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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

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在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个理论框架,它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Thermal Correlation Functions

The energies of excited states are encoded in the thermal correlation functions. These functions are expectation values of products of the position operator
$$
\hat{q}{\mathrm{E}}(\tau)=\mathrm{e}^{\tau \hat{H} / \hbar} \hat{q} \mathrm{e}^{-\tau \hat{H} / \hbar}, \quad \hat{q}{\mathrm{E}}(0)=\hat{q}(0),
$$
at different imaginary times in the canonical ensemble,
$$
\left\langle\hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \cdots \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{n}\right)\right\rangle_{\beta} \equiv \frac{1}{Z(\beta)} \operatorname{tr}\left(\mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \cdots \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{n}\right)\right)
$$
The normalizing function $Z(\beta)$ is the partition function (2.56). From the thermal two-point function
$$
\begin{aligned}
\left\langle\hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{2}\right)\right\rangle_{\beta} &=\frac{1}{Z(\beta)} \operatorname{tr}\left(\mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{2}\right)\right) \
&=\frac{1}{Z(\beta)} \operatorname{tr}\left(\mathrm{e}^{-\left(\beta-\tau_{1}\right) \hat{H}} \hat{q} \mathrm{e}^{-\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right) \hat{H}} \hat{q} \mathrm{e}^{-\tau_{2} \hat{H}}\right)
\end{aligned}
$$
we can extract the energy gap between the ground state and the first excited state. For this purpose we use orthonormal energy eigenstates $|n\rangle$ to calculate the trace and in addition insert the resolution of the identity operator $\mathbb{1}=\sum|m\rangle\langle m|$. This yields
$$
\langle\ldots\rangle_{\beta}=\frac{1}{Z(\beta)} \sum_{n, m} \mathrm{e}^{-\left(\beta-\tau_{1}+\tau_{2}\right) E_{n}} \mathrm{e}^{-\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right) E_{\mathrm{m}}}\langle n|\hat{q}| m\rangle\langle m|\hat{q}| n\rangle
$$
Note that in the sum over $n$ the contributions from the excited states are exponentially suppressed at low temperatures $\beta \rightarrow \infty$, implying that the thermal two-point function converges to the Schwinger function in this limit:
$$
\left\langle\hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{2}\right)\right\rangle_{\beta} \stackrel{\beta \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \sum_{m>0} \mathrm{e}^{-\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)\left(E_{m}-E_{0}\right)}|\langle 0|\hat{q}| m\rangle|^{2}=\left\langle 0\left|\hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{2}\right)\right| 0\right\rangle
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Harmonic Oscillator

We wish to study the path integral for the Euclidean oscillator with discretized time. The oscillator is one of the few systems for which the path integral can be calculated explicitly. For more such system, the reader may consult the text [19]. But the results for the oscillator are particularly instructive with regard to lattice field theories considered later in this book. So let us discretize the Euclidean time interval $[0, \tau]$ with $n$ sampling points separated by a lattice constant $\varepsilon=\tau / n$. For the Lagrangian
$$
L=\frac{m}{2} \dot{q}^{2}+\mu q^{2}
$$
the discretized path integral over periodic paths reads
$$
\begin{aligned}
Z &=\int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n}\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \exp \left{-\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_{j}}{\varepsilon}\right)^{2}+\mu q_{j}^{2}\right)\right} \
&=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n} \exp \left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathrm{A} q)\right)
\end{aligned}
$$
where we assumed $q_{0}=q_{n}$ and introduced the symmetric matrix
$$
\mathrm{A}=\frac{m}{\varepsilon}\left(\begin{array}{cccccc}
\alpha & -1 & 0 & \cdots & 0 & -1 \
-1 & \alpha & -1 & \cdots & 0 & 0 \
& & \ddots & & & \
& & & \ddots & & \
0 & 0 & \cdots & -1 & \alpha & -1 \
-1 & 0 & \cdots & 0 & -1 & \alpha
\end{array}\right), \quad \alpha=2\left(1+\frac{\mu}{m} \varepsilon^{2}\right)
$$
This is a Toeplitz matrix in which each descending diagonal from left to right is constant. This property results from the invariance of the action under lattice translations. For the explicit calculation of $Z$, we consider the generating function
$$
\begin{aligned}
Z[j] &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \int \mathrm{d}^{n} q \exp \left{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathrm{A} q)+(\boldsymbol{j}, \boldsymbol{q})\right} \
&=\frac{(m / \varepsilon)^{n / 2}}{\sqrt{\operatorname{det} \mathrm{A}}} \exp \left{\frac{1}{2}\left(j, \mathrm{~A}^{-1} \boldsymbol{j}\right)\right}
\end{aligned}
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Problems

2.1 (Gaussian Integral) Show that
$$
\int \mathrm{d} z_{1} \mathrm{~d} \bar{z}{1} \ldots \mathrm{d} z{n} \mathrm{~d} \bar{z}{n} \exp \left(-\sum{i j} \bar{z}{i} A{i j} z_{j}\right)=\pi^{n}(\operatorname{det} \mathrm{A})^{-1}
$$
with A being a positive Hermitian $n \times n$ matrix and $z_{i}$ complex integration variables.
2.2 (Harmonic Oscillator) In (2.43) we quoted the result for the kernel $K_{\omega}\left(\tau, q^{\prime}, q\right)$ of the $d$-dimensional harmonic oscillator with Hamiltonian
$$
\hat{H}=\frac{1}{2 m} \hat{p}^{2}+\frac{m \omega^{2}}{2} \hat{q}^{2}
$$
at imaginary time $\tau$. Derive this formula.
Hint: Express the kernel in terms of the eigenfunctions of $\hat{H}$, which for $\hbar=m=$ $\omega=1$ are given by
$$
\exp \left(-\xi^{2}-\eta^{2}\right) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{2^{n} n !} H_{n}(\xi) H_{n}(\eta)=\frac{1}{\sqrt{1-\alpha^{2}}} \exp \left(\frac{-\left(\xi^{2}+\eta^{2}-2 \xi \eta \alpha\right)}{1-\alpha^{2}}\right)
$$
The functions $H_{n}$ denote the Hermite polynomials.
Comment: This result also follows from the direct evaluation of the path integral.
2.3 (Free Particle on a Circle) A free particle moves on an interval and obeys periodic boundary conditions. Compute the time evolution kernel $K\left(t_{b}-t_{a}, q_{b}, q_{a}\right)=$ $\left\langle q_{b}, t_{b} \mid q_{a}, t_{a}\right\rangle$. Use the familiar formula for the kernel of the free particle (2.26) and enforce the periodic boundary conditions by a suitable sum over the evolution kernel for the particle on $\mathbb{R}$.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Thermal Correlation Functions

激发态的能量编码在热相关函数中。这些函数是位置算子乘积的期望值

q^和(τ)=和τH^/ℏq^和−τH^/ℏ,q^和(0)=q^(0),
在规范合奏中的不同想象时间,

⟨q^和(τ1)⋯q^和(τn)⟩b≡1从(b)tr⁡(和−bH^q^和(τ1)⋯q^和(τn))
归一化函数从(b)是配分函数 (2.56)。从热两点函数

⟨q^和(τ1)q^和(τ2)⟩b=1从(b)tr⁡(和−bH^q^和(τ1)q^和(τ2)) =1从(b)tr⁡(和−(b−τ1)H^q^和−(τ1−τ2)H^q^和−τ2H^)
我们可以提取基态和第一个激发态之间的能隙。为此,我们使用正交能量本征态|n⟩计算迹线,另外插入恒等运算符的分辨率1=∑|米⟩⟨米|. 这产生

⟨…⟩b=1从(b)∑n,米和−(b−τ1+τ2)和n和−(τ1−τ2)和米⟨n|q^|米⟩⟨米|q^|n⟩
请注意,在总和超过n激发态的贡献在低温下呈指数抑制b→∞,这意味着热两点函数在此极限内收敛到 Schwinger 函数:

⟨q^和(τ1)q^和(τ2)⟩b⟶b→∞∑米>0和−(τ1−τ2)(和米−和0)|⟨0|q^|米⟩|2=⟨0|q^和(τ1)q^和(τ2)|0⟩

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Harmonic Oscillator

我们希望研究离散时间欧几里得振子的路径积分。振荡器是少数几个可以明确计算路径积分的系统之一。对于更多这样的系统,读者可以查阅文本[19]。但是振子的结果对于本书后面讨论的晶格场理论特别有指导意义。所以让我们离散欧几里得时间间隔[0,τ]和n由晶格常数分隔的采样点e=τ/n. 对于拉格朗日

大号=米2q˙2+μq2
周期性路径上的离散路径积分读取

\begin{aligned} Z &=\int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n}\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{ n / 2} \exp \left{-\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_ {j}}{\varepsilon}\right)^{2}+\mu q_{j}^{2}\right)\right} \ &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon} \right)^{n / 2} \int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n} \exp \left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q }, \mathrm{A} q)\right) \end{对齐}\begin{aligned} Z &=\int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n}\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{ n / 2} \exp \left{-\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_ {j}}{\varepsilon}\right)^{2}+\mu q_{j}^{2}\right)\right} \ &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon} \right)^{n / 2} \int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n} \exp \left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q }, \mathrm{A} q)\right) \end{对齐}
我们假设的地方q0=qn并引入了对称矩阵

一个=米e(一个−10⋯0−1 −1一个−1⋯00 ⋱ ⋱ 00⋯−1一个−1 −10⋯0−1一个),一个=2(1+μ米e2)
这是一个 Toeplitz 矩阵,其中从左到右的每个下降对角线都是常数。这个属性是由格子平移下动作的不变性产生的。对于显式计算从,我们考虑生成函数

\begin{对齐} Z[j] &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \int \mathrm{d}^{n} q \exp \左{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathrm{A} q)+(\boldsymbol{j}, \boldsymbol{q})\right} \ &=\frac{(m / \varepsilon)^{n / 2}}{\sqrt{\operatorname{det} \mathrm{A}}} \exp \left{\frac{1}{2}\left(j, \mathrm{~A }^{-1} \boldsymbol{j}\right)\right} \end{aligned}\begin{对齐} Z[j] &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \int \mathrm{d}^{n} q \exp \左{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathrm{A} q)+(\boldsymbol{j}, \boldsymbol{q})\right} \ &=\frac{(m / \varepsilon)^{n / 2}}{\sqrt{\operatorname{det} \mathrm{A}}} \exp \left{\frac{1}{2}\left(j, \mathrm{~A }^{-1} \boldsymbol{j}\right)\right} \end{aligned}

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Problems

2.1(高斯积分)证明

∫d和1 d和¯1…d和n d和¯n经验⁡(−∑一世j和¯一世一个一世j和j)=圆周率n(这⁡一个)−1
A 是正厄米特n×n矩阵和和一世复杂的积分变量。
2.2(谐波振荡器)在(2.43)中,我们引用了内核的结果ķω(τ,q′,q)的d具有哈密顿量的维谐振子

H^=12米p^2+米ω22q^2
在虚构的时间τ. 推导出这个公式。
提示:用特征函数表示核H^,对于ℏ=米= ω=1由

经验⁡(−X2−这2)∑n=0∞一个n2nn!Hn(X)Hn(这)=11−一个2经验⁡(−(X2+这2−2X这一个)1−一个2)
功能Hn表示 Hermite 多项式。
评论:这个结果也来自对路径积分的直接评估。
2.3 (圆周上的自由粒子) 自由粒子在一个区间上移动并服从周期性边界条件。计算时间演化核ķ(吨b−吨一个,qb,q一个)= ⟨qb,吨b∣q一个,吨一个⟩. 对自由粒子的核使用熟悉的公式 (2.26),并通过粒子在演化核上的适当总和来强制周期性边界条件R.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS3101

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS3101

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Quantum Mechanics in Imaginary Time

The unitary time evolution operator has the spectral representation
$$
\hat{K}(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} t}=\int \mathrm{e}^{-\mathrm{i} E t} \mathrm{~d} \hat{P}{\mathrm{E}}, $$ where $\hat{P}{\mathrm{E}}$ is the spectral family of the Hamiltonian. If $\hat{H}$ has discrete spectrum, then $\hat{P}{\mathrm{E}}$ is the orthogonal projector onto the subspace of $\mathscr{H}$ spanned by all eigenfunctions with energies less than $E$. In the following we assume that the Hamiltonian operator is bounded from below. Then we can subtract its ground state energy to obtain a non-negative $\hat{H}$ for which the integration limits in (2.35) are 0 and $\infty$. With the substitution $t \rightarrow t-\mathrm{i} \tau$, we obtain $$ \mathrm{e}^{-(\tau+\mathrm{i} t) \hat{H}}=\int{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-E(\tau+\mathrm{i} t)} \mathrm{d} \hat{P}_{\mathrm{E}}
$$
This defines a holomorphic semigroup in the lower complex half-plane
$$
{z=t-\mathrm{i} \tau \in \mathbb{C}, \tau \geq 0}
$$
If the operator $(2.36)$ is known on the negative imaginary axis $(t=0, \tau \geq 0)$, one can perform an analytic continuation to the real axis $(t, \tau=0)$. The analytic continuation to complex time $t \rightarrow-\mathrm{i} \tau$ corresponds to a transition from the Minkowski metric $\mathrm{d} s^{2}=d t^{2}-\mathrm{d} x^{2}-\mathrm{d} y^{2}-\mathrm{d} z^{2}$ to a metric with Euclidean signature. Hence a theory with imaginary time is called Euclidean theory.

The time evolution operator $\hat{K}(t)$ exists for real time and defines a oneparametric unitary group. It fulfills the Schrödinger equation
$$
\mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \hat{K}(t)=\hat{H} \hat{K}(t)
$$
with a complex and oscillating kernel $K\left(t, q^{\prime}, q\right)=\left\langle q^{\prime}|\hat{K}(t)| q\right\rangle$. For imaginary time we have a Hermitian (and not unitary) evolution operator
$$
\hat{K}(\tau)=\mathrm{e}^{-\tau \hat{H}}
$$
with positive spectrum. The $\hat{K}(\tau)$ exist for positive $\tau$ and form a semi-group only. For almost all initial data, evolution back into the “imaginary past” is impossible.
The evolution operator for imaginary time satisfies the heat equation
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \hat{K}(\tau)=-\hat{H} \hat{K}(\tau)
$$
instead of the Schrödinger equation and has kernel
$$
K\left(\tau, q^{\prime}, q\right)=\left\langle q^{\prime}\left|\mathrm{e}^{-\tau \hat{H}}\right| q\right\rangle, \quad K\left(0, q^{\prime}, q\right)=\delta\left(q^{\prime}, q\right)
$$
This kernel is real ${ }^{1}$ for a real Hamiltonian. Furthermore it is strictly positive:

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Imaginary Time Path Integral

To formulate the path integral for imaginary time, we employ the product formula $(2.28)$, which follows from the product formula (2.27) through the substitution of it by $\tau$. For such systems the analog of $(2.31)$ for Euclidean time $\tau$ is obtained by the substitution of $i \varepsilon$ by $\varepsilon$. Thus we tind
$$
\begin{aligned}
K\left(\tau, q^{\prime}, q\right) &=\left\langle\hat{q}^{\prime}\left|\mathrm{e}^{-\tau \hat{H} / \hbar}\right| \hat{q}\right\rangle \
&=\lim {n \rightarrow \infty} \int \mathrm{d} q{1} \cdots \mathrm{d} q_{n-1}\left(\frac{m}{2 \pi \hbar \varepsilon}\right)^{n / 2} \mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}\left(q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right) / \hbar} \
S_{\mathrm{E}}(\ldots) &=\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left{\frac{m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_{j}}{\varepsilon}\right)^{2}+V\left(q_{j}\right)\right}
\end{aligned}
$$
where $q_{0}=q$ and $q_{n}=q^{\prime}$. The multidimensional integral represents the sum over all broken-line paths from $q$ to $q^{\prime}$. Interpreting $S_{\mathrm{E}}$ as Hamiltonian of a classical lattice model and $\hbar$ as temperature, it is (up to the fixed endpoints) the partition function of a one-dimensional lattice model on a lattice with $n+1$ sites. The realvalued variable $q_{j}$ defined on site $j$ enters the action $S_{\mathrm{E}}$ which contains interactions between the variables $q_{j}$ and $q_{j+1}$ at neighboring sites. The values of the lattice field
$$
{0,1, \ldots, n-1, n} \rightarrow\left{q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n-1}, q_{n}\right}
$$
are prescribed at the endpoints $q_{0}=q$ and $q_{n}=q^{\prime}$. Note that the classical limit $\hbar \rightarrow 0$ corresponds to the low-temperature limit of the lattice system.

