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数学分析Mathematical Analysis 这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Further properties of real numbers

We now look at some further properties of the set $\mathbb{R}$. Recall that there is no rational number $\xi$ such that $\xi^2=2$. Therefore, we would like to see if there exists a real number $x$ such that $x^2=2$. Before going further, we need to make some preparations.

Proposition 3.14. (i) (Bounding of reals by integers) For any $x \in \mathbb{R}$, there exists a unique integer, denoted by $[x]$ such that
$$
[x] \leqslant x<[x]+1 $$ (ii) (Archimedean property) For any real numbers $x, \varepsilon>0$, there exists a natural number $N$ such that $N \varepsilon>x$.
(iii) (Density of rational numbers) For any real numbers $x<y$, there exists a rational number $q$ such that $x<q<y$.

Proof. (i) Let $x>0$. There exists a sequence $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})$ such that
$$
x=\lim \xi_n
$$
Since Cauchy sequence is bounded, we can find rational numbers $q, r$ and a natural number $N$ such that
$$
0<q \leqslant \xi_n \leqslant r, \quad \forall n \geqslant N
$$
Then, by Proposition 2.21, we have
$$
[q] \leqslant q \leqslant \xi_n \leqslant r<[r]+1 .
$$
Hence,
$$
[q] \leqslant x \leqslant[r]+1
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Real exponentiation

We have defined $x^{\xi}$ for any $x \in \mathbb{R}, x>0$ and any $\xi \in \mathbb{Q}$. We now would like to define $x^y$ for any $x, y \in \mathbb{R}, x>0$. Let us begin with the following lemma.

Lemma 3.28. Let $x, y \in \mathbb{R}$ with $x>0$, and $y=\lim \eta_n$ with $\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1} \in$ $c(\mathbb{Q})$. Then $\left{x^{\eta_n}\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{R})$. Furthermore, if $\left{\zeta_n\right}_{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$, then $\left{x^{\zeta_n}\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{R})$ and
$$
\lim {n \rightarrow \infty} x^{\zeta_n}=\lim {n \rightarrow \infty} x^{\eta_n}
$$
Proof. Let $x>1$. Since $\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$ is Cauchy, it is bounded by, say, $M>0:$
$$
\left|\eta_n\right| \leqslant M, \quad \forall n \geqslant 1 .
$$
Also, since $\lim {n \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{n}}=1$, for any $\varepsilon>0$, there exists a $K \geqslant 1$ such that $$ \left|x^{\frac{1}{K}}-1\right|<\varepsilon x^{-M} $$ and there exists an $N \in \mathbb{N}$ such that $$ \left|\eta_n-\eta_m\right|<\frac{1}{K}, \quad \forall n, m \geqslant N . $$ Consequently, by assuming, $\eta_n \geqslant \eta_m$, we have $$ \left|x^{\eta{\mathrm{n}}}-x^{\eta_m}\right|=x^{\eta_m}\left|x^{\eta_{\mathrm{n}}-\eta_m}-1\right| \leqslant x^M\left|x^{\frac{1}{K}}-1\right|<\varepsilon, \quad \forall m, n \geqslant N .
$$
Hence, $\left{x^{\eta_n}\right}_{n \geqslant 1}$ is Cauchy, and it is convergent.
Next, suppose $\left{\zeta_n\right}_{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$. Let $r_n=\eta_n-\zeta_n$. Then $r_n \rightarrow 0$. We claim that
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x^{r_n}=1
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Further properties of real numbers

现在我们来看一下集合$\mathbb{R}$的其他一些属性。回想一下，没有有理数$\xi$使得$\xi^2=2$。因此，我们想看看是否存在一个实数$x$，使得$x^2=2$。在继续进行之前，我们需要做一些准备。

提案3.14(i)(实数被整数包围)对于任意$x \in \mathbb{R}$，存在一个唯一的整数，用$[x]$表示，使得
$$
[x] \leqslant x<[x]+1 $$ (ii)(阿基米德性质)对于任何实数$x, \varepsilon>0$，存在一个自然数$N$使得$N \varepsilon>x$。
(iii)(有理数密度)对于任何实数$x<y$，存在一个有理数$q$使得$x<q<y$。

证明。(i)让$x>0$。存在一个序列$\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})$，使得
$$
x=\lim \xi_n
$$
由于柯西序列是有界的，我们可以找到有理数$q, r$和自然数$N$，使得
$$
0<q \leqslant \xi_n \leqslant r, \quad \forall n \geqslant N
$$
那么，根据2.21号提案，我们有
$$
[q] \leqslant q \leqslant \xi_n \leqslant r<[r]+1 .
$$
因此，
$$
[q] \leqslant x \leqslant[r]+1
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Real exponentiation

我们已经为任意$x \in \mathbb{R}, x>0$和任意$\xi \in \mathbb{Q}$定义了$x^{\xi}$。现在我们要为任何$x, y \in \mathbb{R}, x>0$定义$x^y$。让我们从下面的引理开始。

引理3.28。让$x, y \in \mathbb{R}$对应$x>0$, $y=\lim \eta_n$对应$\left{\eta_n\right}{n \geqslant 1} \in$$c(\mathbb{Q})$。然后$\left{x^{\eta_n}\right}{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{R})$。此外，如果$\left{\zeta_n\right}{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}{n \geqslant 1}$，那么$\left{x^{\zeta_n}\right}{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{R})$和 $$ \lim {n \rightarrow \infty} x^{\zeta_n}=\lim {n \rightarrow \infty} x^{\eta_n} $$ 证明。让$x>1$。因为$\left{\eta_n\right}{n \geqslant 1}$是柯西函数，所以它的边界是$M>0:$
$$
\left|\eta_n\right| \leqslant M, \quad \forall n \geqslant 1 .
$$
同样，因为$\lim {n \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{n}}=1$，对于任何$\varepsilon>0$，存在一个$K \geqslant 1$使得$$ \left|x^{\frac{1}{K}}-1\right|<\varepsilon x^{-M} $$，存在一个$N \in \mathbb{N}$使得$$ \left|\eta_n-\eta_m\right|<\frac{1}{K}, \quad \forall n, m \geqslant N . $$因此，通过假设$\eta_n \geqslant \eta_m$，我们有$$ \left|x^{\eta{\mathrm{n}}}-x^{\eta_m}\right|=x^{\eta_m}\left|x^{\eta_{\mathrm{n}}-\eta_m}-1\right| \leqslant x^M\left|x^{\frac{1}{K}}-1\right|<\varepsilon, \quad \forall m, n \geqslant N .
$$
因此$\left{x^{\eta_n}\right}{n \geqslant 1}$是柯西的，它是收敛的。 接下来，假设$\left{\zeta_n\right}{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}{n \geqslant 1}$。让$r_n=\eta_n-\zeta_n$。然后$r_n \rightarrow 0$。我们声称 $$ \lim {n \rightarrow \infty} x^{r_n}=1
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学分析Mathematical Analysis 这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Fourier Series

We first introduce the following definition.
Definition 6.1. The following is called a trigonometric polynomial:
$$
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^N\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right), \quad x \in \mathbb{R},
$$
where $a_n, b_n \in \mathbb{C}$. If all coefficients $a_n, b_n \in \mathbb{R}$, the above polynomial $f(\cdot)$ is said to be real.
Note that
$$
\left(\begin{array}{c}
\cos n x \
\sin n x
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \
-i & i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
e^{i n x} \
e^{-i n x}
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c}
e^{i n x} \
e^{-i n x}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & i \
1 & -i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\cos n x \
\sin n x
\end{array}\right) .
$$
Therefore, the above (6.1) can also be equivalently written as
$$
f(x)=\sum_{n=-N}^N c_n e^{i n x}, \quad x \in \mathbb{R}
$$
for some $c_n \in \mathbb{C}$. It is clear that for $f(\cdot)$ of form (6.3) to be real-valued for all $x$ if and only if
$$
c_n=\bar{c}_n, \quad \forall n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm N .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Inner product

