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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Processes with a semi-Markov chance interference

Posted on 2023年5月26日2023年5月26日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写随机过程Stochastic Porcesses 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。随机过程Stochastic Porcesses在概率论和相关领域，是一个数学对象，通常被定义为一个随机变量系列。随机过程被广泛用作系统和现象的数学模型，这些系统和现象似乎以随机的方式变化。这方面的例子包括细菌种群的生长，由于热噪声而波动的电流，或气体分子的运动。随机过程在许多学科中都有应用，如生物学、化学、生态学、神经科学、物理学、图像处理、信号处理、控制理论、信息理论、计算机科学、密码学和电信。此外，金融市场中看似随机的变化也促使人们在金融领域广泛使用随机过程。

随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程，路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化，以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的，并且在巴切莱特和埃朗之前和之后，在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写随机过程stochastic process方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写随机过程stochastic process代写方面经验极为丰富，各种代写随机过程stochastic process相关的作业也就用不着说。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Processes with a semi-Markov chance interference

We construct a measure which corresponds to this process on $\left{\mathscr{F}^, \mathscr{N}^\right}$, where $\mathscr{F}^$ is the set of functions $x(t)$ defined on the sum of the intervals $\cup\left[t_k, t_{k+1}\right)$, $0=t_0$ is the $\sigma$-algebra generated by the cylinders on $\mathscr{F}^*$. Such a measure will depend on $x$ and $y$ which are initial values of the Markov and semi-Markov processes, respectively.

Let $\mathscr{F}y$ be the set of piecewise constant functions $y(t)$ with values in $\mathscr{Y}$. Let $y(t)=y_k$ if $\zeta_k \leqslant t<\zeta{k+1}, 0=\zeta_0<\zeta_1<\cdots<\zeta_n<\cdots, \zeta_n \uparrow \infty$. We associate a measure $\mathrm{P}x^{y(\cdot)}$ on $\left{\mathscr{F}^, \mathscr{N}^\right}$ with the function $y(\cdot)$ in the following manner: if $$ A=\bigcap{k=0}^n \theta_{\zeta_k} A_k
$$
where $A_k$ is a cylindrical set on $\mathscr{F}^*$ defined by the values of $x(t)$ for $0 \leqslant t<\zeta_{k+1}-\zeta_k$, then
$$
\begin{aligned}
\mathrm{P}x^{y(\cdot)}(A)= & \int \mathrm{P}_x^{y_0}\left{A_0 \cap C{\zeta_1}\left(d x_1\right)\right} \int \mathrm{P}{x_1}^{y_1}\left{A_1 \cap C{\zeta_2-\zeta_1}\left(d x_2\right)\right} \times \cdots \
& \times \int \mathrm{P}{x{n-1}}^{y_{n-1}}\left{A_{n-1} \cap C_{\zeta_n-\zeta_{n-1}}\left(d x_n\right)\right} \mathrm{P}{x_n}^{y_n}\left(A_n\right), \quad C_t(B)={x(\cdot): x(t) \in B} . \end{aligned} $$ It is easy to verify that $\mathrm{P}_x^{y(\cdot)}(A)$ is an $\mathscr{N}{y y}$-measurable function on $\mathscr{F}y$, where $\mathscr{N}{\mathscr{X}}$ is a $\sigma$-algebra generated by the cylincers in $\mathscr{F}{a y}$. Therefore the integral $$ \mathrm{P}{y, x}(A)=\int \mathrm{P}x^{y(\cdot)}(A) \mu{y y}(d y(\cdot)),
$$
where $\mu_{x y}(\cdot)$ is a measure on $\left{\mathscr{F}{y y}, \mathscr{N}{q y}\right}$ corresponding to the component of the semi-Markov process $(y(t) ; \xi(t))$, is meaningful.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The ergodic theorem for processes with a discrete chance interference

The ergodic theorem for processes with a discrete chance interference. Let $(x(t) ; \xi(t))$ be a process with a discrete chance interference in the phase space ${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$. We assume that the process is regular, i.e. that $\xi(t)$ possesses a finite number of jumps on each finite interval. We shall be concerned with the behavior of
$$
\frac{1}{T} \int_0^T f(x(t), \xi(t)) d t
$$

as $T \rightarrow \infty$, where $f(x, s)$ is a $\mathfrak{B} \times \mathfrak{B}{+}$-measurable function. Below we shall derive sufficient conditions for expression (42) to have with probability 1 the limit of the form $$ S(f)=\iiint_0^{\infty} Q{x, 0}(t, d y, \mathscr{X}) f(y, t) d t \pi(d x) / \iint_0^{\infty} Q_{x, 0}(t, \mathscr{X}, \mathscr{X}) d t \pi(d x)
$$
as $T \rightarrow \infty$, where $Q_{x, 0}\left(t, B_1, B_2\right)$ is the function associated with a process with discrete chance interference by relation (38) and $\pi(d x)$ is the stationary distribution of the Markov chain in $(\mathscr{X}, \mathfrak{B})$ with the transition probability
$$
\pi(x, B)=Q_{x, 0}(0, \mathscr{X}, B),
$$
i. e. for all $B \in \mathfrak{B}$
$$
\pi(B)=\int \pi(d x) \pi(x, B)
$$
In order that expression (43) be meaningful it is necessary that there exist a measure $\pi$ which satisfies (45) and the function $f(y, t)$ be such that
$$
\iiint_0^{\infty} Q_{x, 0}(t, d y, \mathscr{X})|f(y, t)| d t \pi(d x)<\infty
$$
Recall that the Markov chain $\left{x_n\right}$ in ${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$ is called ergodic if there exists for this chain a stationary distribution $\pi(d x)$ and for all $x \in \mathscr{X}$ and $\mathfrak{B}$-measurable function $f$ such that $\int|f(x)| \pi(d x)<\infty$ we have, with probability $\mathrm{P}{x, 0}=1$, $$ \lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right)=\int f(x) \pi(d x) .
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Processes with a semi-Markov chance interference

我们在$\left{\mathscr{F}^, \mathscr{N}^\right}$上构造了一个与此过程相对应的度量，其中$\mathscr{F}^$是在区间$\cup\left[t_k, t_{k+1}\right)$和上定义的函数集$x(t)$, $0=t_0$是在$\mathscr{F}^*$上由圆柱体生成的$\sigma$ -代数。这样的度量将取决于$x$和$y$，它们分别是马尔可夫过程和半马尔可夫过程的初始值。

设$\mathscr{F}y$为分段常数函数$y(t)$的集合，其值在$\mathscr{Y}$中。让$y(t)=y_k$如果$\zeta_k \leqslant t<\zeta{k+1}, 0=\zeta_0<\zeta_1<\cdots<\zeta_n<\cdots, \zeta_n \uparrow \infty$。我们以以下方式将$\left{\mathscr{F}^, \mathscr{N}^\right}$上的度量$\mathrm{P}x^{y(\cdot)}$与函数$y(\cdot)$关联起来:如果$$ A=\bigcap{k=0}^n \theta_{\zeta_k} A_k
$$
其中$A_k$是$\mathscr{F}^*$上的一个圆柱形集，由$x(t)$的值定义为$0 \leqslant t<\zeta_{k+1}-\zeta_k$，那么
$$
\begin{aligned}
\mathrm{P}x^{y(\cdot)}(A)= & \int \mathrm{P}x^{y_0}\left{A_0 \cap C{\zeta_1}\left(d x_1\right)\right} \int \mathrm{P}{x_1}^{y_1}\left{A_1 \cap C{\zeta_2-\zeta_1}\left(d x_2\right)\right} \times \cdots \ & \times \int \mathrm{P}{x{n-1}}^{y{n-1}}\left{A_{n-1} \cap C_{\zeta_n-\zeta_{n-1}}\left(d x_n\right)\right} \mathrm{P}{x_n}^{y_n}\left(A_n\right), \quad C_t(B)={x(\cdot): x(t) \in B} . \end{aligned} $$很容易验证$\mathrm{P}x^{y(\cdot)}(A)$是$\mathscr{F}y$上的一个$\mathscr{N}{y y}$ -可测量函数，其中$\mathscr{N}{\mathscr{X}}$是$\mathscr{F}{a y}$中的圆柱体生成的一个$\sigma$ -代数。因此积分$$ \mathrm{P}{y, x}(A)=\int \mathrm{P}x^{y(\cdot)}(A) \mu{y y}(d y(\cdot)), $$ 其中$\mu{x y}(\cdot)$是$\left{\mathscr{F}{y y}, \mathscr{N}{q y}\right}$上对应于半马尔可夫过程$(y(t) ; \xi(t))$分量的测度，是有意义的。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The ergodic theorem for processes with a discrete chance interference

具有离散偶然性干扰过程的遍历定理。设$(x(t) ; \xi(t))$为相空间${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$中具有离散机会干涉的过程。我们假设这个过程是规则的，即$\xi(t)$在每个有限区间上具有有限数量的跳跃。我们将关注……的行为
$$
\frac{1}{T} \int_0^T f(x(t), \xi(t)) d t
$$

如$T \rightarrow \infty$，其中$f(x, s)$是一个$\mathfrak{B} \times \mathfrak{B}{+}$ -可测量函数。下面我们将推导出表达式(42)的充分条件，以概率1得到形式$$ S(f)=\iiint_0^{\infty} Q{x, 0}(t, d y, \mathscr{X}) f(y, t) d t \pi(d x) / \iint_0^{\infty} Q_{x, 0}(t, \mathscr{X}, \mathscr{X}) d t \pi(d x)
$$的极限
为$T \rightarrow \infty$，其中$Q_{x, 0}\left(t, B_1, B_2\right)$为通过关系式(38)与离散机会干扰过程相关的函数，$\pi(d x)$为$(\mathscr{X}, \mathfrak{B})$中马尔可夫链的平稳分布，具有转移概率
$$
\pi(x, B)=Q_{x, 0}(0, \mathscr{X}, B),
$$
即为所有$B \in \mathfrak{B}$
$$
\pi(B)=\int \pi(d x) \pi(x, B)
$$
为了使表达式(43)有意义，必须存在一个满足(45)的测度$\pi$，并且函数$f(y, t)$是这样的
$$
\iiint_0^{\infty} Q_{x, 0}(t, d y, \mathscr{X})|f(y, t)| d t \pi(d x)<\infty
$$
回想一下，${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$中的马尔可夫链$\left{x_n\right}$被称为遍历链，如果这个链存在一个平稳分布$\pi(d x)$，并且对于所有$x \in \mathscr{X}$和$\mathfrak{B}$ -可测量函数$f$，使得$\int|f(x)| \pi(d x)<\infty$我们有，概率为$\mathrm{P}{x, 0}=1$， $$ \lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right)=\int f(x) \pi(d x) .
$$

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Multiplicative Additive Functionals, Excessive Functions

Posted on 2023年5月26日2023年5月26日 by statistics-lab

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Multiplicative Additive Functionals, Excessive Functions

Definition and basic properties of additive and multiplicative functionals. Let $\left{\mathscr{F}, \mathcal{N}, \mathrm{P}_x\right}$ be a homogeneous Markov process in a certain phase space ${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$. We shall consider special families of $\mathscr{N}_t$-measurable numerical variables. Since they are $\mathscr{N}_t$-measurable the shift-operator $\theta_h$ is applicable to them.

A family of variables $\alpha_t$ defined for $t \geqslant 0$ on $\mathscr{F}$ is called a homogeneous multiplicative functional if it satisfies the conditions:
M1) $\alpha_t$ is measurable with respect to $\mathscr{N}t$ for all $t \geqslant 0$, M2) for all $t \geqslant 0$ and $h>0$ relation $\alpha{t+h}=\alpha_h \theta_h \alpha_t$ is satisfied for all $x \in \mathscr{X}$ with probability $P_x=1$.

