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数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling by Linear Polyominoes

In this section we first solve the following problem.
Problem 4.1. Find all $m \times n$ rectangles that can be tiled with linear $\boldsymbol{k}$-ominoes (i.e., $1 \times k$ rectangular tiles).

Exercise 4.1. Prove that $m$ or $n$ is a multiple of $k$ then an $m \times n$ rectangle can be tiled by linear $k$-ominoes.

Theorem 4.1. (D.A. Klarner [Kl], A. Soifer [S3]) If neither of $m, n$ is a multiple of $k$ then the $m \times n$ rectangle is not tileable with linear $k$-ominoes.

First Proof. [S3] Assume that neither $m$ nor $n$ is a multiple of $k$, but that the board can be tiled with linear $k$-ominoes. Let us

color the board diagonally in $k$ colors with a cyclic permutation of colors (see Figures $4.1$ and 4.2).

This coloring (diagonal cyclic k-coloring) has a remarkable property: no matter how a linear $k$-omino is placed on the colored rectangle, horizontally or vertically, it will cover exactly one square of each of the $k$ colors.

Since by assumption the rectangle can be tiled using linear $k$ ominoes, and every $k$-omino covers an equal number of squares of every color, the rectangle must contain an equal number of squares of each of the $k$ colors. It is not difficult to prove (do!) that for any natural numbers $m$ and $k$ there are non-negative integers $q$ and $r_1$, such that $0 \leq r_1 \leq \frac{k}{2}$ and
$$
m=k q+r_1
$$

or
$$
m=k q-r_1 .
$$
Accordingly, we will consider two cases:
Case 1: $m=k q+r_1$. We cut the given rectangle into two rectangles that are $k q \times n$ and $r_1 \times n$. Since the $k q \times n$ rectangle can be tiled using linear $k$-ominoes, it contains an equal number of squares of each color. The given rectangle contains an equal number of squares of every color as well; therefore, the $r_1 \times n$ rectangle has the same property.

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling by Linear Polyominoes

It is easy to prove (do!) that $a_1 \equiv a_2(\bmod n)$ if and only if $a_1-a_2$ is a multiple of $n$.
Assume that neither of $m, n$ is a multiple of $k$, i.e.,
$$
\begin{aligned}
& m=k q_1+r_1 ; \quad 0<r_1<k, \
& n=k q_2+r_2 ; \quad 0<r_2<k, \
&
\end{aligned}
$$
but the $m \times n$ rectangle is tiled by linear $k$-ominoes.
Let us color the columns of the rectangle with one of each of the $k$ colors with cyclic permutation of colors (see Figures $4.1$ and 4.3) and denote by $S_1, S_2, \ldots, S_n$ the number of squares of the rectangle colored with the 1 st, 2 nd $, \ldots, k$-th colors respectively.

This coloring (column cyclic $\boldsymbol{k}$-coloring) has a nice property: if a linear $k$-omino is placed on the board vertically, it covers $k$ squares of the same color; if it is placed on the board horizontally, it covers exactly one square of every color. By assumption the rectangle is tiled by linear $k$-ominoes, therefore
$$
S_1 \equiv S_2 \equiv \ldots \equiv S_k(\bmod k) .
$$
On the other hand, notice that we have one column more of the $r_2$-th color than of the $\left(r_2+1\right)$ st color, i.e.,
$$
S_{r_2}-S_{r_2+1}=m
$$

Since $m$ is not divisible by $k$, this implies that the congruence
$$
S_{r_2} \equiv S_{r_2+1}(\bmod k)
$$
is false. The contradiction between $()$ and $( *)$ proves that the divisibility of $m$ or $n$ by $k$ is a necessary condition for the $m \times n$ rectangle to be tileable by linear $k$-ominoes. It is also sufficient (Exercise 4.1).

The above two solutions first appeared in Russian in Kvant [S3] written by the author while he was an undergraduate student. Much later these solutions appeared in English in [S1] and consequently [S9]. You may get the impression that this problem can only be solved with the aid of coloring. In fact, [S3] contained a third proof that required no coloring. It also contained a more complex problem, where to the unlimited collection of $1 \times k$ tiles the author added one, just one, monomino. Let us look at this problem.

