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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Reflection a Source

We assume that $j$ is a source of the quiver $Q^{\prime}$. For every representation $\mathcal{N}$ of $Q^{\prime}$ we will construct from $\mathcal{N}$ a representation of $\sigma_j Q^{\prime}$, denoted by $\Sigma_j^{-}(\mathcal{N})$. The idea is to keep the vector space $N(r)$ as it is, for any vertex $r \neq j$, and also to keep the linear map $N(\gamma)$ as it is, for any arrow $\gamma$ which does not start at $j$. We want to find a vector space $N^{-}(j)$, and for each arrow $\beta_i: j \rightarrow i$, we want to define a linear map $N^{-}\left(\bar{\beta}_i\right)$ from $N(i)$ to $N^{-}(j)$, to be constructed using only data from $\mathcal{N}$. We first fix some notation, and then we study small examples.

Definition 11.14. Let $j$ be a source in the quiver $Q^{\prime}$. We label the distinct arrows starting at $j$ by $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t$, say $\beta_i: j \rightarrow i$. Then we write $\bar{\beta}_i: i \rightarrow j$ for the arrows of $\sigma_j Q^{\prime}$ obtained by reversing the $\beta_i$.

(1) Let $t=1$, and take the quivers $Q^{\prime}$ and $\sigma_j Q^{\prime}$ as follows:
$$
1 \stackrel{\beta_1}{\longleftarrow} j \text { and } 1 \stackrel{\bar{\beta}_1}{\longrightarrow} j
$$
We start with a representation $\mathcal{N}$ of $Q^{\prime}$,
$$
N(1) \stackrel{N\left(\beta_1\right)}{\longleftarrow} N(j)
$$
and we want to define a representation of $\sigma_j Q^{\prime}$, that is,
$$
N(1) \stackrel{N^{-}\left(\bar{\beta}_1\right)}{\longrightarrow} N^{-}(j)
$$
and this should only use information from $\mathcal{N}$. There is not much choice, we take $N^{-}(j):=N(1) / \operatorname{im}\left(N\left(\beta_1\right)\right)$, which is a quotient space of $N(1)$, and we take $N^{-}\left(\bar{\beta}_1\right)$ to be the canonical surjection. This defines the representation $\Sigma_j^{-}(\mathcal{N})$ of $\sigma_j Q^{\prime}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Quivers of Infinite Representation Type

We will now prove that if the underlying graph of $Q$ is not a union of Dynkin diagrams then $Q$ has infinite representation type. This is one direction of Gabriel’s theorem. As we have seen in Lemma 9.27, it is enough to consider connected quivers, and we should deal with smallest connected quivers whose underlying graph is not a Dynkin diagram (see Lemma 9.26).

Proposition 11.27. Assume $Q$ is a connected quiver with no oriented cycles. If the underlying graph of $Q$ is not a Dynkin diagram, then $Q$ has infinite representation type.
The proof of Proposition 11.27 will take the entire section.
By Lemma 10.1 we know that a connected quiver $Q$ whose underlying graph is not a Dynkin diagram must have a subquiver $Q^{\prime}$ whose underlying graph is a Euclidean diagram. By Lemma 9.26, it suffices to show that the subquiver $Q^{\prime}$ has infinite representation type. We will do this case-by-case going through the Euclidean diagrams listed in Fig. 10.2.

We start with Euclidean diagrams of type $\widetilde{A}_n$, which has almost been done already.

Proposition 11.28. Assume $Q^{\prime}$ is a quiver without oriented cycles whose underlying graph is a Euclidean diagram of type $\widetilde{A}_n$. Then $Q^{\prime}$ is of infinite representation type.

Proof. Let $n=1$, then $Q^{\prime}$ is the Kronecker quiver, and we have seen in Example 9.30 that it has infinite representation type. Now assume $n>1$. We will stretch the Kronecker quiver repeatedly as described in Definition 9.20; and Exercise 9.4 shows that $Q^{\prime}$ can be obtained from the Kronecker quiver by finitely many stretches. Now Lemma 9.31 implies that $Q^{\prime}$ has infinite representation type.
We will now deal with quivers whose underlying graphs are other Euclidean diagrams as listed in Fig. 10.2. We observe that each of them is a tree. Therefore, by Corollary 11.26, in each case we only need to show that it has infinite representation type just for one orientation, which we can choose as we like.

We will use a more general tool. This is inspired by the indecomposable representation of the quiver with underlying graph a Dynkin diagram $D_4$ where the space at the branch vertex is 2-dimensional, which we have seen a few times. In Lemma 9.5 we have proved that for this representation, any endomorphism is a scalar multiple of the identity. The following shows that this actually can be used to produce many representations of a new quiver obtained by just adding one vertex and one arrow.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Reflection a Source

我们假设 $j$ 是箭袋的来源 $Q^{\prime}$. 对于每个表示 $\mathcal{N}$ 的 $Q^{\prime}$ 我们将从 $\mathcal{N}$ 代表 $\sigma_j Q^{\prime}$ ，表示为 $\Sigma_j^{-}(\mathcal{N})$. 这个想法是保 持向量空间 $N(r)$ 实际上，对于任何顶点 $r \neq j$ ，并且还保持线性映射 $N(\gamma)$ 实际上，对于任何箭头 $\gamma$ 这不 是开始于 $j$. 我们想找到一个向量空间 $N^{-}(j)$ ，对于每个箭头 $\beta_i: j \rightarrow i$ ，我们要定义一个线性映射 $N^{-}\left(\bar{\beta}_i\right)$ 从 $N(i)$ 到 $N^{-}(j)$ ，仅使用来自的数据构建 $\mathcal{N}$. 我们首先固定一些符号，然后我们研究小例子。
定义 11.14。让 $j$ 成为箭袋中的源泉 $Q^{\prime}$. 我们标记不同的箭头开始于 $j$ 经过 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t$ ， 说 $\beta_i: j \rightarrow i$. 然后我们写 $\bar{\beta}_i: i \rightarrow j$ 对于箭头 $\sigma_j Q^{\prime}$ 通过反转获得 $\beta_i$.
(1) 让 $t=1$ ，并取箭袋 $Q^{\prime}$ 和 $\sigma_j Q^{\prime}$ 如下:
$$
1 \stackrel{\beta_1}{\longleftarrow} j \text { and } 1 \stackrel{\bar{\beta}_1}{\longrightarrow} j
$$
我们从一个表示开始 $\mathcal{N}$ 的 $Q^{\prime}$ ，
$$
N(1) \stackrel{N\left(\beta_1\right)}{\longleftarrow} N(j)
$$
我们想定义一个表示 $\sigma_j Q^{\prime}$ ，那是，
$$
N(1) \stackrel{N^{-}\left(\bar{\beta}_1\right)}{\longrightarrow} N^{-}(j)
$$
这应该只使用来自的信息 $\mathcal{N}$. 没有太多选择，我们拿 $N^{-}(j):=N(1) / \operatorname{im}\left(N\left(\beta_1\right)\right)$ ，这是一个商空间 $N(1)$ ，我们取 $N^{-}\left(\bar{\beta}_1\right)$ 成为典型的满射。这定义了表示 $\Sigma_j^{-}(\mathcal{N})$ 的 $\sigma_j Q^{\prime}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Quivers of Infinite Representation Type

我们现在将证明，如果 $Q$ 则不是 Dynkin 图的并集 $Q$ 具有无限表示类型。这是加布里埃尔定理的一个方 向。正如我们在引理 9.27 中看到的那样，考虑连接箭袋就足够了，我们应该处理最小的连接箭袋，其基 础图不是 Dynkin 图（参见引理 9.26) 。
提案 11.27。认为 $Q$ 是一个连接的箭袋，没有定向循环。如果底层图形 $Q$ 不是 Dynkin 图，那么 $Q$ 具有无 限表示类型。
命题 11.27 的证明将占用整个部分。
由引理 10.1 我们知道一个连通的箭袋 $Q$ 其底层图形不是 Dynkin 图必须有一个 subquiver $Q^{\prime}$ 其底层图形 是欧几里德图。由引理 9.26 足以证明子箭袋 $Q^{\prime}$ 具有无限表示类型。我们将通过图 10.2 中列出的欧几里得 图逐个分析。
我们从类型的欧几里德图开始 $\widetilde{A}_n$ ，这几乎已经完成了。
提案 11.28。认为 $Q^{\prime}$ 是一个没有定向循环的箭袋，其底层图形是欧几里得类型图 $\widetilde{A}_n$. 然后 $Q^{\prime}$ 是无限表示 类型。
证明。让 $n=1$ ，然后 $Q^{\prime}$ 是 Kronecker 箭袋，我们在示例 9.30 中看到它具有无限表示类型。现在假设 $n>1$. 我们将按照定义 9.20 中的描述反复拉伸克罗内克箭袋；练习 9.4 表明 $Q^{\prime}$ 可以通过有限多次拉伸从 克罗内克箭袋中获得。现在引理 9.31 意味着 $Q^{\prime}$ 具有无限表示类型。
我们现在将处理箭袋，其基础图形是图 10.2 中列出的其他欧几里德图。我们观察到他们每个人都是一棵 树。因此，根据推论 11.26 ，在每种情况下我们只需要证明它只对一个方向有无限的表示类型，我们可以 随意选择。
我们将使用更通用的工具。这是受到箭袋的不可分解表示的启发，其底层图形是 Dynkin 图 $D_4$ 其中分支顶 点的空间是二维的，我们已经见过几次了。在引理 9.5 中，我们已经证明对于这种表示，任何自同态都是 恒等式的标量倍数。下图表明，这实际上可用于生成新箭袋的许多表示，只需添加一个顶点和一个箭头即可。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Coxeter Transformation

In this section we will introduce a particular map, the Coxeter transformation, associated to a Dynkin diagram with standard labelling as in Example 10.4. This map will later be used to show that for Dynkin diagrams positive roots parametrize indecomposable representations.

Let $\Gamma$ be one of the Dynkin diagrams, with standard labelling. We have seen in Lemma 10.9 that each reflection $s_j$, where $j$ is a vertex of $\Gamma$, preserves the set $\Delta_{\Gamma}$ of roots. Then the set $\Delta_{\Gamma}$ of roots is also preserved by arbitrary products of reflections, that is, by any element in the group $W$, the subgroup of the automorphism group $\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}^n\right)$ generated by the reflections $s_j$. The Coxeter transformation is an element of $W$ and it has special properties.

