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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Enthalpy

Posted on 2023年5月15日2023年5月15日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写热力学Thermodynamics 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。热力学Thermodynamics是物理学的一个分支，涉及热、功和温度，以及它们与能量、熵以及物质和辐射的物理特性的关系。这些数量的行为受热力学四大定律的制约，这些定律使用可测量的宏观物理量来传达定量描述，但可以用统计力学的微观成分来解释。热力学适用于科学和工程中的各种主题，特别是物理化学、生物化学、化学工程和机械工程，但也适用于其他复杂领域，如气象学。

热力学Thermodynamics从历史上看，热力学的发展源于提高早期蒸汽机效率的愿望，特别是通过法国物理学家萨迪-卡诺（1824年）的工作，他认为发动机的效率是可以帮助法国赢得拿破仑战争的关键。苏格兰-爱尔兰物理学家开尔文勋爵在1854年首次提出了热力学的简明定义，其中指出：”热力学是关于热与作用在身体相邻部分之间的力的关系，以及热与电的关系的课题。” 鲁道夫-克劳修斯重述了被称为卡诺循环的卡诺原理，为热学理论提供了更真实、更健全的基础。他最重要的论文《论热的运动力》发表于1850年，首次提出了热力学的第二定律。1865年，他提出了熵的概念。1870年，他提出了适用于热的维拉尔定理。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写热力学thermodynamics方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写热力学thermodynamics代写方面经验极为丰富，各种代写热力学thermodynamics相关的作业也就用不着说。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Enthalpy

Many thermodynamic processes involve a fluid flowing through a device and undergoing a change in internal energy. Any time a fluid flows into a system, it does work on the system, and any time a fluid flows out of a system, the system does work on the fluid. This occurs when hot water flows though an automobile radiator, for example. The work associated with the fluid flowing into or out of the system is represented by the product of the pressure $(P)$ and the volume $(V)$ of the fluid. This happens in so many situations that a new property, enthalpy $(H)$, is used to combine the change in internal energy with this flow work, to make calculations more convenient. Enthalpy is defined by the following equation: $H=U+P V$. The units for enthalpy are the same as those for internal energy. The units for the pressure-volume $(P V)$ product in the Sl system are kilopascals-cubic meter $\left(\mathrm{kPa} \cdot \mathrm{m}^3\right)$ which is equivalent to kilojoules $(\mathrm{kJ})$. You use enthalpy on thermodynamic systems such as turbines, compressors, nozzles, and heat exchangers. I discuss these nifty devices in Chapter
Specific heat
Whether you watch it or not, a large pot of water on the stove can take a long time to reach a boil. A thermodynamic property called specific heat determines how much a material heats up if you add a given amount of energy to it.

Heating up solids and liquids
Some materials can change temperature quickly because they don’t need a lot of energy to heat up; others take a lot of energy to heat up. For solid and liquid materials, the following equation shows how you use the mass $(m)$ of the material and its specific heat $(c)$ to determine how much energy is required to change its temperature $\left(T_2-T_1\right): U_2-U_1=m \cdot c\left(T_2-T_1\right)$. The amount of energy that goes into the material changes the internal energy $\left(U_2-U_1\right)$ of the material, I list the specific heat of a few commonly used liquids and solids in Table $\mathrm{A}-10$ of the appendix.
When you heat up (or cool down) a material, the initial temperature and internal energy of the material are represented by $T_{\text {, }}$ and $U_1$, respectively. The final temperature and internal energy are $T_2$ and $U_2$, In the SI system, the units for specific heat are kilojoules per kilogram-Kelvin $(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}-\mathrm{K})$.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Heating up gases

Gases have two different kinds of specific heat, and the version you use depends on the conditions under which energy is added or removed from the gas. This differs from solids and liquids, which only have one value of specific heat. The equations for the specific heat for gases are very similar to those of a solid or liquid material.
$W$ Constant-volume specific heat: If you heat up a gas in a rigid container, the volume remains constant, and you use the constant-volume specific heat $\left(c_v\right)$.The constant-volume specific heat relates a temperature change in a process to the change in internal energy in the following equation.
$$
U_2=U_1=m \cdot c_v\left(T_2-T_1\right)
$$
This equation assumes the specific heat remains constant during a process. The accuracy of the equation improves if you use the specific heat at the average process temperature.
$W$ Constant-pressure specific heat: If you heat up a gas in a process that has a constant pressure, you use the constant-pressure specific heat $\left(c_p\right)$. For a constant-pressure process, the enthalpy $\left(H_2-H_1\right)$ of the gas changes because the gas must do work in addition to changing internal energy. The constant-pressure specific heat relates a temperature change in a process to the change in enthalpy in the following equation.
$$
H_2-H_1=m \cdot c_p\left(T_2-T_1\right)
$$
This equation assumes that the specific heat remains constant. The accuracy of the equation improves if you use the specific heat at the average process temperature.

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Enthalpy

许多热力学过程都涉及流体流经装置并经历内能的变化。任何时候流体流入系统，都会对系统做功，任何时候流体流出系统，系统也会对流体做功。例如，当热水流经汽车散热器时，就会发生这种情况。与流入或流出系统的流体有关的功由流体的压力$(P)$和体积$(V)$的乘积表示。这种情况在很多情况下都会发生，一个新的性质，焓$(H)$，被用来把热力学能的变化和流动功结合起来，使计算更方便。焓由下式定义:$H=U+P V$。焓和热力学能的单位是一样的。在Sl体系中，压力-体积乘积$(P V)$的单位是千帕斯卡-立方米$\left(\mathrm{kPa} \cdot \mathrm{m}^3\right)$等于千焦耳$(\mathrm{kJ})$。你在热力学系统中使用焓，如涡轮机、压缩机、喷嘴和热交换器。我将在第1章讨论这些漂亮的设备
比热
不管你是否注意到，炉子上的一大锅水可能需要很长时间才能沸腾。一种叫做比热的热力学性质决定了当你给物质添加一定的能量时，它会被加热多少。

加热固体和液体
有些材料可以快速改变温度，因为它们不需要大量的能量来加热;另一些则需要大量的能量来加热。对于固体和液体材料，下面的等式显示了如何使用材料的质量$(m)$及其比热$(c)$来确定改变其温度$\left(T_2-T_1\right): U_2-U_1=m \cdot c\left(T_2-T_1\right)$所需的能量。进入材料的能量改变了材料的内能$\left(U_2-U_1\right)$，我在附录的表$\mathrm{A}-10$中列出了几种常用的液体和固体的比热。
当你加热(或冷却)一种材料时，材料的初始温度和内能分别用$T_{\text {, }}$和$U_1$表示。最终温度和内能分别是$T_2$和$U_2$。在SI系统中，比热的单位是千焦耳每千克开尔文$(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}-\mathrm{K})$。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Heating up gases

气体有两种不同的比热，你使用的比热取决于气体中能量的增加或减少的条件。这与固体和液体不同，它们只有一个比热值。气体的比热方程与固体或液体物质的比热方程非常相似。
$W$定容比热:如果你加热一个刚性容器中的气体，体积保持不变，你使用定容比热$\left(c_v\right)$。定容比热将过程中的温度变化与热力学能的变化联系起来，如下公式所示。
$$
U_2=U_1=m \cdot c_v\left(T_2-T_1\right)
$$
这个方程假定比热在过程中保持恒定。如果使用平均工艺温度下的比热，则公式的准确性会提高。
$W$定压比热:如果你在一个定压过程中加热气体，你使用定压比热$\left(c_p\right)$。对于一个恒压过程，气体的焓$\left(H_2-H_1\right)$是变化的，因为气体除了改变热力学能还必须做功。恒压比热将过程中的温度变化与下式中的焓变联系起来。
$$
H_2-H_1=m \cdot c_p\left(T_2-T_1\right)
$$
这个方程假定比热保持恒定。如果使用平均工艺温度下的比热，则公式的准确性会提高。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Defining Important Thermodynamic Properties

Posted on 2023年5月15日2023年5月15日 by statistics-lab

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Defining Important Thermodynamic Properties

Whether they’re solids, liquids, or gases, all materials have properties that tell you two things:
$\sim$ Some properties, such as specific heat capacity, tell you how a material behaves during a thermodynamic process.

Other properties, such as temperature or pressure, tell you what condition or state a material is in at any point in a thermodynamic process.
Suppose, for example, that you use a hot water bottle to warm up your bed before you get into it. The water is initially very warm. You can use the thermodynamic properties of mass and temperature to describe its condition or state when you first fill it up and its condition after it has warmed up your bed. The mass of water in the bottle remains constant, but the temperature of the water bottle decreases during the process.
The thermodynamic property of specific heat capacity describes how quickly the water cools when you put the water bottle in your bed. In this way, the specific heat capacity tells you how the hot water bottle behaves while it warms up your bed. You find out more about several important material properties in the upcoming sections.

Eyeing general measurement basics
Before I delve into the properties themselves, you first need a basic understanding of how properties are measured. If you can measure something, it has a dimension. Some dimensions are described as primary or fundamental dimensions such as length, mass, temperature, and time. When you combine dimensions to describe properties like volume, pressure, or energy, you have secondary dimensions or derived dimensions. Dimensions have units associated with them, such as Celsius or Fahrenheit for temperature, inches or meters for length, and kilograms or pounds for mass. Units quantify the size of a dimension.
Some property measurements don’t have dimensions per se and are known as dimensionless properties. Often dimensionless properties are ratios or fractions where the dimensions cancel each other out. One very common dimensionless property is relative humidity, which is reported as a percentage.

The world is divided into two different unit systems:
English: Most common in the United States, the English system is formally called the United States Customary System, but that’s a big mouthful, so English is the term you hear most often and the one I use in this book.
$\sim$ Système Internationale (SI): Everywhere except the United States, the Système Internationale is the system of choice. Often the SI system is called the metric system. SI units are now the preferred unit system in thermodynamics textbooks, so they’re used throughout this book.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Mass

Mass is a property in thermodynamics that describes the amount of material used in a system or process. Many people think mass is the same thing as weight. But it’s not. Weight is actually a force exerted on an object by gravity. The weight $(W)$ of an object is calculated by multiplying its mass $(m)$ by the acceleration of gravity $(g): W=m \cdot g$. On earth, the acceleration of gravity is 9.81 meters per second squared $\left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^2\right)$ or 32.2 feet per second squared $\left(\mathrm{tt} / \mathrm{s}^2\right)$.
The SI unit for mass is the kilogram ( $\mathrm{kg})$, and the English unit is pound mass (Ibm). The Ibm abbreviation is derived from the Roman word “libra” plus an ” $m$ ” for mass. The SI unit for weight is the newton $(\mathrm{N})$, and in English units it’s pounds-force (lbf).

The calculation of weight demonstrates that the dimensions of force $(F)$ are derived from a product of mass $(m)$ times acceleration $(a): F=m \cdot a$. The newton is therefore defined as $1 \mathrm{~N}=1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}^2$.

When mass ( $m$ ) appears as a variable in an equation, it’s italicized in this book. When “m” appears in units, as it does in the preceding equation, it stands for “meters” and is not italicized in this book.