组合数学代写

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling by Linear Polyominoes

在本节中，我们首先解决以下问题。
问题 4.1。找到所有 $m \times n$ 可以用线性平铺的矩形 $\boldsymbol{k}$-ominoes（即， $1 \times k$ 矩形瓷砖）。
练习 4.1。证明 $m$ 要么 $n$ 是的倍数 $k$ 然后一个 $m \times n$ 矩形可以通过线性平铺 $k$-血米诺斯。
定理 4.1。 (DA Klarner [KI], A. Soifer [S3]) 如果两者都不是 $m, n$ 是的倍数 $k$ 然后 $m \times n$ 矩形不能用线性平 铺 $k$-血米诺斯。
第一个证明。[S3] 假设两者都不 $m$ 也不 $n$ 是的倍数 $k$ ，但该板可以用线性平铺 $k$-奧米诺斯。让我们
对角线给板子上色 $k$ 具有颜色循环排列的颜色（见图4.1和 4.2)。
这种着色 (对角线循环 $\mathrm{k}$ 着色) 有一个显着的性质：无论线性如何 $k$-omino 被放置在彩色矩形上，水平 或垂直，它会恰好覆盖每个矩形的一个正方形 $k$ 颜色。
由于假设矩形可以使用线性平铺 $k$ 奥米诺斯，每一个 $k$-omino 包含相同数量的每种颜色的正方形，矩形必 须包含相同数量的每种颜色的正方形 $k$ 颜色。不难证明（做！) 对于任何自然数 $m$ 和 $k$ 存在非负整数 $q$ 和 $r_1$ ，这样 $0 \leq r_1 \leq \frac{k}{2}$ 和
$$
m=k q+r_1
$$
要么
$$
m=k q-r_1 .
$$
因此，我们将考虑两种情况:
情况 1: $m=k q+r_1$. 我们将给定的矩形切成两个矩形 $k q \times n$ 和 $r_1 \times n$. 自从 $k q \times n$ 矩形可以使用线 性平铺 $k$-ominoes，它包含相同数量的每种颜色的正方形。给定的矩形也包含相同数量的每种颜色的正方 形; 因此， $r_1 \times n$ 矩形具有相同的属性。

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很容易证明（做） $) a_1 \equiv a_2(\bmod n)$ 当且仅当 $a_1-a_2$ 是的倍数 $n$. 假设两者都不是 $m, n$ 是的倍数 $k$ ，那是，
$$
m=k q_1+r_1 ; \quad 0<r_1<k, \quad n=k q_2+r_2 ; \quad 0<r_2<k,
$$
但是 $m \times n$ 矩形由线性平铺 $k$-血米诺斯。
让我们用每个颜色之一为矩形的列着色 $k$ 具有颜色循环排列的颜色 (见图4.1和 4.3) 并表示为 $S_1, S_2, \ldots, S_n$ 用第 $1 、 2$ 个颜色着色的矩形的正方形数 $, \ldots, k$-th 颜色分别。
这种着色 (列循环 $\boldsymbol{k}$-coloring) 有一个很好的属性：如果是线性的 $k$-omino 垂直放置在棋盘上，它覆盖 $k$ 相 同颜色的正方形；如果它水平放置在棋盘上，它正好覆盖每种颜色的一个方格。假设矩形是由线性平铺的 $k$ – 因此，奥米诺
$$
S_1 \equiv S_2 \equiv \ldots \equiv S_k(\bmod k) .
$$
另一方面，请注意我们还有一列 $r_2$-th 颜色比的 $\left(r_2+1\right)$ st 颜色，即
$$
S_{r_2}-S_{r_2+1}=m
$$
自从 $m$ 不能被整除 $k$ ，这意味着同余
$$
S_{r_2} \equiv S_{r_2+1}(\bmod k)
$$
是假的。之间的矛盾 () 和 $(*)$ 证明了可分性 $m$ 要么 $n$ 经过 $k$ 是一个必要条件 $m \times n$ 可通过线性平铺的矩形 $k$ -血米诺斯。这也足够了 (练习 4.1)。
以上两个解决方案首先以俄语出现在作者本科时编写的 Kvant [S3] 中。很久以后，这些解决方案以英文出 现在 [S1] 中，随后出现在 [S9] 中。您可能会觉得这个问题只能借助着色来解决。事实上，[S3] 包含不需 要着色的第三个证明。它还包含一个更复杂的问题，在哪里可以无限收集 $1 \times k$ 作者添加了一个，只有一 个， monomino。让我们来看看这个问题。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Solutions to Exercises

2.1. The area of an $\mathrm{L}$-tromino (see Figure 1.6) is equal to 3 . The area of the $4 \times 5$ rectangle is equal to 20 . Hence, in order to tile this rectangle by L-trominoes, it is necessary to use $\frac{20}{3}$ L-trominoes, which is impossible.

