MTH5220 - 统计代写答疑辅导

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|MAST90019

Posted on 2022年6月29日2022年6月29日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写离散时间鞅理论martingale这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

在概率论中，鞅理论是一个随机变量序列（即一个随机过程），对它来说，在某一特定时间，序列中下一个值的条件期望值等于现值，而不考虑所有先验值。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写离散时间鞅理论martingale方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散时间鞅理论martingale代写方面经验极为丰富，各种离散时间鞅理论martingale相关的作业也就用不着说。

我们提供的离散时间鞅理论martingale及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Comments and References

Central Limit Theorems for martingales can be found in many textbooks, Billingsley (1995); Durrett (1996); Ethier and Kurtz (1986); Varadhan (2001), for instance. We refer to Whitt (2007) for a recent account.

To our knowledge, the first central limit theorem for Markov chains goes back to Doeblin (1938) who reduced the problem to the case of independent identically distributed random variables. We refer to Nagaev (1957) for a proof along the line of Doeblin’s idea. Gordin (1969) and Gordin and Lifšic (1978) showed that
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
converges to a mean zero Gaussian random variable if $V$ belongs to the range of the operator $I-P$ in $L^{2}(\pi)$. Lawler (1982) proved an invariance principle for a Markov chain in random environment.

Kozlov (1985) and Kipnis and Varadhan (1986) proposed independently a general method to prove central limit theorems for additive functionals of Markov chains from martingale central limit theorems. The approach presented here follows Kipnis and Varadhan (1986). This seminal paper has been the starting point of much research on asymptotic normality of additive functionals of ergodic Markov chains which is reviewed in the following chapters. De Masi et al. (1989) and Goldstein (1995) considered anti-symmetric additive functionals of reversible Markov chains. Maxwell and Woodroofe $(2000)$ proved that the sequence (1.27) is asymptotically normal for stationary ergodic Markov chains $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ provided $V$ has mean zero with respect to the stationary measure $\pi$ and
$$
\sum_{n \geq 1} n^{-3 / 2}\left|\sum_{j=0}^{n-1} P^{j} V\right|<\infty
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Continuous Time Martingales

On a probability space $(\Omega, \mathbb{P}, \mathscr{F})$ consider a right continuous, square-integrable martingale $\left{M_{t}: t \geq 0\right}$ with respect to a given filtration $\left{\mathscr{F}{t}: t \geq 0\right}$ satisfying the usual conditions. We refer to Jacod and Shiryaev (1987) for the terminology adopted and some elementary properties of martingales used without further comments. Assume that $M{0}=0$ and denote by $\langle M, M\rangle_{t}$ its predictable quadratic variation. Denote by $\mathbb{E}$ expectation with respect to $\mathbb{P}$.

Theorem 2.1 Assume that the increments of the martingale $M_{t}$ are stationary: for every $t \geq 0, n \geq 1$ and $0 \leq s_{0}<\cdots<s_{n}$, the random vectors $\left(M_{s_{1}}-M_{s_{0}}, \ldots, M_{s_{n}}-\right.$ $\left.M_{s_{n-1}}\right),\left(M_{t+s_{1}}-M_{t+s_{0}}, \ldots, M_{t+s_{n}}-M_{t+s_{n-1}}\right)$ have the same distribution. Assume also that the predictable quadratic variation converges in $L^{1}(\mathbb{P})$ to $\sigma^{2}=\mathbb{E} M_{1}^{2}$ :
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left|\frac{\langle M, M\rangle{n}}{n}-\sigma^{2}\right|=0 .
$$
Then, the distribution of $M_{t} / \sqrt{t}$ conditioned on $\mathscr{F}{0}$ converges in probability, as $t \uparrow \infty$, to a mean zero Gaussian law with variance $\sigma^{2}$ : $$ \lim {t \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M_{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F}{0}\right]-e^{-\sigma^{2} \theta^{2} / 2}\right|\right]=0 $$ for all $\theta$ in $\mathbb{R}$. The proof of this theorem relies on the next lemma which reduces the problem to proving the central limit theorem for integer times. Lemma 2.2 Under the assumptions of Theorem 2.1, $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\sup {n \leq t \leq n+1}\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F}{0}\right]-\mathbb{E}\left[e^{i \theta M{n} / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F}{0}\right]\right|\right]=0 $$ Proof The difference of conditional expectations appearing in the statement of the lemma equals $$ \mathbb{E}\left[\left(\exp \left{i \theta\left[M{t} / \sqrt{t}-M_{n} / \sqrt{n}\right]\right}-1\right) e^{i \theta M_{n} / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F}_{0}\right] .
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Resolvent Equation

Fix a function $V$ in $L^{2}(\pi) \cap \mathscr{H}{-1}, \lambda>0$ and consider the resolvent equation $$ \lambda f{\lambda}-L f_{\lambda}-V
$$
Note that $f_{\lambda}=(\lambda-L)^{-1} V$ belongs to the domain of the generator $L$. Taking the scalar product with respect to $f_{\lambda}$ on both sides of this equation we get that
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2}=\left\langle V, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}
$$

Hence, by Schwarz inequality ( $2.9)$,
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2} \leq\left|f_{\lambda}\right|_{1}|V|_{-1}
$$
so that $\left|f_{\lambda}\right|_{1} \leq|V|_{-1}$. Combining the two previous bounds we easily obtain the stronger estimate
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2} \leq|V|_{-1}^{2} .
$$
From the above estimate we conclude that $\lambda f_{\lambda}$ vanishes in $L^{2}(\pi)$ as $\lambda \downarrow 0$ and that $\left{f_{\lambda}: 0<\lambda \leq 1\right}$ forms a bounded sequence in $\mathscr{H}_{1}$ and is therefore weakly precompact.

Another simple consequence of $(2.15)$ is that $(\lambda-L)^{-1}$ extends to a bounded mapping from $\mathscr{H}{-1}$ to $\mathscr{H}{1}$ :

Lemma 2.3 The operator $(\lambda-L)^{-1}$ extends from $L^{2}(\pi)$ to a bounded mapping from $\mathscr{H}{-1}$ to $\mathscr{H}{1}$. Moreover, for any $V \in \mathscr{H}{-1}$ we have $$ \left|(\lambda-L)^{-1} V\right|{1} \leq|V|_{-1}
$$
We wish to formulate sufficient conditions for the central limit theorem of $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ in terms of the asymptotic behavior, as $\lambda \downarrow 0$, of the solutions $f_{\lambda}$ of the resolvent equation (2.13). We first observe in Sect. $2.5$ that the condition $V \in \mathscr{H}{-1}$ guarantees that the $L^{2}\left(\mathbb{P}{\pi}\right)$ norm of $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ remains bounded for large $t$. Next, in Theorem 2.7, we show that a central limit theorem is valid, provided the following two conditions are satisfied:
$$
\lim {\lambda \rightarrow 0} \lambda\left|f{\lambda}\right|_{\pi}^{2}=0 \quad \text { and } \quad \lim {\lambda \rightarrow 0}\left|f{\lambda}-f\right|_{1}=0
$$
for some $f$ in $\mathscr{H}{1}$. In Theorem $2.14$, we prove that the bound $\sup {0<\lambda \leq 1}\left|L f_{\lambda}\right|_{-1}<\infty$ implies the previous two conditions. Therefore, a central limit theorem holds if $\sup {0<\lambda \leq 1}\left|L f{\lambda}\right|_{-1}<+\infty$.

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Comments and References

鞅的中心极限定理可以在许多教科书中找到，Billingsley (1995)；达雷特（1996)；Ethier 和库尔茨 (1986)；例如，瓦拉丹 (2001)。我们参考了 Whitt (2007) 的最新报道。
据我们所知，马尔可夫链的第一个中心极限定理可以追溯到 Doeblin (1938)，他将问题简化为独立同分布随机变量的情况。我们参考 Nagaev (1957) 来获得与 Doeblin 的想法一致的证明。Gordin (1969) 和 Gordin 和 Lifšic (1978) 表明
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
收敛到一个均值为零的高斯随机变量，如果 $V$ 属于算子的范围 $I-P$ 在 $L^{2}(\pi)$. Lawler (1982) 证明了随机环境中马尔可夫链的不变性原理。

Kozlov (1985) 和 Kipnis 和 Varadhan (1986) 分别提出了一种通用方法，用于从鞅中心极限定理证明马尔可夫链的加性泛函的中心极限定理。这里介绍的方法遒循 Kipnis 和 Varadhan (1986)。这篇开创性的论文是对遍历马尔可夫链的加性泛函的渐近正态性进行大量研究的起点，后续章节将对此进行回顾。德马西等人。(1989) 和 Goldstein (1995) 考虑了可逆马尔可夫链的反对称加性泛函。麦克斯韦和伍德屋顶(2000)证明了序列 (1.27) 对于静止遍历马尔可夫链是渐近正态的 Veft {X_{j}: \geq O\right } 假如 $V$ 相对于静止测量的平均值为零 $\pi$ 和
$$
\sum_{n \geq 1} n^{-3 / 2}\left|\sum_{j=0}^{n-1} P^{j} V\right|<\infty
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Continuous Time Martingales

在概率空间上 $(\Omega, \mathbb{P}, \mathscr{F})$ 考虑一个右连续的平方可积靮 $\backslash$ left{M_{t}: t lgeq 0\right } } \text { 关于给定的过滤 }
$\mathrm{~ V e f t { \ m a t h s c r { F } { t : ~ t ~ \ g e q ~ O \ r i g h t } ~ 满足一般条件。我们参考了 J a c o d ~ 和}$ 鞅的一些基本性质，没有进一步的评论。假使，假设 $M 0=0$ 并表示为 $\langle M, M\rangle_{t}$ 其可预测的二次变化。表示为 $\mathbb{E}$ 关于期望 $\mathbb{P}$.
定理 $2.1$ 假设鞅的增量 $M_{t}$ 是静止的: 对于每个 $t \geq 0, n \geq 1$ 和 $0 \leq s_{0}<\cdots<s_{n}$ ，随机向量 $\left(M_{s_{1}}-M_{s_{0}}, \ldots, M_{s_{n}}-M_{s_{n-1}}\right),\left(M_{t+s_{1}}-M_{t+s_{0}}, \ldots, M_{t+s_{n}}-M_{t+s_{n-1}}\right)$ 具有相同的分布。还假设可预测的二次变化收敛于 $L^{1}(\mathbb{P})$ 至 $\sigma^{2}=\mathbb{E} M_{1}^{2}$ :
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left|\frac{\langle M, M\rangle n}{n}-\sigma^{2}\right|=0
$$
那么，分布 $M_{t} / \sqrt{t}$ 以 $\mathscr{F} 0$ 在概率上收敛，如 $t \uparrow \infty$ ，到具有方差的均值零高斯定律 $\sigma^{2}$ :
$$
\lim t \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M_{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F} 0\right]-e^{-\sigma^{2} \theta^{2} / 2}\right|\right]=0
$$
对所有人 $\theta$ 在 $\mathbb{R}$. 该定理的证明依赖于下一个引理，该引理将问题简化为证明整数次的中心极限定理。引理 $2.2$ 在定理 $2.1$ 的假设下，
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\sup n \leq t \leq n+1\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M t / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F} 0\right]-\mathbb{E}\left[e^{i \theta M n / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F} 0\right]\right|\right]=0
$$
证明引理的陈述中出现的条件期望的差等于
\mathbb ${$ E $} \backslash$ left[Veft(\exp \left{i \theta $\backslash \mathrm{~ e f t}$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Resolvent Equation

修复一个函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi) \cap \mathscr{H}-1, \lambda>0$ 并考虑求解方程
$$
\lambda f \lambda-L f_{\lambda}-V
$$
注意 $f_{\lambda}=(\lambda-L)^{-1} V$ 属于生成器的域 $L$. 取相对于的标量积 $f_{\lambda}$ 在这个等式的两边，我们得到
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2}=\left\langle V, f{\lambda}\right\rangle_{\pi}
$$
因此，通过 Schwarz 不等式 (2.9)，
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2} \leq\left|f{\lambda}\right|{1}|V|{-1}
$$
以便 $\left|f_{\lambda}\right|{1} \leq|V|{-1}$. 结合前面的两个界限，我们很容易得到更强的估计
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2} \leq|V|{-1}^{2} .
$$
根据上述估计，我们得出结论 $\lambda f_{\lambda}$ 消失在 $L^{2}(\pi)$ 作为 $\lambda \downarrow 0 \mathrm{~ 然后 ~ V e f t { f _ { \ l a m b d a } : ~ 0 < \ a m b d a ~ \ l e q ~ 1}$ 有界序列 $\mathscr{H}{1}$ 因此是嫋预压实的。另一个简单的结果 $(2.15)$ 就是它 $(\lambda-L)^{-1}$ 扩展到从 $\mathscr{H}-1$ 至 $\mathscr{H} 1$ : 引理 $2.3$ 算子 $(\lambda-L)^{-1}$ 从延伸 $L^{2}(\pi)$ 到有界映射 $\mathscr{H}-1$ 至 $\mathscr{H} 1$. 此外，对于任何 $V \in \mathscr{H}-1$ 我们有 $$ \left|(\lambda-L)^{-1} V\right| 1 \leq|V|{-1}
$$
我们希望为中心极限定理制定充分条件 $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ 就斩近行为而言，如 $\lambda \downarrow 0$ ，的解决方案 $f_{\lambda}$ 求解方程 (2.13) 。我们首先在 Sect 中观察。 $2.5$ 那个条件 $V \in \mathscr{H}-1$ 保证 $L^{2}(\mathbb{P} \pi)$ 规范 $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ 仍然有界大 $t$. 接下来，在定理 $2.7$ 中，我们证明中心极限定理是有效的，前提是满足以下两个条件:
$$
\lim \lambda \rightarrow 0 \lambda|f \lambda|{\pi}^{2}=0 \quad \text { and } \quad \lim \lambda \rightarrow 0|f \lambda-f|{1}=0
$$
对于一些 $f$ 在 $\mathscr{H} 1$. 定理 $2.14$ ，我们证明有界sup $0<\lambda \leq 1\left|L f_{\lambda}\right|{-1}<\infty$ 暗示了前两个条件。因此，中心极限定理成立，如果 $\sup 0<\lambda \leq 1|L f \lambda|{-1}<+\infty$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4528

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Martingales

Fix a probability space $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ and an increasing filtration $\left{\mathscr{F}{j}: j \geq 0\right}$. Denote by $\mathbb{E}$ the expectation with respect to the probability measure $\mathbb{P}$. Let $\left{Z{j}: j \geq 1\right}$ be a stationary and ergodic sequence of random variables adapted to the filtration $\left{\mathscr{F}{j}\right}$ and such that $$ \mathbb{E}\left[Z{1}^{2}\right]<\infty, \quad \mathbb{E}\left[Z_{j+1} \mid \mathscr{F}{j}\right]=0, \quad j \geq 0 . $$ The variables $\left{Z{j}: j \geq 1\right}$ are usually called martingale differences because the process $\left{M_{j}: j \geq 0\right}$ defined as $M_{0}:=0, M_{j}:=\sum_{1 \leq k \leq j} Z_{k}, j \geq 1$, is a zero-mean, square integrable martingale with respect to the filtration $\left{\mathscr{F}_{j}: j \geq 0\right}$.

Theorem 1.2 Let $\left{Z_{j}: j \geq 1\right}$ be a sequence of stationary, ergodic random variables satisfying (1.10). Then, $N^{-1 / 2} \sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}$ converges in distribution, as $N \uparrow \infty$, to a Gaussian law with zero mean and variance $\sigma^{2}=\mathbb{E}\left[Z_{1}^{2}\right]$.

