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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Darboux’s theorem

Theorem 2.5.1 (Darboux’s theorem) Let $\alpha$ be a contact form on the $(2 n+1)$-dimensional manifold $M$ and $p$ a point on $M$. Then there are coordinates $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n, z$ on a neighbourhood $U \subset M$ of $p$ such that $p=(0, \ldots, 0)$ and
$$
\left.\alpha\right|U=d z+\sum{j=1}^n x_j d y_j .
$$
Remark 2.5.2 Observe that the $\operatorname{map}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, z) \mapsto\left(\varepsilon \mathbf{x}, \varepsilon \mathbf{y}, \varepsilon^2 z\right)$ is a contactomorphism of the standard contact structure $\xi_{\text {st }}$ on $\mathbb{R}^{2 n+1}$ for any $\varepsilon \in \mathbb{R}^{+}$. Therefore it is an immediate consequence of the Darboux theorem that there is a contact embedding of the closed unit ball $B_{\mathrm{st}}$ in $\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\mathrm{st}}\right)$ into $(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$ which sends the origin to $p$. Here ‘contact embedding of $B_{\mathrm{st}}$ ‘ simply means a contactomorphism of a small open neighbourhood of $B_{\mathrm{st}}$ in $\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\text {st }}\right)$ onto its image in $(M, \xi)$; later we shall encounter a more general concept of contact embeddings.

In fact, by Proposition 2.1.8 and Example 2.1.10 there is a contactomorphism of $\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\mathrm{st}}\right)$ with a relatively compact subset of itself, and hence by scaling with a subset of $B_{\text {st }}$. So we can also construct a contactomorphism between $\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\text {st }}\right)$ and a neighbourhood of $p$ in $(M, \xi)$.

Proof of Theorem 2.5.1 We may assume without loss of generality that $M=\mathbb{R}^{2 n+1}$ and $p=\mathbf{0}$ is the origin of $\mathbb{R}^{2 n+1}$. Choose linear coordinates
$$
x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots y_n, z
$$
on $\mathbb{R}^{2 n+1}$ such that
$$
\text { on } T_0 \mathbb{R}^{2 n+1}:\left{\begin{array}{l}
\alpha\left(\partial_z\right)=1, \quad i_{\partial_z} d \alpha=0, \
\partial_{x_j}, \partial_{y_j} \in \operatorname{ker} \alpha(j=1, \ldots, n), d \alpha=\sum_{j=1}^n d x_j \wedge d y_j .
\end{array}\right.
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Isotropic submanifolds

Let $L \subset(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$ be an isotropic submanifold in a contact manifold with cooriented contact structure. Write $\left.(T L)^{\perp} \subset \xi\right|_L$ for the sub-bundle of $\left.\xi\right|L$ that is symplectically orthogonal to $T L$ with respect to the symplectic bundle structure $\left.d \alpha\right|{\xi}$. As we have seen in the preceding symplectic interlude, the conformal class of this symplectic bundle structure only depends on the contact structure $\xi$, not on the choice of contact form $\alpha$ defining $\xi$. So the bundle $(T L)^{\perp}$ is determined by $\xi$.

The fact that $L$ is isotropic implies $T L \subset(T L)^{\perp}$. Lemma 1.3 .3 allows us to make the following definition, see [241].
Definition 2.5.3 The quotient bundle
$$
\operatorname{CSN}_M(L):=(T L)^{\perp} / T L
$$
with the conformal symplectic structure induced by $d \alpha$ is called the conformal symplectic normal bundle of $L$ in $M$.
So the normal bundle $N L:=\left(\left.T M\right|_L\right) / T L$ of $L$ in $M$ can be split as
$$
N L \cong\left(\left.T M\right|_L\right) /\left(\left.\xi\right|_L\right) \oplus\left(\left.\xi\right|_L\right) /(T L)^{\perp} \oplus \operatorname{CSN}_M(L) .
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Darboux’s theorem

定理2.5.1(达布定理)设$\alpha$为$(2 n+1)$维流形$M$上的一个接触形式，$p$为$M$上的一个点。然后在$p$的邻居$U \subset M$上有坐标$x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n, z$，这样$p=(0, \ldots, 0)$和
$$
\left.\alpha\right|U=d z+\sum{j=1}^n x_j d y_j .
$$
2.5.2注意:对于任何$\varepsilon \in \mathbb{R}^{+}$, $\operatorname{map}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, z) \mapsto\left(\varepsilon \mathbf{x}, \varepsilon \mathbf{y}, \varepsilon^2 z\right)$都是$\mathbb{R}^{2 n+1}$上的标准触点结构$\xi_{\text {st }}$的触点形态。因此，达布定理的直接结果是，$\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\mathrm{st}}\right)$中的闭合单位球$B_{\mathrm{st}}$在$(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$中有一个接触嵌入，它将原点发送到$p$。在这里，“$B_{\mathrm{st}}$的接触嵌入”仅仅意味着将$\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\text {st }}\right)$中的一个小的开放邻域$B_{\mathrm{st}}$与其在$(M, \xi)$中的图像的接触形态;稍后我们将遇到更一般的接触嵌入概念。

事实上，根据命题2.1.8和例2.1.10,$\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\mathrm{st}}\right)$与它自己的一个相对紧的子集有一个接触同构，因此通过缩放与$B_{\text {st }}$的一个子集。因此我们也可以在$\left(\mathbb{R}^{2 n+1}, \xi_{\text {st }}\right)$和$(M, \xi)$的一个邻域$p$之间构造一个接触形态。

定理证明2.5.1我们可以不失一般性地假设$M=\mathbb{R}^{2 n+1}$和$p=\mathbf{0}$是$\mathbb{R}^{2 n+1}$的起源。选择线性坐标
$$
x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots y_n, z
$$
在$\mathbb{R}^{2 n+1}$上
$$
\text { on } T_0 \mathbb{R}^{2 n+1}:\left{\begin{array}{l}
\alpha\left(\partial_z\right)=1, \quad i_{\partial_z} d \alpha=0, \
\partial_{x_j}, \partial_{y_j} \in \operatorname{ker} \alpha(j=1, \ldots, n), d \alpha=\sum_{j=1}^n d x_j \wedge d y_j .
\end{array}\right.
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Isotropic submanifolds

设$L \subset(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$为具有共向接触结构的接触流形中的各向同性子流形。对于相对于辛束结构$\left.d \alpha\right|{\xi}$与$T L$辛正交的$\left.\xi\right|L$子束，写$\left.(T L)^{\perp} \subset \xi\right|_L$。正如我们在前面的辛的插曲中所看到的，这个辛束结构的共形类只取决于接触结构$\xi$，而不取决于接触形式$\alpha$定义$\xi$的选择。因此，bundle $(T L)^{\perp}$由$\xi$决定。

$L$是各向同性的这一事实意味着$T L \subset(T L)^{\perp}$。引理1.3 .3允许我们做出如下定义，参见[241]。
2.5.3商束
$$
\operatorname{CSN}_M(L):=(T L)^{\perp} / T L
$$
由$d \alpha$诱导的共形辛结构称为$M$中$L$的共形辛法向束。
因此，$M$中$L$的正常bundle $N L:=\left(\left.T M\right|_L\right) / T L$可以拆分为
$$
N L \cong\left(\left.T M\right|_L\right) /\left(\left.\xi\right|_L\right) \oplus\left(\left.\xi\right|_L\right) /(T L)^{\perp} \oplus \operatorname{CSN}_M(L) .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Cerf ’s theorem

Write $\operatorname{Diff}(M)$ for the group of orientation-preserving diffeomorphisms of an orientable differential manifold $M$ (the group multiplication being given by composition of diffeomorphisms). Let $D^n$ be the $n$-dimensional unit disc in $\mathbb{R}^n$, and $S^{n-1}=\partial D^n$ its boundary, the standard $(n-1)$-dimensional unit sphere. Since diffeomorphisms of a manifold with boundary preserve that boundary, we have a natural restriction homomorphism
$$
\begin{array}{ccc}
\rho_n: \quad \operatorname{Diff}\left(D^n\right) & \longrightarrow \operatorname{Diff}\left(S^{n-1}\right) \
f & \longmapsto & \left.f\right|_{S^{n-1}} .
\end{array}
$$
The group $\Gamma_n$ is defined as
$$
\Gamma_n=\operatorname{Diff}\left(S^{n-1}\right) / \operatorname{im} \rho_n .
$$
In order to show that this is indeed a group, we need to prove that $\operatorname{im} \rho_n$ is a normal subgroup in $\operatorname{Diff}\left(S^{n-1}\right)$.