Generally, if an $a \times b$ rectangle can be tiled by L-trominoes, then $a b$ is divisible by 3 . This is a necessary condition for the existence of such a tiling.
2.2. Due to Exercise $2.1$, if an $a \times a$ square can be tiled by Ltrominoes, then $a$ is divisible by 3 . The $6 \times 6$ square can be decomposed into $2 \times 3$ blocks (Figure $2.3$ ), and consequently, the $6 \times 6$ square can be tiled by L-trominoes (see Figure 2.2). So, it remains to be seen whether the $3 \times 3$ square can be tiled by L-trominoes. The answer is “no.” Indeed, all the ways to cover the upper-left corner are shown in Figure 2.4.

In Figure 2.4(a), it is impossible to cover the upper right corner. In Figure 2.4(b), it is impossible to cover the lower left corner. Finally, in Figure 2.4(c), the only ways to cover the upper right corner is shown

in Figure 2.5. But then the three bottom squares remain uncovered. Thus the investigation of all possibilities shows that the $3 \times 3$ square cannot be tiled by L-trominoes. Consequently, the $6 \times 6$ square is the smallest tileable square.
2.3. If $b$ is divisible by 3 , then a $2 \times b$ rectangle can be decomposed into $2 \times 3$ blocks (see Figure 2.6) and, consequently, this rectangle can be tiled by L-trominoes. The reasoning in the solution to Exercise $2.1$ shows that there are no other possibilities. So, the $2 \times b$ rectangle can be tiled by L-trominoes if and only if $b$ is divisible by 3 .

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tetrominoes and Chromatic Reasoning

There exist five types of tetrominoes (Figure 3.1). We will call them O-, Z-, L-, T-, and I-tetrominoes. In this section we consider the problem of tiling a rectangle by O-, Z-, L-, and T-tetrominoes. For I-tetrominoes, the problem will be generalized and solved in the next section. In order to solve these problems we will often use “color” reasoning that was mentioned in Section 1.

Exercise 3.1. Prove that the $m \times n$ rectangle can be tiled with Otetrominoes if and only if $m, n$ are even.

Exercise 3.2. Prove that no rectangle can be tiled with Z-tetrominoes. The above exercises do not require the use of “color” reasoning. But such reasoning will be very useful for other types of tetrominoes.
Exercise 3.3. Prove that if all squares of an $a \times b$ chess-board are colored in two colors black and white (Figure 3.2), then the difference between the number of black squares and the number of white squares is equal to either 0 or $\pm 1$.

Exercise 3.4. Prove that if an $m \times n$ rectangle is colored in two colors, black and white, by columns (Figure 3.3), then the difference between the number of black squares and the number of white squares is equal to either 0 or $\pm m$.

Fxercise 3.5. Prove that if an $a \times b$ rectangle is tiled with I.tetrominoes, then the number of tiles is even.

This exercise shows that the area of a rectangle tiled by $\mathrm{L}$ tetrominoes must be divisible by 8 .

It is obvious that the $2 \times 4$ rectangle can be tiled by two Ltetrominoes (Figure 3.4). The following problem arises naturally: What other rectangles can be tiled by tetrominoes of this type? Can you solve this problem on your own? If not, try to solve the following exercises to pave the way for a successful train of thought.

组合数学代写

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Solutions to Exercises

2.1. 的面积大号-tromino（见图 1.6）等于 3 。的面积4×5矩形等于 20 。因此，为了用 L-trominoes 平铺这个矩形，有必要使用203L-trominoes，这是不可能的。

一般来说，如果一个一种×b矩形可以用 L-trominoes 平铺，然后一种b能被 3 整除。这是这种平铺存在的必要条件。
2.2. 由于运动2.1， 如果一种×一种正方形可以用 Ltrominoes 平铺，然后一种能被 3 整除。这6×6正方形可以分解为2×3块（图2.3), 因此,6×6正方形可以用 L-trominoes 平铺（见图 2.2）。因此，是否有待观察3×3正方形可以用 L-trominoes 平铺。答案是不。” 事实上，所有覆盖左上角的方法如图 2.4 所示。

在图2.4(a)中，不可能覆盖右上角。在图2.4(b)中，左下角是不可能被覆盖的。最后，在图 2.4(c) 中，显示了覆盖右上角的唯一方法

在图 2.5 中。但是底部的三个方块仍然没有被覆盖。因此，对所有可能性的调查表明，3×3正方形不能被 L-trominoes 平铺。因此，6×6square 是最小的平铺正方形。
2.3. 如果b能被 3 整除，那么 a2×b矩形可以分解为2×3块（见图 2.6），因此，这个矩形可以用 L-trominoes 平铺。Exercise 解决方案中的推理2.1表明没有其他可能性。所以2×b矩形可以被 L-trominoes 平铺当且仅当b能被 3 整除。