Proof If one assumes that the martingale differences $\left{Z_{j}\right}$ are bounded, the proof is elementary and follows from the ergodic assumption. Suppose therefore that $\left|Z_{1}\right| \leq$ $C_{0}, \mathbb{P}$-a.s. for some finite constant $C_{0}$.

We first build exponential martingales. Since $\left{Z_{j}\right}$ are martingale differences, $\mathbb{E}\left[\sum_{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F}{j}\right]=0$ for all $j \geq 0, K \geq 1$. Therefore, since $\left|e^{i x}-1-i x\right| \leq$ $x^{2} / 2, x \in \mathbb{R}$, subtracting $\mathbb{E}\left[i \theta \sum{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F}{j}\right]$ from the expression on the lefthand side in the next formula we obtain that $$ \left|\mathbb{E}\left[\exp \left{i \theta \sum{k=j+1}^{j+K} Z_{k}\right} \mid \mathscr{F}{j}\right]-1\right| \leq \frac{\theta^{2}}{2} \mathbb{E}\left[\left(\sum{k=j+1}^{j+K} Z_{k}\right)^{2} \mid \mathscr{F}_{j}\right]
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Time-Variance in Reversible Markov Chains

In this section, we examine the asymptotic behavior of the variance of
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
for square integrable functions $V$ in the context of reversible Markov chains. Reversibility with respect to $\pi$ means that $P$ is a symmetric operator in $L^{2}(\pi)$ :
$$
\langle P f, g\rangle_{\pi}=\langle f, P g\rangle_{\pi}
$$
for all $f, g$ in $L^{2}(\pi)$. It is easy to check that a probability measure $\pi$ is reversible if and only if it satisfies the detailed balance condition:
$$
\pi(x) P(x, y)=\pi(y) P(y, x)
$$
for all $x, y$ in $E$, which means that
$$
\mathbb{P}{\pi}\left[X{n}=x, X_{n+1}=y\right]=\mathbb{P}{\pi}\left[X{n}=y, X_{n+1}=x\right]
$$
A reversible measure is necessarily invariant since
$$
(\pi P)(x)=\sum_{y \in E} \pi(y) P(y, x)=\sum_{y \in E} \pi(x) P(x, y)=\pi(x) .
$$
In this section, we prove that the following limit exists:
$$
\sigma^{2}(V)=\lim {N \rightarrow \infty} \mathbb{E}{\pi}\left[\left(\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{J}\right)\right)^{2}\right]
$$
where we admit $+\infty$ as a possible value, and we find necessary and sufficient conditions for $\sigma^{2}(V)$ to be finite. We also introduce Hilbert spaces associated to the transition operator $P$ which will play a central role in the following chapters.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Reversible Markov Chains

In this section, we prove a central limit theorem for additive functionals of reversible Markov chains. Fix a zero-mean function $V$ in $L^{2}(\pi)$. We have seen in the beginning of this chapter that a central limit theorem for the additive functional $N^{-1 / 2} \sum_{0 \leq j<N} V\left(X_{j}\right)$ follows easily from a central limit theorem for martingales if $V$ belongs to the range of $I-P$, i.e., if there is a solution in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation $(I-P) f=V$. This assumption is too strong and should be relaxed. A natural condition to impose on $V$ is to require that its time-variance $\sigma^{2}(V)$ is finite. In this case we may try to repeat the approach presented in the beginning of the chapter replacing the solution of the Poisson equation $(I-P) f=V$, which may not exist, by the solution $f_{\lambda}$ of the resolvent equation $\lambda f_{\lambda}+(I-P) f_{\lambda}=V$ which always exists.

Fix therefore a zero-mean function $V$ and assume that its variance $\sigma^{2}(V)$ is finite. Let $f_{\lambda}$ be the solution of the resolvent equation (1.16). For $N \geq 1$,
$$
\begin{aligned}
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right) &=\lambda \sum_{j=0}^{N-1} f_{\lambda}\left(X_{j}\right)+\sum_{j=0}^{N-1}\left{f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j}\right)\right} \
&=M_{N}^{\lambda}+f_{\lambda}\left(X_{0}\right)-f_{\lambda}\left(X_{N}\right)+\lambda \sum_{j=0}^{N-1} f_{\lambda}\left(X_{j}\right)
\end{aligned}
$$
where $\left{M_{N}^{\lambda}: N \geq 0\right}$ is the martingale with respect to the filtration $\left{\mathscr{F}{j}: j \geq 0\right}$, $\mathscr{F}{j}=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$, defined by $M_{0}^{\lambda}:=0$,
$$
M_{N}^{\lambda}:=\sum_{j=1}^{N} Z_{j}^{\lambda}
$$
for $Z_{j}^{\lambda}=f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j-1}\right)$ for $j \geq 1$

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Martingales

修正一个概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 和不断增加的过滤 $\$ left:{mathscr{F}{j}: \geq Olright }. 表示为 $\mathbb{E}$ 关于概率测度的期望 $\mathbb{P}$.
$\mathrm{~ 让 ~ U l e f t { Z { j } : ~ j g e q ~ 1 | r i g h t } ~ 是适应过滤的随机变量的平稳和遍历序列【 V e f t {}$
$$
\mathbb{E}\left[Z 1^{2}\right]<\infty, \quad \mathbb{E}\left[Z_{j+1} \mid \mathscr{F} j\right]=0, \quad j \geq 0 .
$$
变量 $\mathrm{~ I l e f t { Z { j } : ~ \ g e q ~ 1 | r i g h t ~ }}$
$M_{0}:=0, M_{j}:=\sum_{1 \leq k \leq j} Z_{k}, j \geq 1 \mathrm{~ , ~ 是关于过滤的零均值平方可积䩗祥 ⿰}$
定理 $1.2$ 让 $\mathrm{~ M e f t { Z _ { j } : ~ j g e q ~ 1}$ 上收敛，如 $N \uparrow \infty$ ，到零均值和方差的高斯定律 $\sigma^{2}=\mathbb{E}\left[Z_{1}^{2}\right]$.
证明如果假设鞅差 left{Z_{j} \right } } \text { 是有界的，证明是基本的，并且遵循遍历假设。因此假设 } | Z _ { 1 } | \leq C _ { 0 } , \mathbb { P } \text { – 至于一 } 些有限常数 $C_{0}$.
我们首先建立指数鞅。自从Uleft{Z_fj}right $}$ 是鞅差， $\mathbb{E}\left[\sum_{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F} j\right]=0$ 对所有人 $j \geq 0, K \geq 1$. 因此，由于 $\left|e^{i x}-1-i x\right| \leq x^{2} / 2, x \in \mathbb{R}$, 减去 $\mathbb{E}\left[i \theta \sum j+1 \leq k \leq j+K Z_{k} \mid \mathscr{F} j\right]$ 从下一个公式左侧的表达式中，我们得到

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Time-Variance in Reversible Markov Chains

在本节中，我们检查方差的渐近行为
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
对于平方可积函数 $V$ 在可逆马尔可夫链的背景下。关于可逆性 $\pi$ 意思是 $P$ 是一个对称算子 $L^{2}(\pi)$ :
$$
\langle P f, g\rangle_{\pi}=\langle f, P g\rangle_{\pi}
$$
对所有人 $f, g$ 在 $L^{2}(\pi)$. 很容易检查概率测度 $\pi$ 是可逆的当且仅当它满足详细平衡条件:
$$
\pi(x) P(x, y)=\pi(y) P(y, x)
$$
对所有人 $x, y$ 在 $E$ ，意思就是
$$
\mathbb{P} \pi\left[X n=x, X_{n+1}=y\right]=\mathbb{P} \pi\left[X n=y, X_{n+1}=x\right]
$$
可逆测度必然是不变的，因为
$$
(\pi P)(x)=\sum_{y \in E} \pi(y) P(y, x)=\sum_{y \in E} \pi(x) P(x, y)=\pi(x)
$$
在本节中，我们证明存在以下限制:
$$
\sigma^{2}(V)=\lim N \rightarrow \infty \mathbb{E} \pi\left[\left(\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{J}\right)\right)^{2}\right]
$$
我们承认的地方 $+\infty$ 作为一个可能的值，我们发现充要条件 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。我们还介绍了与转移算子相关的希尔伯特空间 $P$ 这将在接下来的章节中发挥核心作用。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Reversible Markov Chains

在本节中，我们证明了可逆马尔可夫链的加性泛函的中心极限定理。修复零均值函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$. 我们在本章开头已经看到，加性泛函的中心极限定理 $N^{-1 / 2} \sum_{0 \leq j<N} V\left(X_{j}\right)$ 很容易从鞅的中心极限定理得出，如果 $V$ 属于范围 $I-P$ ，即，如果在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程的 $(I-P) f=V$. 这个假设太强了，应该放宽。强加于人的自然条件 $V$ 是要求它的时变 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。在这种情况下，我们可以尝试重复本章开头提出的方法来代替泊松方程的解 $(I-P) f=V$ ，这可能不存在，由解决方案 $f_{\lambda}$ 求解方程的 $\lambda f_{\lambda}+(I-P) f_{\lambda}=V$ 它始终存在。
因此修复一个零均值函数 $V$ 并假设它的方差 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。让 $f_{\lambda}$ 是求解方程 $(1.16)$ 的解。为了 $N \geq 1$ ，
\begin{对斉 } } \mathrm { ~ \ s u m _ { j = 0 } ^ { N – 1 } ~ V
$\mathrm{~ 在哪里 ~ \ l e f t { M _ { N } ^ { N l a m b d a } : ~ N ~ I g e q ~ O \ r i g h t ~}$
$\mathscr{F} j=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$ ，被定义为 $M_{0}^{\lambda}:=0$ ，
$$
M_{N}^{\lambda}:=\sum_{j=1}^{N} Z_{j}^{\lambda}
$$
为了 $Z_{j}^{\lambda}=f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j-1}\right)$ 为了 $j \geq 1$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|STAT4061

Posted on 2022年6月29日2022年6月29日 by statistics-lab

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Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A Warming-Up Example

The purpose of this chapter is to present, in the simplest possible context, some of the ideas that will appear recurrently in this book. We assume that the reader is familiar with the basic theory of Markov chains (e.g. Chap. 7 of Breiman 1968 or Chap. 5 of Durrett 1996) and with the spectral theory of bounded symmetric operators (Sect. 107 in Riesz and Sz.-Nagy 1990, Sect. XI.6 in Yosida 1995).

Consider a Markov chain $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ on a countable state space $E$, stationary and ergodic with respect to a probability measure $\pi$. The problem is to find necessary and sufficient conditions on a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ to guarantee a central limit theorem for
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
We assume that $E_{\pi}[V]=0$, where $E_{\pi}$ stands for the expectation with respect to the probability measure $\pi$. The idea is to relate this question to the well-known martingale central limit theorems.

Denote by $P$ the transition probability of the Markov chain and fix a function $V$ in $L^{2}(\pi)$, the space of functions $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ square integrable with respect to $\pi$. Assume the existence of a solution of the Poisson equation
$$
V=(I-P) f
$$
for some function $f$ in $L^{2}(\pi)$, where $I$ stands for the identity. For $j \geq 1$, let
$$
Z_{. j}=f\left(X_{j}\right)-(P f)\left(X_{j-1}\right) .
$$
It is easy to check that $M_{0}=0, M_{N}=\sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}, N \geq 1$, is a martingale with respect to the filtration $\left{F_{j}: j \geq 0\right}, F_{j}=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$, and that
$$
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)=M_{N}-f\left(X_{N}\right)+f\left(X_{0}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Ergodic Markov Chains

In this section, we present some elementary results on Markov chains. Fix a countable state space $E$ and a transition probability function $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ :
$$
P(x, y) \geq 0, \quad x, y \in E, \quad \sum_{y \in E} P(x, y)=1, \quad x \in E
$$
A sequence of random variables $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ defined on some probability space $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ and taking values in $E$ is a time-homogeneous Markov chain on $E$ if
$$
\mathbb{P}\left[X_{j+1}=y \mid X_{j}, \ldots, X_{0}\right]=P\left(X_{j}, y\right)
$$ for all $j \geq 0, y$ in E. $P(x, y)$ is called the probability of jump from $x$ to $y$ in one step. Notice that it does not depend on time, which explains the terminology of a time-homogeneous chain. The law of $X_{0}$ is called the initial state of the chain.
Assume furthermore that on $(\Omega, \mathscr{F})$ we are given a family of measures $\mathbb{P}{z}$, $z \in E$, each satisfying (1.5) and such that $\mathbb{P}{x}\left[X_{0}=x\right]=1$. We call it a Markov family that corresponds to the transition probabilities $P(\cdot, \cdot)$. For a given probability measure $\mu$ on $E$, let $\mathbb{P}{\mu}=\sum{x \in E} \mu(x) \mathbb{P}{x}$. Observe that $\mu$ is the initial state of the chain under $\mathbb{P}{\mu}$. We shall denote by $\mathbb{E}{\mu}$ the expectation with respect to that measure and by $\mathbb{E}{x}$ the expectation with respect to $\mathbb{P}_{x}$.

The transition probability $P$ can be considered as an operator on $C_{b}(E)$, the space of (continuous) bounded functions on $E$. In this case, for $f$ in $C_{b}(E)$, $P f: E \rightarrow E$ is defined by
$$
(P f)(x)=\sum_{y \in E} P(x, y) f(y)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{1}\right) \mid X_{0}=x\right] .
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Almost Sure Central Limit Theorem for Ergodic Markov Chains

Consider a time-homogeneous irreducible (or indecomposable in the terminology of Breiman 1968) Markov chain $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ on a countable state space $E$ with transition probability function $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}{+}$. Assume that there exists a stationary probability measure, denoted by $\pi$. By (Breiman, 1968 , Theorem $7.16$ ), $\pi$ is unique and ergodic. In particular, for any bounded function $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ and any $x$ in $E$, $$ \lim {N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1}\left(P^{j} g\right)(x)=E_{\pi}\lfloor g\rfloor .
$$
Fix a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ in $L^{2}(\pi)$ which has mean zero with respect to $\pi$. In this section, we prove a central limit theorem for the sequence $N^{-1 / 2} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)$ assuming that the solution of the Poisson equation (1.2) belongs to $L^{2}(\pi)$. Under this hypothesis we obtain a central limit theorem which holds $\pi$-a.s. with respect to the initial state.

Theorem 1.1 Fix a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ in $L^{2}(\pi)$ which has mean zero with respect to $\pi$. Assume that there exists a solution $f$ in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation (1.2).