We begin with two lemmata. Write $\operatorname{Diff}_0\left(S^{n-1}\right)$ for the group of diffeomorphisms of $S^{n-1}$ that are isotopic to the identity.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Property P for knots

We begin by recalling a few facts about Dehn surgery on knots in 3 -manifolds, mostly to set up notation. For a textbook reference on this topic see [209] or [215].

Let $K$ be a knot in the 3 -sphere $S^3$ (or, more generally, in some oriented 3 manifold $M$ ), by which we mean a smoothly embedded copy of the circle $S^1$. Write $\nu K$ for a (closed) tubular neighbourhood of $K$. The neighbourhood $\nu K$ is diffeomorphic to a solid torus $S^1 \times D^2$, since this is the only orientable $D^2$-bundle over $S^1$. Let $C$ be the closure of the complement $S^3 \backslash \nu K$ of $\nu K$ in $S^3$. (Part of) the Mayer-Vietoris sequence $\dagger$ for $S^3=\nu K \cup C$ with $\nu K \cap C=T^2$ reads
$$
\begin{aligned}
& H_2\left(S^3\right) \rightarrow H_1\left(T^2\right) \quad \rightarrow \quad H_1(\nu K) \oplus H_1(C) \rightarrow H_1\left(S^3\right) \
& 0 \quad \rightarrow \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \quad \oplus \quad H_1(C) \rightarrow 0 \quad 0 . \
&
\end{aligned}
$$
We conclude that $H_1(C) \cong \mathbb{Z}$. We also see that on $T^2=\partial(\nu K)$ there are two distinguished curves, unique up to isotopy.
(1) The meridian $\mu$, defined as a simple closed curve that generates the kernel of the homomorphism $H_1\left(T^2\right) \rightarrow H_1(\nu K)$.
(2) The preferred longitude $\lambda$, a simple closed curve that generates the kernel of the homomorphism $H_1\left(T^2\right) \rightarrow H_1(C)$.

We assume that $S^3$ is equipped with its standard orientation as the boundary of $D^4 \cdot \ddagger$ We give $T^2=\partial(\nu K)$ the boundary orientation. We also assume $K$ to be oriented. Then $\lambda$ can be oriented by requiring it to be isotopic to $K$ in $\nu K$ as oriented curve; the orientation we choose for $\mu$ is the one that turns $\mu, \lambda$ into a positive basis for that homology group. (Occasionally we allow ourselves to denote a simple closed curve on $T^2$ by the same symbol as the class it represents in $H_1\left(T^2\right)$, since that class determines the curve up to isotopy.) This is illustrated in Figure 1.5, with the standard (right-hand) orientation of ambient 3-space.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Cerf ’s theorem

为可定向微分流形$M$(群乘法由微分同态的复合给出)的保取向微分同态群写$\operatorname{Diff}(M)$。设$D^n$为$\mathbb{R}^n$中的$n$维单位圆盘，$S^{n-1}=\partial D^n$为其边界，为标准的$(n-1)$维单位球体。由于具有边界的流形的微分同态保持了该边界，所以我们有一个自然的限制同态
$$
\begin{array}{ccc}
\rho_n: \quad \operatorname{Diff}\left(D^n\right) & \longrightarrow \operatorname{Diff}\left(S^{n-1}\right) \
f & \longmapsto & \left.f\right|_{S^{n-1}} .
\end{array}
$$
组$\Gamma_n$定义为
$$
\Gamma_n=\operatorname{Diff}\left(S^{n-1}\right) / \operatorname{im} \rho_n .
$$
为了证明这确实是一个组，我们需要证明$\operatorname{im} \rho_n$是$\operatorname{Diff}\left(S^{n-1}\right)$中的正常子组。

我们从两个引理开始。写$\operatorname{Diff}_0\left(S^{n-1}\right)$表示与同一性同位素的$S^{n-1}$的一组差同态。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Property P for knots

我们首先回顾一下关于3流形中结的Dehn手术的一些事实，主要是为了建立符号。关于这一主题的教科书参考参见[209]或[215]。

假设$K$是三维球体$S^3$(或者，更一般地说，在一些定向的三维流形$M$)中的一个结，我们指的是圆$S^1$的平滑嵌入副本。为$K$的(封闭)管状邻域写入$\nu K$。邻域$\nu K$与实体环面$S^1 \times D^2$是微分同构的，因为这是$S^1$上唯一可定向的$D^2$ -束。设$C$为$S^3$中$\nu K$的补体$S^3 \backslash \nu K$的闭包。(部分)Mayer-Vietoris序列$\dagger$对于$S^3=\nu K \cup C$和$\nu K \cap C=T^2$读取
$$
\begin{aligned}
& H_2\left(S^3\right) \rightarrow H_1\left(T^2\right) \quad \rightarrow \quad H_1(\nu K) \oplus H_1(C) \rightarrow H_1\left(S^3\right) \
& 0 \quad \rightarrow \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \quad \oplus \quad H_1(C) \rightarrow 0 \quad 0 . \
&
\end{aligned}
$$
我们得出结论$H_1(C) \cong \mathbb{Z}$。我们还看到$T^2=\partial(\nu K)$上有两条独特的曲线，直到同位素。
(1)子午线$\mu$，定义为生成同态核$H_1\left(T^2\right) \rightarrow H_1(\nu K)$的简单封闭曲线。
(2)首选经度$\lambda$，一条生成同态核$H_1\left(T^2\right) \rightarrow H_1(C)$的简单封闭曲线。

假设$S^3$以其标准取向作为$D^4 \cdot \ddagger$的边界，给出$T^2=\partial(\nu K)$的边界取向。我们还假设$K$是面向对象的。然后，要求$\lambda$与$\nu K$中的$K$同位素为取向曲线，即可定向;我们为$\mu$选择的取向是把$\mu, \lambda$变成那个同源基的正基。(有时，我们允许自己在$T^2$上用与它在$H_1\left(T^2\right)$中表示的类相同的符号表示一条简单的封闭曲线，因为该类决定了直到同位素的曲线。)如图1.5所示，使用环境三维空间的标准(右)方向。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Universal Coverings

Definition 13.29 A covering $u: \widetilde{X} \rightarrow X$ is said to be universal if the total space $\widetilde{X}$ is connected and simply connected.

We saw in Example 13.22 that universal coverings are regular. In particular, if $u: \widetilde{X} \rightarrow X$ is universal then $\operatorname{Aut}(\widetilde{X}, u)$ acts freely and transitively on fibres, and $\pi_1(X) \simeq \operatorname{Aut}(\widetilde{X}, u)$ are isomorphic.

Proposition 13.30 (Universal property of universal coverings) Let $u: \widetilde{X} \rightarrow X$ be a universal covering. For every covering $p: E \rightarrow X$ and any points $\tilde{x} \in \tilde{X}, e \in E$ such that $u(\tilde{x})=p(e)$, there exists a unique covering morphism $\phi: \widetilde{X} \rightarrow E$ such that $\phi(\tilde{x})=e$. In particular, all universal coverings of a space $X$ are isomorphic to one another.

