标签： PHYSICS 3542

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Spontaneous magnetization and correlation length

Posted on 2023年4月21日2023年4月21日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

统计力学是一个数学框架，它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则，而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写统计力学Statistical mechanics方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写统计力学Statistical mechanics代写方面经验极为丰富，各种代写统计力学Statistical mechanics相关的作业也就用不着说。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Spontaneous magnetization and correlation length

The Onsager solution is a landmark achievement in theoretical physics, an exact evaluation of the partition function of interacting degrees of freedom in a two-dimensional system, from which we obtain the free energy, internal energy, and specific heat. We identified $T_c$ as the temperature at which the free energy becomes singular $(\kappa=1)$. A more physical way of demonstrating the existence of a phase transition would be to calculate the order parameter. The first published derivation of the spontaneous magnetization appears to be that of C.N. Yang ${ }^{89}$ who showed[111]
$$
\langle\sigma\rangle= \begin{cases}0 & T>T_c \ \left(1-\frac{1}{\sinh ^4 2 K}\right)^{1 / 8} & T \leq T_c\end{cases}
$$ Clearly the temperature at which $\langle\sigma\rangle \rightarrow 0$ is $\sinh 2 K_c=1$, the same as Eq. (7.125). We infer from Eq. (7.136) that the order parameter critical exponent $\beta=\frac{1}{8}$, our first non-classical exponent. The small $\left(\ll 1\right.$ ) value of $\beta$ implies a rapid rise in magnetization for $T \lesssim T_c$, as we see in Fig. 7.13. Yang’s derivation was later simplified, $[112]$ yet even the simplification is rather complicated.

In the one-dimensional Ising model, we found that the correlation length $\xi$ is determined by the largest and second-largest eigenvalues of the transfer matrix (see Eq. (6.101)), with the result $\xi(K)=-a / \ln (\tanh K)$, where $a$ is the lattice constant. The same holds in the two-dimensional Ising model, with the result[108, Chapter 7$]$
$$
\xi(K)= \begin{cases}\frac{-2 a}{\ln \sinh ^2 2 K} & T>T_c\left(KK_c\right) .\end{cases}
$$
For $KK_c\right), \sinh ^2 2 K<1(>1)$, which is useful in understanding $\xi(K)$ as $\sinh ^2 2 K$ passes through the critical value $\sinh ^2 2 K_c=1$. In either case, $\xi \rightarrow \infty$ for $K \rightarrow K_c$, such that
$$
\xi \sim\left|T-T_c\right|^{-1}
$$
and thus $\nu=1$ in the two-dimensional Ising model. Note that $\xi(K) \stackrel{K \rightarrow 0}{\rightarrow} 0$ and $\xi(K) \stackrel{K \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0$.
We now have four of the six critical exponents, $\alpha, \beta, \nu, \eta$, where $\eta=\frac{1}{4}$ (Section 7.6). Each is distinct from the predictions of Landau theory. The heat capacity exponent $\alpha=0$ is seemingly common to both, but Landau theory predicts a discontinuity in specific heat rather than a logarithmic singularity. The remaining two exponents $\gamma, \delta$ will follow with a little more theoretical development (Section 7.11), but we can just state their values here (for the $d=2$ Ising model) $\gamma=\frac{7}{4}$ and $\delta=15$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|CRITICAL EXPONENT INEQUALITIES

Critical exponents are not independent, which is not surprising given all the thermodynamic interrelations among state variables. We saw in Section 7.4 that $\gamma=2 \beta$ in the van der Waals model and $\gamma=2 \nu$ in Ornstein-Zernike theory (Section 7.6), relations that hold in those particular theories, but which do not apply in general. Finding general relations among critical exponents should start with thermodynamics. As we now show, thermodynamics provides inequalities, but not equalities, among critical exponents that might otherwise reduce the number of independent exponents. Before getting started, we note an inequality among functions that implies an inequality among exponents. Suppose two functions $f(x), g(x)$ are such that $f(x) \leq g(x)$ for $x \geq 0$, and that $f(x) \sim x^\psi$ and $g(x) \sim x^\phi$ as $x \rightarrow 0^{+}$. Then, $\psi \geq \phi$. See Exercise 7.26.

Equation (1.51) implies an inequality on the heat capacity of magnetic systems,
$$
C_{B=0} \geq \frac{T}{\chi}\left(\frac{\partial M}{\partial T}\right){B=0}^2 $$ Because $C{B=0} \sim\left|T-T_c\right|^{-\alpha}$ (Eq. (7.66)), $\chi \sim\left|T-T_c\right|^{-\gamma}$ (Eq. (7.60)), and $M \sim\left|T-T_c\right|^\beta$ (Eq. (7.54)), inequality (7.139) immediately implies Rushbrooke’s inequality,[113]
$$
\alpha+2 \beta+\gamma \geq 2
$$
Because it follows from thermodynamics, it applies to all systems. ${ }^{90}$ For the $d=2$ Ising model it implies $\gamma \geq \frac{7}{4}$. It’s been shown rigorously that $\gamma=\frac{7}{4}$ for the two-dimensional Ising model [114], and thus Rushbrooke’s inequality is satisfied as an equality among the exponents of the $d=2$ Ising model. We also have the same equality among classical exponents: $\alpha+2 \beta+\gamma=2$.

Numerous inequalities among critical exponents have been derived. ${ }^{91}$ We prove one more, Griffiths inequality, $[115]$
$$
\alpha+\beta(1+\delta) \geq 2
$$
To show this, we note for magnetic systems ${ }^{92}$ that $M, T$ are independent variables of the free energy, $F(T, M)$. Equation (7.61), $B=(\partial F / \partial M)_T$, as applied to the coexistence region (which is associated with $B=0$ ), implies
$$
\left(\frac{\partial F}{\partial M}\right)_T=0, \quad\left(T \leq T_c, 0 \leq M \leq M_0(T)\right)
$$
where we use $M_0(T)$ to denote the spontaneous magnetization at temperature $T$ (such as shown in Fig. 7.13). The free energy in the coexistence region is therefore independent of $M$ :
$$
F(T, M)=F(T, 0) . \quad\left(T \leq T_c, 0 \leq M \leq M_0(T)\right)
$$

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Spontaneous magnetization and correlation length

Onsager 解是理论物理学的里程碑式成就，它精确计算了二维系统中相互作用自由度的配分函数，我们从中获得了自由能、内能和比热。我们确定 $T_c$ 作为自由能变得奇异的温度 $(\kappa=1)$. 证明相变存在的一种更物理的方法是计算序参数。第一个发表的自发磁化的推导似乎是 CN Yang 的推导 ${ }^{89}$ 谁展示了[111]
显然温庶 $\langle\sigma\rangle \rightarrow 0$ 是 $\sinh 2 K_c=1$ ，与方程式相同。(7.125)。我们从方程式推断。(7.136) 表示阶参数临界指数 $\beta=\frac{1}{8}$ ，我们的第一个非经典指数。小的 $(\ll 1)$ 的价值 $\beta$ 意味着磁化迅速上升 $T \lesssim T_c$ ，如图 7.13 所示。杨的推导后来被简化，[112]然而，即使是简化也相当复杂。
在一维伊辛模型中，我们发现相关长度 $\xi$ 由传递矩阵的最大和第二大特征值决定（见式 (6.101)），结果 $\xi(K)=-a / \ln (\tanh K)$ ，在哪里 $a$ 是晶格常数。这同样适用于二维伊辛模型，结果[108，第 7 章]
$$
\xi(K)=\left{\frac{-2 a}{\ln \sinh ^2 2 K} \quad T>T_c\left(K K_c\right)\right.
$$
为了 $\mathrm{KK} C \backslash$ 右), $\backslash \sinh { }^{\wedge} 22 \mathrm{~K}<1(>1)$, 这有助于理解 $\xi(K)$ 作为 $\sinh ^2 2 K$ 通过临界值 $\sinh ^2 2 K_c=1$. 在任情况下， $\xi \rightarrow \infty$ 为了 $K \rightarrow K_c$ ，这样
$$
\xi \sim\left|T-T_c\right|^{-1}
$$
因此 $\nu=1$ 在二维伊辛模型中。注意 $\xi(K) \stackrel{K \rightarrow 0}{\rightarrow} 0$ 和 $\xi(K) \stackrel{K \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0$.
我们现在有六个临界指数中的四个， $\alpha, \beta, \nu, \eta$ ，在哪里 $\eta=\frac{1}{4}$ (第 7.6 节)。每一个都不同于朗道理论的预测。热容量指数 $\alpha=0$ 似乎对两者都很常见，但 Landau 理论预测比热不连续而不是对数奇点。剩下的两个指数 $\gamma, \delta$ 随后将进行更多的理论发展（第 7.11 节) ，但我们可以在这里陈述它们的值 (对于 $d=2$ 伊辛模型) $\gamma=\frac{7}{4}$ 和 $\delta=15$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|CRITICAL EXPONENT INEQUALITIES

临界指数不是独立的，考虑到状态变量之间的所有热力学相互关系，这并不奇怪。我们在 7.4 节中看到 $\gamma=2 \beta$ 在范德瓦尔斯模型和 $\gamma=2 \nu$ 在 Ornstein-Zernike 理论（第 7.6 节) 中，在那些特定理论中成立但并不普遍适用的关系。寻找临界指数之间的一般关系应该从热力学开始。正如我们现在展示的那样，热力学提供了临界指数之间的不等式，而不是等式，否则可能会减少独立指数的数量。在开始之前，我们注意到函数之间的不等式意味着指数之间的不等式。假设两个函数 $f(x), g(x)$ 是这样的 $f(x) \leq g(x)$ 为了 $x \geq 0$ ，然后 $f(x) \sim x^\psi$ 和 $g(x) \sim x^\phi$ 作为 $x \rightarrow 0^{+}$. 然后， $\psi \geq \phi$. 见练习 7.26。
方程 (1.51) 暗示了磁系统热容的不等式，
$\$ \$$
$C_{-}{B=0} \backslash$ Igeq $\backslash$ frac ${T}{\backslash c h i} \backslash$ left(\frac $\left{\right.$ partial M ${\backslash$ partial $\left.T} \backslash \frac{1}{}\right){B=0}^{\wedge} 2 \$ \$$ 因为 $\$ C{B=0} \backslash$ sim $\backslash$ left $\mid T-$
T_clright $\mid \wedge{$-lalpha $}(E q .(7.66))$, Ichi Isim left $\mid T_{-}$T_c rright $\mid \wedge{$-Igamma $}(E q .(7.60))$, andM Isim \left|T-T_clright $\left.\right|^{\wedge} \backslash b e t a$
(Eq. (7.54)), inequality(7.139)immediatelyimpliesRushbrooke sinequality, [113] $\alpha+2 \beta+\gamma \geq 2$ Becauseitfollows fromthermodynamics, itappliestoallsystems. {}$\wedge{90}$
Forthed $=2$ Isingmodelitimplies $\backslash$ 伽马 $\backslash g e q \backslash$ frac ${7}{4}$. It’sbeenshownrigorouslythat $\backslash$ 伽玛 $=\mid f r a c{7}{4}$
forthetwo – dimensionalIsingmodel $[114]$, andthusRushbrooke sinequalityissatis fied $\mathrm{d}=2$ Isingmodel. Wealsohavethesameequalityamongclassicalexponents :lalpha+2 Ibeta + Igamma $=2 \$$ 。
已经导出了临界指数之间的许多不等式。 ${ }^{91}$ 我们再证明一个，格里菲斯不等式， $[115]$
$$
\alpha+\beta(1+\delta) \geq 2
$$
为了证明这一点，我们注意到磁系统 ${ }^{92}$ 那 $M, T$ 是自由能的自变量， $F(T, M)$. 等式 (7.61)， $B=(\partial F / \partial M)_T$ ，适用于共存区域 $($ 与 $B=0)$ ，暗示
$$
\left(\frac{\partial F}{\partial M}\right)_T=0, \quad\left(T \leq T_c, 0 \leq M \leq M_0(T)\right)
$$
我们在哪里使用 $M_0(T)$ 表示温度下的自发磁化 $T$ (如图 7.13 所示) 。因此，共存区的自由能独立于 $M$ :
$$
F(T, M)=F(T, 0) . \quad\left(T \leq T_c, 0 \leq M \leq M_0(T)\right)
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The Ginzburg criterion; upper critical dimension

Posted on 2023年4月21日2023年4月21日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The Ginzburg criterion; upper critical dimension

Mean field theory results either from ignoring interactions between fluctuations (Section 7.8 ) or by having all spins coupled with the same interaction strength ${ }^{77}$ (Section 7.9.1); each is equivalent in its predictions with that of Landau theory in the critical region, which, as we’ve noted, are not in good agreement with experiment. Away from the critical region, however, mean field theory does an adequate job in treating the thermodynamic properties of interacting systems. ${ }^{78}$ Is there a physical argument why Landau theory fails in the critical region?

