .{ }^1$ We use the notation $A \approx B$ to indicate the equivalence of $A$ and $B$.

Example 1. The set $2 \mathbb{N}$ of even positive integers is equivalent to $\mathbb{N}$. The function $f: \mathbb{N} \rightarrow 2 \mathbb{N}$ defined by $f(n)=2 n$ is bijective.

Example 2. The closed interval $[0,1]$ is equivalent to an arbitrary closed interval $a, b$. The function $f(x)=\frac{x-a}{b-a}$ is a bijection from $[a, b]$ to $[0,1]$.

Example 3. The closed interval $[0,1]$ is equivalent to the open interval $(0,1)$. Define a function $f:[0,1] \rightarrow(0,1)$ as follows:
$$f(x)= \begin{cases}1 / 2 & \text { if } x=0 \ 1 /(n+2) & \text { if } x=1 / n, n \in \mathbb{N}, \ x & \text { otherwise. }\end{cases}$$
It is easy to verify that $f$ is a bijection.
Example 4. Let $A=(-\pi / 2, \pi / 2), B=\mathbb{R}$. The function $f(x)=\tan (x)$ is a bijection from $A$ to $B$. Thus $A \approx B$.

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Zorn’s Lemma and the Axiom of Choice

The axiom of choice is one of the most useful tools in set theory. Although it is easy to state and widely accepted, the axiom of choice has also generated much controversy among mathematicians. In this section, we study the axiom of choice and its most famous and widely applicable equivalent: Zorn’s lemma, which is an indispensable tool in this book. The section and the section exercises contain typical but illuminating illustrations of how Zorn’s lemma is applied. In this section, we also study partially ordered, linearly ordered, and well-ordered sets and establish results such as the Schröder-Bernstein theorem, which will help us study cardinal numbers in the next section. Although ordinal numbers have been avoided in this book, the section exercises are largely focused on well-ordered sets.
Definition. Let $A$ be a nonempty set. A partial ordering on $A$ is a relation $\leq$ on $A$ such that, for all $x, y$, and $z \in A$,
(a) $x \leq x$
(b) if $x \leq y$ and $y \leq z$, then $x \leq z$, and
(c) if $x \leq y$ and $y \leq x$, then $x=y$.
If $x \leq y$ and $x \neq y$, we write $x<y$.
A relation satisfying condition (c) is called antisymmetric.
Definition. Let $A$ be a nonempty set. A partial ordering $\leq$ on $A$ is said to be a linear (or total) ordering if it also satisfies the condition that, for $x, y \in A$, either $x \leq y$ or $y \leq x$. In this case, we say that $A$ is linearly ordered by $\leq$. A linearly ordered set is commonly called a chain.

# 数学分析代考

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Finite, Countable, and Uncountable Sets

$$f(x)= \begin{cases}1 / 2 & \text { if } x=0 \ 1 /(n+2) & \text { if } x=1 / n, n \in \mathbb{N}, \ x & \text { otherwise. }\end{cases}$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Zorn’s Lemma and the Axiom of Choice

(a) $x \leq x$
(b)如果$x \leq y$和$y \leq z$，则$x \leq z$
(c)如果$x \leq y$和$y \leq x$，则$x=y$。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Further properties of real numbers

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Further properties of real numbers

We now look at some further properties of the set $\mathbb{R}$. Recall that there is no rational number $\xi$ such that $\xi^2=2$. Therefore, we would like to see if there exists a real number $x$ such that $x^2=2$. Before going further, we need to make some preparations.

Proposition 3.14. (i) (Bounding of reals by integers) For any $x \in \mathbb{R}$, there exists a unique integer, denoted by $[x]$ such that
$$[x] \leqslant x<[x]+1$$ (ii) (Archimedean property) For any real numbers $x, \varepsilon>0$, there exists a natural number $N$ such that $N \varepsilon>x$.
(iii) (Density of rational numbers) For any real numbers $x<y$, there exists a rational number $q$ such that $x<q<y$.