Definition 10.14. Assume $\Gamma$ is a Dynkin diagram with standard labelling as in Example 10.4. Let $s_j: \mathbb{Z}^n \rightarrow \mathbb{Z}^n, s_j(x)=x-\left(x, \varepsilon_j\right){\Gamma} \varepsilon_j$ be the reflections as in Definition 10.2. The Coxeter transformation $C{\Gamma}$ is the map
$$
C_{\Gamma}=s_n \circ s_{n-1} \circ \ldots \circ s_2 \circ s_1: \mathbb{Z}^n \rightarrow \mathbb{Z}^n .
$$
The Coxeter matrix is the matrix of $C_{\Gamma}$ with respect to the standard basis of $\mathbb{R}^n$.
Example 10.15 (Coxeter Transformation in Dynkin Type A). Let $\Gamma$ be the Dynkin diagram of type $A_n$ with standard labelling. We describe the Coxeter transformation and its action on the roots of $q_{\Gamma}$. To check some of the details, see Exercise 10.8 below. Let $s_j$ be the reflection, as defined in Definition 10.2. Explicitly, we have for $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n$ that
$$
s_j(x)= \begin{cases}\left(-x_1+x_2, x_2, \ldots, x_n\right) & j=1 \ \left(x_1, \ldots, x_{j-1},-x_j+x_{j-1}+x_{j+1}, x_{j+1}, \ldots, x_n\right) & 2 \leq j \leq n-1 \ \left(x_1, \ldots, x_{n-1}, x_{n-1}-x_n\right) & j=n .\end{cases}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Reflecting Quivers and Representations

Gabriel’s theorem states implicitly that the representation type of a quiver depends only on the underlying graph but not on the orientation of the arrows. To prove this, we will use ‘reflection maps’, which relate representations of two quivers with the same underlying graph but where some arrows have different orientation. This construction will show that any two quivers with the same underlying graph $\Gamma$ have the same representation type, if $\Gamma$ is an arbitrary finite tree.
Throughout this chapter let $K$ be an arbitrary field.
Definition 11.2. Let $Q$ be a quiver. A vertex $j$ of $Q$ is called a sink if no arrows in $Q$ start at $j$. A vertex $k$ of $Q$ is a source if no arrows in $Q$ end at $k$.

For example, consider the quiver $1 \longrightarrow 2 \longleftarrow 3 \longleftarrow 4$. Then vertices 1 and 4 are sources, vertex 2 is a sink and vertex 3 is neither a sink nor a source.

Exercise 11.1. Let $Q$ be a quiver without oriented cycles. Show that $Q$ contains a sink and a source.

Definition 11.3. Let $Q$ be a quiver and let $j$ be a vertex in $Q$ which is a sink or a source. We define a new quiver $\sigma_j Q$, this is the quiver obtained from $Q$ by reversing all arrows adjacent to $j$, and keeping everything else unchanged. We call $\sigma_j Q$ the reflection of $Q$ at the vertex $j$. Note that if a vertex $j$ is a sink of $Q$ then $j$ is a source of $\sigma_j Q$, and if $j$ is a source of $Q$ then it is a sink of $\sigma_j Q$. We also have that $\sigma_j \sigma_j Q=Q$

Example 11.4. Consider all quivers whose underlying graph is the Dynkin diagram of type $A_4$. Up to labelling of the vertices, there are four possible quivers,
$$
\begin{aligned}
& Q_1: 1 \longleftarrow 2 \longleftarrow 3 \longleftarrow 4 \
& Q_2: 1 \longleftrightarrow 2 \longleftarrow 3 \longleftarrow 4 \
& Q_3: 1 \longleftarrow 2 \longleftrightarrow 3 \longleftarrow 4 \
& Q_4: 1 \longleftarrow 2 \longleftarrow 3 \longleftrightarrow 4
\end{aligned}
$$
Then $\sigma_1 Q_1=Q_2$ and $\sigma_2 \sigma_1 Q_1=Q_3$; and moreover $\sigma_3 \sigma_2 \sigma_1 Q_1=Q_4$. Hence each $Q_i$ can be obtained from $Q_1$ by applying reflections.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Coxeter Transformation

在本节中，我们将介绍一个特定的映射，即 Coxeter 变换，它与具有标准标签的 Dynkin 图相关联，如示 例 10.4 中所示。该映射稍后将用于显示 Dynkin 图正根参数化不可分解的表示。
让 是 Dynkin 图之一，带有标准标签。我们在引理 10.9 中看到，每个反射 $s_j$ ，在哪里 $j$ 是一个顶点 $\Gamma$ ，保 留集合 $\Delta_{\Gamma}$ 根。然后是套装 $\Delta_{\Gamma}$ 的根也被反射的任意乘积所保存，即被组中的任何元素保存 $W ，$ 自同构群的 子群 $\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}^n\right)$ 由反射产生 $s_j$. Coxeter 变换是 $W$ 而且它有特殊的属性。
定义 10.14。认为 $\Gamma$ 是带有标准标签的 Dynkin 图，如示例 10.4 所示。让 $s_j: \mathbb{Z}^n \rightarrow \mathbb{Z}^n, s_j(x)=x-\left(x, \varepsilon_j\right) \Gamma \varepsilon_j$ 是定义 10.2 中的反射。考克斯特变换 $C \Gamma$ 是地图
$$
C_{\Gamma}=s_n \circ s_{n-1} \circ \ldots \circ s_2 \circ s_1: \mathbb{Z}^n \rightarrow \mathbb{Z}^n \text {. }
$$
Coxeter 矩阵是 $C_{\Gamma}$ 关于标准基础 $\mathbb{R}^n$.
示例 10.15 (Dynkin A 型中的 Coxeter 转换) 。让 $\Gamma$ 是类型的 Dynkin 图 $A_n$ 带有标准标签。我们描述了 Coxeter 变换及其对根的作用 $q_{\Gamma}$. 要检查一些细节，请参见下面的练习 10.8。让 $s_j$ 是定义 10.2 中定义的 反射。明确地，我们有 $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n$ 那
$$
s_j(x)=\left{\left(-x_1+x_2, x_2, \ldots, x_n\right) \quad j=1\left(x_1, \ldots, x_{j-1},-x_j+x_{j-1}+x_{j+1}, x_{j+1}, \ldots, x_n\right)\right.
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Reflecting Quivers and Representations

加布里埃尔定理隐含地指出，箭袋的表示类型仅取决于基础图形，而不取决于箭头的方向。为了证明这一 点，我们将使用“反射图”，它将两个箭袋的表示与相同的底层图形相关联，但其中一些箭头具有不同的方 向。此构造将显示具有相同基础图形的任何两个箭袋 $\Gamma$ 具有相同的表示类型，如果 $\Gamma$ 是任意有限树。
在本章中让 $K$ 是一个任意的领域。
定义 11.2。让 $Q$ 成为一个箭袋。一个顶点 $j$ 的 $Q$ 如果没有箭头，则称为水槽 $Q$ 开始于 $j$. 一个顶点 $k$ 的 $Q$ 如果 没有箭头，则为源 $Q$ 结束于 $k$.
例如，考虑箭袋 $1 \longrightarrow 2 \longleftarrow 3 \longleftarrow 4$. 那么顶点 1 和 4 是源，顶点 2 是汇，顶点 3 既不是汇也不是 源。
练习11.1。让 $Q$ 是一个没有定向循环的箭袋。显示 $Q$ 包含一个接收器和一个源。
定义 11.3。让 $Q$ 成为一个箭袋，让 $j$ 成为一个顶点 $Q$ 这是一个汇或源。我们定义一个新的箭袋 $\sigma_j Q$ ，这是 从 $Q$ 通过反转所有相邻的箭头 $j$ ，并保持其他一切不变。我们称之为 $\sigma_j Q$ 的反映 $Q$ 在顶点 $j$. 请注意，如果
一个顶点 $j$ 是一个汇 $Q$ 然后 $j$ 是一个来源 $\sigma_j Q$ ，而如果 $j$ 是一个来源 $Q$ 那么它是一个水槽 $\sigma_j Q$. 我们也有 $\sigma_j \sigma_j Q=Q$
例 11.4。考虑所有底层图是 Dynkin 图类型的箭袋 $A_4$. 直到标记顶点为止，有四种可能的箭袋，
$$
Q_1: 1 \longleftarrow 2 \longleftarrow 3 \longleftarrow 4 \quad Q_2: 1 \longleftrightarrow 2 \longleftarrow 3 \longleftarrow 4 Q_3: 1 \longleftarrow 2 \longleftrightarrow 3 \longleftarrow 4 \quad Q_4
$$
然后 $\sigma_1 Q_1=Q_2$ 和 $\sigma_2 \sigma_1 Q_1=Q_3$; 而且 $\sigma_3 \sigma_2 \sigma_1 Q_1=Q_4$. 因此每个 $Q_i$ 可以从 $Q_1$ 通过应用反射。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Representation Type of Quivers

We translate modules over the path algebra to representations of quivers, and the Krull-Schmidt theorem translates as well. That is, every (finite-dimensional) representation of a quiver $Q$ is a direct sum of indecomposable representations, unique up to isomorphism and labelling. Therefore it makes sense to define the representation type of a quiver.

Recall that we have fixed a field $K$ and that we consider only finite-dimensional representations of quivers over $K$, see Definition 9.1. Moreover, we assume throughout that quivers have no oriented cycles; this allows us to apply the results of Sect. $9.3$.

Definition 9.25. A quiver $Q$ is said to be of finite representation type over $K$ if there are only finitely many indecomposable representations of $Q$, up to isomorphism. Otherwise, we say that the quiver has infinite representation type over $K$.

By our Definition 9.1, a representation of $Q$ always corresponds to a finitedimensional $K Q$-module. In addition, we assume $Q$ has no oriented cycles and hence $K Q$ is finite-dimensional. Therefore the representation type of $Q$ is the same as the representation type of the path algebra $K Q$, as in Definition $8.1$.

In most situations, our arguments will not refer to a particular field $K$, so we often just speak of the representation type of a quiver, without mentioning the underlying field $K$ explicitly.

For determining the representation type of quivers there are some reductions which follow from the work done in previous sections.

Given a quiver $Q$, since we have seen in Sect. $9.2$ that we can relate indecomposable representations of its subquivers to indecomposable representations of $Q$, we might expect that there should be a connection between the representation type of subquivers with that of $Q$.

Lemma 9.26. Assume $Q^{\prime}$ is a subquiver of a quiver $Q$. If $Q^{\prime}$ has infinite representation type then $Q$ also has infinite representation type.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Dynkin Diagrams and Euclidean Diagrams

Gabriel’s theorem (which will be proved in the next chapter) states that a connected quiver has finite representation type if and only if the underlying graph $\Gamma$ is one of the Dynkin diagrams of types $A_n$ for $n \geq 1, D_n$ for $n \geq 4, E_6, E_7, E_8$, which we define in Fig. 10.1.

We have seen some small special cases of Gabriel’s theorem earlier in the book. Namely, a quiver of type $A_1$ (that is, the one-vertex quiver) has only one indecomposable representation by Example 9.28; in particular, it is of finite representation type. Moreover, also in Example $9.28$ we have shown that the quiver $1 \longrightarrow 2$ has finite representation type; note that this quiver has as underlying graph a Dynkin diagram of type $A_2$.

To deal with the case when $\Gamma$ is not a Dynkin diagram, we will only need a small list of graphs. These are the Euclidean diagrams, sometimes also called extended Dynkin diagrams. They are shown in Fig. 10.2, and are denoted by $\widetilde{A}_n$ for $n \geq 1$, $\widetilde{D}_n$ for $n \geq 4$, and $\widetilde{E}_6, \widetilde{E}_7, \widetilde{E}_8$. For example, the Kronecker quiver is a quiver with underlying graph a Euclidean diagram of type $\widetilde{A}_1$; and we have seen already in Example $9.30$ that the Kronecker quiver has infinite representation type.

We refer to graphs in Fig. $10.1$ as graphs of type $A, D$, or $E$. We say that a quiver has Dynkin type if its underlying graph is one of the graphs in Fig. 10.1. Similarly, we say that a quiver has Euclidean type if its underlying graph belongs to the list in Fig. 10.2.

