物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|PHYS14
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物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Basic Operations with Qubits
Consider basic operations with qubits.
A quantum gate effect on qubit $|\psi\rangle$ occurs by applying the quantum-mechanical operator, e.g. $U|\psi\rangle[1-3]$. Operators can be represented as unitary matrices. In particular, the evolution of a single qubit is described by a unitary matrix of size $2 \times 2$
The consistent application of a number of operators $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}$ to one qubit is equivalent to the effect of some operator $W$ in the form
$$
W|\psi\rangle=U_{n}\left(U_{n-1}\left(\ldots\left(U_{2}\left(U_{1}|\psi\rangle\right)\right) \ldots\right)\right)=\left(U_{1} U_{2} \ldots U_{n}\right)|\psi\rangle
$$
Its matrix $M_{W}$ is a product of matrices of $U_{i}, i=1,2, \ldots, n$, in the reverse order [4]:
$$
M_{W}=M_{U_{n}} M_{U_{n-1}} \ldots M_{U_{1}} .
$$
Such an operator $W$ is called a product of operators $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}$. Due to the noncommutativity of the matrix multiplication operation, the order in which quantum gates are applied is generally important.
Example 3.1 Let us show that the application of the operator $\sigma_{3}$ (see definition (2.1)) to a qubit in the state $|\psi\rangle=u|0\rangle+v|1\rangle$ brings it to the state $\left|\psi^{\prime}\right\rangle=u|0\rangle-v|1\rangle$.
Proof.
Write a qubit $|\psi\rangle$ in matrix notation:
$$
|\psi\rangle=\left[\begin{array}{l}
u \
v
\end{array}\right] \text {. }
$$
Let us define the action of $\sigma_{3}$ on this quantum state:
$$
\left|\psi^{\prime}\right\rangle=\sigma_{3}\left[\begin{array}{l}
u \
v
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \
0 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
u \
v
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
u \
-v
\end{array}\right]=u\left[\begin{array}{l}
1 \
0
\end{array}\right]-v\left[\begin{array}{l}
0 \
1
\end{array}\right]=u|0\rangle-v|1\rangle \text {. }
$$
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|The graphic representation of quantum operations
The graphic representation of quantum operations in the form of circuits or diagrams (quantum circuits) is widely used.
A quantum circuit, or network, is an ordered sequence of elements and communication lines connecting them, i.e. wires. Usually, only acyclic circuits are considered in which data flow in one direction-from left to right, and the wires do not return bits to the previous position in the circuit. Input states are attributed to the wires coming from the left. In one time step, each wire may enter data in no more than one gate. The output states are read from the communication lines coming out of the circuit on the right.
As you can see, the circuit solves a problem of a fixed size. Unlike the quantum circuit, quantum algorithms are defined for input data of any size [5].
A quantum-mechanical operator $U$, which converts a one-qubit gate, is presented as follows:
$$
\left|\psi_{\text {in }}\right\rangle-U
$$
The sequence of the quantum algorithm steps corresponds to the direction on the circuit from left to right.
Table $3.1$ lists the frequently used gates that convert one qubit and the matrix notations of these gates.
Let us show the computation method of the quantum operation matrix based on its effect on basis vectors.
The Hadamard ${ }^{1}$ gate converts the system state in accordance with the rule:
$$
\begin{aligned}
&|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle), \
&|1\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) .
\end{aligned}
$$
Consequently, the arbitrary state $|\psi\rangle$ will change in this case as follows:
$$
\begin{aligned}
|\psi\rangle &=\left[\begin{array}{c}
u \
v
\end{array}\right]=u\left[\begin{array}{l}
1 \
0
\end{array}\right]+v\left[\begin{array}{l}
0 \
1
\end{array}\right] \
& \rightarrow u \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)+v \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \
1 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
u \
v
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
Thus, the Hadamard gate, or the Hadamard element, corresponds to the matrix $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \ 1 & -1\end{array}\right]$.
Of course, to execute complex algorithms, the qubits must interact with each other and exchange information. In this regard, logical operations involving two or more qubits are of special importance. In Table $3.2$ are listed the most important gates that transform the state of two qubits.
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|The following quantum state is set
$$
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\mathrm{i} \varphi}|1\rangle,
$$
where $\varphi$ is a real number. Let us define the result of measuring this state in bases $B_{1}=$ ${|0\rangle,|1\rangle}$ and $B_{2}={|+\rangle,|-\rangle}$, where $|+\rangle=\frac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle)$ and $|-\rangle=\frac{1}{2}(|0\rangle-|1\rangle)$.
