管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|OPMT3197
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管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|The Revised GJ Method with Explicit Basis Inverse
Suppose the original system that we are trying to solve is $A x=b$, consisting of $m$ equations in $n$ unknowns. In many practical applications, we encounter systems in which $n$ is much larger than $m$, particularly in applications involving linear programming models.
In the version of the GJ method discussed in Sect. 1.2.1, pivot computations are carried out on all the $n$ columns of $A$ plus the $m$ columns of the memory matrix. Suppose after pivot steps have been carried out on some rows of the tableau, the entries in the current coefficient tableau, RHS, memory matrix are $\bar{A}, \bar{b}=(\bar{b} i), \bar{M}$. Then (1.3) gives us the formulae to obtain $\bar{A}i$, the $i$ th row of $\bar{A}$ for each $i ; \bar{b}_i$ for each $i$; and $\bar{A}{. j}$, the $j$ th column of $\bar{A}$, for each $j$, using data in $\bar{M}$ and in the original $A, b$.
Thus the formulae in (1.3) show that we can obtain any row or column of $\bar{A}$ as and when we need it, if we just carry out all the pivot computations in every step on the columns of the memory matrix only and update $\bar{M}$ in every step. This leads to a computationally more efficient version of the G.J method known as the revised GJ method with explicit basis inverse, discussed in Sect. $4.11$ of Murty (2004). This is the version that is commonly used in computer implementations. This version is based on adopting a technique developed by Dantzig in the revised simplex method for linear programming, to the GJ method for solving linear equations. In this version, the current memory matrix is generally referred to as the basis inverse, so we will call it the IT (inverse tableau) and denote it by $B^{-1}$, instead of $\bar{M}$. The general step in this version is described next.
General step in the GJ method: Let the current inverse tableau be the following:
Let $P$ denote the set of rows in which pivot steps have been carried out already.
- Select a row $i \in{1, \ldots, m} \backslash P$ as the pivot row (PR) for the next pivot step.
- For this pivot step we need PR, the updated $i$ th row $\bar{A}_i$. for the systems of equations being solved. From (1.3) we know that it is $\left(B^{-1}\right) i . A$, and compute it.
If the $\mathrm{PR},\left(B^{-1}\right)_i A=0$ and $\bar{b}_i=0$, the $i$ th constraint in the present original system is a redundant constraint, and in $\left(B^{-1}\right)$, we have the evidence vector for this conclusion. Eliminate this $i$ th constraint from the original system; the $i$ th row from the inverse tableau and the updated RHS vector, and the $i$ th column from the inverse tableau; reduce $m$ by 1 ; and look for another pivot row for the next pivot step.
If the PR, $\left(B^{-1}\right)_i \cdot A=0$, and $\bar{b}_i \neq 0$, we have in $\left(B^{-1}\right)_i$. evidence for the conclusion that the original system has no solution; terminate.
If the PR, $\left(B^{-1}\right) i . A \neq 0$, select a nonzero entry in it as the PE (pivot element) for the next pivot step, and the variable, $x_j$ say, containing it as the entering variable, and its column, the $j$ th updated column $=\bar{A}_j=B^{-1} A_j$ (where $A_j$ is the column of the entering variable $x_j$ in the original system), as the PC (pivot column) for that pivot step. Computer programmers have developed several heuristic rules for selecting the PE from among the nonzero entries in the pivot row to keep round-off errors accumulating in digital computation under control. Put the PC by the side of the inverse tableau as below.
管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|Lack of a Method to Solve Linear Inequalities
Even though linear equations had been conquered thousands of years ago, systems of linear inequalities remained inaccessible until modern times. The set of feasible solutions to a system of linear inequalities is called a polyhedron or convex polyhedron, and geometric properties of polyhedra were studied by the Egyptians earlier than $4000 \mathrm{BC}$ while building the pyramids, and later by the Greeks, Chinese, Indians, and others.
The following theorem (Murty 2006a) relates systems of linear inequalities to systems of linear equations.
Theorem 1.2. Consider the system of linear inequalities
$$
A x \geq b,
$$
where $A=\left(a_{i j}\right)$ is an $m \times n$ matrix and $b=\left(b_i\right) \in R^m$. So, the constraints in the system are $A_i x \geq b_i, i \in{1, \ldots, m}$. If this system has a feasible solution, then there exists a subset $\mathbf{P}=\left{p_1, \ldots, p_s\right} \subset{1, \ldots, m}$ such that every solution of the system of equations
$$
A_{i .} x=b_i, \quad i \in \mathbf{P},
$$
is also a feasible solution of the original system of linear inequalities (1.4).
Proof. Let $K$ denote the set of feasible solutions of (1.4). For any $x \in K$, the $i$ th constraint in (1.4) is said to be active at $x$ if $A_{i .} x=b_i$ and inactive if $A_{i .} x>b_i$.
We will now describe a procedure consisting of repetitions of a general step beginning with an initial point $x^0 \in K$.
General Step: Let $x^r \in K$ be the current point and $\mathbf{P}_r={i: i$ th constraint in (1.4) is active at $\left.x^r\right}$
Case 1: $\mathbf{P}_r=\emptyset$. In this case $x^r$ is an interior point of $K$. Let $\bar{x}$ be any solution of one equation $A_i, x=b_i$ for some $i$. If $\bar{x} \in K$, define $x^{r+1}=\bar{x}$.
If $\bar{x} \notin K$, find $\bar{\lambda}$, the maximum value of $\lambda$ such that $x^r+\lambda\left(\bar{x}-x^r\right) \in K$. Then $x^r+\bar{\lambda}\left(\bar{x}-x^r\right)$ must satisfy at least one of the constraints in (1.4) as an equation, define $x^{r+1}=x^r+\bar{\lambda}\left(\bar{x}-x^r\right)$.