In analogy to the definition of a subquiver in Definition 9.13, a subgraph $\Gamma^{\prime}=\left(\Gamma_0^{\prime}, \Gamma_1^{\prime}\right)$ of a graph $\Gamma$ is a graph which consists of a subset $\Gamma_0^{\prime} \subseteq \Gamma_0$ of the vertices of $\Gamma$ and a subset $\Gamma_1^{\prime} \subseteq \Gamma_1$ of the edges of $\Gamma$.

The following result shows that we might not need any other graphs than Dynkin and Euclidean diagrams.

Lemma 10.1. Assume $\Gamma$ is a connected graph. If $\Gamma$ is not a Dynkin diagram then $\Gamma$ has a subgraph which is a Euclidean diagram.

Proof. Assume $\Gamma$ does not have a Euclidean diagram as a subgraph, we will show that then $\Gamma$ is a Dynkin diagram.

The Euclidean diagrams of type $\widetilde{A}_n$ are just the cycles; so $\Gamma$ does not contain a cycle; in particular, it does not have a multiple edge. Since $\Gamma$ is connected by assumption, it must then be a tree.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Representation Type of Quivers

我们将路径代数上的模块转换为箭袋的表示，Krull-Schmidt 定理也进行了转换。也就是说，箭袋的每个 (有限维) 表示 $Q$ 是不可分解表示的直和，在同构和标记之前是唯一的。因此，定义箭袋的表示类型是有 意义的。
回想一下，我们固定了一个字段 $K$ 并且我们只考虑箭袋的有限维表示 $K$ ，见定义 9.1。此外，我们始终假 设箭袋没有定向循环；这使我们能够应用 Sect 的结果。9.3.
定义 9.25。一个箭袋 $Q$ 据说是有限表示类型 $K$ 如果只有有限多个不可分解的表示 $Q$ ，直至同构。否则，我 们说箭袋具有无限表示类型 $K$.
根据我们的定义 9.1，表示 $Q$ 总是对应于一个有限维 $K Q$-模块。此外，我们假设 $Q$ 没有定向循环，因此 $K Q$ 是有限维的。因此表示类型为 $Q$ 与路径代数的表示类型相同 $K Q$ ，如定义8.1.
在大多数情况下，我们的论点不会涉及特定领域 $K$ ，所以我们经常只说箭袋的表示类型，而没有提到底层 领域 $K$ 明确地。
为了确定箭袋的表示类型，前面几节所做的工作进行了一些缩减。
给了一个颠抖 $Q$ ，因为我们在 Sect. $9.2$ 我们可以将其子䪳动的不可分解表示与不可分解表示联系起来 $Q$ ， 我们可能期望子箭的表示类型与 $Q$.
引理 9.26。认为 $Q^{\prime}$ 是箭袋的子箭袋 $Q$. 如果 $Q^{\prime}$ 那么有无限的表示类型 $Q$ 也有无限的表示类型。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Dynkin Diagrams and Euclidean Diagrams

加布里埃尔定理 (将在下一章中证明) 指出当且仅当基础图时，连接的箭袋具有有限表示类型 $\Gamma$ 是类型的 Dynkin 图之一 $A_n$ 为了 $n \geq 1, D_n$ 为了 $n \geq 4, E_6, E_7, E_8$ ，我们在图 $10.1$ 中定义。
我们在本书前面已经看到了加布里埃尔定理的一些小特例。即，箭袋类型 $A_1$ (即，单顶点箭袋) 在示例 $9.28$ 中只有一个不可分解的表示；特别是，它是有限表示类型。此外，还在示例中 $9.28$ 我们已经证明了 箭袋 $1 \longrightarrow 2$ 具有有限表示类型；请注意，此箭袋的底层图形是 Dynkin 图类型 $A_2$.
处理案件时 $\Gamma$ 不是 Dynkin 图，我们只需要一小部分图表。这些是欧几里德图，有时也称为扩展 Dynkin 图。它们如图 $10.2$ 所示，记为 $\widetilde{A}_n$ 为了 $n \geq 1, \widetilde{D}_n$ 为了 $n \geq 4$ ，和 $\widetilde{E}_6, \widetilde{E}_7, \widetilde{E}_8$. 例如，克罗内克箭袋是 一个箭袋，其底层图形是欧几里德图类型 $\widetilde{A}_1$; 我们已经在示例中看到 $9.30$ 克罗内克箭袋具有无限表示类 型。
我们参考图 1 中的图表。10.1作为类型图 $A, D$ ，或者 $E$. 如果它的基础图形是图 $10.1$ 中的图形之一，我 们就说它具有 Dynkin 类型。类似地，如果一个箭袋的底层图属于图 $10.2$ 中的列表，我们就说它具有欧 几里得类型。
类似于定义 $9.13$ 中子箭袋的定义，子图 $\Gamma^{\prime}=\left(\Gamma_0^{\prime}, \Gamma_1^{\prime}\right)$ 图表的 $\Gamma$ 是一个由子集组成的图 $\Gamma_0^{\prime} \subseteq \Gamma_0$ 的顶点 $\Gamma$ 和一个子集 $\Gamma_1^{\prime} \subseteq \Gamma_1$ 的边缘 $\Gamma$.
以下结果表明，除了 Dynkin 和 Euclidean 图之外，我们可能不需要任何其他图。
引理 10.1。认为 $\Gamma$ 是连通图。如果 $\Gamma$ 那么不是 Dynkin 图 $\Gamma$ 有一个子图，它是一个欧几里德图。
证明。认为 $\Gamma$ 没有欧几里德图作为子图，我们将证明 $\Gamma$ 是 Dynkin 图。
类型的欧几里德图 $\tilde{A}_n$ 只是周期；所以 $\Gamma$ 不包含循环；特别是，它没有多重边。自从 $\Gamma$ 由假设连接，那么 它必须是一棵树。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Representations of Subquivers

When studying representations of quivers it is often useful to relate representations of a quiver to representations of a ‘subquiver’, a notion we now define.
Definition 9.13. Assume $Q$ is a quiver with vertex set $Q_0$ and arrow set $Q_1$.
(a) A subquiver of $Q$ is a quiver $Q^{\prime}=\left(Q_0^{\prime}, Q_1^{\prime}\right)$ such that $Q_0^{\prime} \subseteq Q_0$ and $Q_1^{\prime} \subseteq Q_1$.
(b) A subquiver $Q^{\prime}$ of $Q$ as above is called a full subquiver if for any two vertices $i, j \in Q_0^{\prime}$ all arrows $i \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} j$ of $Q$ are also arrows in $Q^{\prime}$.

Note that since $Q^{\prime}$ must be a quiver, it is part of the definition that in a subquiver the starting and end points of any arrow are also in the subquiver (see Definition 1.11). Thus one cannot choose arbitrary subsets $Q_1^{\prime} \subseteq Q_1$ in the above definition.
Example 9.14. Let $Q$ be the quiver
We determine the subquivers $Q^{\prime}$ of $Q$ with vertex set $Q_0^{\prime}={1,2}$. For the arrow set we have the following possibilities: $Q_1^{\prime}=\emptyset, Q_1^{\prime}={\alpha}, Q_1^{\prime}={\beta}$ and $Q_1^{\prime}={\alpha, \beta}$. Of these, only the last quiver is a full subquiver. However, by the preceding remark we cannot choose $Q_1^{\prime}={\alpha, \gamma}$ since the vertex 3 is not in $Q_0^{\prime}$.

Given a quiver $Q$ with a subquiver $Q^{\prime}$, we want to relate representations of $Q$ with representations of $Q^{\prime}$. For our purposes two constructions will be particularly useful. We first present the ‘restriction’ of a representation of $Q$ to a representation of $Q^{\prime}$. Starting with a representation of $Q^{\prime}$, we then introduce the ‘extension by zero’ which produces a representation of $Q$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stretching Quivers and Representations

There are further methods to relate representations of different quivers. We will now present a general construction which will be very useful later. This construction works for quivers without loops; for simplicity we consider from now on only quivers without oriented cycles. Recall that the corresponding path algebras are then finite-dimensional, see Exercise $1.2$.

Consider two quivers $Q$ and $\widetilde{Q}$ where $\widetilde{Q}$ is obtained from $Q$ by replacing one vertex $i$ of $Q$ by two vertices $i_1, i_2$ and one arrow, $i_1 \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} i_2$, and by distributing the arrows adjacent to $i$ between $i_1$ and $i_2$. The following definition makes this construction precise.

Definition 9.20. Let $Q$ be a quiver without oriented cycles and $i$ a fixed vertex. Let $T$ be the set of all arrows adjacent to $i$, and suppose $T=T_1 \cup T_2$, a disjoint union. Define $\widetilde{Q}$ to be the quiver obtained from $Q$ as follows.
(i) Replace vertex $i$ by $i_1 \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} i_2$ (where $i_1, i_2$ are different vertices);
(ii) Join the arrows in $T_1$ to $i_1$;
(iii) Join the arrows in $T_2$ to $i_2$.
In (ii) and (iii) we keep the original orientation of the arrows. We call the new quiver $\widetilde{Q}$ a stretch of $Q$.

By assumption, $Q$ does not have loops, so any arrow adjacent to $i$ either starts at $i$ or ends at $i$ but not both, and it belongs either to $T_1$ or to $T_2$. Note that if $T$ is large then there are many possible stretches of a quiver $Q$ at a given vertex $i$, coming from different choices of the sets $T_1$ and $T_2$.

We illustrate the general construction from Definition $9.20$ with several examples.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Representations of Subquivers

在研究箭袋的表示时，将箭袋的表示与“子箭袋”的表示联系起来通常很有用，我们现在定义了一个概念。 定义 9.13。认为 $Q$ 是一个带有顶点集的箭袋 $Q_0$ 和箭头集 $Q_1$.
(a) 的子箭袋 $Q$ 是一个箭袋 $Q^{\prime}=\left(Q_0^{\prime}, Q_1^{\prime}\right)$ 这样 $Q_0^{\prime} \subseteq Q_0$ 和 $Q_1^{\prime} \subseteq Q_1$.
(b) 一个子箭袋 $Q^{\prime}$ 的 $Q$ 如果对于任何两个顶点，如上称为完全子箭袋 $i, j \in Q_0^{\prime}$ 所有箭头 $i \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} j$ 的 $Q$ 也是 箭头 $Q^{\prime}$.
请注意，因为 $Q^{\prime}$ 必须是箭袋，它是定义的一部分，在子箭袋中任何箭头的起点和终点也在子箭袋中（见 定义 1.11) 。因此不能选择任意子集 $Q_1^{\prime} \subseteq Q_1$ 在上面的定义中。
示例 9.14。让 $Q$ 成为箭袋
我们决定子箭袋 $Q^{\prime}$ 的 $Q$ 有顶点集 $Q_0^{\prime}=1,2$. 对于箭头集，我们有以下可能性:
$Q_1^{\prime}=\emptyset, Q_1^{\prime}=\alpha, Q_1^{\prime}=\beta$ 和 $Q_1^{\prime}=\alpha, \beta$. 其中，只有最后一个箭袋是完整的子箭袋。然而，根据前面 的评论，我们不能选择 $Q_1^{\prime}=\alpha, \gamma$ 因为顶点 3 不在 $Q_0^{\prime}$.
给了一个颠抖 $Q$ 有一个子箭袋 $Q^{\prime}$ ，我们想要关联的表示 $Q$ 与代表 $Q^{\prime}$. 为了我们的目的，两个结构将特别 有用。我们首先提出对表示的”限制” $Q$ 代表 $Q^{\prime}$. 从代表开始 $Q^{\prime}$ ，然后我们引入“零扩展”，它产生一个表示 $Q$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stretching Quivers and Representations

