如果你也在 怎样代写最优化Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。最优化Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写最优化理论optimization theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写最优化理论optimization theory代写方面经验极为丰富，各种代写最优化理论optimization theory相关的作业也就用不着说。

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Determination of Optimal Trajectories by Using Gradient Projection

Let us now discuss a technique, also due to Rosen, $\dagger$ for solving optimal control problems by using the gradient projection algorithm. The problem is to find an admissible control history $\mathbf{u}^$ that causes the system $$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) $$ with known initial state $\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}0$ to follow an admissible trajectory $\mathbf{x}^$ that minimizes the performance measure
$$
J=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right)\right)+\int{t_0}^{t_f} g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) d t
$$
For simplicity of notation, we shall assume that time does not appear explicitly in either the state equations or the performance measure; the solution of time-varying problems requires only straightforward modifications of the procedure to be described. It is also assumed that the final time $t_f$ is specified, and since the equations are time-invariant, we can let $t_0=0$. Although the technique to be presented applies to problems involving general linear constraints among the state and control variables, we shall restrict our discussion to problems with constraints of the form
$$
\begin{array}{rlrlrl}
M_{i-} & \leq u_i(t) \leq M_{i+}, & t \in\left[0, t_f\right], & & i & =1,2, \ldots, m \
S_{i-} & \leq x_i(t) \leq S_{i+}, \quad t \in\left[0, t_f\right], & & i & =1,2, \ldots, n \
x_i\left(t_j\right) & =T_{i j}, \quad t_j \text { specified, } & & i=1,2, \ldots, n .
\end{array}
$$
$M_{i-}$ and $M_{i+}$ denote the lower and upper bounds on the $i$ th control component, $S_{i-}$ and $S_{i+}$ are the lower and upper bounds on the $i$ th state component, and $T_{i j}$ is the required value of the state component $x_i$ at the time $t_j$.

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|The Minimum Principle

Applying the minimum principle, or the calculus of variations, to determine optimal controls generally leads to a nonlinear two-point boundarysolution. As noted previously, these iterative algorithms determine optimal controls in open-loop form.

If the state equations of a process are linear (or have been linearized), and the performance measure is a quadratic form, the optimal control law can be determined by numerically integrating a matrix differential equation of the Riccati type.

An important feature of the variational approach is that the form of optimal controls can be determined; hence, it is necessary only to consider the subset of controls having the appropriate form; this is a significant conceptual and computational advantage.

Dynamic Programming
Dynamic programming is essentially a clever way of examining all of the candidates for an optimal control law. To do this by direct enumeration of all the possibilities is a horrendous task, but by using the principle of optimality a multiple-stage decision process can be reduced to a sequence of singlestage decision processes, and a feasible computational algorithm is obtained. The algorithm consists of solving the functional recurrence equation
$$
\begin{aligned}
J_{N-K, N}^(\mathbf{x}(N-K))= & \min {\mathbf{u}(N-K)}\left{g_D(\mathbf{x}(N-K), \mathbf{u}(N-K))\right. \ & \left.+J{N-(K-1), N}^\left(\mathbf{a}_D(\mathbf{x}(N-K), \mathbf{u}(N-K))\right)\right}
\end{aligned}
$$
by a direct search among the admissible control values. The presence of state and control constraints generally complicates the application of variational techniques; however, in dynamic programming, state and control constraints reduce the range of values to be searched and thereby simplify the solution. Another desirable feature of the dynamic programming approach is that the computational procedure determines the optimal control law. Moreover, since the algorithm makes a direct comparison of the performance measure values associated with all optimal control law candidates, it is ensured that the global, or absolute, optimal control law is obtained. The primary limitation of the dynamic programming approach is the need for large storage capacity in the digital computer when solving problems involving high-order systems-this is the “curse of dimensionality.”

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Determination of Optimal Trajectories by Using Gradient Projection

现在让我们讨论一种技术，也是由于罗森，$\dagger$解决最优控制问题，使用梯度投影算法。问题是找到一个允许的控制历史$\mathbf{u}^$，使具有已知初始状态$\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}0$的系统$$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) $$遵循一个允许的轨迹$\mathbf{x}^$，使性能度量最小化
$$
J=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right)\right)+\int{t_0}^{t_f} g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) d t
$$
为简便起见，我们假设时间在状态方程或性能度量中都没有明确出现;时变问题的解只需要对所描述的程序进行简单的修改。我们还假定最终时间$t_f$是指定的，并且由于方程是定常的，我们可以让$t_0=0$。虽然所提出的技术适用于涉及状态变量和控制变量之间一般线性约束的问题，但我们将把我们的讨论限制在具有这种形式约束的问题上
$$
\begin{array}{rlrlrl}
M_{i-} & \leq u_i(t) \leq M_{i+}, & t \in\left[0, t_f\right], & & i & =1,2, \ldots, m \
S_{i-} & \leq x_i(t) \leq S_{i+}, \quad t \in\left[0, t_f\right], & & i & =1,2, \ldots, n \
x_i\left(t_j\right) & =T_{i j}, \quad t_j \text { specified, } & & i=1,2, \ldots, n .
\end{array}
$$
$M_{i-}$和$M_{i+}$分别表示控制组件$i$的上下限，$S_{i-}$和$S_{i+}$分别表示状态组件$i$的上下限，$T_{i j}$为状态组件$x_i$在$t_j$时刻所需值。

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|The Minimum Principle

应用最小值原理或变分法来确定最优控制通常会导致非线性两点边界解。如前所述，这些迭代算法确定开环形式的最优控制。

如果一个过程的状态方程是线性的(或已经线性化)，并且性能度量是二次型的，那么最优控制律可以通过对Riccati型矩阵微分方程进行数值积分来确定。

变分方法的一个重要特征是可以确定最优控制的形式;因此，只需要考虑具有适当形式的控件子集;这是一个重要的概念和计算优势。

动态规划
动态规划本质上是一种检查所有候选最优控制律的聪明方法。通过直接枚举所有的可能性来实现这一目标是一项艰巨的任务，但利用最优性原理可以将多阶段决策过程简化为一系列单阶段决策过程，并得到了一种可行的计算算法。该算法包括求解泛函递归方程
$$
\begin{aligned}
J_{N-K, N}^(\mathbf{x}(N-K))= & \min {\mathbf{u}(N-K)}\left{g_D(\mathbf{x}(N-K), \mathbf{u}(N-K))\right. \ & \left.+J{N-(K-1), N}^\left(\mathbf{a}_D(\mathbf{x}(N-K), \mathbf{u}(N-K))\right)\right}
\end{aligned}
$$
通过直接搜索可接受的控制值。状态和控制约束的存在通常使变分技术的应用复杂化;然而，在动态规划中，状态约束和控制约束减少了需要搜索的值的范围，从而简化了求解。动态规划方法的另一个令人满意的特点是计算过程确定了最优控制律。此外，由于该算法直接比较与所有最优控制律候选者相关的性能度量值，因此可以确保获得全局或绝对最优控制律。动态规划方法的主要限制是，在解决涉及高阶系统的问题时，数字计算机需要很大的存储容量——这就是“维数诅咒”。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|One Iteration of the Numerical Procedure

The method of quasilinearization consists of solving a sequence of linearized two-point boundary-value problems. We now know how to:

1. Linearize nonlinear differential equations.
2. Solve linear two-point boundary-value problems.
   The following example illustrates how these two steps go together to constitute one iteration of the quasilinearization algorithm.

Example 6.4-2. A nonlinear first-order system is described by the differential equation
$$
\dot{x}(t)=x^2(t)+u(t) .
$$
The initial condition is $x(0)=3.0$, and the performance measure to be minimized is
$$
J=\int_0^1\left[2 x^2(t)+u^2(t)\right] d t
$$
From the Hamiltonian
$$
\mathscr{H}(x(t), u(t), p(t))=2 x^2(t)+u^2(t)+p(t) x^2(t)+p(t) u(t),
$$
the costate equation is
$$
\dot{p}(t)=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x}=-4 x(t)-2 p(t) x(t)
$$
The algebraic relationship that must be satisfied is
$$
\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial u}=0=2 u(t)+p(t)
$$

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|The Continuous Stirred-Tank Chemical Reactor Problem

For comparison with the methods of steepest descent and variation of extremals, let us again solve the stirred-tank reactor problem discussed in Sections 6.2 and 6.3, this time using the quasilinearization algorithm.