Proof Since $0=u_* \pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}) \subset p_* \pi_1(E, e), \phi$ exists by virtue of Theorem 13.18. Additionally, if $p: E \rightarrow X$ is universal then the previous arguments show that there’s a covering morphism $\psi: E \rightarrow \widetilde{X}$ with $\psi(e)=\tilde{x}$. But $\widetilde{X}$ and $E$ are connected by definition, so the lift’s uniqueness forces $\phi \psi$ and $\psi \phi$ to be identity maps.

This proves the uniqueness of universal coverings. The remaining part of the section is devoted entirely to the issue of existence. We begin with a simple necessary condition.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Coverings with Given Monodromy

Consider a covering $p: E \rightarrow X$, a point $x \in X$ and the monodromy action
$$
p^{-1}(x) \times \pi_1(X, x) \rightarrow p^{-1}(x) .
$$
It’s not hard to show that $E$ is connected if and only if the monodromy action is transitive. In fact if $E$ is connected, for every pair $a, b \in p^{-1}(x)$ we can find a path $\alpha \in \Omega(E, a, b)$ and hence $b=a \cdot[p \alpha]$. Conversely, if the monodromy is transitive, the fibre $p^{-1}(x)$ is contained in a path component. Given any point $a \in E$ we choose a path $\alpha: I \rightarrow X$ such that $\alpha(0)=p(a), \alpha(1)=x$. The lift $\alpha_a: I \rightarrow E$ joins $a$ to some point in $p^{-1}(x)$, so that $a$ belongs in the same connected component where $p^{-1}(x)$ lies.

We saw already, in Theorem 13.1, that the stabiliser of any $e \in p^{-1}(x)$, i.e. the subgroup
$$
\operatorname{Stab}(e)=\left{a \in \pi_1(X, x) \mid e \cdot a=e\right},
$$
coincides with $p_* \pi_1(E, e)$. In particular the covering $p: E \rightarrow X$ is universal if and only if the monodromy is free and transitive. Moreover, the covering is regular if and only if the monodromy acts transitively and all stabilisers are normal subgroups.
Theorem 13.35 Let $X$ be connected, locally path connected and semi-locally simply connected. For every non-empty set $T$ and every right action
$$
T \times \pi_1(X, x) \stackrel{\bullet}{\longrightarrow} T
$$
there exists a covering $p: E \rightarrow X$ and a bijection $\phi: T \rightarrow p^{-1}(x)$ such that $\phi(t \bullet a)=\phi(t) \cdot a$, for every $t \in T$ and $a \in \pi_1(X, x)$. The pair $(p, \phi)$ is unique up to isomorphism.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Universal Coverings

定义13.29如果整个空间$\widetilde{X}$是连通的和单连通的，则称覆盖$u: \widetilde{X} \rightarrow X$的A是泛的。

我们在例13.22中看到，通用覆盖是规则的。特别是，如果$u: \widetilde{X} \rightarrow X$是普遍的，那么$\operatorname{Aut}(\widetilde{X}, u)$对纤维的作用是自由和传递的，$\pi_1(X) \simeq \operatorname{Aut}(\widetilde{X}, u)$是同构的。

命题13.30(泛覆盖的泛性质)设$u: \widetilde{X} \rightarrow X$为一个泛覆盖。对于每一个覆盖$p: E \rightarrow X$和任何点$\tilde{x} \in \tilde{X}, e \in E$使得$u(\tilde{x})=p(e)$，存在一个唯一的覆盖态射$\phi: \widetilde{X} \rightarrow E$使得$\phi(\tilde{x})=e$。特别地，一个空间$X$的所有全覆盖彼此是同构的。

根据定理13.18证明$0=u_* \pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}) \subset p_* \pi_1(E, e), \phi$存在。此外，如果$p: E \rightarrow X$是全称的，那么前面的论证表明$\psi: E \rightarrow \widetilde{X}$与$\psi(e)=\tilde{x}$存在覆盖态射。但是$\widetilde{X}$和$E$根据定义是相连的，所以电梯的唯一性迫使$\phi \psi$和$\psi \phi$是身份映射。

这证明了万能覆盖的唯一性。这一节的其余部分全部用于讨论存在的问题。我们从一个简单的必要条件开始。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Coverings with Given Monodromy

考虑一个覆盖物$p: E \rightarrow X$，一个点$x \in X$和单动作
$$
p^{-1}(x) \times \pi_1(X, x) \rightarrow p^{-1}(x) .
$$
不难证明，当且仅当单动作可传递时，$E$是连接的。事实上，如果连接$E$，对于每一对$a, b \in p^{-1}(x)$，我们都可以找到路径$\alpha \in \Omega(E, a, b)$，因此可以找到$b=a \cdot[p \alpha]$。相反，如果单态是可传递的，则光纤$p^{-1}(x)$包含在路径组件中。给定任意点$a \in E$，我们选择一条路径$\alpha: I \rightarrow X$，使得$\alpha(0)=p(a), \alpha(1)=x$。升降机$\alpha_a: I \rightarrow E$将$a$与$p^{-1}(x)$中的某一点连接起来，因此$a$与$p^{-1}(x)$属于同一个连接组件。

在定理13.1中，我们已经知道任意$e \in p^{-1}(x)$的稳定子群
$$
\operatorname{Stab}(e)=\left{a \in \pi_1(X, x) \mid e \cdot a=e\right},
$$
与$p_* \pi_1(E, e)$重合。特别地，当且仅当单态是自由可传递的，覆盖$p: E \rightarrow X$是全称的。此外，当且仅当单态作用传递且所有的稳定子群都是正规子群时，覆盖是正则的。
定理13.35设$X$连通，局部路径连通，半局部单连通。对于每一个非空集合$T$和每一个正确的动作
$$
T \times \pi_1(X, x) \stackrel{\bullet}{\longrightarrow} T
$$
对于每一个$t \in T$和$a \in \pi_1(X, x)$，存在一个覆盖$p: E \rightarrow X$和一个双射$\phi: T \rightarrow p^{-1}(x)$，使得$\phi(t \bullet a)=\phi(t) \cdot a$。这对$(p, \phi)$在同构性方面是唯一的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Quotients by Properly Discontinuous Actions

Definition 12.15 Let $G$ be a subgroup of the group $\operatorname{Homeo}(E)$ of homeomorphisms of a space $E$. The group $G$ is said to act properly discontinuously if every point $e \in E$ has a neighbourhood $U$ such that $g(U) \cap U=\emptyset$ for any $g \in G$ different from the identity.

isomorphic to $\mathbb{Z}$, that acts properly discontinuously.
Example 12.17 The subgroup in Homeo $\left(\mathbb{R}^2-{0}\right)$ generated by the multiplication by a number $\lambda>1$ acts in a properly discontinuous fashion. acting properly discontinuously. If $E / G$ is connected, then the quotient map $p: E \rightarrow$ $E / G$ is a covering map.

Proof Fix $e \in E$ and choose an open set $U \subset E$ such that $e \in U$ and $g(U) \cap U=\emptyset$ for every $g$ different from the identity.
Proposition 5.15 implies that $p: E \rightarrow E / G$ is an open map, and
$$
p^{-1}(p(U))=\cup{g(U) \mid g \in G}
$$
So we just need to prove that, for any $g \in G$, the open sets $g(U)$ are disjoint and that $p: g(U) \rightarrow p(U)$ is a homeomorphism.