Then, for all $x$ in $E$, as $N \uparrow \infty$,
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
converges in $\mathbb{I}{X}$ distribution to a mean zero Gaussian random variable with variance $\sigma^{2}(V)=E{\pi}\left[f^{2}\right]-E_{\pi}\left[(P f)^{2}\right]$

Proof Fix a mean zero function $V$ in $L^{2}(\pi)$ and an initial state $x$ in $E$. By assumption, there exists a solution $f$ in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation (1.2). Consider the sequence $\left{Z_{j}: j \geq 1\right}$ of random variables defined by
$$
Z_{j}=f\left(X_{j}\right)-P f\left(X_{j-1}\right)
$$

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A Warming-Up Example

本章的目的是在尽可能简单的背景下，介绍本书中经常出现的一些想法。我们假设读者熟惑马尔可夫链的基本理论 (例如 Breiman 1968 的第 7 章或 Durrett 1996 的第 5 章) 和有界对称算子的谱理论 (Riesz 和 Sz.-Nagy 的第 107 节) 1990 年，Yosida 1995 年第 XI.6节)。
考虑马尔可夫链 lleft $\left{X \mathrm{~ _ f j } : ~ \ ~ l g e q ~ O}\right.$ 条件 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 保证中心极限定理
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
我们假设 $E_{\pi}[V]=0$ ，在哪里 $E_{\pi}$ 代表关于概率测度的期望 $\pi$. 想法是将这个问题与著名的鞅中心极限定理联系起来。
表示为 $P$ 马尔可夫链的转移概率和固定函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$, 函数空间 $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ 平方可积关于 $\pi$. 假设存在泊松方程的解
$$
V=(I-P) f
$$
对于某些功能 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ ，在哪里 $I$ 代表身份。为了 $j \geq 1$ ，让
$$
Z_{. j}=f\left(X_{j}\right)-(P f)\left(X_{j-1}\right) .
$$
很容易检查 $M_{0}=0, M_{N}=\sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}, N \geq 1$ ，是关于过滤的鞅
$\mathrm{~ L e f t { F _ { j } : ~ j ~ l g e q ~ O \ r i g h t } , ~ F _ { j } = I s i g m a l l e f t ( X _ { 0 } , ~ I d o t s , ~ X _ { j }}$
$$
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)=M_{N}-f\left(X_{N}\right)+f\left(X_{0}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Ergodic Markov Chains

在本节中，我们将介绍一些关于马尔可夫链的基本结果。修复可数状态空间 $E$ 和转移概率函数 $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ :
$$
P(x, y) \geq 0, \quad x, y \in E, \quad \sum_{y \in E} P(x, y)=1, \quad x \in E
$$
一系列随机变量 lleft{X_{j: j |geq OIright $}$ 在某个概率空间上定义 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 并接受价值观 $E$ 是一个时间齐次马尔可夫链 $E$ 如果
$$
\mathbb{P}\left[X_{j+1}=y \mid X_{j}, \ldots, X_{0}\right]=P\left(X_{j}, y\right)
$$
对所有人 $j \geq 0, y$ 在 $\mathrm{E}^{\circ} P(x, y)$ 被称为跳跃的概率 $x$ 至 $y$ 一步。请注意，它不依赖于时间，这解释了时间齐次链的术语。的法律 $X_{0}$ 称为链的初始状态。
进一步假设 $(\Omega, \mathscr{F})$ 我们得到了一系列措施 $\mathbb{P} z, z \in E$ ，每个都满足 (1.5) 并且使得 $\mathbb{P} x\left[X_{0}=x\right]=1$. 我们称其为对应于转移概率的马尔可夫族 $P(\cdot, \cdot)$. 对于给定的概率测度 $\mu$ 上，让 $\mathbb{P} \mu=\sum x \in E \mu(x) \mathbb{P} x$. 请注意 $\mu$ 是链下的初始状态 $\mathbb{P} \mu$. 我们将表示为 $\mathbb{E} \mu$ 对该措施的期望，并通过 $\mathbb{E} x$ 关于的期望 $\mathbb{P}{x}$. 转移概率 $P$ 可以认为是一个运算符 $C{b}(E)$ ，(连续) 有界函数的空间 $E$. 在这种情况下，对于 $f$ 在 $C_{b}(E)$ ， $P f: E \rightarrow E$ 定义为
$$
(P f)(x)=\sum_{y \in E} P(x, y) f(y)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{1}\right) \mid X_{0}=x\right]
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Almost Sure Central Limit Theorem for Ergodic Markov Chains

考虑一个时间齐次不可约 (或用 Breiman 1968 的术语不可分解) 马尔可夫链 lleft{X_{j}: j lgeq OIright }在可数状态空间上 $E$ 具有转移概率函数 $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}+$. 假设存在一个平稳的概率测度，记为 $\pi$. 由 (Breiman， 1968，定理 $7.16$ ), $\pi$ 是独特的和遍历的。特别是对于任何有界函数 $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ 和任何 $x$ 在 $E$ ，
$$
\lim N \rightarrow \infty \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1}\left(P^{j} g\right)(x)=E_{\pi}\lfloor g\rfloor .
$$
修复一个函数 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $L^{2}(\pi)$ 其均值为零 $\pi$. 在本节中，我们证明了序列的中心极限定理 $N^{-1 / 2} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)$ 假设泊松方程 $(1.2)$ 的解属于 $L^{2}(\pi)$. 在这个假设下，我们得到一个中心极限定理，它成立 $\pi$ – 与初始状态一样。
定理 $1.1$ 修正一个函数 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $L^{2}(\pi)$ 其均值为零 $\pi$. 假设存在解 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程 $(1.2)$ 。
那么，对于所有人 $x$ 在 $E$ ，作为 $N \uparrow \infty$ ，
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
收敛于 $\mathbb{I} X$ 分布到具有方差的均值零高斯随机变量 $\sigma^{2}(V)=E \pi\left[f^{2}\right]-E_{\pi}\left[(P f)^{2}\right]$
证明修正一个均值零函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$ 和一个初始状态 $x$ 在 $E$. 通过假设，存在一个解决方案 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程 $\mathrm{~ ( 1 . 2 ) 。考虑序列 ~ l e f t { Z _ { j } : j ~ l g e q ~ 1 ~ 1 r i g h t ~ }}$
$$
Z_{j}=f\left(X_{j}\right)-\operatorname{Pf}\left(X_{j-1}\right)
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Model-independent options

Posted on 2022年6月16日2022年6月16日 by statistics-lab

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Advanced Probability Theory 高等概率论
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Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Model-independent options

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Probabilistic setup

This chapter requires some basic knowledge in stochastic analysis (not so much, mainly stochastic integration and Itô’s formula).

As in Chapter 2, we assume a zero interest rate (non-zero rates are briefly considered in Section 3.3.4). The price of an asset at time $t,\left(S_{t}\right){t \in[0, T]}$, will be modeled by a continuous semi-martingales. The semi-martingale property is imposed as we want to give a meaning to the limit when $n \rightarrow \infty$ of the discrete delta-hedging $$ \sum{t_{0}=0}^{T} H_{t_{i}}\left(S_{t_{i+1}}-S_{t_{i}}\right) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \int_{0}^{T} H_{t} d S_{t}
$$
Good integrator processes are precisely provided by semi-martingales. Below, we describe our probabilistic framework.

Let $\Omega \equiv\left{\omega \in C\left([0, T], \mathbb{R}{+}\right): \omega{0}=0\right}$ be the canonical space equipped with the uniform norm $|\omega|_{\infty} \equiv \sup {0 \leq t \leq T}|\omega(t)|, B$ the canonical process, i.e., $B{t}(\omega) \equiv \omega(t)$ and $\mathcal{F} \equiv\left{\mathcal{F}{t}\right}{0 \leq t \leq T}$ the filtration generated by $B$ : $\mathcal{F}{t}=$ $\sigma\left{B{s}, s \leq t\right} . \mathbb{P O}$ is the Wiener measure. $S_{0}$ is some given initial value in $\mathbb{R}{+}$, and we denote $$ S{t} \equiv S_{0}+B_{t} \text { for } t \in[0, T] .
$$
For any $\mathcal{F}$-adapted process $\sigma$ and satisfying $\int_{0}^{T} \sigma_{s}^{2} d s<\infty, \mathbb{P}^{0}$-a.s., we define the probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ :
$$
\mathbb{P}^{\sigma} \equiv \mathbb{P}^{0} \circ\left(S^{\sigma}\right)^{-1} \text { where } S_{t}^{\sigma} \equiv S_{0}+\int_{0}^{t} \sigma_{r} d B_{r}, t \in[0, T], \mathbb{P}^{0}-\text { a.s. }
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Variance swaps

It is well-known that the process $\ln S_{t}+\frac{1}{2}\langle\ln S\rangle_{t}$ is a martingale. As an important consequence in finance, this leads to the exact replication of a

variance swap (within the class $\mathcal{M}^{c}$ ) in terms of a log-contract. A discretemonitoring variance swap pays at a maturity $T$ the sum of daily squared log-returns, mainly
$$
\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2}, \quad t_{0}=0, \quad t_{n}=T
$$
and $\Delta t=t_{i+1}-t_{i}=$ one day. In the limit $n \rightarrow \infty$, it converges $\mathbb{P}$-almost surely to the quadratic variation $\langle\ln S\rangle_{T}$ of $\ln S$ :
$$
\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{T}\langle\ln S\rangle_{T}
$$
REMARK 3.1 Note that in practice, $t_{k+1}-t_{k}=1$ day and the approximation of a discrete-monitored variance swap by its continuous-time version is valid. Indeed,
$$
\mathrm{VS} \equiv \frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2}\right]=\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(-\frac{1}{2}\left(\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}\right)^{2} \Delta t+\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}} \Delta B_{t_{i}}\right)^{2}\right]
$$
where $\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}$ is the realized (log-normal) volatility between $\left[t_{i}, t_{i+1}\right], \Delta B_{t_{i}} \equiv$ $B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}$ and $T=n \Delta t$. This gives
$$
\mathrm{VS} \equiv \frac{1}{T} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(\frac{1}{4}\left(\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}\right)^{4}(\Delta t)^{2}+\left(\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}\right)^{2} \Delta t\right)\right]
$$
By taking $\sigma_{t_{i}}^{\mathrm{LN}}=\sigma^{\mathrm{LN}}$ constant, we get
$$
\sqrt{\mathrm{VS}} \equiv\left(\sigma^{\mathrm{LN}}\right)\left(1+\frac{1}{4}\left(\sigma^{\mathrm{LN}}\right)^{2} \Delta t\right)^{\frac{1}{2}}
$$
If we impose a relative error of $10^{-3}$ between the continuous and the discrete version, we obtain $\Delta t=810^{-3} /\left(\sigma^{\mathrm{LN}}\right)^{2}$. For $\sigma^{\mathrm{LN}} \sim 100 \%$, we get $\Delta t \approx 3$ days.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Covariance options

We consider two liquid European options with payoffs $F_{1}$ and $F_{2}$ and maturity $T$, possibly depending on different assets. We denote $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ (resp. $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ ) the $t$-value of this option quoted on the market. The market uses a priori two (different) risk-neutral probability measures $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$. We will assume

that they coincide and belong to $\mathcal{M}^{c}$. $\mathbb{P}$ is not known, we have only a partial characterization through the values $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ and $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$. We assume also that the payoff $F_{1} F_{2}$ with maturity $T$ can be bought at $t=0$ with market prices $\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]$

A covariance option pays at a maturity $T$ the daily realized covariance between the prices $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ and $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ :
$$
\sum_{i=0}^{n-1}\left(\mathbb{E}{t{i+1}}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right]-\mathbb{E}{t{i}}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right]\right)\left(\mathbb{E}{t{i+1}}^{P}\left[F_{2}\right]-\mathbb{E}{t{i}}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right)
$$
In the limit $n \rightarrow \infty$, it converges to
$$
\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}
$$
From Itô’s lemma, we have for all $\mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c}$ :
$$
\begin{array}{r}
\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathrm{P}}\left[F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathrm{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}=\left(F_{1} F_{2}-\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]\right) \
+\left(\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]\right) \
-\int_{0}^{T} \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] d \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]-\int_{0}^{T} \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] d \mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]
\end{array}
$$
As observed in $[76]$, this equality indicates that a covariance option can be replicated by doing a delta-hedging on $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right]$ (resp. $\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ ) with $H_{t}^{1} \equiv$ $-\mathbb{E}{t}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right]$ (resp. $H_{t}^{2} \equiv-\mathbb{E}{t}^{\mathrm{P}}\left[F{1}\right]$ ) and statically holding the $T$-European payoff $F_{1} F_{2}$ with market price $\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]$. The model-independent price of this option is therefore
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}\right]=& \mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] \
& \forall \mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c} \cap\left{\mathbb{P}: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1} F_{2}\right]=\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]\right}
\end{aligned}
$$

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Probabilistic setup

本章需要一些随机分析的基础知识（不多，主要是随机积分和伊藤公式）。

与第 2 章一样，我们假设利率为零（第 3.3.4 节简要考虑了非零利率）。资产当时的价格吨,(小号吨)吨∈[0,吨], 将由一个连续的半鞅建模。半鞅属性是强加的，因为我们想给极限一个意义，当n→∞离散 delta 对冲

∑吨0=0吨H吨一世(小号吨一世+1−小号吨一世)⟶n→∞∫0吨H吨d小号吨
半鞅精确地提供了良好的积分器过程。下面，我们描述我们的概率框架。

让\Omega \equiv\left{\omega \in C\left([0, T], \mathbb{R}{+}\right): \omega{0}=0\right}\Omega \equiv\left{\omega \in C\left([0, T], \mathbb{R}{+}\right): \omega{0}=0\right}是具有统一范数的规范空间|ω|∞≡支持0≤吨≤吨|ω(吨)|,乙规范过程，即乙吨(ω)≡ω(吨)和\mathcal{F} \equiv\left{\mathcal{F}{t}\right}{0 \leq t \leq T}\mathcal{F} \equiv\left{\mathcal{F}{t}\right}{0 \leq t \leq T}产生的过滤乙 : F吨= \sigma\left{B{s}, s \leq t\right} 。\mathbb{PO}\sigma\left{B{s}, s \leq t\right} 。\mathbb{PO}是维纳度量。小号0是一些给定的初始值R+，我们表示

小号吨≡小号0+乙吨为了吨∈[0,吨].
对于任何F-适应过程σ并且令人满意∫0吨σs2ds<∞,磷0-as，我们将概率度量定义为(Ω,F) :

磷σ≡磷0∘(小号σ)−1 在哪里小号吨σ≡小号0+∫0吨σrd乙r,吨∈[0,吨],磷0− 作为

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Variance swaps

众所周知，这个过程ln⁡小号吨+12⟨ln⁡小号⟩吨是鞅。作为金融领域的一个重要结果，这导致了

方差交换（类内米C) 根据对数合同。离散监控方差掉期在到期时支付吨每日对数回报的平方和，主要是

1吨∑一世=0n−1(ln⁡小号吨一世+1小号吨一世)2,吨0=0,吨n=吨
和Δ吨=吨一世+1−吨一世=一天。在极限n→∞, 它收敛磷- 几乎肯定是二次变分⟨ln⁡小号⟩吨的ln⁡小号 :

1吨∑一世=0n−1(ln⁡小号吨一世+1小号吨一世)2⟶n→∞1吨⟨ln⁡小号⟩吨
备注 3.1 请注意，在实践中，吨ķ+1−吨ķ=1天，并且离散监控方差交换与其连续时间版本的近似是有效的。的确，

在小号≡1吨∑一世=0n−1和[(ln⁡小号吨一世+1小号吨一世)2]=1吨∑一世=0n−1和[(−12(σ吨一世大号ñ)2Δ吨+σ吨一世大号ñΔ乙吨一世)2]
在哪里σ吨一世大号ñ是之间的已实现（对数正态）波动率[吨一世,吨一世+1],Δ乙吨一世≡ 乙吨一世+1−乙吨一世和吨=nΔ吨. 这给

在小号≡1吨∑一世=0n−1和[(14(σ吨一世大号ñ)4(Δ吨)2+(σ吨一世大号ñ)2Δ吨)]
通过采取σ吨一世大号ñ=σ大号ñ常数，我们得到

在小号≡(σ大号ñ)(1+14(σ大号ñ)2Δ吨)12
如果我们施加一个相对误差10−3在连续版本和离散版本之间，我们得到Δ吨=810−3/(σ大号ñ)2. 为了σ大号ñ∼100%，我们得到Δ吨≈3天。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Covariance options