还有其他方法可以关联不同箭袋的表示。我们现在将介绍一个通用的结构，稍后将非常有用。这种结构适 用于没有环的箭袋；为了简单起见，我们从现在开始只考虑没有定向循环的箭袋。回想一下相应的路径代 数是有限维的，见练习 $1.2$.
考虑两个箭袋 $Q$ 和 $\widetilde{Q}$ 在哪里 $\widetilde{Q}$ 是从 $Q$ 通过替换一个顶点 $i$ 的 $Q$ 通过两个顶点 $i_1, i_2$ 和一支箭， $i_1 \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} i_2$ ， 并通过分布相邻的箭头 $i$ 之间 $i_1$ 和 $i_2$.下面的定义使这个结构更加精确。
定义 9.20。让 $Q$ 是一个没有定向循环的箭袋，并且 $i$ 个固定的顶点。让 $T$ 是所有相邻箭头的集合 $i$ ，并假 设 $T=T_1 \cup T_2$ ，一个不相交的联盟。定义 $\widetilde{Q}$ 是从中获得的箭袋 $Q$ 如下。
(i) 替换顶点 $i$ 经过 $i_1 \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} i_2$ （在哪里 $i_1, i_2$ 是不同的顶点）；
(ii) 加入箭头 $T_1$ 到 $i_1$;
(iii) 加入箭头 $T_2$ 到 $i_2$.
在 (ii) 和 (iii) 中，我们保持箭头的原始方向。我们称新的箭袋 $\widetilde{Q}$ 一段 $Q$.
根据假设， $Q$ 没有循环，所以任何相邻的箭头 $i$ 要么开始于 $i$ 或结束于 $i$ 但不是两者，它属于 $T_1$ 或者 $T_2$. 请 注意，如果 $T$ 很大，那么箭袋有很多可能的延伸 $Q$ 在给定的顶点 $i$ ，来自集合的不同选择 $T_1$ 和 $T_2$.
我们从定义中说明一般结构 $9.20$ 有几个例子。

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有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Matrix Reduction Algorithm

There is a version of the algorithm PAIRPERSISTENCE that uses only matrix operations. First notice the following:

• The boundary operator $\partial_p: \mathbf{C}p \rightarrow \mathbf{C}{p-1}$ can be represented by a boundary matrix $D_p$ where the columns correspond to the $p$-simplices and rows correspond to $(p-1)$-simplices.
• It represents the transformation of a basis of $\mathrm{C}p$ given by the set of $p$-simplices to a basis of $C{p-1}$ given by the set of $(p-1)$-simplices:
  $$
  D_p[i, j]= \begin{cases}1 & \text { if } \sigma_i \in \partial_p \sigma_j, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
  $$
• One can combine all boundary matrices into a single matrix $D$ that represents all linear maps $\bigoplus_p \partial_p-\bigoplus_p\left(\mathrm{C}p \rightarrow \mathrm{C}{p-1}\right)$, that is, transformation of a basis of all chain groups together to a basis of itself, but with a shift to a one lower dimension:
  $$
  D[i, j]= \begin{cases}1 & \text { if } \sigma_i \in \partial_* \sigma_j, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
  $$
  Definition 3.12. (Filtered boundary matrix) Let $\mathcal{F}: \varnothing=K_0 \hookrightarrow K_1 \hookrightarrow \cdots$ $\hookrightarrow K_n=K$ be a filtration induced by an ordering of simplices $\left(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\right)$ in $K$. Let $D$ denote the boundary matrix for simplices in $K$ that respects the ordering of the simplices in the filtration, that is, the simplex $\sigma_i$ in the filtration occupies column $i$ and row $i$ in $D$. We call $D$ the filtered boundary matrix for $\mathcal{F}$.

Given any matrix $A$, let row ${ }_A\lfloor i\rfloor$ and $\operatorname{col}_A\lfloor j\rfloor$ denote the $i$ th row and $j$ th column of $A$, respectively. We abuse notation slightly to let $\operatorname{col}_A[j]$ denote also the chain $\left{\sigma_i \mid A[i, j]=1\right}$, which is the collection of simplices corresponding to $1 \mathrm{~s}$ in the column $\operatorname{col}_A[j]$.

Definition 3.13. (Reduced matrix) Let $\operatorname{low}_A[j]$ denote the row index of the last 1 in the $j$ th column of $A$, which we call the low-row index of the column $j$. It is undefined for empty columns (marked with $-1$ in Algorithm 3). The matrix $A$ is reduced (or is in reduced form) if low $[j] \neq \operatorname{low}_A\left[j^{\prime}\right]$ for any $j \neq j^{\prime}$; that is, no two columns share the same low-row indices.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Efficient Implementation

The matrix reduction algorithm considers a column from left to right and reduces it by left-to-right additions. As we have observed, every addition to a column with index $j$ pushes $\operatorname{low}_D[j]$ upward. In the case that $\sigma_j$ is a positive simplex, the entire column is zeroed out. In general, positive simplices incur more cost than negative ones because $\operatorname{low}_D[\cdot]$ needs to be pushed all the way up for zeroing out the entire column. However, they do not participate in any future left-to-right column additions. Therefore, if it is known beforehand that the simplex $\sigma_j$ will be a positive simplex, then the costly step of zeroing out the column $j$ can be avoided.

Chen and Kerber [94] observed the following simple fact. If we process the input filtration backward in dimension, that is, process the boundary matrices $D_p, p=1, \ldots, d$, in decreasing order of dimensions, then a persistence pair $\left(\sigma^{p-1}, \sigma^p\right)$ is detected from $D_p$ before processing the column for $\sigma^{p-1}$ in $D_{p-1}$. Fortunately, we already know that $\sigma^{p-1}$ has to be a positive simplex because it cannot pair with a negative simplex $\sigma^p$ otherwise. So, we can simply ignore the column of $\sigma^{p-1}$ while processing $D_{p-1}$. We call it clearing out column $p-1$. In practice, this saves a considerable amount of computation in cases where a lot of positive simplices occur such as in Rips filtrations. Algorithm 4: ClearPersistence implements this idea.

We cannot take advantage of the clearing for the last dimension in the filtration. If $d$ is the highest dimension of the simplices in the input filtration, the matrix $D_d$ has to be processed for all columns because the pairings for the positive $d$-simplices are not available.

If the number of $d$-simplices is large compared to the number of simplices of lower dimensions, the incurred cost of processing their columns can still be high. For example, in a Rips filtration restricted to a certain dimension $d$, the number of $d$-simplices becomes usually much larger than the number of, say,

1-simplices. In those cases, the clearing can be more cost-effective if it can be applied forward.

In this respect, the following observation becomes helpful. Let $D_p^$ denote the anti-transpose of the matrix $D_p$, defined by the transpose of $D_p$ with the columns and rows being ordered in reverse. This means that if $D_p$ has row and column indices $1, \ldots, m$ and $1, \ldots, n$, respectively, then $D_p^(i, j)=D_p(n+$ $1-j, m+1-i)$. We call it the twisted matrix of $D_p$. Figure $3.13$ shows the twisted matrix $D^$ of the matrix $D$ in Figure $3.12$ where the rows and columns are marked with the indices of the original matrix. The following proposition guaranteés thăt wé cañ computê thê persistencee pairs in $D_P$ from the matrix $D_p^$

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Matrix Reduction Algorithm

有一个仅使用矩阵运算的算法 PAIRPERSISTENCE 版本。首先注意以下几点:

• 边界运算符 $\partial_p: \mathbf{C} p \rightarrow \mathbf{C} p-1$ 可以用边界矩阵表示 $D_p$ 其中列对应于 $p$-单纯形和行对应 $(p-1)$ 简单的
• 它代表了基础的转变 $\mathrm{C} p$ 由一组给出 $p$-单纯形的基础 $C p-1$ 由一组给出 $(p-1)$-简单的:
  $$
  D_p[i, j]=\left{1 \quad \text { if } \sigma_i \in \partial_p \sigma_j, 0 \quad\right. \text { otherwise. }
  $$
• 可以将所有边界矩阵组合成一个矩阵 $D$ 表示所有线性映射 $\bigoplus_p \partial_p-\bigoplus_p(\mathrm{C} p \rightarrow \mathrm{C} p-1)$ ，也就 是说，将所有链组的基础一起转换为自身的基础，但转移到一个较低的维度:
  $$
  D[i, j]=\left{1 \quad \text { if } \sigma_i \in \partial_* \sigma_j, 0 \quad\right. \text { otherwise. }
  $$
  定义 3.12。 (过滤后的边界矩阵) 让 $\mathcal{F}: \varnothing=K_0 \hookrightarrow K_1 \hookrightarrow \cdots \hookrightarrow K_n=K$ 是由单纯形的排 序引起的过滤 $\left(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\right)$ 在 $K$. 让 $D$ 表示单纯形的边界矩阵 $K$ 尊重过滤中单纯形的顺序，即 单纯形 $\sigma_i$ 在过滤占列 $i$ 和行 $i$ 在 $D$. 我们称之为 $D$ 过滤后的边界矩阵 $\mathcal{F}$.
  给定任何矩阵 $A$ ， 让行 $A\lfloor i\rfloor$ 和 $\operatorname{col}A\lfloor j\rfloor$ 表示 $i$ 行和 $j$ 第 列 $A$ ，分别。我们稍微滥用符号让 $\operatorname{col}_A[j]$ 也表示链 \eft{\sigma_i \mid A[i, j]=1\right } } \text { , 这是对应于 } 1 \text { s在专栏中 } \operatorname { c o l } { A } [ j ] \text { . }
  定义 3.13。(简化矩阵) 让 $\operatorname{low}_A[j]$ 表示最后一个 1 的行索引 $j$ 第列 $A$ ，我们称之为列的低行索引 $j$. 它对 于空列是末定义的 (标有 $-1$ 在算法 3) 中。矩阵 $A$ 如果低，则减少 (或减少形式) $[j] \neq \operatorname{low}_A\left[j^{\prime}\right]$ 对于 任何 $j \neq j^{\prime}$ ；也就是说，没有两列共享相同的低行索引。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Efficient Implementation

矩阵缩减算法从左到右考虑一列，并通过从左到右的加法来减少它。正如我们所观察到的，每次添加到 具有索引的列 $j$ 推动 $\operatorname{low}_D[j]$ 向上。在这种情况下 $\sigma_j$ 是一个正单纯形，整个列被清零。一般来说，正单形 比负单形产生更多的成本，因为 $\operatorname{low}_D[\cdot]$ 需要一直向上推以将整个列归零。但是，它们不参与任何末来的 从左到右的列添加。因此，如果事先知道单纯形 $\sigma_j$ 将是一个正单纯形，然后是将列归零的昂贵步驵㼋 $j$ 以 避免。