Proof. (i) Let $x>0$. There exists a sequence $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})$ such that
$$x=\lim \xi_n$$
Since Cauchy sequence is bounded, we can find rational numbers $q, r$ and a natural number $N$ such that
$$0<q \leqslant \xi_n \leqslant r, \quad \forall n \geqslant N$$
Then, by Proposition 2.21, we have
$$[q] \leqslant q \leqslant \xi_n \leqslant r<[r]+1 .$$
Hence,
$$[q] \leqslant x \leqslant[r]+1$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Real exponentiation

We have defined $x^{\xi}$ for any $x \in \mathbb{R}, x>0$ and any $\xi \in \mathbb{Q}$. We now would like to define $x^y$ for any $x, y \in \mathbb{R}, x>0$. Let us begin with the following lemma.

Lemma 3.28. Let $x, y \in \mathbb{R}$ with $x>0$, and $y=\lim \eta_n$ with $\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1} \in$ $c(\mathbb{Q})$. Then $\left{x^{\eta_n}\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{R})$. Furthermore, if $\left{\zeta_n\right}_{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$, then $\left{x^{\zeta_n}\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{R})$ and
$$\lim {n \rightarrow \infty} x^{\zeta_n}=\lim {n \rightarrow \infty} x^{\eta_n}$$
Proof. Let $x>1$. Since $\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$ is Cauchy, it is bounded by, say, $M>0:$
$$\left|\eta_n\right| \leqslant M, \quad \forall n \geqslant 1 .$$
Also, since $\lim {n \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{n}}=1$, for any $\varepsilon>0$, there exists a $K \geqslant 1$ such that $$\left|x^{\frac{1}{K}}-1\right|<\varepsilon x^{-M}$$ and there exists an $N \in \mathbb{N}$ such that $$\left|\eta_n-\eta_m\right|<\frac{1}{K}, \quad \forall n, m \geqslant N .$$ Consequently, by assuming, $\eta_n \geqslant \eta_m$, we have $$\left|x^{\eta{\mathrm{n}}}-x^{\eta_m}\right|=x^{\eta_m}\left|x^{\eta_{\mathrm{n}}-\eta_m}-1\right| \leqslant x^M\left|x^{\frac{1}{K}}-1\right|<\varepsilon, \quad \forall m, n \geqslant N .$$
Hence, $\left{x^{\eta_n}\right}_{n \geqslant 1}$ is Cauchy, and it is convergent.
Next, suppose $\left{\zeta_n\right}_{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$. Let $r_n=\eta_n-\zeta_n$. Then $r_n \rightarrow 0$. We claim that
$$\lim _{n \rightarrow \infty} x^{r_n}=1$$

# 数学分析代考

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Further properties of real numbers

$$[x] \leqslant x<[x]+1$$ (ii)(阿基米德性质)对于任何实数$x, \varepsilon>0$，存在一个自然数$N$使得$N \varepsilon>x$。
(iii)(有理数密度)对于任何实数$x<y$，存在一个有理数$q$使得$x<q<y$。

$$x=\lim \xi_n$$

$$0<q \leqslant \xi_n \leqslant r, \quad \forall n \geqslant N$$

$$[q] \leqslant q \leqslant \xi_n \leqslant r<[r]+1 .$$

$$[q] \leqslant x \leqslant[r]+1$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Real exponentiation

$$f(E) \subseteq U \cup V, \quad f(E) \cap U \neq \varnothing, \quad f(E) \cap V \neq \varnothing .$$

$$E \subseteq f^{-1}(U \cup V)=f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)$$

$$E \cap f^{-1}(U) \neq \varnothing, \quad E \cap f^{-1}(V) \neq \varnothing .$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Frechet Differentiability

$$f\left(\xi_0+\xi, \eta_0+\eta\right)-f\left(\xi_0, \eta_0+\eta\right)=f_{\xi}\left(\xi_0+\theta \xi, \eta_0+\eta\right) \xi$$

$$f\left(\xi_0, \eta_0+\eta\right)-f\left(\xi_0, \eta_0\right)=f_\eta\left(\xi_0, \eta_0\right) \eta+R\left(\eta ; \eta_0\right)$$

$$\lim _{|\eta| \rightarrow 0} \frac{\left|R\left(\eta ; \eta_0\right)\right|}{|\eta|}=0$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Simply Connected Open Sets in Rn and Exact 1-Forms