A family of variables $\varphi_t$ defined for $t \geqslant 0$ on $\mathscr{F}$ is called a homogeneous additive functional provided:
A 1) for all $t \geqslant 0$ the variable $\varphi_t$ is measurable with respect to $\mathcal{N}t$. A 2) for all $t \geqslant 0$ and $h>0$ relation $\varphi{t+h}=\varphi_h+\theta_h \varphi_t$ is satisfied for all $x \in \mathscr{X}$ with probability $P_x=1$.
We present examples of multiplicative functionals.
I. Let $\mathscr{X}$ be a topological space and let the sample function of the process $x(t)$ be continuous from the right, and let $g(x)$ be a bounded continuous function on $\mathscr{x}$. Then for all $t \geqslant 0$ the quantity
$$
\int_0^t g\left(x_s\right) d s
$$

is defined and is $\mathscr{N}t$-measurable. Set $$ \alpha_t=\exp \left{\int_0^t g\left(x_s\right) d s\right} $$ Since and $$ \theta_h \alpha_t=\exp \left{\int_0^t \theta_h g\left(x_s\right) d s\right}=\exp \left{\int_h^{t+h} g\left(x_s\right) d s\right} $$ $$ \alpha_h \theta_h \alpha_t=\exp \left{\int_0^h g\left(x_s\right) d s\right} \exp \left{\int_h^{t+h} g\left(x_s\right) d s\right}=\alpha{t+h},
$$
it follows that $\alpha_t$ is a multiplicative functional.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Random time substitution

(This quantity is well defined if $\varphi(+\infty)>t$.) Thus we have a family of random processes: a random process $x\left(\tau_t\right)$ on the probability space $\left{\mathscr{F}, \mathcal{N}, \mathrm{P}_x\right}$ corresponds to each $x$. It turns out that this family is a Markov family of random processes. We construct a homogeneous Markov process with marginal distributions of the following structure: given that the initial value of the process is $x$, the marginal distributions of the process coincide with the marginal distributions of the process $x\left(\tau_t\right)$ on the probability space $\left{\mathscr{F}, \mathcal{N}, \mathrm{P}_x\right}$.

We introduce the set of functions $\mathscr{F}: x(t)=x(\tau)$ on $[0, \tilde{\zeta})$ where the variables $\tau_t$ are defined by relation (25) for all $x(\cdot) \in \mathscr{F}$ and $t \in[0, \tilde{\zeta}), \tilde{\zeta}=\varphi(+\infty)$. Denote by $\tilde{\mathcal{N}}$ the $\sigma$-algebra generated by the variables $\tilde{x}(t)$, by $\tilde{N}t$ the $\sigma$-algebra generated by $\tilde{x}(s)$ for $s \leqslant t$. Finally denote by $\tilde{\mathrm{P}}_x$ the measure on $\mathscr{N}$ defined by relation $$ \tilde{\mathrm{P}}_x(C)=\mathrm{P}_x\left{x\left(\tau_0\right) \in C\right} $$ for any cylinder $C$ in $\mathscr{N}$; since $x\left(\tau_t\right)$ is an $\mathscr{N}$-measurable variable it follows that the set $\left{x(\cdot): x\left(\tau_0\right) \in C\right}$ is $\mathcal{N}$-measurable for any cylinder $C$. To verify that $\left{\tilde{\mathscr{F}}, \tilde{\mathcal{N}}, \tilde{\mathrm{P}}_x\right}$ is a Markov process it is sufficient to show that $$ \tilde{\mathrm{P}}_x\left{\tilde{x}(t+h) \in B \mid \tilde{\mathscr{N}}_t\right}=\tilde{\mathrm{P}}{\tilde{x}(t)}{\tilde{x}(h) \in B}
$$
with probability $\mathrm{P}x=1$ for any $x \in \mathscr{X}, B \in \mathcal{B}, t>0$ and $h>0$. Relation (26) is equivalent to the following: $$ \mathrm{P}_x\left{x\left(\tau{t+h}\right) \in B \mid \mathcal{N}{\tau_t}\right}=\mathrm{P}{x\left(\tau_t\right)}\left{x\left(\tau_h\right) \in B\right}
$$
with probability $P_x=1$. It follows from the strong Markov property of the process $\left{\mathscr{F}, \mathcal{N}, P_x\right}$ that $(27)$ is satisfied provided
$$
\theta_{\tau_t}\left[x\left(\tau_h\right)\right]=x\left(\tau_{h+t}\right)
$$
with probability $P_x=1$.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Multiplicative Additive Functionals, Excessive Functions

加性泛函和乘法泛函的定义和基本性质。设$\left{\mathscr{F}, \mathcal{N}, \mathrm{P}_x\right}$为某相空间${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$中的齐次马尔可夫过程。我们将考虑$\mathscr{N}_t$可测量数值变量的特殊族。由于它们是$\mathscr{N}_t$可测量的，移位运算符$\theta_h$适用于它们。

在$\mathscr{F}$上为$t \geqslant 0$定义的变量族$\alpha_t$如果满足以下条件，则称为齐次乘法泛函:
对于所有$t \geqslant 0$, M1) $\alpha_t$相对于$\mathscr{N}t$是可测量的，对于所有$t \geqslant 0$和$h>0$, M2)关系$\alpha{t+h}=\alpha_h \theta_h \alpha_t$对于所有$x \in \mathscr{X}$是满足的，概率为$P_x=1$。

在$\mathscr{F}$上为$t \geqslant 0$定义的一组变量$\varphi_t$称为齐次加性泛函，提供:
1)对于所有$t \geqslant 0$，变量$\varphi_t$相对于$\mathcal{N}t$是可测量的。A 2)对于所有$t \geqslant 0$和$h>0$关系$\varphi{t+h}=\varphi_h+\theta_h \varphi_t$，对于所有$x \in \mathscr{X}$都以$P_x=1$的概率满足。
我们给出乘法函数的例子。
1、设$\mathscr{X}$为拓扑空间，设过程$x(t)$的样本函数从右连续，设$g(x)$为$\mathscr{x}$上的有界连续函数。然后对于所有$t \geqslant 0$数量
$$
\int_0^t g\left(x_s\right) d s
$$

是定义的并且是$\mathscr{N}t$ -可测量的。输入$$ \alpha_t=\exp \left{\int_0^t g\left(x_s\right) d s\right} $$ Since和$$ \theta_h \alpha_t=\exp \left{\int_0^t \theta_h g\left(x_s\right) d s\right}=\exp \left{\int_h^{t+h} g\left(x_s\right) d s\right} $$$$ \alpha_h \theta_h \alpha_t=\exp \left{\int_0^h g\left(x_s\right) d s\right} \exp \left{\int_h^{t+h} g\left(x_s\right) d s\right}=\alpha{t+h},
$$
由此可知$\alpha_t$是一个乘法泛函。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Random time substitution

(这个数量定义得很好，如果$\varphi(+\infty)>t$。)这样我们就有了一组随机过程:概率空间$\left{\mathscr{F}, \mathcal{N}, \mathrm{P}_x\right}$上的一个随机过程$x\left(\tau_t\right)$对应于每个$x$。这个族是随机过程的马尔可夫族。我们构造了一个齐次马尔可夫过程，其边缘分布具有如下结构:给定过程的初值为$x$，过程的边缘分布与过程$x\left(\tau_t\right)$在概率空间$\left{\mathscr{F}, \mathcal{N}, \mathrm{P}_x\right}$上的边缘分布重合。

我们在$[0, \tilde{\zeta})$上引入一组函数$\mathscr{F}: x(t)=x(\tau)$，其中变量$\tau_t$由关系(25)为所有$x(\cdot) \in \mathscr{F}$和$t \in[0, \tilde{\zeta}), \tilde{\zeta}=\varphi(+\infty)$定义。用$\tilde{\mathcal{N}}$表示由变量$\tilde{x}(t)$生成的$\sigma$ -代数，用$\tilde{N}t$表示由$\tilde{x}(s)$生成的$\sigma$ -代数表示$s \leqslant t$。最后用$\tilde{\mathrm{P}}x$表示由关系$$ \tilde{\mathrm{P}}_x(C)=\mathrm{P}_x\left{x\left(\tau_0\right) \in C\right} $$定义的对于$\mathscr{N}$中的任意圆柱体$C$的$\mathscr{N}$上的度量;由于$x\left(\tau_t\right)$是一个$\mathscr{N}$可测量的变量，因此，对于任何圆柱体$C$，集合$\left{x(\cdot): x\left(\tau_0\right) \in C\right}$都是$\mathcal{N}$可测量的。为了验证$\left{\tilde{\mathscr{F}}, \tilde{\mathcal{N}}, \tilde{\mathrm{P}}_x\right}$是一个马尔可夫过程，只要证明$$ \tilde{\mathrm{P}}_x\left{\tilde{x}(t+h) \in B \mid \tilde{\mathscr{N}}_t\right}=\tilde{\mathrm{P}}{\tilde{x}(t)}{\tilde{x}(h) \in B} $$就足够了对于任意$x \in \mathscr{X}, B \in \mathcal{B}, t>0$和$h>0$的概率为$\mathrm{P}x=1$。关系式(26)等价于如下:$$ \mathrm{P}_x\left{x\left(\tau{t+h}\right) \in B \mid \mathcal{N}{\tau_t}\right}=\mathrm{P}{x\left(\tau_t\right)}\left{x\left(\tau_h\right) \in B\right} $$ 概率是$P_x=1$。由过程$\left{\mathscr{F}, \mathcal{N}, P_x\right}$的强马尔可夫性质可知$(27)$是满足的 $$ \theta{\tau_t}\left[x\left(\tau_h\right)\right]=x\left(\tau_{h+t}\right)
$$
概率是$P_x=1$。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Multiplicative Functionals

Posted on 2023年5月15日2023年5月15日 by statistics-lab

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Multiplicative Functionals

Multiplicative functionals and semi-stochastic kernels. Let $\left{\xi(t, \omega), \Im_t^s, \mathrm{P}_{s, x}\right}$ be a Markov process in the phase space ${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$.

Definition 1. A family of real random variables $\left{\mu_t^s, 0 \leqslant s \leqslant t<\infty\right}$ is called a multiplicative functional of a Markov process provided for all $s, t(0 \leqslant s \leqslant t<\infty)$ :
a) the random variable $\mu_t^s$ is $\tilde{\mathfrak{N}}t^s$-measurable; b) $\mu_t^s \mu_u^t=\mu_u^s\left(\bmod \mathrm{P}{s, x}\right)$ for any $(s, x) \in[0, \infty) \times \mathscr{X}$ and for arbitrary $t \in[s, u]$;
c) $0 \leqslant \mu_t^s \leqslant 1$.
Recall that $\mathfrak{N}t^s$ denotes the $\sigma$-algebra generated by the random elements $\xi(u), u \in[s, t]$ and $\tilde{\mathfrak{N}}_t^s$ is the completion of $\mathfrak{N}_t^s$ in $\tilde{\mathfrak{N}}^s$ with respect to the set of measures $\left{\mathrm{P}{s, q}, q \in Q\right}$ where $Q$ is the set of all probability measures on $\mathfrak{B}$.

It follows from the definition that $\mu_t^s$ is a monotonically non-decreasing function of $t$.