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Defining Important Thermodynamic Properties

无论它们是固体、液体还是气体，所有材料的性质都告诉你两件事:
$\sim$一些性质，如比热容，告诉你材料在热力学过程中的行为。

其他性质，如温度或压力，告诉你物质在热力学过程中任何一点所处的条件或状态。
例如，假设你在上床之前用一个热水瓶来温暖你的床。水最初是很热的。你可以用质量和温度的热力学性质来描述它的状态或状态，当你第一次装满它时，它的状态，当它温暖了你的床。瓶子里的水的质量保持不变，但是在这个过程中瓶子的温度降低了。
比热容的热力学性质描述了当你把水瓶放在床上时水冷却的速度。通过这种方式，比热容告诉你热水瓶在加热你的床时的行为。在接下来的部分中，您将了解更多关于几个重要材料属性的信息。

瞄一般测量基础
在我深入研究属性本身之前，您首先需要对如何度量属性有一个基本的了解。如果你能测量某物，它就有一个维度。有些维度被描述为主要或基本维度，如长度、质量、温度和时间。当你结合维度来描述诸如体积、压力或能量之类的属性时，你就有了二次维度或衍生维度。尺寸有与之相关的单位，例如温度用摄氏或华氏度表示，长度用英寸或米表示，质量用公斤或磅表示。单位量化一个维度的大小。
一些属性测量本身没有维度，被称为无维度属性。通常，无量纲性质是比例或分数，其中量纲相互抵消。一个非常常见的无量纲属性是相对湿度，它以百分比报告。

世界分为两种不同的单位制:
英语:最常见的是在美国，英语的系统被正式称为美国习惯系统，但是这有点拗口，所以英语是你最常听到的术语，也是我在这本书中使用的术语。
$\sim$国际体系(SI):除了美国之外，世界各地都选择采用国际体系。通常，SI系统被称为公制系统。SI单位现在是热力学教科书中首选的单位系统，所以它们在本书中一直使用。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Mass

质量是热力学中的一个属性，描述了系统或过程中所用材料的数量。许多人认为质量和重量是一回事。但事实并非如此。重量实际上是重力作用在物体上的力。一个物体的重量$(W)$是用它的质量$(m)$乘以重力加速度$(g): W=m \cdot g$来计算的。在地球上，重力加速度是9.81米每秒平方$\left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^2\right)$或32.2英尺每秒平方$\left(\mathrm{tt} / \mathrm{s}^2\right)$。
质量的国际单位制单位是千克($\mathrm{kg})$)，英制单位是磅质量(Ibm)。Ibm的缩写是由罗马单词“libra”加上代表质量的“$m$”而来。重量的国际单位制单位是牛顿$(\mathrm{N})$，英式单位是磅力(lbf)。

重量的计算表明，力的尺寸$(F)$是质量$(m)$乘以加速度$(a): F=m \cdot a$的乘积。牛顿因此被定义为$1 \mathrm{~N}=1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}^2$。

当质量($m$)作为一个变量出现在方程中，它在本书中是斜体的。当“m”以单位出现时，就像在前面的等式中一样，它代表“米”，在本书中没有斜体。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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回归分析代写

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PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamically Modified Bloch Equations for TLS Noise Control

Posted on 2023年4月25日2023年4月25日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写热力学thermodynamics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

我们提供的热力学thermodynamics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamically Modified Bloch Equations for TLS Noise Control

We can adapt the universal non-Markovian ME (11.45) to a dynamically controlled TLS in both AN and PN scenarios.

In the AN scenario, $H_{\mathrm{S}}(t)$ is given by (11.64), which is designed to counter $\mathrm{AN}$ by phase modulation (PM) due to the time-dependent dynamical AC Stark shift $\delta_{\mathrm{a}}(t)$ and by $\tilde{\epsilon}(t)$, the amplitude of $S(t)$ in (11.65).
In the PN scenario, $H_{\mathrm{S}}(t)$ in the Hamiltonian (11.2) is given by
$$
H_{\mathrm{S}}(t)=\frac{1}{2} \omega_{\mathrm{a}} \sigma_z+V(t) \sigma_x,
$$

where
$$
V(t)=\Omega(t) \cos \left(\omega_{\mathrm{a}} t\right),
$$
and the interaction Hamiltonian (11.26) involves
$$
S(t)=\tilde{\epsilon}(t) \sigma_z .
$$
Here, $\mathrm{PN}$ is countered by Rabi oscillations caused by a resonant field $V(t)$ with the time-dependent Rabi frequency $\Omega(t)$ and by $\tilde{\epsilon}(t)$, the time-dependent modulation of the interaction strength. In this scenario, it is convenient to transform the Hamiltonian (11.2) to the interaction picture with respect to the Hamiltonian $H_0+H_{\mathrm{B}}=\omega_{\mathrm{a}} \sigma_z / 2+H_{\mathrm{B}}$. In the RWA with respect to $V(t)$ (which means the neglect of the counterrotating component of the control field), this transformation yields the Hamiltonian
$$
H(t)=\tilde{\epsilon}(t) \tilde{B}(t) \sigma_z+\frac{1}{2} \Omega(t) \sigma_x
$$
where the transformed bath operator $\tilde{B}(t)$ is defined in (11.31).
We next recast the Hamiltonian (11.134) in a form similar to that of the ANscenario Hamiltonian by performing a rotation on the Bloch sphere through the Hadamard transformation
$$
U_{\mathrm{H}}=\frac{\sigma_x+\sigma_z}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \
1 & -1
\end{array}\right)
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamically Modified TLS Relaxation (AN) beyond RWA

The dynamically controlled relaxation or dissipation (AN) rates for the $|e\rangle \rightarrow$ $|g\rangle$ and $|g\rangle \rightarrow|e\rangle$ transitions, given by (11.94a) and (11.97a), can be compactly rewritten as
$$
\bar{\gamma}{e(g)}(t)=2 \pi \int{-\infty}^{\infty} d \omega F_t\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) G_T( \pm \omega),
$$
where the upper (lower) sign corresponds to the subscript $e(g)$ and the “filter function” $F_t(\omega)$ is the spectral density of phase modulation (PM). These expressions have been obtained using (11.26), the full TLS-bath interaction Hamiltonian (4.10), with the antiresonant terms included.

Had we used the RWA interaction Hamiltonian (4.12) without the antiresonant terms, we would have obtained instead the transition rates
$$
\bar{\gamma}{e(g)}^{\mathrm{RWA}}(t)=2 \pi \int_0^{\infty} d \omega F_t\left(\omega-\omega{\mathrm{a}}\right) G_T( \pm \omega),
$$
where the integration over $\omega$ extends from 0 to $\infty$, rather than from $-\infty$ to $\infty$ as in (11.155). These RWA transition rates are valid for a modulation that is not excessively fast, such that $F_t\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) \simeq 0$ at $\omega<0$, being peaked near $\omega_{\mathrm{a}}$. Yet, if the task of suppressing the transition rates $\gamma_{e(g)}$ requires modulation rates comparable to $\omega_{\mathrm{a}}$, then the RWA is inadequate. In particular, (11.52) and (11.156) imply that, at zero temperature $(T=0)$, the rate $\bar{\gamma}g^{\mathrm{RWA}}(t)$ vanishes, irrespective of how fast the modulation, whereas the true upward-transition rate $\bar{\gamma}_g(t)$ in (11.155) may be comparable to $\bar{\gamma}_e(t)$ under ultrafast modulation. The RWA only describes a downward (upward) transition that corresponds to the emission (absorption) of a bath quantum. By contrast, the antiresonant (negative-frequency) contribution to $\bar{\gamma}{e(g)}(t)$ in (11.155) accounts for downward (upward) transitions that are accompanied by absorption (emission) of a bath quantum. Such antiresonant (non-RWA) processes are possible since ultrafast modulation may shift and broaden levels $|e\rangle$ and $|g\rangle$ to the extent that they can no longer be identified as the upper and lower levels (Ch. 16).

We further assume that the effective transition rates $\gamma_{e(g) j}$ from level $e(g)$ to any other level $j$, are suppressed by the modulation, to the extent that the TLS model remains valid as long as the control is on (Ch. 12).

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamically Modified Bloch Equations for TLS Noise Control

我们可以使通用非马尔可夫 ME (11.45) 适应 $\mathrm{AN}$ 和 $\mathrm{PN}$ 场景中的动态控制 TLS。
在 $\mathrm{AN}$ 场景中， $H_{\mathrm{S}}(t)$ 由 (11.64) 给出，它旨在反击 $\mathrm{AN}$ 由于时间相关的动态 $\mathrm{AC}$ 斯塔克位移，通过相位调制 (PM) $\delta_{\mathrm{a}}(t)$ 并通过 $\tilde{\epsilon}(t)$ ，振幅 $S(t)$ 在 (11.65) 中。
在 PN 场景中， $H_{\mathrm{S}}(t)$ 在哈密顿量 (11.2) 中由下式给出
$$
H_{\mathrm{S}}(t)=\frac{1}{2} \omega_{\mathrm{a}} \sigma_z+V(t) \sigma_x
$$
在哪里
$$
V(t)=\Omega(t) \cos \left(\omega_{\mathrm{a}} t\right)
$$
和相互作用的哈密顿量 (11.26) 涉及
$$
S(t)=\tilde{\epsilon}(t) \sigma_z
$$
这里，PN被共振场引起的 Rabi 振荡所抵消 $V(t)$ 与时间相关的 Rabi 频率 $\Omega(t)$ 并通过 $\tilde{\epsilon}(t)$ ，相互作用强度的时间依赖调制。在这种情况下，可以方便地将哈密顿量 (11.2) 转换为关于哈密顿量的相互作用图 $H_0+H_{\mathrm{B}}=\omega_{\mathrm{a}} \sigma_z / 2+H_{\mathrm{B}}$. 在 RWA 中 $V(t)$ (这意味着忽略了控制场的反向旋转分量)，这种变换产生了哈密顿量
$$
H(t)=\tilde{\epsilon}(t) \tilde{B}(t) \sigma_z+\frac{1}{2} \Omega(t) \sigma_x
$$
改造后的浴室操作员在哪里 $\tilde{B}(t)$ 在 (11.31) 中定义。
接下来，我们通过 Hadamard 变换对布洛赫球体执行旋转，以类似于 ANscenario 哈密顿量的形式重铸哈密顿量 (11.134)
$$
U_{\mathrm{H}}=\frac{\sigma_x+\sigma_z}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & -1
\end{array}\right)
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamically Modified TLS Relaxation (AN) beyond RWA

动态控制的弛豫或耗散 (AN) 速率 $|e\rangle \rightarrow|g\rangle$ 和 $|g\rangle \rightarrow|e\rangle$ 由 (11.94a) 和 (11.97a) 给出的转换可以紧凑地重写为
$$
\bar{\gamma} e(g)(t)=2 \pi \int-\infty^{\infty} d \omega F_t\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) G_T( \pm \omega)
$$
其中上 (下) 号对应下标 $e(g)$ 和“过滤功能” $F_t(\omega)$ 是相位调制 (PM) 的频谱密度。这些表达式是使用 (11.26)、完整的 TLS-浴相互作用哈密顿量 (4.10) 获得的，其中包括反共振项。
如果我们使用没有反共振项的 RWA 相互作用哈密顿量 (4.12)，我们将获得转换率
$$
\bar{\gamma} e(g)^{\mathrm{RWA}}(t)=2 \pi \int_0^{\infty} d \omega F_t(\omega-\omega \mathrm{a}) G_T( \pm \omega),
$$
哪里整合结束 $\omega$ 从 0 延伸到 $\infty$ ，而不是从 $-\infty$ 到 $\infty$ 如 (11.155) 中所示。这些 RWA 转换率对于不太快的调制是有效的，这样 $F_t\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) \simeq 0$ 在 $\omega<0$ ，在附近达到顶峰 $\omega_{\mathrm{a}}$. 然而，如果抑制转换率的任务 $\gamma_{e(g)}$ 需要调制率可比 $\omega_{\mathrm{a}}$ ，那么 RWA 是不充分的。特别地，(11.52) 和 (11.156) 意味着，在零温度下 $(T=0)$ ，比率 $\bar{\gamma} g^{\mathrm{RWA}}(t)$ 消失，不管调制有多快，而真正的向上转换率 $\bar{\gamma}g(t)$ 在 (11.155) 中可以与 $\bar{\gamma}_e(t)$ 在超快调制下。RWA 仅描述了与浴量子的发射 (吸收) 相对应的向下 (向上) 跃迁。相比之下，反共振 (负频率) 对 $\bar{\gamma} e(g)(t)$ 在 (11.155) 中解释了伴随浴量子吸收 (发射) 的向下 (向上) 跃迁。这种反谐振 (非 RWA) 过程是可能的，因为超快调制可能会改变和扩大水平 $|e\rangle$ 和 $|g\rangle$ 在某种程度上，它们不能再被识别为上层和下层 (第 16 章)。我们进一步假设有效转换率 $\gamma{e(g) j}$ 从水平 $e(g)$ 到任何其他级别 $j$, 被调制抑制，只要控制打开，TLS 模型就保持有效 (第 12 章)。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Sinusoidal Modulation

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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Sinusoidal Modulation