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tetrominoes and Chromatic Reasoning

存在五种类型的四联骨牌（图 3.1）。我们称它们为 O-、Z-、L-、T- 和 I- 四联骨牌。在本节中，我们考虑用 O-、Z-、L- 和 T- 四联骨牌拼接矩形的问题。对于 I-tetrominoes，问题将在下一节中推广和解决。为了解决这些问题，我们将经常使用第 1 节中提到的“颜色”推理。

练习 3.1。证明米×n矩形可以用 Otetrominoes 平铺当且仅当米,n是偶数。

练习 3.2。证明没有矩形可以用 Z-tetrominoes 平铺。上述练习不需要使用“颜色”推理。但这种推理对于其他类型的四联骨牌将非常有用。
练习 3.3。证明如果一个的所有正方形一种×b棋盘有黑白两种颜色（图 3.2），那么黑方格数和白方格数之差等于 0 或±1.

练习 3.4。证明如果一个米×n矩形按列用黑色和白色两种颜色着色（图 3.3），那么黑色方块的数量与白色方块的数量之差等于 0 或±米.

练习 3.5。证明如果一个一种×b矩形用 I.tetrominoes 平铺，那么平铺的数量是偶数。

这个练习展示了一个矩形的面积由大号四联骨牌必须能被 8 整除。

很明显2×4矩形可以由两个 Ltetromino 平铺（图 3.4）。下面的问题自然而然地出现了：还有哪些其他的矩形可以被这种类型的四联骨牌平铺？你能自己解决这个问题吗？如果没有，请尝试解决以下练习，为成功的思路铺平道路。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling a Checker Rectangle

Imagine you have an $m \times n$ rectangle $R$ and lots of dominoes (a domino is a $1 \times 2$ rectangle). It is easy to find the conditions under which $R$ can be tiled by dominoes, i.e., covered by dominoes, without any dominoes overlapping or sticking out over the boundary of $R$. Indeed, $R$ can be tiled by dominoes if and only if $m n$ is even (prove it!).

The problem becomes a bit more difficult if we want to tile the same rectangle with exactly two monominoes (a monomino is a $1 \times 1$ square) and many dominoes (Figure 1.1). Where can these two monominoes be placed?

In order to answer this question we color the rectangle $R$ in a chessboard fashion in two colors (Figure 1.2).

This coloring has a very nice property: regardless of how a domino is placed on the board, horizontally or vertically, it will cover exactly one square of each color (Figure 1.2). Therefore, the two monominoes must cover squares of different colors.

The famous mathematician Ralph E. Gomory found (and apparently never published himself ) a beautiful way to prove the converse, that no matter where the two monominoes are placed on the $m \times n$ board (where $m n$ is even and both $m$ and $n$ are greater than 1), as long as they are on different colors, the rest of the board can be tiled by dominoes.

Here is his proof. Supposing $n$ to be even (note at least one of the numbers $m, n$ must be even), Gomory created a labyrinth out of the board (Figure 1.3).

As you walk through this labyrinth, black and white squares alternate. Now let us cut the board along the walls of the labyrinth to get a checkered ring with alternating black and white squares (Figure 1.4).
It is clear that no matter what black and white squares we cover by monominoes, the number of squares between the monominoes (in both paths connecting them) must be even and therefore the rest of the ring can be tiled by dominoes.

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling Rectangles by Trominoes

Problems of tiling figures with tiles of an indicated shape (or cutting figures into parts of a given form) form a very interesting area of combinatorial geometry. It includes many fascinating exercises and research problems. Some of them we will consider in this section.

Here is an L-tromino (Figure 2.1). It is composed of three unit squares. (Note that there is one other tromino, the linear tromino, connecting three squares in a row. We will use this tromino in Section 4.) In this section we will address the following problem: How to tile a rectangle with L-trominoes. The first question is how to tile the $2 \times 3$ rectangle using L-trominoes. A solution is trivial (Figure 2.2).

We now offer a sequence of exercises. You are invited to find solutions. After several attempts (successful or not) we recommend you read our solutions at the end of the section.

Exercise 2.1. Is it possible to tile a $4 \times 5$ rectangle with L-trominoes?
Exercise 2.2. Find the smallest square that can be tiled with Ltrominoes.