A multiplicative functional is called continuous from the right if for all $(s, x) \in[0, \infty) \times \mathscr{X}$ the function $\mu_t^s, t \geqslant s$, is continuous from the right for each $t$ almost surely with respect to $\mathrm{P}{s, x}$. A functional is called measurable if for any $s$ the random process $\left{\mu_t^s, t \geqslant s\right}$ is $\tilde{\mathfrak{N}}_t^s$-progressively measurable. Since $\mu_s^s=\mu_s^s \mu_s^s=\left(\mu_s^s\right)^2, \mu_s^s$ can take on only two values, 1 or 0 . It follows from the zero or one law that $\mathrm{P}{s, x}\left(\mu_s^s=1\right)=1$ or 0 . The point $(s, x)$ at which $\mathrm{P}_{s, x}\left(\mu_s^s=1\right)=1$ is called the permanency points of a multiplicative functional.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|An integral equation associated with multiplicative functionals

An integral equation associated with multiplicative functionals. In certain problems the analytic expression for the kernels $Q(s, x, t, B)$ generated by a given multiplicative functional is of interest. In the case of a multiplicative functional of the integral type one can obtain an integral equation satisfied by the function $Q(s, x, t, B)$.
Let
$$
\mu_t^s=\exp \left{-\int_s^t f[u, \xi(u)] d u\right}
$$
where $f(t, x)$ is non-negative $\mathscr{T} \times \mathfrak{B}$-measurable and the integral appearing in formula (12) converges for all $(s, t), 0 \leqslant s \leqslant t \leqslant \xi$. Since for almost all $s$, we have
$$
\frac{d \mu_t^s}{d s}=f[s, \xi(s)] \mu_t^s
$$
it follows that
$$
\mu_t^s=1-\int_s^t f[u, \xi(u)] \mu_t^u d u \quad(t<\zeta)
$$
Multiplying both sides of the obtained expression by $\chi[B, \xi(t)]$ and integrating both sides with respect to $\mathrm{P}{s, x}$ we obtain $$ Q(s, x, t, B)=P(s, x, t, B)-\int_s^t \mathrm{E}{s, x} f[u, \xi(u)] \mu_t^u \chi[B, \xi(t)] d u
$$
Utilizing the equalities
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E}{s, x} f[u, \xi(u)] \mu_t^u \chi[B, \xi(t)] & =\mathrm{E}{s, x} f[u, \xi(u)] \mathrm{E}{u, \xi(u)} \chi[B, \xi(t)] \mu_t^u \ & =\mathrm{E}{s, x} f[u, \xi(u)] Q(u, \xi(u), t, B),
\end{aligned}
$$
we find that the kernel $Q(s, x, t, B)$ satisfies the following integral equation:
$$
Q(s, x, t, B)=P(s, x, t, B)-\int_s^t f(u, y) Q(u, y, t, B) P(s, x, u, d y) .
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Multiplicative Functionals

乘法泛函与半随机核。设$\left{\xi(t, \omega), \Im_t^s, \mathrm{P}_{s, x}\right}$为相空间${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$中的马尔可夫过程。

定义:一组实数随机变量$\left{\mu_t^s, 0 \leqslant s \leqslant t<\infty\right}$被称为马尔可夫过程的乘法泛函，提供给所有$s, t(0 \leqslant s \leqslant t<\infty)$:
A)随机变量$\mu_t^s$为$\tilde{\mathfrak{N}}t^s$可测;B) $\mu_t^s \mu_u^t=\mu_u^s\left(\bmod \mathrm{P}{s, x}\right)$适用于任何$(s, x) \in[0, \infty) \times \mathscr{X}$和任意$t \in[s, u]$;
C) $0 \leqslant \mu_t^s \leqslant 1$。
回想一下，$\mathfrak{N}t^s$表示$\sigma$——由随机元素$\xi(u), u \in[s, t]$和$\tilde{\mathfrak{N}}_t^s$生成的代数是$\tilde{\mathfrak{N}}^s$中$\mathfrak{N}_t^s$相对于测度集$\left{\mathrm{P}{s, q}, q \in Q\right}$的补全，其中$Q$是$\mathfrak{B}$上所有概率测度的集合。

由定义可知$\mu_t^s$是$t$的单调非递减函数。

如果对所有$(s, x) \in[0, \infty) \times \mathscr{X}$函数$\mu_t^s, t \geqslant s$从右连续到每个$t$几乎肯定是对$\mathrm{P}{s, x}$连续的，那么一个乘法泛函就称为从右连续的。如果对于任意$s$随机过程$\left{\mu_t^s, t \geqslant s\right}$是$\tilde{\mathfrak{N}}t^s$ -逐步可测量的，则称为可测量的函数。因为$\mu_s^s=\mu_s^s \mu_s^s=\left(\mu_s^s\right)^2, \mu_s^s$只能取两个值，1或0。它遵循0或1定律$\mathrm{P}{s, x}\left(\mu_s^s=1\right)=1$或0。在$\mathrm{P}{s, x}\left(\mu_s^s=1\right)=1$处的点$(s, x)$被称为乘法泛函的永久点。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|An integral equation associated with multiplicative functionals

与乘法函数有关的积分方程。在某些问题中，由一个给定的乘法泛函生成的核的解析表达式$Q(s, x, t, B)$是有意义的。对于积分型的乘法泛函，可以得到由$Q(s, x, t, B)$函数满足的积分方程。
让
$$
\mu_t^s=\exp \left{-\int_s^t f[u, \xi(u)] d u\right}
$$
其中$f(t, x)$是非负的$\mathscr{T} \times \mathfrak{B}$ -可测的，式(12)中的积分对所有$(s, t), 0 \leqslant s \leqslant t \leqslant \xi$收敛。因为几乎所有的$s$，我们已经
$$
\frac{d \mu_t^s}{d s}=f[s, \xi(s)] \mu_t^s
$$
由此得出
$$
\mu_t^s=1-\int_s^t f[u, \xi(u)] \mu_t^u d u \quad(t<\zeta)
$$
得到的表达式两边同时乘以$\chi[B, \xi(t)]$两边对$\mathrm{P}{s, x}$积分得到$$ Q(s, x, t, B)=P(s, x, t, B)-\int_s^t \mathrm{E}{s, x} f[u, \xi(u)] \mu_t^u \chi[B, \xi(t)] d u
$$
利用等式
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E}{s, x} f[u, \xi(u)] \mu_t^u \chi[B, \xi(t)] & =\mathrm{E}{s, x} f[u, \xi(u)] \mathrm{E}{u, \xi(u)} \chi[B, \xi(t)] \mu_t^u \ & =\mathrm{E}{s, x} f[u, \xi(u)] Q(u, \xi(u), t, B),
\end{aligned}
$$
我们发现核$Q(s, x, t, B)$满足以下积分方程:
$$
Q(s, x, t, B)=P(s, x, t, B)-\int_s^t f(u, y) Q(u, y, t, B) P(s, x, u, d y) .
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Stochastically equivalent Markov processes

Posted on 2023年5月15日2023年5月15日 by statistics-lab

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Stochastically equivalent Markov processes

Stochastically equivalent Markov processes. In many cases it is desirable that a given Markov process will possess certain “nice” properties. If the initial process does not possess these properties, it is considered allowable to replace it by some other process which in a certain sense differs only insignificantly from the given one. The insignificance of the replacement (transformation) of one process by another may mean for example, that the phase space and the transition probabilities remain unchanged. In this connection the following important definition is introduced.

Definition 5. Two Markov processes $\left{\xi(t, \omega), \widetilde{\Im}t^s, \mathrm{P}{s, x}\right},\left{\tilde{\xi}(t, \tilde{\omega}), \tilde{\Xi}t^s, \tilde{\mathrm{P}}{s, x}\right}$ in the phase space ${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$ are called stochastically equivalent if
$$
\mathrm{P}{s, x}{\xi(t, \omega) \in B}=\tilde{\mathrm{P}}{s, x}{\tilde{\xi}(t, \tilde{\omega}) \in B}
$$
for all $s, t, 0 \leqslant s \leqslant t<\infty$ and $B \in \mathfrak{B}$.
A transformation of the given Markov process into a stochastically equivalent process was discussed above. It consisted in replacing the family of $\sigma$-algebras $\left{\widetilde{\Xi}t^s\right}$ by a new wider family $\left{\bar{\Xi}_t^s\right}\left(\widetilde{\Xi}_t^s \subset \bar{\Xi}_t^s\right)$ or by a narrower family, retaining all the relations contained in the definition of a Markov process. It is always possible to reduce the situation to a narrower family: we simply restrict the domain of the definition of measure $\mathrm{P}{s, x}$. Extension of the family $\Xi_t^s$ is a somewhat more nebulous problem. An example of such a transition is given by the completion of $\sigma$-algebras $\widetilde{ }_t^s$ discussed above.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Construction of a Markov process from transition probabilities.

Construction of a Markov process from transition probabilities. In the conclusion of the present section we shall consider the problem concerning the existence of a Markov process with a given transition probability.

In general terms the theorem of the existence of a Markov function with values in a complete separable metric space with given transition probabilities was presented in Volume I. The definition given therein is applicable to the Markov process as well, and is repeated here briefly with the necessary additions. Without loss of generality we shall discuss the case of non-cut-off processes only.
Let $\Omega=\mathscr{X}^{\mathscr{g}}$ be the space of all functions $\omega=x(\cdot)$ defined on $\mathscr{I}$ with values in $\mathscr{X}$, where $\mathscr{I}$ is a subset of the extended real line $[-\infty, \infty]$. Define on $\mathscr{I} \times \Omega$ the function $\xi_t=f(t, \omega)$ by setting $\xi_t=f(t, \omega)=x(t)$, if $\omega=x(\cdot)$.

As before, we introduce on $\Omega$ a family of $\sigma$-algebras $\mathscr{N}t, \mathcal{N}^s, \mathcal{N}_t^s$, where $\mathscr{N}_t\left(\mathscr{N}^s, \mathscr{N}_t^s\right)$ is the minimal $\sigma$-algebra containing all the cylinders in $\Omega$ generated by the coordinates $t_1, t_2, \ldots, t_n, t_k \leqslant t$ (or correspondingly, $t_k \geqslant s, t_k \in[s, t]$ ) and $t_k \in \mathscr{I}(k=1, \ldots, n)$ and let $\mathcal{N}=\sigma\left{\mathscr{N}_t, t \in \mathscr{I}\right}$. Theorem 5. Assume that the following conditions are satisfied: 1) $\mathscr{X}$ is a complete separable metric space, $\mathfrak{B}$ is the $\sigma$-algebra of Borel sets in $\mathscr{X}$. 2) $P(s, x, t, B)=P{s t}(x, B)$ is a Markov family of stochastic kernels on ${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$;
3) $q=\left{q_t(B), t \in \mathscr{I}\right}$ is the input distribution law for the transition probabilities $P(s, x, t, B)$.
Then:
a) there exists a measure $\mathrm{P}^{(q)}$ defined on ${\Omega, \mathscr{N}}$ such that ${\xi(t, \omega), t \in \mathscr{I}}$ is an $\mathscr{N}t$-Markov function with the given transition probability $P(s, x, t, B)$ and the input distribution $q$; b) there exists on $\left{\Omega, \mathscr{N}^s\right}$ a family of measures $\left{P{s, x}(\cdot), x \in \mathscr{X}\right}(s \in \mathscr{I})$ independent of the input distribution $q$ and, moreover, for any $C \in \mathcal{N}^t, B \in \mathfrak{B}(s \leqslant t)$,
$$
\begin{aligned}
\mathrm{P}^{(q)}\left(C \mid \mathcal{N}t\right) & =\mathrm{P}{t, \xi(t)}(C), \
\mathrm{P}{s, x}\left(C \mid \mathcal{N}_t^s\right) & =\mathrm{P}{t, \xi(t)}(C), \
\mathrm{P}_{s, x}{\xi(t) \in B} & =P(s, x, t, B) .
\end{aligned}
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Stochastically equivalent Markov processes

随机等效马尔可夫过程。在许多情况下，期望给定的马尔可夫过程具有某些“好的”性质。如果初始过程不具备这些特性，则可以考虑用某种在某种意义上与给定过程差别不大的其他过程来代替它。例如，一个过程被另一个过程替换(转换)的不重要性可能意味着相空间和转变概率保持不变。在这方面，介绍了以下重要的定义。

定义:相空间${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$中的两个马尔可夫过程$\left{\xi(t, \omega), \widetilde{\Im}t^s, \mathrm{P}{s, x}\right},\left{\tilde{\xi}(t, \tilde{\omega}), \tilde{\Xi}t^s, \tilde{\mathrm{P}}{s, x}\right}$称为随机等效
$$
\mathrm{P}{s, x}{\xi(t, \omega) \in B}=\tilde{\mathrm{P}}{s, x}{\tilde{\xi}(t, \tilde{\omega}) \in B}
$$
对于所有$s, t, 0 \leqslant s \leqslant t<\infty$和$B \in \mathfrak{B}$。
本文讨论了给定马尔可夫过程转化为随机等价过程的问题。它包括用一个新的更宽的代数族$\left{\bar{\Xi}_t^s\right}\left(\widetilde{\Xi}_t^s \subset \bar{\Xi}_t^s\right)$或更窄的代数族代替$\sigma$ -代数族$\left{\widetilde{\Xi}t^s\right}$，保留马尔可夫过程定义中包含的所有关系。我们总是可以把这种情况缩小到一个更小的范围内:我们只要限制度量的定义的范围$\mathrm{P}{s, x}$。家庭的扩展$\Xi_t^s$是一个比较模糊的问题。上面讨论的$\sigma$ -algebras $\widetilde{ }_t^s$的完成给出了这种转换的一个例子。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Construction of a Markov process from transition probabilities.