Since $g(U) \cap h(U)=h\left(h^{-1} g(U) \cap U\right)$, it follows $g(U) \cap h(U)=\emptyset$ for every $g \neq$ $h$. The quotient map $p: U \rightarrow p(U)$ is open and bijective hence a homeomorphism. The map $p: g(U) \rightarrow p(U)$ is the composite of the homeomorphisms $g^{-1}: g(U) \rightarrow$ $U$ with $p: U \rightarrow p(U)$.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Lifting Homotopies

Definition 12.23 Let $f: Y \rightarrow X$ be a continuous map and $p: E \rightarrow X$ a covering space. A continuous mapping $g: Y \rightarrow E$ is called a lift of $f$ when the diagram commutes, i.e. $f=p g$.
Lemma 12.24 For any covering space $p: E \rightarrow X$ the diagonal $\Delta \subset E \times E$ is open and closed in the fibred product
$$
E \times_X E={(u, v) \in E \times E \mid p(u)=p(v)} .
$$
Proof Take $(e, e) \in \Delta$ and choose an open set $U \subset E$ such that $e \in U$ and the restriction $p: U \rightarrow X$ is $1-1$. Then
$$
(U \times U) \cap\left(E \times_X E\right)=U \times_X U
$$
is an open neighbourhood of $(e, e)$ in the fibred product. On the other hand
$$
(U \times U) \cap\left(E \times_X E\right)={(u, v) \in U \times U \mid p(u)=p(v)} \subset \Delta,
$$
proving that $\Delta$ is a neighbourhood of any of its points, inside the fibred product.
Conversely, if $\left(e_1, e_2\right) \in E \times_X E-\Delta$ we pick an admissible open set $V$ containing $p\left(e_1\right)=p\left(e_2\right)$. Since $e_1 \neq e_2$, there exist disjoint open sets $U_1, U_2 \subset p^{-1}(V)$ such that $e_1 \in U_1, e_2 \in U_2$. Therefore
$$
\left(e_1, e_2\right) \in\left(U_1 \times U_2\right) \cap\left(E \times_X E\right) \subset E \times_X E-\Delta,
$$
so that the diagonal is closed in the fibred product.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Quotients by Properly Discontinuous Actions

定义12.15设$G$为空间$E$的同胚群$\operatorname{Homeo}(E)$的一个子群。如果每个点$e \in E$都有一个邻近点$U$，使得$g(U) \cap U=\emptyset$对于任何$g \in G$不同于同一性，则群$G$被认为是适当的不连续行为。

与$\mathbb{Z}$同构，它的作用是不连续的。
例12.17 Homeo $\left(\mathbb{R}^2-{0}\right)$中由数字$\lambda>1$的乘法生成的子组以适当的不连续方式运行。不连续地适当地行动。如果连接$E / G$，则商映射$p: E \rightarrow$$E / G$是覆盖映射。

修复$e \in E$并选择一个开放集$U \subset E$，使得$e \in U$和$g(U) \cap U=\emptyset$对于每个$g$不同的身份。
命题5.15暗示$p: E \rightarrow E / G$是一个开放的地图，并且
$$
p^{-1}(p(U))=\cup{g(U) \mid g \in G}
$$
我们只需要证明，对于任意$g \in G$，开集$g(U)$是不相交的并且$p: g(U) \rightarrow p(U)$是同胚。

从$g(U) \cap h(U)=h\left(h^{-1} g(U) \cap U\right)$开始，每个$g \neq$$h$都跟着$g(U) \cap h(U)=\emptyset$。商映射$p: U \rightarrow p(U)$是开的和双射的，因此是同胚。映射$p: g(U) \rightarrow p(U)$是同胚$g^{-1}: g(U) \rightarrow$$U$和$p: U \rightarrow p(U)$的组合。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Lifting Homotopies

定义12.23设$f: Y \rightarrow X$为连续图，$p: E \rightarrow X$为覆盖空间。一个连续映射$g: Y \rightarrow E$被称为当图的通勤时的提升$f$，即$f=p g$。
引理12.24对于任何覆盖空间$p: E \rightarrow X$，纤维制品中的对角线$\Delta \subset E \times E$是开闭的
$$
E \times_X E={(u, v) \in E \times E \mid p(u)=p(v)} .
$$
取$(e, e) \in \Delta$并选择一个开放集$U \subset E$，使$e \in U$和限制$p: U \rightarrow X$为$1-1$。然后
$$
(U \times U) \cap\left(E \times_X E\right)=U \times_X U
$$
是纤维制品中的一个开放邻域$(e, e)$。另一方面
$$
(U \times U) \cap\left(E \times_X E\right)={(u, v) \in U \times U \mid p(u)=p(v)} \subset \Delta,
$$
证明$\Delta$是纤维积内任意点的邻域。
反之，如果$\left(e_1, e_2\right) \in E \times_X E-\Delta$，我们选取一个包含$p\left(e_1\right)=p\left(e_2\right)$的可容许开集$V$。由于$e_1 \neq e_2$，存在不相交的开集$U_1, U_2 \subset p^{-1}(V)$，使得$e_1 \in U_1, e_2 \in U_2$。因此
$$
\left(e_1, e_2\right) \in\left(U_1 \times U_2\right) \cap\left(E \times_X E\right) \subset E \times_X E-\Delta,
$$
所以纤维产物的对角线是闭合的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|The Fundamental Group

Given a space $X$ and a point $a \in X$, one defines $\pi_1(X, a)$ as the quotient of $\Omega(X, a, a)$ by path homotopy equivalence. For any loop $\alpha \in \Omega(X, a, a)$ we write $[\alpha] \in \pi_1(X, a)$ for the corresponding homotopy class.

Theorem 11.10 The set $\pi_1(X, a)$ has a group structure with neutral element $\left[1_a\right]$ and operations
$$
[\alpha][\beta]=[\alpha * \beta], \quad[\alpha]^{-1}=[i(\alpha)]
$$
Proof Straightforward consequence of Propositions 11.4 and 11.6.
Definition 11.11 The group $\pi_1(X, a)$ is called the fundamental group, or first homotopy group (more rarely Poincaré group) of $X$ with base point $a$.
Note that $\pi_1(X, a)$ only depends on the path component of $a$ in $X$.
Example 11.12 Let $X \subset \mathbb{R}^n$ be a convex subspace. For every $a \in X$ we have $\pi_1(X, a)=0:$ if $\alpha \in \Omega(X, a, a)$, in fact,
$$
F: I \times I \rightarrow X, \quad F(t, s)=s a+(1-s) \alpha(t),
$$
is a path homotopy from $\alpha$ to the constant path $1_a$. Hence every loop is homotopic in $X$ to a constant path.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|The Functor π1

Amongst other things Proposition 11.9 implies that for any continuous map $f: X \rightarrow$ $Y$ and every base point $a \in X$ the mapping
$$
\pi_1(f): \pi_1(X, a) \rightarrow \pi_1(Y, f(a)), \quad \pi_1(f)([\alpha])=[f \alpha]
$$
is a well-defined group homomorphism. To simplify the notation $f_*$ is often used instead of $\pi_1(f)$, in absence of ambiguity.

Example 11.18 Consider a space $X$, the inclusion $i: A \rightarrow X$ and a base point $a \in A$. In general the homomorphism $i_*: \pi_1(A, a) \rightarrow \pi_1(X, a)$ is not $1-1$ because it may happen there are homotopically non-trivial paths in $A$ that are homotopically trivial in $X$. However:

1. if $A$ is a retract of $X$, then $i_*: \pi_1(A, a) \rightarrow \pi_1(X, a)$ is injective;
2. if $A$ is a deformation retract of $X, i_: \pi_1(A, a) \rightarrow \pi_1(X, a)$ is an isomorphism. To prove these assertions let $\alpha$ be a loop in $A$ with base point $a$ and such that $i_[\alpha]=0$. There exists a path homotopy $F: I^2 \rightarrow X$ such that $F(t, 0)=\alpha(t)$ and $F(t, 1)=a$. If $r: X \rightarrow A$ is a retraction, $r F: I^2 \rightarrow A$ is a path homotopy, so $[\alpha]=0$ in $\pi_1(A, a)$, proving 1.