Let $C([a, b] ; \mathbb{C})$ be the set of all continuous functions $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$.
Definition 6.2. For any $f(\cdot), g(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C})$, the following is called an inner product of $f(\cdot)$ and $g(\cdot)$ :
$$
\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) \overline{g(x)} d x, \quad \forall f, g \in C([a, b] ; \mathbb{C})
$$
Proposition 6.3. The inner product $\langle\cdot, \cdot\rangle$ satisfies the following:
(i) (Hermitian property) For any $f(\cdot), g(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C})$,
$$
\langle f, g\rangle=\overline{\langle g, f\rangle} \text {. }
$$
(ii) (Positivity) For any $f(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C})$,
$$
\langle f, f\rangle \geqslant 0, \quad \text { and } \quad\langle f, f\rangle=0 \quad \Longleftrightarrow f(\cdot)=0 .
$$
(iii) (Linearity) For any $f(\cdot), g(\cdot), h(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C})$ and $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, it holds
$$
\begin{aligned}
& \langle\alpha f+\beta g, h\rangle=\alpha\langle f, h\rangle+\beta\langle g, h\rangle, \
& \langle f, \alpha g+\beta h\rangle=\bar{\alpha}\langle f, g\rangle+\bar{\beta}\langle f, h\rangle .
\end{aligned}
$$
The proof is straightforward.
We now define
$$
|f|_2=\left(\int_a^b|f(x)|^2 d x\right)^{\frac{1}{2}}, \quad \forall f(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C}) .
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Fourier Series

我们首先介绍以下定义。
6.1.定义以下称为三角多项式:
$$
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^N\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right), \quad x \in \mathbb{R},
$$
在哪里$a_n, b_n \in \mathbb{C}$。如果所有系数$a_n, b_n \in \mathbb{R}$，则上述多项式$f(\cdot)$为实数。
请注意
$$
\left(\begin{array}{c}
\cos n x \
\sin n x
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \
-i & i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
e^{i n x} \
e^{-i n x}
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c}
e^{i n x} \
e^{-i n x}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & i \
1 & -i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\cos n x \
\sin n x
\end{array}\right) .
$$
因此，上式(6.1)也可以等价地写成
$$
f(x)=\sum_{n=-N}^N c_n e^{i n x}, \quad x \in \mathbb{R}
$$
对一些人来说$c_n \in \mathbb{C}$。很明显，对于形式(6.3)的$f(\cdot)$对于所有$x$当且仅当为实值
$$
c_n=\bar{c}_n, \quad \forall n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm N .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Inner product

设$C([a, b] ; \mathbb{C})$为所有连续函数$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$的集合。
6.2.定义对于任意一个$f(\cdot), g(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C})$，以下称为$f(\cdot)$与$g(\cdot)$的内积:
$$
\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) \overline{g(x)} d x, \quad \forall f, g \in C([a, b] ; \mathbb{C})
$$
提案6.3。内积$\langle\cdot, \cdot\rangle$满足以下条件:
(i)(厄米性质)对于任意$f(\cdot), g(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C})$，
$$
\langle f, g\rangle=\overline{\langle g, f\rangle} \text {. }
$$
(ii)(积极性)对于任何$f(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C})$，
$$
\langle f, f\rangle \geqslant 0, \quad \text { and } \quad\langle f, f\rangle=0 \quad \Longleftrightarrow f(\cdot)=0 .
$$
(iii)(线性)对于任何$f(\cdot), g(\cdot), h(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C})$和$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$，它成立
$$
\begin{aligned}
& \langle\alpha f+\beta g, h\rangle=\alpha\langle f, h\rangle+\beta\langle g, h\rangle, \
& \langle f, \alpha g+\beta h\rangle=\bar{\alpha}\langle f, g\rangle+\bar{\beta}\langle f, h\rangle .
\end{aligned}
$$
证明很简单。
我们现在定义
$$
|f|_2=\left(\int_a^b|f(x)|^2 d x\right)^{\frac{1}{2}}, \quad \forall f(\cdot) \in C([a, b] ; \mathbb{C}) .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|More Convergence Criteria

In this section, we will present some more convergence tests for series. A major motivation is to determine if the following type series are convergent:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}
$$
It is clear that since
$$
\left|\frac{\sin n x}{n}\right| \leqslant \frac{1}{n}, \quad \sum_{n=1} \frac{1}{n}=\infty
$$
Weierstrass $M$-test fails. We will introduce more powerful tests to determine the convergence of such kind of series.
We first consider series of the form: $\sum a_n b_n$, where $a_n, b_n \in \mathbb{R}$. The following lemma is crucial.
Lemma 4.1. (Abel’s Lemma) Let
$$
a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n
$$
and
$$
\left|\sum_{i=1}^k b_i\right| \leqslant M, \quad 1 \leqslant k \leqslant n,
$$
for some $M>0$. Then
$$
\left|\sum_{k=1}^n a_k b_k\right| \leqslant M\left(\left|a_1\right|+2\left|a_n\right|\right) .
$$
Proof. Let
$$
B_k=\sum^k b_i, \quad k \geqslant 1 .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Power Series

Let us begin with some observations.

We now look at a special case of function series:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n
$$
Such a series is called a power series.
5.1 A general consideration
Definition 5.1. Number $R \geqslant 0$ is called the radius of convergence for series (5.1) if
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n \begin{cases}\text { is convergent, } & \left|x-x_0\right|R .\end{cases}
$$
In the above case, we call $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ the interval of convergence.
Note that no condition is given for $\left|x-x_0\right|=R$ in the above definition.
Proposition 5.2. The radius of convergence $R$ is given by
$$
R=\left(\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}\right)^{-1}
$$
Thus, for the case $R>0$, the following function is well-defined:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n, \quad x \in\left(x_0-R, x_0+R\right) .
$$
Moreover, for any $0R$, the series is divergent. In fact, by the definition of $R$, we can find a subsequence $n_k$ such that for $0<\varepsilon=\frac{r-R}{R r}$, there exists a $K \geqslant 1$ so that $$ \left|a_{n_k}\right|^{\frac{1}{n_k}}>\frac{1}{R}-\varepsilon=\frac{1}{R}-\frac{r-R}{R r}=\frac{1}{r}, \quad k \geqslant K .
$$
Then (note $\left|x-x_0\right|=r$ )
$$
\left|a_{n_k}\right|^{\frac{1}{n_k}}\left|x-x_0\right|>\left(\frac{1}{R}-\varepsilon\right) r=1, \quad k \geqslant K
$$
Hence, the series is divergent.

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|More Convergence Criteria

在本节中，我们将介绍一些级数的收敛性测试。一个主要的动机是确定以下类型级数是否收敛:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}
$$
很明显，自从
$$
\left|\frac{\sin n x}{n}\right| \leqslant \frac{1}{n}, \quad \sum_{n=1} \frac{1}{n}=\infty
$$
weerstrass $M$ -测试失败。我们将引入更强大的检验来确定这类级数的收敛性。
我们首先考虑如下形式的序列:$\sum a_n b_n$，其中$a_n, b_n \in \mathbb{R}$。下面的引理很重要。
引理4.1。(阿贝尔引理)让
$$
a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n
$$
和
$$
\left|\sum_{i=1}^k b_i\right| \leqslant M, \quad 1 \leqslant k \leqslant n,
$$
对一些人来说$M>0$。然后
$$
\left|\sum_{k=1}^n a_k b_k\right| \leqslant M\left(\left|a_1\right|+2\left|a_n\right|\right) .
$$
证明。让
$$
B_k=\sum^k b_i, \quad k \geqslant 1 .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Power Series

Let us begin with some observations.

让我们从一些观察开始。

现在我们来看一个函数级数的特例:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n
$$
这样的级数叫做幂级数。
5.1一般考虑
定义5.1。数$R \geqslant 0$称为级数(5.1)的收敛半径
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n \begin{cases}\text { is convergent, } & \left|x-x_0\right|R .\end{cases}
$$
在上述情况下，我们称$\left(x_0-R, x_0+R\right)$为收敛区间。
注意，在上述定义中没有给出$\left|x-x_0\right|=R$的条件。
提案5.2。收敛半径$R$由
$$
R=\left(\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}\right)^{-1}
$$
因此，对于情况$R>0$，定义如下函数:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n, \quad x \in\left(x_0-R, x_0+R\right) .
$$
此外，对于任何$0R$，这个系列都是发散的。事实上，根据$R$的定义，我们可以找到一个子序列$n_k$，使得$0<\varepsilon=\frac{r-R}{R r}$存在一个$K \geqslant 1$，从而$$ \left|a_{n_k}\right|^{\frac{1}{n_k}}>\frac{1}{R}-\varepsilon=\frac{1}{R}-\frac{r-R}{R r}=\frac{1}{r}, \quad k \geqslant K .
$$
然后(注意$\left|x-x_0\right|=r$)
$$
\left|a_{n_k}\right|^{\frac{1}{n_k}}\left|x-x_0\right|>\left(\frac{1}{R}-\varepsilon\right) r=1, \quad k \geqslant K
$$
因此，这个级数是发散的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