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Simply Connected Open Sets in Rn and Exact 1-Forms

Let $\omega(x)=\sum_{i=1}^n a_i(x) d x_i$ be an exact differential form of class $C^1(A)$ on some open set $A$ in $\mathbb{R}^n$. Applying to the primitive of $\omega$ the Schwarz theorem, as we did earlier for $n=2,3$, it is easy to see that
$$\frac{\partial a_i}{\partial x_j}(x)=\frac{\partial a_j}{\partial x_i}(x), \quad \forall i, j=1,2, \ldots, n,$$
for any $x \in A$. This property of $\omega$, which generalises (7.25) to arbitrary dimensions, is phrased by saying the 1-form $\omega$ is closed.

Now we introduce the concept of homotopy of curves of class $C^2$, with the purpose of extending to $\mathbb{R}^n$ the notion of a simply connected open set given in two dimensions.

Let $A$ be an open set in $\mathbb{R}^n$ and $\varphi_0, \varphi_1:[a, b] \rightarrow A$ two closed curves of class $C^2$. We say they are homotopic in $A$ if there exists a $C^2$ map (the homotopy) $\Phi:[0,1] \times[a, b] \rightarrow A$ such that
$$\begin{array}{llrl} \Phi(0, t)=\varphi_0(t), & \forall t \in[a, b], \ \Phi(1, t)=\varphi_1(t), & \forall t \in[a, b], \ \Phi(s, a)=\Phi(s, b), & \forall s \in[0,1] . \end{array}$$

Let us emphasise that the map $\varphi_s(t)=\Phi(s, t)$ is for any $s \in(0,1)$ a closed $C^2$ curve contained in $A$ (see Fig. 7.7).

If $A$ is convex, the closed curves $\varphi_0, \varphi_1:[a, b] \rightarrow A$ are always homotopic in $A$, for it suffices to take as homotopy the convex combination
$$\Phi(s, t)=s \varphi_1(t)+(1-s) \varphi_0(t), \quad \forall s \in[0,1], t \in[a, b] .$$
Furthermore, even if $\varphi_0, \varphi_1$ are regular, the above definition does not require that $\varphi_s(t)=\Phi(s, t)$ are regular curves for $0<s<1$.

An open set $A$ in $\mathbb{R}^n$ is called simply connected if any closed curve $\varphi:[a, b] \rightarrow$ $A$ of class $C^2$ is homotopic to a point.

It can be proved that in the plane this definition coincides with the one of Sect.7.4. Observe, though, that while an annulus in the plane is not simply connected, a spherical shell in dimension $n \geq 3$ is.

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Double Integrals on Normal Domains

Let $\alpha=\alpha(x)$ and $\beta=\beta(x)$ be two continuous functions on a closed bounded interval $[a, b] \subset \mathbb{R}, a<b$, such that
$$\alpha(x) \leq \beta(x), \quad \forall x \in[a, b] .$$
The subset in $\mathbb{R}^2$ (Fig. 8.1)
$$D={(x, y) \in[a, b] \times \mathbb{R}: \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)}$$
is called a normal domain with respect to the variable $x$ (or simply with respect to $x)$.

The formula expressing the area of $D$ is known from the theory of integration of one real variable. The area, or measure, $m(D)$ of the set $D$ equals
$$m(D)=\int_a^b(\beta(x)-\alpha(x)) d x$$

Analogously, if $\gamma=\gamma(y)$ and $\delta=\delta(y)$ are continuous functions on the closed bounded interval $[c, d]$ such that
$$\gamma(y) \leq \delta(y), \quad \forall y \in[c, d]$$
the subset in $\mathbb{R}^2$ (Fig. 8.2)
$$E={(x, y) \in \mathbb{R} \times[c, d]: \quad \gamma(y) \leq x \leq \delta(y)}$$
is a normal domain with respect to $y$, and its area, or measure, $m(E)$ is
$$m(E)=\int_c^d(\delta(y)-\gamma(y)) d y .$$
Note that the word domain (closure of an open set) for the sets $D, E \subset \mathbb{R}^2$ is justified only when $\alpha(x), \beta(x)$ (or $\gamma(y), \delta(y)$ ) do not coincide on some subset of $[a, b]$ (respectively $[c, d]$ ) with non-empty interior. We shall nonetheless use the term normal domain without distinguishing whether the inequality between $\alpha(x)$ and $\beta(x)$ (or $\gamma(y), \delta(y))$ is strict or not, since this fact will not make any difference in the theory.