从转移概率构造马尔可夫过程。在本节的结论中，我们将考虑具有给定转移概率的马尔可夫过程的存在性问题。

一般来说，在具有给定转移概率的完全可分度量空间中，给出了带值马尔可夫函数的存在性定理。其中给出的定义也适用于马尔可夫过程，这里简要地重复一下必要的补充。为了不失去一般性，我们将只讨论非截止过程的情况。
设$\Omega=\mathscr{X}^{\mathscr{g}}$为在$\mathscr{I}$上定义的所有函数$\omega=x(\cdot)$的空间，其值在$\mathscr{X}$中，其中$\mathscr{I}$是扩展实线$[-\infty, \infty]$的子集。在$\mathscr{I} \times \Omega$上通过设置$\xi_t=f(t, \omega)=x(t)$定义函数$\xi_t=f(t, \omega)$，如果是$\omega=x(\cdot)$。

如前所述，我们在$\Omega$上引入$\sigma$ -algebras $\mathscr{N}t, \mathcal{N}^s, \mathcal{N}t^s$，其中$\mathscr{N}_t\left(\mathscr{N}^s, \mathscr{N}_t^s\right)$是最小的$\sigma$ -代数，包含$\Omega$中由坐标$t_1, t_2, \ldots, t_n, t_k \leqslant t$(或相应的，$t_k \geqslant s, t_k \in[s, t]$)和$t_k \in \mathscr{I}(k=1, \ldots, n)$生成的所有柱体，并让$\mathcal{N}=\sigma\left{\mathscr{N}_t, t \in \mathscr{I}\right}$。定理5。假设满足以下条件:1)$\mathscr{X}$是完全可分度量空间，$\mathfrak{B}$是$\mathscr{X}$中Borel集合的$\sigma$ -代数。2) $P(s, x, t, B)=P{s t}(x, B)$是${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$上随机核的马尔可夫族; 3) $q=\left{q_t(B), t \in \mathscr{I}\right}$为转移概率的输入分布规律$P(s, x, t, B)$。然后: a)存在一个定义在${\Omega, \mathscr{N}}$上的测度$\mathrm{P}^{(q)}$，使得${\xi(t, \omega), t \in \mathscr{I}}$是一个具有给定转移概率$P(s, x, t, B)$和输入分布$q$的$\mathscr{N}t$ -马尔可夫函数;B)在$\left{\Omega, \mathscr{N}^s\right}$上存在一组独立于输入分布$q$的测度$\left{P{s, x}(\cdot), x \in \mathscr{X}\right}(s \in \mathscr{I})$，而且，对于任何$C \in \mathcal{N}^t, B \in \mathfrak{B}(s \leqslant t)$， $$ \begin{aligned} \mathrm{P}^{(q)}\left(C \mid \mathcal{N}t\right) & =\mathrm{P}{t, \xi(t)}(C), \ \mathrm{P}{s, x}\left(C \mid \mathcal{N}_t^s\right) & =\mathrm{P}{t, \xi(t)}(C), \ \mathrm{P}{s, x}{\xi(t) \in B} & =P(s, x, t, B) .
\end{aligned}
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Processes with independent increments

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Processes with independent increments

Processes with independent increments. Let $\mathscr{X}$ be a metric vector space, $\mathfrak{B}$ be a $\sigma$-algebra of Borel sets of $\mathscr{X}$. Denote by $B+x(B \subset \mathscr{X}, x \in \mathscr{X})$ the parallel shift of the set $B$ in the amount $x: B+x={y: y=z+x, z \in B}$.

Consider the family of probability measures $P_{s t}(\cdot)$ on $\mathfrak{B}(s \geqslant 0, t>s)$ satisfying the following conditions:
a) $P_{s t}(B-x)$ is a $\mathfrak{B}$-measurable function of $x$ for any $B \in \mathfrak{B}$.
b) if $s<u<t$, then
$$
P_{s t}(B)=\int_x P_{u t}(B-y) P_{s u}(d y)
$$
It is easy to verify that for an arbitrary bounded $\mathfrak{B}$-measurable function $f(x)$ the equality
$$
\int_{\mathscr{X}} f(x+y) P_{s t}(d y)=\int_x f(y) P_{s t}(d y-x)
$$
holds. (This equality is trivial for indicator functions of $\mathfrak{B}$-measurable sets.) Therefore it follows from (41) that
$$
P_{s t}(B-x)=\int_x P_{u t}(B-y) P_{s u}(d y-x) .
$$
Consequently, if one sets $P(s, x, t, B)=P_{s t}(B-x)$ then the function $P(s, x, t, B)$ will be a transition probability. This function enjoys the property of space homogeneity. This means that
$$
P(s, x+y, t, B+y)=P(s, x, t, B)
$$
for all $y \in \mathscr{X}$. Conversely, if the transition probabilities possess this property, then $P(s, x, t, B)=P_{s t}(B-x)$.

Define on ${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$ an arbitrary probability measure $q(B)$, and consider the family of distributions $\left{P_{t_1, \ldots, t_n}, 0 \leqslant t_1<\cdots<t_n, n=1,2, \ldots\right}$, where $P_{t_1, \ldots, t_n}\left(B^{(n)}\right)$ is the distribution on $\left{\mathscr{X}^n, \mathfrak{B}^n\right}$ defined by the formula
$$
P_{t_1, \ldots, t_n}\left(B^{(n)}\right)=\int_X\left{\int_{B^{(n)}} P\left(0, x_0, t_1, d x_1\right) P\left(t_1, x_1, t_2, d x_2\right) \ldots P\left(t_{n-1}, x_{n-1}, t_n, d x_n\right)\right} q\left(d x_0\right),
$$
for $B^{(n)} \in \mathfrak{B}^{(n)}$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Weakly differentiable wide-sense Markov processes

Weakly differentiable wide-sense Markov processes. In the course of study of Markov processes in a finite-dimensional space $\mathscr{R}^m$ it is natural to consider a class of processes having the same local structure as the processes with independent increments. It is possible to give the following very general definition of processes of this kind.

Introduce the characteristic function of a distribution $P(s, x, t, B)$
$$
J(s, x, t, u)=\int_{\mathscr{R}^m} e^{i(u, y)} P(s, x, t, d y), \quad s<t, \quad J(s, x, s, u)=1
$$
A wide-sense Markov process is called weakly differentiable if the function $J(s, x, t, u)$ is differentiable with respect to $s$ at point $s=t$ uniformly in the finite domain of variation of $u$, i. e. if the limit
$$
g(t, x, u)=\lim _{s \uparrow t} \frac{J(s, x, t, u)-1}{t-s}
$$
exists uniformly in $u$ for $|u| \leqslant A$, where $A$ is arbitrary, for all $x \in \mathscr{R}^m, t \in\left(0, t^*\right)$.

It follows from the results of Theorem 3, Chapter III, Section 1 in Volume I mentioned above, that if a Markov process is weakly differentiable then there exist the vector $a(s, x), a(s, x) \in \mathscr{R}^m$, a non-negative definite symmetric mapping $b(s, x)$ of the space $\mathscr{R}^m$ into itself and a measure $q(s, x, B)$ on $\mathfrak{B}$ such that for an arbitrary twice continuously differentiable function $f(x), x \in \mathscr{R}^m$ (which is also bounded and possesses bounded partial derivatives of the 1 st and 2 nd order) the equality
$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}s f(x)= & \lim {h \downarrow 0} \frac{\mathbf{T}{s-h, s} f(x)-f(x)}{h}=(a(s, x), \nabla) f(x)+\frac{1}{2}(b(s, x) \nabla, \nabla) f(x) \ & +\int{\mathscr{R}^m \backslash s}[f(x+z)-f(x)] q(s, x, d z) \
& +\int_s[f(x+z)-f(x)-(z, \nabla) f(x)] q(s, x, d z)
\end{aligned}
$$
holds, where $q(s, x,{0})=0, q\left(s, x, \mathscr{R}^m \backslash S\right)<\infty$ and
$$
\int_S|z|^2 q(s, x, d z)<\infty .
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Processes with independent increments

具有独立增量的过程。设$\mathscr{X}$是一个度量向量空间，$\mathfrak{B}$是$\mathscr{X}$的Borel集合的$\sigma$ -代数。用$B+x(B \subset \mathscr{X}, x \in \mathscr{X})$表示集合$B$在量$x: B+x={y: y=z+x, z \in B}$中的平行位移。

考虑满足以下条件的$\mathfrak{B}(s \geqslant 0, t>s)$上的概率测度族$P_{s t}(\cdot)$:
A)对于任何$B \in \mathfrak{B}$, $P_{s t}(B-x)$是$x$的一个$\mathfrak{B}$可测量函数。
B)如果$s<u<t$，那么
$$
P_{s t}(B)=\int_x P_{u t}(B-y) P_{s u}(d y)
$$
对于任意有界$\mathfrak{B}$可测函数$f(x)$，很容易验证相等性
$$
\int_{\mathscr{X}} f(x+y) P_{s t}(d y)=\int_x f(y) P_{s t}(d y-x)
$$
hold住。(这个等式对于$\mathfrak{B}$ -可测集的指标函数是微不足道的。)因此，由(41)可知
$$
P_{s t}(B-x)=\int_x P_{u t}(B-y) P_{s u}(d y-x) .
$$
因此，如果设置$P(s, x, t, B)=P_{s t}(B-x)$，则函数$P(s, x, t, B)$将是一个转移概率。该函数具有空间同质性。这意味着
$$
P(s, x+y, t, B+y)=P(s, x, t, B)
$$
对于所有$y \in \mathscr{X}$。反之，如果跃迁概率具有此属性，则$P(s, x, t, B)=P_{s t}(B-x)$。

在${\mathscr{X}, \mathfrak{B}}$上定义一个任意概率度量$q(B)$，并考虑分布族$\left{P_{t_1, \ldots, t_n}, 0 \leqslant t_1<\cdots<t_n, n=1,2, \ldots\right}$，其中$P_{t_1, \ldots, t_n}\left(B^{(n)}\right)$是由公式定义的$\left{\mathscr{X}^n, \mathfrak{B}^n\right}$上的分布
$$
P_{t_1, \ldots, t_n}\left(B^{(n)}\right)=\int_X\left{\int_{B^{(n)}} P\left(0, x_0, t_1, d x_1\right) P\left(t_1, x_1, t_2, d x_2\right) \ldots P\left(t_{n-1}, x_{n-1}, t_n, d x_n\right)\right} q\left(d x_0\right),
$$
浏览$B^{(n)} \in \mathfrak{B}^{(n)}$。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Weakly differentiable wide-sense Markov processes

弱可微广义马尔可夫过程。在有限维空间$\mathscr{R}^m$中研究马尔可夫过程的过程中，很自然地要考虑一类与具有独立增量的过程具有相同局部结构的过程。可以对这类过程给出如下非常一般的定义。