我们考虑两种具有回报的流动欧式期权F1和F2和成熟吨，可能取决于不同的资产。我们表示和吨磷[F1]（分别。和吨磷[F2]）这吨-该期权在市场上报价的价值。市场使用先验的两个（不同的）风险中性概率测度磷1和磷2. 我们将假设

他们重合并且属于米C. 磷未知，我们仅通过值进行部分表征和吨磷[F1]和和吨磷[F2]. 我们还假设收益F1F2成熟的吨可以在吨=0以市场价格和μ[F1F2]

协方差期权在到期时支付吨价格之间每日实现的协方差和吨磷[F1]和和吨磷[F2] :

∑一世=0n−1(和吨一世+1磷[F1]−和吨一世磷[F1])(和吨一世+1磷[F2]−和吨一世磷[F2])
在极限n→∞，它收敛到

∫0吨d⟨和磷[F1],和磷[F2]⟩吨
根据伊藤引理，我们有磷∈米C:

∫0吨d⟨和磷[F1],和磷[F2]⟩吨=(F1F2−和μ[F1F2]) +(和μ[F1F2]−和0磷[F1]和0磷[F2]) −∫0吨和吨磷[F1]d和吨磷[F2]−∫0吨和吨磷[F2]d和吨磷[F1]
正如观察到的[76], 这个等式表明协方差选项可以通过对和吨磷[F1]（分别。和吨磷[F2]）和H吨1≡ −和吨磷[F2]（分别。H吨2≡−和吨磷[F1]) 并静态地持有吨-欧洲回报F1F2以市场价和μ[F1F2]. 因此，该选项的与模型无关的价格为

\begin{对齐} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left [F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}\right]=& \mathbb{E}^ {\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E} {0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] \ & \forall \mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c} \cap\left{\mathbb{P }: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1} F_{2}\right]=\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2 }\right]\right} \end{对齐}\begin{对齐} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_{0}^{T} d\left\langle\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left [F_{1}\right], \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{2}\right]\right\rangle_{t}\right]=& \mathbb{E}^ {\mu}\left[F_{1} F_{2}\right]-\mathbb{E}{0}^{\mathbb{P}}\left[F{1}\right] \mathbb{E} {0}^{\mathbb{P}}\left[F{2}\right] \ & \forall \mathbb{P} \in \mathcal{M}^{c} \cap\left{\mathbb{P }: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[F_{1} F_{2}\right]=\mathbb{E}^{\mu}\left[F_{1} F_{2 }\right]\right} \end{对齐}

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|OT versus MOT: A summary

Posted on 2022年6月16日2022年6月16日 by statistics-lab

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|OT versus MOT: A summary

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale Brenier’s solution

The enormous development of OT in the last decades was initiated by Brenier’s celebrated theorem, briefly reviewed in Theorem 2.3. Hence a most natural question is to obtain similar results also for the martingale version of the transport problem. The literature on this topic includes [82, 83]. This seems a potentially very interesting problem for mathematicians working in OT to tackle this problem, particularly in $\mathbb{R}^{d}$.

We briefly state below MOT in $\mathbb{R}{+}^{d}$. We denote $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$ the marginals of $S{1}$ and $S_{2}$ in $\mathbb{R}{+}^{d}$ and $S{1}^{i}$ the $i$-component of $S_{1}$. The knowledge of marginals $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$ is not very common in finance as the (known) marginals are usually one-dimensional (e.g. Vanillas), see however our discussion in Section 2.1.3. A notable exception arises in fixed income and foreign exchange markets (see Example 2.1) where Vanillas on spread swap rates, i.e., $\left(S_{2}-K S_{1}\right)^{+}$, are quoted on the market.
MOT reads
$$
\widetilde{\mathrm{MK}}{2}=\inf {\lambda_{1} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{1}\right), \lambda_{2} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right),\left(H^{i}(-)\right){1 \leq i \leq d}} \mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\lambda{1}\left(S_{1}\right)\right]+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[\lambda_{2}\left(S_{2}\right)\right]
$$
such that $\lambda_{1}\left(s_{1}\right)+\lambda_{2}\left(s_{2}\right)+\sum_{i=1}^{d} H^{i}\left(s_{1}\right)\left(s_{2}^{i}-s_{1}^{i}\right) \geq c\left(s_{1}, s_{2}\right), \quad \forall\left(s_{1}, s_{2}\right) \in$ $\left(\mathbb{R}{+}^{d}\right)^{2}$. Taking for granted that the primal is attained (the dual is attained by weak compactness), the (strong) duality result implies as before that $$ \lambda{1}\left(s_{1}\right)+\lambda_{2}\left(s_{2}\right)+\sum_{i=1}^{d} H^{i}\left(s_{1}\right)\left(s_{2}^{i}-s_{1}^{i}\right)=c\left(s_{1}, s_{2}\right), \quad \mathbb{P}^{}-\text { a.s. } $$ We have $d+2$ unknown functions $\left(\lambda_{1}, \lambda_{2},\left(H^{i}(\cdot)\right){1 \leq i \leq d}\right.$ ) (defined on (a subset of) $\mathbb{R}{+}^{d}$ ) and it is tempting to guess that the optimal martingale measure $\mathbb{P}^{}$ is localized on some maps $\left(T^{\alpha}\right){\alpha=1, \ldots, N}$. For each map – denoted schematically by $T$ with components $\left(T{1}, \ldots, T_{d}\right)$ – we should have: $\forall s_{1} \in \mathbb{R}^{d}$,
$$
\begin{aligned}
&\lambda_{1}\left(s_{1}\right)+\lambda_{2}\left(T\left(s_{1}\right)\right)+\sum_{i=1}^{d} H^{i}\left(s_{1}\right)\left(T_{i}\left(s_{1}\right)-s_{1}^{i}\right)=c\left(s_{1}, T\left(s_{1}\right)\right) \
&\partial_{s_{2}^{i}} \lambda_{2}\left(T\left(s_{1}\right)\right)+H^{i}\left(s_{1}\right)=\partial_{s_{2}^{i}} c\left(s_{1}, T\left(s_{1}\right)\right), \quad \forall i=1, \ldots, d
\end{aligned}
$$
On the dual side, we should have :
$$
\mathbb{P}^{*}\left(d s_{1}, s_{2}\right)=\sum_{\alpha=1}^{N} q_{\alpha}\left(s_{1}\right) \delta_{T a\left(s_{1}\right)}\left(d s_{2}\right) \mathbb{P}^{1}\left(d s_{1}\right)
$$
where the functions $\left(q_{\alpha}\right){\alpha=1, \ldots, N}$ are constrained by the algebraic equations: $$ \sum{\alpha=1}^{N} q_{\alpha}\left(s_{1}\right)=1, \quad \sum_{\alpha=1}^{N} q_{\alpha}\left(s_{1}\right)\left(T^{\alpha}\left(s_{1}\right)-s_{1}\right)=0
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mirror coupling: The right-monotone martingale transport plan

Suppose that $c_{s_{1} s_{2} s_{2}}<0$. Then, the upper bound $\widetilde{\mathrm{MK}}{2}$ is attained by the right-monotone martingale transport map $$ \begin{array}{r} \mathbb{P}{*}\left(d s_{1}, d s_{2}\right)=\mathbb{P}^{1}\left(d s_{1}\right)\left(q\left(s_{1}\right) \delta_{\bar{T}{u}\left(s{1}\right)}\left(d s_{2}\right)+\left(1-q\left(s_{1}\right)\right) \delta_{\bar{T}{d}\left(s{1}\right)}\left(d s_{2}\right)\right) \ q(x)=\frac{x-\bar{T}{d}(x)}{\bar{T}{u}(x)-\bar{T}{d}(x)} \end{array} $$ where $\left(\bar{T}{d}, \bar{T}{u}\right)$ is defined as in $(2.31,2.32)$ with the pair of probability measures $\left(\overline{\mathrm{P}}^{1}, \overline{\mathrm{P}}^{2}\right):$ $$ \bar{F}^{1}\left(s{1}\right) \equiv 1-F^{1}\left(-s_{1}\right), \text { and } \bar{F}^{2}\left(s_{2}\right) \equiv 1-F^{2}\left(-s_{2}\right) . $$ To see this, we rewrite the OT problem equivalently with modified inputs: $$ \begin{aligned} \bar{c}\left(s_{1}, s_{2}\right) \equiv c\left(-s_{1},-s_{2}\right), & \overline{\mathbb{P}}^{1}\left(\left(-\infty, s_{1}\right]\right) \equiv \mathbb{P}^{1}\left(\left[-s_{1}, \infty\right)\right) \ \overline{\mathbb{P}}^{2}\left(\left(-\infty, s_{2}\right]\right) \equiv \mathbb{P}^{2}\left(\left[-s_{2}, \infty\right)\right) \end{aligned} $$ so that $\bar{c}{s{1} s_{2} s_{2}}>0$, as required in Theorem 2.8. Note that the martingale constraint is preserved by the map $\left(s_{1}, s_{2}\right) \mapsto\left(-s_{1},-s_{2}\right)$ (and not by our parity transformation $\left(s_{1}, s_{2}\right) \mapsto\left(s_{1},-s_{2}\right)$ in OT $)$.

Suppose that $c_{s_{1} s_{2} s_{2}}>0$. Then, the lower bound problem is explicitly solved by the right-monotone martingale transport plan. Indeed, it follows from the first part of the present remark that:
$$
\begin{aligned}
\inf {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[c\left(S{1}, S_{2}\right)\right] &=-\sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[-c\left(S{1}, S_{2}\right)\right] \
&=-\sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{R}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[-\bar{c}\left(-S{1},-S_{2}\right)\right] \
&=-\sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{R}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[-\bar{c}\left(S{1}, S_{2}\right)\right] \
&=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[c\left(S_{1}, S_{2}\right)\right]
\end{aligned}
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Change of num´eraire

We define the involution $\mathcal{S}[34]$ (i.e., $\mathcal{S}^{2}=\mathrm{Id}$ ) on a payoff function $c$ by
$$
(\mathcal{S c})\left(s_{1}, s_{2}\right) \equiv s_{2} c\left(\frac{1}{s_{1}}, \frac{1}{s_{2}}\right)
$$
We have
$$
\begin{aligned}
\sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[(\mathcal{S} c)\left(S{1}, S_{2}\right)\right]=& \sup {\mathbb{P} \in \mathcal{M}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[S{2} c\left(\frac{1}{S_{1}}, \frac{1}{S_{2}}\right)\right] \
=S_{0} & \sup {\left.\mathbb{Q} \in \mathcal{M}\left(\mathcal{S}^{1}\right), \mathcal{P}\left(\mathbb{(}^{2}\right)\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[c\left(\bar{S}{t_{1}}, \bar{S}{t{2}}\right)\right]
\end{aligned}
$$
where $\mathcal{S}\left(\mathbb{P}^{i}\right), i=1,2$ has a density $\left(\mathcal{S} f^{i}\right)(s)=\frac{1}{S_{0} s^{3}} f^{i}\left(\frac{1}{s}\right)$ where $f^{i}$ the density of $\mathbb{P}^{i}$. We have used that by working in the numéraire associated to the discrete martingale $S_{t}$ :
$$
\mathbb{E}^{\mathrm{P}}\left[S_{2} c\left(\frac{1}{S_{1}}, \frac{1}{S_{2}}\right)\right]=S_{0} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[c\left(\frac{1}{S_{1}}, \frac{1}{S_{2}}\right)\right]
$$
with $\left.\frac{d \mathbb{Q}}{}\right|{\mathcal{F}{t_{i}}}=\frac{S_{i}}{S_{0}}$. Under $\mathbb{Q}, \frac{1}{S_{i}}$ is a discrete martingale: $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{1}{S_{2}} \mid \frac{1}{S_{1}}\right]=\frac{1}{S_{1}}$. This involution $\mathcal{S}$ satisfies
$$
(\mathcal{S c}){122}\left(s{1}, s_{2}\right)=-\frac{1}{s_{1}^{2} s_{2}^{3}} c_{122}\left(\frac{1}{s_{1}}, \frac{1}{s_{2}}\right)
$$
and exchanges therefore the left and right-monotone martingale transport plan where the marginals have support in $\mathbb{R}_{+}$.

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale Brenier’s solution

过去几十年中 OT 的巨大发展是由 Brenier 著名的定理发起的，定理 2.3 对此进行了简要回顾。因此，一个最自然的问题是对于运输问题的鞅版本也获得类似的结果。关于这个主题的文献包括 [82, 83]。对于在 OT 工作以解决这个问题的数学家来说，这似乎是一个非常有趣的问题，尤其是在Rd.

我们在下面简要说明MOTR+d. 我们表示磷1和磷2的边缘小号1和小号2在R+d和小号1一世这一世- 的组成部分小号1. 边际知识磷1和磷2在金融中并不常见，因为（已知的）边际通常是一维的（例如 Vanillas），但请参见我们在第 2.1.3 节中的讨论。一个值得注意的例外出现在固定收益和外汇市场（参见示例 2.1），其中 Vanillas 的价差掉期利率，即(小号2−ķ小号1)+, 在市场上报价。
MOT 读取

米ķ~2=信息λ1∈大号1(磷1),λ2∈大号1(磷2),(H一世(−))1≤一世≤d和磷1[λ1(小号1)]+和磷2[λ2(小号2)]
这样λ1(s1)+λ2(s2)+∑一世=1dH一世(s1)(s2一世−s1一世)≥C(s1,s2),∀(s1,s2)∈ (R+d)2. 理所当然地获得了原始的（对偶是通过弱紧致性获得的），（强）对偶结果意味着如前所述

λ1(s1)+λ2(s2)+∑一世=1dH一世(s1)(s2一世−s1一世)=C(s1,s2),磷− 作为我们有d+2未知功能(λ1,λ2,(H一世(⋅))1≤一世≤d) (定义在 (的一个子集)R+d) 并且很容易猜测最优鞅测度磷在某些地图上进行了本地化(吨一个)一个=1,…,ñ. 对于每张地图——示意性地表示为吨带组件(吨1,…,吨d)- 我们本应该：∀s1∈Rd,

λ1(s1)+λ2(吨(s1))+∑一世=1dH一世(s1)(吨一世(s1)−s1一世)=C(s1,吨(s1)) ∂s2一世λ2(吨(s1))+H一世(s1)=∂s2一世C(s1,吨(s1)),∀一世=1,…,d
在双重方面，我们应该有：

磷∗(ds1,s2)=∑一个=1ñq一个(s1)d吨一个(s1)(ds2)磷1(ds1)
函数在哪里(q一个)一个=1,…,ñ受代数方程约束：

∑一个=1ñq一个(s1)=1,∑一个=1ñq一个(s1)(吨一个(s1)−s1)=0

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mirror coupling: The right-monotone martingale transport plan

假设Cs1s2s2<0. 那么，上界米ķ~2由右单调鞅传输图获得

磷∗(ds1,ds2)=磷1(ds1)(q(s1)d吨¯在(s1)(ds2)+(1−q(s1))d吨¯d(s1)(ds2)) q(X)=X−吨¯d(X)吨¯在(X)−吨¯d(X)在哪里(吨¯d,吨¯在)定义为(2.31,2.32)与概率测度对(磷¯1,磷¯2):

F¯1(s1)≡1−F1(−s1), 和 F¯2(s2)≡1−F2(−s2).为了看到这一点，我们用修改后的输入等效地重写了 OT 问题：

C¯(s1,s2)≡C(−s1,−s2),磷¯1((−∞,s1])≡磷1([−s1,∞)) 磷¯2((−∞,s2])≡磷2([−s2,∞))以便C¯s1s2s2>0，如定理 2.8 所要求的。请注意，鞅约束由地图保留(s1,s2)↦(−s1,−s2)（而不是通过我们的平价变换(s1,s2)↦(s1,−s2)我不).