In 1961, V.L. Ginzburg offered a criterion, ${ }^{79}$ the Ginzburg criterion, for the conditions under which the approximation of uncorrelated fluctuations is justified.[105] Consider the following ratio,
$$
R \equiv \frac{\int_{\xi^d} g(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}^d \boldsymbol{r}}{\int_{\xi^d} \phi^2(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}^d \boldsymbol{r}},
$$
where $g(\boldsymbol{r}) \equiv\langle\delta \phi(0) \delta \phi(\boldsymbol{r})\rangle$ denotes the two-spin correlation function, and $\phi(\boldsymbol{r})$ is the order parameter. ${ }^{80}$ The numerator in Eq. (7.112) is an average over a $d$-dimensional region whose linear dimension is of order $\xi$; it’s important not to average over a region larger than $\xi^d$, otherwise we have uncorrelated fluctuations. The denominator is a measure of the square of the order parameter, $\phi^2$, averaged over the same volume, $\xi^d$. The ratio $R$ characterizes the strength of correlated fluctuations in a $d$-dimensional ball of radius $\xi,\left\langle(\delta \phi)^2\right\rangle_{\xi}$, relative to the square of the order parameter, $\left\langle\phi^2\right\rangle_{\xi}$ averaged over the same hypervolume. If $R \ll 1$ (Ginzburg criterion), Landau theory applies; if not, it fails in the critical region. ${ }^{81}$

In the critical region, the denominator in Eq. (7.112) can be approximated $\int_{\xi^d} \phi^2(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}^d \boldsymbol{r} \sim$ $\xi^d t^{2 \beta} \sim \xi^{d-(2 \beta / \nu)}$, where we’ve used $\phi \sim t^\beta$ along with $\xi \sim t^{-\nu}$, where $t$ is the reduced temperature. Similarly, for the numerator $\int_{\xi^d} g(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}^d \boldsymbol{r} \sim \chi \sim t^{-\gamma} \sim \xi^{\gamma / \nu}$. The ratio $R$ in Eq. (7.112) therefore scales with $\xi$ as
$$
R \sim \xi^{-d+(\gamma+2 \beta) / \nu} .
$$
For $d>(\gamma+2 \beta) / \nu, R \rightarrow 0$ as $\xi \rightarrow \infty$, and Landau theory is valid. Using the classical exponents, $(\gamma+2 \beta) / \nu=4 ;$ Landau theory gives a correct description of critical phenomena in systems for which $d>4$. For $d<4$, the Ginzburg criterion is not satisfied and Landau theory does not apply in the critical region. The case of $d=4$ is marginal and requires more analysis; Landau theory is not quite correct in this case. The special dimension $d=4$ is referred to as the upper critical dimension.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Partition function, free energy, internal energy, and specific heat

Periodic boundary conditions are assumed (the lattice is on the surface of a torus), and thus the summation limits in Eq. (7.114), $N-1, M-1$ can be replaced with $N, M$. Give names to the terms containing intra and inter-row couplings, 83
$$
V_1\left({\sigma}_n\right) \equiv \sum_{m=1}^M \sigma_{n, m} \sigma_{n, m+1} \quad V_2\left({\sigma}_n,{\sigma}_{n+1}\right) \equiv \sum_{m=1}^M \sigma_{n, m} \sigma_{n+1, m}
$$
where ${\sigma}_n \equiv\left(\sigma_{n, 1}, \cdots, \sigma_{n, M}\right)$ denotes all spins in the $n^{\text {th }}$ row (see Fig. 7.10). We must evaluate the sum
$$
\begin{aligned}
Z_{N, M}(K) & =\sum_{{\sigma}_1, \cdots,{\sigma}_N} \exp \left[K\left(\sum_{n=1}^N V_1\left({\sigma}_n\right)+V_2\left({\sigma}_n,{\sigma}_{n+1}\right)\right)\right] \
& \equiv \sum_{{\sigma}_1, \cdots,{\sigma}_N} T_{{\sigma}_1,{\sigma}_2} T_{{\sigma}_2,{\sigma}_3} \cdots T_{{\sigma}_{N-1},{\sigma}_N} T_{{\sigma}_N,{\sigma}_1}=\operatorname{Tr}(\boldsymbol{T})^N
\end{aligned}
$$
where $K \equiv \beta J$ and we’ve introduced the transfer matrix $\boldsymbol{T}$ (see Section 6.5 ), with elements
$$
T_{{\sigma},{\sigma}^r}=\mathrm{e}^{K V_1({\sigma})} \mathrm{e}^{K V_2\left({\sigma},{\sigma}^{\prime}\right)}
$$
$T_{{\sigma},{\sigma}^{\prime}}$ is a $2^M \times 2^M$ matrix (which is why we can’t write down an explicit matrix form); it operates in a space of $2^M$ spin configurations. It can be put in symmetric form (and thus it has real eigenvalues):
$$
T_{{\sigma},{\sigma}^{\prime}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} K V_1({\sigma})} \mathrm{e}^{K V_2\left({\sigma},{\sigma}^{\prime}\right)} \mathrm{e}^{\frac{1}{2} K V_1\left({\sigma}^{\prime}\right)}
$$
The trace in Eq. (7.115) is a sum over the eigenvalues of $\boldsymbol{T}, \lambda_k, 1 \leq k \leq 2^M$ (see Section 6.5):
$$
Z_{N, M}(K)=\operatorname{Tr}(\boldsymbol{T})^N=\sum_{k=1}^{2^M}\left(\lambda_k\right)^N
$$
Assume we can order the eigenvalues with $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_2$, in which case
$$
Z_{N, M}=\lambda_1^N \sum_{k=1}^{2^M}\left(\frac{\lambda_k}{\lambda_1}\right)^N
$$
The free energy per spin, $\psi$, is, in the thermodynamic limit, using Eq. (7.116),
$$
-\beta \psi \equiv-\beta \lim {M, N \rightarrow \infty}\left(\frac{F}{M N}\right)=\lim {M, N \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{M N} \ln Z_{N, M}\right)=\lim _{M \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{M} \ln \lambda_1^{(M)}\right)
$$
where we’ve written $\lambda_1^{(M)}$ in Eq. (7.117) to indicate that it’s the largest eigenvalue of the $2^M \times 2^M$ transfer matrix. “All” we have to do is find the largest eigenvalue $\lambda_1^{(M)}$ in the limit $M \rightarrow \infty$ !

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The Ginzburg criterion; upper critical dimension

平均场理论要么来自于忽略涨落之间的相互作用（第 7.8 节），要么来自于所有自旋与相同相互作用强度的耦合 ${ }^{77}$ (第 7.9 .1 节) ；每个理论在临界区的预测与朗道理论的预测是等价的，正如我们已经指出的那样，这与实验不太吻合。然而，在远离临界区的地方，平均场论在处理相互作用系统的热力学性质方面做得很好。 78 为什么朗道理论在临界区失败有物理论证?
1961 年，VL Ginzburg 提出了一个标准， ${ }^{79}$ Ginzburg 准则，用于证明不相关波动的近似值合理的条件。 [105] 考虑以下比率，
$$
R \equiv \frac{\int_{\xi^d} g(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}^d \boldsymbol{r}}{\int_{\xi^d} \phi^2(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}^d \boldsymbol{r}}
$$
在哪里 $g(\boldsymbol{r}) \equiv\langle\delta \phi(0) \delta \phi(\boldsymbol{r})\rangle$ 表示双自旋相关函数，并且 $\phi(\boldsymbol{r})$ 是顺序参数。 ${ }^{80}$ 等式中的分子。(7.112) 是一个平均值 $d$-维区域，其线性维度是有序的 $\xi$; 重要的是不要对大于的区域进行平均 $\xi^d$ ，否则我们有不相关的波动。分母是阶数参数平方的度量， $\phi^2$ ，在相同的体积上取平均值， $\xi^d$. 比例 $R$ 表征相关波动的强度 $d$ 半径的维球 $\xi,\left\langle(\delta \phi)^2\right\rangle_{\xi^{\prime}}$ ，相对于阶数参数的平方， $\left\langle\phi^2\right\rangle_{\xi}$ 在相同的超体积上取平均值。如果 $R \ll 1$ (Ginzburg 标准)，Landau 理论适用；如果不是，则它在临界区失败。 ${ }^{81}$
在临界区，方程式中的分母。(7.112) 可以近似 $\int_{\xi^d} \phi^2(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}^d \boldsymbol{r} \sim \xi^d t^{2 \beta} \sim \xi^{d-(2 \beta / \nu)}$ ，我们用过的地方 $\phi \sim t^\beta$ 随着 $\xi \sim t^{-\nu}$ ，在哪里 $t$ 是降低的温度。同样，对于分子 $\int_{\xi^d} g(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}^d \boldsymbol{r} \sim \chi \sim t^{-\gamma} \sim \xi^{\gamma / \nu}$. 比例 $R$ 在等式中 $(7.112)$ 因此与 $\xi$ 作为
$$
R \sim \xi^{-d+(\gamma+2 \beta) / \nu}
$$
为了 $d>(\gamma+2 \beta) / \nu, R \rightarrow 0$ 作为 $\xi \rightarrow \infty$ ， Landau 理论是有效的。使用经典指数， $(\gamma+2 \beta) / \nu=4$;朗道理论正确描述了系统中的临界现象 $d>4$. 为了 $d<4$ ，不满足 Ginzburg 准则， Landau 理论不适用于临界区。的情况下 $d=4$ 是边际的，需要更多的分析；朗道理论在这种情况下并不完全正确。特殊维度 $d=4$ 被称为上临界尺寸。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Partition function, free energy, internal energy, and specific heat

假设周期性边界条件（晶格在环面的表面上），因此方程式中的求和限制。(7.114), $N-1, M-1$ 可以替换为 $N, M$. 给包含行内和行间耦合的术语命名， 83
$$
V_1\left(\sigma_n\right) \equiv \sum_{m=1}^M \sigma_{n, m} \sigma_{n, m+1} \quad V_2\left(\sigma_n, \sigma_{n+1}\right) \equiv \sum_{m=1}^M \sigma_{n, m} \sigma_{n+1, m}
$$
在哪里 $\sigma_n \equiv\left(\sigma_{n, 1}, \cdots, \sigma_{n, M}\right)$ 表示中的所有自旋 $n^{\text {th }}$ 行 (见图 7.10) 。我们必须评估总和
$$
Z_{N, M}(K)=\sum_{\sigma_1, \cdots, \sigma_N} \exp \left[K\left(\sum_{n=1}^N V_1\left(\sigma_n\right)+V_2\left(\sigma_n, \sigma_{n+1}\right)\right)\right] \equiv \sum_{\sigma_1, \cdots, \sigma_N} T_{\sigma_1, \sigma_2} T_{\sigma_2, \sigma_3} \cdots T_{\sigma_N}
$$
在哪里 $K \equiv \beta J$ 我们已经介绍了转移矩阵 $\boldsymbol{T}$ (参见第 6.5 节) ，带有元素
$$
T_{\sigma, \sigma^r}=\mathrm{e}^{K V_1(\sigma)} \mathrm{e}^{K V_2\left(\sigma, \sigma^{\prime}\right)}
$$
$T_{\sigma, \sigma^{\prime}}$ 是一个 $2^M \times 2^M$ 矩阵 (这就是为什么我们不能与写下明确的矩阵形式) ；它在一个空间内运作 $2^M$ 自旋配置。它可以采用对称形式（因此它具有实特征值）：
$$
T_{\sigma, \sigma^{\prime}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} K V_1(\sigma)} \mathrm{e}^{K V_2\left(\sigma, \sigma^{\prime}\right)} \mathrm{e}^{\frac{1}{2} K V_1\left(\sigma^{\prime}\right)}
$$
方程式中的痕迹。(7.115) 是对特征值的总和 $\boldsymbol{T}, \lambda_k, 1 \leq k \leq 2^M$ (见第 6.5 节)：
$$
Z_{N, M}(K)=\operatorname{Tr}(\boldsymbol{T})^N=\sum_{k=1}^{2^M}\left(\lambda_k\right)^N
$$假设我们可以用 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_2$ ，在这种情况下
$$
Z_{N, M}=\lambda_1^N \sum_{k=1}^{2^M}\left(\frac{\lambda_k}{\lambda_1}\right)^N
$$
每次旋转的自由能， $\psi$ ，在热力学极限内，使用方程式。(7.116)，
$$
-\beta \psi \equiv-\beta \lim M, N \rightarrow \infty\left(\frac{F}{M N}\right)=\lim M, N \rightarrow \infty\left(\frac{1}{M N} \ln Z_{N, M}\right)=\lim _{M \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{M} \ln \lambda_1^{(M)}\right)
$$
我们写的地方 $\lambda_1^{(M)}$ 在等式中 (7.117) 表示它是 $2^M \times 2^M$ 传输矩阵。“所有”我们要做的就是找到最大的特征值 $\lambda_1^{(M)}$ 在极限 $M \rightarrow \infty$ !