Chen 和 Kerber [94] 观察到以下简单事实。如果我们对输入过滤进行维度逆向处理，即对边界矩阵进行 处理 $D_p, p=1, \ldots, d$ ，按维度降序排列，然后是持久性对 $\left(\sigma^{p-1}, \sigma^p\right)$ 从检测到 $D_p$ 在处理列之前 $\sigma^{p-1}$ 在 $D_{p-1}$. 幸运的是，我们已经知道 $\sigma^{p-1}$ 必须是正单纯形，因为它不能与负单纯形配对 $\sigma^p$ 除此以外。所 以，我们可以简单地忽略列 $\sigma^{p-1}$ 加工时 $D_{p-1}$. 我们称之为清除列 $p-1$. 实际上，在出现大量正单纯形的 情况下（例如在 Rips 过滤中），这可以节省大量计算。算法 4：ClearPersistence 实现了这个想法。
我们不能利用过滤中最后一个维度的清理。如果 $d$ 是输入过滤中单纯形的最高维度，矩阵 $D_d$ 必须对所有 列进行处理，因为正的配对 $d$-单纯形不可用。
如果数量 $d-$ 单形与低维单形的数量相比很大，处理它们的列所产生的成本仍然很高。例如，在限制为特 定维度的 Rips 过滤中 $d$ ，的数量 $d$ – 单纯形通常变得比数量大得多，比如说，
1-单纯形。在这些情况下，如果可以向前应用清算，则清算可能更具成本效益。
在这方面，以下观察会有所帮助。让 $\mathrm{D}_{-} \mathrm{p}^{\wedge}$ 表示矩阵的反转置 $D_p$ ，由转置定义 $D_p$ 列和行被反向排序。这 意味着如果 $D_p$ 有行和列索引 $1, \ldots, m$ 和 $1, \ldots, n$, 分别是 $\left.D_p^{(} i, j\right)=D_p(n+1-j, m+1-i)$. 我 们称之为扭曲矩阵 $D_p$. 数字 $3.13$ 显示扭曲矩阵^ 矩阵的 $D$ 在图中 $3.12$ 其中行和列标有原始矩阵的索引。 以下命题保证我们可以计算持久性对 $D_P$ 从矩阵 D_p $^{\wedge}$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stability of Persistence Diagrams

A persistence diagram $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$, as a set of points in the extended plane $\overline{\mathbb{R}}^2$, summarizes certain topological information of a simplicial complex (space) in relation to the function $f$ that induces the filtration $\mathcal{F}_f$. However, this is not useful in practice unless we can be certain that a slight change in $f$ does not change this diagram dramatically. In practice $f$ is seldom measured accurately, and if its persistence diagram can be approximated from a slightly perturbed version, it becomes useful. Fortunately, persistence diagrams are stable. To formulate this stability, we need a notion of distance between persistence diagrams.

Let $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ be two persistence diagrams for two functions $f$ and $g$. We want to consider bijections between points from $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$. However, they may have different cardinality for off-diagonal points. Recall that persistence diagrams include the points on the diagonal $\Delta$ each with infinite multiplicity. This addition allows us to borrow points from the diagonal when necessary to define the bijections. Note that we are considering only filtrations of finite complexes which also make each homology group finite.

Definition 3.9. (Bottleneck distance) Let $\Pi=\left{\pi: \operatorname{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right) \rightarrow\right.$ $\left.\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right}$ denote the set of all bijections. Consider the distance between two points $x=\left(x_1, x_2\right)$ and $y=\left(y_1, y_2\right)$ in $L{\infty}$-norm $|x-y|_{\infty}=$ $\max \left{\left|x_1-x_2\right|,\left|y_1-y_2\right|\right}$ with the assumption that $\infty-\infty=0$. The bottleneck distance between the two diagrams (see Figure $3.10$ ) is
$$
\mathrm{d}b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\inf {\pi \in \Pi} \sup {x \in \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)}|x-\pi(x)|{\infty} .
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Computing Bottleneck Distances

Let $A$ and $B$ be the nondiagonal points in two persistence diagrams $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$, respectively. For a point $a \in A$, let $\bar{a}$ denote the nearest point of $a$ on the diagonal. Define $\bar{b}$ for every point $b \in B$ similarly. Let $\bar{A}={\bar{a}}$ and $\bar{B}={\bar{b}}$. Let $\tilde{A}=A \cup \bar{B}$ and $\tilde{B}=B \cup \bar{A}$. We want to bijectively match points in $\tilde{A}$ and $\tilde{B}$. Let $\Pi={\pi}$ denote such a matching. It follows from the definition that
$$
\mathrm{d}b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\min {\pi \in \Pi} \sup {a \in \tilde{A}, \pi(a) \in \tilde{B}}|a-\pi(a)|{\infty} .
$$
Then, the bottleneck distance we want to compute must be $L_{\infty}$ distance $\max \left{\left|x_a-x_b\right|,\left|y_a-y_b\right|\right}$ for two points $a \in \tilde{A}$ and $b \in \tilde{B}$. We do a binary search on all such possible $O\left(n^2\right)$ distances where $|\tilde{A}|=|\tilde{B}|=n$. Let $\delta_0, \delta_1, \ldots, \delta_{n^{\prime}}$ be the sorted sequence of these distances in a nondecreasing order.

Given a $\delta=\delta_i \geq 0$ where $i$ is the median of the index in the hinary search interval $[\ell, u]$, we construct a bipartite graph $G=(\tilde{A} \cup \tilde{B}, E)$ where an edge $e=(a, b){{a \in \tilde{A}, b \in \tilde{B}}}$ is in $E$ if and only if either both $a \in \bar{A}$ and $b \in \bar{B}$ (weight $(e)=0$ ) or $|a-b|{\infty} \leq \delta$ (weight $(e)=|a-b|_{\infty}$ ). A complete matching in $G$ is a set of $n$ edges so that every vertex in $\tilde{A}$ and $\tilde{B}$ is incident to exactly one edge in the set. To determine if $G$ has a complete matching, one can use an $O\left(n^{2.5}\right)$ algorithm of Hopcroft and Karp [198] for complete matching in a bipartite graph. However, exploiting the geometric embedding of the points in the persistence diagrams, we can apply an $O\left(n^{1.5}\right)$ time algorithm of Efrat et al. [154] for the purpose. If such an algorithm affirms that a complete matching exists, we do the following: If $\ell=u$ we output $\delta$, otherwise we set $u=i$ and repeat. If no matching exists, we set $\ell=i$ and repeat. Observe that matching has to exist for some value of $\delta$, in particular for $\delta_{n^{\prime}}$ and thus the binary search always succeeds. Algorithm 1: BoTTLENECK lays out the pseudocode for this matching. The algorithm runs in $O\left(n^{1.5} \log n\right)$ time accounting for the $O(\log n)$ probes for binary search each applying an $O\left(n^{1.5}\right)$ time matching algorithm. However, to achieve this complexity, we have to avoid sorting $n^{\prime}=O\left(n^2\right)$ values taking $O\left(n^2 \log n\right)$ time. Again, using the geometric embedding of the points, one can perform the binary probes without incurring the cost for sorting. For details and an efficient implementation of this algorithm, seee [209].

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stability of Persistence Diagrams

持久性图 $\operatorname{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right)$ ，作为扩展平面中的一组点 $\overline{\mathbb{R}}^2$ ，总结了与函数相关的单纯复形 (空间) 的某些拓扑 信息 $f$ 诱导过滤 $\mathcal{F}_f$. 然而，这在实践中没有用，除非我们可以确定 $f$ 不会显着改变此图。在实践中 $f$ 很少 被准确测量，如果它的持久性图可以从一个轻微扰动的版本中近似出来，它就会变得有用。幸运的是， 持久性图是稳定的。为了表达这种稳定性，我们需要持久性图之间的距离概念。 让D $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ 是两个函数的两个持久性图 $f$ 和 $g$. 我们想考虑点之间的双射 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$. 但是，对于非对角线点，它们可能具有不同的基数。回想一下持久性图包括对角线上的点 $\Delta$ 每个都有无限的多样性。这种添加允许我们在必要时从对角线上借用点来定义双射。请注意，我们只 考虑有限复形的过滤，这也使每个同调群都有限。 定义 3.9。 (瓶颈距离) 让 表示所有双射的集合。考虑两点之间的距离 $x=\left(x_1, x_2\right)$ 和 $y=\left(y_1, y_2\right)$ 在 $L \infty$-规范 $|x-y|{\infty}=$ $3.10)$ 是
$$
\mathrm{d} b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\inf \pi \in \Pi \sup x \in \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)|x-\pi(x)| \infty
$$

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让 $A$ 和 $B$ 是两个持久性图中的非对角点 $\mathrm{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ ，分别。对于一点 $a \in A$ ，让 $\bar{a}$ 表示 最近的点 $a$ 在对角线上。定义 $\bar{b}$ 对于每一点 $b \in B$ 相似地。让 $\bar{A}=\bar{a}$ 和 $\bar{B}=\bar{b}$. 让 $\tilde{A}=A \cup \bar{B}$ 和 $$ \mathrm{d} b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\min \pi \in \Pi \sup a \in \tilde{A}, \pi(a) \in \tilde{B}|a-\pi(a)| \infty . $$ $a \in \tilde{A}$ 和 $b \in \tilde{B}$. 我们对所有可能的情况进行二分查找 $O\left(n^2\right)$ 距离在哪里 $|\tilde{A}|=|\tilde{B}|=n$. 让 $\delta_0, \delta_1, \ldots, \delta{n^{\prime}}$ 是这些距离的非递减顺序的排序序列。
给定一个 $\delta=\delta_i \geq 0$ 在哪里 $i$ 是 hinary 搜索区间中索引的中位数 $[\ell, u]$ ，我们构造一个二分图 $G=(\tilde{A} \cup \tilde{B}, E$ ) 哪里有边 $e=(a, b) a \in \tilde{A}, b \in \tilde{B}$ 在 $E$ 当且仅当两者都有 $a \in \bar{A}$ 和 $b \in \bar{B}$ (重量
$(e)=0$ ) 要么 $|a-b| \infty \leq \delta$ (重量 $(e)=|a-b|{\infty}$ ). 一个完整的匹配 $G$ 是一组 $n$ 边使得每个顶点在 $\tilde{A}$ 和 $\tilde{B}$ 恰好与集合中的一条边相关。确定是否 $G$ 有一个完整的匹配，一个可以使用 $O\left(n^{2.5}\right)$ Hopcroft 和 Karp [198] 的算法用于二分图中的完全匹配。然而，利用持久性图中点的几何嵌入，我们可以应用 $O\left(n^{1.5}\right)$ Efrat 等人的时间算法。[154] 的目的。如果这样的算法确认存在完全匹配，我们将执行以下操 作: 如果 $\ell=u$ 我们输出 $\delta$ ，否则我们设置 $u=i$ 并重复。如果不存在匹配项，我们设置 $\ell=i$ 并重复。观 察到对于某些值必须存在匹配 $\delta$ ，特别是对于 $\delta{n^{\prime}}$ 因此二分查找总是成功的。算法 1: BOTTLENECK 列出 了此匹配的伪代码。该算法运行于 $O\left(n^{1.5} \log n\right)$ 时间占 $O(\log n)$ 用于二进制搜索的探针每个应用一个 $O\left(n^{1.5}\right)$ 时间匹配算法。然而，为了实现这种复杂性，我们必须避免排序 $n^{\prime}=O\left(n^2\right)$ 取值
$O\left(n^2 \log n\right)$ 时间。同样，使用点的几何嵌入，可以在不产生排序成本的情况下执行二元探测。有关此 算法的详细信息和有效实现，请参阅 [209]。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence

In both cases of space and simplicial filtration $\mathcal{F}$, we arrive at a homology module:
$$
\mathrm{H}p \mathcal{F}: 0=\mathrm{H}_p\left(X_0\right) \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_1\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_i\right) \rightarrow \stackrel{h_p^{h_j}}{ } \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_j\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_n\right)=\mathrm{H}_p(X), $$ where $X_i=\mathbb{T}{a_i}$ if $\mathcal{F}$ is a space filtration of a topological space $X=\mathbb{T}$ or $X_i=K_i$ if $\mathcal{F}$ is a simplicial filtration of a simplicial complex $X=K$. Persistent homology groups for a homology module are algebraic structures capturing the survival of the homology classes through this sequence. In general, we will call homology modules persistence modules in Section $3.4$ recognizing that we can replace homology groups with vector spaces.