A thermal bath may act as if it were squeezed on a TLS under sinusoidal modulation of the TLS level spacing,
$$
\delta_{\mathrm{a}}(t)=\delta\left[1-\sin \left(\omega_{\mathrm{m}} t\right)\right],
$$
where $\delta>0$. Upon introducing this modulation in (11.76) and using the identity $e^{i z \cos \phi}=\sum_{q=-\infty}^{\infty} i^q J_q(z) e^{i q \phi}$ with integer $q$, we obtain
$$
\epsilon_q=i^q e^{-i z} J_q(z), \quad \epsilon_q^{\prime}=i^q e^{-2 i z} J_q(2 z), \quad v_q=\delta+q \omega_{\mathrm{m}},
$$
where $z=\delta / \omega_{\mathrm{m}}$ and $J_q(z)$ is the Bessel function of the first kind of order $q$. Since $J_{-q}(z)=(-1)^q J_q(z)$, we have $\epsilon_q=\epsilon_{-q}$ and $\epsilon_q^{\prime}=\epsilon_{-q}^{\prime}$. In the expressions for the coefficients (11.104), we now obtain $\left|\epsilon_q\right|^2=\left|\epsilon_{-q}\right|^2=J_q^2(z)$ and $\omega_{\mathrm{m}}$ is given by $(11.116)$

Below we set, for simplicity, $\tilde{\omega}{\mathrm{a}} \approx \omega{\mathrm{a}}$, which is often a good approximation. The Lorentzian bath-response described by (11.123) with the parameters given in Figure 11.2 yields an appreciable squeezing effect under modulations, as $\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right| \sim$ $\gamma_g / 2$ in (11.114). For $z=0$ we retrieve the secular-approximation results without modulation, $\gamma_g=\gamma_{\mathrm{a}} \bar{n}{\mathrm{a}}, \gamma_e=\gamma{\mathrm{a}}\left(\bar{n}{\mathrm{a}}+1\right)$, and $\gamma{\mathrm{s}}=0$. Thus, $\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right|$ does not exceed $\gamma_g$, so that we only obtain “classical squeezing” due to the secular-approximation breakdown.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Modified Resonance Fluorescence Spectrum

The resonance fluorescence spectrum of a two-level atom driven by a resonant strong (classical) field with Rabi frequency $\Omega e^{i \theta}$ is well known to be given by the

Fourier transform of the bath autocorrelation function,
$$
S(\omega) \propto \frac{\gamma_\phi}{\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right)^2+\gamma_\phi^2}+\left[\frac{\Gamma_\phi}{\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}+\Omega\right)^2+\Gamma_\phi^2}+\frac{\Gamma_\phi}{\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}-\Omega\right)^2+\Gamma_\phi^2}\right] .
$$
In the present case,
$$
\gamma_\phi=\gamma+\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right| \cos \phi, \quad \Gamma_\phi=\frac{3}{2} \gamma-\frac{1}{2}\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right| \cos \phi, \quad \phi=2(\theta-\varphi),
$$
where $\varphi$ is the squeezing phase defined by $\gamma_{\mathrm{s}}=\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right| e^{2 i \varphi}$. The spectrum consists of three Lorentzian peaks centered at $\omega_{\mathrm{a}}$ and $\omega_{\mathrm{a}} \pm \Omega$, as in the case of the vacuum state of the bath, but these peaks are modified by effective squeezing: their widths, $\gamma_\phi$ and $\Gamma_\phi$, change as the phase of the strong field is varied. This phase dependence of the fluorescence line widths is a signature of the effective squeezing induced by

the modulation (Fig. 11.3). When $\phi=\pi / 2$, the only effect of the modulation is a modification of $\gamma$ relative to the unmodulated case, resulting in a narrower peak. When $\phi=0$, the line width is enhanced by the squeezing term $\gamma_\phi=\gamma+\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right|$. The narrowest peak $\gamma_\phi=\gamma-\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right|$ arises for $\phi=\pi$.

The two quadrature rates $\gamma_{x, y}$ become different when squeezing arises. In the cases discussed above, these rates are, respectively, $\sim 0.1 \gamma_T, \sim \gamma_T$. Here the TLS damping rate in the cavity, in the absence of modulation, is $\gamma_T=2 \pi G_T\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)=$ $\gamma_{\mathrm{a}}\left(\bar{n}{\mathrm{a}}+1\right)$ according to (11.123) and (11.125). In the limit of high bath temperature, $T \gg \omega{\mathrm{a}}$ (where $T$ is given in energy units and $\hbar=1$ as before), $\gamma_T \approx \gamma_{\mathrm{a}} T / \omega_{\mathrm{a}}$.

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Sinusoidal Modulation

在 TLS 水平间距的正弦调制下，热浴可能就像被挤压在 TLS 上一样，
$$
\delta_{\mathrm{a}}(t)=\delta\left[1-\sin \left(\omega_{\mathrm{m}} t\right)\right]
$$
在哪里 $\delta>0$. 在 (11.76) 中引入这种调制并使用恒等式 $e^{i z \cos \phi}=\sum_{q=-\infty}^{\infty} i^q J_q(z) e^{i q \phi}$ 整数 $q$ ，我们获得
$$
\epsilon_q=i^q e^{-i z} J_q(z), \quad \epsilon_q^{\prime}=i^q e^{-2 i z} J_q(2 z), \quad v_q=\delta+q \omega_{\mathrm{m}}
$$
在哪里 $z=\delta / \omega_{\mathrm{m}}$ 和 $J_q(z)$ 是第一类阶的贝塞尔函数 $q$. 自从 $J_{-q}(z)=(-1)^q J_q(z)$ ，我们有 $\epsilon_q=\epsilon_{-q}$ 和 $\epsilon_q^{\prime}=\epsilon_{-q}^{\prime}$. 在系数 (11.104) 的表达式中，我们现在得到 $\left|\epsilon_q\right|^2=\left|\epsilon_{-q}\right|^2=J_q^2(z)$ 和 $\omega_{\mathrm{m}}$ 是 (谁) 给的 $(11.116)$
为了简单起见，我们在下面设置， $\tilde{\omega} \mathrm{a} \approx \omega \mathrm{a}$ ，这通常是一个很好的近似值。由 (11.123) 描述的具有图 11.2 中给出的参数的洛伦兹浴响应在调制下产生明显的压缩效果，如 $\left|\gamma_s\right| \sim \gamma_g / 2$ 在 (11.114) 中。为了 $z=0$ 我们在没有调制的情况下检索长期近似结果， $\gamma_g=\gamma_{\mathrm{a}} \bar{n} \mathrm{a}, \gamma_e=\gamma \mathrm{a}(\bar{n} \mathrm{a}+1)$ ，和 $\gamma \mathrm{s}=0$. 因此， $\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right|$ 不超过 $\gamma_g$ ，因此由于长期逼近崩溃，我们只能获得”经典压缩”。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Modified Resonance Fluorescence Spectrum

由具有 Rabi 频率的共振强 (经典) 场驱动的二级原子的共振苂光光谱 $\Omega e^{i \theta}$ 众所周知，由
bath 自相关函数的傅里叶变换，
$$
S(\omega) \propto \frac{\gamma_\phi}{\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right)^2+\gamma_\phi^2}+\left[\frac{\Gamma_\phi}{\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}+\Omega\right)^2+\Gamma_\phi^2}+\frac{\Gamma_\phi}{\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}-\Omega\right)^2+\Gamma_\phi^2}\right]
$$
在本案中,
$$
\gamma_\phi=\gamma+\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right| \cos \phi, \quad \Gamma_\phi=\frac{3}{2} \gamma-\frac{1}{2}\left|\gamma_s\right| \cos \phi, \quad \phi=2(\theta-\varphi)
$$
在哪里 $\varphi$ 是挤压阶段定义 $\gamma_{\mathrm{s}}=\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right| e^{2 i \varphi}$. 该光谱由三个洛伦兹峰组成，中心位于 $\omega_{\mathrm{a}}$ 和 $\omega_{\mathrm{a}} \pm \Omega$, 就像浴的真空状态的情况一样，但这些峰被有效的挤压所改变: 它们的宽度， $\gamma_\phi$ 和 $\Gamma_\phi$ ，随着强场相位的变化而变化。苂光线宽的这种相位依赖性是有效挤压的标志
调制（图 11.3）。什么时候 $\phi=\pi / 2$ ，调制的唯一效果是修改 $\gamma$ 相对于末调制的情况，导致更宍的峰。什么时候 $\phi=0$ ，线宽通过挤压项增强 $\gamma_\phi=\gamma+\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right|$. 最穴峰 $\gamma_\phi=\gamma-\left|\gamma_{\mathrm{s}}\right|$ 产生于 $\phi=\pi$.
两个正交率 $\gamma_{x, y}$ 当挤压出现时变得不同。在上面讨论的情况下，这些比率分别是， $\sim 0.1 \gamma_T, \sim \gamma_T$. 这里，在没有调制的情况下，空腔中的 TLS 阻尼率为 $\gamma_T=2 \pi G_T\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)=\gamma_{\mathrm{a}}(\bar{n} \mathrm{a}+1)$ 根据 (11.123) 和 (11.125)。在高浴温的极限下， $T \gg \omega \mathrm{a}$ （在哪里 $T$ 以能量单位给出，并且 $\hbar=1$ 像之前一样），
$$
\gamma_T \approx \gamma_{\mathrm{a}} T / \omega_{\mathrm{a}}
$$

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非参数统计代写

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Universal Formula

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Universal Formula

The decay rate $\gamma$ [cf. (10.19), (10.21)] in both of the above schemes is seen to conform to the same universal formula (Fig. 10.5),
$$
\gamma=2 \pi \int G(\omega) F\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) d \omega
$$
where $G(\omega)$ is the spectral bath response, whereas $F(\omega)$ (normalized to 1 ) is the spectrum of the coherence fluctuations due to the measurement- or noise-induced dephasing: $F(\omega)$ may be, for example, sinc-shaped,
$$
F(\omega)=\frac{\tau}{2 \pi} \operatorname{sinc}^2 \frac{\omega \tau}{2}
$$
or Lorentzian-shaped,
$$
F(\omega)=L(\omega) \equiv \frac{1}{\pi} \frac{\tau_{\mathrm{d}}}{\omega^2 \tau_{\mathrm{d}}^2+1}
$$
The (universal) result (10.23) can be rewritten in the form
$$
\gamma=\int \gamma_{\mathrm{GR}}(\omega) F\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) d \omega,
$$
where $\gamma_{\mathrm{GR}}(\omega)=2 \pi G(\omega)$ is the unperturbed (“Golden Rule”) decay rate of $|e\rangle$ whose energy is shifted to $\hbar \omega$. Equation (10.26) allows us to interpret the modification of the decay rate as resulting from the energy broadening (uncertainty) $\Delta E$ of the level $|e\rangle$, the shape of the level broadening being described by $F(\omega)$. This broadening is caused either by repeated measurements or by the noise (Fig. 10.6), both of which dephase the state $|e\rangle$ at the rate $v$, where $v$ is the characteristic rate of either the measurements or the noise. Such processes are analogous to phase randomization by collisions, which induce a linewidth that scales with the collision rate $v$. The trade-off between the spectral broadening of $|e\rangle$ and its dephasing time conforms to the time-energy uncertainty relation,
$$
\Delta E \Delta t \gtrsim \hbar .
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|QZE Scaling

The QZE scaling is marked by a decrease of the decay rate $\gamma$ with an increase of $v$. It is obtained when the measurement (or dephasing) rate $v$ is much larger than the spectral width and the detuning of the bath (Fig. 10.7):
$$
v \gg \Gamma_{\mathrm{B}}, \quad v \gg\left|\omega_{\mathrm{a}}-\omega_{\mathrm{M}}\right| .
$$

Here we have assumed that the main part of the integral $\int_0^{\infty} d \omega G(\omega)$ is concentrated in an interval of the width of order of $\Gamma_{\mathrm{B}}$ and $\omega_{\mathrm{M}}$ is a frequency within this interval. In the special case of a peak-shaped $G(\omega), \omega_{\mathrm{M}}$ can be replaced by the position of the maximum. In the limit (10.28), one can approximate the spectrum $G(\omega)$ by a $\delta$-function $\left(\Gamma_{\mathrm{B}}=0\right)$.