Exercise 2.3. Find all integers $b$ such that a $2 \times b$ rectangle can be tiled using L-trominoes.

Exercise 2.4. Find all integers $b$ such that a $3 \times b$ rectangle can be tiled by L-trominoes.

Combining solutions to Exercises $2.3$ and 2.4, we obtain the following result.

Theorem 2.1. Let $a, b$ be integers such that $2 \leq a \leq 3$ and $a \leq b$. The $a \times b$ rectangle can be tiled by $L$-trominoes if and only if ab is divisible by 6.

Equivalently: the $a \times b$ rectangle with $2 \leq a \leq 3$ and $a \leq b$ can be tiled by L-trominoes if and only if one of the numbers $a, b$ is divisible by 2 and the other is divisible by 3 .

Now a new direction of research is clear: we will consider $a \times b$ rectangles in cases when $4 \leq a \leq b$. But first we would like to share a couple of “philosophical” observations.

组合数学代写

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling a Checker Rectangle

假设你有一个米×n矩形R和很多多米诺骨牌（多米诺骨牌是1×2矩形）。很容易找到在什么条件下R可以被多米诺骨牌平铺，即被多米诺骨牌覆盖，没有任何多米诺骨牌重叠或伸出边界R. 的确，R可以用多米诺骨牌平铺当且仅当米n是偶数（证明！）。

如果我们想用两个 monomino 平铺同一个矩形（一个 monomino 是一个1×1方形）和许多多米诺骨牌（图 1.1）。这两个单骨牌可以放在哪里？

为了回答这个问题，我们给矩形上色R以两种颜色呈棋盘状排列（图 1.2）。

这种着色有一个非常好的特性：无论多米诺骨牌如何放置在棋盘上，水平或垂直，它都会恰好覆盖每种颜色的一个正方形（图 1.2）。因此，这两个单骨牌必须覆盖不同颜色的方块。

著名数学家 Ralph E. Gomory 发现（显然他自己从未发表过）一个漂亮的方法来证明逆命题，无论两个单米诺骨牌放在米×n董事会（其中米n是偶数并且两者都是米和n大于 1)，只要它们在不同的颜色上，剩下的棋盘就可以用多米诺骨牌平铺。

这是他的证明。假如n是偶数（至少注意其中一个数字米,n必须是偶数），Gomory 在棋盘外创建了一个迷宫（图 1.3）。

当您穿过这个迷宫时，黑白方块交替出现。现在让我们沿着迷宫的墙壁切割木板，得到一个黑白方块交替出现的方格环（图 1.4）。
很明显，无论我们用单米诺骨牌覆盖哪些黑色和白色方块，单米诺骨牌之间（在连接它们的两条路径上）的方块数量必须是偶数，因此环的其余部分可以用多米诺骨牌平铺。

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling Rectangles by Trominoes

用指示形状的瓷砖拼贴图形（或将图形切割成给定形式的部分）的问题形成了组合几何的一个非常有趣的领域。它包括许多有趣的练习和研究问题。我们将在本节中考虑其中的一些。

这是一个 L-tromino（图 2.1）。它由三个单位正方形组成。（请注意，还有另一种 tromino，线性 tromino，将三个正方形连成一行。我们将在第 4 节中使用此 tromino。）在本节中，我们将解决以下问题：如何使用 L-tromino 拼贴矩形。第一个问题是如何平铺2×3使用 L-trominoes 的矩形。解决方案很简单（图 2.2）。

我们现在提供一系列练习。邀请您寻找解决方案。经过多次尝试（成功与否）后，我们建议您阅读本节末尾的解决方案。

练习 2.1。是否可以平铺一个4×5长方形与 L-trominoes？
练习 2.2。找到可以用 Ltrominoes 平铺的最小正方形。

练习 2.3。找出所有整数b这样一个2×b可以使用 L-trominoes 平铺矩形。

练习 2.4。找出所有整数b这样一个3×b矩形可以用 L-trominoes 平铺。

结合练习的解决方案2.3和2.4，我们得到以下结果。

定理 2.1。让一种,b是这样的整数2≤一种≤3和一种≤b. 这一种×b矩形可以平铺大号-trominoes 当且仅当 ab 可以被 6 整除。

等价于：一种×b矩形与2≤一种≤3和一种≤b可以被 L-tromino 平铺当且仅当其中一个数字一种,b能被 2 整除，另一个能被 3 整除。

现在一个新的研究方向很明确：我们将考虑一种×b在以下情况下的矩形4≤一种≤b. 但首先，我们想分享一些“哲学”观察。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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组合数学是一门研究可数或离散对象的科学。随着计算机科学日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显。