Example 6.4-3. The problem statement is given in Example 6.2-2. The reduced differential equations are given by Eqs. (6.3-29) and (6.3-30). Linearizing these nonlinear differential equations, using (6.4-29), we obtain
$$
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{x}}^{(i+1)}(t) \
\cdots \dot{\mathbf{p}}^{(i+1)}(t)
\end{array}\right]=} & \mathbf{A}(t)\left[\begin{array}{l}
\mathbf{x}^{(i+1)}(t) \
\hdashline\left(\mathbf{p}^{(t+1)}(t)\right.
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
\mathbf{a}\left(\mathbf{x}^{(t)}(t), \mathbf{p}^{(i)}(t), t\right) \
\hdashline-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \mathbf{x}}\left(\mathbf{x}^{(i)}(t), \mathbf{p}^{(i)}(t), t\right)
\end{array}\right] \
& -\mathbf{A}(t)\left[\begin{array}{l}
\mathbf{x}^{(t)}(t) \
\cdots \
\mathbf{p}^{(t)}(t)
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
$\mathbf{A}(t)$ denotes the $2 n \times 2 n$ matrix
$$
\mathbf{A}(t)=\left[\begin{array}{c:c:c:c}
-2-10 p_1 \alpha_5+\alpha_4 & \alpha_1 & -5 \alpha_5^2 & 0 \
-\alpha_4 & -1-\alpha_1 & 0 & 0 \
-2+\alpha_2 \alpha_6+5 p_1^2 & \alpha_3 \alpha_6 & 2+10 p_1 \alpha_5-\alpha_4 & \alpha_4 \
\alpha_3 \alpha_6 & -2 & -\alpha_1 & 1+\alpha_1
\end{array}\right]_{\mathbf{x}(t)(t), \mathrm{p}^{(1)}(t)}
$$
where
$$
\begin{aligned}
& \alpha_1 \triangleq \exp \left[\frac{25 x_1}{x_1+2}\right] \
& \alpha_2 \triangleq \frac{100\left[x_2+0.5\right]\left[23-x_1\right] \alpha_1}{\left[x_1+2\right]^4} \
& \alpha_3 \triangleq \frac{50 \alpha_1}{\left[x_1+2\right]^2} \
& \alpha_4 \triangleq\left[x_2+0.5\right] \alpha_3 . \
& \alpha_5 \triangleq x_1+0.25 \
& \alpha_6 \triangleq p_2-p_1
\end{aligned}
$$

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|One Iteration of the Numerical Procedure

拟线性化的方法是求解一系列线性化的两点边值问题。我们现在知道如何:

线性化非线性微分方程。

求解线性两点边值问题。
下面的示例说明了这两个步骤如何一起构成拟线性化算法的一次迭代。

例6.4-2用微分方程描述非线性一阶系统
$$
\dot{x}(t)=x^2(t)+u(t) .
$$
初始条件为$x(0)=3.0$，要最小化的性能度量为
$$
J=\int_0^1\left[2 x^2(t)+u^2(t)\right] d t
$$
从哈密顿函数中
$$
\mathscr{H}(x(t), u(t), p(t))=2 x^2(t)+u^2(t)+p(t) x^2(t)+p(t) u(t),
$$
协态方程是
$$
\dot{p}(t)=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x}=-4 x(t)-2 p(t) x(t)
$$
必须满足的代数关系为
$$
\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial u}=0=2 u(t)+p(t)
$$

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|The Continuous Stirred-Tank Chemical Reactor Problem

为了与最陡下降法和极值变化法进行比较，让我们再次解决第6.2节和第6.3节讨论的搅拌槽反应器问题，这次使用拟线性化算法。

例6.4-3例6.2-2给出了问题陈述。简化后的微分方程由方程给出。(6.3-29)和(6.3-30)。利用式(6.4-29)将这些非线性微分方程线性化，我们得到
$$
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{x}}^{(i+1)}(t) \
\cdots \dot{\mathbf{p}}^{(i+1)}(t)
\end{array}\right]=} & \mathbf{A}(t)\left[\begin{array}{l}
\mathbf{x}^{(i+1)}(t) \
\hdashline\left(\mathbf{p}^{(t+1)}(t)\right.
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
\mathbf{a}\left(\mathbf{x}^{(t)}(t), \mathbf{p}^{(i)}(t), t\right) \
\hdashline-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \mathbf{x}}\left(\mathbf{x}^{(i)}(t), \mathbf{p}^{(i)}(t), t\right)
\end{array}\right] \
& -\mathbf{A}(t)\left[\begin{array}{l}
\mathbf{x}^{(t)}(t) \
\cdots \
\mathbf{p}^{(t)}(t)
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
$\mathbf{A}(t)$表示$2 n \times 2 n$矩阵
$$
\mathbf{A}(t)=\left[\begin{array}{c:c:c:c}
-2-10 p_1 \alpha_5+\alpha_4 & \alpha_1 & -5 \alpha_5^2 & 0 \
-\alpha_4 & -1-\alpha_1 & 0 & 0 \
-2+\alpha_2 \alpha_6+5 p_1^2 & \alpha_3 \alpha_6 & 2+10 p_1 \alpha_5-\alpha_4 & \alpha_4 \
\alpha_3 \alpha_6 & -2 & -\alpha_1 & 1+\alpha_1
\end{array}\right]_{\mathbf{x}(t)(t), \mathrm{p}^{(1)}(t)}
$$
在哪里
$$
\begin{aligned}
& \alpha_1 \triangleq \exp \left[\frac{25 x_1}{x_1+2}\right] \
& \alpha_2 \triangleq \frac{100\left[x_2+0.5\right]\left[23-x_1\right] \alpha_1}{\left[x_1+2\right]^4} \
& \alpha_3 \triangleq \frac{50 \alpha_1}{\left[x_1+2\right]^2} \
& \alpha_4 \triangleq\left[x_2+0.5\right] \alpha_3 . \
& \alpha_5 \triangleq x_1+0.25 \
& \alpha_6 \triangleq p_2-p_1
\end{aligned}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|A Continuous Stirred-Tank Chemical Reactor

Example 6.2-2. The state equations for a continuous stirred-tank chemical reactor are given below [L-5]. The flow of a coolant through a coil inserted in the reactor is to control the first-order, irreversible exothermic reaction taking place in the reactor. The states of the plant are $x_1(t)=T(t)$ (the deviation from the steady-state temperature) and $x_2(t)=C(t)$ (the deviation from the steady-state concentration). $u(t)$, the normalized control variable, represents the effect of coolant flow on the chemical reaction. The state equations are
$$
\begin{aligned}
\dot{x}_1(t)= & -2\left[x_1(t)+0.25\right]+\left[x_2(t)+0.5\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right] \
& -\left[x_1(t)+0.25\right] u(t) \
\dot{x}_2(t)= & 0.5-x_2(t)-\left[x_2(t)+0.5\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right]
\end{aligned}
$$
with initial conditions $\mathbf{x}(0)=\left[\begin{array}{ll}0.05 & 0\end{array}\right]^T$. The performance measure to be minimized is
$$
J=\int_0^{0.78}\left[x_1^2(t)+x_2^2(t)+R u^2(t)\right] d t,
$$
indicating that the desired objective is to maintain the temperature and concentration close to their steady-state values without expending large amounts of control effort. $R$ is a weighting factor that we shall select (arbitrarily) as 0.1 . The costate equations are determined from the Hamiltonian,
$$
\begin{aligned}
\mathscr{H}(\mathbf{x}(t) & u(t), \mathbf{p}(t))=x_1^2(t)+x_2^2(t)+R u^2(t) \
& +p_1(t)\left[-2\left[x_1(t)+0.25\right]+\left[x_2(t)+0.5\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right]\right. \
& \left.-\left[x_1(t)+0.25\right] u(t)\right]+p_2(t)\left[0.5-x_2(t)\right. \
& \left.-\left[x_2(t)+0.5\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right]\right]
\end{aligned}
$$
as
$$
\begin{aligned}
\dot{p}_1(t)= & -\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_1}=-2 x_1(t)+2 p_1(t) \
& -p_1(t)\left[x_2(t)+0.5\right]\left[\frac{50}{\left[x_1(t)+2\right]^2}\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right] \
& +p_1(t) u(t)+p_2(t)\left[x_2(t)+0.5\right]\left[\frac{50}{\left[x_1(t)+2\right]^2}\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right] \
\dot{p}_2(t)= & -\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_2}=-2 x_2(t)-p_1(t) \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right] \
& +p_2(t)\left[1+\exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right]\right] .
\end{aligned}
$$

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Features of the Steepest Descent Algorithm

To conclude our discussion of the steepest descent method, let us summarize the important features of the algorithm.