There is, however, a caveat associated with the limit (10.28). When $G(\omega)$ is too narrow, the evolution (in the absence of measurements or dephasing) is generally non-monotonic and hence cannot be described by means of a positive decay rate. For example, for $G(\omega) \sim \delta\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right)$, the decay rate is undefined, because the population of state $|e\rangle$ demonstrates resonant Rabi oscillations without decay, periodically exchanging energy with an infinitely narrow band of modes, in accordance with the Jaynes-Cummings model. Namely, condition (10.28) for the QZE presumes the weak-coupling regime of the system and the bath. This regime always holds for a sufficiently broad and smooth $G(\omega)$. Even when $G(\omega)$ is very narrow or has sharp features, so that the weak-coupling regime does not hold in the absence of measurements, this regime is still valid for a sufficiently high rate $v$ of repeated measurements (or dephasing). This comes about since, in the latter case, the energy level $|e\rangle$ is broadened, acquiring spectral density $F\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right)$, so that its coupling with the bath is described by the spectrum $G(\omega)$, which is smoothed out by its convolution with $F\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right)$ [cf. (10.23)].

Assuming that (10.28) holds, the universal formula (10.23) yields the characteristic form of QZE,
$$
\gamma \approx C / v
$$

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Universal Formula

衰减率 $\gamma[$ 比照。(10.19), (10.21)] 在上述两个方案中可以看出符合相同的通用公式 (图 10.5)，
$$
\gamma=2 \pi \int G(\omega) F\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) d \omega
$$
在哪里 $G(\omega)$ 是光谱浴响应，而 $F(\omega)$ (归一化为 1 ) 是由于测量或噪声引起的移相引起的相干波动的频谱: $F(\omega)$ 例如，可以是 sinc 形的，
$$
F(\omega)=\frac{\tau}{2 \pi} \operatorname{sinc}^2 \frac{\omega \tau}{2}
$$
或洛伦肓形，
$$
F(\omega)=L(\omega) \equiv \frac{1}{\pi} \frac{\tau_{\mathrm{d}}}{\omega^2 \tau_{\mathrm{d}}^2+1}
$$
(通用) 结果 (10.23) 可以重写为以下形式
$$
\gamma=\int \gamma_{\mathrm{GR}}(\omega) F\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) d \omega,
$$
在哪里 $\gamma_{\mathrm{GR}}(\omega)=2 \pi G(\omega)$ 是不受干扰的 (“黄金法则”) 衰减率 $|e\rangle$ 其能量转移到 $\hbar \omega$. 等式 (10.26) 允许我们将衰减率的修改解释为能量展宽 (不确定性) 的结果 $\Delta E$ 水平的 $|e\rangle$ ，水平增宽的形状被描述为 $F(\omega)$ . 这种变宽是由重复测量或噪声引起的 (图 10.6)，两者都会使状态相移 $|e\rangle$ 按照这个速度 $v$ ，在哪里 $v$ 是测量值或噪声的特征速率。这样的过程类似于碰撞引起的相位随机化，这会导致随碰撞率缩放的线宽 $v$. 光谱展宽之间的权衡 $|e\rangle$ 其退相时间符合时间-能量不确定关系，
$$
\Delta E \Delta t \gtrsim \hbar
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|QZE Scaling

QZE 缩放的标志是衰减率的降低 $\gamma$ 随着增加 $v$. 它是在测量 (或去相位) 率时获得的 $v$ 远大于光谱宽度和浴的失谐（图 10.7) :
$$
v \gg \Gamma_{\mathrm{B}}, \quad v \gg\left|\omega_{\mathrm{a}}-\omega_{\mathrm{M}}\right|
$$
这里我们假设积分的主要部分 $\int_0^{\infty} d \omega G(\omega)$ 集中在宽度为 $\Gamma_{\mathrm{B}}$ 和 $\omega_{\mathrm{M}}$ 是这个区间内的一个频率。在峰形的特殊情况下 $G(\omega), \omega_{\mathrm{M}}$ 可以用最大值的位置代替。在极限 (10.28) 中，可以近似得到频谱 $G(\omega)$ 通过一个 $\delta$ -功能 $\left(\Gamma_{\mathrm{B}}=0\right)$.
但是，有一个与限制 (10.28) 相关的警告。什么时候 $G(\omega)$ 太窄，演化（在没有测量或去相位的情况下) 通常是非单调的，因此不能用正衰减率来描述。例如，对于 $G(\omega) \sim \delta\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right)$ ，衰减率是不确定的，因为状态的人口 $|e\rangle$ 根据 Jaynes-Cummings 模型，展示了没有衰减的共振 Rabi 振荡，周期性地以无限乍的模式带交换能量。即，QZE 的条件 (10.28) 假设系统和浴槽处于弱耦合状态。该制度始终适用于足够广泛和平稳的 $G(\omega)$. 即使当 $G(\omega)$ 非常窄或具有尖锐的特征，因此在没有测量的情况下，弱耦合机制不成立，该机制对于足够高的速率仍然有效 $v$ 重复测量 (或去相位) 。这是因为，在后一种情况下，能量水平照。(10.23)]。
假设 (10.28) 成立，通用公式 (10.23) 产生 QZE 的特征形式，
$$
\gamma \approx C / v
$$

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Impulsive Measurements of an Open TLS

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Impulsive Measurements of an Open TLS

As a generic example of frequent impulsive measurements, we consider an initially excited TLS, here a two-level atom, coupled to a bath with arbitrary densityof-modes (DOM) spectrum $\rho(\omega)$ – here a photonic bath in the vacuum state. At time $\tau$ a short electromagnetic (EM) pulse is applied. This pulse effects an impulsive quantum measurement of the excited state $|e\rangle$ according to Cook’s scheme (Fig. 10.4), since the auxiliary state $|u\rangle$ decays back to $|e\rangle$ incoherently, and the coherence of the evolution is disrupted.

To second order in the TLS-bath interaction, $|\alpha(\tau)|^2 \approx 2 \operatorname{Re} \alpha(\tau)-1$. Let us assume that the measurements are selective. The probability that the TLS remains in the excited state after each of the $k$ consecutive measurements then has the form
$$
p_e(t=k \tau)=|\alpha(\tau)|^{2 k} \approx e^{-\gamma t},
$$
where [from (10.15)] the decay rate has the $\tau$-dependent form,
$$
\gamma(\tau)=\frac{2}{\tau} \operatorname{Re}[1-\alpha(\tau)]=\frac{2}{\tau} \operatorname{Re} \int_0^\tau d t(\tau-t) \Phi(t) e^{i \Delta t} .
$$
The QZE occurs whenever $\gamma(\tau)$ decreases with $\tau$, because $\Phi(t)$ is assumed to fall off slower than the chosen interruption interval $\tau$. Equivalently, the correlation (or memory) time of the bath is assumed to be longer than $\tau$.

Equation (10.18) can be rewritten upon replacing the time domain by the spectral domain, yielding
$$
\gamma(\tau)=2 \pi \int G(\omega)\left{\frac{\tau}{2 \pi} \operatorname{sinc}^2\left[\frac{\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) \tau}{2}\right]\right} d \omega,
$$
where $\operatorname{sinc} x=\frac{\sin x}{x}$. Here the interruptions sample the response spectrum $G(\omega)$ over the spectral width $\sim 1 / \tau$ of the $\operatorname{sinc}^2$-function. The spectral response is identical, according to the Golden Rule, to the emission rate into this bath at frequency $\omega\left(\right.$ Ch. 5), $G(\omega)=|\eta(\omega)|^2 \rho(\omega)$.

A similar result is obtained for nonselective impulsive measurements, if excitation transfer from the bath to the TLS can be neglected. This happens when the bath is at zero temperature and $G(\omega)$ is sufficiently broad so that any excitation transferred to the bath does not return to the system. Then, for an initially excited TLS, the population of the level $|e\rangle$ is
$$
\rho_{e e}(t)=e^{-\gamma t},
$$
where $\gamma$ is given by (10.19).

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Open-TLS Continuous Dephasing

As mentioned above, the QZE is obtained via both selective and nonselective measurements, since all measurements yield state reduction, which corresponds to the destruction of coherence between the initial state and all other states. However, the coherent TLS evolution may be disrupted not only by measurements. In particular, effects of nonselective measurements can be emulated by means of coherence disruption due to random fluctuations of the TLS frequency via, for example, random ac-Stark shifts of the level $|e\rangle$ or $|g\rangle$, caused by an off-resonant intensity-fluctuating field. When the population of the level $|e\rangle$ is averaged over the noise realizations, it satisfies Eq. (10.20), where $\gamma$ in (10.19) is now replaced by
$$
\gamma=2 \pi \int G(\omega) L\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) d \omega
$$
In this formula, $L\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right)$ is the Lorentzian-shaped (normalized to 1) relaxation spectrum of the coherence element $\rho_{e g}(t)$, which is the Fourier transform of the exponentially decaying $\rho_{e g}(t)$. This behavior represents the common dephasing model. The width of this Lorentzian relaxation spectrum is $\tau_{\mathrm{d}}^{-1}=\left\langle\Delta \omega^2\right\rangle \tau_c$, which is the product of the mean-square Stark shift and the noisy-field correlation time. For (10.21) to be valid, $\gamma$ should be much less than this spectral width, $\gamma \tau_{\mathrm{d}} \ll 1$. A necessary condition for the $\mathrm{QZE}$ is that the noise-induced width $\tau_d^{-1}$ be larger than the width of the spectral response $G(\omega)$, as detailed below.

The random ac-Stark shifts both shift and broaden the spectral transition. In order to avoid the shifting, we may employ a continuous driving field that is resonant (or nearly resonant) with the $|e\rangle \leftrightarrow|u\rangle$ transition. This process is described by the same scheme as in Figure 10.4, the only difference being that the impulsive field $\Omega_{\mathrm{d}}(t)$ is replaced by a continuous field. Provided the decay rate of this transition, $\gamma_{\mathrm{u}}$, is larger than the Rabi frequency $\Omega_{\mathrm{d}}$ of the driving field, $\gamma$ can be shown to be given by (10.21), with a Lorentzian (dephasing) width
$$
\frac{1}{\tau_{\mathrm{d}}}=\frac{\Omega_{\mathrm{d}}^2}{2 \gamma_{\mathrm{u}}}
$$

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Impulsive Measurements of an Open TLS

作为频繁脉冲测量的一般示例，我们考虑初始激发的 TLS，这里是一个两能级原子，耦合到具有任意模式密度 (DOM) 光谱的浴 $\rho(\omega)$ – 这里是真空状态下的光子浴。在时间 $\tau$ 施加短电磁 (EM) 脉冲。该脉冲影响激发态的脉冲量子测量 $|e\rangle$ 根据 Cook 的方案 (图 10.4) ，由于辅助状态 $|u\rangle$ 衰减回 $|e\rangle$ 不连贯，进化的连贯性被打乱。
对于 TLS-bath 交互中的二阶， $|\alpha(\tau)|^2 \approx 2 \operatorname{Re} \alpha(\tau)-1$. 让我们假设测量是有选择性的。TLS 在每次执行后仍处于激发态的概率 $k$ 连续测量则具有以下形式
$$
p_e(t=k \tau)=|\alpha(\tau)|^{2 k} \approx e^{-\gamma t}
$$
其中 [来自 (10.15)] 的衰减率有 $\tau$-依赖形式，
$$
\gamma(\tau)=\frac{2}{\tau} \operatorname{Re}[1-\alpha(\tau)]=\frac{2}{\tau} \operatorname{Re} \int_0^\tau d t(\tau-t) \Phi(t) e^{i \Delta t} .
$$
QZE 发生在任何时候 $\gamma(\tau)$ 随着 $\tau$ ，因为 $\Phi(t)$ 假设下降速度比选择的中断间隔慢 $\tau$. 等效地，假定浴的相关 (或记忆) 时间长于 $\tau$.
等式 (10.18) 可以通过用频谱域替换时域来重写，得到
在哪里 $\operatorname{sinc} x=\frac{\sin x}{x}$. 这里的中断对响应谱进行采样 $G(\omega)$ 在光谱宽度 $~ 1 / \tau$ 的 $\operatorname{sinc}^2$-功能。根据黄金法则，光谱响应与在频率下进入该浴槽的发射率相同 $\omega$ (通道。5), $G(\omega)=|\eta(\omega)|^2 \rho(\omega)$.
如果可以忽略从浴到 TLS 的激发转移，则非选择性脉冲测量会获得类似的结果。当浴槽温度为零且 $G(\omega)$
$$
\rho_{e e}(t)=e^{-\gamma t},
$$
在哪里 $\gamma$ 由 (10.19) 给出。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Open-TLS Continuous Dephasing

