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勒贝格积分一词既可以指勒贝格积分提出的关于函数相对于一般度量的积分的一般理论，也可以指定义在实线子域上的函数相对于勒贝格积分度量的积分的具体情形。

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数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Continuity and Differentiability

The fourth big question asks for the relationship between continuity and differentiability. We know that a function that is differentiable at a given value of $x$ must also be continuous at that value, and it is clear that the converse does not hold. The function $f(x)=|x|$ is continuous but not differentiable at $x=0$. But how nondifferentiable can a continuous function be?

Throughout the first half of the nineteenth century, it was generally believed that a continuous function would be differentiable at most points. ${ }^4$ Mathematicians recognized that a function might have finitely many values at which it failed to have a derivative. There might even be a sparse infinite set of points at which a continuous function was not differentiable, but the mathematical community was honestly surprised when, in 1875 , Gaston Darboux and Paul du-Bois Reymond ${ }^5$ published examples of continuous functions that are not differentiable at any value.
The question then shifted to what additional assumptions beyond continuity would ensure differentiability. Monotonicity was a natural candidate. Weierstrass constructed a strictly increasing continuous function that is not differentiable at any algebraic number, that is to say, at any number that is the root of a polynomial with rational coefficients. It is not differentiable at $1 / 2$ or $\sqrt{2}$ or $\sqrt[3]{5}-2 \sqrt[21]{35}$. Weierstrass’s function is differentiable at $\pi$. Can we find a continuous, increasing function that is not differentiable at any value? The surprising answer is No. In fact, in a sense that later will be made precise, a continuous, monotonic function is differentiable at “most” values of $x$. There are very important subtleties lurking behind this fourth question.

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Term-by-term Integration

Returning to Fourier series, we saw that the heuristic justification relied on interchanging summation and integration, integrating an infinite series of functions by integrating each summand. This works for finite summations. It is not hard to find infinite series for which term-by-term integration leads to a divergent series or, even worse, a series that converges to the wrong value.

Weierstrass had shown that if the series converges uniformly, then term-by-term integration is valid. The problem with this result is that the most interesting series, especially Fourier series, often do not converge uniformly and yet term-by-term integration is valid. Uniform convergence is sufficient, but it is very far from necessary. As we shall see, finding useful conditions under which term-by-term integration is valid is very difficult so long as we cling to the Riemann integral. As Lebesgue would show in the opening years of the twentieth century, his definition of the integral yields a simple, elegant solution, the Lebesgue dominated convergence theorem.

1.1.1. Find the Fourier expansions for $f_1(x)=x$ and $f_2(x)=x^2$ over $[-\pi, \pi]$.
1.1.2. For the functions $f_1$ and $f_2$ defined in Exercise 1.1.1, differentiate each summand in the Fourier series for $f_2$. Do you get the summands in the Fourier series for $2 f_1$ ? Differentiate each summand in the Fourier series for $f_1$. Do you get the summand in the Fourier series for $f_1^{\prime}(x)$ ?
1.1.3. Using the Fourier series expansion for $x^2$ (Exercise 1.1.1) evaluated at $x=\pi$, show that
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} .
$$
1.1.4. Show that if $k$ is an integer $\geq 1$, then
$$
\int_{-\pi}^\pi \cos (k x) d x=\int_{-\pi}^\pi \sin (k x) d x=0 .
$$

勒贝格积分代考

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Continuity and Differentiability