# 数学分析代考

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Simply Connected Open Sets in Rn and Exact 1-Forms

$$\frac{\partial a_i}{\partial x_j}(x)=\frac{\partial a_j}{\partial x_i}(x), \quad \forall i, j=1,2, \ldots, n$$

$$\Phi(0, t)=\varphi_0(t), \quad \forall t \in[a, b], \Phi(1, t)=\varphi_1(t), \quad \forall t \in[a, b], \Phi(s, a)=\Phi(s, b), \quad \forall s \in[0,1]$$

$$\Phi(s, t)=s \varphi_1(t)+(1-s) \varphi_0(t), \quad \forall s \in[0,1], t \in[a, b]$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Double Integrals on Normal Domains

$$\alpha(x) \leq \beta(x), \quad \forall x \in[a, b] .$$

$$D=(x, y) \in[a, b] \times \mathbb{R}: \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)$$

$$m(D)=\int_a^b(\beta(x)-\alpha(x)) d x$$

$$\gamma(y) \leq \delta(y), \quad \forall y \in[c, d]$$

$$E=(x, y) \in \mathbb{R} \times[c, d]: \quad \gamma(y) \leq x \leq \delta(y)$$

$$m(E)=\int_c^d(\delta(y)-\gamma(y)) d y .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Exact 1-Forms on the Plane. Simply Connected Open Sets

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Exact 1-Forms on the Plane. Simply Connected Open Sets

Let $\omega=a(x, y) d x+b(x, y) d y$ be an exact differential form of class $C^1$ defined on an open subset $A$ of the plane, let and $f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ be a primitive function. By definition of primitive,
$$\frac{\partial f}{\partial x}=a(x, y), \quad \frac{\partial f}{\partial y}=b(x, y), \quad \forall(x, y) \in A .$$
As the coefficients $a, b$ of $\omega$ are of class $C^1(A)$, therefore, differentiating the first relation in (7.15) with respect to $y$ and the second one with respect to $x$, the Schwarz theorem forces
$$\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in A$$

Hence if the differential form $a d x+b d y$ is exact and its coefficients are $C^1$, the following happens:
$$\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in A$$
A differential form $\omega=a d x+b d y$ of class $C^1$ on some open set $A \subset \mathbb{R}^2$ is said to be closed on $A$ if its coefficients $a, b$ satisfy (7.16). If so, the previous discussion proves that an exact form is closed.

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|One-Forms in Space. Irrotational Vector Fields

Let $\omega=a d x+b d y+c d z$ be a $C^1$ differential form on the open set $A$ in $\mathbb{R}^3$ and $f$ a primitive. We proceed as in the previous section: by definition of primitive
$$\frac{\partial f}{\partial x}=a, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=b, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=c, \quad \forall(x, y, z) \in A .$$
Schwarz’s theorem gives
$$\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y, z) \in A$$
and similarly for the pairs $x, z$ and $y, z$. In this way we obtain
$$\frac{\partial c}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial z}, \quad \frac{\partial a}{\partial z}=\frac{\partial c}{\partial x}, \quad \frac{\partial b}{\partial x}=\frac{\partial a}{\partial y},$$
generalising the condition $\partial b / \partial x=\partial a / \partial y$ for the plane.
A differential form $\omega=a d x+b d y+c d z$, of class $C^1$ on an open set $A$ in $\mathbb{R}^3$, is said to be closed if its coefficients $a, b, c$ verify (7.25). We have then shown that under the above assumptions any exact form is closed.