Definition 3.4. (Persistent Betti number) The $p$-th persistent homology groups are the images of the homomorphisms: $\mathrm{H}_p^{i, j}=\operatorname{im} h_p^{i, j}$, for $0 \leq i \leq$ $j \leq n$. The $p$-th persistent Betti numbers are the dimensions $\beta_p^{i, j}=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p^{i, j}$ of the vector spaces $\mathrm{H}_p^{i, j}$.

The $p$-th persistent homology groups contain the important information of when a homology class is born or when it dies. The issue of birth and death of a class becomes more subtle because when a new class is born, many other classes that are the sum of this new class and any other existing class are also born. Similarly, when a class ceases to exist, many other classes may cease to exist along with it. Therefore, we need a mechanism to pair births and deaths canonically. Figure $3.7$ illustrates the birth and death of a class, though the pairing of birth and death events is more complicated as stated in Fact 3.3.
Observe that the nontrivial elements of $p$-th persistent homology groups $\mathrm{H}_p^{i, j}$ consist of classes that survive from $X_i$ to $X_j$, that is, the classes which do not get “quotiented out” by the boundaries in $X_j$. So, one can observe the following.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence Diagram

Fact $3.3$ provides a qualitative characterization of the pairing of births and deaths of classes. Now we give a quantitative characterization which helps to draw a visual representation of this pairing called a persistence diagram; see Figure 3.8(a). Consider the extended plane $\overline{\mathbb{R}}^2:=(\mathbb{R} \cup{\pm \infty})^2$ on which we represent the birth at $a_i$ paired with the death at $a_j$ as a point $\left(a_i, a_j\right)$. This pairing uses a persistence pairing function $\mu_p^{i, j}$ defined below. Strictly positive values of this function correspond to multiplicities of points in the persistence diagram (Definition 3.8). In what follows, to account for classes that never die, we extend the induced module in Eq. (3.3) on the right end by assuming that $\mathrm{H}p\left(X{n+1}\right)=0$.
Definition 3.6. For $0<i<j \leq n+1$, define
$$
\mu_p^{i, j}=\left(\beta_p^{i, j-1}-\beta_p^{i, j}\right)-\left(\beta_p^{i-1, j-1}-\beta_p^{i-1, j}\right) .
$$
The first difference on the right-hand side counts the number of independent classes that are born at or before $X_i$ and die entering $X_j$. The second difference counts the number of independent classes that are born at or before $X_{i-1}$ and die entering $X_j$. The difference between the two differences thus counts the number of independent classes that are born at $X_i$ and die entering $X_j$. When $j-n+1, \mu_p^{i, n+1}$ counts the number of independent classes that are born at $X_i$ and die entering $X_{n+1}$. They remain alive till the end in the original filtration without extension, or we say that they never die. To emphasize that classes which exist in $X_n$ actually never die, we equate $n+1$ with $\infty$ and take $a_{n+1}=$ $a_{\infty}=\infty$. Observe that, with this assumption, we have $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ for every $i \leq n$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence

在空间和简单过滤的两种情况下 $\mathcal{F}$ ，我们得到一个同源模块:
$$
\mathrm{H} p \mathcal{F}: 0=\mathrm{H}_p\left(X_0\right) \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_1\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_i\right) \rightarrow h_p^{h_j} \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_j\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_n\right)=\mathrm{H}_p
$$
在哪里 $X_i=\mathbb{T} a_i$ 如果 $\mathcal{F}$ 是拓扑空间的空间过滤 $X=\mathbb{T}$ 要么 $X_i=K_i$ 如果 $\mathcal{F}$ 是单纯复形的单纯过滤 $X=K$. 同源模块的持久同源群是通过该序列捕获同源类生存的代数结构。一般来说，我们会在Section 中调用同源模块persistence modules3.4认识到我们可以用向量空间代替同调群。
定义 3.4。 (持久的 Betti 号码) $p$-th 持久同源群是同态的图像: $\mathrm{H}_p^{i, j}=\operatorname{im} h_p^{i, j}$ ，为了 $0 \leq i \leq j \leq n$ . 这 $p$-th 持久的 Betti 数字是维度 $\beta_p^{i, j}=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p^{i, j}$ 向量空间 $\mathrm{H}_p^{i, j}$.
这 $p$-th 持久同源群包含同源类何时诞生或何时消亡的重要信息。一个类的生雨问题变得更加微妙，因为 当一个新类诞生时，许多其他类也诞生了，这些类是这个新类和任何其他现有类的总和。同样，当一个 类不复存在时，许多其他类也可能随之不复存在。因此，我们需要一种机制来规范地配对出生和死亡。 数字3.7说明了一个类的出生和死亡，尽管如事实 $3.3$ 所述，出生和死亡事件的配对更为复杂。
观察到的非平凡元素 $p$-th 持久同源群 $\mathrm{H}_p^{i, j}$ 由从中幸存下来的类组成 $X_i$ 到 $X_j$ ，也就是说，没有被边界“商 出”的类 $X_j$. 因此，可以观察以下内容。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence Diagram

事实3.3提供了阶级出生和死亡配对的定性特征。现在我们给出一个定量特征，这有助于绘制这种配对的 可视化表示，称为持久性图；见图 3.8(a)。考虑扩展平面 $\bar{R}^2:=(\mathbb{R} \cup \pm \infty)^2$ 我们代表出生于 $a_i$ 与死亡 配对 $a_j$ 作为一个点 $\left(a_i, a_j\right)$. 本次配对使用持久配对功能 $\mu_p^{i, j}$ 定义如下。此函数的严格正值对应于持久性 图中的多个点（定义 3.8) 。接下来，为了解释永不消亡的类，我们扩展了方程式中的诱导模块。(3.3) 在 右端假设 $\mathrm{H} p(X n+1)=0$.
定义 3.6。为了 $0<i<j \leq n+1$ ，定义
$$
\mu_p^{i, j}=\left(\beta_p^{i, j-1}-\beta_p^{i, j}\right)-\left(\beta_p^{i-1, j-1}-\beta_p^{i-1, j}\right) .
$$
右侧的第一个差值计算出生时或之前出生的独立班级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_j$. 第二个差异计算出生在或 之前的独立班级的数量 $X_{i-1}$ 并死于进入 $X_j$. 因此，这两个差异之间的差异计算了出生时独立阶级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_j$. 什么时候 $j-n+1, \mu_p^{i, n+1}$ 计算出生于的独立班级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_{n+1}$. 它们 在原始过滤中一直存活到最后，没有延伸，或者我们说它们永远不会死。强调存在于 $X_n$ 实际上永远不会 死，我们等同于 $n+1$ 和 $\infty$ 并釆取 $a_{n+1}=a_{\infty}=\infty$. 观察到，根据这个假设，我们有 $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ 每一个 $i \leq n$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Some Algebras of Small Dimensions

One might like to know how many $K$-algebras there are of a given dimension, up to isomorphism. In general there might be far too many different algebras, but for small dimensions one can hope to get a complete overview. We fix a field $K$, and we consider $K$-algebras of dimension at most 2. For these, there are some restrictions.
Proposition 1.28. Let $K$ be a field.
(a) Every 1 -dimensional $K$-algebra is isomorphic to $K$.
(b) Every 2-dimensional $K$-algebra is commutative.
Proof. (a) Let $A$ be a 1-dimensional $K$-algebra. Then $A$ must contain the scalar multiples of the identity element, giving a subalgebra $U:=\left{\lambda 1_{A} \mid \lambda \in K\right} \subseteq A$. Then $U=A$, since $A$ is 1-dimensional. Moreover, according to axiom (Alg) from Definition $1.1$ the product in $U$ is given by $\left(\lambda 1_{A}\right)\left(\mu 1_{A}\right)=(\lambda \mu) 1_{A}$ and hence the map $A \rightarrow K, \lambda 1_{A} \mapsto \lambda$, is an isomorphism of $K$-algebras.

(b) Let $A$ be a 2-dimensional $K$-algebra. We can choose a basis which contains the identity element of $A$, say $\left{1_{A}, b\right}$ (use from linear algebra that every linearly independent subset can be exlended to a basis). The basis elements clearly commute; but then also any linear combinations of basis elements commute, and therefore $A$ is commutative.

We consider now algebras of dimension 2 over the real numbers $\mathbb{R}$. The aim is to classify these, up to isomorphism. The method will be to find suitable bases, leading to ‘canonical’ representatives of the isomorphism classes. It will turn out that there are precisely three $\mathbb{R}$-algebras of dimension 2, see Proposition $1.29$ below.

So we take a 2-dimensional $\mathbb{R}$-algebra $A$, and we choose a basis of $A$ containing the identity. say $\left{1_{A}, b\right}$, as in the above proof of Proposition $1.28$. Then $b^{2}$ must be a linear combination of the basis elements, so there are scalars $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ such that $b^{2}=\gamma 1_{A}+\delta b$. We consider the polynomial $X^{2}-\delta X-\gamma \in \mathbb{R}[X]$ and we complete squares,
$$
X^{2}-\delta X-\gamma=(X-\delta / 2)^{2}-\left(\gamma+(\delta / 2)^{2}\right)
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

A vector space over a field $K$ is an abelian group $V$ together with a scalar multiplication $K \times V \rightarrow V$, satisfying the usual axioms. If one replaces the field $K$ by a ring $R$, then one gets the notion of an $R$-module. Although we mainly deal with algebras over fields in this book, we slightly broaden the perspective in this chapter by defining modules over rings. We always assume that rings contain an identity element.

Definition 2.1. Let $R$ be a ring with identity element $1_{R}$. A left $R$-module (or just $R$-module ) is an abelian group $(M,+)$ together with a map
$$
R \times M \rightarrow M, \quad(r, m) \mapsto r \cdot m
$$
such that for all $r, s \in R$ and all $m, n \in M$ we have
(i) $(r+s) \cdot m=r \cdot m+s \cdot m$;
(ii) $r \cdot(m+n)=r \cdot m+r \cdot n$;
(iii) $r \cdot(s \cdot m)=(r s) \cdot m$;
(iv) $1_{R} \cdot m=m$.

Exercise 2.1. Let $R$ be a ring (with zero element $0_{R}$ and identity element $1_{R}$ ) and $M$ an $R$-module with zero element $0_{M}$. Show that the following holds for all $r \in R$ and $m \in M$ :
(i) $0_{R} \cdot m=0_{M}$
(ii) $r \cdot 0_{M}=0_{M}$;
(ii) $-(r \cdot m)=(-r) \cdot m=r \cdot(-m)$, in particular $-m=\left(-1_{R}\right) \cdot m$.
Remark 2.2. Completely analogous to Definition $2.1$ one can define right $R$-modules, using a map $M \times R \rightarrow M,(m, r) \mapsto m \cdot r$. When the ring $R$ is not commutative the behaviour of left modules and of right modules can be different; for an illustration see Exercise $2.22$. We will consider only left modules, since we are mostly interested in the case when the ring is a $K$-algebra, and scalars are usually written to the left.