第四个大问题是连续性和可微性之间的关系。我们知道在给定的值下可微分的函数 $x$ 也必须在该值处连 续，很明显，反之亦然。功能 $f(x)=|x|$ 是连续的但在 $x=0$. 但是连续函数的不可微性如何呢?
在整个 19 世纪上半叶，人们普遍认为连续函数在大多数点上都是可微的。 4 数学家们认识到，一个函数 可能有有限多个值，在这些值处它没有导数。甚至可能存在连续函数不可微的稀疏无限点集，但当 1875 年 Gaston Darboux 和 Paul du-Bois Reymond 时，数学界真的感到惊讶 ${ }^5$ 已发布的在任何值下均不可微 的连续函数示例。
然后问题转移到除了连续性之外还有哪些额外的假设可以确保可微性。单调性是一个自然的候选者。 Weierstrass 构造了一个严格递增的连续函数，该函数在任何代数数处不可微，也就是说，在作为具有有 理系数的多项式的根的任何数处不可微。它不可微 $1 / 2$ 要么 $\sqrt{2}$ 要么 $\sqrt[3]{5}-2 \sqrt[21]{35}$. Weierstrass 的函数在 $\pi$. 我们能否找到一个在任何值下都不可微的连续增函数? 令人惊讶的答案是否定的。事实上，从某种意 义上说，以后会变得精确，一个连续的、单调的函数在”大多数”值处是可微的。 $x$. 第四个问题背后隐藏着 非常重要的微妙之处。

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Term-by-term Integration

回到傅里叶级数，我们看到启发式论证依赖于求和和积分的交替，通过积分每个被加数来积分无限系列 的函数。这适用于有限求和。不难发现无限级数，其中逐项积分导致发散级数，或者更糟糕的是，级数 收敛到错误的值。

Weierstrass 已经表明，如果级数一致收敛，则逐项积分是有效的。这个结果的问题在于，最有趣的级 数，尤其是傅立叶级数，通常不会一致收敛，但逐项积分是有效的。均匀收敛就足够了，但远非必要。 正如我们将要看到的，只要我们坚持黎曼积分，就很难找到使逐项积分有效的有用条件。正如勒贝格在 20 世纪初所表明的那样，他对积分的定义产生了一个简单、优雅的解决方案，即勒贝格支配的收敛定 理。
1.1.1. 求傅立叶展开式 $f_1(x)=x$ 和 $f_2(x)=x^2$ 超过 $[-\pi, \pi]$.
1.1.2. 对于函数 $f_1$ 和 $f_2$ 在练习 1.1.1 中定义，区分傅立叶级数中的每个被加数 $f_2$. 你得到傅立叶级数中的 被加数了吗 $2 f_1$ ? 区分傅里叶级数中的每个被加数 $f_1$. 你得到傅立叶级数中的被加数了吗 $f_1^{\prime}(x)$ ?
1.1.3. 使用傅里叶级数展开 $x^2$ (练习 1.1.1) 评估于 $x=\pi$ ， 显示
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
$$
1.1.4. 证明如果 $k$ 是一个整数 $\geq 1$ ， 然后
$$
\int_{-\pi}^\pi \cos (k x) d x=\int_{-\pi}^\pi \sin (k x) d x=0
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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勒贝格积分一词既可以指勒贝格积分提出的关于函数相对于一般度量的积分的一般理论，也可以指定义在实线子域上的函数相对于勒贝格积分度量的积分的具体情形。

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数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|The Fundamental Theorem of Calculus

The fundamental theorem of calculus is, in essence, simply a statement of the equivalence of the two means of understanding integration, as the inverse process of differentiation and as a limit of sums of products. The precise theorems to which this designation refers today arise from the assumption that integration is defined as a limiting process. They then clarify the precise relationship between integration and differentiation. The actual statements that we shall use are given by the following theorems.

Theorem 1.1 (FTC, evaluation). If $f$ is the derivative of $F$ at every point on $[a, b]$, then under suitable hypotheses we have that
$$
\int_a^b f(t) d t=F(b)-F(a) .
$$
Theorem $1.2$ (FTC, antiderivative). If $f$ is integrable on the interval $[a, b]$, then under suitable hypotheses we have that
$$
\frac{d}{d x} \int_a^x f(t) d t=f(x) .
$$
The first of these theorems tells us how we can use any antiderivative to obtain a simple evaluation of a definite integral. The second shows that the definite integral can be used to create an antiderivative, the definite integral of $f$ from $a$ to $x$ is a function of $x$ whose derivative is $f$. Both of these statements would be meaningless if we had defined the integral as the antiderivative. Their meaning and importance comes from the assumption that $\int_a^b f(t) d t$ is defined as a limit of summations.
In both cases, I have not specified the hypotheses under which these theorems hold. There are two reasons for this. One is that much of the interesting story that is to be told about the creation of analysis in the late nineteenth century revolves around finding necessary and sufficient conditions under which the conclusions hold. When working with Riemann’s definition of the integal, the answer is complicated. The second reason is that the hypotheses that are needed depend on the way we choose to define the integral. For Lebesgue’s definition, the hypotheses are quite different.