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYSICS7546

Posted on 2023年2月25日2023年2月25日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYSICS7546

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Equilibrium conditions

We start by asking whether there is a limit to the number of phases that can coexist. An elegant answer is provided by the Gibbs phase rule, Eq. (7.13). The chemical potential of substances in coexisting phases has the same value in each of the phases in which coexistence occurs. ${ }^5$ Consider two phases of a substance, $I$ and $I I$. Because matter and energy can be exchanged between phases in physical contact, equilibrium is achieved when $T$ and $P$ are the same in both phases, and when the chemical potentials are equal, $\mu^I=\mu^{I I}$ (see Section 1.12). We know from the Gibbs-Duhem equation, ${ }^6$ (P1.1), that $\mu=\mu(T, P)$, and thus chemical potential can be visualized as a surface $\mu=\mu(T, P)$ (see Fig. 7.2). Two phases of the same substance coexist when
$$
\mu^I(T, P)=\mu^{I I}(T, P)
$$
The intersection of the two surfaces defines the locus of points $P=P(T)$ for which Eq. (7.1) is satisfied-the coexistence curve (see Fig. 7.2). Three coexisting phases $(I, I I, I I I)$ would require the equality of three chemical potential functions,
$$
\mu^I(T, P)=\mu^{I I}(T, P)=\mu^{I I I}(T, P)
$$
Equation (7.2) implies two equations in two unknowns and thus three phases can coexist at a unique combination of $T$ and $P$, the triple point. By this reasoning, it would not be possible for four phases of a single substance to coexist (which would require three equations in two unknowns). Coexistence of four phases of the same substance is not known to occur.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The Gibbs phase rule

How many independent state variables can exist in a multicomponent, multiphase system? In each phase there are $N^\gamma \equiv \sum_{j=1}^k N_j^\gamma$ particles, and thus there are $k-1$ independent concentrations $c_j^\gamma \equiv N_j^\gamma / N^\gamma$, where $\sum_{j=1}^k c_j^\gamma=1$. Among $\pi$ phases there are $\pi(k-1)$ independent concentrations. Including $P$ and $T$, there are $2+\pi(k-1)$ independent intensive variables.

There are $k(\pi-1)$ equations of equilibrium, Eq. (7.12). The variance of the system is the difference between the number of independent variables and the number of equations of equilibrium,
$$
f \equiv 2+\pi(k-1)-k(\pi-1)=2+k-\pi
$$
Equation (7.13) is the Gibbs phase rule.[11, p96] It specifies the number of intensive variables that can be independently varied without disturbing the number of coexisting phases $(f \geq 0)$.

$k=1, \pi=1 \Longrightarrow f=2$ : a single substance in one phase. Two intensive variables can be independently varied; $T$ and $P$ in a gas.
$k=2, \pi=1 \Longrightarrow f=3$ : two substances in a single phase, as in a mixture of gases. We can independently vary $T, P$, and one mole fraction.
$k=1, \pi=2 \Longrightarrow f=1$ : a single substance in two phases; a single intensive variable such as the density can be varied without disrupting phase coexistence.
$k=1, \pi=3 \Longrightarrow f=0$ : a single substance in three phases; we cannot vary the conditions under which three phases coexist in equilibrium. Unique values of $T$ and $P$ define a triple point.
One should appreciate the generality of the phase rule, which doesn’t depend on the type of chemical components, only that the Gibbs energy is a minimum in equilibrium.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Equilibrium conditions

我们首先询问可以共存的相数是否有限制。吉布斯相位规则 Eq. 提供了一个优雅的答案。(7.13)。共存相物质的化学势在发生共存的各相中具有相同的值。 ${ }^5$ 考虑物质的两个阶段， $I$ 和 $I I$. 因为物质和能量可以在物理接触的相之间交换，当达到平衡时 $T$ 和 $P$ 在两相中是相同的，并且当化学势相等时， $\mu^I=\mu^{I I}$ (参见第 $1.12$ 节) 。我们从 Gibbs-Duhem 方程得知， ${ }^6(\mathrm{P} 1.1)$ ，即 $\mu=\mu(T, P)$ ，因此化学势可以可视化为一个表面 $\mu=\mu(T, P)$ （见图 7.2）。同一物质的两相共存时
$$
\mu^I(T, P)=\mu^{I I}(T, P)
$$
两个表面的交点定义了点的轨迹 $P=P(T)$ 对于哪个方程式。(7.1) 满足-共存曲线(见图7.2)。三相并存 $(I, I I, I I I)$ 需要三个化学势函数相等，
$$
\mu^I(T, P)=\mu^{I I}(T, P)=\mu^{I I I}(T, P)
$$
等式 (7.2) 暗示两个方程有两个末知数，因此三相可以以独特的组合共存 $T$ 和 $P$ ，三重点。通过这种推理，单一物质的四个相不可能共存 (这需要两个末知数的三个方程)。不知道会发生同一物质的四相共存。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The Gibbs phase rule

多组分、多相系统中可以存在多少独立状态变量? 每个阶段都有 $N^\gamma \equiv \sum_{j=1}^k N_j^\gamma$ 粒子，因此有 $k-1$ 独立浓度 $c_j^\gamma \equiv N_j^\gamma / N^\gamma$ ，在哪里 $\sum_{j=1}^k c_j^\gamma=1$. 之中 $\pi$ 阶段有 $\pi(k-1)$ 独立浓度。包括 $P$ 和 $T$ ，有 $2+\pi(k-1)$ 独立的密集变量。
有 $k(\pi-1)$ 平衡方程，Eq。(7.12)。系统的方差是自变量个数与平衡方程个数之差，
$$
f \equiv 2+\pi(k-1)-k(\pi-1)=2+k-\pi
$$
方程 (7.13) 是吉布斯相位规则。[11，p96]它规定了在不干扰共存相数的情况下可以独立变化的密集变量的数量 $(f \geq 0)$.

$k=1, \pi=1 \Longrightarrow f=2:$ 一个相中的单一物质。两个强度变量可以独立变化； $T$ 和 $P$ 在气体中。
$k=2, \pi=1 \Longrightarrow f=3$ : 单相中的两种物质，如气体混合物。我们可以独立变化 $T, P$ ，和一个摩尔分数。
$k=1, \pi=2 \Longrightarrow f=1$ : 单一物质分两相; 可以在不破坏相共存的情况下改变单个强度变量 (例如密度) 。
$k=1, \pi=3 \Longrightarrow f=0$ : 三相中的单一物质；我们不能改变三相平衡共存的条件。的独特价值 $T$ 和 $P$ 定义三重点。
人们应该理解相位规则的一般性，它不依赖于化学成分的类型，只是吉布斯能量在平衡时是最小值。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3020

Posted on 2023年2月25日2023年2月25日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3020

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|SCATTERING, FLUCTUATIONS, AND CORRELATIONS

Much of what we know about macroscopic systems comes from scattering experiments. In X-ray scattering, electromagnetic radiation scatters from charges in the system; in neutron scattering, neutrons scatter from magnetic moments in the system (see Appendix E). Figure $6.27$ shows the geometry of a scattering experiment. A beam of monochromatic radiation of wave vector $\boldsymbol{k}_i$ and angular frequency $\omega$ is incident upon a sample and is scattered towards a detector in the direction of the outgoing wave vector $\boldsymbol{k}_f$ at angle $\theta$ relative to $\boldsymbol{k}_i$. If the energy $\hbar \omega$ is much larger than the characteristic excitation energies of the molecules of the system, scattering occurs without change of frequency (elastic scattering, our concern here) and thus $\boldsymbol{k}_f$ has magnitude $\left|\boldsymbol{k}_f\right|=\left|\boldsymbol{k}_i\right|$. In elastic scattering, the wave vector transfor
$$
\boldsymbol{q} \equiv \boldsymbol{k}_f-\boldsymbol{k}_i
$$
has magnitude $|\boldsymbol{q}|=2\left|\boldsymbol{k}_i\right| \sin (\theta / 2)$. A record of the scattering intensity as a function of $\theta$ provides one with the Fourier transform of the two-particle correlation function (as we’ll show), the static structure factor. ${ }^{62}$

Assume, for a particle at position $\boldsymbol{r}_j$ (relative to an origin inside the sample) that an incident plane wave with amplitude proportional to $\mathrm{e}^{i \boldsymbol{k}_i \cdot r_j}$ is scattered into an outgoing spherical wave ${ }^{63}$ centered at $\boldsymbol{r}_j$. The amplitude of the scattered wave at the detector at position $\boldsymbol{R}$ is proportional to
$$
\alpha \mathrm{c}^{\mathrm{i} k_i \cdot \boldsymbol{r}_j} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_f\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right|}}{\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right|}
$$
where $k_f \equiv\left|\boldsymbol{k}_f\right|$ and $\alpha$ is the scattering efficiency ${ }^{64}$ of the particle at $\boldsymbol{r}_j$. The detector is far removed from the sample with $|\boldsymbol{R}| \equiv R \gg\left|\boldsymbol{r}_j\right| \equiv r_j$ (for all $j$ ), implying that $\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right| \approx R-\hat{\boldsymbol{R}} \cdot \boldsymbol{r}_j$, where $\hat{\boldsymbol{R}} \equiv \boldsymbol{R} / R$ (show this). In the denominator of (6.122) we can approximate $\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right| \approx R$, but not in the phase factor. With $k_f=k_f \hat{R}$, we have for the amplitude at the detector:
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{k}_i \cdot \boldsymbol{r}_j} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_f\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right|}}{\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right|} \approx \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_f R}}{R} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{r}_i},
$$
where $q$ is defined in Eq. (6.121). The detector receives scattered waves from all particles of the sample, and thus the total amplitude $A$ at the detector is
$$
A=A_0 \sum_j \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{r}_j}
$$
where $A_0$ includes $\mathrm{e}^{i k_f R} / R$, together with any other constants we’ve swept under the rug. The intensity at the detector is proportional to the square of the amplitude, $I \propto|A|^2$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|ORNSTEIN-ZERNIKE THEORY OF CRITICAL CORRELATIONS

To observe scattering from correlated fluctuations requires the wavelength to be smaller than the correlation length, $\lambda \ll \xi$, and for that reason $\mathrm{X}$-rays are used to probe the distribution of molecules in fluids. Near critical points, however, ${ }^{72}$ strong scattering of visible light occurs, where a normally transparent fluid appears cloudy or opalescent, a phenomenon known as critical opalescence. The wavelength of visible light is $\approx 10^4$ times as large as that for $\mathrm{X}$-rays, implying that fluctuations become correlated over macroscopic lengths at the critical point. In 1914, L.S. Ornstein and F. Zernike made an important step in attempting to explain the development of long-range, critical correlations, ${ }^{73}$ one that’s relevant to our purposes and which we review here.

Ornstein and Zernike proposed a mechanism by which correlations can be established between particles of a fluid. They distinguished two types of correlation function: $c(\boldsymbol{r})$, the direct correlation function, a new function, and $h(\boldsymbol{r}) \equiv g(\boldsymbol{r})-1$, termed the total correlation function (with $g(\boldsymbol{r})$ the radial distribution function, Eq. (6.135)). The direct correlation function accounts for contributions to the correlation between points of a fluid that aree not mediated by other particles, such as that caused by the potential energy of interaction, $v(r)$ (see Eq. (6.1)). Ornstein and Zernike posited a connection between the two types of correlation function (referring to Fig. 6.28):
$$
h\left(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\right)=c\left(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\right)+n \int c\left(\boldsymbol{r}_3-\boldsymbol{r}_1\right) h\left(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_3\right) \mathrm{d}^3 r_3 .
$$
Equation (6.139) is the Ornstein-Zernike equation. In addition to the direct correlation between particles at $\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2$ (the first term of Eq. (6.139)), the integral sums the influence from all other particles of the fluid at positions $r_3$. The quantity $n \mathrm{~d}^3 r_3$ in Eq. (6.139) represents the number of particles in an infinitesimal volume at $\boldsymbol{r}_3$, each “directly” correlated to the particle at $\boldsymbol{r}_1$, which set up the full (total) correlation with the particle at $r_2$. Equation (6.139) is an integral equation ${ }^{74,75}$ that defines $c(\boldsymbol{r})$ (given $h(\boldsymbol{r})$ ). The function $c(\boldsymbol{r})$ can be given an independent definition as a sum of a certain class of connected diagrams, $[76, \mathrm{p} 99]$ a topic we lack sufficient space to develop.