Before dealing with elementary properties of modules we consider a few examples.
Example 2.3.
(1) When $R=K$ is a field, then $R$-modules are exactly the same as $K$-vector spaces. Thus, modules are a true generalization of the concept of a vector space.
(2) Let $R=\mathbb{Z}$, the ring of integers. Then every abelian group can be viewed as a $\mathbb{Z}$-module: If $n \geq 1$ then $n \cdot a$ is set to be the sum of $n$ copies of $a$, and $(-n) \cdot a:=-(n \cdot a)$, and $0_{\mathbb{Z}} \cdot a=0$. With this, conditions (i) to (iv) in Definition $2.1$ hold in any abelian group.
(3) Let $R$ be a ring (with 1 ). Then every left ideal $I$ of $R$ is an $R$-module, with $R$-action given by ring multiplication. First, as a left ideal, $(I,+)$ is an abelian group. The properties (i)-(iv) hold even for arbitrary elements in $R$.
(4) A very important special case of $(3)$ is that every ring $R$ is an $R$-module, with action given by ring multiplication.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Some Algebras of Small Dimensions

可能想知道有多少 $K$-代数有一个给定的维度，直到同构。一般来说，可能有太多不同的代数，但对于小尺寸，人 们可以希望得到一个完整的概述。我们修复一个字段 $K$, 我们认为 $K$ – 维数最多为 2 的代数。对于这些，有一些限 制。
提案 $1.28$ 。让 $K$ 成为一个领域。
(a) 每一维 $K$-代数同构于 $K$.
(b) 每个二维 $K$-代数是可交换的。
证明。(a) 让 $A$ 是一维的 $K$-代数。然后 $A$ 必须包含单位元素的标量倍数，给出一个子代数
$\mathrm{~ U : = I l e f t { l l a m b d a ~ 1 _ { A } ~ \ m i d ~ \ l a m b d a ~ \ i n ~ K}$ 公理 (Alg) 1.1产品在 $U$ 是 (谁) 给的 $\left(\lambda 1_{A}\right)\left(\mu 1_{A}\right)=(\lambda \mu) 1_{A}$ 因此地图 $A \rightarrow K, \lambda 1_{A} \mapsto \lambda$ ，是一个同构 $K$-代 数。
(b) 让 $A$ 是二维的 $K$-代数。我们可以选择一个包含恒等元素的基 $A$ ，说】left{1_{A}, b\right } （使用线性代数，每个 线性独立的子集都可以扩展为一个基)。基本元素明显通勤；但随后基元素的任何线性组合也可以通勤，因此 $A$ 是 可交换的。
我们现在考虑实数上的 2 维代数 $\mathbb{R}$. 目的是将这些分类，直至同构。该方法将是找到合适的基，从而导致同构类的 $\mathrm{~ ” 规 范 ” 代 表 。 事 实 证 明 ， 恰 好 有 三 个}$
所以我们取一个二维 $\mathbb{R}$-代数 $A$, 我们选择一个基 $A$ 包含身份。说 \left{1_{A}, bIright $}$, 如上述命题证明 $1.28$. 然后 $b^{2}$ 必 须是基元素的线性组合，所以有标量 $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ 这样 $b^{2}=\gamma 1_{A}+\delta b$. 我们考虑多项式 $X^{2}-\delta X-\gamma \in \mathbb{R}[X]$ 我 们完成正方形，
$$
X^{2}-\delta X-\gamma=(X-\delta / 2)^{2}-\left(\gamma+(\delta / 2)^{2}\right)
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

场上的向量空间 $K$ 是一个阿贝尔群 $V$ 连同一个标量乘法 $K \times V \rightarrow V$ ，满足通常的公理。如果葛换字段 $K$ 用戒指 $R$ ，然 后人们得到一个概念 $R$-模块。虽然我们在本书中主要处理域上的代数，但我们通过定义环上的模块稍微拓宽了本章的视 野。我们总是假设环包含一个恒等元表。
定义 2.1。让 $R$ 是一个有身份元表的戒指 $1_{R}$.一个左 $R$-module (或只是 $R$-module) 是一个阿贝尔群 $(M,+)$ 连同一张 地图
$$
R \times M \rightarrow M, \quad(r, m) \mapsto r \cdot m
$$
这样对于所有人 $r, s \in R$ 和所有 $m, n \in M$ 我们有
(-) $(r+s) \cdot m=r \cdot m+s \cdot m$;
(二) $r \cdot(m+n)=r \cdot m+r \cdot n$;
$(\xi) r \cdot(s \cdot m)=(r s) \cdot m$
(四) $1_{R} \cdot m=m$.
练习 2.1。让 $R$ 是一个环 $\left(\right.$ 零元素 $0_{R}$ 和身份元螦 $\left.1_{R}\right)$ 和 $M 一 个 R$ – 零元素模块 $0_{M}$. 证明以下对所有人都成立 $r \in R$ 和 $m \in M$ : (
一) $0_{R} \cdot m=0_{M}$
(二) $r \cdot 0_{M}=0_{M}$;
(二) $-(r \cdot m)=(-r) \cdot m=r \cdot(-m)$ ，尤其是 $-m=\left(-1_{R}\right) \cdot m$.
备注 2.2。完全类似于定义 $2.1$ 可以定义正确 $R$-modules，使用地图 $M \times R \rightarrow M,(m, r) \mapsto m \cdot r$. 当戒指 $R$ 不是可 交换的，左模块和右模块的行为可以不同；有关揷图，清参阅练习2.22. 我们将只考虑左模块，因为我们最感兴趣的是环 是 $K$-代数，标量通常写在左边。
在处理模块的基本属性之前，我们考虑几个例子。
例 2.3。
(1) 当 $R=K$ 是一个场，那么 $R$-modules 与 $K$-向量空间。因此，模块是向量空间概念的真正概括。
(2) 让 $R=\mathbb{Z}$, 整数环。那么每个阿贝尔群都可以看成一个 $\mathbb{Z}$-模块: 如果 $n \geq 1$ 然后 $n \cdot a$ 被设置为总和 $n$ 的副本 $a$ ，和 $(-n) \cdot a:=-(n \cdot a)$ ，和 $0_{\mathbb{Z}} \cdot a=0$. 这样，定义中的条件 (i) 至 (iv) $2.1$ 在任何阿贝尔群中成立。
(3) 让 $R$ 是一个环（芇有 1) 。那么每一个左理想 $I$ 的 $R$ 是一个 $R$-模块，与 $R$-由环乘法给出的动作。首先，作为左派理 想， $(I,+)$ 是一个阿贝尔群。属性 (i)-(iv) 甚至适用于 $R$.
(4) 一个非常重要的特例 $(3)$ 是每一个环 $R$ 是一个 $R$-模块，通过环乘法给出动作。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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如果你也在 怎样代写表示论Representation theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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我们提供的表示论Representation theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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• Statistical Computing 统计计算
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Group Algebras

Let $G$ be a group and $K$ a field. We define a vector space over $K$ which has basis the set ${g \mid g \in G}$, and we call this vector space $K G$. This space becomes a $K$-algebra if one defines the product on the basis by taking the group multiplication, and extends it to linear combinations. We call this algebra $K G$ the group algebra.
Thus an arbitrary element of $K G$ is a finite linear combination of the form $\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ with $\alpha_{g} \in K$. We can write down a formula for the product of two elements, following the recipe in Remark 1.4. Let $\alpha=\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ and $\beta=\sum_{h \in G} \beta_{h} h$ be two elements in $K G$; then their product has the form
$$
\alpha \beta=\sum_{x \in G}\left(\sum_{g h=x} \alpha_{g} \beta_{h}\right) x
$$
Since the multiplication in the group is associative, it follows that the multiplication in $K G$ is associative. Furthermore, one checks that the multiplication in $K G$ is distributive. The identity element of the group algebra $K G$ is given by the identity element of $G$.

Note that the group algebra $K G$ is finite-dimensional if and only if the group $G$ is finite, in which case the dimension of $K G$ is equal to the order of the group $G$. The group algebra $K G$ is commutative if and only if the group $G$ is abelian.

Example 1.10. Let $G$ be the cyclic group of order 3 , generated by $y$, so that $G=\left{1_{G}, y, y^{2}\right}$ and $y^{3}=1_{G}$. Then we have
$$
\left(a_{0} 1_{G}+a_{1} y+a_{2} y^{2}\right)\left(b_{0} 1_{G}+b_{1} y+b_{2} y^{2}\right)=c_{0} 1_{G}+c_{1} y+c_{2} y^{2},
$$
with
$$
c_{0}=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}, c_{1}=a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}+a_{2} b_{2}, c_{2}=a_{0} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{0}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Path Algebras of Quivers

Path algebras of quivers are a class of algebras with an easy multiplication formula, and they are extremely useful for calculating examples. They also have connections to other parts of mathematics. The underlying basis of a path algebra is the set of paths in a finite directed graph. It is customary in representation theory to call such a graph a quiver. We assume throughout that a quiver has finitely many vertices and finitely many arrows.

Definition 1.11. A quiver $Q$ is a finite directed graph. We sometimes write $Q=\left(Q_{0}, Q_{1}\right)$, where $Q_{0}$ is the set of vertices and $Q_{1}$ is the set of arrows.

We assume that $Q_{0}$ and $Q_{1}$ are finite sets. For any arrow $\alpha \in Q_{1}$ we denote by $s(\alpha) \in Q_{0}$ its starting point and by $t(\alpha) \in Q_{0}$ its end point.

A non-trivial path in $Q$ is a sequence $p=\alpha_{r} \ldots \alpha_{2} \alpha_{1}$ of arrows $\alpha_{i} \in Q_{1}$ such that $t\left(\alpha_{i}\right)=s\left(\alpha_{i+1}\right)$ for all $i=1, \ldots, r-1$. Note that our convention is to read paths from right to left. The number $r$ of arrows is called the length of $p$, and we denote by $s(p)=s\left(\alpha_{1}\right)$ the starting point, and by $t(p)=t\left(\alpha_{r}\right)$ the end point of $p$.
For each vertex $i \in Q_{0}$ we also need to have a trivial path of length 0 , which we call $e_{i}$, and we set $s\left(e_{i}\right)=i=t\left(e_{i}\right)$.