Initial Guess. A nominal control history, $\mathbf{u}^{(0)}(t), t \in\left[t_0, t_f\right]$, must be selected to begin the numerical procedure. In selecting the nominal control we utilize whatever physical insight we have about the problem.

Storage Requirements. The current trial control $\mathbf{u}^{(i)}$, the corresponding state trajectory $\mathbf{x}^{(i)}$, and the gradient history $\partial \mathscr{H}^{(i)} / \partial \mathbf{u}$, are stored. If storage must be conserved, the state values needed to determine $\partial \mathscr{H}^{(t)} / \partial \mathbf{u}$ can be obtained by reintegrating the state equations with the costate equations. If this is done $\mathbf{x}^{(t)}$ does not need to be stored; however, the computation time will increase. Generating the required state values in this manner may make the results of the backward integration more accurate, because the piecewise-constant approximation for $\mathbf{x}^{(l)}$ need not be used.

Convergence. The method of steepest descent is generally characterized by ease of starting – the initial guess for the control is not usually crucial. On the other hand, as a minimum is approached, the gradient becomes small and the method has a tendency to converge slowly.

Computations Required. In each iteration numerical integration of $2 n$ firstorder ordinary differential equations is required. In addition, the time history of $\partial \mathscr{H}^{(t)} / \partial \mathrm{u}$ at the times $t_k, k=0,1, \ldots, N-1$, must be evaluated. To speed up the iterative procedure, a single variable search may be used to determine the step size for the change in the trial control.

Stopping Criterion. The iterative procedure is terminated when a criterion such as $\left|\partial \mathscr{H}^{(i)} / \partial \mathbf{u}\right|<\gamma_1$ or $\left|J^{(i)}-J^{(i+1)}\right|<\gamma_2$ is satisfied; $\gamma_1$ and $\gamma_2$ are preselected positive numbers.

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|A Continuous Stirred-Tank Chemical Reactor

例6.2-2。连续搅拌槽式化学反应器的状态方程如下[L-5]。冷却剂流经插入反应器内的线圈是为了控制发生在反应器内的一级不可逆放热反应。工厂的状态为$x_1(t)=T(t)$(偏离稳态温度)和$x_2(t)=C(t)$(偏离稳态浓度)。归一化控制变量$u(t)$表示冷却剂流量对化学反应的影响。状态方程是
$$
\begin{aligned}
\dot{x}_1(t)= & -2\left[x_1(t)+0.25\right]+\left[x_2(t)+0.5\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right] \
& -\left[x_1(t)+0.25\right] u(t) \
\dot{x}_2(t)= & 0.5-x_2(t)-\left[x_2(t)+0.5\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right]
\end{aligned}
$$
有初始条件$\mathbf{x}(0)=\left[\begin{array}{ll}0.05 & 0\end{array}\right]^T$。要最小化的性能度量是
$$
J=\int_0^{0.78}\left[x_1^2(t)+x_2^2(t)+R u^2(t)\right] d t,
$$
表明期望的目标是保持温度和浓度接近其稳态值，而不花费大量的控制努力。$R$是一个权重因子，我们将(任意)选择为0.1。协态方程由哈密顿函数决定，
$$
\begin{aligned}
\mathscr{H}(\mathbf{x}(t) & u(t), \mathbf{p}(t))=x_1^2(t)+x_2^2(t)+R u^2(t) \
& +p_1(t)\left[-2\left[x_1(t)+0.25\right]+\left[x_2(t)+0.5\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right]\right. \
& \left.-\left[x_1(t)+0.25\right] u(t)\right]+p_2(t)\left[0.5-x_2(t)\right. \
& \left.-\left[x_2(t)+0.5\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right]\right]
\end{aligned}
$$
as
$$
\begin{aligned}
\dot{p}_1(t)= & -\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_1}=-2 x_1(t)+2 p_1(t) \
& -p_1(t)\left[x_2(t)+0.5\right]\left[\frac{50}{\left[x_1(t)+2\right]^2}\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right] \
& +p_1(t) u(t)+p_2(t)\left[x_2(t)+0.5\right]\left[\frac{50}{\left[x_1(t)+2\right]^2}\right] \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right] \
\dot{p}_2(t)= & -\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_2}=-2 x_2(t)-p_1(t) \exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right] \
& +p_2(t)\left[1+\exp \left[\frac{25 x_1(t)}{x_1(t)+2}\right]\right] .
\end{aligned}
$$

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Features of the Steepest Descent Algorithm

为了结束对最陡下降法的讨论，让我们总结一下该算法的重要特征。

初步猜测。一个标称的控制历史，$\mathbf{u}^{(0)}(t), t \in\left[t_0, t_f\right]$，必须选择开始数值过程。在选择标称控制时，我们利用我们对问题的任何物理洞察力。

存储要求。存储当前试验控制$\mathbf{u}^{(i)}$，相应的状态轨迹$\mathbf{x}^{(i)}$和梯度历史$\partial \mathscr{H}^{(i)} / \partial \mathbf{u}$。如果必须保留存储空间，则可以通过将状态方程与协态方程重新积分来获得确定$\partial \mathscr{H}^{(t)} / \partial \mathbf{u}$所需的状态值。如果这样做$\mathbf{x}^{(t)}$不需要存储;但是，计算时间会增加。以这种方式生成所需的状态值可以使后向积分的结果更加准确，因为不需要使用$\mathbf{x}^{(l)}$的分段常数近似。

收敛。最陡下降法的一般特点是易于启动——对控制的初始猜测通常并不重要。另一方面，当逼近最小值时，梯度变小，该方法有收敛缓慢的趋势。

需要计算。在每次迭代中，需要对$2 n$一级常微分方程进行数值积分。此外，必须对$\partial \mathscr{H}^{(t)} / \partial \mathrm{u}$在$t_k, k=0,1, \ldots, N-1$时代的时间历史进行评估。为了加快迭代过程，可以使用单变量搜索来确定试验控制中变化的步长。

停止标准。当满足$\left|\partial \mathscr{H}^{(i)} / \partial \mathbf{u}\right|<\gamma_1$或$\left|J^{(i)}-J^{(i+1)}\right|<\gamma_2$等标准时，迭代过程终止;$\gamma_1$和$\gamma_2$是预选的正数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写最优化Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。最优化Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|MINIMUM CONTROL-EFFORT PROBLEMS

In the preceding section we considered problems in which the objective was to transfer a system from an arbitrary initial state to a specific target set as quickly as possible. Let us now consider problems in which control effort required, rather than elapsed time, is the criterion of optimality. Such problems arise frequently in aerospace applications, where often there are limited control resources available for achieving desired objectives.

The class of problems we will discuss is the following: Find a control $\mathbf{u}^*(t)$ satisfying constraints of the form
$$
M_{i_{-}} \leq u_i(t) \leq M_{i+}, \quad i=1,2, \ldots, m
$$
which transfers a system described by
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)
$$
from an arbitrary initial state $x_0$ to a specified target set $S(t)$ with a minimum expenditure of control effort.

As measures of control effort we shall consider the two performance indices
$$
J_1(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_s}\left[\sum_i^m \beta_i\left|u_i(t)\right|\right] d t
$$
and
$$
J_2(\mathbf{1})=\int_{t_0}^{t r}\left[\sum_{i=1}^m r_i u_i^2(t)\right] d t,
$$
where $\beta_i$ and $r_i, i=1, \ldots, m$, are nonnegative weighting factors. As discussed in Chapter 2 , the fuel consumed by a mass-expulsion thrusting system is often expressed by an integral of the form (5.5-3); thus, if a performance measure to be minimized has the form given by $J_1$, we shall refer to the problem as a minimum-fuel problem. The total electrical energy supplied to a network of resistors by several voltage and current sources is given by an integral of the form (5.5-4); hence, if a performance measure of this form is to be minimized, we shall say that we wish to solve a minimum-energy problem. The reader must be cautioned that in a particular problem (5.5-3) may not represent fuel expenditure, or control energy required may not be given by (5.5-4); therefore, the results obtained in this section will apply to the performance measure $J_1$ or $J_2$, not necessarily to the problems of minimizing fuel or energy consumption.