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我们提供的组合数学Combinatorial mathematics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
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数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|The Principle of Inclusion

Given a set $A$ and subsets $A_1$ and $A_2$, how many elements are in $A$ but not in either of $A_1$ and $A_2$ ? The answer, which is easily obtained from a Venn diagram, is $|A|-\left|A_1\right|-$ $\left|A_2\right|+\left|A_1 \cap A_2\right|$. The Principle of Inclusion/Exclusion (P.I.E.) is a generalization of this formula to $n$ sets. It will be convenient to introduce some notation: for $V \subseteq[n]$, denote
$$
A_V:=\bigcap_{i \in V} A_i .
$$
2.3.1 ThEOREM (Principle of Inclusion/Exclusion). Let $A$ be a finite set, and $A_1, \ldots, A_n$ subsets of $A$. Then
$$
\left|A \backslash\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\right|=\sum_{V \subseteq[n]}(-1)^{|V|}\left|A_V\right| .
$$
Proof: We take the right-hand side of (2.6) and rewrite it, thus showing it is equal to the left-hand side. Start by writing each set size as
$$
|X|=\sum_{a \in X} 1 .
$$
In the right-hand side of (2.6), each element $a \in A$ will now contribute to a number of terms, sometimes with a plus sign, sometimes with a minus. We consider the contribution of $a$ to each of the numbers $\left|A_V\right|$. Assume that $a$ occurs in $m$ of the sets $A_i$. Then $a \in A_V$ if and only if $a \in A_i$ for all $i \in V$. This can only happen if $V$ is a subset of the $m$ integers indexing sets containing $a$. There are precisely $\left(\begin{array}{l}m \ k\end{array}\right)$ subsets of these indices with exactly $k$ elements. It follows that the contribution of $a$ to the sum is
$$
\sum_{k=0}^m(-1)^k\left(\begin{array}{l}
m \
k
\end{array}\right)=(1-1)^m= \begin{cases}0 & \text { if } m>0 \
1 & \text { if } m=0\end{cases}
$$
where we used the binomial theorem and the fact that $0^0=1$. It follows that $a$ contributes to the sum if and only if $a$ is in none of the subsets $A_i$, and the result follows.

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Generating functions

Generating functions form a powerful and versatile tool in enumerative combinatorics. In this overview course we barely scratch the surface of the field. We will mostly employ them for two purposes:

• Solve recurrence relations
• Decompose a counting problem into easier problems
  We’ve seen an example of the first kind above, where we found an expression for the Fibonacci sequence. The second kind will lead to taking products of generating functions. We give another example.
  2.4.1 Example. In how many ways can change worth $n$ cents be given using a combination of pennies and nickels?

Let $a_n$ denote the number of ways to give change from $n$ cents using only pennies. Let $b_n$ be the number of ways to give change from $n$ cents using only nickels. Clearly $a_n=1$ for all $n \geq 0$, and $b_n=1$ if $n$ is divisible by 5 , and 0 otherwise. Write
$$
\begin{aligned}
&A(x):=\sum_{n \geq 0} a_n x^n=1+x+x^2+\cdots=\frac{1}{1-x} . \
&B(x):=\sum_{n \geq 0} b_n x^n=1+x^5+x^{10}+\cdots=\frac{1}{1-x^5} .
\end{aligned}
$$
Now if we want to combine pennies and nickels, we could first allocate the number of pennies, say $k$, and use nickels for the remainder. So the desired answer will be $\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. If we look at the product of the generating functions, we get
$$
A(x) B(x)=\sum_{n \geq 0}\left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) x^n,
$$
so the coefficient of $x^n$ contains exactly the right answer! Note that we can accommodate lots of extra side conditions in this method: use only an odd number of dimes, use up to twelve nickels, and so on.

This decomposition into simpler problems is usually most successful in an unlabeled context. For labeled problems often the exponential generating function is a better tool.