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术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学分析Mathematical Analysis 这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Connectedness preserving

We recall the definition of connected/disconnected sets (Definition $3.1(\mathrm{x})$, and its equivalent condition in Proposition 3.9 of Chapter 1). We present the following connectedness preserving property of continuous functions.
Theorem 2.7. Let $\left(X, d_X\right)$ and $\left(Y, d_Y\right)$ be two metric spaces, and $f: X \rightarrow$ $Y$ be continuous. Let $E \subseteq X$ be connected. Then $f(E)$ is also connected.
Proof. Suppose $f(E)$ is disconnected. Then by Proposition 3.9 of Chapter 1 , there are disjoint non-empty open sets $U$ and $V$ such that
$$
f(E) \subseteq U \cup V, \quad f(E) \cap U \neq \varnothing, \quad f(E) \cap V \neq \varnothing .
$$
Since $f(\cdot)$ is continuous, $f^{-1}(U)$ and $f^{-1}(V)$ are open in $X$. Further,
$$
E \subseteq f^{-1}(U \cup V)=f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)
$$
Moreover, $f^{-1}(U)$ and $f^{-1}(V)$ are disjoint, and
$$
E \cap f^{-1}(U) \neq \varnothing, \quad E \cap f^{-1}(V) \neq \varnothing .
$$
This means that $E$ is disconnected, a contradiction.
The above result has a well-known corollary which is presented here.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Frechet Differentiability

In the previous section, we have seen that, in general, existence of a gradient (which implies the existence of all first order partial derivatives) does not implies the Fréchet differentiability. In this section, we would like to study the following problem: If $f(\cdot)$ admits all the first order partial derivatives at $x_0$, under what additional condition $(\mathrm{s})$, will $f(\cdot)$ be Fréchet differentiable at $x_0$ ? We have the following result.

Theorem 2.1. Let $f: G \rightarrow \mathbb{R}$ admit all the first order partial derivatives $f_{x^i}(1 \leqslant i \leqslant m)$ in a neighborhood of $x_0 \in G$, and all these partial derivatives are continuous at $x_0$. Then $f(\cdot)$ is Fréchet differentiable at $x_0$.
Proof. Let us first look at the case $m=2$. We write $x=(\xi, \eta)^{\top}$, and $x_0=\left(\xi_0, \eta_0\right)^{\top}$. Since $\xi \mapsto f\left(\xi, \eta_0+\eta\right)$ admits a derivative in a neighborhood of $\xi_0$ (for $|\eta|$ small enough), by Lagrange Mean Value Theorem, there exists a $\theta \in(0,1)$ such that, for $|\xi|$ small,
$$
f\left(\xi_0+\xi, \eta_0+\eta\right)-f\left(\xi_0, \eta_0+\eta\right)=f_{\xi}\left(\xi_0+\theta \xi, \eta_0+\eta\right) \xi
$$
On the other hand, since $\eta \mapsto f\left(\xi_0, \eta\right)$ admits a derivative at $\eta_0$, one has
$$
f\left(\xi_0, \eta_0+\eta\right)-f\left(\xi_0, \eta_0\right)=f_\eta\left(\xi_0, \eta_0\right) \eta+R\left(\eta ; \eta_0\right)
$$
with
$$
\lim _{|\eta| \rightarrow 0} \frac{\left|R\left(\eta ; \eta_0\right)\right|}{|\eta|}=0
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Connectedness preserving

我们回顾了连通集/不连通集的定义(定义$3.1(\mathrm{x})$，及其在第一章命题3.9中的等价条件)。我们给出了连续函数的以下连通保持性质。
定理2.7。设$\left(X, d_X\right)$和$\left(Y, d_Y\right)$是两个度量空间，$f: X \rightarrow$$Y$是连续的。让$E \subseteq X$连接起来。那么$f(E)$也是连接的。
证明。假设$f(E)$已断开连接。则根据第一章的命题3.9，存在不相交的非空开集$U$和$V$，使得
$$
f(E) \subseteq U \cup V, \quad f(E) \cap U \neq \varnothing, \quad f(E) \cap V \neq \varnothing .
$$
因为$f(\cdot)$是连续的，所以$f^{-1}(U)$和$f^{-1}(V)$在$X$中是打开的。此外，
$$
E \subseteq f^{-1}(U \cup V)=f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)
$$
此外，$f^{-1}(U)$和$f^{-1}(V)$是不相交的，和
$$
E \cap f^{-1}(U) \neq \varnothing, \quad E \cap f^{-1}(V) \neq \varnothing .
$$
这意味着$E$是不相连的，这是一个矛盾。
上述结果有一个众所周知的推论，在这里给出。

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在前一节中，我们已经看到，一般来说，梯度的存在(这意味着所有一阶偏导数的存在)并不意味着fr可微性。在这一节中，我们要研究以下问题:如果$f(\cdot)$允许$x_0$的所有一阶偏导数，在什么附加条件$(\mathrm{s})$下，$f(\cdot)$在$x_0$是fr可微的?我们得到以下结果。

定理2.1。假设$f: G \rightarrow \mathbb{R}$在$x_0 \in G$的一个邻域内所有的一阶偏导数$f_{x^i}(1 \leqslant i \leqslant m)$，所有的偏导数在$x_0$都是连续的。那么$f(\cdot)$在$x_0$上是fr可微分的。
证明。让我们先看看$m=2$这个案例。我们写$x=(\xi, \eta)^{\top}$和$x_0=\left(\xi_0, \eta_0\right)^{\top}$。由于$\xi \mapsto f\left(\xi, \eta_0+\eta\right)$在$\xi_0$的邻域中允许一个导数(对于$|\eta|$足够小)，根据拉格朗日中值定理，存在一个$\theta \in(0,1)$，使得对于$|\xi|$足够小，
$$
f\left(\xi_0+\xi, \eta_0+\eta\right)-f\left(\xi_0, \eta_0+\eta\right)=f_{\xi}\left(\xi_0+\theta \xi, \eta_0+\eta\right) \xi
$$
另一方面，由于$\eta \mapsto f\left(\xi_0, \eta\right)$允许在$\eta_0$上衍生，人们已经有了
$$
f\left(\xi_0, \eta_0+\eta\right)-f\left(\xi_0, \eta_0\right)=f_\eta\left(\xi_0, \eta_0\right) \eta+R\left(\eta ; \eta_0\right)
$$
有
$$
\lim _{|\eta| \rightarrow 0} \frac{\left|R\left(\eta ; \eta_0\right)\right|}{|\eta|}=0
$$

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数学分析学是数学的一个分支，涉及连续函数、极限和相关理论，如微分、积分、度量、无限序列、数列和分析函数。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Simply Connected Open Sets in Rn and Exact 1-Forms

Let $\omega(x)=\sum_{i=1}^n a_i(x) d x_i$ be an exact differential form of class $C^1(A)$ on some open set $A$ in $\mathbb{R}^n$. Applying to the primitive of $\omega$ the Schwarz theorem, as we did earlier for $n=2,3$, it is easy to see that
$$
\frac{\partial a_i}{\partial x_j}(x)=\frac{\partial a_j}{\partial x_i}(x), \quad \forall i, j=1,2, \ldots, n,
$$
for any $x \in A$. This property of $\omega$, which generalises (7.25) to arbitrary dimensions, is phrased by saying the 1-form $\omega$ is closed.

Now we introduce the concept of homotopy of curves of class $C^2$, with the purpose of extending to $\mathbb{R}^n$ the notion of a simply connected open set given in two dimensions.

Let $A$ be an open set in $\mathbb{R}^n$ and $\varphi_0, \varphi_1:[a, b] \rightarrow A$ two closed curves of class $C^2$. We say they are homotopic in $A$ if there exists a $C^2$ map (the homotopy) $\Phi:[0,1] \times[a, b] \rightarrow A$ such that
$$
\begin{array}{llrl}
\Phi(0, t)=\varphi_0(t), & \forall t \in[a, b], \
\Phi(1, t)=\varphi_1(t), & \forall t \in[a, b], \
\Phi(s, a)=\Phi(s, b), & \forall s \in[0,1] .
\end{array}
$$

Let us emphasise that the map $\varphi_s(t)=\Phi(s, t)$ is for any $s \in(0,1)$ a closed $C^2$ curve contained in $A$ (see Fig. 7.7).