The multidimensional integral (2.52) corresponds to the summation over all path on the time lattice. What happens to the finite-dimensional integral when we take the continuum limit $n \rightarrow \infty$ ? Then we obtain the Euclidean path integral representation for the positive kernel
$$
K\left(\tau, q^{\prime}, q\right)=\left\langle q^{\prime}\left|\mathrm{e}^{-\tau \hat{H} / h}\right| q\right\rangle=C \int_{q(0)=q}^{q(\tau)=q^{\prime}} \mathscr{D} q \mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}[q] / h}
$$
The integrand contains the Euclidean action
$$
S_{\mathrm{E}}[q]=\int_{0}^{\tau} d \sigma\left{\frac{m}{2} \dot{q}^{2}+V(q(\sigma))\right}
$$
which for many physical systems is bounded from below.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Path Integral in Quantum Statistics

The Euclidean path integral formulation immediately leads to an interesting connection between quantum statistical mechanics and classical statistical physics. Indeed, if we set $\tau / \hbar \equiv \beta$ and integrate over $q=q^{\prime}$ in (2.53), then we end up with the path integral representation for the canonical partition function of a quantum system with Hamiltonian $\hat{H}$ at inverse temperature $\beta=1 / k_{B} T$. More precisely, setting $q=q^{\prime}$ and $\tau=\hbar \beta$ in the left-hand side of this formula, then the integral over $q$ yields the trace of $\exp (-\beta \hat{H})$, which is just the canonical partition function,
$$
\int \mathrm{d} q K(\hbar \beta, q, q)=\operatorname{tr} \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}}=Z(\beta)=\sum \mathrm{e}^{-\beta E_{n}} \quad \text { with } \quad \beta=\frac{1}{k_{B} T}
$$
Setting $q=q^{\prime}$ in the Euclidean path integral in (2.53) means that we integrate over paths beginning and ending at $q$ during the imaginary time interval $[0, \hbar \beta]$. The final integral over $q$ leads to the path integral over all periodic paths with period $\hbar \beta$
$$
Z(\beta)=C \oint \mathscr{D} q \mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}[q] / \hbar}, \quad q(\hbar \beta)=q(0)
$$
For example, the kernell of the harmonic oscillator in $(2.43)$ on the diagonal is
$$
K_{\omega}(\beta, q, q)=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \sinh (\omega \beta)}} \exp \left{-m \omega \tanh (\omega \beta / 2) q^{2}\right}
$$
where we used units with $\hbar=1$. The integral over $q$ yields the partition function
$$
\begin{aligned}
Z(\beta) &=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \sinh (\omega \beta)}} \int \mathrm{d} q \exp \left{-m \omega \tanh (\omega \beta / 2) q^{2}\right} \
&=\frac{1}{2 \sinh (\omega \beta / 2)}=\frac{\mathrm{e}^{-\omega \beta / 2}}{1-\mathrm{e}^{-\omega \beta}}=\mathrm{e}^{-\omega \beta / 2} \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n \omega \beta}
\end{aligned}
$$
where we used $\sinh x=2 \sinh x / 2 \cosh x / 2$. A comparison with the spectral sum over all energies in (2.55) yields the energies of the oscillator with (angular) frequency $\omega$,
$$
E_{n}=\omega\left(n+\frac{1}{2}\right), \quad n=0,1,2, \ldots
$$
For large values of $\omega \beta$, i.e., for very low temperature, the spectral sum is dominated by the contribution of the ground state energy. Thus for cold systems, the free energy converges to the ground state energy
$$
F(\beta) \equiv-\frac{1}{\beta} \log Z(\beta) \stackrel{\omega \beta \rightarrow \infty}{\longrightarrow} E_{0}
$$
One often is interested in the energies and wave functions of excited states. We now discuss an elegant method to extract this information from the path integral.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS3101

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Quantum Mechanics in Imaginary Time

酉时间演化算子具有谱表示

ķ^(吨)=和−一世H^吨=∫和−一世和吨 d磷^和,在哪里磷^和是哈密顿量的谱族。如果H^有离散谱,则磷^和是在子空间上的正交投影H由能量小于的所有特征函数跨越和. 在下文中,我们假设哈密顿算子是从下面有界的。然后我们可以减去它的基态能量得到一个非负的H^(2.35) 中的积分限制为 0 并且∞. 随着替换吨→吨−一世τ, 我们获得

和−(τ+一世吨)H^=∫0∞和−和(τ+一世吨)d磷^和
这在下复半平面中定义了一个全纯半群

和=吨−一世τ∈C,τ≥0
如果运营商(2.36)在负虚轴上已知(吨=0,τ≥0), 可以对实轴进行解析延拓(吨,τ=0). 复杂时间的解析延展吨→−一世τ对应于 Minkowski 度量的转换ds2=d吨2−dX2−d是2−d和2到具有欧几里得签名的度量。因此,具有虚时间的理论称为欧几里得理论。

时间演化算子ķ^(吨)实时存在并定义一个参数酉群。它满足薛定谔方程

一世dd吨ķ^(吨)=H^ķ^(吨)
具有复杂和振荡的内核ķ(吨,q′,q)=⟨q′|ķ^(吨)|q⟩. 对于虚构的时间,我们有一个 Hermitian(而不是单一的)进化算子

ķ^(τ)=和−τH^
具有正谱。这ķ^(τ)为积极而存在τ并且只形成一个半群。对于几乎所有的初始数据,进化回“想象的过去”是不可能的。
虚时间演化算子满足热方程

ddτķ^(τ)=−H^ķ^(τ)
而不是薛定谔方程并且有核

ķ(τ,q′,q)=⟨q′|和−τH^|q⟩,ķ(0,q′,q)=d(q′,q)
这个内核是真的1对于一个真正的哈密顿量。此外,它是严格肯定的:

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Imaginary Time Path Integral

为了制定虚时间的路径积分,我们使用乘积公式(2.28), 通过将乘积公式 (2.27) 替换为τ. 对于这样的系统,模拟(2.31)欧几里得时间τ通过替换获得一世e经过e. 因此我们认为

\begin{aligned} 左(\tau, q^{\prime}, q\right) &=\left\langle\hat{q}^{\prime}\left|\mathrm{e}^{- \tau \hat{H} / \hbar}\right| \hat{q}\right\rangle\&=\lim{n\rightarrow\infty}\int \mathrm{d}q{1}\cdots\mathrm{d}q_{n-1}\left(\frac {m}{2 \pi \hbar \value psilon}\right)^{n/2}\mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}\left(q_{0}, q_{1} , \ldots, q_{n}\right) / \hbar}\S_{\mathrm{E}}(\ldots) &=\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left{\frac { m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_{j}}{\valuepsilon}\right)^{2}+V\left(q_{j}\right)\right} \结束{对齐}\begin{aligned} 左(\tau, q^{\prime}, q\right) &=\left\langle\hat{q}^{\prime}\left|\mathrm{e}^{- \tau \hat{H} / \hbar}\right| \hat{q}\right\rangle\&=\lim{n\rightarrow\infty}\int \mathrm{d}q{1}\cdots\mathrm{d}q_{n-1}\left(\frac {m}{2 \pi \hbar \value psilon}\right)^{n/2}\mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}\left(q_{0}, q_{1} , \ldots, q_{n}\right) / \hbar}\S_{\mathrm{E}}(\ldots) &=\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left{\frac { m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_{j}}{\valuepsilon}\right)^{2}+V\left(q_{j}\right)\right} \结束{对齐}
在哪里q0=q和qn=q′. 多维积分表示所有虚线路径的总和q至q′. 口译小号和作为经典晶格模型的哈密顿量和ℏ作为温度,它是(直到固定端点)晶格上的一维晶格模型的配分函数n+1网站。实值变量qj现场定义j进入动作小号和其中包含变量之间的相互作用qj和qj+1在邻近站点。格域的值

{0,1, \ldots, n-1, n} \rightarrow\left{q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n-1}, q_{n}\right}{0,1, \ldots, n-1, n} \rightarrow\left{q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n-1}, q_{n}\right}
在端点规定q0=q和qn=q′. 注意经典极限ℏ→0对应于晶格系统的低温极限。

多维积分 (2.52) 对应于时间格上所有路径的总和。当我们取连续极限时,有限维积分会发生什么n→∞? 然后我们得到正核的欧几里得路径积分表示

ķ(τ,q′,q)=⟨q′|和−τH^/H|q⟩=C∫q(0)=qq(τ)=q′Dq和−小号和[q]/H
被积函数包含欧几里得动作

S_{\mathrm{E}}[q]=\int_{0}^{\tau} d \sigma\left{\frac{m}{2} \dot{q}^{2}+V(q( \sigma))\对}S_{\mathrm{E}}[q]=\int_{0}^{\tau} d \sigma\left{\frac{m}{2} \dot{q}^{2}+V(q( \sigma))\对}
对于许多物理系统来说,它是从下面限定的。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Path Integral in Quantum Statistics

欧几里得路径积分公式立即导致了量子统计力学和经典统计物理学之间的有趣联系。确实,如果我们设置τ/ℏ≡b并整合过来q=q′在 (2.53) 中,我们最终得到具有哈密顿量的量子系统的规范配分函数的路径积分表示H^在逆温b=1/ķ乙吨. 更准确地说,设置q=q′和τ=ℏb在这个公式的左边,那么积分超过q产生的痕迹经验⁡(−bH^),这只是典型的分区函数,

∫dqķ(ℏb,q,q)=tr⁡和−bH^=从(b)=∑和−b和n 和 b=1ķ乙吨
环境q=q′在(2.53)中的欧几里得路径积分中意味着我们在开始和结束于的路径上积分q在虚构的时间间隔内[0,ℏb]. 最后的积分超过q导致所有周期路径上的路径积分ℏb

从(b)=C∮Dq和−小号和[q]/ℏ,q(ℏb)=q(0)
例如,谐振子的 kernell(2.43)对角线上是

K_{\omega}(\beta, q, q)=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \sinh (\omega \beta)}} \exp \left{-m \omega \tanh ( \omega \beta / 2) q^{2}\right}K_{\omega}(\beta, q, q)=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \sinh (\omega \beta)}} \exp \left{-m \omega \tanh ( \omega \beta / 2) q^{2}\right}
我们在哪里使用单位ℏ=1. 积分超过q产生配分函数

\begin{对齐}Z(\beta)&=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\sinh(\omega\beta)}}\int\mathrm{d}q\exp\left{- m\omega\tanh(\omega\beta/2)q^{2}\right}\&=\frac{1}2\sinh(\omega\beta/2)}=\mathrm{e}^{- \omega\beta/2}{1-\mathrm{e}^{-\omega\beta}}=\mathrm{e}^{-\omega\beta/2}\sum_{n=0}^{\ infty} \ mathrm {e} ^ {- n \ omega \ beta} \ end {对齐}\begin{对齐}Z(\beta)&=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\sinh(\omega\beta)}}\int\mathrm{d}q\exp\left{- m\omega\tanh(\omega\beta/2)q^{2}\right}\&=\frac{1}2\sinh(\omega\beta/2)}=\mathrm{e}^{- \omega\beta/2}{1-\mathrm{e}^{-\omega\beta}}=\mathrm{e}^{-\omega\beta/2}\sum_{n=0}^{\ infty} \ mathrm {e} ^ {- n \ omega \ beta} \ end {对齐}
我们用过的地方出生⁡X=2出生⁡X/2科什⁡X/2. 与 (2.55) 中所有能量的频谱总和进行比较,得出具有(角)频率的振荡器的能量ω,

和n=ω(n+12),n=0,1,2,…
对于较大的值ωb,即对于非常低的温度,谱和主要由基态能量的贡献决定。因此对于冷系统,自由能收敛到基态能量

F(b)≡−1b日志⁡从(b)⟶ωb→∞和0
人们经常对激发态的能量和波函数感兴趣。我们现在讨论一种从路径积分中提取此信息的优雅方法。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYSICS 3544

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYSICS 3544

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Path Integrals in Quantum and Statistical Mechanics

Already back in 1933 , Dirac asked himself whether the classical Lagrangian and action are as significant in quantum mechanics as they are in classical mechanics $[1,2]$. He observed that for simple systems, the probability amplitude
$$
K\left(t, q^{\prime}, q\right)=\left\langle q^{\prime}\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{A} t / h}\right| q\right\rangle
$$
for the propagation from a point with coordinate $q$ to another point with coordinate $q^{\prime}$ in time $t$ is given by
$$
K\left(t, q^{\prime}, q\right) \propto \mathrm{e}^{\mathrm{i} S\left[q_{\mathrm{cl}}\right] / h}
$$
where $q_{\mathrm{cl}}$ denotes the classical trajectory from $q$ to $q^{\prime}$. In the exponent the action of this trajectory enters as a multiple of Planck’s reduced constant $h$. For a free particle with Lagrangian
$$
L_{0}=\frac{m}{2} \dot{q}^{2}
$$ the formula $(2.2)$ is verified easily: A free particle moves with constant velocity $\left(q^{\prime}-q\right) / t$ from $q$ to $q^{\prime}$ and the action of the classical trajectory is
$$
S\left[q_{\mathrm{cl}}\right]=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} s L_{0}\left[q_{\mathrm{cl}}(s)\right]=\frac{m}{2 t}\left(q^{\prime}-q\right)^{2}
$$
The factor of proportionality in $(2.2)$ is then uniquely fixed by the condition $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} t / \hbar} \longrightarrow 1$ for $t \rightarrow 0$ which in position space reads
$$
\lim {t \rightarrow 0} K\left(t, q^{\prime}, q\right)=\delta\left(q^{\prime}, q\right) $$ Alternatively, it is fixed by the property $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} t / h} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} s / h}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H}(t+s) / h}$ that takes the form $$ \int \mathrm{d} u K\left(t, q^{\prime}, u\right) K(s, u, q)=K\left(t+s, q^{\prime}, q\right) $$ in position space. Thus, the correct free particle propagator on a line is given by $$ K{0}\left(t, q^{\prime} \cdot q\right)=\left(\frac{m}{2 \pi \mathrm{i} \hbar t}\right)^{1 / 2} \mathrm{c}^{\mathrm{i} m\left(q^{\prime}-q\right)^{2} / 2 h t}
$$
Similar results hold for the harmonic oscillator or systems for which $\langle\hat{q}(t)\rangle$ fulfills the classical equation of motion. For such systems $\left\langle V^{\prime}(\hat{q})\right\rangle=V^{\prime}(\langle\hat{q}\rangle)$ holds true. However, for general systems, the simple formula (2.2) must be extended, and it was Feynman who discovered this extension back in 1948. He realized that all paths from $q$ to $q^{\prime}$ (and not only the classical path) contribute to the propagator. This means that in quantum mechanics a particle can potentially move on any path $q(s)$ from the initial to the final destination,
$$
q(0)=q \quad \text { and } \quad q(t)=q^{\prime}
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Recalling Quantum Mechanics

There are two well-established ways to quantize a classical system: canonical quantization and path integral quantization. For completeness and later use, we recall the main steps of canonical quantization both in Schrödinger’s wave mechanics and Heisenberg’s matrix mechanics.