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Minimum-Fuel Problems

In our discussion of minimum-time problems in Section 5.4 the concept of reachable states was introduced. Recall that $R(t)$ was used to denote the set of states that can be reached at time $t$ by starting from an initial state $\mathbf{x}_0$ at time $t_0$. Minimum-fuel problems may also be visualized in terms of reachable states; that is, the minimum-fuel solution is given by the intersection of the target set $S(t)$ with the set of reachable states $R(t)$, which requires the smallest amount of consumed fuel. To represent this idea geometrically we could use a state-time-consumed-fuel coordinate system and determine the intersections (if any) of $S(t)$ and $R(t)$. Unfortunately, although such a geometric representation is helpful as a conceptual device, it is of limited value in actually obtaining solutions. Instead of pursuing this avenue further, we shall approach minimum control-effort problems by starting with the necessary conditions provided by Pontryagin’s minimum principle.

The Form of the Optimal Control for a Class of Minimum-Fuel Problems. Let us assume that the state equations of a system are of the form
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), t)+\mathbf{B}(\mathbf{x}(t), t) \mathbf{u}(t),
$$
where $\mathbf{B}$ is an $n \times m$ array that may be explicitly dependent on the states and time. The performance measure to be minimized is
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_t}\left[\sum_{i=1}^m\left|u_i(t)\right|\right] d t
$$
and the admissible controls are to satisfy the constraints
$$
-1 \leq u_i(t) \leq+1, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad t \in\left[t_0, t_f\right]
$$

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|MINIMUM CONTROL-EFFORT PROBLEMS

在前面的部分中，我们考虑了一些问题，其中的目标是将系统从任意初始状态转移到尽可能快的特定目标集。现在让我们考虑一些问题，其中所需的控制努力，而不是消耗的时间，是最优性的标准。这类问题在航空航天应用中经常出现，在这些应用中，用于实现预期目标的控制资源往往有限。

我们将要讨论的一类问题是:找到一个满足以下形式约束的控件$\mathbf{u}^*(t)$
$$
M_{i_{-}} \leq u_i(t) \leq M_{i+}, \quad i=1,2, \ldots, m
$$
哪个传输系统由
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)
$$
从任意的初始状态$x_0$到指定的目标集$S(t)$，花费最少的控制努力。

作为控制努力的度量，我们将考虑两个绩效指标
$$
J_1(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_s}\left[\sum_i^m \beta_i\left|u_i(t)\right|\right] d t
$$
和
$$
J_2(\mathbf{1})=\int_{t_0}^{t r}\left[\sum_{i=1}^m r_i u_i^2(t)\right] d t,
$$
其中$\beta_i$和$r_i, i=1, \ldots, m$为非负权重因子。如第2章所讨论的，一个大规模驱逐推力系统所消耗的燃料通常用(5.5-3)式的积分表示;因此，如果要最小化的性能度量具有$J_1$给出的形式，我们将把该问题称为最小燃料问题。若干电压和电流源提供给电阻器网络的总电能由(5.5-4)式的积分给出;因此，如果要使这种形式的性能度量最小化，我们就可以说我们希望解决最小能量问题。读者必须注意，在一个特定的问题(5.5-3)可能不代表燃料消耗，或控制所需的能量可能不会给出(5.5-4);因此，本节中获得的结果将适用于性能度量$J_1$或$J_2$，而不一定适用于最小化燃料或能源消耗的问题。

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Minimum-Fuel Problems

在第5.4节讨论最小时间问题时，引入了可达状态的概念。回想一下，$R(t)$是用来表示在时间$t$时可以从时间$t_0$的初始状态$\mathbf{x}_0$开始到达的一组状态。最小燃料问题也可以用可达状态来可视化;也就是说，最小燃料解由目标集$S(t)$与可达状态集$R(t)$的交集给出，这需要消耗最少的燃料。为了从几何上表示这个想法，我们可以使用状态-时间-燃料坐标系并确定$S(t)$和$R(t)$的交点(如果有的话)。不幸的是，尽管这种几何表示作为一种概念手段是有帮助的，但它在实际求解中价值有限。我们将从庞特里亚金最小原理所提供的必要条件入手，来探讨最小控制努力问题，而不是进一步探讨这条道路。

一类最小燃料问题的最优控制形式。我们假设一个系统的状态方程是这样的
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), t)+\mathbf{B}(\mathbf{x}(t), t) \mathbf{u}(t),
$$
其中$\mathbf{B}$是一个$n \times m$数组，可以显式地依赖于状态和时间。要最小化的性能度量是
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_t}\left[\sum_{i=1}^m\left|u_i(t)\right|\right] d t
$$
允许的控制是满足约束条件
$$
-1 \leq u_i(t) \leq+1, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad t \in\left[t_0, t_f\right]
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|LINEAR REGULATOR PROBLEMS

In this section we shall consider an important class of optimal control problems – linear regulator systems. We shall show that for linear regulator problems the optimal control law can be found as a linear time-varying function of the system states. Under certain conditions, which we shall discuss, the optimal control law becomes time-invariant. The results presented here are primarily due to $R$. E. Kalman. $\dagger$
The plant is described by the linear state equations
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
$$
which may have time-varying coefficients. The performance measure to be minimized is
$$
J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T\left(t_f\right) \mathbf{H} \mathbf{x}\left(t_f\right)+\frac{1}{2} \int_{t_0}^{t f}\left[\mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)\right] d t
$$
the final time $t_f$ is fixed, $\mathbf{H}$ and $\mathbf{Q}$ are real symmetric positive semi-definite matrices, and $\mathbf{R}$ is a real symmetric positive definite matrix. It is assumed that the states and controls are not bounded, and $\mathbf{x}\left(t_f\right)$ is free. We attach the following physical interpretation to this performance measure: It is desired to maintain the state vector close to the origin without an excessive expenditure of control effort.

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Linear Tracking Problems

Next, let us generalize the results obtained for the linear regulator problem to the tracking problem; that is, the desired value of the state vector is not the origin.
The state equations are
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t),
$$
and the performance measure to be minimized is
$$
\begin{aligned}
J= & \frac{1}{2}\left[\mathbf{x}\left(t_f\right)-\mathbf{r}\left(t_f\right)\right]^T \mathbf{H}\left[\mathbf{x}\left(t_f\right)-\mathbf{r}\left(t_f\right)\right]+\frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f}\left{[\mathbf{x}(t)-\mathbf{r}(t)]^T \mathbf{Q}(t)[\mathbf{x}(t)-\mathbf{r}(t)]\right. \
& \left.+\mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)\right} d t \
\triangleq & \frac{1}{2}\left|\mathbf{x}\left(t_f\right)-\mathbf{r}\left(t_f\right)\right|_{\mathbf{H}}^2+\frac{1}{2} \int_{t_0}^{t f}\left{|\mathbf{x}(t)-\mathbf{r}(t)|_{\mathbf{Q}^2(t)}^2+|\mathbf{u}(t)|_{\mathbf{R}(t)}^2\right} d t, \quad \text { (5.2-29) }
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{r}(t)$ is the desired or reference value of the state vector. The final time $t_f$ is fixed, $\mathbf{x}\left(t_f\right)$ is free, and the states and controls are not bounded. $\mathbf{H}$ and $\mathbf{Q}$ are real symmetric positive semi-definite matrices, and $\mathbf{R}$ is real symmetric and positive definite.
The Hamiltonian is given by
$$
\begin{aligned}
\mathscr{H}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), \mathbf{p}(t), t)= & \frac{1}{2}|\mathbf{x}(t)-\mathbf{r}(t)|_{\mathbf{Q}(t)}^2+\frac{1}{2}|\mathbf{u}(t)|_{\mathbb{R}(t)}^2 \
& +\mathbf{p}^T(t) \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{p}^T(t) \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t) .
\end{aligned}
$$

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|LINEAR REGULATOR PROBLEMS

在本节中，我们将考虑一类重要的最优控制问题——线性调节器系统。我们将证明，对于线性调节器问题，最优控制律可以作为系统状态的线性时变函数。在某些条件下，我们将讨论，最优控制律是时不变的。这里给出的结果主要是由于$R$。E.卡尔曼。$\dagger$
该对象用线性状态方程来描述
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
$$
它可能有时变系数。要最小化的性能度量是
$$
J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T\left(t_f\right) \mathbf{H} \mathbf{x}\left(t_f\right)+\frac{1}{2} \int_{t_0}^{t f}\left[\mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)\right] d t
$$
最终时间$t_f$是固定的，$\mathbf{H}$和$\mathbf{Q}$是实对称正半定矩阵，$\mathbf{R}$是实对称正定矩阵。这里假定状态和控件是无界的，并且$\mathbf{x}\left(t_f\right)$是自由的。我们将以下物理解释附加到此性能度量:希望保持状态向量接近原点，而不需要过多的控制努力。