The form $2 x y z d x+x^2 z d y+x^2 y z d z$ is not exact on $\mathbb{R}^3$ since it is not closed. Letting $a=2 x y z, c=x^2 y z$, we have
$$\frac{\partial a}{\partial z} \neq \frac{\partial c}{\partial x}$$

# 数学分析代考

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Exact 1-Forms on the Plane. Simply Connected Open Sets

$$\frac{\partial f}{\partial x}=a(x, y), \quad \frac{\partial f}{\partial y}=b(x, y), \quad \forall(x, y) \in A$$

$$\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in A$$

$$\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in A$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|One-Forms in Space. Irrotational Vector Fields

$$\frac{\partial f}{\partial x}=a, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=b, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=c, \quad \forall(x, y, z) \in A$$

$$\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y, z) \in A$$

$$\frac{\partial c}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial z}, \quad \frac{\partial a}{\partial z}=\frac{\partial c}{\partial x}, \quad \frac{\partial b}{\partial x}=\frac{\partial a}{\partial y}$$

$$\frac{\partial a}{\partial z} \neq \frac{\partial c}{\partial x}$$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Equations with Constant Coefficients and Special

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数学分析Mathematical Analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数学分析Mathematical Analysis代写方面经验极为丰富，各种代写数学分析Mathematical Analysis相关的作业也就用不着说。

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Equations with Constant Coefficients and Special

Let us consider the non-homogeneous equation with constant coefficients
$$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=g(x) .$$
For certain choices of the right-hand side $g(x)$, to find a particular integral it is not necessary to know $n$ independent integrals of the homogeneous equation. Start with
Proposition 1 If $a_0 \neq 0$ and $g(x)$ is a polynomial of degree $k$, there is a polynomial of degree $k$ that is a particular integral of (5.44).
Proof Assume
$$g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\ldots+b_k x^k .$$
By the principle of identity of polynomials, the polynomial
$$p(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2+\ldots+c_k x^k$$
is an integral of (5.44) if and only if the monomial coefficients of equal degree are the same in $g(x)$ and in
$$L(p)=p^{(n)}+a_{n-1} p^{(n-1)}+\ldots+a_1 p^{\prime}+a_0 p$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Boundary Value Problems

Apart from initial value problems (or Cauchy problems) one can pose other types of problems for ODEs of order $n$, especially in view of the applications.
For example, given a second-order linear equation
$$y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_0(x) y=g(x)$$
with continuous coefficients $a_0(x), a_1(x)$ and continuous right-hand side $g(x)$ on $[a, b]$, a boundary value problem consists in finding a solution that fulfils the boundary conditions $(A, B \in \mathbb{R})$
$$y(a)=A, \quad y(b)=B .$$
The homogeneous problem associated with the boundary value problem (5.56) and (5.57) is the problem relative to the associated homogeneous equation
$$y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_0(x) y=0,$$ together with the homogeneous boundary conditions
$$y(a)=0, \quad y(b)=0$$
The general integral of Eq. (5.56) is
$$y(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)+v(x)$$
where $y_1(x), y_2(x)$ is a system of linearly independent integrals for the homogeneous equation (5.58), and $v(x)$ is a particular integral of (5.56).

To find the constants $c_1, c_2$ so that the $y$ in (5.60) meets the initial conditions in (5.57), we impose $y(a)=A, y(b)=B$, leading to the linear system in the unknowns $c_1, c_2$
$$\left{\begin{array}{l} y_1(a) c_1+y_2(a) c_2=A-v(a) \ y_1(b) c_1+y_2(b) c_2=B-v(b) \end{array}\right.$$