A classical system is described by its coordinates $\left{q^{i}\right}$ and momenta $\left{p_{i}\right}$ on phase space $\Gamma$. An observable $O$ is a real-valued function on $\Gamma$. Examples are the coordinates on phase space and the energy $H(q, p)$. We assume that phase space comes along with a symplectic structure and has local coordinates with Poisson brackets
$$
\left{q^{i}, p_{j}\right}=\delta_{j}^{i}
$$
The brackets are extended to observables on through antisymmetry and the derivation rule ${O P, Q}=O{P, Q}+{O, Q} P$. The evolution in time of an observable is determined by
$$
\dot{O}={O, H}, \quad \text { e.g. } \quad \dot{q}^{i}=\left{q^{i}, H\right} \quad \text { and } \quad \dot{p}{i}=\left{p{i}, H\right}
$$
In the canonical quantization, functions on phase space are mapped to operators, and the Poisson brackets of two functions become commutators of the associated operators:
$$
O(q, p) \rightarrow \hat{O}(\hat{q}, \hat{p}) \quad \text { and } \quad{O, P} \longrightarrow \frac{1}{\mathrm{i} \hbar}[\hat{O}, \hat{P}]
$$

The time evolution of an (not explicitly time-dependent) observable is determined by Heisenberg’s equation
$$
\frac{\mathrm{d} \hat{O}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}[\hat{H}, \hat{O}]
$$
In particular the phase space coordinates $\left(q^{l}, p_{i}\right)$ become operators with commutation relations $\left[\hat{q}^{i}, \hat{p}{j}\right]=\mathrm{i} \hbar \delta{j}^{i}$, and their time evolution is determined by
$$
\frac{\mathrm{d} \hat{q}^{i}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat{H}, \hat{q}^{i}\right] \quad \text { and } \quad \frac{\mathrm{d} \hat{p}{i}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat{H}, \hat{p}{i}\right]
$$
For a system of non-relativistic and spinless particles, the Hamiltonian reads
$$
\hat{H}=\hat{H}{0}+\hat{V} \quad \text { with } \quad \hat{H}{0}=\frac{1}{2 m} \sum \hat{p}{i}^{2} $$ and one arrives at Heisenberg’s equations of motion $$ \frac{\mathrm{d} \hat{q}^{i}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\hat{p}{i}}{m} \quad \text { and } \quad \frac{\mathrm{d} \hat{p}{i}}{\mathrm{~d} t}=-\hat{V}{, i}
$$
Observables are represented by Hermitian operators on a Hilbert space $\mathscr{H}$, whose elements characterize the states of the system:
$$
\hat{O}(\hat{q}, \hat{p}): \mathcal{H} \longrightarrow \mathcal{H}
$$
Consider a particle confined to an endless wire. Its Hilbert space is $\mathcal{H}=L_{2}(\mathbb{R})$, and its position and momentum operator are represented in position space as
$$
(\hat{q} \psi)(q)=q \psi(q) \quad \text { and } \quad(\hat{p} \psi)(q)=\frac{\hbar}{i} \partial_{q} \psi(q)
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Feynman–Kac Formula

We shall derive Feynman’s path integral representation for the unitary time evolution operator $\exp (-\mathrm{i} \hat{H} t)$ as well as Kac’s path integral representation for the positive operator $\exp (-\hat{H} \tau)$. Thereby we shall utilize the product formula of Trotter. In case of matrices, this formula was already verified by Lie and has the form:
Theorem 2.1 (Lie’s Theorem) For two matrices $\mathrm{A}$ and $\mathrm{B}$
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{A}+\mathrm{B}}=\lim {n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{A} / n} \mathrm{e}^{\mathrm{B} / n}\right)^{n} $$ To prove this theorem, we define for each $n$ the two matrices $\mathrm{S}{n}:=\exp (\mathrm{A} / n+\mathrm{B} / n)$ and $\mathrm{T}{n}:=\exp (\mathrm{A} / n) \exp (\mathrm{B} / n)$ and telescope the difference of their $n$ ‘th powers, $$ \mathrm{S}{n}^{n}-\mathrm{T}{n}^{n}=\mathrm{S}{n}^{n-1}\left(\mathrm{~S}{n}-\mathrm{T}{n}\right)+\mathrm{S}{n}^{n-2}\left(\mathrm{~S}{n}-\mathrm{T}{n}\right) \mathrm{T}{n}+\cdots+\left(\mathrm{S}{n}-\mathrm{T}{n}\right) \mathrm{T}{n}^{n-1} $$ Now we choose any (sub-multiplicative) matrix norm, for example, the Frobenius norm. The triangle inequality together with $|X Y| \leq|X \mid| Y |$ imply the inequality $|\exp (X)| \leq \exp (|X|)$ such that $$ \left|\mathrm{S}{n}\right|,\left|\mathrm{T}{n}\right| \leq a^{1 / n} \quad \text { with } \quad a=\mathrm{e}^{|\mathrm{A}|+|\mathrm{B}|} $$ Thus we conclude $$ \left|\mathrm{S}{n}^{n}-\mathrm{T}{n}^{n}\right| \equiv\left|\mathrm{e}^{\mathrm{A}+B}-\left(\mathrm{e}^{\mathrm{A} / n} \mathrm{e}^{B / n}\right)^{n}\right| \leq n \times a^{(n-1) / n}\left|\mathrm{~S}{n}-\mathrm{T}{n}\right| $$ Finally, using $\mathrm{S}{n}-\mathrm{T}_{n}=-[\mathrm{A}, \mathrm{B}] / 2 n^{2}+O\left(1 / n^{3}\right)$, the product formula is verified for matrices. But the theorem also holds for self-adjoint operators.

Theorem $2.2$ (Trotter’s Theorem) If $\hat{A}$ and $\hat{B}$ are self-adjoint operators and $\hat{A}+$ $\hat{B}$ is essentially self-adjoint on the intersection $\mathscr{D}$ of their domains, then
$$
\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t(\hat{A}+\hat{B})}=s-\lim {n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t \hat{A} / n} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} t \hat{B} / n}\right)^{n} $$ If in addition $\hat{A}$ and $\hat{B}$ are bounded from below, then $$ \mathrm{e}^{-\tau(\hat{A}+\hat{B})}=s-\lim {n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{-\tau \hat{A} / n} \mathrm{e}^{-\tau \hat{B} / n}\right)^{n}
$$
The operators need not be bounded and the convergence is with respect to the strong operator topology. For operators $\hat{A}{n}$ and $\hat{A}$ on a common domain $\mathscr{D}$ in the Hilbert space, we have s- $\lim {n \rightarrow \infty} \hat{A}{n}=\hat{A}$ iff $\left|\hat{A}{n} \psi-\hat{A} \psi\right| \rightarrow 0$ for all $\psi \in \mathscr{D}$. Formula (2.27) is used in quantum mechanics, and formula $(2.28)$ finds its application in statistical physics and the Euclidean formulation of quantum mechanics [16].

Let us assume that $\hat{H}$ can be written as $\hat{H}=\hat{H}{0}+\hat{V}$ and apply the product formula to the evolution kernel in (2.22). With $\varepsilon=t / n$ and $\hbar=1$, we obtain $$ \begin{aligned} K\left(t, q^{\prime}, q\right) &=\lim {n \rightarrow \infty}\left\langle q^{\prime}\left|\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{H}{0}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{V}}\right)^{n}\right| q\right\rangle \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n-1} \prod_{j=0}^{j=n-1}\left|q_{j+1}\right| \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{H}{0}} \mathrm{e}^{-i \varepsilon \hat{V}}\left|q{j}\right\rangle
\end{aligned}
$$
where we repeatedly inserted the resolution of the identity $(2.21)$ and denoted the initial and final point by $q_{0}=q$ and $q_{n}=q^{\prime}$, respectively. The potential $\hat{V}$ is diagonal in position space such that
$$
\left\langle q_{j+1}\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{H}{0}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{V}}\right| q{j}\right\rangle=\left\langle q_{j+1}\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{H}{0}}\right| q{j}\right\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon V\left(q_{j}\right)}
$$

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量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Path Integrals in Quantum and Statistical Mechanics

早在 1933 年,狄拉克就问自己,经典拉格朗日算子和作用在量子力学中是否与在经典力学中一样重要[1,2]. 他观察到,对于简单系统,概率幅

ķ(吨,q′,q)=⟨q′|和−一世一个^吨/H|q⟩
对于从具有坐标的点的传播q到另一个坐标点q′及时吨是(谁)给的

ķ(吨,q′,q)∝和一世小号[qCl]/H
在哪里qCl表示来自的经典轨迹q至q′. 在指数中,该轨迹的作用作为普朗克约化常数的倍数进入H. 对于具有拉格朗日的自由粒子

大号0=米2q˙2公式(2.2)容易验证:自由粒子以恒定速度运动(q′−q)/吨从q至q′经典轨迹的作用是

小号[qCl]=∫0吨 ds大号0[qCl(s)]=米2吨(q′−q)2
比例系数(2.2)然后由条件唯一固定和−一世H^吨/ℏ⟶1为了吨→0在位置空间中读取

林吨→0ķ(吨,q′,q)=d(q′,q)或者,它由属性固定和−一世H^吨/H和−一世H^s/H=和−一世H^(吨+s)/H采取形式

∫d在ķ(吨,q′,在)ķ(s,在,q)=ķ(吨+s,q′,q)在位置空间。因此,一条线上正确的自由粒子传播子由下式给出

ķ0(吨,q′⋅q)=(米2圆周率一世ℏ吨)1/2C一世米(q′−q)2/2H吨
类似的结果适用于谐波振荡器或系统⟨q^(吨)⟩满足经典的运动方程。对于这样的系统⟨在′(q^)⟩=在′(⟨q^⟩)成立。然而,对于一般系统,必须扩展简单的公式(2.2),而费曼早在 1948 年就发现了这个扩展。他意识到所有从q至q′(不仅是经典路径)有助于传播者。这意味着在量子力学中,粒子可以在任何路径上移动q(s)从最初的目的地到最终的目的地,

q(0)=q 和 q(吨)=q′

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Recalling Quantum Mechanics

量化经典系统有两种行之有效的方法:规范量化和路径积分量化。为了完整性和以后的使用,我们回顾一下薛定谔的波力学和海森堡的矩阵力学中规范量化的主要步骤。

经典系统由其坐标描述\left{q^{i}\right}\left{q^{i}\right}和动量\left{p_{i}\right}\left{p_{i}\right}在相空间Γ. 一个可观察的○是一个实值函数Γ. 例子是相空间上的坐标和能量H(q,p). 我们假设相空间带有一个辛结构并且具有泊松括号的局部坐标

\left{q^{i}, p_{j}\right}=\delta_{j}^{i}\left{q^{i}, p_{j}\right}=\delta_{j}^{i}
括号通过反对称和推导规则扩展到可观察量○磷,问=○磷,问+○,问磷. 可观测量的时间演化由下式决定

\dot{O}={O, H}, \quad \text { 例如} \quad \dot{q}^{i}=\left{q^{i}, H\right} \quad \text { 和} \quad \dot{p}{i}=\left{p{i}, H\right}\dot{O}={O, H}, \quad \text { 例如} \quad \dot{q}^{i}=\left{q^{i}, H\right} \quad \text { 和} \quad \dot{p}{i}=\left{p{i}, H\right}
在规范量化中,相空间上的函数被映射到算子,两个函数的泊松括号成为相关算子的交换子:

○(q,p)→○^(q^,p^) 和 ○,磷⟶1一世ℏ[○^,磷^]

(不是明确的时间相关的)可观测的时间演化由海森堡方程确定

d○^ d吨=一世ℏ[H^,○^]
特别是相空间坐标(ql,p一世)成为有交换关系的算子[q^一世,p^j]=一世ℏdj一世, 它们的时间演化由下式决定

dq^一世 d吨=一世ℏ[H^,q^一世] 和 dp^一世 d吨=一世ℏ[H^,p^一世]
对于非相对论和无自旋粒子系统,哈密顿量为

H^=H^0+在^ 和 H^0=12米∑p^一世2一个到达海森堡的运动方程

dq^一世 d吨=p^一世米 和 dp^一世 d吨=−在^,一世
Observables 由希尔伯特空间上的 Hermitian 算子表示H,其元素表征系统的状态:

○^(q^,p^):H⟶H
考虑一个被限制在无限线中的粒子。它的希尔伯特空间是H=大号2(R),其位置和动量算子在位置空间中表示为

(q^ψ)(q)=qψ(q) 和 (p^ψ)(q)=ℏ一世∂qψ(q)

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Feynman–Kac Formula

我们将推导出酉时间演化算子的​​费曼路径积分表示经验⁡(−一世H^吨)以及正算子的 Kac 路径积分表示经验⁡(−H^τ). 因此我们将利用Trotter的产品配方。在矩阵的情况下,这个公式已经被 Lie 验证并具有形式:
Theorem 2.1 (Lie’s Theorem) 对于两个矩阵一个和乙

和一个+乙=林n→∞(和一个/n和乙/n)n为了证明这个定理,我们定义每个n两个矩阵小号n:=经验⁡(一个/n+乙/n)和吨n:=经验⁡(一个/n)经验⁡(乙/n)并望远镜他们的差异n的权力,

小号nn−吨nn=小号nn−1( 小号n−吨n)+小号nn−2( 小号n−吨n)吨n+⋯+(小号n−吨n)吨nn−1现在我们选择任何(子乘法)矩阵范数,例如 Frobenius 范数。三角不等式与|X是|≤|X∣|是|暗示不等式|经验⁡(X)|≤经验⁡(|X|)这样

|小号n|,|吨n|≤一个1/n 和 一个=和|一个|+|乙|因此我们得出结论

|小号nn−吨nn|≡|和一个+乙−(和一个/n和乙/n)n|≤n×一个(n−1)/n| 小号n−吨n|最后,使用小号n−吨n=−[一个,乙]/2n2+○(1/n3),乘积公式针对矩阵进行验证。但该定理也适用于自伴算子。

定理2.2(特罗特定理)如果一个^和乙^是自伴算子和一个^+ 乙^在交点上本质上是自伴的D他们的域,然后

和−一世吨(一个^+乙^)=s−林n→∞(和−一世吨一个^/n和−一世吨乙^/n)n如果另外一个^和乙^是从下方有界的,那么

和−τ(一个^+乙^)=s−林n→∞(和−τ一个^/n和−τ乙^/n)n
算子不需要有界,收敛与强算子拓扑有关。对于运营商一个^n和一个^在一个共同的领域D在希尔伯特空间中,我们有 s-林n→∞一个^n=一个^当且当|一个^nψ−一个^ψ|→0对所有人ψ∈D. 公式(2.27)用于量子力学,公式(2.28)发现其在统计物理学和量子力学的欧几里得公式中的应用[16]。

让我们假设H^可以写成H^=H^0+在^并将乘积公式应用于(2.22)中的进化核。和e=吨/n和ℏ=1, 我们获得

ķ(吨,q′,q)=林n→∞⟨q′|(和−一世eH^0和−一世e在^)n|q⟩ =林n→∞∫dq1⋯dqn−1∏j=0j=n−1|qj+1|和−一世eH^0和−一世e在^|qj⟩
我们反复插入身份的解析(2.21)并用q0=q和qn=q′, 分别。潜力在^在位置空间中是对角线使得

⟨qj+1|和−一世eH^0和−一世e在^|qj⟩=⟨qj+1|和−一世eH^0|qj⟩和−一世e在(qj)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

如果你也在 怎样代写量子场论Quantum field theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个理论框架,它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写量子场论Quantum field theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写量子场论Quantum field theory代写方面经验极为丰富,各种代写量子场论Quantum field theory相关的作业也就用不着说。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Symmetric Tensors

There is a very important twist to the notion of tensor product when one considers systems composed of several, say $n$ identical particles. Identical particles are indistinguishable from each other, even in principle. If an electron in motion scatters on an electron at rest, two moving electrons come out of the experiment and there is no way telling which of them was the electron at rest (and it can be argued that the question may not even make sense). This has to be built in the model. To this aim, we consider a Hilbert space $\mathcal{H}$ with a basis $\left(e_{i}\right){i \geq 1}$, a given integer $n$ and we denote by $\mathcal{H}{n}$ the tensor product of $n$ copies of it, in the above sense. We observe that a permutation $\sigma$ of ${1,2, \ldots, n}$ induces a transformation of $\mathcal{H}{n}$, simply by transforming the basis element $\bigotimes{k \leq n} e_{i_{k}}$ into $\bigotimes_{k \leq n} e_{i_{\sigma(k)}}$. If an element $x$ of $\mathcal{H}_{n}$ describes the state of a system consisting of $n$ identical particles, its image under this transformation describes the same particle system, so that it must be of the type $\lambda x$ for

$\lambda \in \mathbb{C}$. Since the transform of $x$ has the same norm as $x$ then $|\lambda|=1$, that is the transform of $x$ differs from $x$ only by a phase. 10

In Part I of this book we consider the simplest case where the transform of each state $x$ is $x$ itself. Particles with this property are called bosons. 11 These are not the most common and interesting particles, but must be understood first. Later on, we will meet fermions, which comprise most of the important particles (and in particular electrons). Let us denote by $\mathrm{S}_{n}$ the group of permutations of ${1, \ldots, n}$.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Creation and Annihilation Operators

We define and study the operators $A_{n}(\xi)$ and $A_{n}^{\dagger}(\eta)$, which will play a crucial role in the next section. It is convenient here to define $\mathcal{H}{0, s}:=\mathbb{C}$. For $n \geq 1$ and $\xi \in \mathcal{H}$ the operator $A{n}(\xi): \mathcal{H}{n, s} \rightarrow \mathcal{H}{n-1, s}$ transforms an $n$-particle state into an $(n-1)$-particle state, and for this reason is called an annihilation operator. For $n \geq 0$ and $\eta \in \mathcal{H}$ the operator $A_{n}^{\dagger}(\eta)$ : $\mathcal{H}{n, s} \rightarrow \mathcal{H}{n+1, s}$ transforms an $n$-particle state into an $(n+1)$-particle state, and is called a creation operator.