介绍分布的特征函数 $P(s, x, t, B)$

$$
J(s, x, t, u)=\int_{\mathscr{R}^m} e^{i(u, y)} P(s, x, t, d y), \quad s<t, \quad J(s, x, s, u)=1
$$
广义马尔可夫过程被称为弱可微，如果函数 $J(s, x, t, u)$ 是可微的 $s$ 在点上 $s=t$ 的有限变分域中是一致的 $u$，即如果是极限
$$
g(t, x, u)=\lim _{s \uparrow t} \frac{J(s, x, t, u)-1}{t-s}
$$
一致存在于 $u$ 为了 $|u| \leqslant A$，其中 $A$ 对所有人来说都是任意的吗 $x \in \mathscr{R}^m, t \in\left(0, t^*\right)$．

由上卷第一节第三章定理3的结果可知，如果一个马尔可夫过程是弱可微的，则存在向量$a(s, x), a(s, x) \in \mathscr{R}^m$，空间$\mathscr{R}^m$到自身的非负定对称映射$b(s, x)$和$\mathfrak{B}$上的一个测度$q(s, x, B)$，使得任意两次连续可微函数$f(x), x \in \mathscr{R}^m$(它也是有界的并且具有一阶和二阶的有界偏导数)相等
$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}s f(x)= & \lim {h \downarrow 0} \frac{\mathbf{T}{s-h, s} f(x)-f(x)}{h}=(a(s, x), \nabla) f(x)+\frac{1}{2}(b(s, x) \nabla, \nabla) f(x) \ & +\int{\mathscr{R}^m \backslash s}[f(x+z)-f(x)] q(s, x, d z) \
& +\int_s[f(x+z)-f(x)-(z, \nabla) f(x)] q(s, x, d z)
\end{aligned}
$$
hold，其中$q(s, x,{0})=0, q\left(s, x, \mathscr{R}^m \backslash S\right)<\infty$和
$$
\int_S|z|^2 q(s, x, d z)<\infty .
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Convergence in Distribution and in Varia-tion

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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Role of Characteristic Functions

Let $\left{X_n\right}_{n \geq 1}$ and $X$ be real-valued random variables with respective cumulative distribution functions $\left{F_n\right}_{n \geq 1}$ and $F$. A natural definition of convergence in distribution of $\left{X_n\right}_{n \geq 1}$ to $X$ is the following:
$$
\lim {n \uparrow \infty} F_n(x)=F(x) $$ We have not specified for what $x \in \mathbb{R}(\star)$ is required. If we want this to hold for all $x$, then we could not say that the “random” (actually deterministic) sequence of random variables $X_n \equiv a+\frac{1}{n}$ where $a \in \mathbb{R}$ converges to $X \equiv a$. In fact, $(\star)$ holds in this case for all points of continuity of the cumulative distribution of $X$, here $F(x)=1{x \geq a}$.

It turns out that a “good” definition would be precisely that $(\star)$ should hold for all continuity points of the target CDF $F$.

EXAmPlE 4.4.1: Magnified Minimum. Let $\left{Y_n\right}_{n \geq 1}$ be a sequence of IID random variables uniformly distributed on $[0,1]$. Then
$$
X_n=n \min \left(Y_1, \ldots, Y_n\right) \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} \mathcal{E}(1)
$$
(the exponential distribution with mean 1 ). In fact, for all $x \in[0, n]$,
$$
P\left(X_n>x\right)=P\left(\min \left(Y_1, \ldots, Y_n\right)>\frac{x}{n}\right)=\prod_{i=1}^n P\left(Y_i>\frac{x}{n}\right)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n
$$
and therefore $\lim {n \uparrow \infty} P\left(X_n>x\right)=\mathrm{e}^{-x} 1{\mathbb{R}_{+}}(x)$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Central Limit Theorem

Theorem 4.4.11 Let $\left{X_n\right}_{n \geq 1}$ be an IID sequence of real random variables such that
$$
\mathrm{E}\left[X_1^2\right]<\infty
$$
(In particular, $\mathrm{E}\left[\left|X_1\right|\right]<\infty$.) Then, for all $x \in \mathbb{R}$,
$$
\lim {n \uparrow \infty} P\left(\left(\frac{S_n-n \mathrm{E}\left[X_1\right]}{\sigma{X_1} \sqrt{n}}\right) \leq x\right)=P(\mathcal{N}(0 ; 1) \leq x)
$$
where $\mathcal{N}(0 ; 1)$ is a Gaussian variable with mean 0 and variance 1.
The proof depends in part on the following theorem, which says in particular that under certain conditions, the moments of a random variable can be extracted from its characteristic function:

Theorem 4.4.12 Let $X$ be a real random variable with characteristic function $\psi$, and suppose that $\mathrm{E}\left[|X|^n\right]<\infty$ for some integer $n \geq 1$. Then for all integers $r \leq n$, the $r$-th derivative $\psi^{(r)}$ of $\psi$ exists and is given by
$$
\psi^{(r)}(u)=i^r \mathrm{E}\left[X^r \mathrm{e}^{i u X}\right]
$$
and in particular $\mathrm{E}\left[X^r\right]=\frac{\psi^{(r)}(0)}{i^r}$. Moreover,
$$
\psi(u)=\sum_{r=0}^n \frac{(i u)^r}{r !} \mathrm{E}\left[X^r\right]+\frac{(i u)^n}{n !} \varepsilon_n(u)
$$
where $\lim _{n \uparrow \infty} \varepsilon_n(u)=0$ and $\left|\varepsilon_n(u)\right| \leq 3 \mathrm{E}\left[|X|^n\right]$
Proof. First we observe that for any non-negative real number $a$, and all integers $r \leq n$, $a^r \leq 1+a^n$ (Indeed, if $a \leq 1$, then $a^r \leq 1$, and if $a \geq 1$, then $a^r \leq a^n$ ). In particular,
$$
\mathrm{E}\left[|X|^r\right] \leq \mathrm{E}\left[1+|X|^n\right]=1+\mathrm{E}\left[|X|^n\right]<\infty
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Role of Characteristic Functions

分布收敛的自然定义 \left } { X _ n \backslash r i g h t } { n \backslash g e q ~ 1 } \text { 到 } X \text { 是以下内容: }
$$
\lim n \uparrow \infty F_n(x)=F(x)
$$
我们没有具体说明是为了什么 $x \in \mathbb{R}(\star)$ 是必须的。如果我们㹷望这对所有人都适用 $x$ ，那么我们就不能在这种情况下，对于傫积分布的所有连续点都成立 $X$ ，这里 $F(x)=1 x \geq a$.
事实证明，一个”好的”定义恰恰是 $(\star)$ 应该适用于目标 CDF 的所有连续点 $F$.
$$
X_n=n \min \left(Y_1, \ldots, Y_n\right) \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} \mathcal{E}(1)
$$
(均值为 1 的指数分布) 。其实对于所有人 $x \in[0, n]$ ，
$$
P\left(X_n>x\right)=P\left(\min \left(Y_1, \ldots, Y_n\right)>\frac{x}{n}\right)=\prod_{i=1}^n P\left(Y_i>\frac{x}{n}\right)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n
$$
因此 $\lim n \uparrow \infty P\left(X_n>x\right)=\mathrm{e}^{-x} 1 \mathbb{R}_{+}(x)$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Central Limit Theorem

$$
\mathrm{E}\left[X_1^2\right]<\infty
$$
(尤其， $\mathrm{E}\left[\left|X_1\right|\right]<\infty$.) 然后，对于所有 $x \in \mathbb{R}$ ，
$$
\lim n \uparrow \infty P\left(\left(\frac{S_n-n \mathrm{E}\left[X_1\right]}{\sigma X_1 \sqrt{n}}\right) \leq x\right)=P(\mathcal{N}(0 ; 1) \leq x)
$$
在哪里 $\mathcal{N}(0 ; 1)$ 是均值为 0 方差为 1 的高斯变量。
证明部分取决于以下定理，该定理特别指出在特定条件下，随机变量的矩可以从其特征函数中提取：
定理 4.4.12 让 $X$ 是具有特征函数的实随机变量 $\psi$ ，并假设 $\mathrm{E}\left[|X|^n\right]<\infty$ 对于某个整数 $n \geq 1$. 然后对于所有整数 $r \leq n$ ，这 $r$-th导数 $\psi^{(r)}$ 的 $\psi$ 存在并由
$$
\psi^{(r)}(u)=i^r \mathrm{E}\left[X^r \mathrm{e}^{i u X}\right]
$$
特别是 $\mathrm{E}\left[X^r\right]=\frac{\psi^{(r)}(0)}{i^r}$. 而且，
$$
\psi(u)=\sum_{r=0}^n \frac{(i u)^r}{r !} \mathrm{E}\left[X^r\right]+\frac{(i u)^n}{n !} \varepsilon_n(u)
$$
在哪里 $\lim _{n \uparrow \infty} \varepsilon_n(u)=0$ 和 $\left|\varepsilon_n(u)\right| \leq 3 \mathrm{E}\left[|X|^n\right]$
证明。首先我们观察到对于任何非负实数 $a$ ，和所有整数 $r \leq n, a^r \leq 1+a^n$ (的确，如果 $a \leq 1$ ，然后 $a^r \leq 1$ ，而如果 $a \geq 1$ ，然后 $\left.a^r \leq a^n\right)$. 尤其，
$$
\mathrm{E}\left[|X|^r\right] \leq \mathrm{E}\left[1+|X|^n\right]=1+\mathrm{E}\left[|X|^n\right]<\infty
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Uniform Integrability

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Uniform Integrability

The monotone and dominated convergence theorems are not all the tools that we have at our disposition giving conditions under which it is possible to exchange limits and expectations. Uniform integrability, which will be introduced now, is another such sufficient condition.

Definition 4.2.9 A collection $\left{X_i\right}_{i \in I}$ (where $I$ is an arbitrary index) of integrable random variables is called uniformly integrable if
$$
\lim {c \uparrow \infty} \int{\left{\left|X_i\right|>c\right}}\left|X_i\right| \mathrm{d} P=0 \text { uniformly in } i \in I \text {. }
$$
some integrable random variable, $P\left(\left|X_i\right| \leq X\right)=1$ for all $i \in I$, then $\left{X_i\right}_{i \in I}$ is uniformly integrable. Indeed, in this case,
$$
\int_{\left{\left|X_i\right|>c\right}}\left|X_i\right| \mathrm{d} P \leq \int_{{X>c}} X \mathrm{~d} P
$$
and by monotone convergence the right-hand side of the above inequality tends to 0 as $c \uparrow \infty$

Remark 4.2.11 Clearly, if one adds a finite number of integrable variables to a uniformly integrable collection, the augmented collection will also be uniformly integrable.
Theorem 4.2.12 The collection $\left{X_i\right}_{i \in I}$ of integrable random variables is uniformly integrable if and only if
(a) $\sup _i \mathrm{E}\left[\left|X_i\right|\right]<\infty$, and (b) for every $\varepsilon>0$, there exists a $\delta(\varepsilon)>0$ such that
$$
\sup _n \int_A\left|X_i\right| \mathrm{d} P \leq \varepsilon \text { whenever } P(A) \leq \delta(\varepsilon) .
$$
(In other words, $\int_A\left|X_i\right| \mathrm{d} P \rightarrow 0$ uniformly in $i$ as $P(A) \rightarrow 0$.)