如上所述，QZE 是通过选择性和非选择性测量获得的，因为所有测量都会产生状态减少，这对应于初始状态和所有其他状态之间相干性的破坏。然而，连贯的 TLS 演化可能不仅会受到测量的干扰。特别是，非选择性测量的影响可以通过 TLS 频率的随机波动引起的相干中断来模拟，例如，水平的随机 ac-Stark 偏移 $|e\rangle$ 或者 $|g\rangle$ ，由非共振强度波动场引起。当人口的水平 $|e\rangle$ 是噪声实现的平均值，它满足方程式。 (10.20)，其中 $\gamma$ 在 (10.19) 中现在被替换为
$$
\gamma=2 \pi \int G(\omega) L\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right) d \omega
$$
在这个公式中， $L\left(\omega-\omega_{\mathrm{a}}\right)$ 是相干元素的洛伦兹形 (归一化为 1 ) 他豫谱 $\rho_{e g}(t)$ ，这是指数衰减的傅里叶变换 $\rho_{e g}(t)$. 此行为代表常见的相移模型。这个洛伦兹驰豫谱的宽度是 $\tau_{\mathrm{d}}^{-1}=\left\langle\Delta \omega^2\right\rangle \tau_c$ ，它是均方斯塔克位移和噪声场相关时间的乘积。为使 (10.21) 有效， $\gamma$ 应该远小于这个光谱宽度， $\gamma \tau_{\mathrm{d}} \ll 1$. 的必要条件 QZE是噪声引起的宽度 $\tau_d^{-1}$ 大于光谱响应的宽度 $G(\omega)$ ，详情如下。
随机的 ac-Stark 位移既使光谱跃迁发生偏移也使光谱跃迁变宽。为了避免偏移，我们可以采用与
$|e\rangle \leftrightarrow|u\rangle$ 过渡。这个过程用与图 10.4 相同的方案描述，唯一的区别是脉冲场 $\Omega_{\mathrm{d}}(t)$ 被一个连续的字段所取代。提供这种转变的衰减率， $\gamma_{\mathrm{u}}$ ，大于拉比频率 $\Omega_{\mathrm{d}}$ 驾驶领域， $\gamma$ 可以证明由 (10.21) 给出，具有洛伦兹 (相移) 宽度
$$
\frac{1}{\tau_{\mathrm{d}}}=\frac{\Omega_{\mathrm{d}}^2}{2 \gamma_{\mathrm{u}}}
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Non-Markovian Theory of RDDI in Waveguides

Posted on 2023年4月11日2023年4月11日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写热力学thermodynamics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

我们提供的热力学thermodynamics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Non-Markovian Theory of RDDI in Waveguides

Here we outline a nonperturbative, non-Markovian, theory for RDDI in a fieldconfining structure, such as a waveguide. From Hamiltonian (8.1), if atom 1 is initially excited, the state of the combined (atoms+bath) system is, in the RWA,
$$
|\psi(t)\rangle=\alpha_1(t)\left|e_1, g_2, 0\right\rangle+\alpha_2(t)\left|g_1, e_2, 0\right\rangle+\sum_k \beta_k(t)\left|g_1, g_2, 1_k\right\rangle .
$$
Upon inserting this state into the Schrödinger equation, we obtain dynamical equations for $\alpha_1(t), \alpha_2(t)$, and $\beta_k(t)$. Taking their Laplace transform for the initial conditions, $\alpha_1(0)=1, \alpha_2(0)=\beta_k(0)=0$, we then obtain the Laplace transform of $\alpha_1(t)$
$$
\tilde{\alpha}1(s)=\left[s+J{11}(s)+i \omega_{\mathrm{a}}-\frac{J_{12}(s) J_{21}(s)}{s+J_{22}(s)+i \omega_{\mathrm{a}}}\right]^{-1},
$$
where $J_{j j^{\prime}}(s)=\sum_k \frac{\eta_{k, k} \eta_{k, j^{\prime}}}{s+i \omega_k}$. It can be shown that $J_{j j^{\prime}}\left(-i \omega_{\mathrm{a}}\right)=-i \Delta_{j j^{\prime},-}$ [cf. (8.12)]. As before, we consider only the MWG transverse mode $m=1, n=1$, here for $\omega_{\mathrm{a}}$ close to the cutoff $\omega_{11}$, such that the denominator of the spectrum (8.34) is approximated by $\sqrt{\left(\omega / \omega_{11}\right)^2-1} \approx \sqrt{2} \sqrt{\omega / \omega_{11}-1}$. Upon evaluating the integrals in $J_{j j^{\prime}}(s)$ for the approximated spectrum, we invert the Laplace transform (8.38) to find
$$
\alpha_1(t)=\sqrt{i} e^{-i \omega_{11} t} \sum_{l=1}^5 c_l\left[\frac{1}{\sqrt{\pi t}}+\sqrt{i} u_l e^{i u_l^2 t} \operatorname{erfc}\left(-u_l \sqrt{i t}\right)\right] .
$$
Although the explicit form of the constants $c_l, u_l$ is complicated, the $1 / \sqrt{\pi t}$ dependence of the first term in the square brackets indicates that $\alpha_1(t)$ does not decay exponentially at long times, thus deviating drastically from the Markovian (GR) decay.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy Effects in High-Q Cavities

Cooperative atomic effects in resonant cavities have been studied in Chapter 7 , based on the Tavis-Cummings model that assumes many atoms to be identically coupled to a single mode. The limitation of this model is that it ignores the symmetry-breaking dipole-dipole effects, which are important at near-zone separations.

Here we consider a pair of identical TLS (atoms or excitons), sharing a photon with a high- $Q$ mode in a cavity. We treat the two TLS coupled to a bath with an arbitrary mode-density spectrum in a nonperturbative fashion. The reason for such a treatment is that the standard perturbative theory of two-atom coupling, to second order in the field, consistently with the Markovian approximation, is inadequate for a bath whose mode-density spectrum does not vary smoothly, as shown in Sections 5.2 and 8.2. Drastic modifications (as compared to open-space scenarios) of interatomic excitation transfer will be shown to occur at both near-zone and farzone atomic separations, due to the competition between strong coupling of each atom to a high- $Q$ mode (vacuum Rabi splitting) and interatomic (virtual) photon exchange via all other modes (RDDI).

Here we focus on a system of two atoms that are near resonant with a high- $Q$ cavity mode. We treat a narrow spectral band of the electromagnetic bath, which is associated with the high- $Q$ mode, separately from the background mode-density spectrum: The latter bath spectrum is smooth and/or off-resonant and represents bath modes that are weakly coupled to the atoms. The two-atom interaction with the narrow band is evaluated exactly, whereas the interaction with the weakly coupled parts of the bath-mode spectrum is treated by second-order perturbation theory. Accordingly, we obtain the effective Hamiltonian in the following second-quantized form:
$$
\begin{aligned}
& H=\hbar \sum_{j=1}^2 \omega_j\left|e_j\right\rangle\left\langle e_j\right|+\hbar \sum_k \omega_k a_k^{\dagger} a_k \
& +\hbar \Delta_{12}\left(\left|e_1 g_2\right\rangle\left\langle e_2 g_1|+| e_2 g_1\right\rangle\left\langle e_1 g_2\right|\right) \
& +\hbar \sum_{j=1}^2 \sum_k\left(\eta_{k j} a_k\left|e_j\right\rangle\left\langle g_j\right|+\text { H.c. }\right) . \
&
\end{aligned}
$$

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Non-Markovian Theory of RDDI in Waveguides

在这里，我们概述了 RDDI 在场限制结构（例如波导) 中的非微扰、非马尔可夫理论。根据哈密顿量 (8.1)，如果原子 1 最初处于激发状态，则组合（原子+浴) 系统的状态在 RWA 中为:
$$
|\psi(t)\rangle=\alpha_1(t)\left|e_1, g_2, 0\right\rangle+\alpha_2(t)\left|g_1, e_2, 0\right\rangle+\sum_k \beta_k(t)\left|g_1, g_2, 1_k\right\rangle .
$$
将此状态揷入薛定谔方程后，我们得到的动力学方程为 $\alpha_1(t), \alpha_2(t)$ ，和 $\beta_k(t)$. 将他们的拉普拉斯变换作为初始条件， $\alpha_1(0)=1, \alpha_2(0)=\beta_k(0)=0$ ，然后我们得到拉普拉斯变换 $\alpha_1(t)$
$$
\tilde{\alpha} 1(s)=\left[s+J 11(s)+i \omega_{\mathrm{a}}-\frac{J_{12}(s) J_{21}(s)}{s+J_{22}(s)+i \omega_{\mathrm{a}}}\right]^{-1}
$$
在哪里 $J_{j j^{\prime}}(s)=\sum_k \frac{\eta_{k, k} \eta_{k, j^{\prime}}}{s+i \omega_k}$. 可以证明 $J_{j j^{\prime}}\left(-i \omega_{\mathrm{a}}\right)=-i \Delta_{j j^{\prime},-}$ [t匕匕匕照。(8.12)]。和以前一样，我们只考虑 MWG 横模 $m=1, n=1$ ，在这里为 $\omega_{\mathrm{a}}$ 接近截止点 $\omega_{11}$ ，这样频谱 (8.34) 的分母近似为 $\sqrt{\left(\omega / \omega_{11}\right)^2-1} \approx \sqrt{2} \sqrt{\omega / \omega_{11}-1}$. 在评估积分时 $J_{j j^{\prime}}(s)$ 对于近似谱，我们反转拉普拉斯变换 (8.38) 以找到
$$
\alpha_1(t)=\sqrt{i} e^{-i \omega_{11} t} \sum_{l=1}^5 c_l\left[\frac{1}{\sqrt{\pi t}}+\sqrt{i} u_l e^{i u_l^2 t} \operatorname{erfc}\left(-u_l \sqrt{i t}\right)\right]
$$
虽然常量的显式形式 $c_l, u_l$ 很复杂， $1 / \sqrt{\pi t}$ 方括号中第一项的依赖性表明 $\alpha_1(t)$ 不会长时间呈指数衰减，因此大大偏离马尔可夫 (GR) 衰减。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy Effects in High-Q Cavities

第 7 章基于 Tavis-Cummings 模型研究了谐振腔中的协同原子效应，该模型假定许多原子以相同方式耦合到单一模式。该模型的局限性在于它忽略了对称破缺偶极-偶极效应，这在近区分离中很重要。
在这里，我们考虑一对相同的 TLS (原子或激子)，共享一个具有高 $Q$ 模腔中。我们以非微扰方式处理耦合到具有任意模式密度谱的浴的两个 TLS。进行这种处理的原因是双原子耦合的标准微扰理论，在场中二阶，与马尔可夫近似一致，对于模式密度谱不平滑变化的浴是不合适的，如第5.2 和 8.2。由于每个原子的强耦合与高- $Q$ 模式 (真空 Rabi 分裂) 和原子间 (虚拟) 光子交换通过所有其他模式 (RDDI)。
在这里，我们专注于一个由两个原子组成的系统，这两个原子与高共振接近 $Q$ 腔模式。我们处理与高相关的电磁浴的窄光谱带 $Q$ 模式，与背景模式密度谱分开: 后者的浴谱是平滑的和/或非共振的，代表与原子二阶微扰理论处理。因此，我们得到以下二次量化形式的有效哈密顿量：
$$
H=\hbar \sum_{j=1}^2 \omega_j\left|e_j\right\rangle\left\langle e_j\right|+\hbar \sum_k \omega_k a_k^{\dagger} a_k \quad+\hbar \Delta_{12}\left(\left|e_1 g_2\right\rangle\left\langle e_2 g_1|+| e_2 g_1\right\rangle\left\langle e_1 g_2\right|\right)+\hbar \sum_{j=1}^2 \sum_k
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy in Band Gaps

Posted on 2023年4月11日2023年4月11日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写热力学thermodynamics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

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Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy in Band Gaps

Let us consider photonic crystals free of dissipation or disorder, where the edge of a band gap is a singularity of the DOM (i.e., $\rho_n(\omega)$ vanishes abruptly). Then, within a bandgap,
$$
\gamma_{j j^{\prime}} \propto \gamma \propto \rho_n\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)=0
$$
The evaluation of $\Delta_{j j^{\prime}}$ in a band gap is more involved. The frequency is expanded about the singularity $\omega_{\mathrm{c}}$, the lower or upper edge of the bandgap (Fig. 3.3),
$$
\omega=\omega_{\mathrm{c}}+b \kappa^2+\ldots
$$
$\kappa$ being the deviation from $K_{\mathrm{c}}$, the wave vector of the band edge. The firstderivative term in the expansion vanishes at the cutoff. Just above the cutoff frequency or the lower edge of a band gap $\omega_{\mathrm{c}}$, this expansion corresponds to
$$
\rho_n(\omega) \simeq \frac{\omega\left(\omega^2-\omega_{\mathrm{c}}^2\right)^{1 / 2}}{\left(2 b \omega_{\mathrm{c}}\right)^{3 / 2}} \theta\left(\omega^2-\omega_{\mathrm{c}}^2\right),
$$
$\theta$ being the Heaviside step function. An analogous expression is obtained for $\omega_{\mathrm{c}}$ at the upper edge of a band gap.