In order to avoid writing formulas which are too abstract, we pick an orthonormal basis $\left(e_{i}\right){i \geq 1}$ of $\mathcal{H}$, so that an element $\eta$ of $\mathcal{H}$ identifies with a sequence $\left(\eta{i}\right){i \geq 1}{ }^{13}$ Similarly we think of an element $\alpha$ of $\mathcal{H}{n, s}$ as a symmetric tensor $\left(\alpha_{i_{1}, \ldots, i_{n}}\right){i{1}, \ldots, i_{n} \geq 1}$.

Let us then introduce an important notation: Given a sequence $i_{1}, \ldots, i_{n+1}$ of length $n+1$ we denote by $i_{1}, \ldots, \hat{i}{k}, \ldots i{n+1}$ the sequence of length $n$ where the term $i_{k}$ is omitted.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Boson Fock Space

A relativistically correct version of Quantum Mechanics must describe systems with a variable number of particles, because the equivalence of mass and energy allows creation and destruction of particles. Let us assume that the space $\mathcal{H}$ describes a single particle. We have constructed in (3.7) the space $\mathcal{H}_{n, s}$ which describes a collection of $n$ identical particles. The boson Fock space will simply be the direct sum of these spaces (in the sense of Hilbert space) as $n \geq 0$ and will describe collections of any number of identical particles. ${ }^{16}$ We do not yet incorporate any idea from Special Relativity. The construction of the boson Fock space is almost trivial. The non-trivial structure of importance is a special family of operators described in Theorem 3.4.2.

For $n=0$ we define $\mathcal{H}{0, s}=\mathbb{C}$, and we denote by $e{\emptyset}$ its basis element (e.g. the number 1 ). The element $e_{\emptyset}$ represents the state where no particles are present, that is, the vacuum. It is of course of fundamental importance. Then we define
$$
\mathcal{B}{0}=\bigoplus{n \geq 0} \mathcal{H}{n, s}, $$ the algebraic sum of the spaces $\mathcal{H}{n, s}$, where again $\mathcal{H}{n, s}$ is the space defined in (3.7). By definition of the algebraic sum, any element $\alpha$ of $\mathcal{B}{0}$ is a sequence $\alpha=(\alpha(n)){n \geq 0}$ with $\alpha(n) \in \mathcal{H}{n, s}$ and $\alpha(n)=0$ for $n$ large enough. Let us denote by $(\cdot, \cdot){n}$ the inner product on $\mathcal{H}{n, s}$. Consider $\alpha(n), \beta(n) \in \mathcal{H}{n, s}$ and $\alpha=(\alpha(n)){n \geq 0}, \beta=(\beta(n)){n \geq 0}$. We define $$ (\alpha, \beta):=\sum{n \geq 0}(\alpha(n), \beta(n)){n} . $$ The boson Fock space $\mathcal{B}$ is the space of sequences $(\alpha(n)){n \geq 0}$ such that $\alpha(n) \in \mathcal{H}{n, s}$ and $$ \left|(\alpha(n)){n \geq 0}\right|^{2}:=\sum_{n \geq 0}|\alpha(n)|^{2}<\infty,
$$
where $|\alpha(n)|$ is the norm in $\mathcal{H}{n, s}$. We will hardly ever need to write down elements of $\mathcal{B}$ which are not in $\mathcal{B}{0}$.

We will somewhat abuse notation by considering each $\mathcal{H}{n, s}$, and in particular $\mathcal{H}=\mathcal{H}{1, s}$, as a subspace of $\mathcal{B}{0}$. Again, $\mathcal{H}{n, s}$ represents the $n$-particle states. Given $\xi, \eta$ in $\mathcal{H}$ we recall the operators $A_{n}(\xi)$ and $A_{n}^{\dagger}(\eta)$ of the previous section.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Symmetric Tensors

当考虑由几个组成的系统时,张量积的概念有一个非常重要的转折,比如说n相同的粒子。即使在原则上,相同的粒子也无法相互区分。如果运动中的电子在静止的电子上发生散射,则实验中会出现两个运动的电子,并且无法分辨其中哪一个是静止的电子(可以说这个问题甚至可能没有意义)。这必须在模型中构建。为此,我们考虑一个希尔伯特空间H有依据(和一世)一世≥1, 给定整数n我们表示Hn的张量积n它的副本,在上述意义上。我们观察到一个排列σ的1,2,…,n引发转变Hn, 只需变换基元素⨂ķ≤n和一世ķ进入⨂ķ≤n和一世σ(ķ). 如果一个元素X的Hn描述了一个系统的状态,包括n相同的粒子,它在这种变换下的图像描述了相同的粒子系统,因此它必须是类型λX为了

λ∈C. 自从转型X具有相同的规范X然后|λ|=1,也就是变换X不同于X只是一个阶段。10

在本书的第一部分,我们考虑最简单的情况,其中每个状态的变换X是X本身。具有这种性质的粒子称为玻色子。11 这些不是最常见和最有趣的粒子,但必须首先了解。稍后,我们将遇到费米子,它包含大部分重要的粒子(尤其是电子)。让我们用小号n的排列组1,…,n.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Creation and Annihilation Operators

我们定义和研究运营商一个n(X)和一个n†(这),这将在下一节中发挥至关重要的作用。这里方便定义H0,s:=C. 为了n≥1和X∈H运营商一个n(X):Hn,s→Hn−1,s变换一个n-粒子状态为(n−1)-粒子状态,因此称为湮灭算子。为了n≥0和这∈H运营商一个n†(这) : Hn,s→Hn+1,s变换一个n-粒子状态为(n+1)-粒子状态,称为创建算子。

为了避免写出过于抽象的公式,我们选择标准正交基(和一世)一世≥1的H, 使得一个元素这的H用一个序列标识(这一世)一世≥113同样我们想到一个元素一个的Hn,s作为对称张量(一个一世1,…,一世n)一世1,…,一世n≥1.

然后让我们介绍一个重要的符号:给定一个序列一世1,…,一世n+1长度n+1我们表示一世1,…,一世^ķ,…一世n+1长度序列n术语在哪里一世ķ被省略。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Boson Fock Space

量子力学的相对论正确版本必须描述具有可变数量粒子的系统,因为质量和能量的等价性允许粒子的产生和破坏。我们假设空间H描述单个粒子。我们在 (3.7) 中构建了空间Hn,s它描述了一个集合n相同的粒子。玻色子福克空间将简单地是这些空间的直接和(在希尔伯特空间的意义上)为n≥0并将描述任意数量的相同粒子的集合。16我们还没有纳入狭义相对论的任何想法。玻色子福克空间的构造几乎是微不足道的。重要性的非平凡结构是定理 3.4.2 中描述的特殊运算符族。

为了n=0我们定义H0,s=C,我们表示为和∅它的基本元素(例如数字 1 )。元素和∅表示没有粒子存在的状态,即真空。当然,它具有根本性的重要性。然后我们定义

乙0=⨁n≥0Hn,s,空间的代数和Hn,s, 又在哪里Hn,s是(3.7)中定义的空间。根据代数和的定义,任何元素一个的乙0是一个序列一个=(一个(n))n≥0和一个(n)∈Hn,s和一个(n)=0为了n足够大。让我们用(⋅,⋅)n内积Hn,s. 考虑一个(n),b(n)∈Hn,s和一个=(一个(n))n≥0,b=(b(n))n≥0. 我们定义

(一个,b):=∑n≥0(一个(n),b(n))n.玻色子福克空间乙是序列的空间(一个(n))n≥0这样一个(n)∈Hn,s和

|(一个(n))n≥0|2:=∑n≥0|一个(n)|2<∞,
在哪里|一个(n)|是规范Hn,s. 我们几乎不需要写下乙哪些不在乙0.

我们将通过考虑每个Hn,s, 特别是H=H1,s, 作为一个子空间乙0. 再次,Hn,s代表n-粒子状态。给定X,这在H我们召回运营商一个n(X)和一个n†(这)上一节的。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS3101

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|A First Contact with Creation and Annihilation Operators

High-energy interacting particles create other particles, and a relativistic theory must consider multiparticle systems, where the number of particles may vary.

Let us describe what is probably the simplest example of a multiparticle system. ${ }^{67}$ The “particles” are as simple as possible. ${ }^{68}$

Consider a separable Hilbert space with an orthonormal basis $\left(e_{n}\right){n \geq 0}$. The idea is that the state of the system is described by $e{n}$ when the system consists of $n$ particles. The important structure consists of the operators $a$ and $a^{\dagger}$ defined on the domain
$$
\mathcal{D}=\left{\sum_{n \geq 0} \alpha_{n} e_{n} ; \sum_{n \geq 0} n\left|\alpha_{n}\right|^{2}<\infty\right}
$$
by
$$
a\left(e_{n}\right)=\sqrt{n} e_{n-1} ; a^{\dagger}\left(e_{n}\right)=\sqrt{n+1} e_{n+1} .
$$
The definition of $a\left(e_{n}\right)$ is to be understood as $a\left(e_{0}\right)=0$ when $n=0$. The reason for the factors $\sqrt{n}$ and $\sqrt{n+1}$ is not intuitive, and will become clear only gradually.
The notation is consistent, since for each $n, m$,
$$
\left(e_{n}, a\left(e_{m}\right)\right)=\sqrt{m} \delta_{n}^{m-1}=\sqrt{m} \delta_{n+1}^{m}=\left(a^{\dagger}\left(e_{n}\right), e_{m}\right)
$$
where $\delta_{n}^{m}$ is the Kronecker symbol (equal to 1 if $n=m$ and to 0 otherwise).
Exercise 2.17.1 Prove that $a^{\dagger}$ is the adjoint of $a$. Prove in particular that if $|(y, a(x))| \leq$ $C|x|$ for $x \in \mathcal{D}$ then $y \in \mathcal{D}$.

Exercise 2.17.2 Prove that for each $\lambda \in \mathbb{C}$ the operator $a$ has an eigenvector with eigenvalue $\lambda$. Can this happen for a symmetric operator?
It should be obvious from $(2.88)$ that
$$
a^{\dagger} a\left(e_{n}\right)=n e_{n} ; a a^{\dagger}\left(e_{n}\right)=(n+1) e_{n} .
$$
Let us then consider the self-adjoint operator ${ }^{69}$
$$
N:=a^{\dagger} a .
$$
Thus $N\left(e_{n}\right)=n e_{n}$. Since a system in state $e_{n}$ has $n$ particles, the observable corresponding to this operator is “the number of particles”. The operator $N$ is therefore called the number operator.
As another consequence of $(2.90)$,
$$
\left[a, a^{\dagger}\right]\left(e_{n}\right)=e_{n t}
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Harmonic Oscillator

The fundamental structure outlined in the previous section is connected to an equally fundamental system, the harmonic oscillator. A classical one-dimensional harmonic oscillator of angular frequency ${ }^{73} \omega$ consists of a point of mass $m$ on the real line which is pulled back to the origin with a force $m \omega^{2}$ times the distance to the origin. The quantum version of this system is the space $\mathcal{H}=L^{2}(\mathbb{R})$ with Hamiltonian
$$
H:=\frac{1}{2 m}\left(P^{2}+\omega^{2} m^{2} X^{2}\right),
$$
where $P$ and $X$ are respectively the momentum and the position operators of Section $2.5$. This is the Hamiltonian $(2.79)$ in the case where $V(x)=m \omega^{2} x^{2} / 2$. That this formula provides a quantized version of the classical harmonic oscillator is not obvious at all. ${ }^{74}$ We will explain in Section $6.6$ the systematic procedure of “canonical quantization” to discover formulas such as (2.77) or (2.95). This procedure is by no means a proof of anything, and the resulting formulas are justified only by the fact that they provide a fruitful model. So there is little harm to accept at this stage that the formula (2.95) is indeed fundamental. We have not proved yet that this formula defines a self-adjoint operator, but this is a consequence of the analysis below.

Exercise 2.18.1 Prove that a symmetric operator which admits an orthonormal basis of eigenvectors is self-adjoint. Hint: If we denote by $\left(e_{n}\right)$ an orthonormal basis of eigenvectors, and $\lambda_{n}$ the eigenvalue of $e_{n}$, the natural domain $\mathcal{D}$ of the operator is
$$
\left{x=\sum_{n} x_{n} e_{n} ; \sum_{n}\left(1+\left|\lambda_{n}\right|^{2}\right)\left|x_{n}\right|^{2}<\infty\right}
$$
The program for this section is first to find a basis of eigenvectors for the Hamiltonian (2.95), and then to examine how some classical quantities transform under quantization.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Tensor Products

The present section is standard material, but our presentation attempts to balance rigor and readability.

Principle 6 If the states of two systems $\mathcal{S}{1}$ and $\mathcal{S}{2}$ are represented by the unitary rays in two Hilbert spaces $\mathcal{H}{1}$ and $\mathcal{H}{2}$ respectively, the appropriate Hilbert space to represent the system consisting of the union of $\mathcal{S}{1}$ and $\mathcal{S}{2}$ is the tensor product $\mathcal{H}{1} \otimes \mathcal{H}{2}$.

Our first task is to describe this space. ${ }^{2}$ A mathematician would love to see an “intrinsic” definition of this tensor product, a definition that does not use bases or a special representation of these Hilbert spaces. This can be done elegantly as in e.g. Dimock’s book [23]. We shall not enjoy this piece of abstraction and we shall go the ugly way.

If $\left(e_{n}\right){n \geq 1}$ is an orthonormal basis of $\mathcal{H}{1}$ and $\left(f_{n}\right){n \geq 1}$ is an orthonormal basis of $\mathcal{H}{2}$ then the vectors $e_{n} \otimes f_{m}$ constitute an orthonormal basis of $\mathcal{H}{1} \otimes \mathcal{H}{2}$, which is thus the set of vectors of the type $\sum_{n, m \geq 1} a_{n, m} e_{n} \otimes f_{m}$ where the complex numbers $a_{n, m}$ satisfy $\sum_{n, m \geq 1}\left|a_{n, m}\right|^{2}<\infty$. Here the quantity $e_{n} \otimes f_{m}$ is just a notation, which is motivated by the fact that for $x=\sum_{n \geq 1} \alpha_{n} e_{n} \in \mathcal{H}{1}$ and $y=\sum{n \geq 1} \beta_{n} f_{n} \in \mathcal{H}{2}$ one defines $x \otimes y \in$ $\mathcal{H}{1} \otimes \mathcal{H}{2}$ by $$ x \otimes y=\sum{m, n \geq 1} \alpha_{n} \beta_{m} e_{n} \otimes f_{m} .
$$
When either $\mathcal{H}{1}$ or $\mathcal{H}{2}$, or both, are finite-dimensional, the definition is modified in the obvious manner.

Exercise 3.1.1 When $\mathcal{H}{1}$ and $\mathcal{H}{2}$ are finite-dimensional, what is the dimension of $\mathcal{H}{1} \otimes \mathcal{H}{2}$ ? How does it compare with the dimension of the usual product $\mathcal{H}{1} \times \mathcal{H}{2}$ ?
When either $\mathcal{H}{1}$ or $\mathcal{H}{2}$ is infinite-dimensional, $\mathcal{H}{1} \otimes \mathcal{H}{2}$ is an infinite-dimensional Hilbert space. The important structure is the bilinear form from $\mathcal{H}{1} \times \mathcal{H}{2}$ into this space given by (3.1).