Suppose now $R: X \times I \rightarrow X$ is a deformation of $X$ into $A$, and take a loop $\beta \in \Omega(X, a, a)$. The continuous map
$$
F: I^2 \rightarrow X, \quad F(t, s)=R(\beta(t), s)
$$
is a path homotopy between $\beta$ and $r \beta \in \Omega(A, a, a)$, where $r=R(-, 0)$. This proves $i_([r \beta])=[\beta]$, whence $i_$ is onto.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|The Fundamental Group

给定一个空间$X$和一个点$a \in X$，通过路径同伦等价定义$\pi_1(X, a)$为$\Omega(X, a, a)$的商。对于任何循环$\alpha \in \Omega(X, a, a)$，我们为对应的同伦类编写$[\alpha] \in \pi_1(X, a)$。

定理11.10集合$\pi_1(X, a)$具有中性元素$\left[1_a\right]$和运算的群结构
$$
[\alpha][\beta]=[\alpha * \beta], \quad[\alpha]^{-1}=[i(\alpha)]
$$
命题11.4和11.6的直接推论。
11.11群$\pi_1(X, a)$称为以$a$为基点的$X$的基群，或第一同伦群(更少见为poincar群)。
请注意，$\pi_1(X, a)$只依赖于$X$中$a$的路径组件。
例11.12设$X \subset \mathbb{R}^n$为凸子空间。对于每个$a \in X$我们有$\pi_1(X, a)=0:$如果$\alpha \in \Omega(X, a, a)$，事实上，
$$
F: I \times I \rightarrow X, \quad F(t, s)=s a+(1-s) \alpha(t),
$$
是从$\alpha$到常数路径$1_a$的路径同伦。因此，$X$中的每个循环都是同伦的。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|The Functor π1

除其他事项外，命题11.9暗示，对于任何连续映射$f: X \rightarrow$$Y$和每个基点$a \in X$，映射
$$
\pi_1(f): \pi_1(X, a) \rightarrow \pi_1(Y, f(a)), \quad \pi_1(f)([\alpha])=[f \alpha]
$$
是一个定义良好的群同态。为了简化符号，通常使用$f_*$代替$\pi_1(f)$，以避免歧义。

考虑一个空格$X$，包含$i: A \rightarrow X$和一个基点$a \in A$。一般来说，同态$i_*: \pi_1(A, a) \rightarrow \pi_1(X, a)$不是$1-1$因为可能在$A$中有同伦非平凡的路径在$X$中是同伦平凡的。然而:

如果$A$是$X$的缩回，那么$i_*: \pi_1(A, a) \rightarrow \pi_1(X, a)$是注入的;

如果$A$是变形缩回$X, i_: \pi_1(A, a) \rightarrow \pi_1(X, a)$是同构。为了证明这些断言，设$\alpha$为$A$中的一个以$a$为基点的循环，这样$i_[\alpha]=0$。存在一个路径同伦$F: I^2 \rightarrow X$，使得$F(t, 0)=\alpha(t)$和$F(t, 1)=a$。如果$r: X \rightarrow A$是一个缩回，$r F: I^2 \rightarrow A$是一个路径同伦，所以$[\alpha]=0$在$\pi_1(A, a)$中，证明1。

现在假设$R: X \times I \rightarrow X$是$X$到$A$的变形，取一个循环$\beta \in \Omega(X, a, a)$。连续映射
$$
F: I^2 \rightarrow X, \quad F(t, s)=R(\beta(t), s)
$$
路径是同伦的吗

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
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如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是，一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状，而是取决于它们的组合方式。例如，正方形和圆形有许多共同的属性：它们都是一维物体（从拓扑学的角度来看），都把平面分成两部分，即内部和外部。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Locally Connected Spaces and the Functor π0

Definition 10.1 A space is locally connected if every point has local basis of connected neighbourhoods.

From Lemma 4.28 the connected components of a locally connected space are open. While general connected spaces may not be locally connected (Exercise 10.1), open sets in $\mathbb{R}^n$ are locally connected, and the product of two locally connected spaces is locally connected.

Definition 10.2 Let $X$ be a topological space. Denote by $\pi_0(X)=X / \sim$ the quotient space under the relation $\sim$ that identifies points connected by a path in $X$.

To be more precise, for any two points $x, y \in X$ one defines the set of paths from $x$ to $y$ :
$$
\Omega(X, x, y)={\alpha:[0,1] \rightarrow X \mid \alpha \text { continuous, } \alpha(0)=x, \alpha(1)=y}
$$
and then
$$
\pi_0(X)=X / \sim, \quad \text { where } \quad x \sim y \Longleftrightarrow \Omega(X, x, y) \neq \emptyset
$$
We have to make sure $\sim$ is an equivalence relation.
Reflexivity. To prove $x \sim x$ we consider the constant path
$$
1_x:[0,1] \rightarrow X, \quad 1_x(t)=x \text { for every } t \in[0,1] .
$$
Symmetry. For every $x, y \in X$ we have the path-reverting operator
$$
i: \Omega(X, x, y) \rightarrow \Omega(X, y, x), \quad i(\alpha)(t)=\alpha(1-t),
$$
that is clearly invertible. In particular $\Omega(X, x, y)$ is empty precisely when $\Omega(X, y, x)$ is empty.
Transitivity. We just consider the product of paths (or composite)
$$
*: \Omega(X, x, y) \times \Omega(X, y, z) \rightarrow \Omega(X, x, z), \quad(\alpha, \beta) \mapsto \alpha * \beta,
$$
where
$$
\alpha * \beta(t)= \begin{cases}\alpha(2 t) & \text { if } 0 \leq t \leq 1 / 2 \ \beta(2 t-1) & \text { if } 1 / 2 \leq t \leq 1\end{cases}
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Homotopy

Definition 10.8 Two continuous maps $f_0, f_1: X \rightarrow Y$ are said to be homotopic if there is a continuous function
$$
F: X \times[0,1] \rightarrow Y
$$
such that $F(x, 0)=f_0(x)$ and $F(x, 1)=f_1(x)$ for every $x \in X$. Such an $F$ is called a homotopy between $f_0$ and $f_1$.

To help one ‘visualise’ the meaning of the above definition let’s write $f_t(x)=$ $F(x, t)$ for every $(x, t) \in X \times[0,1]$. Then for any $t \in[0,1]$ the map
$$
f_t: X \rightarrow Y
$$
is continuous. When $t=0$ we recover $f_0$, which deforms in a continuous way, as $t$ varies, until it becomes $f_1$ for $t=1$.

Example 10.9 Let $Y \subset \mathbb{R}^n$ be a convex subspace. For any topological space $X$, two continuous maps $f_0, f_1: X \rightarrow Y$ are homotopic: it suffices to define the homotopy as
$$
F: X \times[0,1] \rightarrow Y, \quad F(x, t)=(1-t) f_0(x)+t f_1(x)
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Locally Connected Spaces and the Functor π0

定义10.1如果每个点都有连通邻域的局部基，则空间是局部连通的。

由引理4.28可知，局部连通空间的连通分量是开的。虽然一般连通空间可能不是局部连通的(习题10.1)，但$\mathbb{R}^n$中的开集是局部连通的，并且两个局部连通空间的乘积是局部连通的。