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|A Brief History of Theorems 1.1 and 1.22

The earliest reference to Theorem $1.1$ of which I am aware is Siméon Denis Poisson’s 1820 Suite du Mémoire sur les Intégrales Définies. There he refers to it as “the fundamental proposition of the theory of definite integrals.” Poisson’s work is worth some digression because it illustrates the importance of how we define the definite integral and the difficulties encountered when it is defined as the difference of the values of an antiderivative at the endpoints.

Siméon Denis Poisson (1781-1840) studied and then taught at the École Polytechnique. He succeeded to Fourier’s professorship in mathematics when Fourier departed for Grenoble to become prefect of the department of Isère. It was Poisson who wrote up the rejection of Fourier’s Theory of the Propoagation of Heat in Solid Bodies in 1808. When, in 1815, Poisson published his own article on the flow of heat, Fourier pointed out its many flaws and the extent to which Poisson had rediscovered Fourier’s own work.

Poisson, as a colleague of Cauchy at the École Polytechnique, almost certainly was aware of Cauchy’s definition of the definite integral even though Cauchy had not yet published it. But the relationship between Poisson and Cauchy was far from amicable, and it would have been surprising had Poisson chosen to embrace his colleague’s approach. Poisson defines the definite integral as the difference of the values of the antiderivative. It would seem there is nothing to prove. What Poisson does prove is that if $F$ has a Taylor series expansion and $F^{\prime}=f$, then
$$
F(b)-F(a)=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{j=1}^n t f(a+(j-1) t), \quad \text { where } t=\frac{b-a}{n} .
$$
Poisson begins with the observation that for $1 \leq j \leq n$ and $t=(b-a) / n$, there is a $k \geq 1$ and a collection of functions $R_j$ such that
$$
F(a+j t)=F(a+(j-1) t)+t f(a+(j-1) t)+t^{1+k} R_j(t),
$$
and therefore
$$
\begin{aligned}
F(b)-F(a) & =\sum_{j=1}^n[F(a+j t)-F(a+(j-1) t)] \
& =\sum_{j=1}^n t f(a+(j-1) t)+t^{1+k} \sum_{j=1}^n R_j(t) .
\end{aligned}
$$

勒贝格积分代考

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|The Fundamental Theorem of Calculus

微积分的基本定理本质上只是对理解积分的两种方法的等价性的陈述，即微分的逆过程和乘积和的极 限。今天这个名称所指的精确定理源于积分被定义为限制过程的假设。然后他们阐明了整合和分化之间 的确切关系。我们将使用的实际陈述由以下定理给出。
定理 $1.1$ (FTC，评估) 。如果 $f$ 是导数 $F$ 在每一点上 $[a, b]$, 然后在适当的假设下我们有
$$
\int_a^b f(t) d t=F(b)-F(a)
$$
定理1.2 (FTC，反衍生) 。如果 $f$ 在区间上可积 $[a, b]$, 然后在适当的假设下我们有
$$
\frac{d}{d x} \int_a^x f(t) d t=f(x)
$$
这些定理中的第一个告诉我们如何使用任何反导数来获得定积分的简单计算。第二个表明定积分可用于 创建反导数，即定积分 $f$ 从 $a$ 到 $x$ 是一个函数 $x$ 它的导数是 $f$. 如果我们将积分定义为反导数，那么这两个陈 述将毫无意义。它们的意义和重要性来自以下假设 $\int_a^b f(t) d t$ 被定义为求和的极限。
在这两种情况下，我都没有具体说明这些定理成立的假设。有两个原因。其中之一是关于 19 世纪后期分 析的创建的许多有趣故事都围绕着寻找结论成立的必要和充分条件。在使用黎曼的积分定义时，答案很 复杂。第二个原因是所需的假设取决于我们选择定义积分的方式。对于勒贝格的定义，假设是完全不同 的。