By taking the Fourier transform of Eq. (6.139) and applying the convolution theorem[16, p111], we find, where $c(\boldsymbol{q})=\int \mathrm{d}^3 \mathrm{re} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \boldsymbol{r}} c(\boldsymbol{r})$
$$
h(\boldsymbol{q})=c(\boldsymbol{q})+n c(\boldsymbol{q}) h(\boldsymbol{q}) \quad \Longrightarrow \quad c(\boldsymbol{q})=\frac{h(\boldsymbol{q})}{1+n h(\boldsymbol{q})} .
$$
Equation (6.140) indicates that $c(\boldsymbol{q})$ does not show singular behavior at the critical point. ${ }^{76}$ From Eq. (6.137), $S(\boldsymbol{q})=1+n h(\boldsymbol{q})$, and, because $S(\boldsymbol{q})$ diverges as $q \rightarrow 0$ at $T=T_c$ (see Section 7.6), $c(q=0)$ remains finite at $T=T_c$. Using Eq. (6.131),
$$
\frac{1}{k T n \beta_T}=\frac{1}{S(q=0)}=\frac{1}{1+n h(q=0)}=1-n c(q=0)=1-n \int \mathrm{d}^3 r c(\boldsymbol{r}) .
$$
Thus, the direct correlation function is short ranged, even at the critical point. ${ }^{77}$ If we’re interested in critical phenomena characterized by long-wavelength fluctuations (which we will be in coming chapters), approximations made on the short-ranged function $c(\boldsymbol{r})$ should prove rather innocuous ${ }^{78}$ (at least that’s the thinking ${ }^{79}$ ). Molecular dynamics simulations have confirmed the short-ranged nature of $c(\boldsymbol{r})$ [79]. An approximate form for $c(\boldsymbol{r})$ introduced by Percus and Yevick[80] gives good agreement with experiment and displays its short-ranged character:
$$
c(\boldsymbol{r}) \approx\left(1-\mathrm{e}^{\beta v(\boldsymbol{r})}\right) g(\boldsymbol{r})
$$
so that $c(r)$ vanishes for distances outside the range of the pair potential. ${ }^{80}$

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|SCATTERING, FLUCTUATIONS, AND CORRELATIONS

我们对宏观系统的了解大部分来自散射实验。在 X射线散射中，电磁辐射从系统中的电荷散射；在中子散射中，中子从系统中的磁矩散射 (见附录 E) 。数字 $6.27$ 显示散射实验的几何结构。一束波矢量的单色辐射 $\boldsymbol{k}_i$ 和角频率 $\omega$ 入射到样品上并沿出射波矢量的方向散射到检测器 $\boldsymbol{k}_f$ 成角度 $\theta$ 关系到 $\boldsymbol{k}_i$. 如果能量 $\hbar \omega$ 远大于系统分子的特征激发能，散射发生时频率不变（弹性散射，我们在这里关注），因此 $\boldsymbol{k}_f$ 有量级 $\left|\boldsymbol{k}_f\right|=\left|\boldsymbol{k}_i\right|$. 在弹性散射中，波矢量变换
$$
\boldsymbol{q} \equiv \boldsymbol{k}_f-\boldsymbol{k}_i
$$
有量级 $|\boldsymbol{q}|=2\left|\boldsymbol{k}_i\right| \sin (\theta / 2)$. 作为函数的散射强度的记录 $\theta$ 提供了二粒子相关函数的傅立叶变换 (正如我们将要展示的那样)，即静态结构因子。 ${ }^{62}$ 面波 ${ }^{63}$ 集中于 $\boldsymbol{r}_j$. 位置检测器处的散射波振幅 $\boldsymbol{R}$ 正比于
$$
\alpha \mathrm{c}^{\mathrm{i} k_i \cdot \boldsymbol{r}_j} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_j\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right|}}{\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right|}
$$
在哪里 $k_f \equiv\left|\boldsymbol{k}_f\right|$ 和 $\alpha$ 是散射效率 ${ }^{64}$ 粒子在 $\boldsymbol{r}_j$. 检测器远离样品 $|\boldsymbol{R}| \equiv R \gg\left|\boldsymbol{r}_j\right| \equiv r_j$ (对全部 $j$ ), 暗示 $\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right| \approx R-\hat{\boldsymbol{R}} \cdot \boldsymbol{r}_j$ ，在哪里 $\hat{\boldsymbol{R}} \equiv \boldsymbol{R} / R$ (展示这个)。在 (6.122) 的分母中，我们可以近似 $\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right| \approx R$ ，但不在相位因子中。和 $k_f=k_f \hat{R}$ ，我们有探测器的振幅:
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{k}_i \cdot \boldsymbol{r}_j} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_f\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right|}}{\left|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_j\right|} \approx \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_f R}}{R} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} q \cdot \boldsymbol{r}_i},
$$
在哪里 $q$ 在等式中定义。(6.121)。检测器接收来自样品所有粒子的散射波，因此总振幅 $A$ 在探测器是
$$
A=A_0 \sum_j \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \boldsymbol{q} \cdot r_j}
$$
在哪里 $A_0$ 包括 $\mathrm{e}^{i k_f R} / R$ ，连同我们隐藏在地䎦下的任何其他常量。检则楍处的强度与振幅的平方成正比， $I \propto|A|^2$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|ORNSTEIN-ZERNIKE THEORY OF CRITICAL CORRELATIONS

观察相关波动的散射需要波长小于相关长度， $\lambda \ll \xi ，$ 因此X-射线用于探测流体中分子的分布。然而，在临界点附近， 72 可见光发生强烈散射，正常情况下透明的液体呈现混浊或乳白色，这种现象称为临界乳光。可见光的波长是 $\approx 10^4$ 的倍数 $\mathrm{X}$-射线，这意味着波动在临界点处与宏观长度相关。1914 年， LS Ornstein 和 F. Zernike 在试图解释长期临界相关性的发展方面迈出了重要一步， 73 一个与我们的目的相关的，我们在这里回顾一下。

Ornstein 和 Zernike 提出了一种机制，通过该机制可以在流体粒子之间建立相关性。他们区分了两种相关函数： $c(\boldsymbol{r})$ ，直接相关函数，一个新函数，和 $h(\boldsymbol{r}) \equiv g(\boldsymbol{r})-1$ ，称为总相关函数 $(与 g(\boldsymbol{r})$ 径向分布函数，Eq。(6.135))。直接相关函数解释了对不受其他粒子介导的流体点之间相关性的贡献，例如由相互作用的势能引起的， $v(r)$ (见等式 (6.1) ) 。Ornstein 和 Zernike 假设了两种相关函数之间的联系 (参见图 6.28) :
$$
h\left(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\right)=c\left(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\right)+n \int c\left(\boldsymbol{r}_3-\boldsymbol{r}_1\right) h\left(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_3\right) \mathrm{d}^3 r_3 .
$$
方程 (6.139) 是 Ornstein-Zernike 方程。除了粒子之间的直接相关性 $\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2$ (方程 (6.139) 的第一项)，积分求和来自流体的所有其他粒子在位置处的影响 $r_3$. 数量 $n \mathrm{~d}^3 r_3$ 在等式中 (6.139) 表示无穷小体积中的粒子数 $\boldsymbol{r}_3$ ，每个“直接”与粒子相关 $\boldsymbol{r}_1$ ，它建立了与粒子的完全 (总) 相关性 $r_2$. 方程 (6.139) 是一个积分方程 ${ }^{74,75}$ 定义 $c(\boldsymbol{r})$ (给定 $h(\boldsymbol{r})$ ). 功能 $c(\boldsymbol{r})$ 可以作为某一类连通图的总和给出一个独立的定义， $[76, \mathrm{p} 99]$ 我们缺乏足够的空间来发展这个话题。
通过对等式进行傅立叶变换。(6.139) 并应用卷积定理 $[16, p 111]$ ，我们发现，其中
$$
\begin{aligned}
c(\boldsymbol{q})=\int \mathrm{d}^3 \operatorname{ree}^{\mathrm{i} \cdot \boldsymbol{r}} c(\boldsymbol{r}) \
h(\boldsymbol{q})=c(\boldsymbol{q})+n c(\boldsymbol{q}) h(\boldsymbol{q}) \quad \Longrightarrow \quad c(\boldsymbol{q})=\frac{h(\boldsymbol{q})}{1+n h(\boldsymbol{q})}
\end{aligned}
$$
等式 (6.140) 表明 $c(\boldsymbol{q})$ 在临界点不表现出奇异行为。 ${ }^{76}$ 从等式。(6.137)～$S(\boldsymbol{q})=1+n h(\boldsymbol{q})$ ，并且，因为 $S(\boldsymbol{q})$ 发散为 $q \rightarrow 0$ 在 $T=T_c$ (见第 $7.6$ 节)， $c(q=0)$ 仍然有限 $T=T_c$. 使用方程式。(6.131)，
$$
\frac{1}{k T n \beta_T}=\frac{1}{S(q=0)}=\frac{1}{1+n h(q=0)}=1-n c(q=0)=1-n \int \mathrm{d}^3 r c(\boldsymbol{r}) .
$$
因此，直接相关函数的范围很短，即使在临界点也是如此。 ${ }^{77}$ 如果我们对以长波长波动为特征的临界现象感兴趣（我们将在接下来的章节中介绍)，可以对短程函数进行近似 $c(\boldsymbol{r})$ 应该证明是无害的 ${ }^{78}$ (至少那是想法 $\left.^{79}\right)$. 分子动力学模拟证实了 $c(\boldsymbol{r})[79]$ 。的近似形式 $c(\boldsymbol{r})$ 由 Percus 和 Yevick [80]引入的与实验吻合良好并显示其短程特性：
$$
c(\boldsymbol{r}) \approx\left(1-\mathbf{e}^{\beta v(\boldsymbol{r})}\right) g(\boldsymbol{r})
$$
以便 $c(r)$ 在对电位范围之外的距离消失。 ${ }^{80}$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3034

Posted on 2023年2月25日2023年2月25日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3034

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Further-neighbor interactions

It’s straightforward to generalize to a one-dimensional system with arbitrarily distant interactions. ${ }^{60}$ Define an $N$-spin model with up to $p^{\text {th }}$-neighbor interactions, where $p$ is arbitrary,
$$
H(\sigma)=-\sum_{m=1}^p \sum_{k=1}^N J_m \sigma_k \sigma_{k+m}
$$
where we invoke periodic boundary conditions, $\sigma_{N+m} \equiv \sigma_m, 1 \leq m \leq p$. Clearly we should have $N \gg p$ for such a model to be sensible.