Solution.
First of all, we consider the basis $B_{1}$. According to the measurement postulate (see Appendix A on page 105), the probabilities of getting 0 or 1 as a result of the measurement of the state $u|0\rangle+v|1\rangle$ is equal to $|u|^{2}$ and $|v|^{2}$, respectively. In our example, $u=\frac{1}{\sqrt{2}}$ and $v=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \varphi}$, therefore the result of the measurement of $M$ is
$$
M=\left{\begin{array}{l}
0 \text { with a probability of } p_{0}=\frac{1}{2}, \
1 \text { with a probability of } p_{1}=\frac{1}{2}
\end{array}\right.
$$
Note that information about the value of $\varphi$ using a measurement in the basis $B_{1}$ cannot be obtained.
Let us turn to measurement using the second basis $B_{2}={|+\rangle,|-\rangle}$. We express the vectors of the computational basis through $|+\rangle$ and $|-\rangle}$ :
$$
\begin{aligned}
|0\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle+|-\rangle), \
|1\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle+|-\rangle) .
\end{aligned}
$$
In this regard, we obtain
$$
\begin{aligned}
|\psi\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\mathrm{i} \varphi}|1\rangle \
&=\frac{1}{2}(|+\rangle+|-\rangle)+\frac{1}{2} e^{\mathrm{i} \varphi}(|+\rangle+|-\rangle) \
&=\frac{1}{2}\left(1+e^{\mathrm{i} \varphi}\right)|+\rangle+\frac{1}{2}\left(1-e^{\mathrm{i} \varphi}\right)|-\rangle .
\end{aligned}
$$
The probability of finding the system in the state $|+\rangle$ is
$$
\begin{aligned}
p_{+} &=\frac{1}{2}\left(1+e^{\mathrm{i} \varphi}\right) \times\left(\frac{1}{2}\left(1+e^{\mathrm{i} \varphi}\right)\right)^{*} \
&=\frac{1}{4}\left(1+e^{\mathrm{i} \varphi}\right)\left(1+e^{-\mathrm{i} \varphi}\right)=\frac{1}{4}\left(2+e^{\mathrm{i} \varphi}+e^{-\mathrm{i} \varphi}\right)
\end{aligned}
$$
量子计算代考
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Basic Operations with Qubits
考虑使用量子比特的基本操作。
量子比特上的量子门效应 $|\psi\rangle$ 通过应用量子力学算子发生，例如 $U|\psi\rangle[1-3]$. 运算符可以表示为酉矩阵。特别是， 单个量子比特的演化由大小的酉矩阵描述 $2 \times 2$
多个算子的一致应用 $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}$ 一个量子比特相当于某个算子的效果 $W$ 在表格中
$$
W|\psi\rangle=U_{n}\left(U_{n-1}\left(\ldots\left(U_{2}\left(U_{1}|\psi\rangle\right)\right) \ldots\right)\right)=\left(U_{1} U_{2} \ldots U_{n}\right)|\psi\rangle
$$
它的矩阵 $M_{W}$ 是矩阵的乘积 $U_{i}, i=1,2, \ldots, n$ ，以相反的顺序 $[4]$ :
$$
M_{W}=M_{U_{n}} M_{U_{n-1}} \ldots M_{U_{1}} .
$$
这样的运营商 $W$ 被称为算子的乘积 $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}$. 由于矩阵乘法运算的不可交换性，应用量子门的顺序通常很 重要。
示例 $3.1$ 让我们展示运算符的应用 $\sigma_{3}$ (见定义 (2.1) ) 到一个量子比特的状态 $|\psi\rangle=u|0\rangle+v|1\rangle$ 把它带到国家 $\left|\psi^{\prime}\right\rangle=u|0\rangle-v|1\rangle$.