定义10.2设$X$为拓扑空间。用$\pi_0(X)=X / \sim$表示关系$\sim$下的商空间，该关系标识由$X$中的路径连接的点。

更精确地说，对于任意两点$x, y \in X$，定义了从$x$到$y$的路径集:
$$
\Omega(X, x, y)={\alpha:[0,1] \rightarrow X \mid \alpha \text { continuous, } \alpha(0)=x, \alpha(1)=y}
$$
然后
$$
\pi_0(X)=X / \sim, \quad \text { where } \quad x \sim y \Longleftrightarrow \Omega(X, x, y) \neq \emptyset
$$
我们要确保$\sim$是等价关系。
反射性。为了证明$x \sim x$，我们考虑常数路径
$$
1_x:[0,1] \rightarrow X, \quad 1_x(t)=x \text { for every } t \in[0,1] .
$$
对称。对于每个$x, y \in X$，我们都有路径恢复运算符
$$
i: \Omega(X, x, y) \rightarrow \Omega(X, y, x), \quad i(\alpha)(t)=\alpha(1-t),
$$
这显然是可逆的。特别是当$\Omega(X, y, x)$为空时，$\Omega(X, x, y)$为空。
及物性。我们只考虑路径的乘积(或复合)
$$
*: \Omega(X, x, y) \times \Omega(X, y, z) \rightarrow \Omega(X, x, z), \quad(\alpha, \beta) \mapsto \alpha * \beta,
$$
在哪里
$$
\alpha * \beta(t)= \begin{cases}\alpha(2 t) & \text { if } 0 \leq t \leq 1 / 2 \ \beta(2 t-1) & \text { if } 1 / 2 \leq t \leq 1\end{cases}
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Homotopy

定义10.8如果存在一个连续函数，则称两个连续映射$f_0, f_1: X \rightarrow Y$为同伦
$$
F: X \times[0,1] \rightarrow Y
$$
这样$F(x, 0)=f_0(x)$和$F(x, 1)=f_1(x)$对应每一个$x \in X$。这样的$F$称为$f_0$和$f_1$之间的同伦。

为了帮助人们“可视化”上述定义的含义，让我们为每个$(x, t) \in X \times[0,1]$写$f_t(x)=$$F(x, t)$。然后为任何$t \in[0,1]$地图
$$
f_t: X \rightarrow Y
$$
是连续的。当$t=0$我们恢复$f_0$，它会随着$t$的变化而不断变形，直到$t=1$变成$f_1$。

例10.9设$Y \subset \mathbb{R}^n$为凸子空间。对于任何拓扑空间$X$，两个连续映射$f_0, f_1: X \rightarrow Y$都是同伦的:将同伦定义为
$$
F: X \times[0,1] \rightarrow Y, \quad F(x, t)=(1-t) f_0(x)+t f_1(x)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Refinements and Paracompactness

The notion of being locally finite extends in a natural way to arbitrary families of subsets.

Definition 7.10 A family $\mathcal{A}$ of subsets in a space $X$ is locally finite if every point $x \in X$ admits a neighbourhood $V \in \mathcal{I}(x)$ such that $V \cap A \neq \emptyset$ for at most finitely many $A \in \mathcal{A}$.

Since any neighbourhood contains an open set, and an open set intersects a subset $A$ if and only if it intersects the closure, a family $\left{A_i \mid i \in I\right}$ is locally finite if and only if $\left{\overline{A_i} \mid i \in I\right}$ is locally finite.
Lemma 7.11 For any locally finite family $\left{A_i\right}$ of subsets,
$$
\overline{\cup_i A_i}=\bigcup_i \overline{A_i}
$$
In particular the union of a locally finite family of closed sets is closed.
Proof The relation $\cup_i \overline{A_i} \subset \overline{\cup_i A_i}$ is always true because the closed set $\overline{\cup_i A_i}$ contains $A_i$, and so $\overline{A_i}$, for every $i$. There remains to prove that if $\left{A_i\right}$ is locally finite, then $\cup_i \overline{A_i}$ is closed. We can find an open cover $X=\cup_j U_j$ such that $U_j$ intersects finitely many sets $A_i$, whence $\left(\cup_i \overline{A_i}\right) \cap U_j=\cup_i\left(U_j \cap \overline{A_i}\right)$ is closed in $U_j$. To conclude, recall that any open cover is an identification cover.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Manifolds

Definition 7.20 A space $M$ is called an n-dimensional topological manifold if:

1. $M$ is Hausdorff;
2. every point in $M$ has an open neighbourhood homeomorphic to an open set of $\mathbb{R}^n$;
3. every connected component of $M$ is second countable.
   Example 7.21 Any open set in $\mathbb{R}^n$ is an $n$-dimensional topological manifold, and any open subset in $\mathbb{C}^n$ is a topological manifold of dimension $2 n$.

Example 7.22 The sphere $S^n$ is a topological manifold of dimension $n$ : each point $x$ lies in the open set $S^n-{-x}$, which is homeomorphic to $\mathbb{R}^n$ under stereographic projection.

Example 7.23 The real projective space $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ is an $n$-dimensional topological manifold: every point lies in the complement of some hyperplane $H$, and $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})-H$ is an open set homeomorphic to $\mathbb{R}^n$.

Example 7.24 The complex projective space $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ is a $2 n$-dimensional topological manifold: any point lies in the complement of some hyperplane $H$ and $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})-H$ is open and homeomorphic to $\mathbb{C}^n$.

Remark 7.25 The three conditions of Definition 7.20 are independent from one another, in that any two do not imply the third one. The space described in Exercise 5.8 is connected and second countable, any of its points has a neighbourhood homeomorphic to $\mathbb{R}$, but it is not Hausdorff. Exercise 6.6 provides an instance of a connected Hausdorff space that is locally homeomorphic to $\mathbb{R}^2$ but not second countable.

In many textbooks condition 3. is replaced by paracompactness, and in the rest of this section we set out to prove that the two definitions are equivalent.

拓扑学代考

学代写|拓扑学代写Topology代考|Refinements and Paracompactness

局部有限的概念以一种自然的方式扩展到任意子集族。

定义7.10空间$X$上的子集族$\mathcal{A}$是局部有限的，如果每个点$x \in X$允许一个邻域$V \in \mathcal{I}(x)$，使得$V \cap A \neq \emptyset$对于最多有限个$A \in \mathcal{A}$。

由于任何邻域都包含一个开集，并且一个开集与子集$A$相交当且仅当它与闭包相交，则一族$\left{A_i \mid i \in I\right}$是局部有限的当且仅当$\left{\overline{A_i} \mid i \in I\right}$是局部有限的。
引理7.11对于任意子集的局部有限族$\left{A_i\right}$，
$$
\overline{\cup_i A_i}=\bigcup_i \overline{A_i}
$$
特别地，局部有限闭集族的并集是闭的。
关系$\cup_i \overline{A_i} \subset \overline{\cup_i A_i}$总是为真，因为闭集$\overline{\cup_i A_i}$包含$A_i$，因此对于每个$i$都包含$\overline{A_i}$。还需要证明，如果$\left{A_i\right}$是局部有限的，那么$\cup_i \overline{A_i}$是闭的。我们可以找到一个开盖$X=\cup_j U_j$，使得$U_j$与有限多个集合$A_i$相交，因此$\left(\cup_i \overline{A_i}\right) \cap U_j=\cup_i\left(U_j \cap \overline{A_i}\right)$在$U_j$闭合。最后，回想一下，任何打开的盖子都是一个识别盖子。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Manifolds

定义7.20如果满足下列条件，空间$M$称为n维拓扑流形:

$M$ 是豪斯多夫;

$M$上的每一点都有一个开邻域同胚于$\mathbb{R}^n$的开集;

$M$的每个连接组件都是秒数的。
$\mathbb{R}^n$中的任何开集都是一个$n$维的拓扑流形，$\mathbb{C}^n$中的任何开子集都是一个$2 n$维的拓扑流形。

球面$S^n$是一个维数为$n$的拓扑流形，每个点$x$位于开放集$S^n-{-x}$中，该开放集在立体投影下与$\mathbb{R}^n$同胚。

实射影空间$\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$是一个$n$维拓扑流形:每个点位于某个超平面$H$的补上，并且$\mathbb{P}^n(\mathbb{R})-H$是$\mathbb{R}^n$的一个同胚的开集。

复射影空间$\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$是一个$2 n$维拓扑流形:任意点位于某个超平面$H$的补上，并且$\mathbb{P}^n(\mathbb{C})-H$与$\mathbb{C}^n$是开的且同胚的。

注释7.25定义7.20的三个条件是相互独立的，因为任何两个条件都不意味着第三个条件。在练习5.8中描述的空间是连通的和第二可数的，它的任何一点都与$\mathbb{R}$有邻域同胚，但它不是Hausdorff。练习6.6提供了一个连接的Hausdorff空间的实例，该空间局部同胚于$\mathbb{R}^2$，但不是秒可数的。

在许多教科书条件3。被准紧性所取代，在本节的其余部分，我们将着手证明这两个定义是等价的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Baire’s Theorem

Definition 6.37 A subset in a topological space is said to be nowhere dense if its closure has empty interior, and meagre if it is contained in the union of countably many nowhere-dense subsets.