We call a path $p$ in $Q$ an oriented cycle if $p$ has positive length and $s(p)=t(p)$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Group Algebras

让 $G$ 成为一个群体并且 $K$ 一个领域。我们定义一个向量空间 $K$ 有基础的集合 $g \mid g \in G$ ，我们称这个向量空间 $K G$. 这个空间变成了 $K$-代数，如果一个人通过群乘来定义乘积，并将其扩展到线性组合。我们称这个代数 $K G$ 群代 数。
因此，任意元素 $K G$ 是形式的有限线性组合 $\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ 和 $\alpha_{g} \in K$. 我们可以按照备注 $1.4$ 中的配方写出两个元素 的乘积公式。让 $\alpha=\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ 和 $\beta=\sum_{h \in G} \beta_{h} h$ 是两个元素 $K G$; 然后他们的产品有形式
$$
\alpha \beta=\sum_{x \in G}\left(\sum_{g h=x} \alpha_{g} \beta_{h}\right) x
$$
由于群中的乘法是结合的，因此群中的乘法 $K G$ 是关联的。此外，一个检查的乘法 $K G$ 是分布式的。群代数的单位 元 $K G$ 由标识元素给出 $G$.
注意群代数 $K G$ 是有限维的当且仅当群 $G$ 是有限的，在这种情况下，维度 $K G$ 等于组的阶 $G$. 群代数 $K G$ 当且仅当 群是可交换的 $G$ 是阿贝尔。
$$
\left(a_{0} 1_{G}+a_{1} y+a_{2} y^{2}\right)\left(b_{0} 1_{G}+b_{1} y+b_{2} y^{2}\right)=c_{0} 1_{G}+c_{1} y+c_{2} y^{2},
$$
和
$$
c_{0}=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}, c_{1}=a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}+a_{2} b_{2}, c_{2}=a_{0} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{0}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Path Algebras of Quivers

箭袋的路径代数是一类具有简单乘法公式的代数，它们对于计算示例非常有用。它们还与数学的其他部分有联系。 路径代数的基础是有限有向图中的路径集。在表示论中习恀称这样的图为箭袋。我们自始至终假设一个箭袋有有限 个顶点和有限个箭头。
定义 1.11。一个箭筒 $Q$ 是有限有向图。我们有时会写 $Q=\left(Q_{0}, Q_{1}\right)$ ，在哪里 $Q_{0}$ 是顶点的集合，并且 $Q_{1}$ 是箭头 的集合。
我们假设 $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 是有限集。对于任何箭头 $\alpha \in Q_{1}$ 我们表示 $s(\alpha) \in Q_{0}$ 它的起点和 $t(\alpha) \in Q_{0}$ 它的终点。
一条不平凡的路径 $Q$ 是一个序列 $p=\alpha_{r} \ldots \alpha_{2} \alpha_{1}$ 箭头 $\alpha_{i} \in Q_{1}$ 这样 $t\left(\alpha_{i}\right)=s\left(\alpha_{i+1}\right)$ 对所有人 $i=1, \ldots, r-1$. 请注意，我们的约定是从右到左读取路径。号码 $r$ 箭头的长度称为 $p$ ，我们表示为 $s(p)=s\left(\alpha_{1}\right)$ 起点，并由 $t(p)=t\left(\alpha_{r}\right)$ 的终点 $p$.
对于每个顶点 $i \in Q_{0}$ 我们还需要一个长度为 0 的平凡路径，我们称之为 $e_{i}$ ，我们设 $s\left(e_{i}\right)=i=t\left(e_{i}\right)$.
我们称之为路径 $p$ 在 $Q$ 一个定向循环如果 $p$ 具有正长度和 $s(p)=t(p)$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

We start by recalling the definition of a ring: A ring is a non-empty set $R$ together with an addition $+: R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r+s$ and a multiplication $:: R \times R \rightarrow R$, $(r, s) \mapsto r \cdot s$ such that the following axioms are satisfied for all $r, s, t \in R$ :
(R1) (Associativity of $+) r+(s+t)=(r+s)+t$.
(R2) (Zero element) There exists an element $0_{R} \in R$ such that $r+0_{R}=r=0_{R}+r$.
(R3) (Additive inverses) For every $r \in R$ there is an element $-r \in R$ such that $r+(-r)=0_{R}$
(R4) (Commutativity of $+) r+s=s+r$.
(R5) (Distributivity) $r \cdot(s+t)=r \cdot s+r \cdot t$ and $(r+s) \cdot t=r \cdot t+s \cdot t$.
(R6) (Associativity of $\cdot) r \cdot(s \cdot t)=(r \cdot s) \cdot t$.
(R7) (Identity element) There is an element $1_{R} \in R \backslash{0}$ such that $1_{R} \cdot r=r=r \cdot 1_{R}$
Moreover, a ring $R$ is called commutative if $r \cdot s=s \cdot r$ for all $r, s \in R$.
As usual, the multiplication in a ring is often just written as $r s$ instead of $r \cdot s$; we will follow this convention from now on.

Note that axioms ( $\mathrm{R} 1)-(\mathrm{R} 4)$ say that $(R,+)$ is an abelian group. We assume by Axiom (R7) that all rings have an identity element; usually we will just write 1 for $1_{R}$. Axiom (R7) also implies that $1_{R}$ is not the zero element. In particular, a ring has at least two elements.
We list some common examples of rings.
(1) The integers $\mathbb{Z}$ form a ring. Every field is also a ring, such as the rational numbers $\mathbb{Q}$, the real numbers $\mathbb{R}$, the complex numbers $\mathbb{C}$, or the residue classes $\mathbb{Z}{p}$ of integers modulo $p$ where $p$ is a prime number. (2) The $n \times n$-matrices $M{n}(K)$, with entries in a field $K$, form a ring with respect to matrix addition and matrix multiplication.
(3) The ring $K[X]$ of polynomials over a field $K$ where $X$ is a variable. Similarly, the ring of polynomials in two or more variables, such as $K[X, Y]$.

Examples (2) and (3) are not just rings but also vector spaces. There are many more rings which are vector spaces, and this has led to the definition of an algebra.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Division Algebras

A commutative ring is a field precisely when every non-zero element has an inverse with respect to multiplication. More generally, there are algebras in which every non-zero element has an inverse, and they need not be commutative.

Definition 1.7. An algebra $A$ (over a field $K$ ) is called a division algebra if every non-zero element $a \in A$ is invertible, that is, there exists an element $b \in A$ such that $a b=1_{A}=b a$. If so, we write $b=a^{-1}$. Note that if $A$ is finite-dimensional and $a b=1_{A}$ then it follows that $b a=1_{A}$; see Exercise $1.8$.

Division algebras occur naturally, we will see this later. Clearly, every field is a division algebra. There is a famous example of a division algebra which is not a field, this was discovered by Hamilton.

Example 1.8. The algebra $\mathbb{H}$ of quaternions is the 4-dimensional algebra over $\mathbb{R}$ with basis elements $1, i, j, k$ and with multiplication defined by
$$
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
$$
and
$$
i j=k, j i=-k, j k=i, k j=-i, k i=j, i k=-j
$$
and extending to linear combinations. That is, an arbitrary element of $\mathbb{H}$ has the form $a+b i+c j+d k$ with $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, and the product of two elements in $\mathbb{H}$ is given by
$$
\begin{aligned}
&\left(a_{1}+b_{1} i+c_{1} j+d_{1} k\right) \cdot\left(a_{2}+b_{2} i+c_{2} j+d_{2} k\right)= \
&\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}-c_{1} c_{2}-d_{1} d_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}+c_{1} d_{2}-d_{1} c_{2}\right) i \
&+\left(a_{1} c_{2}-b_{1} d_{2}+c_{1} a_{2}+d_{1} b_{2}\right) j+\left(a_{1} d_{2}+b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}+d_{1} a_{2}\right) k
\end{aligned}
$$
It might be useful to check this formula, see Exercise $1.11$.
One can check directly that the multiplication in $\mathrm{H}$ is associative, and that it satisfies the distributive law. But this will follow more easily later from a different construction of $\mathbb{H}$, see Example $1.27$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

我们首先回顾一下环的定义：环是一个非空集 $R$ 再加上一个+ : $R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r+s$ 和一个乘法 $:: R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r \cdot s$ 使得以下公理满足所有 $r, s, t \in R$ :
(R1) (结合性 $+) r+(s+t)=(r+s)+t$.
(R2) (零元素) 存在一个元素 $0_{R} \in R$ 这样 $r+0_{R}=r=0_{R}+r$.
(R3) (加法逆) 对于每个 $r \in R$ 有一个元素 $-r \in R$ 这样 $r+(-r)=0_{R}$
(R4) (交换律 $+) r+s=s+r$.
(R5) (分配性) $r \cdot(s+t)=r \cdot s+r \cdot t$ 和 $(r+s) \cdot t=r \cdot t+s \cdot t$.
(R6) (结合性.) $r \cdot(s \cdot t)=(r \cdot s) \cdot t$.
(R7) (标识元素) 有一个元素 $1_{R} \in R \backslash 0$ 这样 $1_{R} \cdot r=r=r \cdot 1_{R}$
此外，一个戒指 $R$ 被称为可交换如果 $r \cdot s=s \cdot r$ 对所有人 $r, s \in R$.
像往常一样，环中的乘法通常只写成 $r s$ 代替 $r \cdot s$; 从现在开始，我们将遵循这个约定。
请注意，公理 (R1) – (R4)比如说 $(R,+)$ 是一个阿贝尔群。我们通过 Axiom (R7) 假设所有环都有一个单位元 素；通常我们只写 1 为 $1_{R}$. 公理 (R7) 还暗示 $1_{R}$ 不是零元素。特别是，一个环至少有两个元素。
我们列出了一些常见的环示例。
(1) 整数 $\mathbb{Z}$ 形成一个环。每个域也是一个环，比如有理数 $\mathbb{Q}$ ，实数 $\mathbb{R}$ ，复数 $\mathbb{C}$ ，或剩余类 $\mathbb{Z} p$ 整数模 $p$ 在哪里 $p$ 是一个素 数。(2) $n \times n$-矩阵 $M n(K)$ ，在字段中包含条目 $K$ ，关于矩阵加法和矩阵乘法形成一个环。
(3) 戒指 $K[X]$ 域上的多项式 $K$ 在哪里 $X$ 是一个变量。类似地，两个或多个变量中的多项式环，例如 $K[X, Y]$.
示例 (2) 和 (3) 不仅是环，而且是向量空间。还有更多的环是向量空间，这导致了代数的定义。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Division Algebras

当每个非零元素都具有乘法的逆时，交换环就是一个域。更一般地说，有些代数中每个非零元素都有一个逆元，它 们不需要是可交换的。
定义 1.7。代数 $A$ (在一个领域 $K$ ) 称为除法代数，如果每个非零元素 $a \in A$ 是可逆的，即存在一个元素 $b \in A$ 这 样 $a b=1_{A}=b a$. 如果是这样，我们写 $b=a^{-1}$. 请注意，如果 $A$ 是有限维的并且 $a b=1_{A}$ 然后它遵偱 $b a=1_{A}$ ； 见练习1.8.
除法代数自然发生，我们稍后会看到。显然，每个领域都是一个除法代数。有一个不是域的除法代数的著名例子， 这是由汉密尔顿发现的。
例 1.8。代数 $\mathbb{H}$ 四元数的 4 维代数 $\mathbb{R}$ 有基础元素 $1, i, j, k$ 乘法定义为
$$
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
$$
和
$$
i j=k, j i=-k, j k=i, k j=-i, k i=j, i k=-j
$$
并扩展到线性组合。也就是说，任意元素即有形式 $a+b i+c j+d k$ 和 $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ ，和两个元素的乘积 $\mathbb{H}$ 是 (谁) 给的
$$
\left(a_{1}+b_{1} i+c_{1} j+d_{1} k\right) \cdot\left(a_{2}+b_{2} i+c_{2} j+d_{2} k\right)=\quad\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}-c_{1} c_{2}-d_{1} d_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right.
$$
检查此公式可能很有用，请参阅练习1.11.
可以直接检查中的乘法 $\mathrm{H}$ 是结合的，并且它满足分配律。但这将在稍后从不同的构造中更容易地得出 $\mathbb{H}$, 见例子 $1.27$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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