If $A$ is convex, the closed curves $\varphi_0, \varphi_1:[a, b] \rightarrow A$ are always homotopic in $A$, for it suffices to take as homotopy the convex combination
$$
\Phi(s, t)=s \varphi_1(t)+(1-s) \varphi_0(t), \quad \forall s \in[0,1], t \in[a, b] .
$$
Furthermore, even if $\varphi_0, \varphi_1$ are regular, the above definition does not require that $\varphi_s(t)=\Phi(s, t)$ are regular curves for $0<s<1$.

An open set $A$ in $\mathbb{R}^n$ is called simply connected if any closed curve $\varphi:[a, b] \rightarrow$ $A$ of class $C^2$ is homotopic to a point.

It can be proved that in the plane this definition coincides with the one of Sect.7.4. Observe, though, that while an annulus in the plane is not simply connected, a spherical shell in dimension $n \geq 3$ is.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Double Integrals on Normal Domains

Let $\alpha=\alpha(x)$ and $\beta=\beta(x)$ be two continuous functions on a closed bounded interval $[a, b] \subset \mathbb{R}, a<b$, such that
$$
\alpha(x) \leq \beta(x), \quad \forall x \in[a, b] .
$$
The subset in $\mathbb{R}^2$ (Fig. 8.1)
$$
D={(x, y) \in[a, b] \times \mathbb{R}: \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)}
$$
is called a normal domain with respect to the variable $x$ (or simply with respect to $x)$.

The formula expressing the area of $D$ is known from the theory of integration of one real variable. The area, or measure, $m(D)$ of the set $D$ equals
$$
m(D)=\int_a^b(\beta(x)-\alpha(x)) d x
$$

Analogously, if $\gamma=\gamma(y)$ and $\delta=\delta(y)$ are continuous functions on the closed bounded interval $[c, d]$ such that
$$
\gamma(y) \leq \delta(y), \quad \forall y \in[c, d]
$$
the subset in $\mathbb{R}^2$ (Fig. 8.2)
$$
E={(x, y) \in \mathbb{R} \times[c, d]: \quad \gamma(y) \leq x \leq \delta(y)}
$$
is a normal domain with respect to $y$, and its area, or measure, $m(E)$ is
$$
m(E)=\int_c^d(\delta(y)-\gamma(y)) d y .
$$
Note that the word domain (closure of an open set) for the sets $D, E \subset \mathbb{R}^2$ is justified only when $\alpha(x), \beta(x)$ (or $\gamma(y), \delta(y)$ ) do not coincide on some subset of $[a, b]$ (respectively $[c, d]$ ) with non-empty interior. We shall nonetheless use the term normal domain without distinguishing whether the inequality between $\alpha(x)$ and $\beta(x)$ (or $\gamma(y), \delta(y))$ is strict or not, since this fact will not make any difference in the theory.

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Simply Connected Open Sets in Rn and Exact 1-Forms

让 $\omega(x)=\sum_{i=1}^n a_i(x) d x_i$ 是类的精确微分形式 $C^1(A)$ 在一些开集上 $A$ 在 $\mathbb{R}^n$. 应用于原始的 $\omega$ Schwarz 定理，正如我们之前所做的那样 $n=2,3$, 不难看出
$$
\frac{\partial a_i}{\partial x_j}(x)=\frac{\partial a_j}{\partial x_i}(x), \quad \forall i, j=1,2, \ldots, n
$$
对于任何 $x \in A$. 此属性为 $\omega$ 将 (7.25) 推广到任意维度，用 1-形式表示 $\omega$ 关闭了。
现在我们引入类曲线同伦的概念 $C^2$ ，目的是扩展到 $\mathbb{R}^n$ 在二维中给出的单连通开集的概念。
让 $A$ 是一个开集 $\mathbb{R}^n$ 和 $\varphi_0, \varphi_1:[a, b] \rightarrow A$ 类的两条闭合曲线 $C^2$. 我们说它们是同伦的 $A$ 如果存在 $C^2$ 映 射 (同伦) $\Phi:[0,1] \times[a, b] \rightarrow A$ 这样
$$
\Phi(0, t)=\varphi_0(t), \quad \forall t \in[a, b], \Phi(1, t)=\varphi_1(t), \quad \forall t \in[a, b], \Phi(s, a)=\Phi(s, b), \quad \forall s \in[0,1]
$$
让我们强调地图 $\varphi_s(t)=\Phi(s, t)$ 适用于任何 $s \in(0,1)$ 一个封闭的 $C^2$ 曲线包含在 $A$ (见图 7.7) 。
如果 $A$ 是凸的，闭合曲线 $\varphi_0, \varphi_1:[a, b] \rightarrow A$ 总是同伦于 $A$, 因为它足以将凸组合作为同伦
$$
\Phi(s, t)=s \varphi_1(t)+(1-s) \varphi_0(t), \quad \forall s \in[0,1], t \in[a, b]
$$
此外，即使 $\varphi_0, \varphi_1$ 是规则的，上面的定义不需要 $\varphi_s(t)=\Phi(s, t)$ 是规则曲线 $0<s<1$.
开集 $A$ 在 $\mathbb{R}^n$ 如果任何闭合曲线被称为简单连接 $\varphi:[a, b] \rightarrow A$ 类的 $C^2$ 同伦于一点。
可以证明在平面上这个定义与7.4节的定义是一致的。但是请注意，虽然平面中的环面不是单连通的，但 尺寸为球壳 $n \geq 3$ 是。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Double Integrals on Normal Domains

让 $\alpha=\alpha(x)$ 和 $\beta=\beta(x)$ 是闭有界区间上的两个连续函数 $[a, b] \subset \mathbb{R}, a<b$, 这样
$$
\alpha(x) \leq \beta(x), \quad \forall x \in[a, b] .
$$
中的子集 $\mathbb{R}^2$ (图 8.1)
$$
D=(x, y) \in[a, b] \times \mathbb{R}: \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)
$$
被称为关于变量的正规域 $x$ (或简单地关于 $x$ ).
表示面积的公式 $D$ 由一实变量积分理论可知。面积，或测量， $m(D)$ 集合的 $D$ 等于
$$
m(D)=\int_a^b(\beta(x)-\alpha(x)) d x
$$
类似地，如果 $\gamma=\gamma(y)$ 和 $\delta=\delta(y)$ 是闭有界区间上的连续函数 $[c, d]$ 这样
$$
\gamma(y) \leq \delta(y), \quad \forall y \in[c, d]
$$
中的子集 $\mathbb{R}^2$ (图 8.2)
$$
E=(x, y) \in \mathbb{R} \times[c, d]: \quad \gamma(y) \leq x \leq \delta(y)
$$
是关于 $y$ ，它的面积，或措施， $m(E)$ 是
$$
m(E)=\int_c^d(\delta(y)-\gamma(y)) d y .
$$
请注意，集合的词域 (开集的闭包) $D, E \subset \mathbb{R}^2$ 只有当 $\alpha(x), \beta(x)$ (或者 $\gamma(y), \delta(y)$ ) 在某些子集上不 重合 $[a, b]$ (分别 $[c, d])$ 内部非空。尽管如此，我们仍将使用术语正常域而不区分之间的不等式 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ (或者 $\gamma(y), \delta(y))$ 是否严格，因为这个事实不会对理论产生任何影响。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写数学分析Mathematical Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

数学分析学是数学的一个分支，涉及连续函数、极限和相关理论，如微分、积分、度量、无限序列、数列和分析函数。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数学分析Mathematical Analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数学分析Mathematical Analysis代写方面经验极为丰富，各种代写数学分析Mathematical Analysis相关的作业也就用不着说。

我们提供的数学分析Mathematical Analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
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• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Exact 1-Forms on the Plane. Simply Connected Open Sets

Let $\omega=a(x, y) d x+b(x, y) d y$ be an exact differential form of class $C^1$ defined on an open subset $A$ of the plane, let and $f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ be a primitive function. By definition of primitive,
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=a(x, y), \quad \frac{\partial f}{\partial y}=b(x, y), \quad \forall(x, y) \in A .
$$
As the coefficients $a, b$ of $\omega$ are of class $C^1(A)$, therefore, differentiating the first relation in (7.15) with respect to $y$ and the second one with respect to $x$, the Schwarz theorem forces
$$
\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in A
$$

Hence if the differential form $a d x+b d y$ is exact and its coefficients are $C^1$, the following happens:
$$
\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in A
$$
A differential form $\omega=a d x+b d y$ of class $C^1$ on some open set $A \subset \mathbb{R}^2$ is said to be closed on $A$ if its coefficients $a, b$ satisfy (7.16). If so, the previous discussion proves that an exact form is closed.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|One-Forms in Space. Irrotational Vector Fields

Let $\omega=a d x+b d y+c d z$ be a $C^1$ differential form on the open set $A$ in $\mathbb{R}^3$ and $f$ a primitive. We proceed as in the previous section: by definition of primitive
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=a, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=b, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=c, \quad \forall(x, y, z) \in A .
$$
Schwarz’s theorem gives
$$
\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y, z) \in A
$$
and similarly for the pairs $x, z$ and $y, z$. In this way we obtain
$$
\frac{\partial c}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial z}, \quad \frac{\partial a}{\partial z}=\frac{\partial c}{\partial x}, \quad \frac{\partial b}{\partial x}=\frac{\partial a}{\partial y},
$$
generalising the condition $\partial b / \partial x=\partial a / \partial y$ for the plane.
A differential form $\omega=a d x+b d y+c d z$, of class $C^1$ on an open set $A$ in $\mathbb{R}^3$, is said to be closed if its coefficients $a, b, c$ verify (7.25). We have then shown that under the above assumptions any exact form is closed.