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|A Brief History of Theorems 1.1 and 1.22

最早引用定理1.1其中我知道的是 Siméon Denis Poisson 的 1820 Suite du Mémoire sur les Intégrales Définies。他在那里将其称为 “定积分理论的基本命题”。泊松的工作值得一些题外话，因为它说明了我们 如何定义定积分的重要性，以及将其定义为反导数在端点处的值之差时遇到的困难。

Siméon Denis Poisson (1781-1840) 在巴黎综合理工学院学习并任教。当傅立叶前往格勒诺布尔成为 伊泽尔省省长时，他继承了傅立叶的数学教授职位。正是泊松在 1808 年写下了拒绝傅立叶的固体热传播 理论的文章。在 1815 年，泊松发表了他自己关于热流的文章时，傅立叶指出了它的许多缺陷以及泊松在 多大程度上重新发现了傅里叶自己的工作。
泊松作为柯西在巴黎综合理工学院的同事，几乎可以肯定知道柯西对定积分的定义，尽管柯西尚末发表 它。但泊松和柯西之间的关系远非友好，如果泊松选择接受他同事的方法，那将是令人惊讶的。泊松将 定积分定义为反导数值的差值。似乎没有什么可以证明的。泊松证明的是，如果 $F$ 有泰勒级数展开和 $F^{\prime}=f ，$ 然后
$$
F(b)-F(a)=\lim n \rightarrow \infty \sum j=1^n t f(a+(j-1) t), \quad \text { where } t=\frac{b-a}{n} .
$$
泊松从观察开始，对于 $1 \leq j \leq n$ 和 $t=(b-a) / n$ ，有一个 $k \geq 1$ 和一系列功能 $R_j$ 这样
$$
F(a+j t)=F(a+(j-1) t)+t f(a+(j-1) t)+t^{1+k} R_j(t),
$$
因此
$$
F(b)-F(a)=\sum_{j=1}^n[F(a+j t)-F(a+(j-1) t)] \quad=\sum_{j=1}^n t f(a+(j-1) t)+t^{1+k} \sum_{j=1}^n R_j(t)
$$

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有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|The Five Big Questions

Fourier’s method for expanding an arbitrary function $F$ defined on $[-\pi, \pi]$ into a trigonometric series is to use integration to calculate coefficients:
$$
\begin{aligned}
& a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi F(x) \cos (k x) d x \quad(k \geq 0), \
& b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi F(x) \sin (k x) d x \quad(k \geq 1) .
\end{aligned}
$$
The Fourier expansion is then given by
$$
F(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k \cos (k x)+b_k \sin (k x)\right] .
$$
The heuristic argument for the validity of this procedure is that if $F$ really can be expanded in a series of the form given in Equation (1.3), then
$$
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^\pi & F(x) \cos (n x) d x \
= & \int_{-\pi}^\pi\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k \cos (k x)+b_k \sin (k x)\right]\right) \cos (n x) d x \
= & \int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \cos (n x) d x+\sum_{k=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi a_k \cos (k x) \cos (n x) d x \
& +\sum_{k=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi b_k \sin (k x) \cos (n x) d x
\end{aligned}
$$
Since $n$ and $k$ are integers, all of the integrals are zero except for the one involving $a_n$. These integrals are easily evaluated:
$$
\int_{-\pi}^\pi F(x) \cos (n x) d x=\pi a_n .
$$

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Cauchy and Riemann Integrals

Fourier and Cauchy were among the first to fully realize the inadequacy of defining integration as the inverse process of differentiation. It is too restrictive. Fourier wanted to apply his methods to arbitrary functions. Not all functions have antiderivatives that can be expressed in terms of standard functions. Fourier tried defining the definite integral of a nonnegative function as the area between the graph of the function and the $x$-axis, but that begs the question of what we mean by area. Cauchy embraced Leibniz’s understanding as a limit of products, and he found a way to avoid infinitesimals.