Being nowhere dense or meagre is not an intrinsic property, in other words it also depends on the ambient space $X$. For example, the point ${0}$ is nowhere dense in $\mathbb{R}$ but not in $\mathbb{Z}$ (it’s not even meagre in the integers); so it makes sense to speak of nowheredense and meagre subspaces, whereas a nowhere-dense or meagre topological space alone is meaningless.

We may, rather punningly, distinguish meagre sets in two categories: truly thin and slender subsets, and ‘false lean’ ones. The former have empty interior, while the second sort do not albeit still being meagre. A Baire space is a space that has no subsets of the second type:

Definition 6.38 A topological space $X$ is a Baire space if each meagre subset has empty interior.

To check such a property it obviously suffices to show that countable unions of nowhere-dense closed sets have non-empty interior, or equivalently, countable intersections of open dense sets are dense.

Example 6.39 The empty set is a Baire space. Any non-empty discrete set is a Baire space: the only nowhere-dense subset is $\emptyset$.

The space $\mathbb{Q}$ is not a Baire space: every point is nowhere dense and closed, and is the countable union of its elements.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Completions

Definition 6.43 Let $(X, d)$ and $(\widehat{X}, \hat{d})$ be metric spaces. A map $\Phi: X \rightarrow \widehat{X}$ is called a completion of $(X, d)$ if:

1. $\Phi$ is an isometry: $\hat{d}(\Phi(x), \Phi(y))=d(x, y)$ for all $x, y \in X$;
2. $(\widehat{X}, \hat{d})$ is a complete metric space;
3. $\Phi(X)$ is dense in $\widehat{X}$.
   Example 6.44 The inclusion maps $(\mathbb{Q}, d) \subset(\mathbb{R}, d)$ and (] $0,1[, d) \subset([0,1], d)$ are completions ( $d$ is the Euclidean distance).

In this section we shall prove the existence, uniqueness and the main features of completions.

Lemma 6.45 Let $\left{a_n\right},\left{b_n\right}$ be Cauchy sequences in a metric space $(X, d)$. The limit
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(a_n, b_n\right) \in[0,+\infty[
$$
exists and is finite.

Proof The quadrangle inequality (Exercise 3.32) implies
$$
\left|d\left(a_n, b_n\right)-d\left(a_m, b_m\right)\right| \leq d\left(a_n, a_m\right)+d\left(b_n, b_m\right)
$$
and so the real sequence $d\left(a_n, b_n\right)$ is Cauchy.
Given a metric space $(X, d)$ we denote by $\mathfrak{c}(X, d)$ the set of all Cauchy sequences in it. Consider on $\mathfrak{c}(X, d)$ the equivalence relation
$$
\left{a_n\right} \sim\left{b_n\right} \quad \text { if and only if } \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(a_n, b_n\right)=0
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Baire’s Theorem

定义6.37如果拓扑空间中的子集闭包内部为空，则称其为无密子集;如果子集包含在可数多个无密子集的并集中，则称其为弱子集。

无处密集或贫乏不是一种内在属性，换句话说，它还取决于周围空间X。例如，点${0}$在$\mathbb{R}$中没有密度，但在$\mathbb{Z}$中没有密度(它在整数中甚至不弱);所以说无密度和稀疏的子空间是有意义的，而单独的无密度或稀疏的拓扑空间是没有意义的。

我们可以用双关语来区分两类:真正的瘦子集和细长子集，以及“假瘦”子集。前者内部是空的，而后者虽然仍然是贫乏的，却没有。贝尔空间是不存在第二类子集的空间:

6.38如果拓扑空间$X$的每个微子集都有空的内部，则该拓扑空间$X$是一个贝尔空间。

为了检验这一性质，显然足以证明无密闭集的可数联合具有非空的内部，或者等价地说，开密集的可数交集是稠密的。

例6.39空集是一个贝尔空间。任何非空的离散集都是一个贝尔空间:唯一的无密度子集是$\emptyset$。

空间$\mathbb{Q}$不是一个贝尔空间:每一点都不是稠密和封闭的，并且是它的元素的可数并。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Completions

6.43设$(X, d)$和$(\widehat{X}， \hat{d})$为度量空间。映射$\Phi: X \rightarrow \widehat{X}$称为$(X, d)$的补全:

\φ是一个等距:美元美元的帽子\ d{}(\φ(x) \φ(y)) = d (x, y) $ $ x, y \ x美元;

$(\widehat{X}， \hat{d})$是完全度量空间;

$\Phi(X)$在$\widehat{X}$中是密集的。
包含映射$(\mathbb{Q}， d) \子集(\mathbb{R}， d)$和(]$0,1[，d) \子集([0,1]，d)$是补全($d$是欧几里得距离)。

在本节中，我们将证明补全的存在性、唯一性和主要特征。

引理6.45设$\left{a_n\right}，\left{b_n\right}$是度量空间$(X, d)$中的柯西序列。的极限
$ $
\lim _{n \right \ inty} d\left(a_n, b_n\right) \in[0，+\ inty]
$ $
存在且有限。

四边形不等式(练习3.32)的证明
$$
\left|d\left(a_n, b_n\right)-d\left(a_m, b_m\right)\right| \leq d\left(a_n, a_m\right)+d\left(b_n, b_m\right)
$$
所以实序列$d\left(a_n, b_n\right)$是柯西的。
给定一个度量空间$(X, d)$，我们用$\mathfrak{c}(X, d)$表示该空间中所有柯西序列的集合。考虑$\mathfrak{c}(X, d)$上的等价关系
$$
\left{a_n\right} \sim\left{b_n\right} \quad \text { if and only if } \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(a_n, b_n\right)=0
$$

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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Locally Compact Spaces

Definition 5.23 A topological space is locally compact if every point has a compact neighbourhood.

Example 5.24 Open sets in $\mathbb{R}^n$ are locally compact: if $U \subset \mathbb{R}^n$ is open and $x \in U$ we can find $r>0$ satisfying $B(x, r) \subset U$; then the closed ball $\overline{B(x, R)}$, for any $0<R<r$, is a compact neighbourhood of $x$ in $U$.

Straight from the definition we have that any compact space is locally compact. Furthermore,

Proposition 5.25 Every closed subspace in a locally compact space is locally compact. The product of two locally compact spaces is locally compact.

Proof Let $Y$ be closed in $X$ locally compact. Any $y \in Y$ has a compact neighbourhood $U \subset X$. The intersection $Y \cap U$ is a neighbourhood of $y$ in $Y$ and is also compact because closed in $U$.

If $X, Y$ are locally compact and $(x, y) \in X \times Y$, the product $U \times V$ of two compact neighbourhoods of $x \in U \subset X$ and $y \in V \subset Y$ is a compact neighbourhood of $(x, y)$.

On a par with compactness, local compactness is especially useful side by side with the Hausdorff property.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|The Fundamental Theorem of Algebra

We have all the ingredients to present the most classical proof of the fundamental theorem of algebra, which relies on results from point-set topology. Corollary 15.26 will offer a different proof involving homotopy theory.

Lemma 5.28 Let $p(z)$ be a polynomial of positive degree with complex coefficients, and suppose $p(0) \neq 0$. Then there exists $z \in \mathbb{C}$ such that $|p(z)|<|p(0)|$.