The form $2 x y z d x+x^2 z d y+x^2 y z d z$ is not exact on $\mathbb{R}^3$ since it is not closed. Letting $a=2 x y z, c=x^2 y z$, we have
$$
\frac{\partial a}{\partial z} \neq \frac{\partial c}{\partial x}
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Exact 1-Forms on the Plane. Simply Connected Open Sets

让 $\omega=a(x, y) d x+b(x, y) d y$ 是类的精确微分形式 $C^1$ 在开放子集上定义 $A$ 飞机的，让和 $f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个原始函数。根据原始的定义，
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=a(x, y), \quad \frac{\partial f}{\partial y}=b(x, y), \quad \forall(x, y) \in A
$$
作为系数 $a, b$ 的 $\omega$ 是一流的 $C^1(A)$ ，因此，对 (7.15) 中的第一个关系进行微分 $y$ 第二个是关于 $x$, Schwarz 定理力
$$
\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in A
$$
因此如果微分形式 $a d x+b d y$ 是精确的，其系数是 $C^1$ ，会发生以下情况:
$$
\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in A
$$
微分形式 $\omega=a d x+b d y$ 类的 $C^1$ 在一些开集上 $A \subset \mathbb{R}^2$ 据说关闭 $A$ 如果它的系数 $a, b$ 满足 (7.16)。如果 是这样，前面的讨论证明精确形式是封闭的。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|One-Forms in Space. Irrotational Vector Fields

让 $\omega=a d x+b d y+c d z$ 是一个 $C^1$ 开集上的微分形式 $A$ 在 $\mathbb{R}^3$ 和 $f$ 一个原始人。我们按照上一节进行: 根据原始的定义
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=a, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=b, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=c, \quad \forall(x, y, z) \in A
$$
施瓦茨定理给出
$$
\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial b}{\partial x}, \quad \forall(x, y, z) \in A
$$
同样对于对 $x, z$ 和 $y, z$. 这样我们得到
$$
\frac{\partial c}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial z}, \quad \frac{\partial a}{\partial z}=\frac{\partial c}{\partial x}, \quad \frac{\partial b}{\partial x}=\frac{\partial a}{\partial y}
$$
概括条件 $\partial b / \partial x=\partial a / \partial y$ 为飞机。
微分形式 $\omega=a d x+b d y+c d z$ ，类 $C^1$ 在开集上 $A$ 在 $\mathbb{R}^3$ ，如果它的系数 $a, b, c$ 验证 (7.25)。然后我们已 经表明，在上述假设下，任何精确形式都是封闭的。
表格 $2 x y z d x+x^2 z d y+x^2 y z d z$ 不准确 $\mathbb{R}^3$ 因为它没有关闭。出租 $a=2 x y z, c=x^2 y z$ ，我们有
$$
\frac{\partial a}{\partial z} \neq \frac{\partial c}{\partial x}
$$

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Equations with Constant Coefficients and Special

Let us consider the non-homogeneous equation with constant coefficients
$$
y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=g(x) .
$$
For certain choices of the right-hand side $g(x)$, to find a particular integral it is not necessary to know $n$ independent integrals of the homogeneous equation. Start with
Proposition 1 If $a_0 \neq 0$ and $g(x)$ is a polynomial of degree $k$, there is a polynomial of degree $k$ that is a particular integral of (5.44).
Proof Assume
$$
g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\ldots+b_k x^k .
$$
By the principle of identity of polynomials, the polynomial
$$
p(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2+\ldots+c_k x^k
$$
is an integral of (5.44) if and only if the monomial coefficients of equal degree are the same in $g(x)$ and in
$$
L(p)=p^{(n)}+a_{n-1} p^{(n-1)}+\ldots+a_1 p^{\prime}+a_0 p
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Boundary Value Problems

Apart from initial value problems (or Cauchy problems) one can pose other types of problems for ODEs of order $n$, especially in view of the applications.
For example, given a second-order linear equation
$$
y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_0(x) y=g(x)
$$
with continuous coefficients $a_0(x), a_1(x)$ and continuous right-hand side $g(x)$ on $[a, b]$, a boundary value problem consists in finding a solution that fulfils the boundary conditions $(A, B \in \mathbb{R})$
$$
y(a)=A, \quad y(b)=B .
$$
The homogeneous problem associated with the boundary value problem (5.56) and (5.57) is the problem relative to the associated homogeneous equation
$$
y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_0(x) y=0,
$$ together with the homogeneous boundary conditions
$$
y(a)=0, \quad y(b)=0
$$
The general integral of Eq. (5.56) is
$$
y(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)+v(x)
$$
where $y_1(x), y_2(x)$ is a system of linearly independent integrals for the homogeneous equation (5.58), and $v(x)$ is a particular integral of (5.56).

To find the constants $c_1, c_2$ so that the $y$ in (5.60) meets the initial conditions in (5.57), we impose $y(a)=A, y(b)=B$, leading to the linear system in the unknowns $c_1, c_2$
$$
\left{\begin{array}{l}
y_1(a) c_1+y_2(a) c_2=A-v(a) \
y_1(b) c_1+y_2(b) c_2=B-v(b)
\end{array}\right.
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Equations with Constant Coefficients and Special

让我们考虑常系数的非齐次方程
$$
y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=g(x)
$$
对于右侧的某些选择 $g(x)$ ，要找到一个特定的积分，不需要知道 $n$ 齐次方程的独立积分。 从命题 1 如果开始 $a_0 \neq 0$ 和 $g(x)$ 是次数的多项式 $k$ ，有一个次数的多项式 $k$ 是 (5.44) 的特定积分。 证明假设
$$
g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\ldots+b_k x^k
$$
根据多项式的同一性原理，多项式
$$
p(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2+\ldots+c_k x^k
$$
是 (5.44) 的积分当且仅当等次的单项式系数在 $g(x)$ 并在
$$
L(p)=p^{(n)}+a_{n-1} p^{(n-1)}+\ldots+a_1 p^{\prime}+a_0 p
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Boundary Value Problems

除了初始值问题 (或柯西问题) 之外，还可以为阶 ODE 提出其他类型的问题 $n$ ，特别是考虑到应用程 序。
例如，给定一个二阶线性方程
$$
y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_0(x) y=g(x)
$$
具有连续系数 $a_0(x), a_1(x)$ 和连续的右侧 $g(x)$ 在 $[a, b]$ ，边界值问题在于找到满足边界条件的解 $(A, B \in \mathbb{R})$
$$
y(a)=A, \quad y(b)=B
$$
与边界值问题 (5.56) 和 (5.57) 相关的齐次问题是与相关齐次方程相关的问题
$$
y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_0(x) y=0
$$
连同齐次边界条件
$$
y(a)=0, \quad y(b)=0
$$
方程式的一般积分。(5.56) 是
$$
y(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)+v(x)
$$
在哪里 $y_1(x), y_2(x)$ 是齐次方程 (5.58) 的线性无关积分系统，并且 $v(x)$ 是 (5.56) 的特定积分。
找到常量 $c_1, c_2$ 所以这样 $y$ 在 (5.60) 中满足 (5.57) 中的初始条件，我们施加 $y(a)=A, y(b)=B$ ， 导致 末知的线性系统 $c_1, c_2$
$\$ \$$
佐 {
$$
y_1(a) c_1+y_2(a) c_2=A-v(a) y_1(b) c_1+y_2(b) c_2=B-v(b)
$$
正确的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写数学分析Mathematical Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