# 数学分析代考

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Equations with Constant Coefficients and Special

$$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=g(x)$$

$$g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\ldots+b_k x^k$$

$$p(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2+\ldots+c_k x^k$$

$$L(p)=p^{(n)}+a_{n-1} p^{(n-1)}+\ldots+a_1 p^{\prime}+a_0 p$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Boundary Value Problems

$$y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_0(x) y=g(x)$$

$$y(a)=A, \quad y(b)=B$$

$$y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_0(x) y=0$$

$$y(a)=0, \quad y(b)=0$$

$$y(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)+v(x)$$

$\$ \$$佐 {$$
y_1(a) c_1+y_2(a) c_2=A-v(a) y_1(b) c_1+y_2(b) c_2=B-v(b)
$$正确的。 统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Bernoulli Equations 如果你也在 怎样代写数学分析Mathematical Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 数学分析学是数学的一个分支，涉及连续函数、极限和相关理论，如微分、积分、度量、无限序列、数列和分析函数。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数学分析Mathematical Analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数学分析Mathematical Analysis代写方面经验极为丰富，各种代写数学分析Mathematical Analysis相关的作业也就用不着说。 我们提供的数学分析Mathematical Analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Bernoulli Equations A Bernoulli equation is an ODE of order one of type$$
y^{\prime}=a(x) y+b(x) y^\alpha,
$$with a(x), b(x) continuous on [a, b] \subset \mathbb{R} and \alpha a real number different from 0 and 1. This (non-linear) ODE is in normal form y^{\prime}=f(x, y). The function$$
f(x, y)=a(x) y+b(x) y^\alpha
$$is continuous for (x, y) \in[a, b] \times(0,+\infty), but not globally Lipschitz in y. Nevertheless, restricting f(x, y) to any compact set [a, b] \times[c, d] (with c>0 ), the function is continuous and Lipschitz in y. By Cauchy’s existence and uniqueness theorem (Sect. 4.4), for any \left(x_0, y_0\right) \in[a, b] \times[c, d] there is a unique integral curve of (5.28), defined on a suitable neighbourhood of x_0, passing through \left(x_0, y_0\right). Let us show that a Bernoulli equation can be transformed into another linear ODE by changing the unknown function. We divide (5.28) by y^\alpha (thus, for \alpha>0, we are neglecting the zero solution). We have$$
\frac{y^{\prime}}{y^\alpha}=a(x) y^{1-\alpha}+b(x)
$$Setting z(x)=[y(x)]^{1-\alpha} we obtain$$
z^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}[y(x)]^{1-\alpha}=(1-\alpha) \frac{y^{\prime}}{y^\alpha}
$$so (5.29) turns into the linear equation in z(x)$$
z^{\prime}=(1-\alpha) a(x) z+(1-\alpha) b(x),
$$which is solved in the way shown earlier. Once we have z(x), we will compute y=z^{1 /(1-\alpha)}, solution to (5.28). ## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Homogeneous Equations with Constant Coefficients Consider the linear homogeneous equation of order n$$
L(y)=y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=0
$$with constant coefficients a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{R}. We set out to show that to determine n linearly independent integrals of (5.36) it suffices to know the roots of the algebraic equation of degree n$$
p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_1 \lambda+a_0=0