Recalling that $(x, y)$ denotes the inner product in a Hilbert space we observe the formula
$$
\left(x \otimes y, x^{\prime} \otimes y^{\prime}\right)=\left(x, x^{\prime}\right)\left(y, y^{\prime}\right),
$$
which is a straightforward consequence of the fact that the basis $e_{n} \otimes f_{m}$ is orthonormal. $^{3}$
The problem with our definition of the tensor product is that one is supposed to check that “it does not depend on the choice of the orthonormal basis”, a tedious task that joins similar tasks under the carpet. ${ }^{4}$ The good news is that all the identifications one may wish for are true. If both $\mathcal{H}{1}$ and $\mathcal{H}{2}$ are the space of square-integrable functions on $\mathbb{R}^{3}$, then $\mathcal{H}{1} \otimes \mathcal{H}{2}$ is the space of square-integrable functions on $\mathbb{R}^{6} .5$ This fits very well with the Dirac formalism: If $|x\rangle$ denotes the Dirac function at $\boldsymbol{x}$, (so that these generalized vectors provide a generalized basis of $\mathcal{H}{1}$, and similarly for $|\boldsymbol{y}\rangle$, then $|\boldsymbol{x}\rangle|\boldsymbol{y}\rangle$ denotes the Dirac function at the point $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \in \mathbb{R}^{6}$, and these generalized vectors provide a generalized basis of $\mathcal{H}{1} \otimes \mathcal{H}{2}$. Furthermore, if $f \in \mathcal{H}{1}$ and $g \in \mathcal{H}_{2}$ then $f \otimes g$ identifies with the function $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \mapsto$ $f(x) g(y)$ on $\mathbb{R}^{6}$.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS3101

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|A First Contact with Creation and Annihilation Operators

高能相互作用的粒子会产生其他粒子,相对论必须考虑多粒子系统,其中粒子的数量可能会有所不同。

让我们描述一下可能是多粒子系统最简单的例子。67“粒子”尽可能简单。68

考虑具有标准正交基的可分离希尔伯特空间(和n)n≥0. 这个想法是系统的状态描述为和n当系统由n粒子。重要结构由运算符组成一个和一个†在域上定义

\mathcal{D}=\left{\sum_{n \geq 0} \alpha_{n}e_{n} ; \sum_{n \geq 0} n\left|\alpha_{n}\right|^{2}<\infty\right}\mathcal{D}=\left{\sum_{n \geq 0} \alpha_{n}e_{n} ; \sum_{n \geq 0} n\left|\alpha_{n}\right|^{2}<\infty\right}
经过

一个(和n)=n和n−1;一个†(和n)=n+1和n+1.
的定义一个(和n)应理解为一个(和0)=0什么时候n=0. 因素的原因n和n+1不直观,只会逐渐清晰。
符号是一致的,因为对于每个n,米,

(和n,一个(和米))=米dn米−1=米dn+1米=(一个†(和n),和米)
在哪里dn米是克罗内克符号(如果n=米否则为 0)。
练习 2.17.1 证明一个†是的伴随一个. 特别证明如果|(是,一个(X))|≤ C|X|为了X∈D然后是∈D.

练习 2.17.2 证明对于每个λ∈C运营商一个有一个带有特征值的特征向量λ. 对称算子会发生这种情况吗?
应该是显而易见的(2.88)那

一个†一个(和n)=n和n;一个一个†(和n)=(n+1)和n.
然后让我们考虑自伴算子69

ñ:=一个†一个.
因此ñ(和n)=n和n. 由于系统处于状态和n有n粒子,这个算子对应的 observable 就是“粒子个数”。运营商ñ因此称为数运算符。
作为另一个结果(2.90),

[一个,一个†](和n)=和n吨

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Harmonic Oscillator

上一节中概述的基本结构连接到一个同样基本的系统,即谐振子。一种经典的角频率一维谐振子73ω由一个质点组成米在用力拉回原点的实线上米ω2乘以到原点的距离。这个系统的量子版本是空间H=大号2(R)与哈密顿量

H:=12米(磷2+ω2米2X2),
在哪里磷和X分别是截面的动量算子和位置算子2.5. 这是哈密顿量(2.79)在这种情况下在(X)=米ω2X2/2. 这个公式提供了经典谐振子的量化版本,这一点并不明显。74我们将在章节中解释6.6“规范量化”的系统过程以发现诸如 (2.77) 或 (2.95) 之类的公式。这个过程绝不是任何事情的证明,并且得到的公式仅通过它们提供了一个富有成效的模型这一事实来证明是合理的。因此,在这个阶段接受公式(2.95)确实是基本的并没有什么坏处。我们还没有证明这个公式定义了一个自伴算子,但这是下面分析的结果。

练习 2.18.1 证明一个对称算子承认特征向量的正交基是自伴的。提示:如果我们用(和n)特征向量的正交基,和λn的特征值和n, 自然域D运营商是

\left{x=\sum_{n} x_{n} e_{n} ; \sum_{n}\left(1+\left|\lambda_{n}\right|^{2}\right)\left|x_{n}\right|^{2}<\infty\right}\left{x=\sum_{n} x_{n} e_{n} ; \sum_{n}\left(1+\left|\lambda_{n}\right|^{2}\right)\left|x_{n}\right|^{2}<\infty\right}
本节的程序是首先找到哈密顿量(2.95)的特征向量的基,然后检查一些经典量在量化下是如何变换的。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Tensor Products

本节是标准材料,但我们的演示文稿试图平衡严谨性和可读性。

原则 6 如果两个系统的状态小号1和小号2由两个希尔伯特空间中的酉射线表示H1和H2分别地,适当的希尔伯特空间来表示由联合组成的系统小号1和小号2是张量积H1⊗H2.

我们的首要任务是描述这个空间。2数学家很想看到这个张量积的“内在”定义,一个不使用基的定义或这些希尔伯特空间的特殊表示。这可以优雅地完成,例如 Dimock 的书 [23]。我们不会享受这种抽象,我们会走上丑陋的道路。

如果(和n)n≥1是一个正交基H1和(Fn)n≥1是一个正交基H2然后向量和n⊗F米构成一个正交基H1⊗H2,因此是该类型的向量集∑n,米≥1一个n,米和n⊗F米其中复数一个n,米满足∑n,米≥1|一个n,米|2<∞. 这里的数量和n⊗F米只是一个符号,其动机是因为X=∑n≥1一个n和n∈H1和是=∑n≥1bnFn∈H2一个定义X⊗是∈ H1⊗H2经过

X⊗是=∑米,n≥1一个nb米和n⊗F米.
当H1或者H2,或两者都是有限维的,定义以明显的方式修改。

练习 3.1.1 何时H1和H2是有限维的,什么是维H1⊗H2? 它与通常产品的尺寸相比如何H1×H2?
当H1或者H2是无限维的,H1⊗H2是无限维希尔伯特空间。重要的结构是来自的双线性形式H1×H2进入由(3.1)给出的这个空间。

回想起来(X,是)表示希尔伯特空间中的内积,我们观察公式

(X⊗是,X′⊗是′)=(X,X′)(是,是′),
这是一个直接的结果,即基础和n⊗F米是正交的。3
我们对张量积的定义存在的问题是,我们应该检查“它不依赖于正交基的选择”,这是一项繁琐的任务,需要在地毯下加入类似的任务。4好消息是,人们可能希望得到的所有身份都是真实的。如果两者H1和H2是平方可积函数的空间R3, 然后H1⊗H2是平方可积函数的空间R6.5这非常符合狄拉克的形式主义:如果|X⟩表示狄拉克函数X, (因此这些广义向量提供了H1, 同样对于|是⟩, 然后|X⟩|是⟩表示该点的狄拉克函数(X,是)∈R6, 这些广义向量提供了一个广义基础H1⊗H2. 此外,如果F∈H1和G∈H2然后F⊗G与功能标识(X,是)↦ F(X)G(是)上R6.

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|One-parameter Unitary Groups and Stone’s Theorem

A (strongly continuous) one-parameter unitary group is simply a (strongly continuous) unitary representation of $\mathbb{R}$, that is a map which associates to $t \in \mathbb{R}$ a unitary operator $U(t)$ on Hilbert space $\mathcal{H}$ in such a manner that
$$
U(s) U(t)=U(s+t),
$$
and (the continuity condition)
$$
\forall x, y \in \mathcal{H}, \lim _{t \rightarrow 0}(x, U(t)(y))=(x, y) .
$$

The archetypical example is the operator $U(t)$ on $L^{2}(\mathbb{R})$ given for $f \in L^{2}$ and $w \in \mathbb{R}$ by
$$
U(t)(f)(w)=\exp (\mathrm{i} t w / h) f(w) .
$$
This is simply the operator “multiplication by the function exp(it $\cdot / \hbar) . “$ Another example is the operator $V(t)$ on $L^{2}(\mathbb{R})$ given for $f \in L^{2}$ and $w \in \mathbb{R}$ by
$$
V(t)(f)(w)=f(w+t) .
$$
In both cases it is a nice exercise of elementary analysis to prove that these operators are strongly continuous. These one-parameter groups are closely related by the Fourier transform. Indeed,
$$
\widehat{V(t)(f)}=U(t) \hat{f} .
$$
Exercise 2.14.1 Make sure you understand every detail of the proof of the important formula (2.55)

Theorem 2.14.2 (Stone’s theorem) There is a one-to-one correspondence between the strongly continuous one-parameter unitary groups on a Hilbert space $\mathcal{H}$ and the self-adjoint operators on $\mathcal{H}$. Given the unitary group $U$, the corresponding self-adjoint operator $A$ is called the infinitesimal generator of U. It is defined by the formula ${ }^{58}$
$$
A(x)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{h}{i}(U(t)(x)-x) .
$$
and its domain $\mathcal{D}=\mathcal{D}(A)$ is the set of $x$ for which the previous limit exists.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Time-evolution

Consider a physical system, the state of which is described by a vector in $\mathcal{H}$.
Principle 5 If the system does not change with time (not in the sense that it does not evolve, but in the sense that it is not subjected to variable external influences), its evolution between time $t_{0}$ and time $t_{1}$ is described by a unitary operator ${ }^{62} U\left(t_{1}, t_{0}\right)$.

This operator depends only on $t_{1}-t_{0}$, reflecting the fact that the laws of physics are believed not to change with time ${ }^{63}$

Please observe the notation: the evolution $U\left(t_{1}, t_{0}\right)$ is from $t_{0}$ to $t_{1}$. The reason for this notation is that the evolution of the system from $t_{0}$ to $t_{1}$ and then from $t_{1}$ to $t_{2}$ is represented by $U\left(t_{2}, t_{1}\right) U\left(t_{1}, t_{0}\right)$, which also represents the same evolution as $U\left(t_{2}, t_{0}\right)$ so that as in (2.45) these two operators should differ only by a phase, $U\left(t_{2}, t_{1}\right) U\left(t_{1}, t_{0}\right)=c U\left(t_{2}, t_{0}\right)$ for some $c$ of modulus 1. Thus $U\left(t_{2}-t_{1}, 0\right) U\left(t_{1}-t_{0}, 0\right)=c U\left(t_{2}-t_{0}, 0\right)$. This means that $U(t):=$ $U(t, 0)$ should be a projective representation of $\mathbb{R}$ in $\mathcal{H}$, and on physical grounds it should be continuous in some sense. As shown in Section $2.13$ this projective representation arises from a true representation, so we can as well assume that it already is a true representation, and Stone’s theorem describes these. Therefore, there exists a self-adjoint operator $H$ on $\mathcal{H}$ such that
$$
U(t)=\exp (-\mathrm{i} t H / \hbar) .
$$
Probably it is worth making explicit the following fundamental point:
The time-evolution of a quantum system is entirely deterministic.
The minus sign in (2.75) is conventional. The reason for this convention will appear in Section 9.7. Since $h$ has the dimension of an energy times a time, $H$ has the dimension of an energy. It is called the Hamiltonian of the system. Although this is certainly not obvious ${ }^{64}$
The Hamiltonian should be thought of as representing the energy of the system.
A consequence of (2.75) is that if $\psi$ belongs to the domain of $H$, then, by the second part of $(2.64), \psi(t):=U(t)(\psi)$ satisfies the equation
$$
\psi^{\prime}(t)=-\frac{\mathrm{i}}{h} H(\psi(t)) \text {. }
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Schrödinger and Heisenberg Pictures

The previous description of an evolving state $\psi(t)$ and of time-independent operators is called the Schrödinger picture.

We have seen that we may be able to improve matters by re-shuffling the state space using a unitary transformation. A fundamental idea is to try this using a time-dependent unitary transformation $V(t)$, replacing the state $\psi$ by $V(t)(\psi)$, and replacing the operator $A$ by $A(t)=V(t) A V(t)^{-1}$. Here we use a first simple implementation, with $V(t)=$ $\exp ($ it $H / \hbar)=U(t)^{-1}$. This is called the Heisenberg picture. In the Heisenberg picture the state $\psi(t)$ is replaced by $V(t)(\psi(t))=U(t)^{-1} U(t)(\psi)=\psi$, so that states do not change with time. On the other hand, an operator $A$ is replaced by the operator
$$
A(t)=U(t)^{-1} A U(t)=\exp (\mathrm{i} t H / \hbar) A \exp (-\mathrm{i} t H / \hbar) .
$$
Suppose that at time $t=0$ the system is in state $\psi$. Then, in the Schrödinger picture, the average value of $A$ at time $t$ is given by
$$
(\psi(t), A \psi(t))=(U(t) \psi, A U(t) \psi)=\left(\psi, U(t)^{-1} A U(t) \psi\right)=(\psi, A(t) \psi),
$$
where the last expression is the same quantity in the Heisenberg picture. Thus these two pictures are fortunately consistent with each other.

We may wonder why there is anything to gain by moving from the Schrödinger picture, where the simpler objects, the states, evolve, but where the complicated objects, the operators, are constant, to the Heisenberg picture where the simpler objects are constant, but the complicated ones evolve. One reason is that while it is correct in principle that the states, which are simply vectors of $\mathcal{H}$ are simpler objects than operators, it will often happen that the operators of interest have a simple description, while the states have a very complicated one. Another reason will be given at the end of the present section.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS4040

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|One-parameter Unitary Groups and Stone’s Theorem

一个(强连续)单参数酉群只是一个(强连续)酉表示R,这是一张与吨∈R单一算子在(吨)在希尔伯特空间H以这样的方式

在(s)在(吨)=在(s+吨),
和(连续性条件)

∀X,是∈H,林吨→0(X,在(吨)(是))=(X,是).

典型的例子是运营商在(吨)上大号2(R)给予F∈大号2和在∈R经过

在(吨)(F)(在)=经验⁡(一世吨在/H)F(在).
这只是运算符“乘以函数 exp(it⋅/⁇).“另一个例子是运营商在(吨)上大号2(R)给予F∈大号2和在∈R经过

在(吨)(F)(在)=F(在+吨).
在这两种情况下,证明这些算子是强连续的,都是一个很好的初等分析练习。这些单参数组与傅里叶变换密切相关。的确,

在(吨)(F)^=在(吨)F^.
练习 2.14.1 确保你理解重要公式 (2.55) 证明的每一个细节

定理 2.14.2(斯通定理) 在希尔伯特空间上的强连续单参数酉群之间存在一一对应的关系H和自伴算子H. 给定酉群在, 对应的自伴算子一个被称为 U 的无穷小生成器。它由公式定义58

一个(X)=林吨→0H一世(在(吨)(X)−X).
及其域D=D(一个)是集合X存在先前的限制。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Time-evolution

考虑一个物理系统,其状态由向量描述H.
原则 5 如果系统不随时间变化(不是说它不进化,而是说它不受可变的外部影响),它在不同时间的进化吨0和时间吨1由酉算子描述62在(吨1,吨0).

该运算符仅取决于吨1−吨0,反映了物理定律被认为不会随时间变化的事实63

请注意符号:进化在(吨1,吨0)来自吨0至吨1. 这种表示法的原因是系统从吨0至吨1然后从吨1至吨2表示为在(吨2,吨1)在(吨1,吨0),这也代表了相同的演变在(吨2,吨0)因此,在 (2.45) 中,这两个运算符应该仅相差一个相位,在(吨2,吨1)在(吨1,吨0)=C在(吨2,吨0)对于一些C模数 1. 因此在(吨2−吨1,0)在(吨1−吨0,0)=C在(吨2−吨0,0). 这意味着在(吨):= 在(吨,0)应该是一个投影表示R在H,并且在物理上它在某种意义上应该是连续的。如部分所示2.13这个投影表示来自一个真实的表示,所以我们也可以假设它已经是一个真实的表示,而斯通定理描述了这些。因此,存在一个自伴算子H上H这样

在(吨)=经验⁡(−一世吨H/⁇).
或许有必要明确以下基本点:
量子系统的时间演化完全是确定性的。
(2.75) 中的减号是常规的。这种约定的原因将出现在第 9.7 节中。自从H具有能量乘以时间的维度,H具有能量的维度。它被称为系统的哈密顿量。虽然这肯定不是很明显64
哈密​​顿量应该被认为代表系统的能量。
(2.75) 的结果是,如果ψ属于的领域H,然后,由第二部分(2.64),ψ(吨):=在(吨)(ψ)满足方程

ψ′(吨)=−一世HH(ψ(吨)). 