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Linear Tracking Problems

接下来，让我们将线性调节器问题的结果推广到跟踪问题;也就是说，状态向量的期望值不是原点。
状态方程是
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t),
$$
要最小化的性能指标是
$$
\begin{aligned}
J= & \frac{1}{2}\left[\mathbf{x}\left(t_f\right)-\mathbf{r}\left(t_f\right)\right]^T \mathbf{H}\left[\mathbf{x}\left(t_f\right)-\mathbf{r}\left(t_f\right)\right]+\frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f}\left{[\mathbf{x}(t)-\mathbf{r}(t)]^T \mathbf{Q}(t)[\mathbf{x}(t)-\mathbf{r}(t)]\right. \
& \left.+\mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)\right} d t \
\triangleq & \frac{1}{2}\left|\mathbf{x}\left(t_f\right)-\mathbf{r}\left(t_f\right)\right|{\mathbf{H}}^2+\frac{1}{2} \int{t_0}^{t f}\left{|\mathbf{x}(t)-\mathbf{r}(t)|{\mathbf{Q}^2(t)}^2+|\mathbf{u}(t)|{\mathbf{R}(t)}^2\right} d t, \quad \text { (5.2-29) }
\end{aligned}
$$
其中$\mathbf{r}(t)$是状态向量的期望值或参考值。最终时间$t_f$是固定的，$\mathbf{x}\left(t_f\right)$是自由的，状态和控件是没有边界的。$\mathbf{H}$和$\mathbf{Q}$是实对称正半定矩阵，$\mathbf{R}$是实对称正定矩阵。
哈密顿函数由
$$
\begin{aligned}
\mathscr{H}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), \mathbf{p}(t), t)= & \frac{1}{2}|\mathbf{x}(t)-\mathbf{r}(t)|{\mathbf{Q}(t)}^2+\frac{1}{2}|\mathbf{u}(t)|{\mathbb{R}(t)}^2 \
& +\mathbf{p}^T(t) \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{p}^T(t) \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t) .
\end{aligned}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写最优化Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。最优化Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Maxima and Minima of Functionals

Let us now review the definition of an extreme value of a function.

A function $f$ with domain $\mathscr{D}$ has a relative extremum at the point $\mathbf{q}^$ if there is an $\epsilon>0$ such that for all points $q$ in $\mathscr{D}$ that satisfy $\left|\mathbf{q}-\mathbf{q}^\right|<\epsilon$ the increment of $f$ has the same sign. If
$$
\Delta f=f(\mathbf{q})-f\left(\mathbf{q}^\right) \geq 0 $$ $f\left(\mathbf{q}^\right)$ is a relative minimum; if
$$
\Delta f=f(\mathbf{q})-f\left(\mathbf{q}^\right) \leq 0 $$ $f\left(\mathbf{q}^\right)$ is a relative maximum.
If (4.1-45) is satisfied for arbitrarily large $\epsilon$, then $f\left(\mathbf{q}^\right)$ is a global, or absolute, minimum. Similarly, if (4.1-46) holds for arbitrarily large $\epsilon$, then $f\left(\mathbf{q}^\right)$ is a global, or absolute, maximum.

Recall the procedure for locating extrema of functions. Generally, one attempts to find points where the differential vanishes-a necessary condition for an extremum at an interior point of $\mathscr{D}$. Assuming that there are such points and that they can be determined, then one can examine the behavior of the function in the vicinity of these points.

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|The Fundamental Theorem of the Calculus of Variations

The fundamental theorem used in finding extreme values of functions is the necessary condition that the differential vanish at an extreme point (except extrema at the boundaries of closed regions). In variational problems, the analogous theorem is that the variation must be zero on an extremal curve, provided that there are no bounds imposed on the curves. We next state this theorem and give the proof.

Let $\mathrm{x}$ be a vector function of $t$ in the class $\Omega$, and $J(x)$ be a differentiable functional of $\mathbf{x}$. Assume that the functions in $\Omega$ are not constrained by any boundaries.
The fundamental theorem of the calculus of variations is
If $\mathbf{x}^$ is an extremal, the variation of $J$ must vanish on $\mathbf{x}^$; that is,
$$
\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right)=0 \text { for all admissible } \delta \mathbf{x} . \dagger $$ Proof by contradiction: Assume that $\mathbf{x}^$ is an extremal and that $\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \neq 0$. Let us show that these assumptions imply that the increment $\Delta J$ can be made to change sign in an arbitrarily small neighborhood of $\mathbf{x}^$.
The increment is
$$
\begin{aligned}
\Delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) & =J\left(\mathbf{x}^+\delta \mathbf{x}\right)-J\left(\mathbf{x}^\right) \ & =\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right)+g\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \cdot|\delta \mathbf{x}|, \end{aligned} $$ where $g\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \rightarrow 0$ as $|\delta \mathbf{x}| \rightarrow 0$; thus, there is a neighborhood, $|\delta \mathbf{x}|<\epsilon$, where $g\left(\mathbf{x}^*, \delta \mathbf{x}\right) \cdot|\delta \mathbf{x}|$ is small enough so that $\delta J$ dominates the expression for $\Delta J$.

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Maxima and Minima of Functionals

现在让我们复习一下函数极值的定义。

域为$\mathscr{D}$的函数$f$在点$\mathbf{q}^$处有一个相对极值，如果存在一个$\epsilon>0$，使得对于$\mathscr{D}$中满足$\left|\mathbf{q}-\mathbf{q}^\right|<\epsilon$的所有点$q$, $f$的增量具有相同的符号。如果
$$
\Delta f=f(\mathbf{q})-f\left(\mathbf{q}^\right) \geq 0 $$$f\left(\mathbf{q}^\right)$是相对最小值;如果
$$
\Delta f=f(\mathbf{q})-f\left(\mathbf{q}^\right) \leq 0 $$$f\left(\mathbf{q}^\right)$是相对最大值。
如果(4.1-45)满足任意大的$\epsilon$，那么$f\left(\mathbf{q}^\right)$是一个全局的或绝对的最小值。类似地，如果(4.1-46)适用于任意大的$\epsilon$，则$f\left(\mathbf{q}^\right)$是全局最大值或绝对最大值。

回想一下求函数极值的过程。一般来说，人们试图找到微分消失的点——这是在$\mathscr{D}$的内部点处求极值的必要条件。假设存在这样的点，并且它们是可以确定的，那么我们就可以研究函数在这些点附近的行为。

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|The Fundamental Theorem of the Calculus of Variations

求函数极值的基本定理是微分在极值处消失的必要条件(封闭区域边界处的极值除外)。在变分问题中，类似的定理是，如果在曲线上没有边界，则在极值曲线上的变分必须为零。接下来我们陈述这个定理并给出证明。

设$\mathrm{x}$是$\Omega$类中$t$的向量函数，$J(x)$是$\mathbf{x}$的可微函数。假设$\Omega$中的函数不受任何边界的约束。
变分学的基本定理是
如果$\mathbf{x}^$是一个极值，那么$J$的变化一定会在$\mathbf{x}^$上消失;也就是说，
$$
\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right)=0 \text { for all admissible } \delta \mathbf{x} . \dagger $$反证法:假设$\mathbf{x}^$是一个极值，$\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \neq 0$。让我们来证明，这些假设意味着，增量$\Delta J$可以在$\mathbf{x}^$的任意小邻域内改变符号。
增量是
$$
\begin{aligned}
\Delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) & =J\left(\mathbf{x}^+\delta \mathbf{x}\right)-J\left(\mathbf{x}^\right) \ & =\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right)+g\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \cdot|\delta \mathbf{x}|, \end{aligned} $$，其中$g\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \rightarrow 0$表示$|\delta \mathbf{x}| \rightarrow 0$;因此，存在一个邻域$|\delta \mathbf{x}|<\epsilon$，其中$g\left(\mathbf{x}^*, \delta \mathbf{x}\right) \cdot|\delta \mathbf{x}|$足够小，因此$\delta J$支配了$\Delta J$的表达式。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Minimum-Time Control of Time-Invariant Linear Systems

Armed with our knowledge about the form of time-optimal controls, for the remainder of this section we shall consider the following important class of problems: A linear, stationary system of order $n$ having $m$ controls is described by the state equation
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A} \mathbf{x}(t)+\mathbf{B u}(t)
$$

where $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ are constant $n \times n$ and $n \times m$ matrices, respectively. The components of the control vector are constrained by
$$
\left|u_i(t)\right| \leq 1, \quad i=1,2, \ldots, m
$$
Assuming that the system is completely controllable and normal (no singular intervals exist), find a control, if one exists, which transfers the system from an arbitrary initial state $\mathbf{x}_0$ at time $t=0$ to the final state $\mathbf{x}\left(t_f\right)=\mathbf{0}$ in minimum time. We shall refer to this problem as the stationary, linear regulator, minimum-time problem.