组合数学代写

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|The Principle of Inclusion

给定一个集合 $A$ 和子集 $A_1$ 和 $A_2$ ，有多少个元素 $A$ 但不在任何一个 $A_1$ 和 $A_2$ ? 答案很容易从文氏图中得到，是 $|A|-\left|A_1\right|-\left|A_2\right|+\left|A_1 \cap A_2\right|$. 包含/排除原则 (PIE) 是此公式的推广 $n$ 套。引入一些符号会很方便: for $V \subseteq[n]$, 表示
$$
A_V:=\bigcap_{i \in V} A_i
$$
2.3.1 ThEOREM（包含/排除原则）。让 $A$ 是一个有限集，并且 $A_1, \ldots, A_n$ 的子集 $A$. 然后
$$
\left|A \backslash\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\right|=\sum_{V \subseteq[n]}(-1)^{|V|}\left|A_V\right| .
$$
证明: 我们取（2.6) 的右边并重写它，从而证明它等于左边。首先将每个集合大小写为
$$
|X|=\sum_{a \in X} 1 .
$$
在 (2.6) 的右边，每个元素 $a \in A$ 现在将对许多术语做出贡献，有时带有加号，有时带有减号。我们考虑的贡 献 $a$ 对每个数字 $\left|A_V\right|$. 假使，假设 $a$ 发生在 $m$ 套的 $A_i$. 然后 $a \in A_V$ 当且仅当 $a \in A_i$ 对所有人 $i \in V$. 这只会发 生在 $V$ 是的一个子集 $m$ 整数索引集包含 $a$. 恰恰有 $(m k)$ 这些指数的子集完全 $k$ 元素。由此可见，贡献 $a$ 总和是
$$
\sum_{k=0}^m(-1)^k(m k)=(1-1)^m={0 \quad \text { if } m>01 \quad \text { if } m=0
$$
我们使用二项式定理的地方 $0^0=1$. 它遵循 $a$ 当且仅当 $a$ 不在任何子集中 $A_i$ ，结果如下。

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Generating functions

生成函数是枚举组合学中一个强大而通用的工具。在本概述课程中，我们几乎不涉及该领域的表面。我们主要出 于两个目的雇用他们:

• 求解递归关系
• 将计数问题分解为更简单的问题
  我们已经在上面看到了第一种示例，我们在其中找到了斐波那契数列的表达式。第二种会导致取生成函数 的乘积。我们再举一个例子。
  2.4.1 示例。有多少种方式可以改变价值 $n$ 使用便士和镇的组合给出美分?
  让 $a_n$ 表示找雯的方式的数量 $n$ 美分只使用便士。让 $b_n$ 是找零的方式的数量 $n$ 美分仅使用镍。清楚地 $a_n=1$ 对所 有人 $n \geq 0$ ，和 $b_n=1$ 如果 $n$ 可被 5 整除，否则为 0 。写
  $$
  A(x):=\sum_{n \geq 0} a_n x^n=1+x+x^2+\cdots=\frac{1}{1-x} . \quad B(x):=\sum_{n \geq 0} b_n x^n=1+x^5+x^{10}+\cdots=
  $$
  现在如果我们想合并便士和镍，我们可以先分配便士的数量，比如说 $k$ ，其余部分使用镍币。所以想要的答案将 是 $\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. 如果我们看一下生成函数的乘积，我们得到
  $$
  A(x) B(x)=\sum_{n \geq 0}\left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) x^n,
  $$
  所以系数 $x^n$ 包含完全正确的答案! 请注意，我们可以在此方法中容纳许多额外的附加条件：仅使用奇数个 10 美 分，最多使用 12 个镇等。
  这种分解为更简单问题的方法通常在末标记的上下文中最为成功。对于标记问题，指数生成函数通常是更好的工 具。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Closed formula

Consider the following functions, each of which is the answer to a combinatorial counting problem:
$$
\begin{aligned}
&f_1(n)=n^{n-2} \
&f_2(n)=n ! \sum_{k=0}^n(-1)^k / k ! \
&f_3(n)=\text { the nearest integer to } n ! / e \
&f_4(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\tau_1^n-\tau_2^n\right)
\end{aligned}
$$

A function like $f_1$ is a completely satisfactory answer, but it is understandable that few problems admit solutions like this. We often need sums in the answer, as in $f_2$. This is still fairly acceptable, especially since (as we will see soon) the terms of the sum have combinatorial meaning: they correspond to certain partial counts! Formulas $f_3$ and $f_4$ are inherently non-combinatorial, since they involve terms that are not even rational numbers (let alone integers). However, such formulas can still be insightful, and may have a less cluttered appearance (case in point: $f_2=f_3$ ).

We tend to refer to solutions that are pleasing as a solution in “closed form” or a “closed formula”. We don’t want to make that term precise, but definitely allowed are multiplication, division, addition, subtraction (each a finite number of times, independent of $n$ ), binomial coefficients with integers, exponentiation, and factorials. Sometimes (as in $f_4$ ), we are willing to accept arbitrary complex numbers.