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Schrödinger and Heisenberg Pictures

先前对演化状态的描述ψ(吨)和时间无关的算子称为薛定谔图。

我们已经看到,我们可以通过使用酉变换重新洗牌状态空间来改善问题。一个基本的想法是使用时间相关的单一变换来尝试这个在(吨), 替换状态ψ经过在(吨)(ψ), 并替换运算符一个经过一个(吨)=在(吨)一个在(吨)−1. 这里我们使用第一个简单的实现,在(吨)= 经验⁡(它H/⁇)=在(吨)−1. 这就是所谓的海森堡图。海森堡画中的国家ψ(吨)被替换为在(吨)(ψ(吨))=在(吨)−1在(吨)(ψ)=ψ,因此状态不会随时间变化。另一方面,运营商一个被运营商取代

一个(吨)=在(吨)−1一个在(吨)=经验⁡(一世吨H/⁇)一个经验⁡(−一世吨H/⁇).
假设当时吨=0系统处于状态ψ. 然后,在薛定谔图上,平均值一个有时吨是(谁)给的

(ψ(吨),一个ψ(吨))=(在(吨)ψ,一个在(吨)ψ)=(ψ,在(吨)−1一个在(吨)ψ)=(ψ,一个(吨)ψ),
其中最后一个表达式与海森堡图中的量相同。因此,这两张照片幸运的是彼此一致。

我们可能想知道为什么从薛定谔图(其中更简单的对象(状态)在进化,但复杂的对象(操作符)是恒定的)到海森堡图(其中更简单的对象是恒定的)会有所收获,但是复杂的进化。一个原因是,虽然原则上是正确的,但状态只是简单的向量H是比操作符更简单的对象,经常会发生感兴趣的操作符有一个简单的描述,而状态有一个非常复杂的描述。另一个原因将在本节末尾给出。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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随机分析代写


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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS7076

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS7076

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Projective versus True Unitary Representations

Let us start the discussion of the concepts involved in Definitions $2.10 .1$ and 2.10.3. The word “unitary” refers of course to the fact that each of the operators $U(a)$ is unitary. Unless mentioned otherwise, all representations are unitary, so that we shall nearly always omit the word “unitary”, and the expressions “representation” and “projective representations” have to be understood by default as “unitary representation” and “projective unitary representations”.

To insist that a representation satisfies $r(a, b)=1$ for all $a, b$ we will sometimes say true representation, even though throughout the book, the word “representation” means “true representation”. When we consider a representation that is only a projective representation we will always say so explicitly. It is most important to understand the relationship between representations and projective representations.

  • The concept of “representation” is far more restrictive than the concept of “projective representation”.
  • From the point of view of mathematics, the nice objects are representations. The study of group representations is a vast subject in mathematics.
  • From the point of view of Quantum Mechanics, the natural objects are projective representations.

The following explains an important relationship between representations and projective representations.

Definition 2.11.1 Given a true representation $V$ of $G$, and for $a \in G$ a number $\lambda(a)$ of modulus 1 , the formula
$$
U(a):=\lambda(a) V(a)
$$
defines a projective representation, since (2.45) holds for the function
$$
r(a, b)=\lambda(a b) /(\lambda(a) \lambda(b)) .
$$
When this is the case we will say that the projective representation Uarises from the true representation $V$.

More generally, there is an important idea behind this definition: two projective representations $U, U^{\prime}$ such for each $a \in G$ one has $U(a)=\lambda(a) U^{\prime}(a)$ for some complex number $\lambda(a)$ with $|\lambda(a)|=1$ are to be thought of as “the same projective representation”.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Mathematicians Look at Projective Representations

This material is not needed to follow the main story. It assumes that you know some very basic group theory. A map $U$ from $G$ to the group $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ of unitary transformations of $\mathcal{H}$ is a true representation if and only if it is a group homomorphism. The group $\mathcal{U}(\mathcal{H}$ ) has a remarkable subgroup, the subgroup consisting of the transformations $\lambda 1$ with $|\lambda|=1$. Let us denote by $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$ the quotient of $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ by this subgroup, and by $\Phi$ the quotient map $\mathcal{U}(\mathcal{H}) \rightarrow \mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$. Thus the elements of $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$ are unitary operators “up to a phase”, i.e. up to a multiplicative constant of modulus 1 . It is immediate to check that a map $U$ from a group $G$ into $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ is a projective representation in the sense of Definition $2.10 .1$ if and only $\Phi \circ U$ is a group homomorphism from $G$ to $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$. The important object is thus the map $\Phi \circ U$. Accordingly, mathematicians define a projective representation as a group homomorphism from $G$ to $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$. This formalizes the idea that two projective representations $U$ and $U^{\prime}$ such that $U(a)=\lambda(a) U^{\prime}(a)$ “are the same projective representation” (because this is the case if and only if $\Phi \circ U=\Phi \circ U^{\prime}$ ). Another benefit of this approach is that it becomes natural to define “continuous projective representations”, a topic which is investigated in Section A.2. In mathematical language, the fundamental question, is, given a projective representation $U$ of $G$, that is a group homomorphism from $G$ to $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$, whether there exists a true representation $V$, that is a group homomorphism from $G$ to $\mathcal{U}(\mathcal{H})$, such that $U=\Phi \circ V$.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Projective Representations of R

We do not investigate in detail how true and projective representations are related in general, but we examine this question in the centrally important case $G=\mathbb{R}$. However, we must first discuss a technical question. In the cases of greatest interest, $G$ is a topological group, and to avoid pathologies, one requires also a mild continuity assumption.

Definition 2.13.1 The map $a \mapsto U(a)$ which associates to each element $a$ of $G$ a unitary operator $U(a)$ is called strongly continuous if for each $x \in \mathcal{H}$ the map $a \mapsto U(a)(x)$ from $G$ to $\mathcal{H}$ is continuous.

The topology on $\mathcal{H}$ is the topology induced by its norm, so the condition of strong continuity means that for each $x \in \mathcal{H}$ the norm $\left|U(a)(x)-U\left(a_{0}\right)(x)\right|$ goes to 0 as $a \rightarrow a_{0}$. Despite the adjective “strong”, this condition is much weaker than the continuity of the map $a \mapsto U(a)$ in the operator norm.

A simple but instructive example of a representation is the case where $G=\mathbb{R}$, $\mathcal{H}=L^{2}(\mathbb{R})$ and $U(a)(f) \in L^{2}(\mathbb{R})$ is the function $w \mapsto f(w-a)$. The map $a \mapsto U(a)$ is not continuous when the space of unitary operators is provided with the topology induced by the operator norm but it is strongly continuous (as one sees by approximating $f$ with a continuous function of bounded support).

When the map $a \mapsto U(a)$ is strongly continuous, then for $x, y \in \mathcal{H}$ the map $a \mapsto(x, U(a)(y))$ is continuous. This apparently weaker condition is equivalent to strong continuity. To prove this, assume the weaker condition. Then as $a \rightarrow a_{0},\left(U(a)(x), U\left(a_{0}\right)(x)\right)$ tends to the square of the norm of $U\left(a_{0}\right)(x)$, and since both vectors $U(a)(x)$ and $U\left(a_{0}\right)(x)$ have the same norm they become close to each other (as follows from the relation $\left.|u-v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}-2 \operatorname{Re}(u, v)\right)$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS7076

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Projective versus True Unitary Representations

让我们开始讨论定义中涉及的概念2.10.1和 2.10.3。“单一”一词当然是指每个运算符在(一个)是单一的。除非另有说明,否则所有表示都是单一的,因此我们几乎总是会省略“单一”一词,并且“表示”和“投影表示”必须默认理解为“单一表示”和“投影单一表示” .

坚持表示满足r(一个,b)=1对所有人一个,b我们有时会说真实再现,尽管在整本书中,“再现”一词的意思是“真实再现”。当我们考虑一个只是投影表示的表示时,我们总是会这样明确地说出来。理解表征和投影表征之间的关系是最重要的。

  • “表示”的概念比“投影表示”的概念要严格得多。
  • 从数学的角度来看,好的对象是表示。群表示的研究是数学中的一门广泛的学科。
  • 从量子力学的角度来看,自然物体是射影表示。

下面解释表示和投影表示之间的重要关系。

定义 2.11.1 给定一个真实的表示在的G,并且对于一个∈G一个号码λ(一个)模数 1 , 公式

在(一个):=λ(一个)在(一个)
定义了一个投影表示,因为 (2.45) 对函数成立

r(一个,b)=λ(一个b)/(λ(一个)λ(b)).
在这种情况下,我们将说投影表示来自真实表示在.

更一般地说,这个定义背后有一个重要的思想:两个投影表示在,在′这样对于每个一个∈G一个有在(一个)=λ(一个)在′(一个)对于一些复数λ(一个)和|λ(一个)|=1被认为是“相同的投影表示”。

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跟随主要故事不需要此材料。它假设你知道一些非常基本的群论。一张地图在从G到组在(H)的酉变换H是一个真实的表示当且仅当它是一个群同态。群组在(H) 有一个显着的子群,该子群由变换组成λ1和|λ|=1. 让我们用在p(H)的商在(H)由这个子组,并由披商图在(H)→在p(H). 因此元素在p(H)是“直到一个阶段”的酉算子,即直到模数为 1 的乘法常数。立即检查地图在从一组G进入在(H)是定义意义上的投射表示2.10.1当且仅披∘在是来自的群同态G至在p(H). 因此,重要的对象是地图披∘在. 因此,数学家将射影表示定义为群同态G至在p(H). 这形式化了两个投影表示的想法在和在′这样在(一个)=λ(一个)在′(一个)“是相同的投影表示”(因为这是当且仅当披∘在=披∘在′)。这种方法的另一个好处是定义“连续投影表示”变得很自然,这是 A.2 节中研究的主题。在数学语言中,基本问题是,给定一个投影表示在的G, 那是一个群同态G至在p(H), 是否存在真实表示在, 那是一个群同态G至在(H), 这样在=披∘在.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Projective Representations of R

我们没有详细研究真实和投影表示一般是如何相关的,但我们在中心重要的情况下研究了这个问题G=R. 但是,我们必须首先讨论一个技术问题。在最感兴趣的情况下,G是一个拓扑群,为了避免病态,还需要一个温和的连续性假设。

定义 2.13.1 地图一个↦在(一个)与每个元素相关联一个的G单一算子在(一个)被称为强连续如果对于每个X∈H地图一个↦在(一个)(X)从G至H是连续的。

上的拓扑H是由其范数引出的拓扑,所以强连续性条件意味着对于每个X∈H规范|在(一个)(X)−在(一个0)(X)|变为 0 为一个→一个0. 尽管有形容词“强”,但这种情况比地图的连续性要弱得多一个↦在(一个)在运营商规范中。

表示的一个简单但有启发性的例子是G=R, H=大号2(R)和在(一个)(F)∈大号2(R)是函数在↦F(在−一个). 地图一个↦在(一个)当酉算子的空间具有算子范数诱导的拓扑时,它是不连续的,但它是强连续的(如通过近似F有界支持的连续函数)。

当地图一个↦在(一个)是强连续的,那么对于X,是∈H地图一个↦(X,在(一个)(是))是连续的。这种明显较弱的条件相当于强连续性。为了证明这一点,假设条件较弱。那么作为一个→一个0,(在(一个)(X),在(一个0)(X))趋于范数的平方在(一个0)(X),并且由于两个向量在(一个)(X)和在(一个0)(X)具有相同的范数,它们变得彼此接近(如下关系|在−在|2=|在|2+|在|2−2回覆⁡(在,在))

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Dirac’s Formalism

It is regrettable that neither the position nor the momentum operator has a basis of eigenvectors, for this would indeed be very convenient. Paul Dirac invented a remarkable formalism to deal with this problem. It is used in almost every physics textbook, where it is typically considered as self-evident. We try to explain some of the basic features and meaning of this formalism here, striving as usual to explain what this means, but with no serious attempt to make matters rigorous.

Dirac’s formalism works beautifully. It allows a great economy of thought and notation. It is however unfriendly to mathematicians, and the mathematically inclined reader must brace for a kind of cold shower, as things are likely to look horrendously confusing at first. Let us stress that it is not necessary to master this formalism to follow most of the rest of this book. Still, we will use it at times, if only to formulate results in the same language as they are found in physics textbooks. The reader who finds the present section overwhelming is encouraged to move on and to come back when the need arises.

As a consequence of the use of Dirac’s formalism, if one looks at a physics textbook discussing (say) particles on the real line, one may find it difficult to recognize any of the previous material. First, one is likely to find very early the sentence “let $|x\rangle$ denote the state of a particle located at $x . . . “$. An element of the position state space $\mathcal{H}=L^{2}(\mathbb{R}$, $\mathrm{d} x)$ that could be said to be located at $x$ would have to be an eigenvector of the position operator $X$ with eigenvalue $x$ and these do not exist. The expression $|x\rangle$ can however be given a meaning in a kind of “distributional sense”. It makes sense only when integrated against a Schwartz function $f$, that is for such a function the integral $\int \mathrm{d} x|x\rangle f(x)$ makes sense as an element of $\mathcal{H}$. The value of this integral is simply the function $f$ seen as an element of $\mathcal{H}$. Quite naturally, we denote by
$|f\rangle$ the function $f \in \mathcal{S}$ seen as an element of $\mathcal{H}$,
so that
$$
|f\rangle=\int \mathrm{d} x|x\rangle f(x) .
$$
This should certainly remind us of a basis expansion $f=\sum_{i}\left(f, e_{i}\right) e_{i}=\sum_{i} e_{i}\left(f, e_{i}\right)$, and physicists think of $|x\rangle$ as a “continuous basis”. In this manner we have given a meaning to the quantity $|x\rangle$ as “an element of $\mathcal{H}$ in the distributional sense”. The principle at work here is important enough to be stated clearly: ${ }^{41}$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Why Are Unitary Transformations Ubiquitous

Let us go back to the setting of a general Hilbert space, whose elements are denoted $x, y, z, \ldots$. To each observable is associated a self-adjoint operator. Conversely, to each self-adjoint operator is associated an observable (although it is another matter in concrete situations to design an experiment that actually measures it). We now describe a fundamental class of such observables. Given $x \in \mathcal{H}$ of norm $1,(x, x)=1$, the projector $P_{x}(y):=(x, y) x$ is Hermitian since
$$
\left(z, P_{x}(y)\right)=(z, x)(x, y)=(x, z)^{*}(x, y)=((x, z) x, y)=\left(P_{x}(z), y\right)
$$
Exercise 2.9.1 In Dirac’s formalism for a norm-1 vector $|\alpha\rangle$ one writes the projector $P_{\alpha}=|\alpha\rangle\langle\alpha|$. Why does it seem to require no proof that $P_{\alpha}$ is Hermitian?

Thus the operator $P_{x}$ corresponds to an observable $\mathcal{O}$. The possible values of $\mathcal{O}$ are the eigenvalues of $P$, namely 0 and 1 . We may describe $\mathcal{O}$ as asking the question: Is the state of the system equal to $x ?^{48}$ The average value of this operator in state $y$ is given by $\left(y, P_{x}(y)\right)=(y, x)(x, y)=|(x, y)|^{2}$ and is the probability to obtain the answer “yes” to your question. It is called the transition probability between $x$ and $y^{49}$ In physics, the inner product $(x, y)$ is often called an amplitude, so that the transition probability is the square of the modulus of the amplitude. ${ }^{50}$ The transition probability does not change if one multiplies $x$ and $y$ by complex numbers of modulus 1 , as expected from the fact that this multiplication does not change the state represented by either $x$ or $y$.

We should expect that any transformation ${ }^{51}$ which preserves the physical properties of a system preserves the transition probabilities. Transition probabilities are preserved by unitary transformations, since for such a transformation $|(U x, U y)|^{2}=|(x, y)|^{2}$. They are also preserved under anti-unitary transformations, i.e. anti-linear operators which preserve the inner product. Conversely, which are the transformations of $\mathcal{H}$ which preserve transition probabilities? A deep theorem of Eugene Wigner [92, appendix to Chapter 20] shows that this is the case only for unitary and anti-unitary transformations. ${ }^{52}$ A fundamental consequence is that any transformation which preserves the physics of the system corresponds to a unitary or anti-unitary transformation. As we explain in the next section, there are many of these, corresponding to the symmetries of Nature. The symmetries of Nature of a certain type naturally form a group, bringing us to group theory. Furthermore time-evolution will also be represented by a unitary transformation.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Unitary Representations of Groups

Certain types of invariance in Nature are among the most important guiding principles in developing physical theories about the real world. This will be a recurring theme in this book. It forces us to choose models which satisfy certain symmetries and this implies extremely strict restrictions on the possible forms of physical theories.