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Hewitt–Savage Zero-one Law

The proof depends on the following lemma of approximation of an element of $\mathcal{F}$ by an element of an algebra $\mathcal{A}$ generating $\mathcal{F}$. More precisely (recalling the notation $A \Delta B:=(A-A \cap B) \cup(B-A \cap B))$ :

Lemma 4.3.8 Let $\mathcal{A}$ be an algebra generating the $\sigma$-field $\mathcal{F}$ and let $P$ be a probability on $\mathcal{F}$. With any event $B \in \mathcal{F}$ and any $\varepsilon>0$, one can associate an event $A \in \mathcal{A}$ such that $P(A \triangle B) \leq \varepsilon$
Proof. The collection of sets
$$
\mathcal{G}:={B \in \mathcal{F} ; \forall \varepsilon>0, \exists A \in \mathcal{A} \text { with } P(A \triangle B) \leq \varepsilon}
$$
contains $\mathcal{A}$. It is moreover a $\sigma$-field, as we now show. First, $\Omega \in \mathcal{A} \subseteq \mathcal{G}$ and the stability of $\mathcal{G}$ under complementation is clear. For the stability of $\mathcal{G}$ under countable unions, let $B_n(n \geq 1)$ be in $\mathcal{G}$ and let $\varepsilon>0$ be given. Also, by definition of $\mathcal{G}$, there exist $A_n$ ‘s in $\mathcal{A}$ such that $P\left(A_n \triangle B_n\right) \leq 2^{-n-1} \varepsilon$. Therefore, for all $K \geq 1$,
$$
P\left(\left(\cup_{n=1}^K A_n\right) \Delta\left(\cup_{n=1}^K B_n\right)\right) \leq \sum_{n=1}^K 2^{-n-1} \varepsilon \leq \sum_{n \geq 1} 2^{-n-1} \varepsilon=2^{-1} \varepsilon
$$
By the sequential continuity property of probability, there exists an integer $K=K(\varepsilon)$ such that $P\left(\cup_{n \geq 1} B_n-\cup_{n=1}^K B_n\right) \leq 2^{-1} \varepsilon$. Therefore, for such an integer,
$$
P\left(\left(\cup_{n=1}^K A_n\right) \Delta\left(\cup_{n \geq 1} B_n\right)\right) \leq \varepsilon
$$
The proof of stability of $\mathcal{G}$ under countable unions is completed since $\mathcal{A}$ is an algebra and therefore $\cup_{n=1}^K A_n \in \mathcal{A}$. Therefore $\mathcal{G}$ is a $\sigma$-field containing $\mathcal{A}$ and consequently contains the $\sigma$-field $\mathcal{F}$ generated by $\mathcal{A}$.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Uniform Integrability

单调和支配的收敛定理并不是我们可以使用的所有工具，这些工具提供了可以交换限制和期望的条件。现在将介绍的一致可积性是另一个这样的充分条件。
定义 4.2.9 集合 \left{X_i Iright $}{i \backslash i n ~ I}$ (在哪里 $I$ 是一个任意指数) 的可积随机变量被称为一致可积如果实，在这种情况下，
并且通过单调收敛，上述不等式的右侧趋于 0 ，因为 $c \uparrow \infty$
备注 4.2.11 显然，如果将有限数量的可积变量添加到一致可积集合中，则扩充集合也将是一致可积的。
(a) $\sup _i \mathrm{E}\left[\left|X_i\right|\right]<\infty$, (b) 对于每个 $\varepsilon>0$, 存在一个 $\delta(\varepsilon)>0$ 这样
$$
\sup _n \int_A\left|X_i\right| \mathrm{d} P \leq \varepsilon \text { whenever } P(A) \leq \delta(\varepsilon) .
$$
(换句话说， $\int_A\left|X_i\right| \mathrm{d} P \rightarrow 0$ 统一在 $i$ 作为 $P(A) \rightarrow 0$.)

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Hewitt–Savage Zero-one Law

证明取决于以下元素的近似引理 $\mathcal{F}$ 通过代数的一个元素 $\mathcal{A}$ 产生 $\mathcal{F}$. 更准确地说 (回忆符号 $A \Delta B:=(A-A \cap B) \cup(B-A \cap B))$ :
引理 4.3.8 让 $\mathcal{A}$ 是生成的代数 $\sigma$-场地 $\mathcal{F}$ 然后让 $P$ 是一个概率 $\mathcal{F}$. 随着任何事件 $B \in \mathcal{F}$ 和任何 $\varepsilon>0$, 可以关联一个事件 $A \in \mathcal{A}$ 这样 $P(A \triangle B) \leq \varepsilon$
证明。集合的集合
$$
\mathcal{G}:=B \in \mathcal{F} ; \forall \varepsilon>0, \exists A \in \mathcal{A} \text { with } P(A \triangle B) \leq \varepsilon
$$
包含 $\mathcal{A}$. 它也是一个 $\sigma$-field，正如我们现在展示的那样。第一的， $\Omega \in \mathcal{A} \subseteq \mathcal{G}$ 和稳定性 $\mathcal{G}$ 下互补是明确的。为了稳定 $\mathcal{G}$ 在可数并集下，令 $B_n(n \geq 1)$ 在 $\mathcal{G}$ 然后让 $\varepsilon>0$ 被给予。另外，根据定义 $\mathcal{G}$ ，存在 $A_n$ 在 $\mathcal{A}$ 这样 $P\left(A_n \triangle B_n\right) \leq 2^{-n-1} \varepsilon$. 因此，对于所有 $K \geq 1$ ，
$$
P\left(\left(\cup_{n=1}^K A_n\right) \Delta\left(\cup_{n=1}^K B_n\right)\right) \leq \sum_{n=1}^K 2^{-n-1} \varepsilon \leq \sum_{n \geq 1} 2^{-n-1} \varepsilon=2^{-1} \varepsilon
$$
根据概率的时序连续性，存在整数 $K=K(\varepsilon)$ 这样 $P\left(\cup_{n \geq 1} B_n-\cup_{n=1}^K B_n\right) \leq 2^{-1} \varepsilon$. 因此，对于这样一个整数，
$$
P\left(\left(\cup_{n=1}^K A_n\right) \Delta\left(\cup_{n \geq 1} B_n\right)\right) \leq \varepsilon
$$
的稳定性证明 $\mathcal{G}$ 在可数联合下完成自 $\mathcal{A}$ 是一个代数，因此 $\cup_{n=1}^K A_n \in \mathcal{A}$. 所以 $\mathcal{G}$ 是一个 $\sigma$-包含的字段 $\mathcal{A}$ 并因此包含 $\sigma$-场地 $\mathcal{F}$ 产生于 $\mathcal{A}$.

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Witnessing Measures

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Witnessing Measures

It is obvious that $\inf {t \in T} I\mu(t) \leq \int_T I_\mu(t) \mathrm{d} \mu(t)$ so that $\delta_2(T, d) \leq \operatorname{Fer}(T, d)$. Thus, the right-hand side of (3.51) follows from the right-hand side of (3.31), while the left-hand side of (3.31) follows from the left-hand side of (3.51).

The most important consequence of (3.31) is that there exists a probability measure $\mu$ on $T$ for which $\inf {t \in T} I\mu(t) \geq \gamma_2(T, d) / L$. Such a probability measure “witnesses that the value of $\gamma_2(T, d)$ is large” because of the right-hand side of (3.51). In this spirit, we will call $\mu$ a witnessing measure, and we define its “size” as the quantity $\inf {t \in T} I\mu(t) .^7$ Witnessing measures can be magically convenient. One of the first advances the author made beyond the results of [132] was the realization that witnessing measures yield a proof of Theorem 5.2.1 below an order of magnitude easier than the original proof. This approach is now replaced by the use of Fernique’s functional because, unfortunately, we do not know how to extend the idea of witnessing measure to settings where multiple distances will be considered. Finding proper generalizations of Proposition 3.4.1 to more general settings is an attractive research problem (see in particular Problem 10.15.4).

Proof of Proposition 3.4.1 The right-hand side inequality follows from Proposition 3.3 .1 and the trivial fact that $\inf {t \in T} I\mu(t) \leq \int I_\mu(t) \mathrm{d} \mu(t)$. The reader should review the material of Sect. 3.1 to follow the proof of the converse. Recalling (3.5), given an organized tree $\mathcal{T}$, we define a measure $\mu$ on $T$ by $\mu(A)=0$ if $A \cap S_{\mathcal{T}}=\emptyset$ and by
$$
t \in S_{\mathcal{T}} \Rightarrow \mu({t})=\frac{1}{\prod_{t \in A \in \mathcal{T}} c(A)} .
$$
The intuition is that the mass carried by $A \in \mathcal{T}$ is equally divided between the children of $A$. Then, $I_\mu(t)=\infty$ if $t \notin S_{\mathcal{T}}$. Consider $t \in A \in \mathcal{T}$ and $j=j(A)$. Then, since $\mathcal{T}$ is an organized tree, $B\left(t, 4^{-j-2}\right)$ meets only one child of $A$, so that $\mu\left(B\left(t, 4^{-j-2}\right)\right) \leq 1 / c(A)$. Copying the argument of $(3.22)$ readily implies that $L I_\mu(t) \geq \sum_{t \in A \in \mathcal{T}^{-j}} 4^{-j(A)} \sqrt{\log c(A)}$ from which the result follows by (3.15).

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|An Inequality of Fernique

We end up this chapter with a beautiful inequality of Fernique. It will not be used anywhere else in this work, but is presented to emphasize Fernique’s lasting contributions to the theory of Gaussian processes.

Theorem 3.5.1 Consider a Gaussian process $\left(X_t\right){t \in T}$. Provide $T$ with the canonical distance associated with this process, and consider a probability measure $\mu$ on T. Consider a r.v. $\tau$ of law $\mu$. Then for any probability measure $v$ on $T$, we have $$ \mathrm{E} X\tau \leq L \int I_\nu(t) \mathrm{d} \mu(t)+L \Delta(T, d)
$$
Here of course, $X_\tau$ is the r.v. $X_{\tau(\omega)}(\omega)$. We leave some technical details aside, and prove the result only when $T$ is finite. The basic principle is as follows:

Lemma 3.5.2 Consider a standard Gaussian r.v. $g$ and a set $A$. Then, $\mathbf{E 1}A|g| \leq$ $L \mathrm{P}(A) \sqrt{\log (2 / \mathrm{P}(A))}$ Proof We write $$ \mathrm{E} 1_A|g|=\int_0^{\infty} \mathrm{P}(A \cap{|g| \geq t}) \mathrm{d} t \leq \int_0^{\infty} \min \left(\mathrm{P}(A), 2 \exp \left(-t^2 / 2\right)\right) \mathrm{d} t . $$ Letting $\alpha=\sqrt{2 \log (2 / \mathrm{P}(A))}$, we split the integral in the regions $t \leq \alpha$ and $t>\alpha$. We bound the first part by $\alpha \mathrm{P}(A)$ and the second by $$ \int\alpha^{\infty} 2 \exp \left(-t^2 / 2\right) \mathrm{d} t \leq \frac{1}{\alpha} \int_\alpha^{\infty} 2 t \exp \left(-t^2 / 2\right) \mathrm{d} t=\mathrm{P}(A) / \alpha \leq L \mathrm{P}(A) \alpha .
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Witnessing Measures

很明显 $\inf t \in T I \mu(t) \leq \int_T I_\mu(t) \mathrm{d} \mu(t)$ 以便 $\delta_2(T, d) \leq \operatorname{Fer}(T, d)$. 因此， (3.51) 的右侧从 (3.31) 的右侧得出，而 (3.31) 的左侧从 (3.51) 的左侧得出。
(3.31) 最重要的结果是存在概率测度 $\mu$ 在 $T$ 为了哪个inf $t \in T I \mu(t) \geq \gamma_2(T, d) / L$. 这种概率度量“证明了 $\gamma_2(T, d)$ 很大”，因为 (3.51) 的右边。本着这种精神，我们将呼吁 $\mu$ 见证措施，我们将其“大小”定义为数量inf $t \in T I \mu(t){ }^7$ 见证措施可以神奇地方便。作者在 [132] 的结果之外取得的第一个进步是认识到见证措施产生定理 5.2.1 的证明比原始证明容易一个数量级。这种方法现在被 Fernique 泛函的使用所取代，因为不幸的是，我们不知道如何将见证度量的想法扩展到将考虑多个距离的设置。找到命题 3.4.1 对更一般设置的适当概括是一个有吸引力的研究问题（特别参见问题 10.15.4）。
命题 3.4.1 的证明右侧不等式由命题 3.3.1 和以下微不足道的事实得出 $\inf t \in T I \mu(t) \leq \int I_\mu(t) \mathrm{d} \mu(t)$. 读者应该复习 Sect. 3.1 遵循逆向证明。回顾 (3.5)，给定一棵有组织的树 $\mathcal{T}$ ，我们定义一个度量 $\mu$ 在 $T$ 经过 $\mu(A)=0$ 如果 $A \cap S_{\mathcal{T}}=\emptyset$ 并通过
$$
t \in S_{\mathcal{T}} \Rightarrow \mu(t)=\frac{1}{\prod_{t \in A \in \mathcal{T}} c(A)} .
$$
直觉是 $A \in \mathcal{T}$ 平分给的孩子们 $A$. 然后， $I_\mu(t)=\infty$ 如果 $t \notin S_{\mathcal{T}}$. 考虑 $t \in A \in \mathcal{T}$ 和 $j=j(A)$. 然后，因为 $\mathcal{T}$ 是一棵有组织的树， $B\left(t, 4^{-j-2}\right)$ 只遇到一个孩子 $A$ ，以便 $\mu\left(B\left(t, 4^{-j-2}\right)\right) \leq 1 / c(A)$. 复制参数 $(3.22)$ 很容易暗示 $L I_\mu(t) \geq \sum_{t \in A \in \mathcal{T}^{-j}} 4^{-j(A)} \sqrt{\log c(A)}$ 结果遵循 (3.15)。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|An Inequality of Fernique