Proof Call $k>0$ the multiplicity of 0 as root of the polynomial $p(z)-p(0)$, so that
$$
p(z)=p(0)-z^k\left(b_0+b_1 z+\cdots+b_r z^r\right), \quad \text { with } \quad b_0 \neq 0 .
$$
Suppose $c$ is a $k$ th root of $\frac{p(0)}{b_0}$ and consider the continuous map
$$
g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(t)=|p(c t)|=\left|p(0)-t^k p(0)-t^{k+1} \sum_{i=1}^r b_i c^{k+i} t^{i-1}\right| .
$$
By the triangle inequality
$$
g(t) \leq|p(0)|\left(1-t^k\right)+t^{k+1}\left|\sum_{i=1}^r b_i c^{k+i} t^{i-1}\right| .
$$
Since by assumption $|p(0)|>0$, for any positive and sufficiently small $t$ we have $g(t)<g(0)$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Locally Compact Spaces

定义5.23拓扑空间是局部紧致的，如果每个点都有紧致邻域。

$\mathbb{R}^n$中的开集是局部紧的:如果$U \subset \mathbb{R}^n$是开的，$x \in U$可以找到$r>0$满足$B(x, r) \subset U$;那么封闭的球$\overline{B(x, R)}$，对于任何$0<R<r$，都是$U$中$x$的紧邻。

根据定义我们知道任何紧化空间都是局部紧化的。此外，

命题5.25局部紧化空间中的每个闭子空间都是局部紧化的。两个局部紧空间的积是局部紧的。

证明使$Y$在$X$局部闭合。任何$y \in Y$都有一个紧凑的邻居$U \subset X$。路口$Y \cap U$是$Y$的一个邻居$y$，也是紧凑的，因为在$U$关闭。

如果$X, Y$是局部紧域，$(x, y) \in X \times Y$是局部紧域，则$x \in U \subset X$与$y \in V \subset Y$的两个紧域之积$U \times V$是$(x, y)$的一个紧域。

与紧性一样，局部紧性与Hausdorff性质一起特别有用。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|The Fundamental Theorem of Algebra

我们有所有的材料来证明代数基本定理的最经典的证明，它依赖于点集拓扑的结果。推论15.26将提供一个涉及同伦理论的不同证明。

引理5.28设$p(z)$为复系数的正次多项式，设$p(0) \neq 0$。然后存在$z \in \mathbb{C}$这样的$|p(z)|<|p(0)|$。

证明称$k>0$为多项式$p(z)-p(0)$的根0的多重性，因此
$$
p(z)=p(0)-z^k\left(b_0+b_1 z+\cdots+b_r z^r\right), \quad \text { with } \quad b_0 \neq 0 .
$$
假设$c$是$\frac{p(0)}{b_0}$的$k$次方根，并考虑连续映射
$$
g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(t)=|p(c t)|=\left|p(0)-t^k p(0)-t^{k+1} \sum_{i=1}^r b_i c^{k+i} t^{i-1}\right| .
$$
通过三角形不等式
$$
g(t) \leq|p(0)|\left(1-t^k\right)+t^{k+1}\left|\sum_{i=1}^r b_i c^{k+i} t^{i-1}\right| .
$$
因为通过假设$|p(0)|>0$，对于任何正的足够小的$t$我们有 $g(t)<g(0)$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是，一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状，而是取决于它们的组合方式。例如，正方形和圆形有许多共同的属性：它们都是一维物体（从拓扑学的角度来看），都把平面分成两部分，即内部和外部。

拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuous Maps

Definition 3.24 A map $f: X \rightarrow Y$ between two topological spaces is continuous if the pre-image
$$
f^{-1}(A)={x \in X \mid f(x) \in A}
$$
of any open set $A \subset Y$ is open in $X$.
Before we continue let’s remark that the operator $f^{-1}: \mathcal{P}(Y) \rightarrow \mathcal{P}(X)$ commutes with the operations of set-complementation and union:

$$
f^{-1}(Y-A)=X-f^{-1}(A), \quad f^{-1}\left(\cup_i A_i\right)=\cup_i f^{-1}\left(A_i\right)
$$
As a result:

a map $f: X \rightarrow Y$ is continuous if and only if the pre-image $f^{-1}(C)$ of any closed set $C \subset Y$ is closed in $X$ (complementation);

let $\mathcal{B}$ be a topological basis of $Y$. A map $f: X \rightarrow Y$ is continuous if and only if for any $B \in \mathcal{B}$ the set $f^{-1}(B)$ is open in $X$ (each open set in $Y$ is the union of elements of $\mathcal{B}$ ).

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metric Spaces

Definition 3.33 A distance on a set $X$ is a function $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ meeting the following properties:

$d(x, y) \geq 0$ for any $x, y \in X$, and $d(x, y)=0 \Longleftrightarrow x=y$;

$d(x, y)=d(y, x)$ for every $x, y \in X$

$d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)$ for all $x, y, z \in X$.
Condition 3 is called triangle inequality.
Example 3.34 On an arbitrary set $X$ the function
$$
d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}, \quad d(x, y)= \begin{cases}0 & \text { if } x=y \ 1 & \text { if } x \neq y\end{cases}
$$
is a distance.
Definition 3.35 A metric space is a pair $(X, d)$ formed by a set $X$ and a distance $d$ on $X$.

Example 3.36 The line $\mathbb{R}$ with the Euclidean distance $d(x, y)=|x-y|$ is a metric space.
Example 3.37 The space $\mathbb{R}^n$, with the Euclidean distance
$$
d(x, y)=\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\cdots+\left(x_n-y_n\right)^2}
$$
is a metric space: the triangle inequality holds by virtue of Lemma 1.3.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuous Maps

定义3.24两个拓扑空间之间的映射$f: X \rightarrow Y$是连续的，如果预像
$$
f^{-1}(A)={x \in X \mid f(x) \in A}
$$
对于任意开放集$A \subset Y$在$X$中都是开放的。
在继续之前，我们注意到运算符$f^{-1}: \mathcal{P}(Y) \rightarrow \mathcal{P}(X)$可以与集补和并并运算交换:

$$
f^{-1}(Y-A)=X-f^{-1}(A), \quad f^{-1}\left(\cup_i A_i\right)=\cup_i f^{-1}\left(A_i\right)
$$
结果是:

映射$f: X \rightarrow Y$是连续的当且仅当任意闭集$C \subset Y$的预像$f^{-1}(C)$闭于$X$(补);

让$\mathcal{B}$作为$Y$的拓扑基础。映射$f: X \rightarrow Y$是连续的当且仅当对于任何$B \in \mathcal{B}$集合$f^{-1}(B)$在$X$中是开放的($Y$中的每个开放集合都是$\mathcal{B}$元素的并集)。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metric Spaces

3.33集合$X$上的距离是满足以下性质的函数$d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$:

$d(x, y) \geq 0$ 对于任何$x, y \in X$，和$d(x, y)=0 \Longleftrightarrow x=y$;

$d(x, y)=d(y, x)$ 对于每一个 $x, y \in X$

$d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)$ 对于所有$x, y, z \in X$。
条件3称为三角不等式。
例3.34在任意集合$X$上的函数
$$
d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}, \quad d(x, y)= \begin{cases}0 & \text { if } x=y \ 1 & \text { if } x \neq y\end{cases}
$$
是一段距离。
3.35度量空间是由集合$X$和$X$上的距离$d$组成的一对$(X, d)$。

欧几里得距离为$d(x, y)=|x-y|$的直线$\mathbb{R}$是一个度量空间。
例3.37空间$\mathbb{R}^n$，欧几里得距离
$$
d(x, y)=\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\cdots+\left(x_n-y_n\right)^2}
$$
是一个度量空间:三角不等式根据引理1.3成立。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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