数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|MATH6209
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自旋几何学是微分几何学和拓扑学的领域，其中自旋流形和狄拉克算子等对象以及各种相关的指数定理在数学和数学物理学中都发挥了基本作用。
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数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Some Direct Applications to Geometry
In this section we shall use the classification of Clifford modules given above to construct families of pointwise linearly independent vector fields on spheres, projective spaces and other elliptic space forms. We shall also apply the methods to study the “hyperplane” bundle over complex and quaternionic projective space. This allows us to estimate the geometric dimension of $T P^n(\mathbb{C})$. In almost all cases the families constructed in this manner are maximal.
Proposition 7.1. Suppose $\mathbb{R}^{N+1}$ is a module for the algebra $\mathrm{C} \ell_n$. Then there exist $n$ pointwise linearly independent tangent vector fields on the sphere $S^N$ and also on the projective space $\mathbb{P}^N(\mathbb{R})=S^N / \mathbb{Z}_2$.
Proof. Choose an inner product in $\mathbb{R}^{N+1}$ so that Clifford multiplication by unit vectors in $\mathbb{R}^n$ is orthogonal (see Proposition 5.16). Let $S^N=$ $\left{x \in \mathbb{R}^{N+1}:|x|^2=1\right}$. Choose a basis $v_1, \ldots, v_n$ for $\mathbb{R}^n$, and to each $v_j$ associate the vector field $V_J$ on $\mathbb{R}^{N+1}$ defined by
$$
V_j(x) \equiv v_j \cdot x \quad j=1, \ldots, n
$$
(where the dot denotes Clifford multiplication). Since the linear transformation $x \mapsto v \cdot x$ is skew-symmetric (see Corollary $5.17$ ), we have that $\left\langle V_j(x), x\right\rangle \equiv\left\langle v_j x, x\right\rangle \equiv 0$. Hence, the vector fields $V_j$ are tangent to $S^N$. It remains to show that $V_1, \ldots, V_n$ are pointwise linearly independent. Fix $x \in S^N$ and consider the linear map $i_x: \mathbb{R}^n \rightarrow T_x S^N \subset \mathbb{R}^{N+1}$ given by
$$
i_x(v)=v \cdot x
$$
The image of $i_x$ is the linear span of $V_1(x), \ldots, V_n(x)$, so it suffices to prove that $i_x$ is injective. However if $i_x v=v \cdot x=0$, then $v \cdot v \cdot x=-|v|^2 x=0$ and so $v=0$.
Since $V_j(-x)=-V_j(x)$, these vector fields descend to (pointwise linearly independent) vector fields on $\mathbb{P}^N(\mathbb{R})$.
数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Some Further Applications to the Theory of Lie Groups
It is interesting to note that the classification of Clifford modules gives an immediate proof of certain well-known isomorphisms between lowdimensional Lie groups. It also leads to the fact that $S^7=\mathrm{Spin}_7 / G_2$ and to the principal of triality for $\mathbf{S p i n}_8$. We would like to thank Reese Harvey for pointing this out to us.
We begin with some classical definitions. Let $\mathbb{C}^n$ and $\mathbb{H}^n$ carry the standard “hermitian” inner products
$$
(x, y) \equiv \sum_{j=1}^n x_j \bar{y}j $$ where for a quaternion $x=x_0+i x_1+j x_2+k x_3$, the conjugate is defined by $\bar{x}=x_0-i x_1-j x_2-k x_3$. Then we have the following definitions of the classical groups: $$ \begin{aligned} \mathrm{U}_n &=\left{g \in \operatorname{Hom}{\mathrm{C}}\left(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^n\right):(g x, g y)=(x, y) \text { for all } x, y \in \mathbb{C}^n\right} . \
\mathrm{SU}n &=\left{g \in \mathrm{U}_n: \operatorname{det}{\mathrm{C}}(g)=1\right} \
\mathrm{Sp}n &=\left{g \in \operatorname{Hom}{\mathrm{H}}\left(\mathcal{H}^n, \mathrm{H}^n\right):(g x, g y)=(x, y) \text { for all } x, y \in \mathcal{H}^n\right}
\end{aligned}
$$
Under the natural isometries $\mathbb{R}^{4 n} \cong \mathbb{C}^{2 n} \cong \mathcal{H}^n$ (and $\mathbb{R}^{2 n} \cong \mathbb{C}^n$ ) one finds that
$$
\mathrm{Sp}n \subset \mathrm{SU}{2 n} \text { and } \mathrm{U}n \subset \mathrm{SO}{2 n} \text {. }
$$
Elementary linear algebra proves that
$$
\left{\begin{array}{l}
\operatorname{dim}\left(\mathrm{SO}_n\right)=\frac{1}{2} n(n-1) \
\operatorname{dim}\left(\mathrm{SU}_n\right)=n^2-1 \
\operatorname{dim}\left(\mathrm{Sp}_n\right)=n(2 n+1),
\end{array}\right.
$$
and it is not difficult to see that each of these groups is connected. When the integers $p, q, r$ are sufficiently large (say $\geqq 7$ ), the groups $\operatorname{Spin}_p$, $\mathbf{S U}_q, \mathrm{Sp}_r$ are all distinct. However, in low dimensions there are certain exceptional isomorphisms between these groups. These isomorphisms are easily deduced from the Dynkin diagrams. However, the approach requires the non-trivial classification of compact, simply-connected Lie groups. The same isomorphisms can also be deduced from Table II, which was comparatively easy to establish.