假设Cs1s2s2>0. 然后，下界问题由右单调鞅传输计划明确解决。实际上，从本评论的第一部分可以得出以下结论：

信息磷∈米(磷1,磷2)和磷[C(小号1,小号2)]=−支持磷∈米(磷1,磷2)和磷[−C(小号1,小号2)] =−支持磷∈米(磷1,R2)和磷[−C¯(−小号1,−小号2)] =−支持磷∈米(磷1,R2)和磷[−C¯(小号1,小号2)] =和磷[C(小号1,小号2)]

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Change of num´eraire

我们定义对合小号[34]（IE，小号2=我d) 在支付函数上C经过

(小号C)(s1,s2)≡s2C(1s1,1s2)
我们有

支持磷∈米(磷1,磷2)和磷[(小号C)(小号1,小号2)]=支持磷∈米(磷1,磷2)和磷[小号2C(1小号1,1小号2)] =小号0支持问∈米(小号1),磷((2))和问[C(小号¯吨1,小号¯吨2)]
在哪里小号(磷一世),一世=1,2有密度(小号F一世)(s)=1小号0s3F一世(1s)在哪里F一世的密度磷一世. 我们通过使用与离散鞅相关的 numéraire 来使用它小号吨 :

和磷[小号2C(1小号1,1小号2)]=小号0和问[C(1小号1,1小号2)]
和d问|F吨一世=小号一世小号0. 在下面问,1小号一世是离散鞅：和问[1小号2∣1小号1]=1小号1. 这种对合小号满足

(小号C)122(s1,s2)=−1s12s23C122(1s1,1s2)
并因此交换边缘有支持的左右单调鞅运输计划R+.

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Robust quantile hedging

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Robust quantile hedging

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Multi-marginals and infinitely-many marginals case

Most of the literature on OT focuses on the 2 -asset case with a payoff $c\left(s_{1}, s_{2}\right)$. For applications in mathematical finance, it is interesting to study the case of a multi-asset payoff $c\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)$ depending on $n$ assets evaluated at the same maturity. We define the $n$-asset optimal transport problem (by duality) as
$$
\mathrm{MK}{n} \equiv \sup {\mathbb{P} \in \mathcal{P}\left(\mathbb{P}^{1}, \ldots, \mathbb{P}^{n}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[c\left(S_{1}, \ldots, S_{n}\right)\right]
$$
with $\mathcal{P}\left(\mathbb{P}^{1}, \ldots, \mathbb{P}^{n}\right)=\left{\mathbb{P}: S_{i} \stackrel{\mathbb{P}}{\sim} \mathbb{P}^{i}, \forall i=1, \ldots, n\right}$. This problem has been studied by Gangbo [78] and recently by Carlier [36] (see also Pass [124]) with the following requirement on the payoff:

DEFINITION $2.4$ see [36] $c \in C^{2}$ is strictly monotone of order 2 if for all $(i, j) \in{1, \ldots, n}^{2}$ with $i \neq j$, all second order derivatives $\partial_{i j} c$ are positive.
We have

THEOREM $2.4$ see $[78,36]$
If $c$ is strictly monotone of order 2 , there exists a unique optimal transference plan for the $\mathrm{MK}{n}$ transport problem, and it has the form $$ \mathbb{P}^{*}\left(d s{1}, \ldots, d s_{n}\right)=\mathbb{P}^{1}\left(d s_{1}\right) \prod_{i=2}^{n} \delta_{T_{i}\left(s_{1}\right)}\left(d s_{i}\right), \quad T_{i}(s)=F_{i}^{-1} \circ F_{1}(s), i=2, \ldots, n
$$
The optimal upper bound is
$$
\mathrm{MK}{n}=\int c\left(x, T{2}(x), \ldots, T_{n}(x)\right) \mathbb{P}^{1}(d x)
$$
An extension to the infinite many marginals case has been obtained recently by Pass $[125]$ who studies
$$
\mathrm{MK}{\infty} \equiv \sup {\mathbb{P}: S_{\mathrm{t}} \sim \mathbb{P} t, \forall t \in(0, T]} \mathbb{E}\left[h\left(\int_{0}^{T} S_{t} d t\right)\right]
$$
where $h$ is a convex function. Let $F_{t}$ the cumulative distribution of $\mathbb{P}^{t}$. Define the stochastic process $S_{t}^{\text {opt }}(\omega)=F_{t}^{-1}(\omega), \quad \omega \in[0,1]$. The underlying probability space is the interval $[0,1]$ with Lebesgue measure.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Link with Hamilton-Jacobi equation

Here we take a cost function $c\left(s_{1}, s_{2}\right)=L\left(s_{2}-s_{1}\right)$ with $L$ a strictly concave function such that the Spence-Mirrlees condition is satisfied. From the formulation (2.8), one can link the Monge-Kantorovich formulation to the solution of a Hamilton-Jacobi equation through the Hopf-Lax formula:
PROPOSITION 2.3 see e.g. [139]
$$
\mathrm{MK}{2}=\inf {u(1, \cdot)}-\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[u\left(0, S_{1}\right)\right]+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[u\left(1, S_{2}\right)\right]
$$
where $u(0, \cdot)$ is the (viscosity) solution at $t=0$ of the following HJ equation with terminal boundary condition $u(1,-):$
$$
\partial_{t} u+H(D u)=0, \quad H(p) \equiv \inf _{q}{p q-L(q)}
$$

PROOF From the dynamic programming principle, $u$, satisfying HamiltonJacobi equation (2.21), can be written as
$$
u(t, x)=\inf {\zeta} u\left(1, x+\int{t}^{1} \dot{\zeta}(s) d s\right)-\int_{t}^{1} L(\dot{\zeta}(s)) d s
$$
The minimisation over $\dot{\zeta}$ gives that $\dot{\zeta}$ is a constant $q$ (Fréchet derivative with respect to $\dot{\zeta}$ gives the critical equation $\left.\frac{d^{2} \zeta(t)}{d t^{2}}=0\right)$.
$$
u(t, x)=\inf {q} u(1, x+q(1-t))-L(q)(1-t) $$ By setting $y=x+q(1-t)$, we get Hopf-Lax’s formula: $$ u(t, x)=\inf {y} u(1, y)-L\left(\frac{y-x}{1-t}\right)(1-t)
$$
For $t=0$, this gives that $-u(0, \cdot)$ is the L-transform of $u(1, \cdot):-u(0, x)=$ $\sup _{y} L(y-x)-u(1, y)$. We conclude with Proposition 2.1.

In the next section, we introduce a martingale version of OT, first developed in $[17,77]$ where we have obtained a Monge-Kantorovich duality result.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale optimal transport

We consider a payoff $c\left(s_{1}, s_{2}\right)$ depending on a single asset evaluated at two dates $t_{1}{2}$ : DEFINITION $2.5$ $$ \widetilde{\mathrm{MK}}{2} \equiv \inf {\mathcal{M}^{}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)} \mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\lambda{1}\left(S_{1}\right)\right]+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[\lambda_{2}\left(S_{2}\right)\right] $$ where $\mathcal{M}^{}\left(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{P}^{2}\right)$ is the set of functions $\lambda_{1} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{1}\right), \lambda_{2} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right)$ and $H$ a bounded continuous function on $\mathbb{R}{+}$such that $$ \lambda{1}\left(s_{1}\right)+\lambda_{2}\left(s_{2}\right)+H\left(s_{1}\right)\left(s_{2}-s_{1}\right) \geq c\left(s_{1}, s_{2}\right), \quad \forall\left(s_{1}, s_{2}\right) \in \mathbb{R}{+}^{2} $$ This corresponds to a semi-static hedging strategy which consists in holding European payoffs $\lambda{1}$ and $\lambda_{2}$ and applying a delta strategy at $t_{1}$, generating a

$\mathrm{P} \& \mathrm{~L} H\left(s_{1}\right)\left(s_{2}-s_{1}\right)$ at $t_{2}$ with zero cost. We could also add a term $H_{0}\left(S_{0}\right)\left(s_{1}-\right.$ $\left.S_{0}\right)$ corresponding to performing a delta-hedging at $t=0$. As this term can be incorporated into $\lambda_{1}\left(s_{1}\right)$, it is not included. Similarly, an intermediate deltahedging term $H_{i}\left(S_{0}, \ldots, s_{t_{i}}\right)\left(s_{t_{i+1}}-s_{t_{i}}\right)$ where $0<t_{i}<t_{i+1} \leq t_{2}$ can be added but it can be shown that the optimal solution is attained for $H_{i}=0$. These terms are therefore not needed and will be disregarded next (see Corollary $2.1)$

Note that in comparison with the OT MK $\mathrm{MK}{2}$ previously reported, we have $\overline{\mathrm{MK}}{2} \leq \mathrm{MK}_{2}$ due to the appearance of the function $H$.

At this point, a natural question is how the classical results in OT generalize in the present martingale version. We follow closely our introduction of OT and explain how the various concepts previously explained extend to the present setting. Our research partly originates from a systematic derivation of Skorokhod embedding solutions and understanding of particle methods for non-linear McKean stochastic differential equations appearing in the calibration of financial models (see Section 4.2.4). From a practical point of view, the derivation of these optimal bounds allows to better understand the risk of exotic options as illustrated in the next example.

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Multi-marginals and infinitely-many marginals case

大多数关于 OT 的文献都集中在具有回报的 2 资产案例上C(s1,s2). 对于数学金融中的应用，研究多资产收益的情况很有趣C(s1,…,sn)根据n在同一期限评估的资产。我们定义n-资产最优运输问题（通过对偶）为

米ķn≡支持磷∈磷(磷1,…,磷n)和磷[C(小号1,…,小号n)]
和\mathcal{P}\left(\mathbb{P}^{1}, \ldots, \mathbb{P}^{n}\right)=\left{\mathbb{P}: S_{i} \stackrel{ \mathbb{P}}{\sim} \mathbb{P}^{i}, \forall i=1, \ldots, n\right}\mathcal{P}\left(\mathbb{P}^{1}, \ldots, \mathbb{P}^{n}\right)=\left{\mathbb{P}: S_{i} \stackrel{ \mathbb{P}}{\sim} \mathbb{P}^{i}, \forall i=1, \ldots, n\right}. Gangbo [78] 和 Carlier [36] 最近已经研究了这个问题（另见 Pass [124]），对收益有以下要求：

定义2.4见[36]C∈C2如果对所有人来说是严格的 2 阶单调(一世,j)∈1,…,n2和一世≠j, 所有二阶导数∂一世jC是积极的。
我们有

定理2.4看[78,36]
如果C是严格单调的 2 阶，存在唯一的最优迁移计划米ķn运输问题，形式为

磷∗(ds1,…,dsn)=磷1(ds1)∏一世=2nd吨一世(s1)(ds一世),吨一世(s)=F一世−1∘F1(s),一世=2,…,n
最优上限是

米ķn=∫C(X,吨2(X),…,吨n(X))磷1(dX)
Pass 最近获得了对无限多边际情况的扩展[125]谁学习

米ķ∞≡支持磷:小号吨∼磷吨,∀吨∈(0,吨]和[H(∫0吨小号吨d吨)]
在哪里H是一个凸函数。让F吨的累积分布磷吨. 定义随机过程小号吨选择 (ω)=F吨−1(ω),ω∈[0,1]. 潜在的概率空间是区间[0,1]用勒贝格测度。

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这里我们取一个代价函数C(s1,s2)=大号(s2−s1)和大号满足 Spence-Mirrlees 条件的严格凹函数。从公式 (2.8)，可以通过 Hopf-Lax 公式将 Monge-Kantorovich 公式与 Hamilton-Jacobi 方程的解联系起来：
命题 2.3 参见例如 [139]

米ķ2=信息在(1,⋅)−和磷1[在(0,小号1)]+和磷2[在(1,小号2)]
在哪里在(0,⋅)是（粘度）解决方案吨=0具有终端边界条件的以下 HJ 方程的在(1,−):

∂吨在+H(D在)=0,H(p)≡信息qpq−大号(q)

证明从动态规划原理，在，满足 HamiltonJacobi 方程（2.21），可以写为

在(吨,X)=信息G在(1,X+∫吨1G˙(s)ds)−∫吨1大号(G˙(s))ds
最小化超过G˙给出了那个G˙是一个常数q（关于 Fréchet 导数G˙给出临界方程d2G(吨)d吨2=0).

在(吨,X)=信息q在(1,X+q(1−吨))−大号(q)(1−吨)通过设置是=X+q(1−吨)，我们得到 Hopf-Lax 公式：

在(吨,X)=信息是在(1,是)−大号(是−X1−吨)(1−吨)
为了吨=0，这给出了−在(0,⋅)是的 L 变换在(1,⋅):−在(0,X)= 支持是大号(是−X)−在(1,是). 我们以命题 2.1 结束。

在下一节中，我们将介绍一个鞅版本的 OT，它首先在[17,77]我们得到了 Monge-Kantorovich 对偶结果。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale optimal transport

我们认为有回报C(s1,s2)取决于在两个日期评估的单一资产吨12：定义2.5

米ķ~2≡信息米(磷1,磷2)和磷1[λ1(小号1)]+和磷2[λ2(小号2)]在哪里米(磷1,磷2)是函数集λ1∈大号1(磷1),λ2∈大号1(磷2)和H一个有界连续函数R+这样

λ1(s1)+λ2(s2)+H(s1)(s2−s1)≥C(s1,s2),∀(s1,s2)∈R+2这对应于一种半静态对冲策略，包括持有欧洲收益λ1和λ2并在吨1，生成一个

磷& 大号H(s1)(s2−s1)在吨2零成本。我们还可以添加一个术语H0(小号0)(s1− 小号0)对应于在吨=0. 因为这个词可以并入λ1(s1), 不包括在内。类似地，一个中间 deltahedging 项H一世(小号0,…,s吨一世)(s吨一世+1−s吨一世)在哪里0<吨一世<吨一世+1≤吨2可以添加，但可以证明获得了最优解H一世=0. 因此，这些术语是不需要的，接下来将被忽略（参见推论2.1)

请注意，与 OT MK 相比米ķ2之前报道过，我们有米ķ¯2≤米ķ2由于函数的出现H.