我们以 Fernique 的美丽不等式结束本章。它不会在本文的其他任何地方使用，而是用来强调 Fernique 对高斯过程理论的持久贡献。
定理 3.5.1 考虑一个高斯过程 $\left(X_t\right) t \in T$. 提供 $T$ 与与此过程相关的规范距离，并考虑概率度量 $\mu$ 在 $T$. 考虑房车 $\tau$ 法律的 $\mu$. 那么对于任何概率测度 $v$ 在 $T$ ，我们有
$$
\mathrm{E} X \tau \leq L \int I_\nu(t) \mathrm{d} \mu(t)+L \Delta(T, d)
$$
当然在这里， $X_\tau$ 是房车 $X_{\tau(\omega)}(\omega)$. 我们将一些技术细节放在一边，仅在以下情况下证明结果 $T$ 是有限的。基本原理如下:
引理 3.5.2 考虑一个标准的高斯 $r v g$ 和一套 $A$. 然后， $\mathbf{E 1} A|g| \leq L \mathrm{P}(A) \sqrt{\log (2 / \mathrm{P}(A))}$ 我们写的证明
$$
\mathrm{E} 1_A|g|=\int_0^{\infty} \mathrm{P}(A \cap|g| \geq t) \mathrm{d} t \leq \int_0^{\infty} \min \left(\mathrm{P}(A), 2 \exp \left(-t^2 / 2\right)\right) \mathrm{d} t
$$
出租 $\alpha=\sqrt{2 \log (2 / \mathrm{P}(A))}$, 我们在区域中拆分积分 $t \leq \alpha$ 和 $t>\alpha$. 我们将第一部分约束在 $\alpha \mathrm{P}(A)$ 第二个
$$
\int \alpha^{\infty} 2 \exp \left(-t^2 / 2\right) \mathrm{d} t \leq \frac{1}{\alpha} \int_\alpha^{\infty} 2 t \exp \left(-t^2 / 2\right) \mathrm{d} t=\mathrm{P}(A) / \alpha \leq L \mathrm{P}(A) \alpha
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Fernique’s Convexity Argument

Posted on 2023年4月14日2023年4月14日 by statistics-lab

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Fernique’s Convexity Argument

Our approach to the left-hand side of (3.31) is based on the following elementary fact, which is a consequence of the Hahn-Banach theorem:

Lemma 3.3.2 Consider a number $a>0$. Consider a set $\mathcal{S}$ of functions on a finite set $T$. Assume that for each probability measure $v$ on $T$, there exists $f \in \mathcal{S}$ such that $\int f \mathrm{~d} v \leq a$. Then for each $\epsilon>0$, there is a function $f$ in the convex hull of $\mathcal{S}$ such that $f \leq a+\varepsilon$.

Proof Denote $\mathcal{S}^{+}$the set of functions $g$ such that there exists $f \in \mathcal{S}$ with $f \leq g$. Denote by $\mathcal{C}$ the closed convex hull of $\mathcal{S}^{+}$. We prove that the constant function a equal to $a$ everywhere belongs to $\mathcal{C}$. We proceed by contradiction. If this is not the case, by the Hahn-Banach theorem, we may separate $\mathcal{C}$ and $a$. That is, there exists a linear functional $\varphi$ on the space of functions on $T$ such that $\varphi(f)>\varphi($ a) for $f \in \mathcal{C}$. Consider then a function $g$ on $T$ with $g \geq 0$. For each $\lambda>0$ and each $f \in \mathcal{S}$, we have $f+\lambda g \geq f$ so that $f+\lambda g \in \mathcal{C}$ and hence $\varphi(f)+\lambda \varphi(g)>\varphi(\mathrm{a})$. This proves that $\varphi(g) \geq 0$, i.e., $\varphi$ is positive. Since $T$ is finite, $\varphi$ is of the form $\varphi(g)=\sum_{t \in T} \alpha_t g(t)$ for numbers $\alpha_t \geq 0$. Setting $\beta=\sum_{t \in T} \alpha(t)$, consider the probability measure $v$ on $T$ given by $v({t})=\alpha_t / \beta$ for $t \in T$. Then $\varphi(g)=\beta \int g \mathrm{~d} v$ for each function $g$ on $T$. Taking $g=$ a shows that $\beta a=\varphi($ a). By hypothesis, there exists $f \in \mathcal{C}$ with $\int f \mathrm{~d} v \leq a$. Then $\varphi(f)=\beta \int f \mathrm{~d} v \leq \beta a=\varphi($ a), a contradiction. So we have proved that a $\in \mathcal{C}$, the closure of the convex hull of $\mathcal{S}^{+}$. Consequently, there is one point of this convex hull which is $\leq a+\epsilon$ everywhere. The result follows.

Of course, the hypothesis that $T$ is finite is inessential; it is just to avoid secondary complications.

Let us give a version of the basic lemma sufficiently general to cover all our needs.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|From Majorizing Measures to Sequences of Partitions

In Sect. 3.1, we have proved that given a probability measure $\mu$ on a metric space $T$, we have
$$
\gamma_2(T, d) \leq L \sup {t \in T} I\mu(t)
$$
We do not know how to generalize the arguments of the proof to the more general settings we will consider later. We give now a direct proof, following a scheme which we know how to generalize. The contents of this section will not be relevant until Chap. 11. First, we prove that
$$
\Delta(T) \leq L \sup {t \in T} I\mu(t) .
$$
For this, we consider $s, t \in T$ with $d(s, t)>\Delta(T) / 2$ so that since the balls $B(t, \Delta(T) / 4)$ and $B(s, \Delta(T) / 4)$ are disjoint, one of them, say the first one, has a measure $\leq 1 / 2$. Then $\mu(B(t, \epsilon)) \leq 1 / 2$ for $\epsilon \leq \Delta(T) / 4$ and thus $I_\mu(t) \geq$ $\sqrt{\log 2} \Delta(T) / 4$. We have proved (3.42).

We start the main argument. We will construct an admissible sequence $\left(\mathcal{A}n\right)$ of partitions of $T$ which witnesses (3.41). For $A \in \mathcal{A}_n$, we also construct an integer $j_n(A)$ as follows: First, we set $\mathcal{A}_0=\mathcal{A}_1={T}$ and $j_0(T)=j_1(T)=j_0$, the largest integer with $\Delta(T) \leq 2^{-j_0(T)}$. Next for $n \geq 1$, we require the conditions $$ \begin{gathered} A \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \Delta(A) \leq 2^{-j_n(A)+2}, \ t \in A \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \mu\left(B\left(t, 2^{-j_n(A)}\right)\right) \geq N{n-1}^{-1} .
\end{gathered}
$$
The construction proceeds as follows: Having constructed $\mathcal{A}n$, we split each element $A$ of $\mathcal{A}_n$ into at most $N_n$ pieces, ensuring that card $\mathcal{A}{n+1} \leq N_n^2=N_{n+1}$. For this, we set
$$
A_0=\left{t \in A ; \mu\left(B\left(t, 2^{-j_n(A)-1}\right)\right) \geq 1 / N_n\right}
$$
We claim first that we may cover $A_0$ by $2^{-j_n(A)}$. The balls of radius $2^{-j_n(A)-1}$ centered at the points of $W$ are disjoint, and each of them is of measure $>N_n^{-1}$ by (3.45), so that there are $<N_n$ of them. Since $W$ is maximum, the balls of radius $2^{-j_n(A)}$ centered at the points of $W$ cover $A_0$, and each of them has diameter $\leq 2^{-j_n(A)+1}$. Thus, there exists a partition of $A_0$ in $<N_n$ sets of diameter $\leq 2^{-j_n(A)+1}$. The required partition of $A$ consists of these sets $B$ and of $A_1=A \backslash A_0$. For each set $B$, we set $j_{n+1}(B)=j_n(A)+1$, and we set $j_{n+1}\left(A_1\right)=j_n(A)$, so that conditions (3.43) and (3.44) hold.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Fernique’s Convexity Argument

我们对 (3.31) 左侧的处理基于以下基本事实，这是 Hahn-Banach 定理的结果：
引理 3.3.2 考虑一个数 $a>0$. 考虑一组 $\mathcal{S}$ 有限集上的函数 $T$. 假设对于每个概率度量 $v$ 在 $T$ ，那里存在 $f \in \mathcal{S}$ 这样 $\int f \mathrm{~d} v \leq a$. 然后对于每个 $\epsilon>0$, 有一个函数 $f$ 在凸包中 $\mathcal{S}$ 这样 $f \leq a+\varepsilon$.
证明表示 $\mathcal{S}^{+}$函数集 $g$ 这样就存在 $f \in \mathcal{S}$ 和 $f \leq g$. 表示为 $\mathcal{C}$ 的闭凸包 $\mathcal{S}^{+}$. 我们证明常数函数a等于 $a$ 处处属于 $\mathcal{C}$. 我们通过矛盾进行。如果不是这种情况，根据 Hahn-Banach 定理，我们可以分离 $\mathcal{C}$ 和 $a$. 也就是说，存在线性泛函 $\varphi$ 在函数空间上 $T$ 这样 $\varphi(f)>\varphi(一)$ 为 $f \in \mathcal{C}$. 然后考虑一个函数 $g$ 在 $T$ 和 $g \geq 0$. 对于每个 $\lambda>0$ 和每个 $f \in \mathcal{S}$ ，我们有 $f+\lambda g \geq f$ 以便 $f+\lambda g \in \mathcal{C}$ 因此 $\varphi(f)+\lambda \varphi(g)>\varphi(\mathrm{a})$. 这证明 $\varphi(g) \geq 0$ ，那是， $\varphi$ 是积极的。自从 $T$ 是有限的， $\varphi$ 是形式 $\varphi(g)=\sum_{t \in T} \alpha_t g(t)$ 对于数字 $\alpha_t \geq 0$. 环境 $\beta=\sum_{t \in T} \alpha(t)$ ，考虑概率测度 $v$ 在 $T$ 由 $v(t)=\alpha_t / \beta$ 为了 $t \in T$. 然后 $\varphi(g)=\beta \int g \mathrm{~d} v$ 对于每个函数 $g$ 在 $T$. 服用 $g=$ 一个表明 $\beta a=\varphi(\mathrm{A})$ 。根据假设，存在 $f \in \mathcal{C}$ 和 $\int f \mathrm{~d} v \leq a$. 然后
$\varphi(f)=\beta \int f \mathrm{~d} v \leq \beta a=\varphi(\mathrm{a})$ 自相矛盾。所以我们证明了一个 $\mathcal{C}$ ，的凸包的闭包 $\mathcal{S}^{+}$. 因此，这个凸包有一个点是 $\leq a+\epsilon$ 到处。结果如下。
当然，假设 $T$ 是有限的是无关紧要的；这只是为了避免继发性并发症。
让我们给出一个足够通用的基本引理版本来满足我们所有的需要。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|From Majorizing Measures to Sequences of Partitions