To define $\int_a^b f(x) d x$, Cauchy worked with finite approximating sums. Given a partition of $[a, b]$ : $\left(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\right)$, we consider
$$
\sum_{k=1}^n f\left(x_{k-1}\right)\left(x_k-x_{k-1}\right) .
$$
If we can force all of these approximating sums to be as close to each as other as we wish simply by limiting the size of the difference between consecutive values in the partition, then these summations have a limiting value that is designated as the value of the definite integral, and the function $f$ is said to be integrable over $[a, b]$.

Equipped with this definition, Cauchy succeeded in proving that any continuous or piecewise continuous function is integrable. The class of functions to which Fourier’s analysis could be applied was suddenly greatly expanded.

When Riemann turned to the study of trigonometric series, he wanted to know the limits of Cauchy’s approach to integration. Was there an easy test that could be used to determine whether or not a function could be integrated? Cauchy had chosen to evaluate the function at the left-hand endpoint of the interval simply for convenience. As Riemann thought about how far this definition could be pushed, he realized that his analysis would be simpler if the definition were stated in a slightly more complicated but essentially equivalent manner. Given a partition of $[a, b]$ : $\left(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\right)$, we assign a tag to each interval, a number $x_j^$ contained in that interval, and consider all sums of the form $$ \sum_{k=1}^n f\left(x_k^\right)\left(x_k-x_{k-1}\right) \text {. }
$$

勒贝格积分代考

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|The Five Big Questions

展开任意函数的傅立叶方法 $F$ 定义于 $[-\pi, \pi]$ 成三角级数就是用积分来计算系数:
$$
a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi F(x) \cos (k x) d x \quad(k \geq 0), \quad b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi F(x) \sin (k x) d x \quad(k \geq 1) .
$$
傅立叶展开由下式给出
$$
F(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k \cos (k x)+b_k \sin (k x)\right] .
$$
该程序有效性的启发式论据是，如果 $F$ 真的可以展开为式(1.3)给出的一系列形式，则
$$
\int_{-\pi}^\pi F(x) \cos (n x) d x=\int_{-\pi}^\pi\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k \cos (k x)+b_k \sin (k x)\right]\right) \cos (n x) d x=\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2}
$$
自从 $n$ 和 $k$ 是整数，除了涉及的那个以外，所有的积分都是零 $a_n$. 这些积分很容易计算:
$$
\int_{-\pi}^\pi F(x) \cos (n x) d x=\pi a_n .
$$

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Cauchy and Riemann Integrals

傅立叶和柯西是最先充分认识到将积分定义为微分的逆过程的不足之处的人之一。它太严格了。傅立叶 想将他的方法应用于任意函数。并非所有函数都具有可以用标准函数表示的反导数。傅里叶尝试将非负 函数的定积分定义为函数图形与 $x$-轴，但这回避了我们所说的面积是什么意思的问题。柯西将莱布尼茨 的理解视为乘积的极限，他找到了避免无穷小的方法。
界定 $\int_a^b f(x) d x$ ，Cauchy 使用有限近似和。给定一个分区 $[a, b]:\left(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\right)$ ， 我们认为
$$
\sum_{k=1}^n f\left(x_{k-1}\right)\left(x_k-x_{k-1}\right) .
$$
如果我们可以通过限制分区中连续值之间的差异大小来强制所有这些近似和彼此尽可能接近，那么这些 总和就有一个极限值，被指定为定积分和函数 $f$ 据说是可积的 $[a, b]$.
有了这个定义，柯西成功地证明了任何连续或分段连续函数都是可积的。可以应用傅立叶分析的函数类 别突然大大扩展了。
当黎畠转向三角级数的研究时，他想知道柯西积分方法的局限性。是否有一个简单的测试可用于确定功 能是否可以集成? 为了方便起见，柯西选择在区间的左侧端点计算函数。当黎曼思考这个定义可以推到 什么程度时，他意识到如果定义以稍微复杂但本质上等价的方式表述，他的分析会更简单。给定一个分 区间内，并考虑以下形式的所有总和

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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