在这一点上，一个自然的问题是 OT 中的经典结果如何在当前的鞅版本中推广。我们密切关注对 OT 的介绍，并解释先前解释的各种概念如何扩展到当前环境。我们的研究部分源于对 Skorokhod 嵌入解的系统推导和对金融模型校准中出现的非线性 McKean 随机微分方程的粒子方法的理解（参见第 4.2.4 节）。从实践的角度来看，这些最优界限的推导可以更好地理解奇异期权的风险，如下一个例子所示。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Derivation of the Monge–Amp`ere equation

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Derivation of the Monge–Amp`ere equation

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Axiomatic construction of marginals: Stieltjes moment problem

We have explained previously that marginals $\mathbb{P}^{i}$ can be inferred from market values of $T$-Vanilla call/put options. However, in practice, only a finite number of strikes are quoted and therefore these liquid prices need to be interpolated and extrapolated in order to imply the marginals $\mathbb{P}^{i}$ (supported in $\mathbb{R}{+}$). We report here how this can be achieved. This problem can be framed as Stieltjes moment problem. By construction, our $T$-marginal should belong to the infinite-dimensional convex set $$ \mathcal{M}=\left{\mathbb{P}: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[S{T}\right]=S_{0}, \quad \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]=C\left(K_{i}\right) \equiv c_{i}, \quad i=1, \ldots n\right}
$$
$\mathcal{M}$ is relatively compact from Prokhorov’s theorem (See Remark 1.4). For instance, we add the technical assumption that the elements in $\mathcal{M}$ should also be compactly supported in the interval $\left[0, S_{\max }\right]$ with $S_{\max }$ large in order to get that $\mathcal{M}$ is compact. This implies that from Krein-Milman’s theorem, this set can be reconstructed from its extremal points $\operatorname{Ext}(\mathcal{M})$ :
$$
\mathcal{M}=\overline{\operatorname{Conv}(\operatorname{Ext}(\mathcal{M}))}
$$
Furthermore, from Choquet’s theorem, one can show that all arbitrage-free prices $C(K)$ can be obtained by linearly combining extremal points. They are supported by a probability measure $\mu$ on $\operatorname{Ext}(\mathcal{M})$ (probability on probability space!) and for all $K$,
$$
C(K)=\int_{\operatorname{Ext}(\mathcal{M})} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right] d \mu(\mathbb{P})
$$
Enumerating all the extremal points (and therefore elements in $\mathcal{M}$ ) is a difficult task. We follow a different route. A canonical point of $\mathcal{M}$ can be obtained by minimising a convex lower semi-continuous functional $\mathcal{F}$ :
$$
I \equiv \inf {\mathbb{P} \in \mathcal{M}} \mathcal{F}(\mathbb{P})=\mathcal{F}\left(\mathbb{P}{c_{1}, \ldots, c_{n}}^{}\right), \quad \mathbb{P}{c{1}, \ldots, c_{n}}^{} \in \mathcal{M}
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Spence–Mirrlees condition

The Spence-Mirrlees condition, i.e., $c_{12}>0$, required for the Fréchet-Hoeffding solution to hold, is very natural from a financial point of view. If we shift the payoff $c$ by some European payoffs $\Lambda_{1} \in L^{1}\left(\mathbb{P}^{1}\right), \Lambda_{2} \in L^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right)$ :
$$
\bar{c}\left(s_{1}, s_{2}\right)=c\left(s_{1}, s_{2}\right)+\Lambda_{1}\left(s_{1}\right)+\Lambda_{2}\left(s_{2}\right)
$$
then the Monge-Kantorovich bound for $\bar{c}$ should be
$$
\mathrm{MK}{2}(\bar{c})=\mathrm{MK}{2}(c)+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\Lambda_{1}\left(S_{1}\right)\right]+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[\Lambda_{2}\left(S_{2}\right)\right]
$$
as the market price of $\Lambda_{i}\left(s_{i}\right)$ is fixed by $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{x}}\left[\Lambda_{i}\left(S_{i}\right)\right]$. The payoff $\bar{c}$ is precisely invariant under the Spence-Mirrlees condition : $\bar{c}{12}=c{12}$.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mirror coupling: Co-monotone rearrangement map

Similarly, the upper bound under the condition $c_{12}<0$ is attained by the co-monotone rearrangement map $$ T\left(s_{1}\right)=F_{2}^{-1} \circ\left(1-F_{1}\left(-s_{1}\right)\right) $$ This can be obtained by applying the parity transformation $\mathcal{P}\left(s_{1}, s_{2}\right)=$ $\left(-s_{1}, s_{2}\right)$. For each measure $\mathbb{P}$ matching the marginals $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$, we can associate the measure $\mathcal{P}{} \mathbb{P}$ matching the marginals $\mathcal{P}{} \mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$ with cumulative distributions $\bar{F}{1}\left(s{1}\right) \equiv 1-F_{1}\left(-s_{1}\right)$ and $F_{2}\left(s_{2}\right)$. We conclude as the Monge-Kantorovich bounds for $c$ and $\tilde{c}\left(s_{1}, s_{2}\right) \equiv c\left(-s_{1}, s_{2}\right)$ coincides as $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[c]=\mathbb{E}^{\mathcal{P}} \mathbb{P}[\bar{c}]$. Similarly, by replacing $c$ by $-c$, we obtain that the comonotone rearrangement map gives the lower bound under the condition $c_{12}>0$
Example $2.4$ Lower bound, $c\left(s_{1}, s_{2}\right)=\left(s_{1}-K_{1}\right)+1_{s_{2}>K_{2}}$
By applying Anti-Fréchet-Hoeffding solution, the lower bound is attained by
$$
\mathrm{MK}{2}=\int{F_{2}\left(K_{2}\right)}^{\max \left(1-F_{1}\left(K_{1}\right), F_{2}\left(K_{2}\right)\right)}\left(F_{1}^{-1}(1-u)-K_{1}\right) d u
$$
with
$$
\begin{aligned}
&\lambda_{2}(x)=\left(\bar{F}{1}^{-1} \circ F{2}\left(K_{2}\right)-K_{1}\right)^{+} 1_{x>K_{2}} \
&\lambda_{1}(x)=\left(x-K_{1}\right)^{+} 1_{F_{2}^{-1} \circ F_{1}(x)>K_{2}}-\left(\bar{F}{1}^{-1} \circ F{2}\left(K_{2}\right)-K_{1}\right)^{+} 1_{F_{2}^{-1} \circ F_{1}(x)>K_{2}}
\end{aligned}
$$

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Axiomatic construction of marginals: Stieltjes moment problem

我们之前已经解释过边际磷一世可以从市场价值推断吨-香草看涨/看跌期权。然而，在实践中，只有有限数量的行使价被报价，因此这些流动价格需要被内插和外推以暗示边际磷一世（支持在R+）。我们在这里报告如何实现这一点。这个问题可以被定义为 Stieltjes 矩问题。通过建设，我们的吨-marginal 应该属于无限维凸集

\mathcal{M}=\left{\mathbb{P}: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[S{T}\right]=S_{0}, \quad \mathbb{E }^{\mathbb{P}}\left[\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]=C\left(K_{i}\right) \equiv c_{ i}, \quad i=1, \ldots n\right}\mathcal{M}=\left{\mathbb{P}: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[S{T}\right]=S_{0}, \quad \mathbb{E }^{\mathbb{P}}\left[\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]=C\left(K_{i}\right) \equiv c_{ i}, \quad i=1, \ldots n\right}
米从 Prokhorov 定理来看是相对紧凑的（参见备注 1.4）。例如，我们添加技术假设，即米也应该在区间内得到紧支撑[0,小号最大限度]和小号最大限度大为了得到那个米紧凑。这意味着根据 Krein-Milman 定理，该集合可以从其极值点重构分机⁡(米) :

米=转化率⁡(分机⁡(米))¯
此外，根据 Choquet 定理，可以证明所有无套利价格C(ķ)可以通过对极值点进行线性组合得到。它们由概率测度支持μ上分机⁡(米)（概率空间上的概率！）ķ,

C(ķ)=∫分机⁡(米)和磷[(小号吨−ķ)+]dμ(磷)
枚举所有极值点（因此米) 是一项艰巨的任务。我们走不同的路线。一个典型的点米可以通过最小化凸下半连续泛函来获得F :

我≡信息磷∈米F(磷)=F(磷C1,…,Cn),磷C1,…,Cn∈米

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Spence–Mirrlees condition

Spence-Mirrlees 条件，即C12>0从财务的角度来看，Fréchet-Hoeffding 解决方案所需的，是非常自然的。如果我们改变收益C通过一些欧洲的回报Λ1∈大号1(磷1),Λ2∈大号1(磷2):

C¯(s1,s2)=C(s1,s2)+Λ1(s1)+Λ2(s2)
然后Monge-Kantorovich开往C¯应该

米ķ2(C¯)=米ķ2(C)+和磷1[Λ1(小号1)]+和磷2[Λ2(小号2)]
作为市场价格Λ一世(s一世)由和磷X[Λ一世(小号一世)]. 回报C¯在 Spence-Mirrlees 条件下精确不变：C¯12=C12.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mirror coupling: Co-monotone rearrangement map

同样，条件下的上界C12<0通过共单调重排图获得

吨(s1)=F2−1∘(1−F1(−s1))这可以通过应用奇偶校验变换来获得磷(s1,s2)= (−s1,s2). 对于每项措施磷匹配边缘磷1和磷2，我们可以关联度量磷磷匹配边缘磷磷1和磷2具有累积分布F¯1(s1)≡1−F1(−s1)和F2(s2). 我们得出结论为 Monge-Kantorovich 界限C和C~(s1,s2)≡C(−s1,s2)恰逢和磷[C]=和磷磷[C¯]. 同样，通过替换C经过−C，我们得到comonotone重排图在条件下给出了下限C12>0
例子2.4下限，C(s1,s2)=(s1−ķ1)+1s2>ķ2
通过应用 Anti-Fréchet-Hoeffding 解，下界由
$$
\mathrm{MK} {2}=\int{F_{2}\left(K_{2}\right)}^{\max \left (1-F_{1}\left(K_{1}\right), F_{2}\left(K_{2}\right)\right)}\left(F_{1}^{-1}(1 -u)-K_{1}\right) 杜

在一世吨H

λ2(X)=(F¯1−1∘F2(ķ2)−ķ1)+1X>ķ2 λ1(X)=(X−ķ1)+1F2−1∘F1(X)>ķ2−(F¯1−1∘F2(ķ2)−ķ1)+1F2−1∘F1(X)>ķ2
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale optimal transport

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Martingale optimal transport

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Formulation in R+d and multi-dimensional marginals

The MK formulation and its dual expression remain valid when $S_{1}$ and $S_{2}$ are two random variables in $\mathbb{R}{+}^{d}$. The interpretation in mathematical finance goes as follows: let us consider a payoff $c\left(s{1}, s_{2}\right)$ depending on two groups $\left(s_{1}, s_{2}\right)$, each composed of $d$ assets. The first group is $\left(s_{1}^{1}, \ldots, s_{1}^{d}\right) \in \mathbb{R}{+}^{d}$. Knowing the distribution of $S{1} \in \mathbb{R}{+}^{d}$ is equivalent to knowing (at $t=0$ ) the market values of all basket options $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\left(S{1} \cdot \omega-K\right)^{+}\right]$for all $K \in \mathbb{R}$ and for all $\omega \in \mathbb{R}^{d}$. This equivalence can be seen by observing that basket option prices fix the Laplace transform of $S_{1}: \mathbb{E}^{P^{1}}\left[e^{\omega-S_{1}}\right]$. Although basket options are liquid only for some particular values of the weight $\omega$ (and $K)$, the values $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\left(S_{1} \cdot \omega-K\right)^{+}\right]$can be however fixed by assuming a correlation structure (more precisely a copula, denoted co below) between the variables $\left(S_{1}^{1}, \ldots, S_{1}^{d}\right)$. For example, the first group of assets (resp. second) belongs to the same financial sector and can therefore be assumed to be strongly correlated. This is not the case for the correlation structures between $S_{1}$ and $S_{2}$ which belong to two different groups and for which the correlation information is difficult to obtain. This is found through our OT formulation. By definition of the copula co, we impose that
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\lambda_{1}\left(S_{1}\right)\right] \equiv \mathbb{E}\left[\lambda_{1}\left(F_{1}^{-1}\left(U_{1}\right), \ldots F_{d}^{-1}\left(U_{d}\right)\right) \operatorname{co}\left(U_{1}, \ldots, U_{d}\right)\right]
$$
where $\left(U_{i}\right){1 \leq i \leq d}$ are $d$ independent uniform random variables and $F{i}$ is the cumulative distribution of $S_{1}^{i}$ implied from $T$-Vanilla options on $S_{1}^{i}$. Note that our discussion can be extended when $S_{1} \in \mathbb{R}{+}^{d}$ and $S{2} \in \mathbb{R}_{+}^{d^{}}$ with $d \neq d^{}$.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Fréchet-Hoeffding solution

Under the so-called Spence-Mirrlees condition, $c_{12} \equiv \partial_{s_{1} s_{2}} c>0$, OT (2.6) can be solved explicitly. Let $F_{1}, F_{2}$ denote the cumulative distribution functions of $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$. For the sake of simplicity, we will assume that $\mathbb{P}^{1}$ does not give mass to points and $c \in C^{2}$.
THEOREM $2.2$
Under $c_{12}>0$,
(i): The optimal measure $\mathbb{P}^{}$ has the form $$ \mathbb{P}^{}\left(d s_{1}, d s_{2}\right)=\delta_{T\left(s_{1}\right)}\left(d s_{2}\right) \mathbb{P}^{1}\left(d s_{1}\right)
$$
with $T$ the forward image of the measure $\mathbb{P}^{1}$ onto $\mathbb{P}^{2}: T(x)=F_{2}^{-1} \circ F_{1}(x)$.
(ii): The optimal upper bound is given by
$$
\mathrm{MK}{2}=\int{0}^{1} c\left(F_{1}^{-1}(u), F_{2}^{-1}(u)\right) d u
$$
This optimal bound can be attained by a static hedging strategy consisting in holding European payoffs $\lambda_{1} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{1}\right), \lambda_{2} \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right)$ with market prices $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\lambda_{1}\left(S_{1}\right)\right]$ and $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[\lambda_{2}\left(S_{2}\right)\right]$
$$
\mathrm{MK}{2}=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\lambda{1}\left(S_{1}\right)\right]+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[\lambda_{2}\left(S_{2}\right)\right]
$$
with
$$
\lambda_{2}(x)=\int_{0}^{x} c_{2}\left(T^{-1}(y), y\right) d y, \quad \lambda_{1}(x)=c(x, T(x))-\lambda_{2}(T(x))
$$
The value of this static European portfolio super-replicates the payoff at maturity:
$$
\lambda_{1}\left(s_{1}\right)+\lambda_{2}\left(s_{2}\right) \geq c\left(s_{1}, s_{2}\right), \quad \forall\left(s_{1}, s_{2}\right) \in \mathbb{R}{+}^{2} $$ $T$ is refereed as the Brenier map (or Fréchet-Hoeffding). Note that the above theorem requires additional conditions on $c$ in order to guarantee the integrability conditions $\lambda{1} \in L^{1}\left(\mathbb{P}^{1}\right)$ and $\lambda_{2} \in L^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right)$.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Brenier’s solution

The Fréchet-Hoeffding solution has been generalized in $\mathbb{R}^{d}$ by Brenier [29] first in the case of a quadratic cost function and then extended to concave payoff $c=c\left(s_{1}-s_{2}\right)$ by Gangbo and McCann $[79]$ and others:
THEOREM 2.3 Brenier $=c\left(s_{1}, s_{2}\right)=-\left|s_{1}-s_{2}\right|^{2} / 2$
(i): If $\mathbb{P}^{1}$ has no atoms, then there is a unique optimal $\mathbb{P}^{}$, which is a Monge solution: $$ \mathbb{P}^{}=\delta_{T\left(s_{1}\right)}\left(d s_{2}\right) \mathbb{P}^{1}\left(s_{1}\right)
$$
with $T=\nabla \lambda_{1} . \nabla \lambda_{1}$ is the unique gradient of a convex function $\lambda_{1}$.
(ii): The optimal bound is attained by a static hedging strategy with $\lambda_{2}(x)=$ $c(x, T(x))-\lambda_{1}(x)$ and $\lambda_{1}$ uniquely specified by
$$
\left(\nabla \lambda_{1}\right) # \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}
$$
The notation $T # \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}$ means that for all $U \in \mathrm{L}^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right)$ :
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[U\left(T\left(S_{1}\right)\right)\right]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[U\left(S_{2}\right)\right]
$$
If $T$ is differentiable, this condition reads
$$
|\operatorname{det} \nabla T| \mathbb{P}^{2}(T(x))=\mathbb{P}^{1}(x)
$$