自旋几何代写
数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Some Direct Applications to Geometry
在本节中，我们将使用上面给出的 Clifford 模块的分类来构造球体、射影空间和其他椭圆空间形式上的逐点线 性无关向量场族。我们还将应用这些方法来研究复数和四元数射影空间上的“超平面”丛。这使我们能够估计的几 何尺寸 $T P^n(\mathbb{C})$. 在几乎所有情况下，以这种方式构建的家庭都是最大的。
提案 7.1。认为 $\mathbb{R}^{N+1}$ 是代数的模块 $\mathrm{C} \ell_n$. 那么存在 $n$ 球体上逐点线性无关的切向量场 $S^N$ 以及射影空间 $\mathbb{P}^N(\mathbb{R})=S^N / \mathbb{Z}_2$
证明。选择一个内积 $\mathbb{R}^{N+1}$ 使得 Clifford 乘以单位向量 $\mathbb{R}^n$ 是正交的（见命题 5.16）。让 $S^N=$ $\mathbb{R}^{N+1}$ 被定义为
$$
V_j(x) \equiv v_j \cdot x \quad j=1, \ldots, n
$$
(其中点表示克利福德乘法)。由于线性变换 $x \mapsto v \cdot x$ 是斜对称的 (见推论 $5.17$ )，我们有
$\left\langle V_j(x), x\right\rangle \equiv\left\langle v_j x, x\right\rangle \equiv 0$. 因此，矢量场 $V_j$ 与 $S^N$. 仍有待证明 $V_1, \ldots, V_n$ 是逐点线性无关的。使固定 $x \in S^N$ 并考虑线性映射 $i_x: \mathbb{R}^n \rightarrow T_x S^N \subset \mathbb{R}^{N+1}$ 由
$$
i_x(v)=v \cdot x
$$
的形象 $i_x$ 是线性跨度 $V_1(x), \ldots, V_n(x)$ ，所以足以证明 $i_x$ 是单射的。但是，如果 $i_x v=v \cdot x=0$ ，然后 $v \cdot v \cdot x=-|v|^2 x=0$ 所以 $v=0$.
自从 $V_j(-x)=-V_j(x)$ ，这些矢量场下降到（逐点线性无关）矢量场 $\mathbb{P}^N(\mathbb{R})$.
数学代写|自旋几何代写spin geometry代考|Some Further Applications to the Theory of Lie Groups
有趣的是，克利福德模的分类给出了低维李群之间某些众所周知的同构的直接证明。这也导致了这样一个事实 $S^7=\operatorname{Spin}7 / G_2$ 和试用的校长 $\mathbf{S p i n}_8$. 我们要感㓔 Reese Harvey 向我们指出这一点。 我们从一些经典定义开始。让 $\mathbb{C}^n$ 和 $\mathbb{H}^n$ 携带标准的“hermitian”内部产品 $$ (x, y) \equiv \sum{j=1}^n x_j \bar{y} j
$$
其中对于四元数 $\$ \mathrm{x}=\mathrm{x}{-} 0+\mathrm{i} \mathrm{x} 1+\mathrm{j} \mathrm{x}{-} 2+\mathrm{k} \mathrm{x}{-} 3$, theconjugateisdefinedby $\mathrm{b} a r{\mathrm{x}}=\mathrm{x}{-} 0-i \mathrm{x}{-} 1-\mathrm{j} \mathrm{x}{-} 2-\mathrm{k}{-} \mathrm{x}{-} 3$ . Thenwehavethe followingde finitionsoftheclassicalgroups : Underthenaturalisometries $\backslash m a t h b b{R} \wedge{4 n} \backslash$ Icong $\backslash$ mathbb ${C} \wedge{2 \mathrm{n}} \backslash$ Icong $\backslash$ mathcal ${\mathcal{H}}^{\wedge} n($ and $\backslash m a t h b b{R} \wedge{2 \mathrm{n}} \backslash$ loong $\backslash$ mathbb $\left.{C}^{\wedge} n\right)$ one findsthat $\mathrm{Sp} n \subset \mathrm{SU} 2 n$ and $\mathrm{U} n \subset \mathrm{SO} 2 n$. \$
初等线性代数证明
$\$ \$$
Veft {
$$
\operatorname{dim}\left(\mathrm{SO}_n\right)=\frac{1}{2} n(n-1) \operatorname{dim}\left(\mathrm{SU}_n\right)=n^2-1 \operatorname{dim}\left(\mathrm{Sp}_n\right)=n(2 n+1),
$$
【正确的。
$\$ \$$
并且不难看出这些组中的每一个都是连接的。当整数 $p, q, r$ 足够大 (比如 $\geqq 7)$ ，团体 $\mathbf{S p i n}_p, \mathbf{S U}_q, \mathrm{Sp}_r$ 都是不 同的。然而，在低维中，这些群之间存在某些特殊的同构。这些同构很容易从 Dynkin 图推导出来。然而，该方 法需要对紧凑的单连通李群进行非平凡的分类。同样的同构也可以从表一中推导出来，建立起来比较容易。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