证明。
写一个量子位 $|\psi\rangle$ 在矩阵表示法中:
$$
|\psi\rangle=[u v] .
$$
让我们定义 $\sigma_{3}$ 在这个量子态上:
$$
\left|\psi^{\prime}\right\rangle=\sigma_{3}\left[\begin{array}{ll}
u & v
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
u & v
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
u-v
\end{array}\right]=u\left[\begin{array}{ll}
1 & 0
\end{array}\right]-v\left[\begin{array}{ll}
0 & 1
\end{array}\right]=u|0\rangle-v|1\rangle .
$$
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|The graphic representation of quantum operations
以电路或图表（量子电路）形式的量子操作的图形表示被广泛使用。
量子电路或网络是有序的元素序列和连接它们的通信线路，即电线。通常，只考虑非循环电路，其中数据沿一个方 向流动一一从左到右，并且线路不会将位返回到电路中的先前位置。输入状态归因于来自左侧的电线。在一个时间 步长中，每条线可以在不超过一个门中输入数据。输出状态从右侧电路的通信线路中读取。
如您所见，该电路解决了固定尺寸的问题。与量子电路不同，量子算法是为任何大小的输入数据定义的 [5]。
量子力学算子 $U ，$ 它转换一个量子比特门，如下所示:
$$
\left|\psi_{\text {in }}\right\rangle-U
$$
量子算法步骙的顺序对应于电路上从左到右的方向。
桌子 $3.1$ 列出了转换一个量子比特的常用门以及这些门的矩阵符号。
让我们展示基于其对基向量的影响的量子运算矩阵的计算方法。 哈达玛 ${ }^{1}$ Gate 按照规则转换系统状态:
$$
|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle), \quad|1\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) .
$$
因此，任意状态 $|\psi\rangle$ 在这种情况下会发生如下变化:
$$
|\psi\rangle=[u v]=u\left[\begin{array}{ll}
1 & 0
\end{array}\right]+v\left[\begin{array}{ll}
0 & 1
\end{array}\right] \quad \rightarrow u \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)+v \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{llll}
1 & 1 & -1
\end{array}\right][u v]
$$
因此，Hadamard 门或 Hadamard 元素对应于矩阵 $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right.$
当然，要执行复杂的算法，量子位必须相互交互并交换信息。在这方面，涉及两个或更多量子位的逻辑操作特别重 要。在表中 $3.2$ 列出了转换两个量子位状态的最重要的门。
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|The following quantum state is set
$$
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\mathrm{i} \varphi}|1\rangle
$$
在哪里 $\varphi$ 是一个实数。让我们定义以碱基为单位测量此状态的结果 $B_{1}=|0\rangle,|1\rangle$ 和 $B_{2}=|+\rangle,|-\rangle$ ，在哪里 $|+\rangle=\frac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle)$ 和 $|-\rangle=\frac{1}{2}(|0\rangle-|1\rangle) .$
解决方案。
首先，我们考虑基础 $B_{1}$. 根据测量假设（参见第 105 页的附录 $A$ )，作为状态测量的结果得到 0 或 1 的概率 $u|0\rangle+v|1\rangle$ 等于 $|u|^{2}$ 和 $|v|^{2}$ ，分别。在我们的示例中， $u=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 和 $v=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \varphi}$ ，因此测量的结果 $M$ 是 $\$ \$$
$M=V l e f t{$
0 with a probability of $p_{0}=\frac{1}{2}, 1$ with a probability of $p_{1}=\frac{1}{2}$
正确的。
$\$ \$$
注意关于值的信息 $\varphi$ 在基础中使用测量 $B_{1}$ 无法获得。
让我们转向使用第二个基础进行测量 $B_{2}=|+\rangle,|-\rangle$. 我们通过以下方式表达计算基础的向量 $|+\rangle$ 和 $\mid$ – Irangle} :
$$
|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle+|-\rangle),|1\rangle \quad=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle+|-\rangle) .
$$
在这方面，我们得到
$$
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\mathrm{i} \varphi}|1\rangle \quad=\frac{1}{2}(|+\rangle+|-\rangle)+\frac{1}{2} e^{\mathrm{i} \varphi}(|+\rangle+|-\rangle)=\frac{1}{2}\left(1+e^{\mathrm{i} \varphi}\right)|+\rangle+\frac{1}{2}\left(1-e^{\mathrm{i} \varphi}\right)
$$
在该状态下找到系统的概率 $|+\rangle$ 是
$$
p_{+}=\frac{1}{2}\left(1+e^{\mathrm{i} \varphi}\right) \times\left(\frac{1}{2}\left(1+e^{\mathrm{i} \varphi}\right)\right)^{*}=\frac{1}{4}\left(1+e^{\mathrm{i} \varphi}\right)\left(1+e^{-\mathrm{i} \varphi}\right)=\frac{1}{4}\left(2+e^{\mathrm{i} \varphi}+e^{-\mathrm{i} \varphi}\right)
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
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时间序列分析代写
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回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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