昆虫。3.1、我们证明了给定一个概率测度 $\mu$ 在度量空间 $T$ ，我们有
$$
\gamma_2(T, d) \leq L \sup t \in T I \mu(t)
$$
我们不知道如何将证明的论点推广到我们稍后将考虑的更一般的设置。我们现在给出一个直接的证明，遵循一个我们知道如何概括的方案。本节的内容将在第 1 章之前不相关。11. 首先，我们证明
$$
\Delta(T) \leq L \sup t \in T I \mu(t)
$$
为此，我们考虑 $s, t \in T$ 和 $d(s, t)>\Delta(T) / 2$ 这样自从球 $B(t, \Delta(T) / 4)$ 和 $B(s, \Delta(T) / 4)$ 是不相交的，其中一个，比如说第一个，有一个度量 $\leq 1 / 2$. 然后 $\mu(B(t, \epsilon)) \leq 1 / 2$ 为了 $\epsilon \leq \Delta(T) / 4$ 因此 $I_\mu(t) \geq \sqrt{\log 2} \Delta(T) / 4$. 我们已经证明了 (3.42)。
我们开始主要论点。我们将构建一个可接受的序列 $(\mathcal{A} n)$ 分区的 $T$ 见证人 (3.41)。为了 $A \in \mathcal{A}n$ ，我们还构造了一个整数 $j_n(A)$ 如下：首先，我们设 $\mathcal{A}_0=\mathcal{A}_1=T$ 和 $j_0(T)=j_1(T)=j_0$ ，最大的整数 $\Delta(T) \leq 2^{-j_0(T)}$. 接下来为 $n \geq 1$, 我们需要条件 $$ A \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \Delta(A) \leq 2^{-j_n(A)+2}, t \in A \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \mu\left(B\left(t, 2^{-j_n(A)}\right)\right) \geq N n-1^{-1} $$ 施工过程如下：已施工 $\mathcal{A} n$ ，我们拆分每个元素 $A$ 的 $\mathcal{A}_n$ 至多 $N_n$ 件，保证卡 $\mathcal{A} n+1 \leq N_n^2=N{n+1}$. 为此，我们设
$A_{_} 0=\backslash$ left $\left{t \backslash i n ~ A ; ~ \ m u \backslash l e f t\left(B \backslash\right.\right.$ left(t, $\left.\left.\left.2^{\wedge}\left{-j _n(A)-1\right} \backslash r i g h t\right) \backslash r i g h t\right) \backslash g e q ~ 1 / ~ N _n \backslash r i g h t\right}$
我们首先声明我们可能涵盖 $A_0$ 经过 $2^{-j_n(A)}$. 半径的球 $2^{-j_n(A)-1}$ 以点为中心 $W$ 是不相交的，并且每个都是有尺度的 $>N_n^{-1}$ 由 (3.45) 得到 $<N_n$ 他们中的。自从 $W$ 是最大的，半径的球 $2^{-j_n(A)}$ 以点为中心 $W$ 覆盖 $A_0$ ，他们每个人都有直径 $\leq 2^{-j_n(A)+1}$. 因此，存在一个分区 $A_0$ 在 $<N_n$ 套径 $\leq 2^{-j_n(A)+1}$. 所需的分区 $A$ 由这些集合组成 $B$ 和 $A_1=A \backslash A_0$. 每镸 $B$ ，我们设置 $j_{n+1}(B)=j_n(A)+1$ ，我们设 $j_{n+1}\left(A_1\right)=j_n(A)$, 因此条件 (3.43) 和 (3.44) 成立。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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时间序列分析代写

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MATH3801

Posted on 2023年4月3日2023年4月3日 by statistics-lab

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我们提供的随机过程stochastic process及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Probability Distributions

Definition 3.1.4 The distribution of a random element $X$ with values in $(E, \mathcal{E})$ is, by definition, the probability measure $Q_X$ on $(E, \mathcal{E})$, the image of the probability measure $P$ by the mapping $X$ from $(\Omega, \mathcal{F})$ to $(E, \mathcal{E})$ (that is, for all $C \in \mathcal{E}, Q_X(C)=P(X \in C)$ ).
The next result is a rephrasing of Theorem 2.3 .2 in the context of probability.

Theorem 3.1.5 If $g$ is a measurable function from $(E, \mathcal{E})$ to $(\overline{\mathbb{R}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ ) that is nonnegative, then
$$
\mathrm{E}[g(X)]=\int_E g(x) Q_X(\mathrm{~d} x)
$$
If $g$ is of arbitrary sign, and if one of the following two conditions is satisfied:
(a) $g(X)$ is $P$-integrable, or
(b) $g$ is $Q_X$-integrable,
then the other one is also satisfied and equality (3.5) holds true.
Definition 3.1.6 If $X$ is a random vector $\left((E, \mathcal{E})=\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^m\right)\right)\right)$ whose probability distribution $Q_X$ is the product of a measurable function $f_X$ by the Lebesgue measure $\ell^n$, one calls $f_X$ the probability density function (PDF) of $X$.

Remark 3.1.7 The PDF is unique, in the sense that any other PDF $f_X^{\prime}$ is such that $f_X^{\prime}(x)=f_X(x)$ Lebesgue-almost everywhere. See Exercise 3.4.1.

Remark 3.1.8 The following is an “obvious” result (a proof is however required in Exercise 3.4.6):
$$
P\left(f_X(X)=0\right)=0
$$
EXAmple 3.1.9: The CASE Of a real RANDOm Variable. In the particular case where $(E, \mathcal{E})=(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, taking $C=(-\infty, x]$, we have
$$
Q_X((-\infty, x])=P(X \leq x)=F_X(x),
$$
where $F_X$ is the cumulative distribution function (CDF) of $X$, and therefore
$$
\mathrm{E}[g(X)]=\int_{\mathbb{R}} g(x) \mathrm{d} F(x),
$$
by definition of the Stieltjes-Lebesgue integral (Definition 2.2.9).

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Change of Variables

Let $X=\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ be a random vector with the probability density function $f_X$, and define the random vector $Y=g(X)$, where $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$. More explicitly,
$$
\left{\begin{array}{l}
Y_1=g_1\left(X_1, \ldots, X_n\right) \
\vdots \
Y_n=g_n\left(X_1, \ldots, X_n\right)
\end{array}\right.
$$
Under smoothness assumptions on $g$, the random vector $Y$ is absolutely continuous, and its probability density function can be explicitly computed from $g$ and the probability density function $f_X$. The conditions allowing this are the following:
$A_1$ : The function $g$ from $U$ to $\mathbb{R}^n$, where $U$ is an open subset of $\mathbb{R}^n$, is one-to-one (injective).
$A_2$ : The coordinate functions $g_i(1 \leq i \leq n)$ are continuously differentiable.
$A_2$ : Moreover, the Jacobian matrix of the function $g$,
$$
J_g(x):=J_g\left(x_1, \ldots, x_n\right):=\left{\frac{\partial q_i}{\partial x_j}\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right}_{1 \leq i, j \leq n},
$$
satisfies the positivity condition
$$
\left|\operatorname{det} J_g(x)\right|>0 \quad(x \in U) .
$$

A standard result of Analysis says that $V=g(U)$ is an open subset of $\mathbb{R}^n$, and that the invertible function $g: U \rightarrow V$ has an inverse $g^{-1}: V \rightarrow U$ with the same properties as the direct function $g$. In particular, on $V$,
$$
\left|\operatorname{det} J_{g^{-1}}(y)\right|>0 .
$$
Moreover,
$$
J_{g^{-1}}(y)=J_g\left(g^{-1}(y)\right)^{-1}
$$
Also, under the conditions $A_1-A_3$, for any function $u: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$,
$$
\int_U u(x) \mathrm{d} x=\int_{g(U)} u\left(g^{-1}(y)\right)\left|\operatorname{det} J_{g^{-1}}(y)\right| \mathrm{d} y
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Probability Distributions

定义 3.1.4 随机元素的分布 $X$ 值在 $(E, \mathcal{E})$ 根据定义，是概率测度 $Q_X$ 在 $(E, \mathcal{E})$ ，概率测度的图像 $P$ 通过映射 $X 从(\Omega, \mathcal{F})$ 到 $(E, \mathcal{E})$ (也就是说，对于所有 $C \in \mathcal{E}, Q_X(C)=P(X \in C)$ ). 下一个结果是在概率上下文中对定理 2.3 .2 的改写。
定理 3.1.5 如果 $g$ 是一个可测量的函数 $(E, \mathcal{E})$ 到 $(\overline{\mathbb{R}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}))$ 是非负的，那么
$$
\mathrm{E}[g(X)]=\int_E g(x) Q_X(\mathrm{~d} x)
$$
如果 $g$ 是任意符号，并且满足以下两个条件之一:
(a) $g(X)$ 是 $P$-可积的，或
(b) $g$ 是 $Q_X$-可积，
则另一个也满足，等式 (3.5) 成立。
定义 3.1.6 如果 $X$ 是随机向量 $\left((E, \mathcal{E})=\left(\mathbb{R}^m, \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^m\right)\right)\right)$ 其概率分布 $Q_X$ 是可测函数的乘积 $f_X$ 通过勒贝格测度 $\ell^n$,一个电话 $f_X$ 的概率密度函数 (PDF) $X$.
备注 3.1.7 从任何其他 PDF 的意义上说，该 PDF 是唯一的 $f_X^{\prime}$ 是这样的 $f_X^{\prime}(x)=f_X(x)$ 勒贝格一一几乎无处不在。参见练习 3.4.1。
备注 3.1.8 以下是一个“明显”的结果（但在练习 3.4.6 中需要证明）：
$$
P\left(f_X(X)=0\right)=0
$$
示例 3.1.9：真实 RANDOm 变量的 CASE。在特定情况下 $(E, \mathcal{E})=(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ，服用 $C=(-\infty, x]$ ，我们有
$$
Q_X((-\infty, x])=P(X \leq x)=F_X(x)
$$
在哪里 $F_X$ 是傫积分布函数 (CDF) $X$, 因此
$$
\mathrm{E}[g(X)]=\int_{\mathbb{R}} g(x) \mathrm{d} F(x)
$$
根据 Stieltjes-Lebesgue 积分的定义 (定义 2.2.9) 。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Change of Variables

让 $X=\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ 是具有概率密度函数的随机向量 $f_X$ ，并定义随机向量 $Y=g(X)$ ，在哪里 $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$. 更明确地说，
$\$ \$$
Vleft
$$
Y_1=g_1\left(X_1, \ldots, X_n\right) \vdots Y_n=g_n\left(X_1, \ldots, X_n\right)
$$
正确的。
Undersmoothnessassumptionson $\$ g \$$, therandomvector $\$ Y$ isabsolutelycontinuous,
satisfiesthepositivitycondition
Veft| loperatorname{det $} _g(x) \backslash$ right $\mid>0 \backslash$ quad $(x \backslash$ in $U)$ 。
$\$ \$$
Analysis 的标准结果表明 $V=g(U)$ 是一个开子集 $\mathbb{R}^n$ ，而可逆函数 $g: U \rightarrow V$ 有一个逆 $g^{-1}: V \rightarrow U$ 具有与直接函数相同的属性 $g$. 特别是，在 $V$ ，
$$
\left|\operatorname{det} J_{g^{-1}}(y)\right|>0
$$
而且，
$$
J_{g^{-1}}(y)=J_g\left(g^{-1}(y)\right)^{-1}
$$
还有，在条件下 $A_1-A_3$ ，对于任何函数 $u: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ ，
$$
\int_U u(x) \mathrm{d} x=\int_{g(U)} u\left(g^{-1}(y)\right)\left|\operatorname{det} J_{g^{-1}}(y)\right| \mathrm{d} y
$$

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R语言代写	问卷设计与分析代写
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MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写