In this section we start to use this principle in the simplest case, translation invariance. In physics each observer uses a reference frame to describe the positions of points in space (or in space-time). These reference frames need not have the same origin, may use different privileged directions and may even move with respect to each other. ${ }^{53}$ Here we just consider the situation of different origins. If you study the motion of an object using a different origin for your reference frame than mine, we may disagree on the coordinates of the object, but we should agree that it follows the same laws of physics. Mathematically, the space $\mathbb{R}^{3}$ acts on itself by translations, and we examine first the effect of these translations at a purely classical level. Suppose that the system you are studying is translated by a vector $a^{54}$ The object at position $\boldsymbol{x}$ that you were studying has now been moved to position $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}$. Say that you use a function $f$ on $\mathbb{R}^{3}$ to measure e.g. the electrical potential at a point of space. Before you translate the system, the value $f(\boldsymbol{x})$ measures the potential at the point $\boldsymbol{x}$. After the translation this value of the potential occurs at the point $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}$. Thus the value of the new function $U(a)(f)$ you use to measure the potential at this point $x+a$ equals the value of the old function $f$ at the point $x$ :
$$
U(a)(f)(x+a)=f(x)
$$
i.e.
$$
U(a)(f)(x)=f(x-a) .
$$
Observe the all-important minus sign and note the fundamental property $U(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=$ $U(\boldsymbol{a}) U(\boldsymbol{b})$

Suppose now that more generally we study a system whose state is described by a vector $x$ in a Hilbert space $\mathcal{H}$. If the system is translated by a vector $a$ we expect that the system will be described by a new state $U(a)(x)$. This new description should not change the physics. The transition probability between $x$ and $y$ should be the same as the transition probability between $U(a)(x)$ and $U(a)(y)$, i.e. $|(x, y)|^{2}=|(U(a)(x), U(a)(y))|^{2}$. According to the discussion of the previous section, $U(a)$ is either unitary or anti-unitary. Moreover, it is obvious that $U(0)$ should be the identity. What becomes very interesting is when we perform two such translations in succession, first by a vector $a$ and then by a vector $b$. The state $x$ is transformed first in $U(a)(x)$ and then in $U(b)(U(a)(x))$. This also amounts to perform the translation by the vector $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$, and this transforms the state $x$ into the state $U(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})(x)$. Therefore $U(b) U(\boldsymbol{a})$ and $U(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ should represent the same transformation of the system.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYSICS 3544

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Dirac’s Formalism

遗憾的是位置算子和动量算子都没有特征向量的基,因为这样确实很方便。保罗狄拉克发明了一种非凡的形式主义来解决这个问题。它几乎被用于每一本物理教科书,通常被认为是不言而喻的。我们在这里试图解释这种形式主义的一些基本特征和含义,像往常一样努力解释这意味着什么,但没有认真地试图使事情变得严谨。

狄拉克的形式主义效果很好。它允许大量的思想和符号经济。然而,它对数学家并不友好,喜欢数学的读者必须准备好迎接一场冷水淋浴,因为一开始事情可能看起来非常混乱。让我们强调一下,没有必要掌握这种形式主义来遵循本书其余部分的大部分内容。尽管如此,我们有时仍会使用它,即使只是用与物理教科书相同的语言来表述结果。鼓励发现本节内容不堪重负的读者继续前进,并在需要时返回。

由于使用了狄拉克的形式主义,如果你看一本物理教科书讨论(比如说)实线上的粒子,你可能会发现很难识别任何以前的材料。首先,人们很可能很早就发现“让|X⟩表示粒子的状态位于X…“. 位置状态空间的一个元素H=大号2(R, dX)可以说位于X必须是位置算子的特征向量X有特征值X而这些都不存在。表达方式|X⟩然而,可以赋予某种“分配意义”的含义。只有在与 Schwartz 函数集成时才有意义F,即对于这样的函数,积分∫dX|X⟩F(X)作为一个元素是有意义的H. 这个积分的值就是函数F被视为一个元素H. 很自然,我们表示为
|F⟩功能F∈小号被视为一个元素H,
这样

|F⟩=∫dX|X⟩F(X).
这当然应该提醒我们基础扩展F=∑一世(F,和一世)和一世=∑一世和一世(F,和一世), 物理学家认为|X⟩作为“持续的基础”。通过这种方式,我们赋予了数量一个含义|X⟩作为“一个元素H在分配意义上”。这里的工作原理很重要,可以清楚地说明:41

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Why Are Unitary Transformations Ubiquitous

让我们回到一般希尔伯特空间的设置,其元素表示为X,是,和,…. 每个 observable 都关联一个自伴算子。相反,每个自伴算子都与一个可观察的相关联(尽管在具体情况下设计一个实际测量它的实验是另一回事)。我们现在描述一个基本类的这种可观察对象。给定X∈H规范的1,(X,X)=1, 投影仪磷X(是):=(X,是)X是 Hermitian,因为

(和,磷X(是))=(和,X)(X,是)=(X,和)∗(X,是)=((X,和)X,是)=(磷X(和),是)
练习 2.9.1 在狄拉克的范数 1 向量形式中|一个⟩一个写投影仪磷一个=|一个⟩⟨一个|. 为什么它似乎不需要证明磷一个是厄米特?

因此运营商磷X对应于一个可观察的○. 的可能值○是的特征值磷,即 0 和 1 。我们可以描述○问这个问题:系统的状态是否等于X?48该算子在状态的平均值是是(谁)给的(是,磷X(是))=(是,X)(X,是)=|(X,是)|2是您的问题得到“是”答案的概率。称为之间的转移概率X和是49在物理学中,内积(X,是)通常称为幅度,因此转移概率是幅度模数的平方。50如果一个乘以,转移概率不会改变X和是由模 1 的复数组成,正如预期的那样,这种乘法不会改变任何一个表示的状态X或者是.

我们应该期望任何转变51它保留了系统的物理特性,保留了转换概率。转移概率由酉变换保留,因为对于这样的变换|(在X,在是)|2=|(X,是)|2. 它们还在反酉变换下保留,即保留内积的反线性算子。反之,哪些是变换H哪个保留转换概率?Eugene Wigner [92,第 20 章附录] 的一个深层定理表明,这仅适用于酉和反酉变换。52一个基本的结果是,任何保留系统物理特性的变换都对应于酉变换或反酉变换。正如我们在下一节中解释的那样,其中有很多,对应于自然的对称性。某种类型的自然对称性自然形成一个群,将我们带到群论。此外,时间演化也将由酉变换表示。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Unitary Representations of Groups

自然中某些类型的不变性是发展关于现实世界的物理理论的最重要的指导原则之一。这将是本书中反复出现的主题。它迫使我们选择满足某些对称性的模型,这意味着对物理理论的可能形式有极其严格的限制。

在本节中,我们开始在最简单的情况下使用这个原则,即平移不变性。在物理学中,每个观察者都使用参考系来描述点在空间(或时空)中的位置。这些参考系不必具有相同的原点,可以使用不同的特权方向,甚至可以相对于彼此移动。53这里我们只考虑不同来源的情况。如果您使用与我的参考系不同的原点来研究物体的运动,我们可能不同意物体的坐标,但我们应该同意它遵循相同的物理定律。数学上,空间R3通过翻译作用于自身,我们首先在纯粹的古典水平上考察这些翻译的效果。假设你正在研究的系统是由一个向量翻译的一个54位置的对象X你正在学习的现在已经移动到位置X+一个. 假设你使用一个函数F上R3例如测量空间点的电势。在翻译系统之前,值F(X)测量该点的电位X. 平移后,该电位值出现在该点X+一个. 因此新函数的值在(一个)(F)你用来衡量此时的潜力X+一个等于旧函数的值F在这一点上X :

在(一个)(F)(X+一个)=F(X)
IE

在(一个)(F)(X)=F(X−一个).
观察最重要的减号并注意基本属性在(一个+b)= 在(一个)在(b)

现在假设更一般地我们研究一个状态由向量描述的系统X在希尔伯特空间H. 如果系统由向量平移一个我们期望系统将由一个新的状态来描述在(一个)(X). 这种新的描述不应该改变物理学。之间的转移概率X和是应该与之间的转移概率相同在(一个)(X)和在(一个)(是), IE|(X,是)|2=|(在(一个)(X),在(一个)(是))|2. 根据上一节的讨论,在(一个)要么是单一的,要么是反单一的。此外,很明显,在(0)应该是身份。变得非常有趣的是,当我们连续执行两个这样的翻译时,首先是一个向量一个然后通过一个向量b. 国家X首先转化为在(一个)(X)然后在在(b)(在(一个)(X)). 这也相当于通过向量执行翻译一个+b,这改变了状态X进入状态在(一个+b)(X). 所以在(b)在(一个)和在(一个+b)应该代表系统的相同转换。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYSICS 7013

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Position State Space for a Particle

In this section we analyze how the previous machinery works to describe a very simple system, a massive point that can be located anywhere on the real line. This provides a first concrete example, and at the same time allows us to discuss the intricacies of considering infinite-dimensional state spaces. Almost nothing of what we explained in the finite-dimensional case will carry on exactly the same, but a suitable infinite-dimensional reinterpretation of the concepts will basically suffice.

The state space $\mathcal{H}$ is the space $L^{2}=L^{2}(\mathbb{R}, \mathrm{d} x)$ of complex-valued square-integrable functions ${ }^{23}$ on the real line. ${ }^{24}$ An element of $\mathcal{H}$ is thus a complex-valued function ${ }^{25} f$ on $\mathbb{R}$. The traditional terminology is to call this function the wave function. A wave function of norm 1 therefore describes the possible state of a massive point, which for simplicity we will call a particle.

The basic idea is that the position of a particle in state $f$ is not really determined, but that the function $|f|^{2}$ represents the probability density to find this particle at a given location. This statement will eventually appear as the proper interpretation of (2.6) in the present “continuous case”. To develop this idea, consider an interval $I$ of $\mathbb{R}$, and the operator $1_{I}$ defined by $1_{l}(f)(x)=f(x)$ if $x \in I$ and $1_{l}(f)(x)=0$ if $x \notin I$. This operator is bounded since $\left|1_{I}(f)\right| \leq|f|$. After we develop the right generalization of Hermitian operators in infinite dimensions, it will become apparent that this operator corresponds to an observable, and the average value of this observable on the state $f$ is
$$
\left(f, 1_{I}(f)\right)=\int_{I} \mathrm{~d} x|f(x)|^{2},
$$
which is the probability to find the particle in the set $I$. It is worth repeating the fundamental fact: When you actually measure whether the particle is in $I$ or not, you get a yes/no answer. But you are certain to find the particle in $I$ only if its state vector $f$ is an eigenvector of $1_{I}$

of eigenvalue 1, i.e. $f(x)=0$ for $x \notin I$, and you are certain not to find it in $I$ only when $f$ is an eigenvector of $1_{l}$ of eigenvalue 0 , i.e. $f(x)=0$ for $x \in I .^{26}$

In the present setting, the position of the particle is an observable so that it corresponds to a “Hermitian operator” $X$, which will be called the position operator. It is not difficult to guess what the operator $X$ should be. If indeed $|f|^{2}$ represents the probability density that the particle is at a given location, its average position is given by
$$
\int \mathrm{d} x x|f(x)|^{2}=\int \mathrm{d} x f(x)^{*}(x f(x))
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Unitary Operators

We introduce now unitary operators between Hilbert spaces. It is a fundamental notion in at least two respects:

  • Mathematically it provides (as explained in this section) a way to recognize whether two different models “are in fact the same”.
  • Physically, countless processes are represented by unitary operators. Why this is the case is explained at the beginning of Section 2.10.

Definition 2.6.1 A linear operator $U$ between Hilbert spaces is called unitary if it is one-to-one, onto, and preserves the norm, $|U(x)|=|x|$.

Unitary transformations are in a sense the “natural class of isomorphisms between Hilbert spaces”. The “polarization identity” $|x+y|^{2}=|x|^{2}+|y|^{2}+2 \operatorname{Re}(x, y)$ shows that a unitary operator preserves the inner product, ${ }^{38}$
$$
(U(x), U(y))=(x, y) .
$$
It is almost obvious that the set $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ of unitary operators on a Hilbert space $\mathcal{H}$ forms a group.

Next we reformulate the condition that an operator on a Hilbert space $\mathcal{H}$ is unitary using the notion of adjoint operator. As already noted, for a bounded operator $A$ one has $\mathcal{D}(A)=$ $\mathcal{D}\left(A^{\dagger}\right)=\mathcal{H}$ and
$$
\forall x, y \in \mathcal{H} ;\left(A^{\dagger}(x), y\right)=(x, A(y)) \text {. }
$$
A unitary operator on a Hilbert space is bounded, so its adjoint is defined everywhere. Furthermore by $(2.21)$ one has $\left(U^{\dagger} U(x), y\right)=(U(x), U(y))$ and $(2.20)$ is equivalent to

$U^{\dagger} U=1$. Consequently, an operator on a complex Hilbert space is unitary if and only if it is invertible and
$$
U^{-1}=U^{\dagger}
$$
Thus a unitary operator also satisfies $U U^{\dagger}=1$.
The following trivial fact is stressed because of its considerable importance.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Momentum State Space for a Particle

To put the ideas of the previous section to use we go back to the model of a massive particle on the line which we studied in Section $2.5$. Let us consider $\mathcal{H}^{\prime}=L^{2}(\mathbb{R}, \mathrm{d} p /(2 \pi h))$, where the notation $\mathrm{d} p /(2 \pi \hbar)$ means that we include the factor $1 /(2 \pi \hbar)$ whenever we integrate in p. Consider the Fourier transform $U: f \mapsto \hat{f}$ of $(1.30)$ from $\mathcal{H}$ to $\mathcal{H}^{\prime}$. It is a unitary operator since it preserves the scalar product by (1.32) and since it has an inverse, the inverse Fourier transform $\varphi \mapsto \check{\varphi}$. The state which was represented by $f \in \mathcal{H}$ is now represented by $\varphi=\hat{f} \in \mathcal{H}^{\prime}$. As in Lemma 2.6.2 the Fourier transform $U$ transports an operator $A$ on $\mathcal{H}$ to the operator $A^{\prime}=U A U^{-1}$ on $\mathcal{H}^{\prime}$ given by $A^{\prime}(\varphi)=\widehat{A(\breve{\varphi})}$. Using (1.33) for $f=\breve{\varphi}$ yields (provided $\varphi$ is well behaved)
$$
P^{\prime}(\varphi)(p)=p \varphi(p)
$$
and, similarly,
$$
X^{\prime}(\varphi)=\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} p} .
$$
(The plus sign here is not surprising since (2.19) implies that $\left[X^{\prime}, P^{\prime}\right]=\mathrm{i} \hbar 1$.) It is now the momentum operator which looks simple and the position operator which looks complicated. Just as in position state space $|f|^{2}$ represented the probability density of the location of the particle in state $f$, we can now argue that $|\varphi|^{2}$ represents the probability density of the momentum of the particle (when the basic measure is $\mathrm{d} p / 2 \pi h$ ). For this reason we will call this space $\mathcal{H}^{\prime}$ the momentum state space. Taking the Fourier transform is the standard way to analyze a wave. Thus it can be said that using momentum state space amounts to thinking of a particle as wave. This is the wave-particle duality. ${ }^{39}$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYSICS 7013

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Position State Space for a Particle

在本节中,我们将分析以前的机器是如何工作的,以描述一个非常简单的系统,一个可以位于实线上任何位置的巨大点。这提供了第一个具体示例,同时允许我们讨论考虑无限维状态空间的复杂性。我们在有限维情况下解释的内容几乎没有完全相同的情况,但对概念进行适当的无限维重新解释基本上就足够了。

状态空间H是空间大号2=大号2(R,dX)复值平方可积函数23在实线上。24一个元素H因此是复值函数25F上R. 传统的术语是将此函数称为波函数。因此,范数为 1 的波函数描述了一个大质量点的可能状态,为简单起见,我们将其称为粒子。

基本思想是粒子在状态中的位置F不是真的确定,而是函数|F|2表示在给定位置找到该粒子的概率密度。该陈述最终将作为当前“连续案例”中(2.6)的正确解释出现。为了发展这个想法,考虑一个区间我的R, 和运算符1我被定义为1l(F)(X)=F(X)如果X∈我和1l(F)(X)=0如果X∉我. 这个算子是有界的,因为|1我(F)|≤|F|. 在我们开发出无限维 Hermitian 算子的正确推广之后,很明显,这个算子对应于一个可观察的,并且这个可观察的在状态上的平均值F是

(F,1我(F))=∫我 dX|F(X)|2,
这是在集合中找到粒子的概率我. 值得重复一个基本事实:当你实际测量粒子是否在我与否,你会得到一个是/否的答案。但你肯定会在我只有当它的状态向量F是一个特征向量1我

特征值 1,即F(X)=0为了X∉我, 你肯定不会在我只有当F是一个特征向量1l特征值 0 ,即F(X)=0为了X∈我.26

在当前设置中,粒子的位置是可观察的,因此它对应于“厄米算子”X,这将被称为位置运算符。不难猜出运营商是什么X应该。如果确实|F|2表示粒子在给定位置的概率密度,其平均位置由下式给出

∫dXX|F(X)|2=∫dXF(X)∗(XF(X))

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Unitary Operators

我们现在介绍希尔伯特空间之间的酉算子。它至少在两个方面是一个基本概念:

  • 从数学上讲,它提供了(如本节所述)一种识别两个不同模型是否“实际上相同”的方法。
  • 在物理上,无数的过程由单一运算符表示。为什么会出现这种情况在 2.10 节的开头进行了解释。

定义 2.6.1 线性算子在希尔伯特空间之间称为酉,如果它是一对一的,并保持范数,|在(X)|=|X|.