We break the system into cells of $p$ contiguous spins, ${ }^{61}\left(\sigma_{k, 1}, \sigma_{k, 2}, \cdots, \sigma_{k, p}\right), 1 \leq k \leq N / p$. We associate the $2^p$ spin configurations of the $k^{\text {th }}$ cell with the symbol $s_k$. The transfer matrix will then be a $2^p \times 2^p$ matrix. We rewrite the Hamiltonian, making the distinction between intra- and inter-cell couplings,
$$
\begin{aligned}
V_0\left(s_k\right) & =-\sum_{m=1}^{p-1} \sum_{j=1}^{p-m} J_m \sigma_{k, j} \sigma_{k, j+m} \
V_1\left(s_k, s_{k+1}\right) & =-\sum_{m=0}^{p-1} \sum_{j=1}^{p-m} J_{p-m} \sigma_{k, j+m} \sigma_{k+1, j},
\end{aligned}
$$
so that
$$
H(s)=\sum_{k=1}^{N / p}\left(V_0\left(s_k\right)+V_1\left(s_k, s_{k+1}\right)\right) \equiv H_0(s)+H_1(s) .
$$
Equations (6.103) and (6.104) are special cases of Eqs. (6.114) and (6.115) with $p=2$. By counting terms in Eqs. (6.114) and (6.115), there are $p(p-1) / 2$ intra-cell couplings and $p(p+1) / 2$ inter-cell couplings for a total of $p^2$ couplings associated with each cell. The total number of spin interactions is thus preserved by the grouping of spins into cells. The Hamiltonian Eq. (6.113) represents a total of $N p$ spin interactions, the same number represented by Eq. (6.116): $N p=(N / p) p^2$. The division into cells also preserves the number of spin configurations: $2^N=2^{p(N / p)}$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The Ising spin ladder

We now apply the transfer matrix to a more complicated one-dimensional system shown in Fig. 6.26, a “ladder” of $2 N$ Ising spins satisfying periodic boundary conditions. To set up the transfer
Figure 6.26: A $2 \times N$ Ising model with couplings $J_1$ and $J_2$.
matrix, which groups of spins can we treat as adjacent cells? With the spins labeled as in Fig. 6.26, the Hamiltonian can be written
$$
H=-J_2 \sum_{i=1}^N \sigma_{i, 1} \sigma_{i, 2}-J_1 \sum_{i=1}^N\left(\sigma_{i, 1} \sigma_{i+1,1}+\sigma_{i, 2} \sigma_{i+1,2}\right) .
$$
The transfer matrix is therefore
$$
T\left(\pi, \sigma^{\prime}\right)=\mathrm{e}^{K_2 \sigma_1 \sigma_2} \mathrm{e}^{K_1\left(\sigma_1 \sigma_1^{\prime}+\sigma_2 \sigma_2^{\prime}\right)}
$$
We can write the elements of $T\left(\sigma, \sigma^{\prime}\right)$ as we did in Eq. (6.109),
$$
\boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{cccc}
(++) & (+-) \
(–) \
(-+)
\end{array}\left(\begin{array}{cccc}
\mathrm{e}^{K_2+2 K_1} & e^{K_2} & \mathrm{e}^{\left(-K_2-2 K_1\right.} & \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{K_2}} \
\mathrm{e}^{-K_2} & \mathrm{e}^{-K_2+2 K_1} & \mathrm{e}^{-K_2} & \mathrm{e}^{-K_2-2 K_1} \
\mathrm{e}^{K_2-2 K_1} & \mathrm{e}^{K_2} & \mathrm{e}^{K_2+2 K_1} & \mathrm{e}^{K_2} \
\mathrm{e}^{-K_2} & \mathrm{e}^{-K_2-2 K_1} & \mathrm{e}^{-K_2} & \mathrm{e}^{-K_2+2 K_1}
\end{array}\right) .\right.
$$
The next step would be to find the eigenvalues of $\boldsymbol{T}$ in Eq. (6.120), but we stop here.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Further-neighbor interactions

可以直接推广到具有任意远距离交互的一维系统。 ${ }^{60}$ 定义一个 $N$-旋转模型最多 $p^{\text {th }}$-邻居互动，其中 $p$ 是任意的，
$$
H(\sigma)=-\sum_{m=1}^p \sum_{k=1}^N J_m \sigma_k \sigma_{k+m}
$$
我们调用周期性边界条件的地方， $\sigma_{N+m} \equiv \sigma_m, 1 \leq m \leq p$. 显然我们应该有 $N \gg p$ 这样的模型是明智的。
我们将系统分解成细胞 $p$ 连续旋转， ${ }^{61}\left(\sigma_{k, 1}, \sigma_{k, 2}, \cdots, \sigma_{k, p}\right), 1 \leq k \leq N / p$. 我们将 $2^p$ 自旋配置的 $k^{\text {th }}$ 带有符号的单元格 $s_k$. 转移矩阵将是 $2^p \times 2^p$ 矩阵。我们重写哈密顿量，区分细胞内和细胞间的耦合，
$$
V_0\left(s_k\right)=-\sum_{m=1}^{p-1} \sum_{j=1}^{p-m} J_m \sigma_{k, j} \sigma_{k, j+m} V_1\left(s_k, s_{k+1}\right)=-\sum_{m=0}^{p-1} \sum_{j=1}^{p-m} J_{p-m} \sigma_{k, j+m} \sigma_{k+1, j},
$$
以便
$$
H(s)=\sum_{k=1}^{N / p}\left(V_0\left(s_k\right)+V_1\left(s_k, s_{k+1}\right)\right) \equiv H_0(s)+H_1(s)
$$
方程 (6.103) 和 (6.104) 是方程的特例。(6.114) 和 (6.115) 与 $p=2$. 通过计算方程式中的术语。(6.114) 和 (6.115)，有 $p(p-1) / 2$ 细胞内耦合和 $p(p+1) / 2$ 细胞间耦合总共 $p^2$ 与每个单元相关联的耦合。因此，通过将自旋分组到细胞中，可以保留自旋相互作用的总数。哈密顿方程 (6.113) 代表一共 $N p$ 自旋相互作用，由等式表示的相同数字。 $(6.116): N p=(N / p) p^2$. 划分为单元格还保留了自旋配置的数量: $2^N=2^{p(N / p)}$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The Ising spin ladder

我们现在将传递矩阵应用于图 $6.26$ 所示的更复杂的一维系统，一个”阶梯” $2 N$ 伊辛自旋满足周期性边界条件。设置传输
图 6.26: A2 $\times N$ 带联轴器的伊辛模型 $J_1$ 和 $J_2$.
矩阵，我们可以将哪些自旋组视为相邻单元格? 使用图 $6.26$ 中标记的自旋，哈密顿量可以写成
$$
H=-J_2 \sum_{i=1}^N \sigma_{i, 1} \sigma_{i, 2}-J_1 \sum_{i=1}^N\left(\sigma_{i, 1} \sigma_{i+1,1}+\sigma_{i, 2} \sigma_{i+1,2}\right) .
$$
因此转移矩阵是
$$
T\left(\pi, \sigma^{\prime}\right)=\mathrm{e}^{K_2 \sigma_1 \sigma_2} \mathrm{e}^{K_1\left(\sigma_1 \sigma_1^{\prime}+\sigma_2 \sigma_2^{\prime}\right)}
$$
我们可以写出元素 $T\left(\sigma, \sigma^{\prime}\right)$ 正如我们在方程式中所做的那样。(6.109)，
$$
\boldsymbol{T}=\left(( + + ) \quad ( + – ) ( – ) ( – + ) \left(\mathrm{e}^{K_2+2 K_1} \quad e^{K_2} \quad \mathrm{e}^{\left(-K_2-2 K_1\right.} \quad \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{K_2}} \mathrm{e}^{-K_2} \quad \mathrm{e}^{-K_2+2 K_1} \quad \mathrm{e}^{-K_2}\right.\right.
$$
下一步是找到的特征值 $\boldsymbol{T}$ 在等式中 (6.120)，但我们到此为止。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYC30017

Posted on 2022年9月7日2022年9月7日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYC30017

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|High-temperature form

As $\beta \rightarrow 0$ there are contributions to Eq. (5.33) from large values of the quantum number $l$, which suggests we approximate the sum in Eq. (5.33) with an integral, using the form of $Z$ in Eq. (4.15). That route requires the density-of-states function, $\Omega(E)$, the derivative with respect to energy of the total number of energy states up to and including $E$. Energy at a specified value $E$ implies a maximum value of $l$ determined by $E=\hbar^2 l_{\max }\left(l_{\max }+1\right) /(2 I) \approx \hbar^2 l_{\max }^2 /(2 I)$ because $l_{\max } \gg 1$. How many states are there for $0 \leq l \leq l_{\max }$ ? It can be shown that
$$
\sum_{l=0}^{l_{\max }}(2 l+1)=\left(l_{\max }+1\right)^2 \approx l_{\max }^2 \approx \frac{2 I}{\hbar^2} E .
$$
The density of states is therefore $\Omega(E)=2 I / \hbar^2$. Thus, we can approximate Eq. (5.33),
$$
Z_{1, \text { rol }}(T)=\frac{2 I}{\hbar^2} \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-\beta E} \mathrm{~d} E=\frac{2 I}{\beta \hbar^2} \equiv \frac{T}{\Theta_r}, \quad\left(T \gg \Theta_r\right)
$$
where $\Theta_r=\hbar^2 /(2 I k)$ sets a characteristic temperature for rotational motions. ${ }^{23}$ Using equations that we’ve now used several times (Eqs. (4.40) and (P4.1)), with $Z=\left(Z_1\right)^N$,
$$
\begin{aligned}
\langle E\rangle_{\mathrm{rot}} &=N k T \
\left(C_V\right){\mathrm{rot}} &=N k, \quad(T \rightarrow \infty) \end{aligned} $$ the same as what we obtain from the equipartition theorem. A more accurate high-temperature form can be obtained using the result of Exercise 5.11: $$ Z{1, \mathrm{rot}}(T)=\frac{T}{\Theta_r}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15} \frac{\Theta_r}{T}+\frac{4}{315}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2+\cdots . \quad\left(T \gg \Theta_r\right)
$$
From Eq. (5.37) we obtain an expression for the heat capacity more general than Eq. (5.36) (see Exercise 5.12),
$$
\left(C_V(T)\right){\mathrm{rot}}=N k\left[1+\frac{1}{45}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2+\frac{16}{945}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^3+\cdots\right] . $$ We see that $\left(C_V(T)\right){\text {rot }}$ exceeds the classical value $N k$, a value that it tends to as $T \rightarrow \infty$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Low-temperature form

In the low-temperature regime, $T \ll \Theta_r$, we have, from Eq. (5.33),
$$
Z(T){1, \mathrm{rot}}=1+3 \mathrm{e}^{-2 \Theta_r / T}+5 \mathrm{e}^{-6 \Theta_r / T}+\cdots . $$ In this case, the variable $\mathrm{e}^{-\Theta_r / T}$ is exponentially small as $T \rightarrow 0$. From Eq. (5.39), we find to lowest order $$ \left(C_V(T)\right){\mathrm{rot}} \approx 12 N k\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2 \mathrm{e}^{-2 \Theta_r / T} . \quad\left(T \ll \Theta_r\right)
$$

As $T \rightarrow 0,\left(C_V(T)\right)_{\text {rot }}$ drops to zero exponentially fast; rotational degrees of freedom can’t be excited at sufficiently low temperature – they become “frozen out.”

The two equations, (5.38) and (5.40), are limiting forms of $\left(C_V(T)\right){\mathrm{rot}}$ in the high- and lowtemperature regimes. They each show that the heat capacity is temperature dependent. To obtain the complete temperature dependence of $\left(C_V(T)\right){\text {rot }}$ requires the use of a computer to evaluate the sum in Eq. (5.33) at each temperature. A detailed analysis shows there is a maximum value of $\left(C_V(T)\right)_{\mathrm{rot}} \approx 1.1 \mathrm{Nk}$ at $T \approx 0.81 \Theta_r$. Given that $\Theta_r \approx 10 \mathrm{~K}$, measurements of $C_V$ on diatomic gases at room temperature are consistent with the prediction of the equipartition theorem.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|High-temperature form

作为 $\beta \rightarrow 0$ 对方程式有贡献。(5.33) 从量子数的大值 $l$ ，这表明我们近似等式中的总和。(5.33) 与积分，使用形式 $Z$ 在等式。(4.15)。这条路线需要状态密度函数， $\Omega(E)$ ，关于能量的导数，能量状态的总数达到并包括 $E$. 指定值的能量 $E$ 意味着最大值 $l$ 取决于 $E=\hbar^2 l_{\max }\left(l_{\max }+1\right) /(2 I) \approx \hbar^2 l_{\max }^2 /(2 I)$ 因为 $l_{\max } \gg 1$. 有多少个州 $0 \leq l \leq l_{\max }$ ? 可以证明
$$
\sum_{l=0}^{l_{\max }}(2 l+1)=\left(l_{\max }+1\right)^2 \approx l_{\max }^2 \approx \frac{2 I}{\hbar^2} E
$$
因此状态密度为 $\Omega(E)=2 I / \hbar^2$. 因此，我们可以近似等式。(5.33)，
$$
Z_{1, \text { rol }}(T)=\frac{2 I}{\hbar^2} \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-\beta E} \mathrm{~d} E=\frac{2 I}{\beta \hbar^2} \equiv \frac{T}{\Theta_r}, \quad\left(T \gg \Theta_r\right)
$$
在哪里 $\Theta_r=\hbar^2 /(2 I k)$ 设置旋转运动的特征温度。 ${ }^{23}$ 使用我们现在多次使用的方程 (方程 (4.40) 和 $(\mathrm{P} 4.1)), Z=\left(Z_1\right)^N$,
$$
\langle E\rangle_{\mathrm{rot}}=N k T\left(C_V\right) \text { rot }=N k, \quad(T \rightarrow \infty)
$$
与我们从均分定理中得到的相同。使用练习 $5.11$ 的结果可以得到更精确的高温形式:
$$
Z 1, \operatorname{rot}(T)=\frac{T}{\Theta_r}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15} \frac{\Theta_r}{T}+\frac{4}{315}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2+\cdots . \quad\left(T \gg \Theta_r\right)
$$
从方程式。(5.37) 我们得到了一个比方程更一般的热容量表达式。(5.36) (见刃题 5.12)，
$$
\left(C_V(T)\right) \operatorname{rot}=N k\left[1+\frac{1}{45}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2+\frac{16}{945}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^3+\cdots\right] .
$$
我们看到 $\left(C_V(T)\right) \operatorname{rot}$ 超过经典值 $N k$, 它倾向于作为的值 $T \rightarrow \infty$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Low-temperature form