From Eq. (5.4-20) we know that the optimal control, if it exists, is bangbang. Let us now state without proof some important theorems due to Pontryagin et al. [P-1] which apply to stationary, linear regulator, minimumtime problems.
THEOREM 5.4-1 (EXISTENCE)
If all of the eigenvalues of $\mathbf{A}$ have nonpositive real parts, then an optimal control exists that transfers any initial state $\mathbf{x}_0$ to the origin.
THEOREM 5.4-2 (UNIQUENESS)
If an extremal control exists, then it is unique. $\dagger$

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|MINIMUM CONTROL-EFFORT PROBLEMS

In the preceding section we considered problems in which the objective was to transfer a system from an arbitrary initial state to a specific target set as quickly as possible. Let us now consider problems in which control effort required, rather than elapsed time, is the criterion of optimality. Such problems arise frequently in aerospace applications, where often there are limited control resources available for achieving desired objectives.

The class of problems we will discuss is the following: Find a control $\mathbf{u}^*(t)$ satisfying constraints of the form
$$
M_{i-} \leq u_i(t) \leq M_{i+}, \quad i=1,2, \ldots, m
$$
which transfers a system described by
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)
$$
from an arbitrary initial state $\mathbf{x}_0$ to a specified target set $S(t)$ with a minimum expenditure of control effort.

As measures of control effort we shall consider the two performance indices
$$
J_1(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t s}\left[\sum_i^m \beta_i\left|u_i(t)\right|\right] d t
$$
and
$$
J_2(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t t}\left[\sum_{i=1}^m r_i u_i^2(t)\right] d t,
$$

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Minimum-Time Control of Time-Invariant Linear Systems

有了关于时间最优控制形式的知识，在本节的剩余部分，我们将考虑以下重要的一类问题:一个阶为$n$的线性平稳系统，具有$m$控制，由状态方程描述
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A} \mathbf{x}(t)+\mathbf{B u}(t)
$$

其中$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$分别是常数$n \times n$和$n \times m$矩阵。控制向量的分量由
$$
\left|u_i(t)\right| \leq 1, \quad i=1,2, \ldots, m
$$
假设系统是完全可控和正常的(不存在奇异区间)，找到一个控制，如果存在的话，它可以在最小时间内将系统从任意初始状态$\mathbf{x}_0$在时间$t=0$转移到最终状态$\mathbf{x}\left(t_f\right)=\mathbf{0}$。我们把这个问题称为平稳线性调节器最小时间问题。

从Eq.(5.4-20)可知，最优控制(如果存在)是bangbang。现在我们不需要证明地陈述由Pontryagin等人[P-1]得出的一些重要定理，这些定理适用于平稳、线性调节器、最小时间问题。
定理5.4-1(存在性)
如果$\mathbf{A}$的所有特征值都有非正实部，则存在将任意初始状态$\mathbf{x}_0$转移到原点的最优控制。
定理5.4-2(唯一性)
如果存在极端控制，那么它就是唯一的。 $\dagger$

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|MINIMUM CONTROL-EFFORT PROBLEMS

在前面的部分中，我们考虑了一些问题，其中的目标是将系统从任意初始状态转移到尽可能快的特定目标集。现在让我们考虑一些问题，其中所需的控制努力，而不是消耗的时间，是最优性的标准。这类问题在航空航天应用中经常出现，在这些应用中，用于实现预期目标的控制资源往往有限。

我们将要讨论的一类问题是:找到一个满足以下形式约束的控件$\mathbf{u}^*(t)$
$$
M_{i-} \leq u_i(t) \leq M_{i+}, \quad i=1,2, \ldots, m
$$
哪个传输系统由
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)
$$
从任意的初始状态$\mathbf{x}_0$到指定的目标集$S(t)$，花费最少的控制努力。

作为控制努力的度量，我们将考虑两个绩效指标
$$
J_1(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t s}\left[\sum_i^m \beta_i\left|u_i(t)\right|\right] d t
$$
和
$$
J_2(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t t}\left[\sum_{i=1}^m r_i u_i^2(t)\right] d t,
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写最优化Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。最优化Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|NECESSARY CONDITIONS FOR OPTIMAL CONTROL

Let us now employ the techniques introduced in Chapter 4 to determine necessary conditions for optimal control. As stated in Chapter 1, the problem is to find an admissible control $\mathbf{u}^$ that causes the system $$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) $$ to follow an admissible trajectory $\mathbf{x}^$ that minimizes the performance measure
$$
J(\mathbf{u})=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)+\int_{t_0}^{t_s} g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) d t
$$
We shall initially assume that the admissible state and control regions are not bounded, and that the initial conditions $\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$ and the initial time $t_0$ are specified. As usual, $\mathbf{x}$ is the $n \times 1$ state vector and $\mathbf{u}$ is the $m \times 1$ vector of control inputs.

In the terminology of Chapter 4 , we have a problem involving $n+m$ functions which must satisfy the $n$ differential equation constraints (5.1-1). The $m$ control inputs are the independent functions.

The only difference between Eq. (5.1-2) and the functionals considered in Chapter 4 is the term involving the final states and final time. However, assuming that $h$ is a differentiable function, we can write
$$
h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)=\int_{t_0}^{t_s} \frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)] d t+h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right),
$$
so that the performance measure can be expressed as
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t s}\left{g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)+\frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)]\right} d t+h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)
$$
Since $\mathbf{x}\left(t_0\right)$ and $t_0$ are fixed, the minimization does not affect the $h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)$ term, so we need consider only the functional
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_s}\left{g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)+\frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)]\right} d t .
$$

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Boundary Conditions

In a particular problem either $g$ or $h$ may be missing; in this case, we simply strike out the terms involving the missing function. To determine the boundary conditions is a matter of making the appropriate substitutions in Eq. (5.1-18). In all cases it will be assumed that we have the $n$ equations $\mathbf{x}^*\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$.

Problems with Fixed Final Time. If the final time $t_f$ is specified, $\mathbf{x}\left(t_f\right)$ may be specified, free, or required to lie on some surface in the state space.

CASE I. Final state specified. Since $\mathbf{x}\left(t_f\right)$ and $t_f$ are specified, we substitute $\delta \mathbf{x}_f=0$ and $\delta t_f=0$ in (5.1-18). The required $n$ equations are
$$
\mathbf{x}^\left(t_f\right)=\mathbf{x}_f $$ CASE II. Final state free. We substitute $\delta t_f=0$ in Eq. (5.1-18); since $\delta \mathbf{x}_f$ is arbitrary, the $n$ equations $$ \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}}\left(\mathbf{x}^\left(t_f\right)\right)-\mathbf{p}^*\left(t_f\right)=0 \dagger
$$
must be satisfied.