This theorem has been generalized to a strictly concave, superlinear ${ }^{2}$ cost function $c\left(s_{1}, s_{2}\right)=c\left(s_{1}-s_{2}\right)$. The Brenier map is then
$$
T(x)=x-\nabla c^{}\left(\nabla \lambda_{1}(x)\right) $$ for some $c$-concave function $\lambda_{1}$ which is uniquely fixed by the requirement $T_{#} \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}$. Here $c^{} \equiv \inf _{x}{p . x-c(x)}$ is the Legendre transform of $c .$

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Formulation in R+d and multi-dimensional marginals

MK 公式及其对偶表达式在以下情况下仍然有效小号1和小号2是两个随机变量R+d. 数学金融中的解释如下：让我们考虑一个回报C(s1,s2)取决于两组(s1,s2), 每个由d资产。第一组是(s11,…,s1d)∈R+d. 了解分布情况小号1∈R+d相当于知道（在吨=0) 所有篮子期权的市值和磷1[(小号1⋅ω−ķ)+]对所有人ķ∈R并为所有人ω∈Rd. 这种等价性可以通过观察篮子期权价格固定拉普拉斯变换来看出小号1:和磷1[和ω−小号1]. 尽管篮子期权仅对某些特定的权重值具有流动性ω（和ķ)，价值和磷1[(小号1⋅ω−ķ)+]然而，可以通过假设变量之间的相关结构（更准确地说是一个 copula，在下面表示为 co）来固定(小号11,…,小号1d). 例如，第一组资产（分别是第二组）属于同一金融部门，因此可以假设它们是强相关的。之间的相关结构并非如此小号1和小号2属于两个不同的组，并且很难获得相关信息。这是通过我们的 OT 公式发现的。根据 copula co 的定义，我们强加

和磷1[λ1(小号1)]≡和[λ1(F1−1(在1),…Fd−1(在d))合作⁡(在1,…,在d)]
在哪里(在一世)1≤一世≤d是d独立的均匀随机变量和F一世是的累积分布小号1一世暗示自吨- 香草选项小号1一世. 请注意，我们的讨论可以扩展为小号1∈R+d和小号2∈R+d和d≠d.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Fréchet-Hoeffding solution

在所谓的 Spence-Mirrlees 条件下，C12≡∂s1s2C>0, OT (2.6) 可以显式求解。让F1,F2表示的累积分布函数磷1和磷2. 为了简单起见，我们假设磷1不给点质量和C∈C2.
定理2.2
在下面C12>0,
(i): 最优度量磷有形式

磷(ds1,ds2)=d吨(s1)(ds2)磷1(ds1)
和吨度量的正向图像磷1到磷2:吨(X)=F2−1∘F1(X).
(ii)：最优上限由下式给出

米ķ2=∫01C(F1−1(在),F2−1(在))d在
这种最佳界限可以通过一种静态对冲策略来实现，该策略包括持有欧洲收益λ1∈大号1(磷1),λ2∈大号1(磷2)以市场价格和磷1[λ1(小号1)]和和磷2[λ2(小号2)]

米ķ2=和磷1[λ1(小号1)]+和磷2[λ2(小号2)]
和

λ2(X)=∫0XC2(吨−1(是),是)d是,λ1(X)=C(X,吨(X))−λ2(吨(X))
这个静态欧洲投资组合的价值超级复制了到期时的回报：

λ1(s1)+λ2(s2)≥C(s1,s2),∀(s1,s2)∈R+2吨被称为 Brenier 地图（或 Fréchet-Hoeffding）。请注意，上述定理需要附加条件C为了保证可积性条件λ1∈大号1(磷1)和λ2∈大号1(磷2).

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Brenier’s solution

Fréchet-Hoeffding 解已被推广到RdBrenier [29] 首先在二次成本函数的情况下，然后扩展到凹支付C=C(s1−s2)通过 Gangbo 和 McCann[79]和其他人：
定理 2.3 布雷尼尔=C(s1,s2)=−|s1−s2|2/2
(i): 如果磷1没有原子，则存在唯一最优磷，这是一个 Monge 解决方案：

磷=d吨(s1)(ds2)磷1(s1)
和吨=∇λ1.∇λ1是凸函数的唯一梯度λ1.
(ii)：通过静态对冲策略获得最优界限λ2(X)= C(X,吨(X))−λ1(X)和λ1唯一指定的

\left(\例如 \lambda_{1}\right)#\mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}\left(\例如 \lambda_{1}\right)#\mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}
符号T # \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}T # \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}意味着对于所有人在∈大号1(磷2) :

和磷1[在(吨(小号1))]=和磷2[在(小号2)]
如果吨是可微的，这个条件读

|这⁡∇吨|磷2(吨(X))=磷1(X)

该定理已推广到严格凹的超线性2成本函数C(s1,s2)=C(s1−s2). Brenier 地图是

吨(X)=X−∇C(∇λ1(X))对于一些C-凹函数λ1这是由需求唯一确定的T_{#} \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}T_{#} \mathbb{P}^{1}=\mathbb{P}^{2}. 这里C≡信息Xp.X−C(X)是勒让德变换C.

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A cautious trader viewpoint

Posted on 2022年6月16日2022年6月16日 by statistics-lab

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A cautious trader viewpoint

Our delta-hedging strategy was a bit too simple as it consists only in buying or selling the asset at $t=0$ and holding it until the maturity. A more involved strategy is to buy (or sell) units of the asset at a date $t_{k}$ until a next date $t_{k+1}$. Let us compute the value of our delta-hedged portfolio at the maturity $T$. At $t_{k}$, the portfolio value $\pi_{t_{k}}$ is
$$
\pi_{t_{k}}=\left(\pi_{t_{k}}-H_{t_{k}} S_{t_{k}}\right)+H_{t_{k}} S_{t_{k}}
$$
where $H_{t_{k}}$ is the number of shares held at time $t_{k}$. Although this expression seems algebraically trivial, its financial interpretation is important: the term $H_{t_{k}} S_{t_{k}}$ is the value at $t_{k}$ of a position consisting of $H_{t_{k}}$ units of the asset. The term $\pi_{t_{k}}-H_{t_{k}} S_{t_{k}}$ represents the cash part invested in a bank account. The variation of our portfolio between $t_{k}$ and $t_{k+1}$ is then
$$
\begin{aligned}
\delta \pi_{t_{k}} &=\left(\pi_{t_{k}}-H_{t_{k}} S_{t_{k}}\right) r \delta t+H_{t_{k}} \delta S_{t_{k}} \
&=\pi_{t_{k}} r \delta t+H_{t_{k}}\left(\delta S_{t_{k}}-S_{t_{k}} r \delta t\right)
\end{aligned}
$$
with $\delta S_{t_{k}} \equiv S_{t_{k+1}}-S_{t_{k}}, \delta t=t_{k+1}-t_{k}$ small enough. As no cash is injected between $t_{k}$ and $t_{k+1}$, our portfolio is called self-financing. By setting $\bar{\pi}{t{k}} \equiv e^{-r t_{k}} \pi_{t_{k}}$ and $\bar{S}{t{k}} \equiv e^{-r t_{k}} S_{t_{k}}$, we obtain the variation of the discounted portfolio
$$
\delta \tilde{\pi}{t{k}}=H_{t_{k}} \delta \tilde{S}{t{k},}, \delta \tilde{S}{t{k}} \equiv \tilde{S}{t{k+1}}-\tilde{S}{t{k}}
$$
Here the state of information evolves over time and is described by a filtration $\mathcal{F}=\left(\mathcal{F}{t{1}}, \ldots, \mathcal{F}{t{n}}\right)$ where the $\sigma$-algebra $\mathcal{F}_{t}$ is the set of events that will be known to be true or false. We take here $\mathcal{F}{t{k}}=\sigma\left(S_{0}, \ldots, S_{t_{k}}\right)$ the natural filtration. $H_{k}=H_{k}\left(S_{0}, \ldots, S_{t_{k}}\right)$ is adapted, i.e., a measurable function with respect to $\mathcal{F}{t{k}}$ : we don’t look into the future. If we now assume that the trader sells an option with payoff $F_{T}$ at the price $C$ at $t=0$ and then delta-hedges his position at the intermediate dates $t_{0} \equiv 0<t_{1}<\ldots<t_{n} \equiv T$, we get
$$
e^{-r T} \pi_{T}=-e^{-r T} F_{T}+C+\sum_{k=0}^{n-1} H_{t_{k}}\left(S_{0}, \ldots, S_{t_{k}}\right) \delta \bar{S}{t{k}}
$$
By playing the same game as in Theorem 1.1, we obtain the dual expression:

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Black–Scholes replication

Here we assume some familiarity with stochastic analysis. However, this section is not needed for the rest of the book and therefore can be skipped (see however the expression of the Black-Scholes formula). We consider that $S_{t}$ is modeled by a log-normal process under $\mathbb{P}^{\text {hist. }}$ :
$$
\frac{d S_{t}}{S_{t}}=\mu d t+\sigma d W_{t}^{\mathrm{P}^{\text {hint }}}
$$
$\mathcal{M}{\infty}$ corresponds to the set of $\mathbb{Q}$-martingale measure equivalent to Phist $^{\text {. From }}$ the Girsanov theorem (see e.g. $[130]), \mathcal{M}{\infty}$ reduces to a singleton $\left{\mathbb{Q}^{\mathrm{BS}}\right}$ under which
$$
\frac{d S_{t}}{S_{t}}=r d t+\sigma d W_{t}^{\mathrm{Q}^{\mathrm{BS}}}
$$ We conclude that there is a unique arbitrage-free price (independent of $\mu$ compare with formula (1.6)):
$$
C=\mathbb{E}^{\mathrm{Q}^{\mathrm{BS}}}\left[e^{-r T} F_{T}\right]
$$
We deduce also that the payoff can be dynamically hedged:
$$
-e^{-r T} F_{T}+C+\int_{0}^{T} \partial_{S_{t}} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{\mathrm{BS}}}\left[e^{-r(T-t)} F_{T} \mid S_{t}\right] d \tilde{S}{t}=0, \quad \text { Phist }^{-a . s .} $$ Note that for a call payoff $F{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}$, we obtain the Black-Scholes formula.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Trading T-Vanilla options

We assume that $T$-Vanilla options on each asset are traded on the market. They are specified by a payoff $\lambda\left(S_{T}\right)$ at a maturity $T$. In practice, these Vanilla payoffs can be replicated by holding a strip of put/call $T$-Vanillas through the Taylor expansion formula [38]:
$$
\begin{aligned}
\lambda\left(S_{T}\right)=\lambda\left(S_{0}\right)+\lambda^{\prime}\left(S_{0}\right)\left(S_{T}-S_{0}\right) &+\int_{0}^{S_{\mathrm{a}}} \lambda^{\prime \prime}(K)\left(K-S_{T}\right)^{+} d K \
&+\int_{S_{0}}^{\infty} \lambda^{\prime \prime}(K)\left(S_{T}-K\right)^{+} d K
\end{aligned}
$$
where $\left(K-S_{T}\right)^{+}\left(\right.$resp. $\left.\left(S_{T}-K\right)^{+}\right)$is the payoff of a put (resp. call). Derivatives $\lambda^{\prime \prime}(K)$ are understood in the distribution sense. We then assume that the pricing operator $\Pi[\cdot]$ (used by market operators to value Vanillas) is linear meaning that
$$
\Pi\left[\sum_{i} \lambda_{i}\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]=\sum_{i} \lambda_{i} \Pi\left[\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]
$$

Moreover, from the no-arbitrage condition, we should have that
$$
\Pi[1]=e^{-r T}, \quad \Pi\left[S_{T}\right]=S_{0}
$$
Also, still from the no-arbitrage condition, $\Pi\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right]$should be nonincreasing, convex with respect to $K$ and $\Pi\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right] \geq\left(S_{0}-K e^{-r T}\right)^{+}$. From Riesz’s representation theorem (with the additional requirement that the market price of a call option with strike $K$ goes to 0 as $K \rightarrow \infty$ ), this implies that there exists a probability $\mathbb{P}^{m k t}$ such that
$$
C(K) \equiv \Pi\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\mathrm{mkt}}}\left[e^{-r T}\left(S_{T}-K\right)^{+}\right]
$$
with $\mathbb{E}^{\text {prkt }}\left[e^{-r T} S_{T}\right]=S_{0}$.
Below and in the rest of the book, for the sake of simplicity, we take $r=0$. This can be easily relaxed by including in the formulas below a multiplicative factor $e^{-r T}$.

From the linear property, the market price of the payoff $\lambda\left(S_{T}\right)$, inferred from market prices of put/call options, is
$$
\begin{aligned}
\Pi\left[\lambda\left(S_{T}\right)\right]=\mathbb{E}^{\mathrm{P}^{\mathrm{mkt}}}\left[\lambda\left(S_{T}\right)\right] &=\lambda\left(S_{0}\right)+\int_{0}^{S_{0}} \lambda^{\prime \prime}(K) \mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\mathrm{mkt}}}\left[\left(K-S_{T}\right)^{+}\right] d K \
&+\int_{S_{0}}^{\infty} \lambda^{\prime \prime}(K) \mathbb{E}^{\mathrm{P}^{\mathrm{mkt}}}\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right] d K
\end{aligned}
$$

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A cautious trader viewpoint

我们的 delta 对冲策略有点过于简单，因为它只包含在吨=0并持有至到期。一个更复杂的策略是在某个日期购买（或出售）资产单位吨ķ直到下一个日期吨ķ+1. 让我们计算到期时我们的 delta 对冲投资组合的价值吨. 在吨ķ, 投资组合价值圆周率吨ķ是

圆周率吨ķ=(圆周率吨ķ−H吨ķ小号吨ķ)+H吨ķ小号吨ķ
在哪里H吨ķ是当时持有的股份数量吨ķ. 尽管这个表达式在代数上看起来微不足道，但它的财务解释很重要：H吨ķ小号吨ķ是值吨ķ的位置包括H吨ķ资产单位。期限圆周率吨ķ−H吨ķ小号吨ķ表示投资于银行账户的现金部分。我们的投资组合在吨ķ和吨ķ+1那么是

d圆周率吨ķ=(圆周率吨ķ−H吨ķ小号吨ķ)rd吨+H吨ķd小号吨ķ =圆周率吨ķrd吨+H吨ķ(d小号吨ķ−小号吨ķrd吨)
和d小号吨ķ≡小号吨ķ+1−小号吨ķ,d吨=吨ķ+1−吨ķ足够小。由于没有现金注入吨ķ和吨ķ+1，我们的投资组合称为自筹资金。通过设置圆周率¯吨ķ≡和−r吨ķ圆周率吨ķ和小号¯吨ķ≡和−r吨ķ小号吨ķ，我们得到贴现投资组合的变化

d圆周率~吨ķ=H吨ķd小号~吨ķ,,d小号~吨ķ≡小号~吨ķ+1−小号~吨ķ
在这里，信息状态随着时间的推移而演变，并通过过滤来描述F=(F吨1,…,F吨n)在哪里σ-代数F吨是一组已知为真或假的事件。我们把这里F吨ķ=σ(小号0,…,小号吨ķ)自然过滤。Hķ=Hķ(小号0,…,小号吨ķ)被适配，即，一个可测量的函数F吨ķ: 我们不展望未来。如果我们现在假设交易者卖出有收益的期权F吨以价格C在吨=0然后在中间日期对冲他的头寸吨0≡0<吨1<…<吨n≡吨，我们得到