在低温状态下， $T \ll \Theta_r$ ，我们有，从方程。(5.33),
$$
Z(T) 1, \text { rot }=1+3 \mathrm{e}^{-2 \Theta_r / T}+5 \mathrm{e}^{-6 \Theta_r / T}+\cdots .
$$
在这种情况下，变量 $\mathrm{e}^{-\Theta_r / T}$ 呈指数级小 $T \rightarrow 0$. 从方程式。(5.39)，我们找到最低阶
$$
\left(C_V(T)\right) \operatorname{rot} \approx 12 N k\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2 \mathrm{e}^{-2 \Theta_r / T} . \quad\left(T \ll \Theta_r\right)
$$
作为 $T \rightarrow 0,\left(C_V(T)\right){\text {rot }}$ 以指数速度快速下降到零; 旋转自由度不能在足够低的温度下被激发一一它们会被“冻结”。 (5.38) 和 (5.40) 这两个方程是 $\left(C_V(T)\right)$ rot在高温和低温状态。它们都表明热容量与温度有关。为了获得完全的温度依赖性 $\left(C_V(T)\right)$ rot 需要使用计算机来评估方程式中的总和。(5.33) 在每个温度下。详细分析显示，最大值为 $\left(C_V(T)\right){\text {rot }} \approx 1.1 \mathrm{Nk}$ 在 $T \approx 0.81 \Theta_r$. 鉴于 $\Theta_r \approx 10 \mathrm{~K}$, 测量 $C_V$ 常温下对双原子气体的预测与均分定理的预测是一致的。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3006

Posted on 2022年9月7日2022年9月7日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3006

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Quantum treatment

Harmonic oscillators have quantized energy levels ${ }^{14} E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega, n=0,1,2, \cdots$. The energy associated with $n=0, \frac{1}{2} \hbar \omega$, is the zero-point energy, the lowest possible energy that a quantum system may have (which, we note, is not zero). ${ }^{15}$ The canonical partition function for a single oscillator is, from Eq. (4.123), ${ }^{16}$
$$
Z_1(\beta)=\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\beta\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega}=\frac{1}{2 \sinh (\beta \hbar \omega / 2)} .
$$
The partition function specifies the number of states a system has available to it at temperature $T$. As $\beta \rightarrow 0$ (high temperature), we have from Eq. (5.20),
$$
Z_1(\beta) \stackrel{\beta \rightarrow 0}{\sim} \frac{1}{\beta \hbar \omega},
$$
that all of the infinite number of energy states of the harmonic oscillator become thermally accessible, that $Z$ diverges as we (formally) allow $T \rightarrow \infty$. Compare with the $\beta \rightarrow 0$ limit of the partition function for a paramagnetic ion, Eq. (5.17), $Z(\beta \rightarrow 0)=2$. In that case there are only two states available to the system: aligned or antialigned with the direction of the magnetic field. Consider the other limit of Eq. (5.20),
$$
Z_1(\beta) \stackrel{\beta \rightarrow \infty}{\sim} \mathrm{e}^{-\beta \hbar \omega / 2} .
$$

For temperatures such that $k T \leqslant \hbar \omega / 2, Z_1 \leqslant 1$; the number of states available to the system is exponentially smaller than unity. As $T \rightarrow 0$ there are no states available to the system: $Z \rightarrow 0$.
Applying Eq. $(5.20)$ to Eq. (4.40), we have the average energy of the oscillator,
$$
\langle E\rangle=\frac{\hbar \omega}{2} \operatorname{coth}\left(\frac{1}{2} \beta \hbar \omega\right)=\hbar \omega\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta \hbar \omega}-1}+\frac{1}{2}\right) \equiv \hbar \omega\left(\langle n\rangle+\frac{1}{2}\right) \text {. }
$$
Let’s look at the limiting forms of Eq. (5.23):
$$
\begin{array}{ll}
\langle E\rangle=\frac{\hbar \omega}{2} & (T \rightarrow 0) \
\langle E\rangle=k T . & (T \rightarrow \infty)
\end{array}
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Rotatonal motion

The rigid rotor problem treats the two atoms of a diatomic molecule as having a fixed separation distance $r_0$. The allowed rotational energies depend on the moment of inertia $I=\mu r_0^2$, where $\mu$ is the reduced mass of the two atomic masses, $\mu=m_1 m_2 /\left(m_1+m_2\right)$. The rotational state is determined by the angular momentum operator, $\hat{L} . \hat{L}^2$ and $\hat{L}z$ have a common set of eigenfunctions, $$ \begin{aligned} &\hat{L}^2|l, m\rangle=l(l+1) \hbar^2|l, m\rangle \ &\hat{L}_z|l, m\rangle=m \hbar|l, m\rangle, \end{aligned} $$ where $l=0,1,2, \cdots$ and $m=-l,-l+1, \cdots, l-1, l$ so that there are $2 l+1$ values of $m$. The Hamiltonian for rotational motion about the center of mass is $\hat{H}{\mathrm{rot}}=L^2 /(2 I)$, and thus the rotational energy eigenvalues are $E_l=\hbar^2 l(l+1) /(2 I)$. Because $E_l$ is independent of the quantum number $m$, each state is ( $2 l+1)$-fold degenerate. The partition function is, using Eq. (4.123), ${ }^{22}$
$$
Z_{1, \mathrm{rol}}(T)=\sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) \mathrm{e}^{-\beta E_l} .
$$ The sum in Eq. (5.33) cannot be evaluated in closed analytic form, and we must introduce approximations. We examine the high and low-temperature limits.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Quantum treatment

谐波振荡器具有量化的能级 ${ }^{14} E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega, n=0,1,2, \cdots$ 相关的能量 $n=0, \frac{1}{2} \hbar \omega$ ，是零点能量，量子系统可能具有的最低能量（我们注意到，它不为零）。 ${ }^{15}$ 单个振荡器的规范配分函数来自方程式。(4.123), ${ }^{16}$
$$
Z_1(\beta)=\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\beta\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega}=\frac{1}{2 \sinh (\beta \hbar \omega / 2)}
$$
分区函数指定系统在温度下可用的状态数 $T$. 作为 $\beta \rightarrow 0$ (高温) ，我们从方程式中得到。(5.20)，
$$
Z_1(\beta) \stackrel{\beta \rightarrow 0}{\sim} \frac{1}{\beta \hbar \omega},
$$
谐振子的所有无限能量状态都变得可热访问，即 $Z$ 正如我们（正式）允许的那样发散 $T \rightarrow \infty$. 与 $\beta \rightarrow 0$ 顺磁离子的配分函数的极限，方程式。(5.17), $Z(\beta \rightarrow 0)=2$. 在这种情况下，系统只有两种状态可用：与磁场方向对齐或反对齐。考虑方程的另一个极限。(5.20)，
$$
Z_1(\beta) \stackrel{\beta \rightarrow \infty}{\sim} \mathrm{e}^{-\beta \hbar \omega / 2} .
$$
对于这样的温度 $k T \leqslant \hbar \omega / 2, Z_1 \leqslant 1$ ；系统可用的状态数比单位数成倍地小。作为 $T \rightarrow 0$ 系统没有可用的状态: $Z \rightarrow 0$.
应用方程式。(5.20)到等式。(4.40)，我们有振荡器的平均能量，
$$
\langle E\rangle=\frac{\hbar \omega}{2} \operatorname{coth}\left(\frac{1}{2} \beta \hbar \omega\right)=\hbar \omega\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta \hbar \omega}-1}+\frac{1}{2}\right) \equiv \hbar \omega\left(\langle n\rangle+\frac{1}{2}\right) .
$$
让我们看一下方程式的极限形式。(5.23):
$$
\langle E\rangle=\frac{\hbar \omega}{2} \quad(T \rightarrow 0)\langle E\rangle=k T . \quad(T \rightarrow \infty)
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Rotatonal motion

刚性转子问题将双原子分子的两个原子视为具有固定的分离距离 $r_0$. 允许的旋转能量取决于转动惯量 $I=\mu r_0^2$ ，在哪里 $\mu$ 是两个原子质量的约化质量， $\mu=m_1 m_2 /\left(m_1+m_2\right)$. 旋转状态由角动量算子确定， $\hat{L} \cdot \hat{L}^2$ 和 $\hat{L} z$ 有一组共同的特征函数，
$$
\hat{L}^2|l, m\rangle=l(l+1) \hbar^2|l, m\rangle \quad \hat{L}z|l, m\rangle=m \hbar|l, m\rangle $$ 在哪里 $l=0,1,2, \cdots$ 和 $m=-l,-l+1, \cdots, l-1, l$ 所以有 $2 l+1$ 的值 $m$. 绕质心旋转运动的哈密顿量是 $\hat{H} \operatorname{rot}=L^2 /(2 I)$ ，因此旋转能量特征值为 $E_l=\hbar^2 l(l+1) /(2 I)$. 因为 $E_l$ 与量子数无关 $m$ ，每个状态是 $(2 l+1)$-折㿿退化。分区函数是，使用方程。(4.123)， ${ }^{22}$ $$ Z{1, \mathrm{rol}}(T)=\sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) \mathrm{e}^{-\beta E_l}
$$
方程式中的总和。(5.33) 式不能以封闭解析形式计算，我们必须引入近似值。我们检查高温和低温极限。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3034

Posted on 2022年9月7日2022年9月7日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|THE MAXWELL SPEED DISTRIBUTION

The Hamiltonian of a gas of $N$ noninteracting particles is $H=\sum_{i=1}^N \boldsymbol{p}i^2 /(2 m)$. The partition function for this system (volume $V$, temperature $T$ ) is found from Eqs. (4.47) and (4.53), $$ Z{\operatorname{can}}(N, V, T)=\frac{1}{N !}\left(\frac{V}{\lambda_T^3}\right)^N \equiv \frac{1}{N !} Z(N, V, T),
$$
where $\lambda_T$ is the thermal wavelength, Eq. (1.65), which results from integrating over the momentum variables. With $Z_{\mathrm{can}}$ one can calculate the equation of state and the entropy using Eq. (4.58) (Exercise 5.1). The phase-space probability density is, from Eq. (4.54),
$$
\rho(p, q)=\frac{1}{Z} \exp \left(-\beta \sum_{i=1}^N \boldsymbol{p}i^2 /(2 m)\right)=\prod{i=1}^N\left(\frac{\lambda_T^3}{V} \mathrm{e}^{-\beta \boldsymbol{p}i^2 /(2 m)}\right) \equiv \prod{i=1}^N \rho_i,
$$
where $\rho_i$ is a one-particle distribution function. Because the Hamiltonian is separable, the $N$ particle distribution occurs as the product of $N$, single-particle distributions, i.e., the particles are independently distributed. ${ }^2$ Note that $\rho_i$ is normalized on a one-particle phase space:
$$
\int \rho_i \mathrm{~d} \Gamma_i \equiv \frac{\lambda_T^3}{h^3 V} \int_V \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} p_x \mathrm{~d} p_y \mathrm{~d} p_z \mathrm{e}^{-\beta\left(p_x^2+p_y^2+p_z^3\right) /(2 m)}=1 .
$$
Another way to calculate the entropy is through the distribution function, Eq. (4.60). One can show that Eq. (4.60) yields the Sackur-Tetrode formula when combined with Eq. (5.2) (see Exercise 5.3).