数学分析学是数学的一个分支，涉及连续函数、极限和相关理论，如微分、积分、度量、无限序列、数列和分析函数。

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我们提供的数学分析Mathematical Analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Bernoulli Equations

A Bernoulli equation is an ODE of order one of type
$$
y^{\prime}=a(x) y+b(x) y^\alpha,
$$
with $a(x), b(x)$ continuous on $[a, b] \subset \mathbb{R}$ and $\alpha$ a real number different from 0 and 1.
This (non-linear) ODE is in normal form $y^{\prime}=f(x, y)$. The function
$$
f(x, y)=a(x) y+b(x) y^\alpha
$$
is continuous for $(x, y) \in[a, b] \times(0,+\infty)$, but not globally Lipschitz in $y$. Nevertheless, restricting $f(x, y)$ to any compact set $[a, b] \times[c, d]$ (with $c>0$ ), the function is continuous and Lipschitz in $y$. By Cauchy’s existence and uniqueness theorem (Sect. 4.4), for any $\left(x_0, y_0\right) \in[a, b] \times[c, d]$ there is a unique integral curve of (5.28), defined on a suitable neighbourhood of $x_0$, passing through $\left(x_0, y_0\right)$.
Let us show that a Bernoulli equation can be transformed into another linear ODE by changing the unknown function. We divide (5.28) by $y^\alpha$ (thus, for $\alpha>0$, we are neglecting the zero solution). We have
$$
\frac{y^{\prime}}{y^\alpha}=a(x) y^{1-\alpha}+b(x)
$$
Setting $z(x)=[y(x)]^{1-\alpha}$ we obtain
$$
z^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}[y(x)]^{1-\alpha}=(1-\alpha) \frac{y^{\prime}}{y^\alpha}
$$ so (5.29) turns into the linear equation in $z(x)$
$$
z^{\prime}=(1-\alpha) a(x) z+(1-\alpha) b(x),
$$
which is solved in the way shown earlier. Once we have $z(x)$, we will compute $y=z^{1 /(1-\alpha)}$, solution to (5.28).

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Homogeneous Equations with Constant Coefficients

Consider the linear homogeneous equation of order $n$
$$
L(y)=y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=0
$$
with constant coefficients $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{R}$. We set out to show that to determine $n$ linearly independent integrals of (5.36) it suffices to know the roots of the algebraic equation of degree $n$
$$
p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_1 \lambda+a_0=0
$$
called characteristic equation of (5.36) $(p(\lambda)$ is the characteristic polynomial of the linear ODE (5.36)).

Here we should introduce the notion of complex solution $u_1(x)+i u_2(x)$ to equation (5.36). If $u_1(x), u_2(x)$ are real-valued functions defined on the interval $I$ of $\mathbb{R}$, the derivative in $x$ of the complex-valued function $u(x)=u_1(x)+i u_2(x)$ is the function $u^{\prime}(x)=u_1^{\prime}(x)+i u_2^{\prime}(x)$. We shall say $u(x)=u_1(x)+i u_2(x)$ is a particular integral of (5.36) if, for any $x \in I$, the differential identity
$$
L(u)=u^{(n)}+a_{n-1} u^{(n-1)}+\ldots+a_1 u^{\prime}+a_0 u=0
$$
holds over $\mathbb{C}$. When $u(x)=u_1(x)+i u_2(x)$ is a complex solution to (5.36), the functions $u_1(x), u_2(x)$ are real solutions of (5.36). In fact $L(u)=L\left(u_1\right)+i L\left(u_2\right)$, so if $u$ is a complex solution then $L\left(u_1\right)+i L\left(u_2\right)$ is the complex number zero, i.e. $L\left(u_1\right)=L\left(u_2\right)=0$.

We recall that for any complex number $z=\alpha+i \beta$, the complex number $e^z$ is defined as
$$
e^z=e^{\alpha+i \beta}=e^\alpha(\cos \beta+i \sin \beta)
$$
It is easy to verify that, given $z \in \mathbb{C}$, the function $f(x)=e^{x z}$ is differentiable in $x \in \mathbb{R}$, and
$$
f^{\prime}(x)=z \cdot e^{x z}
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Bernoulli Equations

伯努利方程是一阶 ODE 类型
$$
y^{\prime}=a(x) y+b(x) y^\alpha
$$
和 $a(x), b(x)$ 连续上 $[a, b] \subset \mathbb{R}$ 和 $\alpha$ 不同于 0 和 1 的实数。
此 (非线性) ODE 为正规形式 $y^{\prime}=f(x, y)$. 功能
$$
f(x, y)=a(x) y+b(x) y^\alpha
$$
是连续的 $(x, y) \in[a, b] \times(0,+\infty)$ ，但不是全球 Lipschitz 在 $y$. 尽管如此，限制 $f(x, y)$ 对任何紧集 $[a, b] \times[c, d]$ (和 $c>0$ )，函数是连续的并且 Lipschitz 在 $y$. 根据柯西存在唯一性定理（第 4.4 节)，对 于任何 $\left(x_0, y_0\right) \in[a, b] \times[c, d]$ 存在 (5.28) 的唯一积分曲线，定义在 $x_0$ ，通过 $\left(x_0, y_0\right)$.
让我们证明，通过改变末知函数，可以将伯努利方程转换为另一个线性 ODE。我们将 (5.28) 除以 $y^\alpha$
(因 此，对于 $\alpha>0$ ，我们忽略了零解) 。我们有
$$
\frac{y^{\prime}}{y^\alpha}=a(x) y^{1-\alpha}+b(x)
$$
环境 $z(x)=[y(x)]^{1-\alpha}$ 我们获得
$$
z^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}[y(x)]^{1-\alpha}=(1-\alpha) \frac{y^{\prime}}{y^\alpha}
$$
所以 (5.29) 变为线性方程式 $z(x)$
$$
z^{\prime}=(1-\alpha) a(x) z+(1-\alpha) b(x)
$$
这是按照前面显示的方式解决的。一旦我们有 $z(x)$ ，我们将计算 $y=z^{1 /(1-\alpha)}$ ，(5.28) 的解。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Homogeneous Equations with Constant Coefficients

考虑线性齐次阶方程 $n$
$$
L(y)=y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=0
$$
常数系数 $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{R}$. 我们着手证明要确定 $n(5.36)$ 的线性无关积分 知道度代数方程的根就足 够了n
$$
p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_1 \lambda+a_0=0
$$
称为 (5.36) 的特征方程 $(p(\lambda)$ 是线性 ODE (5.36) 的特征多项式) 。
这里要引入复解的概念 $u_1(x)+i u_2(x)$ 到等式 (5.36) 。如果 $u_1(x), u_2(x)$ 是定义在区间上的实值函 数 $I$ 的 $\mathbb{R}$, 中的导数 $x$ 复值函数 $u(x)=u_1(x)+i u_2(x)$ 是函数 $u^{\prime}(x)=u_1^{\prime}(x)+i u_2^{\prime}(x)$. 我们要说 $u(x)=u_1(x)+i u_2(x)$ 是 (5.36) 的特定积分，如果对于任何 $x \in I$, 差异身份
$$
L(u)=u^{(n)}+a_{n-1} u^{(n-1)}+\ldots+a_1 u^{\prime}+a_0 u=0
$$
坚持 $\mathbb{C}$. 什么时候 $u(x)=u_1(x)+i u_2(x)$ 是 (5.36) 的复解，函数 $u_1(x), u_2(x)$ 是 (5.36) 的实数解。实 际上 $L(u)=L\left(u_1\right)+i L\left(u_2\right)$ ，因此，如果 $u$ 那么是一个复杂的解决方案 $L\left(u_1\right)+i L\left(u_2\right)$ 是复数 零，即 $L\left(u_1\right)=L\left(u_2\right)=0$.
我们记得对于任何复数 $z=\alpha+i \beta$, 复数 $e^z$ 定义为
$$
e^z=e^{\alpha+i \beta}=e^\alpha(\cos \beta+i \sin \beta)
$$
很容易验证，给定 $z \in \mathbb{C}$ ，功能 $f(x)=e^{x z}$ 可微分于 $x \in \mathbb{R}$ ，和
$$
f^{\prime}(x)=z \cdot e^{x z}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

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时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Directional Derivatives