For this form of $\rho_n(\omega), \Delta_{j j^{\prime}}$ can be evaluated for $\omega_{\mathrm{a}}$ just below $\omega_{\mathrm{c}}$ upon extending the integral in (8.21) over the domain $\omega_{\mathrm{c}}<\omega<\infty$ and $-\infty<\omega<-\omega_{\mathrm{c}}$. We consider the integrand to be symmetric in $\omega$, exclude the bandgap and its edges, $-\omega_{\mathrm{c}} \leq \omega \leq \omega_{\mathrm{c}}$, by branch cuts, and close the contour by a circle of infinite radius (Fig. 8.2). The $\pm \omega_{\mathrm{a}}$ residues that contribute to the integral are the product of two factors: (i) the analytic continuation of $\rho_n(\omega)[\mathrm{Eq} . ~(8.28)]$ into the band gap that has the form,
$$
\rho_n\left( \pm \omega_{\mathrm{a}}\right)=\chi^2 \frac{d \chi}{d \omega}= \pm i \frac{\omega_{\mathrm{a}}\left(\omega_{\mathrm{a}}^2-\omega_{\mathrm{c}}^2\right)^{1 / 2}}{\left(2 b \omega_{\mathrm{c}}\right)^{3 / 2}}
$$
where $\chi$ is the imaginary part of the wave vector; and (ii) the analytic continuation of $f_n(K R) \Phi_n^{j j^{\prime}}(K)$, which amounts to the replacement of the angular integral in (8.18) by an integral over evanescent modes with complex wave vectors:
$$
\int d \Omega_{\hat{\boldsymbol{K}}}\left(\hat{\boldsymbol{\rho}} \cdot \boldsymbol{\epsilon}\lambda\right)^2 \phi\alpha^*\left(\boldsymbol{r}j\right) \phi\alpha\left(\boldsymbol{r}{j^{\prime}}\right) \rightarrow \int d \Omega{\hat{\boldsymbol{K}}}\left(\hat{\boldsymbol{\rho}} \cdot \boldsymbol{\epsilon}_\lambda\right)^2 \exp (i \boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{R}-|\boldsymbol{\chi} \cdot \boldsymbol{R}|) \cdot(8.30)
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Long-Range RDDI near a Waveguide Cutoff

Contrary to RDDI suppression in a band gap of a photonic crystal, the cooperative Lamb shift (RDDI) can be enhanced, while the radiative rate $\gamma_{j j^{\prime}}$ can be suppressed (compared to free space) when atoms are placed inside a rectangular hollow metallic waveguide (MWG) along its axis $z$ [Fig. 8.3(a)].

These results are determined by two key features of the waveguide structure: (1) below the cutoff $\omega_{m n}$ no guided photon modes exist, and (2) the density of states diverges near the cutoff, because it is proportional to
$$
\frac{\partial k}{\partial \omega}=\frac{1}{c} \frac{\omega}{\omega_{m n}} \frac{1}{\sqrt{\left(\omega / \omega_{m n}\right)^2-1}}
$$
In what follows, feature (1) will be shown to suppress radiative decay and feature (2) to enhance and extend the range of RDDI.

Let the atoms be polarizable in the $z$ direction, $\wp_{e g}=\wp_{e g} \boldsymbol{e}z$. Since in TE modes the $z$ component of the electric field vanishes, only TM modes contribute to the bath spectrum, which evaluates to [cf. (3.12) and Table 3.1] $$ G{j j^{\prime}}(\omega)=\sum_{m n} \frac{\Gamma_{m n}}{2 \pi} \frac{\cos \left[k\left(z_j-z_{j^{\prime}}\right)\right]}{\sqrt{\left(\omega / \omega_{m n}\right)^2-1}} \theta\left(\omega-\omega_{m n}\right) .
$$
Here we have introduced $\Gamma_{m n} \equiv \frac{4 \omega_{m n} \tilde{\xi}{m n, j} \tilde{\varphi}{m n, j^{\prime}}}{\pi \epsilon_0 \hbar c a b}$, where
$$
\tilde{\wp}{m n, j}=\wp{e g} \sin \left(\frac{m \pi}{a} x_j\right) \sin \left(\frac{n \pi}{b} y_j\right),
$$ $\left(x_j, y_j\right)$ being the transverse position of atom $j$ in a waveguide with transverse dimensions $a$ and $b$.

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy in Band Gaps

让我们考虑没有耗散或无序的光子晶体，其中带隙的边缘是 DOM 的奇点 (即， $\rho_n(\omega)$ 突然消失) 。然后，在带隙内，
$$
\gamma_{j j^{\prime}} \propto \gamma \propto \rho_n\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)=0
$$
的评价 $\Delta_{j j^{\prime}}$ 在带隙中涉及更多。频率围绕奇点展开 $\omega_c$ ，带隙的下边缘或上边缘（图 3.3)，
$$
\omega=\omega_{\mathrm{c}}+b \kappa^2+\ldots
$$
$\kappa$ 是偏离 $K_{\mathrm{c}}$ ，带边的波矢。展开中的一阶导数项在截止处消失。刚好高于截止频率或带隙的下边缘 $\omega_{\mathrm{c}}$ ，这个扩展对应于
$$
\rho_n(\omega) \simeq \frac{\omega\left(\omega^2-\omega_{\mathrm{c}}^2\right)^{1 / 2}}{\left(2 b \omega_{\mathrm{c}}\right)^{3 / 2}} \theta\left(\omega^2-\omega_{\mathrm{c}}^2\right)
$$
$\theta$ 是 Heaviside 阶跃函数。获得了类似的表达式 $\omega_{\mathrm{c}}$ 在带隙的上边缘。
对于这种形式 $\rho_n(\omega), \Delta_{j j^{\prime}}$ 可以评估 $\omega_{\mathrm{a}}$ 略低于 $\omega_{\mathrm{c}}$ 将 (8.21) 中的积分扩展到域上 $\omega_{\mathrm{c}}<\omega<\infty$ 和 $-\infty<\omega<-\omega_{\mathrm{c}}$. 我们认为被积函数是对称的 $\omega$ ，排除带隙及其边缘， $-\omega_{\mathrm{c}} \leq \omega \leq \omega_{\mathrm{c}}$ ，通过分支切割，并通过无限半径的圆闭合轮廓 (图 8.2) 。这 $\pm \omega_{\mathrm{a}}$ 对积分有贡献的留数是两个因素的乘积：(i) 的分析延拓 $\rho_n(\omega)[\mathrm{Eq} .(8.28)]$ 进入具有形式的带隙，
$$
\rho_n\left( \pm \omega_{\mathrm{a}}\right)=\chi^2 \frac{d \chi}{d \omega}= \pm i \frac{\omega_{\mathrm{a}}\left(\omega_{\mathrm{a}}^2-\omega_{\mathrm{c}}^2\right)^{1 / 2}}{\left(2 b \omega_{\mathrm{c}}\right)^{3 / 2}}
$$
在哪里 $\chi$ 是波矢的虚部；(ii) 分析的延续 $f_n(K R) \Phi_n^{j j^{\prime}}(K)$ ，这相当于用具有复波矢量的渐逝模式积分代替 (8.18) 中的角积分:
$$
\int d \Omega_{\hat{\boldsymbol{K}}}(\hat{\boldsymbol{\rho}} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \lambda)^2 \phi \alpha^*(\boldsymbol{r} j) \phi \alpha\left(\boldsymbol{r} j^{\prime}\right) \rightarrow \int d \Omega \hat{\boldsymbol{K}}\left(\hat{\boldsymbol{\rho}} \cdot \boldsymbol{\epsilon}_\lambda\right)^2 \exp (i \boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{R}-|\boldsymbol{\chi} \cdot \boldsymbol{R}|) \cdot(8.30)
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Long-Range RDDI near a Waveguide Cutoff

与光子晶体带隙中的 RDDI 抑制相反，协同兰姆位移 (RDDI) 可以增强，而辐射率 $\gamma_{j j^{\prime}}$ 当原子沿其轴放置在矩形空心金属波导 (MWG) 内时，可以被抑制（与自由空间相比） $z$ [如图。8.3(a)]。
这些结果由波导结构的两个关键特征决定：(1) 在截止以下 $\omega_{m n}$ 不存在引导光子模式，并且 (2) 状态密度在截止点附近发散，因为它与
$$
\frac{\partial k}{\partial \omega}=\frac{1}{c} \frac{\omega}{\omega_{m n}} \frac{1}{\sqrt{\left(\omega / \omega_{m n}\right)^2-1}}
$$
在下文中，将展示特征 (1) 来抑制辐射衰减，特征 (2) 来增强和扩展 RDDI 的范围。
让原子在 $z$ 方向， $\wp_{e g}=\wp_{e g} e z$. 由于在 TE 模式下 $z$ 电场的分量消失，只有 TM 模式对浴谱有贡献，其评估为 [cf. (3.12) 和表 3.1]
$$
G j j^{\prime}(\omega)=\sum_{m n} \frac{\Gamma_{m n}}{2 \pi} \frac{\cos \left[k\left(z_j-z_{j^{\prime}}\right)\right]}{\sqrt{\left(\omega / \omega_{m n}\right)^2-1}} \theta\left(\omega-\omega_{m n}\right)
$$
在这里我们介绍了 $\Gamma_{m n} \equiv \frac{4 \omega_{m n n} \tilde{\xi} m n, j \tilde{\varphi} m n, j^{\prime}}{\pi \epsilon_0 \hbar c a b} ，$ 在哪里
$$
\tilde{\wp} m n, j=\wp e g \sin \left(\frac{m \pi}{a} x_j\right) \sin \left(\frac{n \pi}{b} y_j\right),
$$
$\left(x_j, y_j\right)$ 是原子的横向位置 $j$ 在具有横向尺寸的波导中 $a$ 和 $b$.