和−r吨圆周率吨=−和−r吨F吨+C+∑ķ=0n−1H吨ķ(小号0,…,小号吨ķ)d小号¯吨ķ
通过玩与定理 1.1 相同的游戏，我们得到对偶表达式：

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Black–Scholes replication

在这里，我们假设您熟悉随机分析。但是，本书的其余部分不需要此部分，因此可以跳过（但请参见 Black-Scholes 公式的表达式）。我们认为小号吨由下的对数正态过程建模磷历史。 :

d小号吨小号吨=μd吨+σd在吨磷暗示
米∞对应的集合问- 鞅测度等价于 Phist. 从 Girsanov 定理（参见例如[130]),米∞减少为单例\left{\mathbb{Q}^{\mathrm{BS}}\right}\left{\mathbb{Q}^{\mathrm{BS}}\right}在这之下

d小号吨小号吨=rd吨+σd在吨问乙小号我们得出结论，存在一个独特的无套利价格（独立于μ与公式（1.6）比较）：

C=和问乙小号[和−r吨F吨]
我们还推断，收益可以动态对冲：

−和−r吨F吨+C+∫0吨∂小号吨和问乙小号[和−r(吨−吨)F吨∣小号吨]d小号~吨=0, 费斯特 −一个.s.请注意，对于电话收益F吨=(小号吨−ķ)+，我们得到 Black-Scholes 公式。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Trading T-Vanilla options

我们假设吨-每种资产的普通期权在市场上交易。它们由收益指定λ(小号吨)在成熟时吨. 在实践中，这些普通的收益可以通过持有一条看跌/看涨期权来复制吨-香草通过泰勒展开公式[38]：

λ(小号吨)=λ(小号0)+λ′(小号0)(小号吨−小号0)+∫0小号一个λ′′(ķ)(ķ−小号吨)+dķ +∫小号0∞λ′′(ķ)(小号吨−ķ)+dķ
在哪里(ķ−小号吨)+(分别(小号吨−ķ)+)是看跌期权（分别是看涨期权）的收益。衍生品λ′′(ķ)从分布的意义上理解。然后我们假设定价算子圆周率[⋅]（由市场运营商用来评估香草）是线性的意思是

圆周率[∑一世λ一世(小号吨−ķ一世)+]=∑一世λ一世圆周率[(小号吨−ķ一世)+]

此外，从无套利条件来看，我们应该有

圆周率[1]=和−r吨,圆周率[小号吨]=小号0
此外，仍然从无套利条件出发，圆周率[(小号吨−ķ)+]应该是非增加的，凸的ķ和圆周率[(小号吨−ķ)+]≥(小号0−ķ和−r吨)+. 来自 Riesz 的表示定理（附加要求是具有行使价的看涨期权的市场价格ķ变为 0 为ķ→∞)，这意味着存在概率磷米ķ吨这样

C(ķ)≡圆周率[(小号吨−ķ)+]=和磷米ķ吨[和−r吨(小号吨−ķ)+]
和和prkt [和−r吨小号吨]=小号0.
下面和本书的其余部分，为了简单起见，我们取r=0. 这可以通过在下面的公式中包含一个乘法因子来轻松放宽和−r吨.

从线性属性，收益的市场价格λ(小号吨)，从看跌/看涨期权的市场价格推断，是

圆周率[λ(小号吨)]=和磷米ķ吨[λ(小号吨)]=λ(小号0)+∫0小号0λ′′(ķ)和磷米ķ吨[(ķ−小号吨)+]dķ +∫小号0∞λ′′(ķ)和磷米ķ吨[(小号吨−ķ)+]dķ

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Replication paradigm

Posted on 2022年6月16日2022年6月16日 by statistics-lab

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Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Replication paradigm

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mean-variance: Quadratic programming

By choosing a log-normal distribution (with drift $\mu$ and volatility $\sigma$ ) for $\mathbb{P}^{\text {hist }}$, we can show that the seller’s super-replication price of a call option is $S_{0}$. The reader should remark that from Jensen’s inequality we have also for all $\mathbb{Q} \in \mathcal{M}{1}$, $$ C{\mathrm{buy}}=\left(S_{0}-K e^{-r T}\right)^{+} \leq \mathbb{E}^{Q}\left[e^{-r T}\left(S_{T}-K\right)^{+}\right] \leq C_{\mathrm{sel}}=S_{0}
$$
This seller super-replication’s price is very expensive as it is identical to the price of a forward contract that it is the option that delivers $S_{T}$ at the maturity. It is therefore fairly unexpected that a (reasonable) client is willing to accept to pay a call option at the same price as a forward contract for which the payoff super-replicates at maturity those of a call option $\left(S_{T}-K\right)^{+} \leq S_{T}$. In this section, we disregard the super-replication approach in this respect and fix $C$ and $H$ such that the variance of $\pi_{T}$ for a payoff $F_{T}$ is minimised under the constraint $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hist }}}\left[\pi_{T}\right]=0$ (i.e., fixed return):

DEFINITION 1.8 Mean-variance hedging The mean-variance hedging is defined as the following quadratic programming problem:
$$
P_{\text {quad }} \equiv \inf {C, H \text { s.t. } \mathbb{E}^{\text {phiat }}}[\pi T]=0 \mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hiat }}}\left[\pi{T}^{2}\right]
$$
As the cost $\mathbb{E}^{\mathrm{Phist}^{h}}\left[\pi_{T}^{2}\right]$ (resp. the constraint $\mathbb{E}^{\mathrm{Ph}^{\text {int }}}\left[\pi_{T}\right]=0$ ) is a quadratic (resp. linear) form with respect to $C$ and $H,(1.16)$ defines a quadratic programming problem. The constraint $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hint }}}\left[\pi_{T}\right]=0$ gives
$$
C_{\text {quad }}=e^{-r T} \mathbb{E}^{\mathrm{p}^{\text {hint }}}\left[F_{T}\right]-H \mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hiat }}}\left[\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right)\right]
$$
where $C_{\text {quad }}$ is the minimizer in (1.16). The first term corresponds to our insurance price $C_{\text {ins. }}$. Computing the infimum over $H$ of $E\left[\pi_{T}^{2}\right]$ with $C=C_{\text {quad }}$, we obtain
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hint }}}\left[\pi_{T}\left(S_{T}-\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hist }}}\left[S_{T}\right]\right)\right]=0
$$
where we have used $e^{-r T} \partial_{H} \pi_{T}=e^{-r T}\left(S_{T}-\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{\text {hist }}}\left[S_{T}\right]\right)$. This is equivalent to
Finally,

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Quantile hedging

Quantile hedging consists in replacing Definition $1.1$ of the seller’s price by the following:
$$
C_{p}=\inf \left{C: \exists H \text { s.t. } \mathbb{P h}^{\text {ist }}\left[\pi_{T} \geq 0\right] \geq p\right.
$$
and $C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}-$ a.s. $}$
$p \in[0,1]$ is interpreted as the probability of super-replicating the claim $F_{T}$ under the historical measure. Here we have added the constraint that the trader’s portfolio should be greater than a threshold $-L$ :
$$
C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq-L
$$
For convenience, we have chosen $L=0$, this can be easily modified.
By definition, $C_{1}=C_{\text {sel }}$, the super-replication price for $F_{T} \geq 0$. $C_{\text {sel }}$ can be very high – recall for instance that the super-replication price of a call option equals $S_{0}$. In the quantile hedging approach, we only impose that the payoff can be super-replicated with a probability $p$. In their seminal paper [75], Föllmer and Leukert show that the corresponding optimal strategy consists in superhedging a modified payoff. More precisely, we have.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Utility indifference price

We introduce an utility function $U$, which is strictly increasing and concave. We consider the value $u(x, 0)$ of the supremum over all hedging portfolios starting from the initial capital $x$ of the expectation of the utility of the discounted final wealth under the historical measure $\mathbb{P}^{h i s t}$ :
$$
u(x, 0) \equiv \sup {H} \mathbb{E}^{\mathrm{P}^{\text {hint }}}\left[U\left(x-H\left(e^{-r T} S{T}-S_{0}\right)\right)\right]
$$
Similarly, the value $u\left(x-C, F_{T}\right)$ is defined for a claim $F_{T}$ as
$$
u\left(x-C, F_{T}\right) \equiv \sup {H} \mathbb{E}^{\mathbb{P h}^{\mathrm{iixt}}}\leftU\left(x-C+e^{-r T} F{T}-H\left(e^{-r T} S_{T}-S_{0}\right)\right)\right
$$
The utility indifference buyer’s price, as introduced by Hodges-Neuberger $[107]$, is the quantity $C_{\mathrm{HN}}$ such that
DEFINITION 1.10 Utility indifference buyer’s price
$$
u(x, 0)=u\left(x-C_{\mathrm{HN}}, F_{T}\right)
$$
This means that a buyer should accept quoting a price for the claim $F_{T}$ when buying and delta-hedging this derivative becomes as profitable as setting up a pure delta strategy. The expression $u\left(x-C, F_{T}\right)$ can be dualized into
THEOREM $1.5$
$$
u\left(x-C, F_{T}\right)=\inf {\mathbb{Q} \in \mathcal{M}{1}} \mathbb{E}^{\mathrm{Q}}\left[\left(e^{-r T^{T}} F_{T}+x-C\right)+\frac{d \mathbb{P}^{\text {Pist }}}{d \mathbb{Q}} U^{}\left(\frac{d \mathbb{Q}}{d P^{2} i s t}\right)\right] $$ with $U^{}(p) \equiv \sup {x \in \mathbb{R}}{U(x)-p x}$ the Legendre-Fenchel transform of $U$. The functions $U$ and $U^{}$ also satisfy the conjugate relation: $U(x)=\inf {p \in \mathbb{R}_{+}}{p x+$ $\left.U^{}(p)\right}$

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mean-variance: Quadratic programming

通过选择对数正态分布（有漂移μ和波动性σ）为了磷历史，我们可以证明卖方的看涨期权的超复制价格为小号0. 读者应该注意到，从 Jensen 的不等式中，我们也为所有问∈米1,

Cb在是=(小号0−ķ和−r吨)+≤和问[和−r吨(小号吨−ķ)+]≤Cs和l=小号0
该卖方超级复制的价格非常昂贵，因为它与远期合约的价格相同，它是交付的期权小号吨在成熟期。因此，相当出乎意料的是，（合理的）客户愿意以与远期合约相同的价格支付看涨期权，而远期合约的收益在到期时超级复制看涨期权的价格(小号吨−ķ)+≤小号吨. 在本节中，我们在这方面忽略了超级复制方法并修复C和H使得方差圆周率吨为了回报F吨在约束下最小化和磷历史 [圆周率吨]=0（即固定回报）：

定义 1.8 均值方差对冲均值方差对冲定义为以下二次规划问题：

磷四边形 ≡信息C,H 英石和扫 [圆周率吨]=0和磷嗨 [圆周率吨2]
作为成本和磷H一世s吨H[圆周率吨2]（分别是约束和磷H整数 [圆周率吨]=0) 是关于C和H,(1.16)定义二次规划问题。约束和磷暗示 [圆周率吨]=0给

C四边形 =和−r吨和p暗示 [F吨]−H和磷嗨 [(小号吨和−r吨−小号0)]
在哪里C四边形是 (1.16) 中的最小值。第一项对应我们的保险价格Cins。 . 计算下确界H的和[圆周率吨2]和C=C四边形，我们获得

和磷暗示 [圆周率吨(小号吨−和磷历史 [小号吨])]=0
我们用过的地方和−r吨∂H圆周率吨=和−r吨(小号吨−和磷历史 [小号吨]). 这相当于
最终，

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Quantile hedging

分位数套期保值在于替换定义1.1卖方的价格由以下：

C_{p}=\inf \left{C: \exists H \text { st } \mathbb{P h}^{\text {ist }}\left[\pi_{T} \geq 0\right] \geq p\对。$$ 和 $C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}-$因为 $}$ $p \in[0,1]$ 被解释为在历史度量下超级复制声明 $F_{T}$ 的概率。在这里，我们添加了交易者的投资组合应大于阈值 $-L$ 的约束：C_{p}=\inf \left{C: \exists H \text { st } \mathbb{P h}^{\text {ist }}\left[\pi_{T} \geq 0\right] \geq p\对。$$ 和 $C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq 0, \quad \mathbb{P}^{\text {hist }}-$因为 $}$ $p \in[0,1]$ 被解释为在历史度量下超级复制声明 $F_{T}$ 的概率。在这里，我们添加了交易者的投资组合应大于阈值 $-L$ 的约束：
C+H\left(S_{T} e^{-r T}-S_{0}\right) \geq-L
$$
为方便起见，我们选择大号=0, 这可以很容易地修改。
根据定义，C1=C这个，超复制价格为F吨≥0. C这个可能非常高——例如，看涨期权的超复制价格等于小号0. 在分位数对冲方法中，我们只强加收益可以以一定的概率进行超级复制p. 在他们的开创性论文 [75] 中，Föllmer 和 Leukert 表明，相应的最优策略包括对修改后的收益进行超对冲。更准确地说，我们有。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Utility indifference price

我们引入一个效用函数在，它是严格递增和凹的。我们考虑价值在(X,0)从初始资本开始的所有套期保值投资组合的上限X在历史测度下，折现后的最终财富的效用预期磷H一世s吨 :

在(X,0)≡支持H和磷暗示 [在(X−H(和−r吨小号吨−小号0))]
同样，值在(X−C,F吨)为索赔定义F吨as
$$
u\left(xC, F_{T}\right) \equiv \sup {H} \mathbb{E}^{\mathbb{P h}^{\mathrm{iixt}}}\left U\left (x-C+e^{-r T} F{T}-H\left(e^{-r T} S_{T}-S_{0}\right)\right)\right

吨H和在吨一世l一世吨是一世nd一世FF和r和nC和b在是和r′spr一世C和,一个s一世n吨r○d在C和db是H○dG和s−ñ和在b和rG和r$[107]$,一世s吨H和q在一个n吨一世吨是$CHñ$s在CH吨H一个吨D和F我ñ我吨我○ñ1.10在吨一世l一世吨是一世nd一世FF和r和nC和b在是和r′spr一世C和
u(x, 0)=u\left(x-C_{\mathrm{HN}}, F_{T}\right)

吨H一世s米和一个ns吨H一个吨一个b在是和rsH○在ld一个CC和p吨q在○吨一世nG一个pr一世C和F○r吨H和Cl一个一世米$F吨$在H和nb在是一世nG一个ndd和l吨一个−H和dG一世nG吨H一世sd和r一世在一个吨一世在和b和C○米和s一个spr○F一世吨一个bl和一个ss和吨吨一世nG在p一个p在r和d和l吨一个s吨r一个吨和G是.吨H和和Xpr和ss一世○n$在(X−C,F吨)$C一个nb和d在一个l一世和和d一世n吨○吨H和○R和米$1.5$
u\left(xC, F_{T}\right)=\inf {\mathbb{Q} \in \mathcal{M}{1}} \mathbb{E}^{\mathrm{Q}}\left[\左(e^{-r T^{T}} F_{T}+xC\right)+\frac{d \mathbb{P}^{\text {Pist }}}{d \mathbb{Q}} U ^{}\left(\frac{d \mathbb{Q}}{d P^{2} ist}\right)\right] $$ 与在(p)≡支持X∈R在(X)−pXLegendre-Fenchel 变换在. 功能在和在也满足共轭关系：U(x)=\inf {p \in \mathbb{R}_{+}}{p x+$ $\left.U^{}(p)\right}

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