We call a unit vector in $\mathbb{R}^n$ a direction .
Let $A$ be an open set in $\mathbb{R}^n$ and $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ a function defined on $A$. Fix $x \in A$. Given a direction $\lambda$ in $\mathbb{R}^n$ (so $\lambda \in \mathbb{R}^n,|\lambda|=1$ ), the directional derivative of $f$ along $\lambda$ at the point $x$ is
$$
\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(x+h \lambda)-f(x)}{h}, $$ provided such limit exists and is finite. The directional derivative is denoted by $$ \frac{\partial f}{\partial \lambda}, \quad \frac{\partial f}{\partial \lambda}(x), \quad D\lambda, \quad D_\lambda f, \quad D_\lambda f(x) .
$$
In particular, suppose $\lambda$ is the direction of a coordinate axis, i.e. for some index $i \in{1,2, \ldots, n}$
$$
\lambda=e_i=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)
$$
with all components zero except the $i$ th one, equal to 1 . Then the directional derivative $\partial f / \partial \lambda$ coincides with the partial derivative $\partial f / \partial x_i=f_{x_i}$ (compare to formula (3.5)).
The following criterion is useful for computing directional derivatives.
Directional Derivative of a Differentiable Function Let $A$ be an open set in $\mathbb{R}^n$ and $x \in A$ a point. If $f$ is differentiable at $x$, it admits at $x$ directional derivative along any direction $\lambda \in \mathbb{R}^n$, and the latter equals
$$
\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x)=(D f(x), \lambda)=\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) \cdot \lambda_i .
$$
Proof The directional derivative $\partial f / \partial \lambda$ is the derivative in $t$, evaluated at $t=0$, of $t \rightarrow f(x+t \lambda)$. By the chain rule (previous section)
$$
\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x)=\left[\frac{d}{d t} f(x+t \lambda)\right]{t=0}=(D f(x), \lambda)=\sum{i=1}^n f_{x_i}(x) \cdot \lambda_i
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Functions with Vanishing Gradient on Connected Sets

Recall that an open set $A \subseteq \mathbb{R}^n$ is connected if
$$
A_1, A_2 \text { open subsets of } \mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A
$$
force one of $A_1, A_2$ to be empty.
The following result is about functions with null partial derivatives on a connected subset of $\mathbb{R}^n$, and generalises the analogous simple fact in one variable, where a derivative is zero on some interval.

Functions with Zero Gradient If a function $f$ has zero gradient at all points in a connected open set $A \subseteq \mathbb{R}^n$, then $f$ is constant on $A$.

Proof By assumption all partial derivatives are zero on $A$, so the derivatives are continuous and $f$ is differentiable on $A$. Fix $x_0 \in A$ and define the set
$$
A_1=\left{x \in A: \quad f(x)=f\left(x_0\right)\right} .
$$
Clearly $A=A_1 \cup A_2$, where
$$
A_2=\left{x \in A: \quad f(x) \neq f\left(x_0\right)\right} .
$$
Being differentiable, $f$ is continuous on $A$, so the set $A_2$ is open. Let us show $A_1$ is open as well. Take $x_1 \in A_1$ (so $\left.f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)\right)$ and let $I_\delta$ be an open ball, centred at $x_1$ with radius $\delta$, contained in $A$. We claim that $I_\delta \subseteq A_1$, i.e. $f(x)=f\left(x_0\right)=f\left(x_1\right)$ for any $x \in I_\delta$.

If $x=x_1$ there is nothing to prove. If $x \neq x_1$ and $x \in I_\delta$ the one-variable function $\varphi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ defined by
$$
\varphi(t)=f\left(x_1+t\left(x-x_1\right)\right), \quad \forall t \in[0,1],
$$
assumes values $f\left(x_1\right)$ (at $t=0$ ) and $f(x)$ (at $t=1$ ). Its derivative, computed with the chain rule, is
$$
\varphi^{\prime}(t)=\left(D f\left(x_1+t\left(x-x_1\right)\right), x-x_1\right)=0, \quad \forall t \in[0,1] .
$$
The function $\varphi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ has zero derivative on $[0,1]$ and hence is constant. In particular, $\varphi(0)=\varphi(1)$, i.e. $f(x)=f\left(x_1\right)$. This shows $A_1$ is open.

So now $A=A_1 \cup A_2, A_1 \cap A_2=\emptyset$ with $A_1, A_2$ open in $\mathbb{R}^n$ and $A_1 \neq \emptyset$. As $A$ is connected in $\mathbb{R}^n$, we have $A_2=\emptyset$ and so $A_1=A$, i.e.
$$
f(x)=f\left(x_0\right) \quad \forall x \in A .
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Directional Derivatives

我们称单位向量为 $\mathbb{R}^n$ 一个方向。
让 $A$ 是一个开集 $\mathbb{R}^n$ 和 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ 定义的函数 $A$. 使固定 $x \in A$. 给了一个方向 $\lambda$ 在 $\mathbb{R}^n$ (所以 $\lambda \in \mathbb{R}^n,|\lambda|=1$ ), 的方向导数 $f$ 沿着 $\lambda$ 在这一点上 $x$ 是
$$
\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(x+h \lambda)-f(x)}{h} $$ 只要存在这样的限制并且是有限的。方向导数表示为 $$ \frac{\partial f}{\partial \lambda}, \quad \frac{\partial f}{\partial \lambda}(x), \quad D \lambda, \quad D\lambda f, \quad D_\lambda f(x) .
$$
特别地，假设 $\lambda$ 是坐标轴的方向，即对于某些索引 $i \in 1,2, \ldots, n$
$$
\lambda=e_i=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)
$$
所有组件都为零，除了 $i$ 第一个，等于 1 。然后是方向导数 $\partial f / \partial \lambda$ 与偏导数一致 $\partial f / \partial x_i=f_{x_i}$ （对比公 式 (3.5)）。
以下准则对于计算方向导数很有用。
可微函数的方向导数让 $A$ 是一个开集 $\mathbb{R}^n$ 和 $x \in A$ 一个点。如果 $f$ 可微于 $x$ ，它承认 $x$ 沿任何方向的方向导 数 $\lambda \in \mathbb{R}^n$ ，后者等于
$$
\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x)=(D f(x), \lambda)=\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) \cdot \lambda_i
$$
证明方向导数 $\partial f / \partial \lambda$ 是导数 $t$, 评估于 $t=0$ ，的 $t \rightarrow f(x+t \lambda)$. 通过链式法则（上一节)
$$
\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x)=\left[\frac{d}{d t} f(x+t \lambda)\right] t=0=(D f(x), \lambda)=\sum i=1^n f_{x_i}(x) \cdot \lambda_i
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Functions with Vanishing Gradient on Connected Sets

回想一下，一个开集 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ 连接如果
$$
A_1, A_2 \text { open subsets of } \mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A
$$
强制其中之 $-A_1, A_2$ 是空的。
以下结果是关于在的连通子集上具有空偏导数的函数 $\mathbb{R}^n$ ，并在一个变量中推广类似的简单事实，其中导 数在某个区间上为零。
具有零梯度的函数如果一个函数 $f$ 在连通开集中所有点的梯度都为零 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ ，然后 $f$ 是恒定的 $A$.
证明假设所有偏导数都为零 $A$, 所以导数是连续的并且 $f$ 可微分于 $A$. 使固定 $x_0 \in A$ 并定义集合
$A_{_} 1=\geq$ left ${x$ lin $A: 1$ lquad $f(x)=$ fileft(X_olright) $r i g h t}$ 。
清楚地 $A=A_1 \cup A_2$ ，在哪里
可微分， $f$ 是连续的 $A$ ，所以集合 $A_2$ 开了。让我们展示 $A_1$ 也是开放的。拿 $x_1 \in A_1$ (所以 $\left.f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)\right)$ 然后让 $I_\delta$ 是一个开放的球，以 $x_1$ 带半径 $\delta$ ，包含在 $A$. 我们声称 $I_\delta \subseteq A_1 ， \mathrm{E}$ $f(x)=f\left(x_0\right)=f\left(x_1\right)$ 对于任何 $x \in I_\delta$.
如果 $x=x_1$ 没有什么可以证明的。如果 $x \neq x_1$ 和 $x \in I_\delta$ 单变量函数 $\varphi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为
$$
\varphi(t)=f\left(x_1+t\left(x-x_1\right)\right), \quad \forall t \in[0,1],
$$
假设值 $f\left(x_1\right)$ (在 $t=0$ ) 和 $f(x)$ (在 $t=1$ ). 它的导数，用链式法则计算，是
$$
\varphi^{\prime}(t)=\left(D f\left(x_1+t\left(x-x_1\right)\right), x-x_1\right)=0, \quad \forall t \in[0,1]
$$
功能 $\varphi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 导数为零 $[0,1]$ 因此是不变的。尤其， $\varphi(0)=\varphi(1)$ ， IE $f(x)=f\left(x_1\right)$. 由此可见 $A_1$ 沽。
所以现在 $A=A_1 \cup A_2, A_1 \cap A_2=\emptyset$ 和 $A_1, A_2$ 打开 $\mathbb{R}^n$ 和 $A_1 \neq \emptyset$. 作为 $A$ 连接在 $\mathbb{R}^n$ ，我们有 $A_2=\emptyset$ 所以 $A_1=A, \mathrm{IE}$
$$
f(x)=f\left(x_0\right) \quad \forall x \in A .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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数学分析学是数学的一个分支，涉及连续函数、极限和相关理论，如微分、积分、度量、无限序列、数列和分析函数。