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PARAMAGNETS

Some of the most successful applications of statistical mechanics involve the magnetic properties of materials. Under the general banner of magnetism there are different types of magnetic phenomena: ferromagnetism, antiferromagnetism, paramagnetism, diamagnetism, and others. In the limited space of this book we can only offer a cursory treatment of the subject. Ferro- and antiferromagnetism are cooperative effects produced by interactions among the magnetic dipoles of the atoms in a solid. Paramagnetism is the “ideal gas” of magnetism, in which magnetic moments interact only with an applied magnetic field and not with each other.

For a collection of magnetic moments $\left{\boldsymbol{\mu}i\right}$ that interact only with the external field, we need treat only the statistical mechanics of a single magnetic moment. The partition function for $N$ identical, noninteracting particles $Z_N=\left(Z_1\right)^N$, where $Z_1$ is the single-particle partition function. The energy of interaction between a magnetic dipole moment $\mu$ and a magnetic field ${ }^9 \boldsymbol{B}$ is $E=-\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{B}$. Should we adopt a classical or a quantum treatment of this problem? It turns out that a quantum treatment leads to excellent agreement with experimental results. Thus, we consider the energy of interaction between $\mu$ and $B$ as the Hamiltonian operator, $$ \hat{H}=-\boldsymbol{B} \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}=\frac{g \mu_B}{\hbar} \boldsymbol{B} \cdot \hat{\boldsymbol{J}}=\frac{g B \mu_B}{\hbar} \hat{J}_z, $$ where we’ve used Eq. (E.4), $\boldsymbol{\mu}=-g \mu_B \boldsymbol{J} / \hbar$, where $\mu_B \equiv e \hbar /(2 m)$ is the Bohr magneton, $g$ is the Landé g-factor (see Appendix E), and the operator $\hat{J}_z$ is the $z$-component of the total angular momentum (the $B$-field defines the $z$-direction). To use Eqs. (4.123) or (4.125) (quantum statistical mechanics in the canonical ensemble), we require the eigenfunctions and eigenvalues of the Hamiltonian operator, which in this case is proportional to $\hat{J}_z$ (Eq. (5.9)). As is well known, $\hat{J}^2$ and $\hat{J}_z$ have a common set of eigenfunctions $|J, m\rangle$ (a complete orthonormal set), such that $$ \begin{aligned} &\hat{J}^2|J, m\rangle=J(J+1) \hbar^2|J, m\rangle \ &\hat{J}_z|J, m\rangle=m \hbar|J, m\rangle \end{aligned} $$ where the quantum number $J$ has the values $J=0,1,2, \cdots$ or $J=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \cdots$, and $m=$ $-J,-J+1, \cdots, J-1, J$ so that there are $(2 J+1)$ values of $m$. The energy eigenvalues are therefore $E_m=g \mu_B m B$. From Eq. (4.123), ${ }^{10}$ $$ Z_1=\sum{m=-J}^J \mathrm{e}^{-\beta m \mu_B g B}=\frac{\sinh \left(y\left(J+\frac{1}{2}\right)\right)}{\sinh (y / 2)},
$$
where $y \equiv \beta \mu_B g B$. The summation in Eq. (5.10) is simple because it’s a finite geometric series.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|THE MAXWELL SPEED DISTRIBUTION

气体的哈密顿量 $N$ 非相互作用粒子是 $H=\sum_{i=1}^N \boldsymbol{p} i^2 /(2 m)$. 该系统的分区函数 (体积 $V$ ，温度 $T$ ) 是从方程式中找到的。(4.47)和 (4.53),
$$
Z \operatorname{can}(N, V, T)=\frac{1}{N !}\left(\frac{V}{\lambda_T^3}\right)^N \equiv \frac{1}{N !} Z(N, V, T),
$$
在哪里 $\lambda_T$ 是热波长，方程式。(1.65)，这是对动量变量进行积分的结果。和 $Z_{\mathrm{can}}$ 可以使用方程式计算状态方程和熵。(4.58)（练习 5.1)。相空间概率密度是，从方程。(4.54)，
$$
\rho(p, q)=\frac{1}{Z} \exp \left(-\beta \sum_{i=1}^N \boldsymbol{p} i^2 /(2 m)\right)=\prod i=1^N\left(\frac{\lambda_T^3}{V} \mathrm{e}^{-\beta p i^2 /(2 m)}\right) \equiv \prod i=1^N \rho_i,
$$
在哪里 $\rho_i$ 是单粒子分布函数。因为哈密顿量是可分的，所以 $N$ 粒子分布发生为 $N$ ，单粒子分布，即粒子是独立分布的。 ${ }^2$ 注意 $\rho_i$ 在单粒子相空间上归一化:
$$
\int \rho_i \mathrm{~d} \Gamma_i \equiv \frac{\lambda_T^3}{h^3 V} \int_V \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} p_x \mathrm{~d} p_y \mathrm{~d} p_z \mathrm{e}^{-\beta\left(p_x^2+p_y^2+p_z^3\right) /(2 m)}=1 .
$$
另一种计算樀的方法是通过分布函数方程。(4.60)。可以证明方程式。(4.60) 与等式结合产生 SackurTetrode 公式。(5.2)（见习题 5.3）。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PARAMAGNETS

统计力学的一些最成功的应用涉及材料的磁性。在磁性的总旗帜下，有不同类型的磁性现象：铁磁性、反铁磁性、顺磁性、抗磁性等。在本书篇幅有限的情况下，我们只能对这个主题进行粗略的处理。铁磁性和反铁磁性是由固体中原子的磁偶极子之间的相互作用产生的协同效应。顺磁性是磁性的“理想气体”，其中磁矩仅与施加的磁场相互作用，而彼此不相互作用。
对于磁矩的集合 Veft{\boldsymbol{\mu}i|right} 只与外场相互作用，我们只需要处理单个磁矩的统计力学。配分函数为 $N$ 相同的、不相互作用的粒子 $Z_N=\left(Z_1\right)^N$ ，在哪里 $Z_1$ 是单粒子配分函数。磁偶极矩之间的相互作用能 $\mu$ 和磁场 ${ }^9 \boldsymbol{B}$ 是 $E=-\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{B}$. 我们应该采用经典的还是量子的方法来解决这个问题? 事实证明，量子处理与实验结果非常吻合。因此，我们考虑相互作用的能量 $\mu$ 和 $B$ 作为哈密顿算子,
$$
\hat{H}=-\boldsymbol{B} \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}=\frac{g \mu_B}{\hbar} \boldsymbol{B} \cdot \hat{\boldsymbol{J}}=\frac{g B \mu_B}{\hbar} \hat{J}_z,
$$
我们用过方程式的地方。(E.4), $\boldsymbol{\mu}=-g \mu_B \boldsymbol{J} / \hbar$ ，在哪里 $\mu_B \equiv e \hbar /(2 m)$ 是玻尔磁子， $g$ 是 Landé $g$ 因子（见附录 $\mathrm{E}$ ) ，运算符 $\hat{J}_z$ 是个 $z$-总角动量的分量（B-field 定义 $z$-方向）。使用方程式。(4.123) 或 (4.125) (正则系综中的量子统计力学)，我们需要哈密顿算子的特征函数和特征值，在这种情况下与 $\hat{J}_z$ (方程 (5.9)) 。众所周知， $\hat{J}^2$ 和 $\hat{J}_z$ 有一组共同的特征函数 $|J, m\rangle$ (一个完整的正交集)，使得
$$
\hat{J}^2|J, m\rangle=J(J+1) \hbar^2|J, m\rangle \quad \hat{J}_z|J, m\rangle=m \hbar|J, m\rangle
$$
其中量子数 $J$ 有价值观 $J=0,1,2, \cdots$ 或者 $J=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \cdots$ ，和 $m=$ $-J,-J+1, \cdots, J-1, J$ 所以有 $(2 J+1)$ 的值 $m$. 因此能量特征值为 $E_m=g \mu_B m B$. 从方程式。(4.123), ${ }^{10}$
$$
Z_1=\sum m=-J^J \mathrm{e}^{-\beta m \mu_B g B}=\frac{\sinh \left(y\left(J+\frac{1}{2}\right)\right)}{\sinh (y / 2)}
$$
在哪里 $y \equiv \beta \mu_B g B$. 方程式中的总和。(5.10) 很简单，因为它是一个有限几何级数。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYC90010

Posted on 2022年8月19日2022年8月19日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYC90010

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Binomial distribution

Probability thrives on the repeatability of experiments. Much can be learned about random processes realized through repeated measurements of a quantity that produces only a few, perhaps just two, outcomes. Consider a pair of coins that’s tossed 200 times. What is the probability that $x$ of the 200 tosses shows two heads ( $x$ is an integer)? Let $S$ denote the probability of “success” in obtaining two heads in a given trial, with $F$ the probability of “failure.” Referring to the sample space of Fig. 3.1, $S=1 / 4$ and $F=3 / 4$. The tosses are independent and thus the probability of any realization of $x$ successes and $(200-x)$ failures is the same: $S^{x} F^{200-x}$. There are $\left(\begin{array}{c}200 \ x\end{array}\right)$ ways that $x$ successes can occur among the 200 outcomes. Thus, we have the probability distribution ( $x$ is a random variable)
$$
f(x)=\frac{200 !}{x !(200-x) !}\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\left(\frac{3}{4}\right)^{200-x} .
$$
Equation (3.38) readily lends itself to generalization. Let the probability of success in an individual trial be $p$, with the probability of failure $q=1-p$, and let there be $N$ trials. ${ }^{12}$ The probability distribution $f(x)$ of $x$ successes (whatever “success” refers to) in $N$ trials is
$$
f(x)=\left(\begin{array}{c}
N \
x
\end{array}\right) p^{x} q^{N-x}=\frac{N !}{x !(N-x) !} p^{x} q^{N-x}
$$

Equation (3.39) is the binomial distribution; it applies to many problems involving a discrete variable $x$ where the probability $p$ is known. Is it normalized-is $\sum_{x=0}^{N} f(x)=1$ ? That is indeed the case, as can be seen by applying the binomial theorem, Eq. (3.7):
$$
1=(p+q)^{N}=\sum_{x=0}^{N}\left(\begin{array}{l}
N \
x
\end{array}\right) p^{x} q^{N-x} .
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Poisson distribution

When $N$ becomes large, direct calculations using Eq. (3.39) become unwieldy. In that case having approximate expressions is quite useful. We develop the Poisson distribution,
$$
\lim {\substack{N \rightarrow \infty \ N p=\mu}} f(x=k)=\frac{\mu^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\mu}, $$ which holds for $p \ll 1$, such that $N p \equiv \mu$ is fixed. The Poisson distribution is normalized; $\sum{k=0}^{\infty} f(k)=1$. We can let $k \rightarrow \infty$ because we’ve already let $N \rightarrow \infty$. A formula like Eq. (3.43) is known as a limit theorem or as an asymptotic theorem; see Section 3.6.
To derive Eq. (3.43), first note that for fixed $x$, (see Exercise 3.22)
$$
\left(\begin{array}{l}
N \
x
\end{array}\right) \stackrel{N \rightarrow \infty}{\sim} \frac{N^{x}}{x !} .
$$

From Eq. (3.39),
$$
f(x) \sim \frac{N^{x}}{x !} p^{x} q^{N-x}=\frac{\mu^{x}}{x !}(1-p)^{N-x}=\frac{\mu^{x}}{x !}\left(1-\frac{\mu}{N}\right)^{N-x},
$$
where we’ve used $\mu=N p$. Equation (3.43) follows in the limit $N \rightarrow \infty$ when we make use of the Euler form of the exponential, $\mathrm{e}^{y}=\lim _{N \rightarrow \infty}(1+y / N)^{N}$.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Binomial distribution