CASE III. Final state lying on the surface defined by $\mathbf{m}(\mathbf{x}(t))=\mathbf{0}$. Since this is a new situation, let us consider an introductory example. Suppose that the final state of a second-order system is required to lie on the circle
$$
m(\mathbf{x}(t))=\left[x_1(t)-3\right]^2+\left[x_2(t)-4\right]^2-4=0
$$
shown in Fig. 5-1. Notice that admissible changes in $\mathbf{x}\left(t_f\right)$ are (to first-order) tangent to the circle at the point $\left(x^\left(t_f\right), t_f\right)$. The tangent line is normal to the gradient vector $$ \frac{\partial m}{\partial \mathbf{x}}\left(\mathbf{x}^\left(t_f\right)\right)=\left[\begin{array}{l}
2\left[x_1^\left(t_f\right)-3\right] \ 2\left[x_2^\left(t_f\right)-4\right]
\end{array}\right]
$$
at the point ( $\left.\mathbf{x}^\left(t_f\right), t_f\right)$. Thus, $\delta \mathbf{x}\left(t_f\right)$ must be normal to the gradient (5.1-22), so that $$ \left[\frac{\partial m}{\partial \mathbf{x}}\left(\mathbf{x}^\left(t_f\right)\right)\right]^T \delta \mathbf{x}\left(t_f\right)=2\left[x_1^\left(t_f\right)-3\right] \delta x_1\left(t_f\right)+2\left[x_2^\left(t_f\right)-4\right] \delta x_2\left(t_f\right)=0 .
$$

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|NECESSARY CONDITIONS FOR OPTIMAL CONTROL

现在让我们利用第4章介绍的技术来确定最优控制的必要条件。如第1章所述，问题是找到一个允许的控制$\mathbf{u}^$，使系统$$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) $$遵循一个允许的轨迹$\mathbf{x}^$，使性能度量最小化
$$
J(\mathbf{u})=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)+\int_{t_0}^{t_s} g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) d t
$$
我们首先假定容许状态和控制区域是无界的，并且确定了初始条件$\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$和初始时间$t_0$。像往常一样，$\mathbf{x}$是$n \times 1$状态向量，$\mathbf{u}$是控制输入的$m \times 1$向量。

在第4章的术语中，我们有一个涉及$n+m$函数的问题，它必须满足$n$微分方程约束(5.1-1)。$m$控制输入是独立的函数。

Eq.(5.1-2)和第4章中考虑的泛函之间的唯一区别是涉及最终状态和最终时间的术语。然而，假设$h$是一个可微函数，我们可以写
$$
h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)=\int_{t_0}^{t_s} \frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)] d t+h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right),
$$
因此，性能度量可以表示为
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t s}\left{g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)+\frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)]\right} d t+h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)
$$
由于$\mathbf{x}\left(t_0\right)$和$t_0$是固定的，因此最小化不会影响$h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)$项，因此我们只需要考虑函数
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_s}\left{g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)+\frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)]\right} d t .
$$

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Boundary Conditions

在一个特定的问题中，可能缺少$g$或$h$;在这种情况下，我们只需去掉与缺失的函数相关的项。要确定边界条件，只需在式(5.1-18)中进行适当的替换即可。在所有情况下都假设我们有$n$方程$\mathbf{x}^*\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$。

固定最后时间的问题。如果指定了最终时间$t_f$，则$\mathbf{x}\left(t_f\right)$可能是指定的、空闲的，或者需要位于状态空间中的某个表面上。

案例1 .指定的最终状态。由于指定了$\mathbf{x}\left(t_f\right)$和$t_f$，我们在(5.1-18)中替换$\delta \mathbf{x}_f=0$和$\delta t_f=0$。所需的$n$方程为
$$
\mathbf{x}^\left(t_f\right)=\mathbf{x}_f $$案例二。最终状态自由。我们将$\delta t_f=0$代入式(5.1-18);因为$\delta \mathbf{x}_f$是任意的，所以$n$等于$$ \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}}\left(\mathbf{x}^\left(t_f\right)\right)-\mathbf{p}^*\left(t_f\right)=0 \dagger
$$
一定很满意。

案例三。位于$\mathbf{m}(\mathbf{x}(t))=\mathbf{0}$定义的表面上的最终状态。由于这是一种新情况，让我们考虑一个介绍性示例。假设一个二阶系统的最终状态必须在圆上
$$
m(\mathbf{x}(t))=\left[x_1(t)-3\right]^2+\left[x_2(t)-4\right]^2-4=0
$$
如图5-1所示。请注意，$\mathbf{x}\left(t_f\right)$中允许的变化(到一阶)在$\left(x^\left(t_f\right), t_f\right)$点与圆相切。切线垂直于梯度向量$$ \frac{\partial m}{\partial \mathbf{x}}\left(\mathbf{x}^\left(t_f\right)\right)=\left[\begin{array}{l}
2\left[x_1^\left(t_f\right)-3\right] \ 2\left[x_2^\left(t_f\right)-4\right]
\end{array}\right]
$$
在这一点上($\left.\mathbf{x}^\left(t_f\right), t_f\right)$。因此，$\delta \mathbf{x}\left(t_f\right)$必须垂直于梯度(5.1-22)，因此 $$ \left[\frac{\partial m}{\partial \mathbf{x}}\left(\mathbf{x}^\left(t_f\right)\right)\right]^T \delta \mathbf{x}\left(t_f\right)=2\left[x_1^\left(t_f\right)-3\right] \delta x_1\left(t_f\right)+2\left[x_2^\left(t_f\right)-4\right] \delta x_2\left(t_f\right)=0 .
$$

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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Maxima and Minima of Functionals

Let us now review the definition of an extreme value of a function.

A function $f$ with domain $\mathscr{D}$ has a relative extremum at the point $\mathbf{q}^$ if there is an $\epsilon>0$ such that for all points $q$ in $\mathscr{D}$ that satisfy $\left|\mathbf{q}-\mathbf{q}^\right|<\epsilon$ the increment of $f$ has the same sign. If
$$
\Delta f=f(\mathbf{q})-f\left(\mathbf{q}^\right) \geq 0 $$ $f\left(\mathbf{q}^\right)$ is a relative minimum; if
$$
\Delta f=f(q)-f\left(\mathbf{q}^\right) \leq 0 $$ $f\left(\mathbf{q}^\right)$ is a relative maximum.
If (4.1-45) is satisfied for arbitrarily large $\epsilon$, then $f\left(\mathbf{q}^\right)$ is a global, or absolute, minimum. Similarly, if (4.1-46) holds for arbitrarily large $\epsilon$, then $f\left(\mathbf{q}^\right)$ is a global, or absolute, maximum.

Recall the procedure for locating extrema of functions. Generally, one attempts to find points where the differential vanishes-a necessary condition for an extremum at an interior point of $\mathscr{D}$. Assuming that there are such points and that they can be determined, then one can examine the behavior of the function in the vicinity of these points.

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|The Fundamental Theorem of the Calculus of Variations

The fundamental theorem used in finding extreme values of functions is the necessary condition that the differential vanish at an extreme point (except extrema at the boundaries of closed regions). In variational problems, the analogous theorem is that the variation must be zero on an extremal curve, provided that there are no bounds imposed on the curves. We next state this theorem and give the proof.

Let $\mathrm{x}$ be a vector function of $t$ in the class $\Omega$, and $J(\mathbf{x})$ be a differentiable functional of $\mathbf{x}$. Assume that the functions in $\Omega$ are not constrained by any boundaries.
The fundamental theorem of the calculus of variations is
If $\mathbf{x}^$ is an extremal, the variation of $J$ must vanish on $\mathbf{x}^$; that is,
$$
\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right)=0 \text { for all admissible } \delta \mathbf{x} . \dagger $$ Proof by contradiction: Assume that $\mathbf{x}^$ is an extremal and that $\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \neq 0$. Let us show that these assumptions imply that the increment $\Delta J$ can be made to change sign in an arbitrarily small neighborhood of $\mathbf{x}^$.
The increment is
$$
\begin{aligned}
\Delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) & =J\left(\mathbf{x}^+\delta \mathbf{x}\right)-J\left(\mathbf{x}^\right) \ & =\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right)+g\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \cdot|\delta \mathbf{x}|, \end{aligned} $$ where $g\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \rightarrow 0$ as $|\delta \mathbf{x}| \rightarrow 0$; thus, there is a neighborhood, $|\delta \mathbf{x}|<\epsilon$, where $g\left(\mathbf{x}^*, \delta \mathbf{x}\right) \cdot|\delta \mathbf{x}|$ is small enough so that $\delta J$ dominates the expression for $\Delta J$.