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|SEM202

Posted on 2023年3月18日2023年3月18日 by statistics-lab

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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Electron–Phonon Interaction

The electron-phonon interaction can be shown to bear analogy to the optomechanical interaction in Section 4.2.1. In media where the electron-phonon interaction is weak, the deformation-potential method may be applied to long-wavelength phonons. Whereas in an unstrained (cubic) covalent crystal the electron energy band may be assumed spherical,
$$
E_0(\boldsymbol{k})=\frac{\hbar^2 k^2}{2 m^}, $$ $m^$ being the effective mass of the conduction electron, a small (uniform) static deformation yields for low $k$,
$$
E(\boldsymbol{k}) \simeq E_0(\boldsymbol{k})+C_{\mathrm{d}} \delta \mathcal{V},
$$
where $\delta \mathcal{V}$ is the dilation (relative volume change) given by the trace of the strain tensor, and
$$
C_{\mathrm{d}}=\frac{\partial E(\mathbf{0})}{\partial(\delta \mathcal{V})}=-\frac{2}{3} E_{\mathrm{F}}
$$
for a free electron gas, $E_{\mathrm{F}}$ being the Fermi energy.
For long-wavelength acoustic phonons, we have, instead of (4.23),
$$
E(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{x})=E_0(\boldsymbol{k})+C_{\mathrm{d}} \delta \mathcal{V}(\boldsymbol{x})
$$
We then expand the Hamiltonian of the dilation perturbation in phonon operators $(3.26)$
$$
\begin{aligned}
\tilde{H}{\mathrm{d}}= & \int d^3 x \hat{\Psi}^{\dagger}(\boldsymbol{x}) C{\mathrm{d}} \delta \mathcal{V}(\boldsymbol{x}) \hat{\Psi}(\boldsymbol{x})=\sum_{\boldsymbol{k}^{\prime}, \boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^{\dagger} c_{\boldsymbol{k}}\left\langle\boldsymbol{k}^{\prime}\left|C_{\mathrm{d}} \delta \mathcal{V}\right| \boldsymbol{k}\right\rangle \
= & i C_{\mathrm{d}} \sum_{\boldsymbol{k}^{\prime}, \boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^{\dagger} c_{\boldsymbol{k}} \sum_{\boldsymbol{q}}|\boldsymbol{q}| \sqrt{\frac{\hbar}{2 \rho \omega_q}}\left[a_{\boldsymbol{q}} \int d^3 x u_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^* u_{\boldsymbol{k}} e^{i\left(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^{\prime}+\boldsymbol{q}\right) \cdot \boldsymbol{x}}\right. \
& \left.-a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger} \int d^3 x u_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^* u_{\boldsymbol{k}} e^{i\left(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^{\prime}-\boldsymbol{q}\right) \cdot x}\right]
\end{aligned}
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Polaronic Interaction of a Two-Level System with a Phonon Bath

This model consists of a driven two-level system (TLS) whose $\sigma_z$ operator is coupled to a (dephasing) bath, while its $\sigma_x$ operator is coupled to another (energy-exchange) bath. The Hamiltonian is then
$$
H=H_{\mathrm{S}}+H_{\mathrm{SB}}+H_{\mathrm{B}}
$$
where
$$
\begin{aligned}
H_{\mathrm{S}} & =\frac{\hbar \omega_0}{2} \sigma_z+\frac{\hbar \Omega}{2}\left(\sigma_{+} e^{-i \omega_l t}+\sigma_{-} e^{i \omega_l t}\right), \
H_{\mathrm{SB}} & =\sigma_z \otimes \hbar \sum_k\left(g_k a_k^{\dagger}+g_k^* a_k\right)+\sigma_x \otimes \hbar \sum_k\left(\eta_k b_k^{\dagger}+\eta_k^* b_k\right), \
H_{\mathrm{B}} & =\hbar \sum_k \omega_k a_k^{\dagger} a_k+\hbar \sum_k \tilde{\omega}_k b_k^{\dagger} b_k .
\end{aligned}
$$
Here $\Omega$ is the Rabi frequency of the driving field, $g_k$ and $\eta_k$ are coupling strengths of the TLS to the mode $k$ of the corresponding bath, and $a_k^{\dagger}, a_k\left(b_k^{\dagger}, b_k\right)$ are the creation and annihilation operators of the mode $k$ of the corresponding bath. Due to the driving, the system Hamiltonian is not diagonal in the $\sigma_z$ basis, thereby allowing energy exchange with the dephasing bath.

The system dynamics can be studied upon applying to (4.35) the polaron transformation $e^{\mathcal{T}}$, where
$$
\mathcal{T}=\sigma_Z \otimes \sum_k\left(\alpha_k a_k^{\dagger}-\alpha_k^* a_k\right), \quad \alpha_k=\frac{g_k}{\omega_k} .
$$
This transformation shifts the equilibrium position of the dephasing bath oscillators by a factor proportional to the TLS energy. The transformed Hamiltonian has the form
$$
\widetilde{H}=e^{\mathcal{T}} H e^{-\mathcal{T}}=\tilde{H}{\mathrm{S}}+\widetilde{H}{\mathrm{SB}}+\widetilde{H}{\mathrm{B}} $$ where $$ \begin{gathered} \widetilde{H}{\mathrm{S}}=\frac{\hbar \omega_0}{2} \sigma_z+\frac{\hbar \Omega_{\mathrm{r}}}{2}\left(\sigma_{+} e^{-i \omega_l t}+\sigma_{-} e^{i \omega_l t}\right) \
\widetilde{H}{\mathrm{SB}}=\frac{\hbar \Omega}{2}\left[e^{-i \omega_l t} \sigma{+} \otimes\left(A_{+}-A\right)+e^{i \omega_l t} \sigma_{-} \otimes\left(A_{-}-A\right)\right]
\end{gathered}
$$ $\begin{gathered}+\left(\sigma_{+} \otimes A_{+}+\sigma_{-} \otimes A_{-}\right) \otimes \hbar \sum_k\left(\eta_k b_k^{\dagger}+\eta_k^* b_k\right), \ \tilde{H}_{\mathrm{B}}=\hbar \sum_k \omega_k a_k^{\dagger} a_k+\hbar \sum_k \tilde{\omega}_k b_k^{\dagger} b_k .\end{gathered}$

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Electron–Phonon Interaction

可以证明电子-声子相互作用类似于第 4.2.1 节中的光机相互作用。在电子-声子相互作用较弱的介质中，变形势法可应用于长波长声子。而在无应变 (立方) 共价晶体中，电子能带可以假设为球形，
$$
\text { E_O(lboldsymbol }{\mathrm{k}})=\mid f \mathrm{frac}\left{\backslash \mathrm{hbar} \wedge 2 \mathrm{k}^{\wedge} 2\right}\left{2 \mathrm{~m}^{\wedge}\right},
$$
米^作为传导电子的有效质量，小的（均匀的）静态变形产生低 $k$ ，
$$
E(\boldsymbol{k}) \simeq E_0(\boldsymbol{k})+C_{\mathrm{d}} \delta \mathcal{V}
$$
在哪里 $\delta \mathcal{V}$ 是由应变张量的轨迹给出的膨胀（相对体积变化），并且
$$
C_{\mathrm{d}}=\frac{\partial E(\mathbf{0})}{\partial(\delta \mathcal{V})}=-\frac{2}{3} E_{\mathrm{F}}
$$
对于长波长声学声子，我们有，而不是 (4.23)，
$$
E(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{x})=E_0(\boldsymbol{k})+C_{\mathrm{d}} \delta \mathcal{V}(\boldsymbol{x})
$$
然后我们扩展声子算子中膨胀扰动的哈密顿量 $(3.26)$
$$
\tilde{H} \mathrm{~d}=\int d^3 x \hat{\Psi}^{\dagger}(\boldsymbol{x}) C \mathrm{~d} \delta \mathcal{V}(\boldsymbol{x}) \hat{\Psi}(\boldsymbol{x})=\sum_{\boldsymbol{k}^{\prime}, \boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^{\dagger} c_{\boldsymbol{k}}\left\langle\boldsymbol{k}^{\prime}\left|C_{\mathrm{d}} \delta \mathcal{V}\right| \boldsymbol{k}\right\rangle=\quad i C_{\mathrm{d}} \sum_{\boldsymbol{k}^{\prime}, \boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^{\dagger} c_{\boldsymbol{k}} \sum_{\boldsymbol{q}}|\boldsymbol{q}| \sqrt{\frac{\hbar}{2 \rho \omega}}
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Polaronic Interaction of a Two-Level System with a Phonon Bath

该模型由一个驱动的两级系统 (TLS) 组成，其 $\sigma_z$ 操作员耦合到（去相位) 浴，而其 $\sigma_x$ 操作员耦合到另一个 (能量交换) 浴。那么哈密顿量是
$$
H=H_{\mathrm{S}}+H_{\mathrm{SB}}+H_{\mathrm{B}}
$$
在哪里
$$
H_{\mathrm{S}}=\frac{\hbar \omega_0}{2} \sigma_z+\frac{\hbar \Omega}{2}\left(\sigma_{+} e^{-i \omega_l t}+\sigma_{-} e^{i \omega_l t}\right), H_{\mathrm{SB}} \quad=\sigma_z \otimes \hbar \sum_k\left(g_k a_k^{\dagger}+g_k^* a_k\right)+\sigma_x \otimes \hbar \sum_k
$$
这里 $\Omega$ 是驱动场的拉比频率， $g_k$ 和 $\eta_k$ 是 TLS 与模式的耦合强度 $k$ 相应的浴缸，和 $a_k^{\dagger}, a_k\left(b_k^{\dagger}, b_k\right)$ 是模式的创造和湮灭算子 $k$ 相应的浴缶。由于驱动，系统哈密顿量在 $\sigma_z$ 基础，从而允许与去相浴进行能量交换。
系统动力学可以通过应用到 (4.35) 极化子变换来研究 $e^{\mathcal{T}}$ ，在哪里
$$
\mathcal{T}=\sigma_Z \otimes \sum_k\left(\alpha_k a_k^{\dagger}-\alpha_k^* a_k\right), \quad \alpha_k=\frac{g_k}{\omega_k} .
$$
这种转变将去相位浴振荡器的平衡位置移动了一个与 TLS 能量成比例的因子。变换后的哈密顿量具有以下形式
$$
\widetilde{H}=e^{\mathcal{T}} H e^{-\mathcal{T}}=\tilde{H} \mathrm{~S}+\widetilde{H} \mathrm{SB}+\widetilde{H} \mathrm{~B}
$$
在哪里
$$
\begin{aligned}
& \widetilde{H} \mathrm{~S}=\frac{\hbar \omega_0}{2} \sigma_z+\frac{\hbar \Omega_{\mathrm{r}}}{2}\left(\sigma_{+} e^{-i \omega_l t}+\sigma_{-} e^{i \omega_l t}\right) \widetilde{H} \mathrm{SB}=\frac{\hbar \Omega}{2}\left[e^{-i \omega_l t} \sigma+\otimes\left(A_{+}-A\right)+e^{i \omega_l t} \sigma_{-} \otimes(A\right. \
& +\left(\sigma_{+} \otimes A_{+}+\sigma_{-} \otimes A_{-}\right) \otimes \hbar \sum_k\left(\eta_k b_k^{\dagger}+\eta_k^* b_k\right), \tilde{H}_{\mathrm{B}}=\hbar \sum_k \omega_k a_k^{\dagger} a_k+\hbar \sum_k \tilde{\omega}_k b_k^{\dagger} b_k
\end{aligned}
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|NEM2201

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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Radiative Transitions in Atoms

Here we consider transitions between two electronic states of an atom, $|e\rangle$ and $|g\rangle$, resulting in the emission or absorption of one photon, via the interaction (4.1). The matrix element for single-photon emission that corresponds to the term linear in $\boldsymbol{A}$ in (4.1), expanded as per (3.5), is given by
$$
\begin{aligned}
\left\langle g, n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\left|H_{\mathrm{I}}\right| e, n_\lambda(\boldsymbol{k})\right\rangle= & -\frac{e}{m}\left(\frac{2 \pi \hbar}{\mathcal{V} \omega_{\boldsymbol{k}}}\right)^{1 / 2}\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]^{1 / 2} \
& \times\left\langle g\left|\epsilon_{\boldsymbol{k} \lambda}^* \cdot \sum_i e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}i} \boldsymbol{p}_i\right| e\right\rangle, \end{aligned} $$ where $n\lambda(\boldsymbol{k})$ is the initial photon number in the mode $(\boldsymbol{k}, \lambda), \boldsymbol{k}$ being the wave vector and $\lambda$ the polarization, $\omega_{\boldsymbol{k}}$ is the photon frequency at a given $\boldsymbol{k}, \mathcal{V}$ is the quantization volume, $\boldsymbol{\epsilon}{\boldsymbol{k} \lambda}$ is a unit polarization vector of the photon, $e$ and $m$ are the electron charge and mass, whereas $\boldsymbol{r}_i$ and $\boldsymbol{p}_i$ are the position and momentum of the atomic electron $i$. The corresponding transition probability per unit time is then $$ w\lambda d \Omega_{\mathrm{s}}=\frac{e^2 \omega_{\mathrm{a}} d \Omega_{\mathrm{s}}}{2 \pi m^2 \hbar c^3}\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]\left|\epsilon_{\boldsymbol{k} \lambda}^* \cdot\left\langle g\left|\sum_i e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}i} p_i\right| e\right\rangle\right|^2, $$ where $\omega{\mathrm{a}}=\left(E_e-E_g\right) / \hbar$ and $E_e$ and $E_g$ are the energies of the excited and ground atomic (electronic) states, $\Omega_{\mathrm{s}}$ being the solid angle of the emission. Equation (4.3) can be adapted to the absorption of a photon upon replacing the factor $\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]$ by $n_\lambda(\boldsymbol{k})$.