酉变换在某种意义上是“希尔伯特空间之间的自然类同构”。“极化身份”|X+是|2=|X|2+|是|2+2回覆⁡(X,是)表明酉算子保留内积,38

(在(X),在(是))=(X,是).
几乎很明显,集合在(H)希尔伯特空间上的酉算子H形成一个群体。

接下来我们重新制定希尔伯特空间上的算子的条件H使用伴随算子的概念是酉的。如前所述,对于有界算子一个一个有D(一个)= D(一个†)=H和

∀X,是∈H;(一个†(X),是)=(X,一个(是)). 
希尔伯特空间上的酉算子是有界的,所以它的伴随是到处定义的。此外通过(2.21)一个有(在†在(X),是)=(在(X),在(是))和(2.20)相当于

在†在=1. 因此,复希尔伯特空间上的算子是酉当且仅当它是可逆的并且

在−1=在†
因此酉算子也满足在在†=1.
强调以下琐碎的事实,因为它相当重要。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Momentum State Space for a Particle

为了使用上一节的想法,我们回到我们在第 1 节研究的线上的大质量粒子模型2.5. 让我们考虑一下H′=大号2(R,dp/(2圆周率H)), 其中符号dp/(2圆周率⁇)意味着我们包括因素1/(2圆周率⁇)每当我们整合到 p 中时。考虑傅里叶变换在:F↦F^的(1.30)从H至H′. 它是一个酉算子,因为它保留了 (1.32) 的标量积,并且由于它具有逆傅里叶变换披↦披ˇ. 所代表的状态F∈H现在由披=F^∈H′. 如引理 2.6.2 中的傅里叶变换在运输操作员一个上H给运营商一个′=在一个在−1上H′由一个′(披)=一个(披˘)^. 使用(1.33)F=披˘产量(提供披表现良好)

磷′(披)(p)=p披(p)
同样,

X′(披)=一世⁇d披dp.
(这里的加号并不奇怪,因为(2.19)意味着[X′,磷′]=一世⁇1.) 现在是动量算子看起来很简单,而位置算子看起来很复杂。就像在位置状态空间中一样|F|2表示状态中粒子位置的概率密度F,我们现在可以说|披|2表示粒子动量的概率密度(当基本度量为dp/2圆周率H)。出于这个原因,我们将这个空间称为H′动量状态空间。傅里叶变换是分析波的标准方法。因此可以说,使用动量态空间相当于将粒子视为波。这就是波粒二象性。39

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个理论框架,它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Measuring Two Different Observables on the Same System

Suppose now that we consider a second observable $\mathcal{O}^{\prime}$ with a corresponding Hermitian operator $B$. Then if a system in state $|\alpha\rangle$ is such that it will always yield the same value
14 One should say that the problem here is formulated in a rather outrageous way to make the point clear. The universe seems to have done fine prior to our existing! The problem is nonetheless real. On the one hand, one may argue that Quantum Mechanics applies only to the microscopic world. Then a measurement process will be anything that interacts with a macroscopic object such as a photosensitive chemical in a photographic emulsion and has nothing to do with a conscious observer. On the other hand, if one refuses this arbitrary and ill-defined boundary between macroscopic and microscopic worlds, the quantum realm extends all the way to the consciousness of the observer. It is then very difficult to escape the conclusion that this consciousness plays a role, and matters become very murky. The theory of decoherence tries to address these issues.
15 Including cases where the mathematical justification is not ironclad.
16 The measured value of the observable $O$ in state $|\alpha\rangle$ is a random variable, and as such has an expected value. When we repeat the experiment many times and average the corresponding measurements, the quantity we obtain is near this expected value. This is why both names are used.

when $\mathcal{O}$ is measured, and also when $\mathcal{O}^{\prime}$ is measured, then $|\alpha\rangle$ must be an eigenvector of both $A$ and $B$. Then $[A, B]|\alpha\rangle=0$. When no such $|\alpha\rangle$ exists, ${ }^{17}$ there does not exist a state for which both $\mathcal{O}$ and $\mathcal{O}^{\prime}$ can be measured with certainty. It is simply impossible to ever know at the same time the values of both $\mathcal{O}$ and $\mathcal{O}^{\prime}$ for any state of the system. It is fallacious to think that to know them both one just has to measure $\mathcal{O}$ and then $\mathcal{O}^{\prime}$. After the measurement of $\mathcal{O}^{\prime}$ has taken place you no longer know the value of $\mathcal{O}$. If you measure $\mathcal{O}$, then measure $\mathcal{O}^{\prime}$, and “immediately after” measure $\mathcal{O}$ again, the result of this second measurement of $\mathcal{O}$ will sometimes be different from the result of the first measurement. This is because, as we explained earlier, the measurement of $\mathcal{O}^{\prime}$ has changed the state of the system. Right after the measurement of $\mathcal{O}^{\prime}$, the state of the system is an eigenvector of $B$, and by hypothesis, this eigenvector of $B$ is not an eigenvector of $A$, so that in this state of the system, the result of the measurement of $A$ cannot be predicted with certainty.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Uncertainty

Heisenberg’s uncertainty principle, which we will study in the present section, is related to but different from the phenomenon of the previous section. If the system is in state $x$ with $(x,[A, B] x) \neq 0$, one cannot measure both observables $\mathcal{O}$ and $\mathcal{O}^{\prime}$ with arbitrary accuracy. We are not talking here of successive measurements on the same experiment, where the first measurement changes the state of the system. We are talking of measurements on different experiments. One repeats the experiment many times, each time measuring either $\mathcal{O}$ or $\mathcal{O}^{\prime}$. If the results of measuring $\mathcal{O}$ are concentrated in a small interval, then the results of measuring $\mathcal{O}^{\prime}$ must spread out. In the important special case where $[A, B]$ is a multiple of the

identity, whatever the state of the system, you can never measure both $\mathcal{O}$ and $\mathcal{O}^{\prime}$ with arbitrary accuracy. A quantitative version of this statement is given in Proposition 2.3.2.
Definition 2.3.1 Consider an observable $\mathcal{O}$ with associated Hermitian operator $A$. The uncertainty $\Delta_{x} A \geq 0$ of $\mathcal{O}$ in the state $x \in \mathcal{H}$ is given by
$$
\left(\Delta_{x} A\right)^{2}:=\left(x, A^{2} x\right)-(x, A x)^{2} .
$$
For instance, in the case of the basic example, the uncertainty of the position in state $x$ is $\sqrt{\sum_{i \leq n} \lambda_{i}^{2}\left|x_{i}\right|^{2}-\left(\sum_{i \leq n} \lambda_{i}\left|x_{i}\right|^{2}\right)^{2}}$. To make sense of $(2.9)$, one may observe that $\left(\Delta_{x} A\right)^{2}$ is just the variance of the probability distribution of Principle 4 , or in other words, $\Delta_{x} A$ is the standard deviation of this probability distribution. The physical content of this definition should be stressed. When you make a measurement of the observable $\mathcal{O}$ for a system in state $x$, you get a random result, and $\Delta_{x} A$ is the standard deviation of this random result. ${ }^{18}$
To explain (2.9) in more mathematical terms, this quantity measures “the squaredeviation of $\mathcal{O}$ from its average in state $x “$. Indeed, denoting by 1 the identity operator of $\mathcal{H}$ (and since $x$ is of norm 1 ),
$$
\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=\left(x, A^{\prime 2} x\right)
$$
where the Hermitian operator $A^{\prime}:=A-(x, A x) 1$ is “the deviation of $\mathcal{O}$ from its average in state $x^{\prime \prime}$. When $x$ is an eigenvector of $A$, obviously $\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=0$. Conversely, when $\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=0$, since
$$
\left(x, A^{\prime 2} x\right)=\left(A^{\prime} x, A^{\prime} x\right)=\left|A^{\prime} x\right|^{2},
$$
then $A^{\prime} x=0$ so that $x$ is an eigenvector of $A$. Therefore, $\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=0$ if and only if $x$ is an eigenvector of $A$, i.e. if and only if the measurement of $\mathcal{O}$ in state $x$ offers no uncertainty, in accord with our calling $\Delta_{x} A$ the “uncertainty of $\mathcal{O}$ in state $x$ “.
Observe finally that $\left(x, A^{\prime} x\right)=0$, so that $(2.10)$ means
$$
\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=\left(\Delta_{x} A^{\prime}\right)^{2} .
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Finite versus Continuous Models

Mathematicians are trained to think of physical space as $\mathbb{R}^{3}$. But our continuous model of physical space as $\mathbb{R}^{3}$ is of course an idealization, both at the scale of the very large and at the scale of the very small. This idealization has proved to be very powerful, but in the case of Quantum Field Theory, it creates multiple problems, and in particular the infamous infinities (in the form of diverging integrals).

Can we dispense with continuous models and their analytical problems? A physical measurement is made through a device with finite accuracy, and this measurement is no different from the same measurement rounded to the last significant digit. The result of the measurement is also bounded, ${ }^{19}$ so it may yield only finitely many possible values, and we might be able to study physics using only finite-dimensional Hilbert spaces (of huge dimension).
There is a fundamental reason why we stubbornly keep infinite models. Probably the most important guiding principle in finding good models is that a proper theory should be Lorentz invariant, ${ }^{20}$ reflecting the fact that physics should be the same for all inertial observers ${ }^{21}$ (who undergo no acceleration). There is no way this can be implemented in a finite model, say one which replaces the continuous model of physical space by a finite grid. Lorentz invariance can be recovered from a finite model only “in the infinite limit”. Further, there is no canonical choice for such a finite model, so that one has to show that the results obtained by a finite approximation are indeed essentially independent of how this approximation is performed. Heuristically, this is plausible but it is quite another matter to really prove independence. In fact, it can be argued that settling this question is of the same order of difficulty as constructing a continuous model which in some sense would be the limit of the finite model as the grid becomes finer. In the case of Quantum Field Theory, this is a highly non-trivial task. Most importantly, considering finite models does not really solve anything. The infinities reappear in the guise of quantities that blow up as the grid becomes finer, and it is very hard to make sense of this behavior.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYC90008

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Measuring Two Different Observables on the Same System

现在假设我们考虑第二个 observable○′具有相应的 Hermitian 算子乙. 那么如果系统处于状态|一个⟩是这样的,它总是会产生相同的价值
14 应该说,这里的问题是以一种相当离谱的方式表述的,以明确这一点。在我们存在之前,宇宙似乎做得很好!问题仍然是真实的。一方面,有人可能会争辩说,量子力学只适用于微观世界。那么测量过程将是与宏观物体相互作用的任何东西,例如照相乳剂中的感光化学物质,与有意识的观察者无关。另一方面,如果拒绝这种在宏观和微观世界之间任意且不明确的界限,那么量子领域就会一直延伸到观察者的意识中。那么很难摆脱这个意识起作用的结论,事情变得非常模糊。退相干理论试图解决这些问题。
15 包括数学论证不明确的情况。
16 可观测的测量值○处于状态|一个⟩是一个随机变量,因此具有期望值。当我们多次重复实验并平均相应的测量值时,我们得到的数量接近这个预期值。这就是使用这两个名称的原因。

什么时候○被测量,并且当○′被测量,然后|一个⟩必须是两者的特征向量一个和乙. 然后[一个,乙]|一个⟩=0. 当没有这样的|一个⟩存在,17不存在一种状态○和○′可以确定地测量。根本不可能同时知道两者的价值○和○′对于系统的任何状态。认为要了解他们两个人只需要衡量的想法是错误的○接着○′. 测量后○′已经发生了你不再知道的价值○. 如果你测量○,然后测量○′, 和“紧随其后”的措施○再次,第二次测量的结果○有时会与第一次测量的结果不同。这是因为,正如我们前面所解释的,测量○′改变了系统的状态。测量后立即○′,系统的状态是一个特征向量乙,并且根据假设,这个特征向量乙不是的特征向量一个,因此在系统的这种状态下,测量的结果一个无法确定地预测。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Uncertainty

我们将在本节研究的海森堡测不准原理与上一节的现象相关但又有所不同。如果系统处于状态X和(X,[一个,乙]X)≠0, 不能同时测量两个可观察量○和○′具有任意精度。我们在这里不是在谈论同一实验的连续测量,其中第一次测量会改变系统的状态。我们谈论的是不同实验的测量结果。一个人重复实验多次,每次测量○或者○′. 如果测量结果○集中在一个小区间,那么测量的结果○′必须散开。在重要的特殊情况下[一个,乙]是的倍数

身份,无论系统处于何种状态,您永远无法同时衡量两者○和○′具有任意精度。该陈述的定量版本在命题 2.3.2 中给出。
定义 2.3.1 考虑一个可观察的○与关联的 Hermitian 算子一个. 不确定性ΔX一个≥0的○在该州X∈H是(谁)给的

(ΔX一个)2:=(X,一个2X)−(X,一个X)2.
例如,在基本示例的情况下,状态位置的不确定性X是∑一世≤nλ一世2|X一世|2−(∑一世≤nλ一世|X一世|2)2. 理解(2.9), 可以观察到(ΔX一个)2只是原理4的概率分布的方差,或者换句话说,ΔX一个是这个概率分布的标准差。应该强调这个定义的物理内容。当你测量可观察的○对于处于状态的系统X,你得到一个随机结果,并且ΔX一个是这个随机结果的标准差。18
为了用更数学的术语解释(2.9),这个量测量“平方偏差○从它的平均状态X“. 实际上,用 1 表示H(并且由于X是范数 1),

(ΔX一个)2=(X,一个′2X)
Hermitian 算子在哪里一个′:=一个−(X,一个X)1是“的偏差○从它的平均状态X′′. 什么时候X是一个特征向量一个, 明显地(ΔX一个)2=0. 相反,当(ΔX一个)2=0, 自从

(X,一个′2X)=(一个′X,一个′X)=|一个′X|2,
然后一个′X=0以便X是一个特征向量一个. 所以,(ΔX一个)2=0当且仅当X是一个特征向量一个,即当且仅当测量○处于状态X不提供任何不确定性,符合我们的召唤ΔX一个“不确定性○处于状态X“。
最后观察到(X,一个′X)=0, 以便(2.10)方法

(ΔX一个)2=(ΔX一个′)2.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Finite versus Continuous Models

数学家受过训练,将物理空间视为R3. 但是我们的物理空间的连续模型为R3当然是一种理想化,无论是在非常大的规模上还是在非常小的规模上。这种理想化已被证明是非常强大的,但在量子场论的情况下,它会产生多个问题,尤其是臭名昭著的无穷大(以发散积分的形式)。

我们可以免除连续模型及其分析问题吗?物理测量是通过具有有限精度的设备进行的,该测量与舍入到最后一个有效数字的相同测量没有什么不同。测量的结果也是有界的,19所以它可能只产生有限多个可能的值,我们可能只使用有限维希尔伯特空间(大维)来研究物理学。
我们顽固地保留无限模型是有根本原因的。寻找好的模型最重要的指导原则可能是正确的理论应该是洛伦兹不变的,20反映所有惯性观察者的物理学应该相同的事实21(没有加速)。这不可能在有限模型中实现,比如用有限网格代替物理空间的连续模型。洛伦兹不变性只能从“无限极限”的有限模型中恢复。此外,这种有限模型没有规范的选择,因此必须证明通过有限逼近获得的结果实际上基本上独立于该逼近的执行方式。从启发式上看,这似乎是合理的,但真正证明独立性是另一回事。事实上,可以说解决这个问题的难度与构建连续模型的难度相同,在某种意义上,随着网格变得更细,这将是有限模型的极限。就量子场论而言,这是一项非常重要的任务。最重要的是,考虑有限模型并不能真正解决任何问题。随着网格变得更细,无穷大以爆炸的数量重新出现,并且很难理解这种行为。

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