$$called characteristic equation of (5.36) (p(\lambda) is the characteristic polynomial of the linear ODE (5.36)). Here we should introduce the notion of complex solution u_1(x)+i u_2(x) to equation (5.36). If u_1(x), u_2(x) are real-valued functions defined on the interval I of \mathbb{R}, the derivative in x of the complex-valued function u(x)=u_1(x)+i u_2(x) is the function u^{\prime}(x)=u_1^{\prime}(x)+i u_2^{\prime}(x). We shall say u(x)=u_1(x)+i u_2(x) is a particular integral of (5.36) if, for any x \in I, the differential identity$$
L(u)=u^{(n)}+a_{n-1} u^{(n-1)}+\ldots+a_1 u^{\prime}+a_0 u=0
$$holds over \mathbb{C}. When u(x)=u_1(x)+i u_2(x) is a complex solution to (5.36), the functions u_1(x), u_2(x) are real solutions of (5.36). In fact L(u)=L\left(u_1\right)+i L\left(u_2\right), so if u is a complex solution then L\left(u_1\right)+i L\left(u_2\right) is the complex number zero, i.e. L\left(u_1\right)=L\left(u_2\right)=0. We recall that for any complex number z=\alpha+i \beta, the complex number e^z is defined as$$
e^z=e^{\alpha+i \beta}=e^\alpha(\cos \beta+i \sin \beta)
$$It is easy to verify that, given z \in \mathbb{C}, the function f(x)=e^{x z} is differentiable in x \in \mathbb{R}, and$$
f^{\prime}(x)=z \cdot e^{x z}
$$# 数学分析代考 ## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Bernoulli Equations 伯努利方程是一阶 ODE 类型$$
y^{\prime}=a(x) y+b(x) y^\alpha
$$和 a(x), b(x) 连续上 [a, b] \subset \mathbb{R} 和 \alpha 不同于 0 和 1 的实数。 此 (非线性) ODE 为正规形式 y^{\prime}=f(x, y). 功能$$
f(x, y)=a(x) y+b(x) y^\alpha
$$是连续的 (x, y) \in[a, b] \times(0,+\infty) ，但不是全球 Lipschitz 在 y. 尽管如此，限制 f(x, y) 对任何紧集 [a, b] \times[c, d] (和 c>0 )，函数是连续的并且 Lipschitz 在 y. 根据柯西存在唯一性定理（第 4.4 节)，对 于任何 \left(x_0, y_0\right) \in[a, b] \times[c, d] 存在 (5.28) 的唯一积分曲线，定义在 x_0 ，通过 \left(x_0, y_0\right). 让我们证明，通过改变末知函数，可以将伯努利方程转换为另一个线性 ODE。我们将 (5.28) 除以 y^\alpha (因 此，对于 \alpha>0 ，我们忽略了零解) 。我们有$$
\frac{y^{\prime}}{y^\alpha}=a(x) y^{1-\alpha}+b(x)
$$环境 z(x)=[y(x)]^{1-\alpha} 我们获得$$
z^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}[y(x)]^{1-\alpha}=(1-\alpha) \frac{y^{\prime}}{y^\alpha}
$$所以 (5.29) 变为线性方程式 z(x)$$
z^{\prime}=(1-\alpha) a(x) z+(1-\alpha) b(x)
$$这是按照前面显示的方式解决的。一旦我们有 z(x) ，我们将计算 y=z^{1 /(1-\alpha)} ，(5.28) 的解。 ## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Homogeneous Equations with Constant Coefficients 考虑线性齐次阶方程 n$$
L(y)=y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=0
$$常数系数 a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{R}. 我们着手证明要确定 n(5.36) 的线性无关积分 知道度代数方程的根就足 够了n$$
p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_1 \lambda+a_0=0
$$称为 (5.36) 的特征方程 (p(\lambda) 是线性 ODE (5.36) 的特征多项式) 。 这里要引入复解的概念 u_1(x)+i u_2(x) 到等式 (5.36) 。如果 u_1(x), u_2(x) 是定义在区间上的实值函 数 I 的 \mathbb{R}, 中的导数 x 复值函数 u(x)=u_1(x)+i u_2(x) 是函数 u^{\prime}(x)=u_1^{\prime}(x)+i u_2^{\prime}(x). 我们要说 u(x)=u_1(x)+i u_2(x) 是 (5.36) 的特定积分，如果对于任何 x \in I, 差异身份$$
L(u)=u^{(n)}+a_{n-1} u^{(n-1)}+\ldots+a_1 u^{\prime}+a_0 u=0
$$坚持 \mathbb{C}. 什么时候 u(x)=u_1(x)+i u_2(x) 是 (5.36) 的复解，函数 u_1(x), u_2(x) 是 (5.36) 的实数解。实 际上 L(u)=L\left(u_1\right)+i L\left(u_2\right) ，因此，如果 u 那么是一个复杂的解决方案 L\left(u_1\right)+i L\left(u_2\right) 是复数 零，即 L\left(u_1\right)=L\left(u_2\right)=0. 我们记得对于任何复数 z=\alpha+i \beta, 复数 e^z 定义为$$
e^z=e^{\alpha+i \beta}=e^\alpha(\cos \beta+i \sin \beta)
$$很容易验证，给定 z \in \mathbb{C} ，功能 f(x)=e^{x z} 可微分于 x \in \mathbb{R} ，和$$
f^{\prime}(x)=z \cdot e^{x z}


## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。