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Maxima and Minima of Functionals

现在让我们复习一下函数极值的定义。

域为$\mathscr{D}$的函数$f$在点$\mathbf{q}^$处有一个相对极值，如果存在一个$\epsilon>0$，使得对于$\mathscr{D}$中满足$\left|\mathbf{q}-\mathbf{q}^\right|<\epsilon$的所有点$q$, $f$的增量具有相同的符号。如果
$$
\Delta f=f(\mathbf{q})-f\left(\mathbf{q}^\right) \geq 0 $$$f\left(\mathbf{q}^\right)$是相对最小值;如果
$$
\Delta f=f(q)-f\left(\mathbf{q}^\right) \leq 0 $$$f\left(\mathbf{q}^\right)$是相对最大值。
如果(4.1-45)满足任意大的$\epsilon$，那么$f\left(\mathbf{q}^\right)$是一个全局的或绝对的最小值。类似地，如果(4.1-46)适用于任意大的$\epsilon$，则$f\left(\mathbf{q}^\right)$是全局最大值或绝对最大值。

回想一下求函数极值的过程。一般来说，人们试图找到微分消失的点——这是在$\mathscr{D}$的内部点处求极值的必要条件。假设存在这样的点，并且它们是可以确定的，那么我们就可以研究函数在这些点附近的行为。

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|The Fundamental Theorem of the Calculus of Variations

求函数极值的基本定理是微分在极值处消失的必要条件(封闭区域边界处的极值除外)。在变分问题中，类似的定理是，如果在曲线上没有边界，则在极值曲线上的变分必须为零。接下来我们陈述这个定理并给出证明。

设$\mathrm{x}$是$\Omega$类中$t$的向量函数，$J(\mathbf{x})$是$\mathbf{x}$的可微函数。假设$\Omega$中的函数不受任何边界的约束。
变分学的基本定理是
如果$\mathbf{x}^$是一个极值，那么$J$的变化一定会在$\mathbf{x}^$上消失;也就是说，
$$
\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right)=0 \text { for all admissible } \delta \mathbf{x} . \dagger $$反证法:假设$\mathbf{x}^$是一个极值，$\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \neq 0$。让我们来证明，这些假设意味着，增量$\Delta J$可以在$\mathbf{x}^$的任意小邻域内改变符号。
增量是
$$
\begin{aligned}
\Delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) & =J\left(\mathbf{x}^+\delta \mathbf{x}\right)-J\left(\mathbf{x}^\right) \ & =\delta J\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right)+g\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \cdot|\delta \mathbf{x}|, \end{aligned} $$，其中$g\left(\mathbf{x}^, \delta \mathbf{x}\right) \rightarrow 0$表示$|\delta \mathbf{x}| \rightarrow 0$;因此，存在一个邻域$|\delta \mathbf{x}|<\epsilon$，其中$g\left(\mathbf{x}^*, \delta \mathbf{x}\right) \cdot|\delta \mathbf{x}|$足够小，因此$\delta J$支配了$\Delta J$的表达式。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|CHARACTERISTICS OF DYNAMIC PROGRAMMING SOLUTION

In Section 3.8 we formalized the algorithm for computing the optimal control law from the functional equation
$$
\begin{aligned}
J_{N-K, N}^(\mathbf{x}(N-K))= & \min {\mathbf{u}(N-K)}\left{g_D(\mathbf{x}(N-K), \mathbf{u}(N-K))\right. \ & \left.+J{N-(K-1), N}^\left(\mathbf{a}_D(\mathbf{x}(N-K), \mathbf{u}(N-K))\right)\right}
\end{aligned}
$$
Let us now summarize the important characteristics of the computational procedure and the solution it provides.
Absolute Minimum
Since a direct search is used to solve the functional recurrence equation (3.8-3), the solution obtained is the absolute (or global) minimum. Dynamic programming makes the direct search feasible because instead of searching among the set of all admissible controls that cause admissible trajectories, we consider only those controls that satisfy an additional necessary condition-the principle of optimality. This concept is illustrated in Fig. 3-7. $S_1$ is the set of all controls; $S_2$ is the set of admissible controls; $S_3$ is the set of controls that yield admissible state trajectories; $S_4$ is the set of controls that satisfy the principle of optimality. Without the principle of optimality we would search in the intersection of sets $S_2$ and $S_3$. t The dynamic programming algorithm, however, searches only in the shaded region-the intersection of $S_2, S_3$, and $S_4\left(S_2 \cap S_3 \cap S_4\right)$.

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Form of the Optimal Control

Dynamic programming yields the optimal control in closed-loop or feedback form-for every state value in the admissible region we know what the optimal control is. However, although $\mathbf{u}^*$ is obtained in the form

$$
\mathbf{u}^*(t)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), t),
$$
unfortunately the computational procedure does not yield a nice analytical expression for $f$. It may be possible to approximate $f$ in some fashion, but if this cannot be done, the optimal control law must be implemented by extracting the control values from a storage device that contains the solution of Eq. (3.8-3) in tabular form.
A Comparison of Dynamic Programming and Direct Enumeration
Dynamic programming uses the principle of optimality to reduce dramatically the number of calculations required to determine the optimal control law. In order to appreciate more fully the importance of the principle of optimality, let us compare the dynamic programming algorithm with direct enumeration of all possible control sequences.

Consider a first-order control process with one control input. Assume that the admissible state values are quantized into 10 levels, and the admissible control values into four levels. In direct enumeration we try all of the four control values at each of the 10 initial state values for one time increment $\Delta t$. In general, this will allow $x(\Delta t)$ to assume any of 40 admissible state values. Assuming that all of these state values are admissible, we apply all four control values at each of the 40 state values and determine the resulting values of $x(2 \Delta t)$. This procedure continues for the appropriate number of stages. In dynamic programming, at every stage we try four control values at each of 10 state values. Table 3-5 shows a comparison of the number of calculations required by the two methods. The table also includes the number of calculations required for direct enumeration if it is assumed that at the end of each stage only half of the state values are distinct and admissible. The important point is that the number of calculations required by direct enumeration increases exponentially with the number of stages, while the computational requirements of dynamic programming increase linearly.

最优化理论代写

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|CHARACTERISTICS OF DYNAMIC PROGRAMMING SOLUTION

在3.8节中，我们形式化了从函数方程计算最优控制律的算法
$$
\begin{aligned}
J_{N-K, N}^(\mathbf{x}(N-K))= & \min {\mathbf{u}(N-K)}\left{g_D(\mathbf{x}(N-K), \mathbf{u}(N-K))\right. \ & \left.+J{N-(K-1), N}^\left(\mathbf{a}_D(\mathbf{x}(N-K), \mathbf{u}(N-K))\right)\right}
\end{aligned}
$$
现在让我们总结一下计算过程的重要特征及其提供的解决方案。
绝对最小值
由于使用直接搜索来求解泛函递归方程(3.8-3)，因此得到的解是绝对(或全局)最小值。动态规划使直接搜索变得可行，因为我们只考虑那些满足附加必要条件的控制，而不是在所有导致可接受轨迹的可接受控制的集合中搜索。这个概念如图3-7所示。$S_1$是所有控件的集合;$S_2$是一组可接受的控制;$S_3$是产生可接受状态轨迹的一组控制;$S_4$是满足最优性原则的一组控件。如果没有最优性原则，我们将在集合$S_2$和$S_3$的交集中搜索。然而，动态规划算法只搜索阴影区域——$S_2, S_3$和$S_4\left(S_2 \cap S_3 \cap S_4\right)$的交集。

数学代写|最优化理论作业代写optimization theory代考|Form of the Optimal Control

动态规划产生闭环或反馈形式的最优控制——对于允许区域内的每个状态值，我们知道什么是最优控制。然而，虽然$\mathbf{u}^*$是以

$$
\mathbf{u}^*(t)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), t),
$$
不幸的是，计算过程不能为$f$提供一个很好的解析表达式。以某种方式近似$f$是可能的，但如果不能这样做，则必须通过从包含公式(3.8-3)的表格形式的解的存储设备中提取控制值来实现最优控制律。
动态规划与直接枚举的比较
动态规划使用最优性原理来显著减少确定最优控制律所需的计算次数。为了更充分地理解最优性原则的重要性，让我们将动态规划算法与直接枚举所有可能的控制序列进行比较。

考虑具有一个控制输入的一阶控制过程。假设允许的状态值量化为10级，允许的控制值量化为4级。在直接枚举中，我们对10个初始状态值中的每一个进行一次增量$\Delta t$的所有四个控制值的尝试。通常，这将允许$x(\Delta t)$假设40个可接受的状态值中的任何一个。假设所有这些状态值都是允许的，我们将所有四个控制值应用于40个状态值中的每一个，并确定$x(2 \Delta t)$的结果值。此过程继续进行适当数量的阶段。在动态规划中，在每个阶段，我们对10个状态值中的每个状态值尝试4个控制值。两种方法的计算次数比较如表3-5所示。如果假设在每个阶段结束时，只有一半的状态值是不同且允许的，则该表还包括直接枚举所需的计算次数。重要的一点是，直接枚举所需的计算量随阶段数呈指数增长，而动态规划所需的计算量呈线性增长。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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