决策论代写
管理科学代写|决策论代写管理科学决策模型代考|带有显式基逆的修正GJ方法
假设我们试图解的原始系统是$A x=b$，由$m$个方程和$n$个未知数组成。在许多实际应用程序中，我们会遇到$n$比$m$大得多的系统，特别是在涉及线性规划模型的应用程序中
在1.2.1节讨论的GJ方法版本中，在$A$的所有$n$列加上内存矩阵的$m$列上进行pivot计算。假设在表的某些行上执行了pivot步骤后，当前系数表、RHS、内存矩阵中的条目为$\bar{A}, \bar{b}=(\bar{b} i), \bar{M}$。然后(1.3)给出公式，得到$\bar{A}i$，每个$i ; \bar{b}_i$每个$i$, $\bar{A}$的第$i$行;和$\bar{A}{. j}$, $\bar{A}$的$j$第列，为每个$j$，使用$\bar{M}$和原始$A, b$中的数据
因此，(1.3)中的公式表明，当我们需要$\bar{A}$的任何行或列时，如果我们在每一步中只在内存矩阵的列上进行所有的主元计算，并在每一步中更新$\bar{M}$，我们就可以得到的任何行或列。这导致了GJ方法的计算效率更高的版本，即带有显式基逆的修正GJ方法，在Murty(2004)的$4.11$节中讨论过。这是计算机实现中通常使用的版本。这个版本是基于采用Dantzig在线性规划的修正单纯形法中开发的技术，用于求解线性方程的GJ方法。在这个版本中，当前的内存矩阵通常被称为基逆，因此我们将其称为it(逆表)并用$B^{-1}$而不是$\bar{M}$表示它。下面描述这个版本的一般步骤。
GJ方法中的一般步骤:设当前逆表如下:
设$P$表示已经执行了枢轴步骤的行集
- 选择行$i \in{1, \ldots, m} \backslash P$作为下一个枢轴步骤的主行(PR)。对于这个枢轴步骤，我们需要PR，更新后的第$i$行$\bar{A}_i$。对于被解的方程组。从(1.3)我们知道它是$\left(B^{-1}\right) i . A$，并计算它。如果$\mathrm{PR},\left(B^{-1}\right)_i A=0$和$\bar{b}_i=0$，当前原始系统中的第$i$约束是一个冗余约束，在$\left(B^{-1}\right)$中，我们有这个结论的证据向量。从原始系统中消除这个$i$约束;来自逆表和更新的RHS向量的第$i$行，以及来自逆表的第$i$列;将$m$减少1;寻找下一个主元步骤的另一个主行。
如果PR, $\left(B^{-1}\right)_i \cdot A=0$，和$\bar{b}_i \neq 0$，我们有在$\left(B^{-1}\right)_i$。证明原系统无解的结论;
如果PR, $\left(B^{-1}\right) i . A \neq 0$，选择其中的一个非零条目作为下一个主元步骤的PE(主元元素)，变量$x_j$，例如，包含它作为输入变量，它的列，第$j$更新的列$=\bar{A}_j=B^{-1} A_j$(其中$A_j$是原始系统中输入变量$x_j$的列)，作为该主元步骤的PC(主元列)。计算机程序员开发了几种启发式规则，用于从主行中的非零项中选择PE，以控制数字计算中不断积累的四舍误差。
管理科学代写|决策论代写决策的管理科学模型代考|缺乏解决线性不等式的方法
. . . . 尽管线性方程在几千年前就被征服了，但是线性不等式系统直到现代才被征服。线性不等式系统的可行解集被称为多面体或凸多面体，早在$4000 \mathrm{BC}$以前的埃及人在建造金字塔时就研究过多面体的几何性质，后来的希腊人、中国人、印度人和其他人也研究过多面体的几何性质 下面的定理(Murty 2006a)将线性不等式系统与线性方程组联系起来。
定理考虑线性不等式
$$
A x \geq b,
$$
的系统，其中$A=\left(a_{i j}\right)$是一个$m \times n$矩阵，$b=\left(b_i\right) \in R^m$。因此，系统中的约束条件是$A_i x \geq b_i, i \in{1, \ldots, m}$。如果这个方程组有一个可行解，那么存在一个子集$\mathbf{P}=\left{p_1, \ldots, p_s\right} \subset{1, \ldots, m}$，使得这个方程组的每一个解
$$
A_{i .} x=b_i, \quad i \in \mathbf{P},
$$
也是原线性不等式方程组(1.4)的一个可行解。设$K$表示(1.4)的可行解集。对于任何$x \in K$，(1.4)中的$i$第th约束如果$A_{i .} x=b_i$则在$x$处是活动的，如果$A_{i .} x>b_i$则是不活动的。
我们现在将描述一个由从初始点$x^0 \in K$开始的一般步骤的重复组成的过程。
一般步骤:设$x^r \in K$为当前点，$\mathbf{P}_r={i: i$(1.4)中的约束在$\left.x^r\right}$ 处有效
案例1:$\mathbf{P}_r=\emptyset$。在本例中，$x^r$是$K$的一个内部点。设$\bar{x}$是某个$i$方程$A_i, x=b_i$的任意解。如果$\bar{x} \in K$，则定义$x^{r+1}=\bar{x}$ .
如果$\bar{x} \notin K$，找到$\bar{\lambda}$, $\lambda$的最大值使$x^r+\lambda\left(\bar{x}-x^r\right) \in K$。那么$x^r+\bar{\lambda}\left(\bar{x}-x^r\right)$必须满足(1.4)中至少一个约束条件作为方程，定义$x^{r+1}=x^r+\bar{\lambda}\left(\bar{x}-x^r\right)$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