The electric dipole approximation is valid provided we can approximate the exponential factors in Eqs. (4.2) and (4.3) by unity: $$
e^{-i k \cdot \boldsymbol{r}i} \approx 1 . $$ This holds if the wavelength $2 \pi / k$ of the photon is very large compared to the size $R$ of the atom, as in the case of optical atomic transitions. Then the wave functions of $|e\rangle$ and $|g\rangle$ restrict the values of $\boldsymbol{r}_i$ to $\left|\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}_i\right| \lesssim k R \ll 1$. The equation of motion $$ i \hbar \dot{\boldsymbol{r}}_i=\left[\boldsymbol{r}_i, H{\mathrm{a}}\right]
$$
where $H_{\mathrm{a}}$ is the atomic Hamiltonian, yields
$$
\left\langle g\left|\boldsymbol{p}i\right| e\right\rangle=m\left\langle g\left|\dot{\boldsymbol{r}}_i\right| e\right\rangle=-i m \omega{\mathrm{a}}\left\langle g\left|\boldsymbol{r}i\right| e\right\rangle $$ The electric dipole operator $\boldsymbol{d}=e \sum_i \boldsymbol{r}_i$ in this two-state basis may be represented by $$ \boldsymbol{d}=\sum{j, l=e, g}|j\rangle\langle j|\boldsymbol{d}| l\rangle\langle l|=\sum_{j, l=e, g} \boldsymbol{\wp}{j l} \sigma{j l}
$$
where $\wp_{j l}=\langle j|d| l\rangle$ is the electric-dipole transition matrix element. The transition operators $\sigma_{j l}=|j\rangle\langle l|$ form the set
$$
\begin{aligned}
\sigma_z & =|e\rangle\langle e|-| g\rangle\langle g|, \
\sigma_{+} & =|e\rangle\langle g|, \
\sigma_{-} & =|g\rangle\langle e|,
\end{aligned}
$$
where $\sigma_{+}, \sigma_{-}$, and $\sigma_z$ satisfy the spin-1/2 algebra of the Pauli matrices, that is,
$$
\begin{gathered}
{\left[\sigma_{-}, \sigma_{+}\right]=-\sigma_z,} \
{\left[\sigma_{-}, \sigma_z\right]=2 \sigma_{-} .}
\end{gathered}
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Polaronic System–Bath Interactions

We consider the basic opto-mechanical Hamiltonian that governs an optical cavity mode (denoted by O) that is coupled to a photonic bath and to a mechanical oscillator (denoted by M). The total Hamiltonian then has the form
$$
\begin{aligned}
H_{\text {Tot }} & =H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}+\left(O^{\dagger}+O\right) \otimes B ; \
H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}} & =\omega_{\mathrm{O}} O^{\dagger} O+\Omega_{\mathrm{M}} M^{\dagger} M+g O^{\dagger} O\left(M+M^{\dagger}\right) .
\end{aligned}
$$
Here $O^{\dagger}, O$ and $M^{\dagger}, M$ are the creation and annihilation operators of the cavity mode and the oscillator, respectively; $\omega_{\mathrm{O}}, \Omega_{\mathrm{M}}$ and $g$ are their respective frequencies and coupling rate; and $B$ is the photonic-bath operator (Fig. 4.1).

We transform these operators to the basis of hybridized optical-mechanical modes that diagonalize $H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}$ without changing their frequency. Namely,
$$
\begin{aligned}
H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}} & =\widetilde{H}{\mathrm{O}}+\widetilde{H}{\mathrm{M}}, \quad \widetilde{H}{\mathrm{O}}=\omega{\mathrm{O}} \tilde{O}^{\dagger} \tilde{O}-\left(g \widetilde{O}^{\dagger} \widetilde{O}\right)^2 \frac{1}{\Omega_{\mathrm{M}}}, \quad \widetilde{H}{\mathrm{M}}=\Omega{\mathrm{M}} \tilde{M}^{\dagger} \tilde{M}, \
\tilde{M} & =M+\frac{g}{\Omega_{\mathrm{M}}} O^{\dagger} O, \quad \widetilde{O}=O e^{\frac{g}{\Omega_{\mathrm{M}}^{\mathrm{M}}}\left(M^{\dagger}-M\right)} .
\end{aligned}
$$
The new variables can be expressed in terms of the unitary (“polaron”) transformation $$
U=e^{\frac{g}{\frac{g}{2 \mathrm{M}}\left(M^{+}-M\right) O^{\dagger} O}} .
$$
as $\tilde{O}=U^{\dagger} O U$ and $\tilde{M}=U^{\dagger} M U$. Then, the interaction between the optical mode and the photonic bath is found to indirectly affect the mechanical oscillator.

We shall restrict ourselves to low excitations of the transformed number operators $\hat{n}{\tilde{O}}=\widetilde{O}^{\dagger} \tilde{O}$ and $\hat{n}{\tilde{M}}=\tilde{M}^{\dagger} \tilde{M}$ and to the weak optomechanical-coupling regime. Namely, we shall assume
$$
\left(\frac{g}{\Omega_{\mathrm{M}}}\right)^2\left\langle n_{\tilde{M}}\right\rangle \ll 1, \quad \frac{g^2}{\Omega_{\mathrm{M}}}\left\langle n_{\tilde{O}}\right\rangle^2 t \ll 1,
$$
where $\left\langle n_{\tilde{M}}\right\rangle$ and $\langle n \tilde{O}\rangle$ are the mean numbers of quanta in the $\tilde{M}$ and $\widetilde{O}$ degrees of freedom, respectively.

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Radiative Transitions in Atoms

在这里，我们考虑原子的两个电子态之间的跃迁， $|e\rangle$ 和 $|g\rangle$ ，通过相互作用 (4.1) 导致一个光子的发射或吸收。对应于线性项的单光子发射矩阵元素 $\boldsymbol{A}$ 在 (4.1) 中，根据 (3.5) 展开，由下式给出
$$
\left\langle g, n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\left|H_{\mathrm{I}}\right| e, n_\lambda(\boldsymbol{k})\right\rangle=-\frac{e}{m}\left(\frac{2 \pi \hbar}{\mathcal{V} \omega_{\boldsymbol{k}}}\right)^{1 / 2}\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]^{1 / 2} \times\left\langle g\left|\epsilon_{\boldsymbol{k} \lambda}^* \cdot \sum_i e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r i}} \boldsymbol{p}i\right| e\right\rangle $$ 在哪里 $n \lambda(\boldsymbol{k})$ 是模式中的初始光子数 $(\boldsymbol{k}, \lambda), \boldsymbol{k}$ 是波矢量和 $\lambda$ 极化， $\omega_k$ 是给定的光子频率 $\boldsymbol{k}, \mathcal{V}$ 是量化体积， $\boldsymbol{\epsilon k} \lambda$ 是光子的单位偏振矢量， $e$ 和 $m$ 是电子电荷和质量，而 $\boldsymbol{r}_i$ 和 $\boldsymbol{p}_i$ 是原子电子的位置和动量 $i$. 对应的单位时间转移概率为 $$ w \lambda d \Omega{\mathrm{s}}=\frac{e^2 \omega_{\mathrm{a}} d \Omega_{\mathrm{s}}}{2 \pi m^2 \hbar c^3}\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]\left|\epsilon_{\boldsymbol{k} \lambda}^* \cdot\left\langle g\left|\sum_i e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} i} p_i\right| e\right\rangle\right|^2
$$
在哪里 $\omega \mathrm{a}=\left(E_e-E_g\right) / \hbar$ 和 $E_e$ 和 $E_g$ 是激发态和基态原子（电子）态的能量， $\Omega_{\mathrm{s}}$ 是发射的立体角。等式 (4.3) 可以在替换因数后适用于光子的吸收 $\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]$ 经过 $n_\lambda(\boldsymbol{k})$.
如果我们可以近似方程式中的指数因子，则电偶极子近似是有效的。(4.2) 和 (4.3) 合一:
$$
e^{-i k \cdot r i} \approx 1
$$
如果波长 $2 \pi / k$ 与尺寸相比，光子的尺寸非常大 $R$ 原子，如光学原子跃迁的情况。那么波函数为 $|e\rangle$ 和 $|g\rangle$ 限制值 $\boldsymbol{r}i$ 到 $\left|\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}_i\right| \lesssim k R \ll 1$. 运动方程 $$ i \hbar \dot{\boldsymbol{r}}_i=\left[\boldsymbol{r}_i, H \mathrm{a}\right] $$ 在哪里 $H{\mathrm{a}}$ 是原子哈密顿量，产量
$$
\langle g|\boldsymbol{p} i| e\rangle=m\left\langle g\left|\dot{\boldsymbol{r}}i\right| e\right\rangle=-i m \omega \mathrm{a}\langle g|\boldsymbol{r} i| e\rangle $$ 电偶极算子 $\boldsymbol{d}=e \sum_i \boldsymbol{r}_i$ 在这个两国基础上可以表示为 $$ \boldsymbol{d}=\sum j, l=e, g|j\rangle\langle j|\boldsymbol{d}| l\rangle\langle l|=\sum{j, l=e, g} \wp j l \sigma j l
$$
在哪里 $\wp_{j l}=\langle j|d| l\rangle$ 是电偶极子跃迁矩阵元素。转换运算符 $\sigma_{j l}=|j\rangle\langle l|$ 形成集合
$$
\sigma_z=|e\rangle\langle e|-| g\rangle\left\langle g\left|, \sigma_{+}=\right| e\right\rangle\left\langle g\left|, \sigma_{-}=\right| g\right\rangle\langle e|,
$$
在哪里 $\sigma_{+}, \sigma_{-}$，和 $\sigma_z$ 满足 Pauli 矩阵的 spin- $1 / 2$ 代数，即
$$
\left[\sigma_{-}, \sigma_{+}\right]=-\sigma_z,\left[\sigma_{-}, \sigma_z\right]=2 \sigma_{-}
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Polaronic System–Bath Interactions

我们考虑控制光腔模式 (用 $O$ 表示) 的基本光机械哈密顿量，该模式耦合到光子浴和机械振荡器 (用 $M$ 表示) 。总哈密顿量则具有以下形式
$$
H_{\mathrm{Tot}}=H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}+\left(O^{\dagger}+O\right) \otimes B ; H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}=\omega_{\mathrm{O}} O^{\dagger} O+\Omega_{\mathrm{M}} M^{\dagger} M+g O^{\dagger} O\left(M+M^{\dagger}\right) \text {. }
$$
这里 $O^{\dagger}, O$ 和 $M^{\dagger}, M$ 分别是腔模和振荡器的产生和湮灭算符; $\omega_{\mathrm{O}}, \Omega_{\mathrm{M}}$ 和 $g$ 是它们各自的频率和耦合率; 和 $B$ 是光子浴算子 (图 4.1) 。
我们将这些算子转换为对角化的混合光学机械模式的基础 $H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}$ 不改变他们的频率。即，
$$
H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}=\widetilde{H} \mathrm{O}+\widetilde{H} \mathrm{M}, \quad \widetilde{H} \mathrm{O}=\omega \mathrm{O} \tilde{O}^{\dagger} \tilde{O}-\left(g \widetilde{O}^{\dagger} \widetilde{O}\right)^2 \frac{1}{\Omega_{\mathrm{M}}}, \quad \widetilde{H} \mathrm{M}=\Omega \mathrm{M} \tilde{M}^{\dagger} \tilde{M}, \tilde{M} \quad=M
$$
新变量可以用么正 (“极化子”) 变换表示
$$
U=e^{\frac{g}{\frac{g}{2 M}\left(M^{+}-M\right) o \dagger o}} .
$$
作为 $\tilde{O}=U^{\dagger} O U$ 和 $\tilde{M}=U^{\dagger} M U$. 然后，发现光学模式和光子浴之间的相互作用间接影响机械振荡器。
我们将限制自己对转换后的数字运算符的低激发 $\hat{n} \tilde{O}=\tilde{O}^{\dagger} \tilde{O}$ 和 $\hat{n} \tilde{M}=\tilde{M}^{\dagger} \tilde{M}$ 以及弱光机耦合机制。即，我们假设
$$
\left(\frac{g}{\Omega_{\mathrm{M}}}\right)^2\left\langle n_{\tilde{M}}\right\rangle \ll 1, \quad \frac{g^2}{\Omega_{\mathrm{M}}}\left\langle n_{\tilde{O}}\right\rangle^2 t \ll 1
$$
在哪里 $\left\langle n_{\tilde{M}}\right\rangle$ 和 $\langle n \tilde{O}\rangle$ 是量子的平均数 $\tilde{M}$ 和 $\widetilde{O}$ 自由度，分别。

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