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我们提供的数学分析Mathematical Analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Gradient. Differentiability

Suppose $f=f(x)=f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ admits first partial derivatives at a point $x$ in an open set $A \subseteq \mathbb{R}^n$ on which $f$ is defined. The gradient of $f$ at $x$ is by definition the vector $D f$ whose components are the partial derivatives of $f$. The gradient is denoted by
$$
D f(x), \nabla f, \nabla f(x), \operatorname{grad} f, \operatorname{grad} f(x),
$$
and for given $x$ it is the vector in $\mathbb{R}^n$ of components
$$
D f(x)=\left(f_{x_1}(x), f_{x_2}(x), \ldots, f_{x_n}(x)\right)
$$

Saying that a function admits (first) partial derivatives at $x \in \mathbb{R}^n$ is the same as saying that $f$ has a gradient. A stronger condition is requiring that at $x \in \mathbb{R}^n$ the function be differentiable, in the following sense.

Let $A$ be an open set in $\mathbb{R}^n$. One says a function $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ is differentiable at $x \in A$ if it admits partial derivatives at $x$ (i.e., the gradient $D f(x)$ is defined) and
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)-(D f(x), h)}{|h|}=0 .
$$
Note that in (3.12), $h$ is a variable in $\mathbb{R}^n,|h|$ is its norm and $(D f(x), h)$ is the inner product of $h$ and the gradient of $f$ at $x$.

A function $f$ is said differentiable on $A$ if it is differentiable at any $x \in A$. Given $x$, the linear map defined on $\mathbb{R}^n$ by $h \rightarrow(D f(x), h)$ is called the differential of $f$ at the point $x$, and is denoted by $d f(x)$. Therefore $d f(x)$ is the linear map (or linear functional – the word functional is employed here to denote a linear map from $\mathbb{R}^n$ to $\mathbb{R}$ ) in the variable $h \in \mathbb{R}^n$ defined by
$$
d f(x)(h)=(D f(x), h), \quad \forall h \in \mathbb{R}^n
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Composite Functions

Let $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ be $n$ real functions defined on an interval $I \subset \mathbb{R}$. Call $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ the map from $I$ to $\mathbb{R}^n$ whose components are the $x_i(t), i=1,2, \ldots, n$. Then $x(t)$ is the vector in $\mathbb{R}^n$, dependent on the variable $t \in I$, whose components are
$$
x(t)=\left(x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)\right), \quad \forall t \in I .
$$
In the terminology of Chapter 6 we say the map $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a curve in $\mathbb{R}^n$.
Let $A$ be an open set in $\mathbb{R}^n$ that contains the range $x(I)$ of the map $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$, i.e. suppose $x(t) \in A$ for any $t \in I$. If $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ is a real function of $n$ real variables defined on $A$, the composite function
$$
F(t)=f(x(t))=f \circ x(t), \quad \forall t \in I
$$
is well defined on $I$. The composite function $F: I \rightarrow \mathbb{R}$ is a real function of one real variable. The next result establishes when $F=f \circ x$ is differentiable, and gives a formula for differentiating it. As usual, if $t \in I$ is an endpoint of the interval $I$, we consider the right derivative for the first endpoint or the left derivative for the second endpoint.

Theorem (Chain Rule) Suppose that the vector $x(t)$ is differentiable at $t \in I$ (i.e. the $n$ component functions $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ admit derivatives at $\left.t \in I\right)$ and that $f$ is differentiable at the point $x(t)$. Then the composite function $F(t)=$ $f(x(t))$ is differentiable at $t \in I$, with derivative
$$
F^{\prime}(t)=\left(D f(x(t)), x^{\prime}(t)\right)=\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x(t)) \cdot x_i^{\prime}(t)
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Gradient. Differentiability

认为 $f=f(x)=f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ 承认一点的一阶偏导数 $x$ 在一个开集 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ 在哪个 $f$ 被定义 为。的梯度 $f$ 在 $x$ 根据定义是向量 $D f$ 其分量是的偏导数 $f$. 梯度表示为
$$
D f(x), \nabla f, \nabla f(x), \operatorname{grad} f, \operatorname{grad} f(x)
$$
对于给定的 $x$ 它是向量 $\mathbb{R}^n$ 组件的
$$
D f(x)=\left(f_{x_1}(x), f_{x_2}(x), \ldots, f_{x_n}(x)\right)
$$
说一个函数允许 $\left(\right.$ 一阶) 偏导数在 $x \in \mathbb{R}^n$ 等同于说 $f$ 有一个梯度。更强的条件要求在 $x \in \mathbb{R}^n$ 在以下意 义上，函数是可微的。
让 $A$ 是一个开集 $\mathbb{R}^n$.一个说一个函数 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ 可微于 $x \in A$ 如果它承认偏导数 $x$ (即梯度 $D f(x)$ 被 定义) 和
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)-(D f(x), h)}{|h|}=0 .
$$
注意在 (3.12) 中， $h$ 是一个变量 $\mathbb{R}^n,|h|$ 是它的常态并且 $(D f(x), h)$ 是的内积 $h$ 和梯度 $f$ 在 $x$.
一个功能 $f$ 据说可微分 $A$ 如果它是可微的 $x \in A$. 鉴于 $x$ ， 线性映射定义在 $\mathbb{R}^n$ 经过 $h \rightarrow(D f(x), h)$ 称 为微分 $f$ 在这一点上 $x$, 并表示为 $d f(x)$. 所以 $d f(x)$ 是线性映射 (或线性泛函一一这里使用泛函这个词 来表示来自 $\mathbb{R}^n$ 到 $\left.\mathbb{R}\right)$ 在变量中 $h \in \mathbb{R}^n$ 被定义为
$$
d f(x)(h)=(D f(x), h), \quad \forall h \in \mathbb{R}^n
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Composite Functions

让 $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ 是 $n$ 定义在区间上的实函数 $I \subset \mathbb{R}$. 称呼 $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ 地图来自 $I$ 到 $\mathbb{R}^n$ 其组 成部分是 $x_i(t), i=1,2, \ldots, n$. 然后 $x(t)$ 是向量 $\mathbb{R}^n$ ，取决于变量 $t \in I$ ，其组成部分是
$$
x(t)=\left(x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)\right), \quad \forall t \in I
$$
在第 6 章的术语中，我们说地图 $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是一条曲线 $\mathbb{R}^n$.
让 $A$ 是一个开集 $\mathbb{R}^n$ 包含范围 $x(I)$ 地图的 $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ ，即假设 $x(t) \in A$ 对于任何 $t \in I$. 如果 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ 是实函数 $n$ 实变量定义于 $A$ ，复合函数
$$
F(t)=f(x(t))=f \circ x(t), \quad \forall t \in I
$$
定义明确 $I$. 复合函数 $F: I \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个实变量的实函数。下一个结果确定何时 $F=f \circ x$ 是可微的， 并给出了微分它的公式。像往常一样，如果 $t \in I$ 是区间的端点 $I$ ，我们考虑第一个端点的右导数或第二 个端点的左导数。
定理 (链式法则) 假设向量 $x(t)$ 可微于 $t \in I$ (即 $n$ 组件功能 $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ 承认衍生物在 $t \in I)$ 然后 $f$ 在点处可微 $x(t)$. 然后是复合函数 $F(t)=f(x(t))$ 可微于 $t \in I$, 有导数
$$
F^{\prime}(t)=\left(D f(x(t)), x^{\prime}(t)\right)=\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x(t)) \cdot x_i^{\prime}(t)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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