概率依赖于实验的可重复性。通过重复测量一个仅产生几个，也许只有两个结果的数量，可以了解很多关于随机过程的知识。考虑一对被抛 200 次的硬币。发生的概率是多少 $x 200$ 次投郑中有两个正面 ( $x$ 是整数) ? 让 $S$ 表示在给定试验中“成功”获得两个正面的概率，其中 $F^{w}$ 失败”的概率。参考图 $3.1$ 的样本空间， $S=1 / 4$ 和 $F=3 / 4$. 投郑是独立的，因此任何实现的概率 $x$ 成功和 $(200-x)$ 失败是一样的: $S^{x} F^{200-x}$. 有 $(200 x)$ 方式 $x$ 在 200 个结果中可能会出现成功。因此，我们有概率分布 ( $x$ 是随机变量 $)$
$$
f(x)=\frac{200 !}{x !(200-x) !}\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\left(\frac{3}{4}\right)^{200-x} .
$$
等式 (3.38) 很容易推广。设单个试验的成功概率为 $p$ ，有失败的概率 $q=1-p$ ，让有 $N$ 试验。 ${ }^{12}$ 概率分布 $f(x)$ 的 $x$ 成功 (无论“成功”指的是什么） $N$ 试验是
$$
f(x)=(N x) p^{x} q^{N-x}=\frac{N !}{x !(N-x) !} p^{x} q^{N-x}
$$
方程 (3.39) 是二项分布；它适用于涉及离散变量的许多问题 $x$ 概率在哪里 $p$ 是已知的。是否标准化-是 $\sum_{x=0}^{N} f(x)=1$ ? 情况确实如此，正如通过应用二项式定理 Eq 可以看出的那样。(3.7):
$$
1=(p+q)^{N}=\sum_{x=0}^{N}(N x) p^{x} q^{N-x} .
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Poisson distribution

什么时候 $N$ 变大，使用方程式直接计算。(3.39) 变得笨拙。在这种情况下，具有近似表达式是非常有用的。我们开发泊松分布，
$\lim {N \rightarrow \infty} N p=\mu f(x=k)=\frac{\mu^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\mu}$ 这适用于 $p \ll 1$ ，这样 $N p \equiv \mu$ 是固定的。泊松分布被归一化; $\sum k=0^{\infty} f(k)=1$. 我们可以让 $k \rightarrow \infty$ 因为我们已经让 $N \rightarrow \infty$. 像方程式这样的公式。(3.43) 被称为极限定理或渐近定理；见第 $3.6$ 节。推导出方程。(3.43)，首先注意对于固定 $x$ ，(见习题 3.22) $$ (N x)^{N \rightarrow \infty} \frac{N^{x}}{x !} . $$ 从方程式。(3.39), $$ f(x) \sim \frac{N^{x}}{x !} p^{x} q^{N-x}=\frac{\mu^{x}}{x !}(1-p)^{N-x}=\frac{\mu^{x}}{x !}\left(1-\frac{\mu}{N}\right)^{N-x} $$ 我们用过的地方 $\mu=N p$. 方程 (3.43) 遵循极限 $N \rightarrow \infty$ 当我们利用指数的欧拉形式时， $\mathrm{e}^{y}=\lim {N \rightarrow \infty}(1+y / N)^{N}$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYC30017

Posted on 2022年8月19日2022年8月19日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|EXAMPLES INVOLVING DISCRETE PROBABILITIES

Two cards are drawn from a 52-card deck, with the first being replaced before the second is drawn. What is the probability that both cards are spades? Let $A$ be the event of drawing a spade, with $B$ the event of drawing another spade after the first has been replaced in the deck. This is an “and” kind of problem: What is the probability of a spade being drawn and another spade being drawn. $P(A)=P(B)=13 / 52=1 / 4$. The two events are independent, and thus from Eq. (3.5), $P(A \cap B)=P(A) P(B)=1 / 16$.
What is the probability of at least one spade in drawing two cards, when the first is replaced? The slick way to work this problem is to calculate the probability of not drawing a spade-the probability of at least one spade is the complement of the probability of no spades in two draws. The probability of no spades (not drawing a spade and not drawing another one) is $(39 / 52)^{2}=9 / 16$ (independent events). The probability of at least one spade is then $1-P$ (no spades) $=7 / 16$. The direct approach is to treat this as an “or” problem: What is the probability of drawing one or two spades? Let $A$ be the event of drawing a spade and not drawing a spade on the other draw, with $B$ the event of drawing two spades. The probability of at least one spade is $P(A$ or $B)=P(A)+P(B)$ (mutually exclusive). $P(A)=P$ (spade on one draw and not a spade on the other $)=(1 / 4)(3 / 4)=3 / 16$ (independent). There are two ways to realize the first experiment, however, draw a spade and then not, or not draw a spade and then a spade, so we add the probabilities: The probability of one spade is $2 \times(3 / 16)$. The probability of two spades, $P(B)=(1 / 4)^{2}=1 / 16$. The probability of at least one spade is $2 \times(3 / 16)+(1 / 16)=7 / 16$, in agreement with the first answer.
Two cards are drawn from a deck, but now suppose the first is not put back. What is the probability that both are spades? This is an “and” problem, the probability of drawing a spade and drawing another one. The events are independent. Thus, $P=(13 / 52) \times(12 / 51)=1 / 17$.
What is the probability that the second card is a spade, when it’s not known what the first card was? Let $B$ be the event of drawing a spade on the second draw. All we know about the first event is that a card was drawn and not replaced. There are two mutually exclusive possibilities: The first card was a spade or not, call these events $A$ and $\bar{A}$. Then, $P(A \cap B)+P(\bar{A} \cap B)=$ $P(A) P(B)+P(\bar{A}) P(B)=(P(A)+P(\bar{A})) P(B)=P(B)$. Thus, $P(B)=1 / 4$. The probability of a spade on the second draw, when the result of the first draw is unknown, is the probability of a spade on the first draw.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Probability distributions on discrete sample spaces

The collection of probabilities associated with the range of values of a random variable is known as a probability distribution. ${ }^{10}$ For each value $x_{j}$ of a random variable $x$, the aggregate of sample points associated with $x_{j}$ form the event for which $x-x_{j}$; its probability is denoted $P\left(x-x_{j}\right)$. From Fig. 3.4, for example, $f(1)=1 / 2$ is associated with the event $T H$ or $H T$.
Definition. A function $f(x)$ such that $f\left(x_{j}\right)=P\left(x=x_{j}\right)$ is the probability distribution of $x$.
For the range of values $\left{x_{j}\right}$ of $x, f\left(x_{j}\right) \geq 0$ and $\sum_{j} f\left(x_{j}\right)=1$; see Figs. $3.4$ and 3.5.
There can be more than one random variable defined on the same sample space. Consider random variables $x$ and $y$ that take on the values $x_{1}, x_{2}, \ldots$ and $y_{1}, y_{2}, \ldots$, and let the corresponding probability distributions be $f\left(x_{j}\right)$ and $g\left(y_{k}\right)$. The aggregate of events for which the two conditions $x=x_{j}$ and $y=y_{k}$ are satisfied forms the event having probability denoted $P\left(x=x_{j}, y=y_{k}\right)$.
Definition. A function $p(x, y)$ for which $p\left(x_{j}, y_{k}\right)=P\left(x=x_{j}, y=y_{k}\right)$ is called the joint probability distribution of $x$ and $y$.

Clearly, $p\left(x_{j}, y_{k}\right) \geq 0$ and $\sum_{j k} p\left(x_{j}, y_{k}\right)=1$. Moreover, for fixed $x_{j}$,
$$
\sum_{k} p\left(x_{j}, y_{k}\right)=f\left(x_{j}\right),
$$
while for fixed $y_{k}$
$$
\sum_{j} p\left(x_{j}, y_{k}\right)=g\left(y_{k}\right) .
$$
That is, adding the probabilities for all events $y_{k}$ for fixed $x_{j}$ produces the probability distribution for $x_{j}$, and adding the probabilities for all events $x_{j}$ produces the probability distribution for $y_{k}$.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|EXAMPLES INVOLVING DISCRETE PROBABILITIES

从一副 52 张牌中抽出两张牌，在抽出第二张牌之前先替换第一张牌。两张牌都是黑桃的概率是多少? 让 $A$ 是绘制黑桃的事件，与 $B$ 在第一个黑桃被替换在甲板上之后绘制另一个黑桃的事件。这是一个”和”类型的问题: 一个铲子被抽出和另一个铲子被抽出的概率是多少。 $P(A)=P(B)=13 / 52=1 / 4$. 这两个事件是独立的，因此来自方程式。(3.5), $P(A \cap B)=P(A) P(B)=1 / 16$.
当第一张被替换时，至少有一张黑桃抽两张牌的概率是多少? 解决这个问题的巧妙方法是计算没有抽到黑桃的概率一一至少有一个黑桃的概率是两次抽到没有黑桃的概率的补数。没有黑桃的概率 (没有画黑桃，也没有画另一个) 是 $(39 / 52)^{2}=9 / 16$ (独立事件) 。那么至少有一把铁锹的概率是 $1-P$ (没有黑桃) $=7 / 16$. 直接的方法是将其视为一个”或”问题: 抽到一两个黑桃的概率是多少? 让 $A$ 是画黑挑而不是在另一张画上画黑桃的事件，与 $B$ 绘制两个黑桃的事件。至少有一把铲子的概率是 $P(A$ 或者 $B)=P(A)+P(B)$ (互斥) 。 $P(A)=P($ (一平局是铁锹，另一个不是铁锹 $)=(1 / 4)(3 / 4)=3 / 16$ (独立的)。实现第一个实验有两种方法，但是，画一个黑桃然后不画，或者不画一个黑桃然后一个黑桃，所以我们添加概率: 一个黑桃的概率是 $2 \times(3 / 16)$. 两个黑桃的概率， $P(B)=(1 / 4)^{2}=1 / 16$. 至少有一把铲子的概率是 $2 \times(3 / 16)+(1 / 16)=7 / 16$ ，与第一个答案一致。
-从一副牌中抽出两张牌，但现在假设第一张牌没有放回。两者都是黑桃的概率是多少? 这是一个”与”问题，即画出一把铁锹再画另一个的概率。事件是独立的。因此， $P=(13 / 52) \times(12 / 51)=1 / 17$.
当不知道第一张牌是什么时，第二张牌是黑桃的概率是多少? 让 $B$ 是在第二次抽奖时抽到黑桃的事件。关于第一个事件，我们所知道的只是一张牌被抽出来而不是被替换。有两种相互排斥的可能性: 第一张牌是否是黑桃，调用这些事件 $A$ 和 $\bar{A}$. 然后， $P(A \cap B)+P(\bar{A} \cap B)=$ $P(A) P(B)+P(\bar{A}) P(B)=(P(A)+P(\bar{A})) P(B)=P(B)$. 因此， $P(B)=1 / 4$. 当第一次平局的结果末知时，第二次平局出现黑桃的概率是第一次平局出现黑桃的概率。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Probability distributions on discrete sample spaces

与随机变量的值范围相关的概率集合称为概率分布。 ${ }^{10}$ 对于每个值 $x_{j}$ 随机变量 $x$ ，与相关的样本点的聚合 $x_{j}$ 形成事件 $x-x_{j}$; 它的概率表示为 $P\left(x-x_{j}\right)$. 以图 $3.4$ 为例， $f(1)=1 / 2$ 与事件相关联 $T H$ 或者 $H T$.
定义。一个函数 $f(x)$ 这样 $f\left(x_{j}\right)=P\left(x=x_{j}\right)$ 是概率分布 $x$.
对于值的范围 $\backslash$ 左 $\left{x_{-}{j} \backslash\right.$ 右 $}$ 的 $x, f\left(x_{j}\right) \geq 0$ 和 $\sum_{j} f\left(x_{j}\right)=1$ ，见图。3.4和3.5。
在同一样本空间上可以定义多个随机变量。考虑随机变量 $x$ 和 $y$ 接受价值观 $x_{1}, x_{2}, \ldots$ 和 $y_{1}, y_{2}, \ldots$ 并令对应的概率分布为 $f\left(x_{j}\right)$ 和 $g\left(y_{k}\right)$. 满足这两个条件的事件的集合 $x=x_{j}$ 和 $y=y_{k}$ 满足形式具有概率的事件表示 $P\left(x=x_{j}, y=y_{k}\right)$.
定义。一个函数 $p(x, y)$ 为此 $p\left(x_{j}, y_{k}\right)=P\left(x=x_{j}, y=y_{k}\right)$ 称为联合概率分布 $x$ 和 $y$.
清楚地， $p\left(x_{j}, y_{k}\right) \geq 0$ 和 $\sum_{j k} p\left(x_{j}, y_{k}\right)=1$. 此外，对于固定 $x_{j}$ ，
$$
\sum_{k} p\left(x_{j}, y_{k}\right)=f\left(x_{j}\right),
$$
而对于固定 $y_{k}$
$$
\sum_{j} p\left(x_{j}, y_{k}\right)=g\left(y_{k}\right) .
$$
也就是说，添加所有事件的概率 $y_{k}$ 对于固定 $x_{j}$ 产生概率分布 $x_{j}$ ，并添加所有事件的概率 $x_{j}$ 产生概率分布 $y_{k}$.

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写