While we don’t consider $f_2$ to be a closed formula, it is still much more enlightening, and much easier to compute than listing all objects it counts (as we will see). For more convoluted sums, it becomes harder to see the value, and in fact it is possible to write sums so complicated that evaluating them is no better than listing all objects.

Closed formulas for generating functions may involve classical functions like sin, cos, exp, log, as well as exponentiation (including arbitrary real exponents) and multiplication, division, addition, subtraction.

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Counting by bijection: spanning trees

The most satisfying way to count is to relate the objects you’re counting to much simpler objects, or (ideally) to objects which you already know how to count. In this section we will see a classical example of this: Cayley’s Theorem for counting the number of labeled spanning trees. That is, how many spanning trees are there on a fixed vertex set $V$ ? It is clear that the nature of the elements of $V$ is not important: we may as well take $V=[n]$, so the answer only depends on the size of $V$. Denote the number by $t(n)$. As before, we start with a table. The way we generate the trees is by first (using ad-hoc methods) determining all possible shapes of trees (“unlabeled trees on $n$ vertices”), and then finding all ways to assign the elements of $V$ to their labels.

Interestingly, the numbers in the right are equal to $n^{n-2}$. Cayley proved that this is in fact true for all $n$ :
2.2.1 THEOREM (Cayley’s Theorem). The number of spanning trees on a vertex set of size $n$ is $n^{n-2}$.

We will give two proofs of this important theorem. The first is a proof by bijection. We start by creating the Prüfer code $\left(y_1, \ldots, y_{n-1}\right)$ of a tree $T$ on vertex set $V=[n]$. This is done by recursively defining sequences $\left(x_1, \ldots, x_{n-1}\right)$ and $\left(y_1, \ldots, y_{n-1}\right)$ of vertices, and $\left(T_1, \ldots, T_{n-1}\right)$ of trees, as follows:

• $T_1:=T$.
• For $1 \leq i \leq n-1$, let $x_i$ be the degree-1 vertex of $T_i$ having smallest index.
• For $1 \leq i \leq n-1$, let $y_i$ be the neighbor of $x_i$ in $T_i$.
• For $1 \leq i \leq n-2$, let $T_{i+1}:=T_i-x_i$, that is, the tree obtained by removing vertex $x_i$ and edge $\left{x_i, y_i\right}$.
  2.2.2 Example. Consider the tree in Figure 2.1. The sequence $\left(x_1, \ldots, x_9\right)=(3,4,2,5,6,7,1$, $8,9)$ and the sequence $\left(y_1, \ldots, y_9\right)=(2,2,1,1,7,1,10,10,10)$.

First proof of Theorem 2.2.1: Consider a Prüfer sequence $\left(y_1, \ldots, y_{n-1}\right)$. Since each tree has at least two degree-1 vertices, vertex $n$ will never be removed. Hence $y_{n-1}=n$. Pick $k \in{1, \ldots, n-2}$. Since only degree-1 vertices are removed, it follows that the degree of vertex $v$ in tree $T_k$ is one more than the number of occurrences of $v$ among $\left(y_k, \ldots, y_{n-2}\right)$. So the degree-1 vertices in $T_k$ are precisely those vertices not occurring in
$$
\left{x_1, \ldots, x_{k-1}\right} \cup\left{y_k, \ldots, y_{n-2}\right}
$$

组合数学代写

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Closed formula

考虑以下函数，每个函数都是组合计数问题的答案:
$f_1(n)=n^{n-2} \quad f_2(n)=n ! \sum_{k=0}^n(-1)^k / k ! f_3(n)=$ the nearest integer to $n ! / e \quad f_4(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}$
像这样的功能 $f_1$ 是一个完全令人满意的答案，但可以理解的是，很少有问题承认这样的解决方案。我们经常需 要答案中的总和，例如 $f_2$. 这仍然是可以接受的，特别是因为（我们很快就会看到) 和的项具有组合意义：它们 对应于某些部分计数! 公式 $f_3$ 和 $f_4$ 本质上是非组合的，因为它们涉及的项甚至不是有理数 (更不用说整数 了) 。但是，这样的公式仍然很有见地，并且外观可能不那么混乱（例如： $f_2=f_3$ ).
我们倾向于将令人满意的解决方案称为“封闭形式”或“封闭公式”的解决方案。我们不想使该术语精确，但绝对允 许的是乘法、除法、加法、减法 (每个次数有限，独立于 $n$ )、具有整数、求幂和阶乘的二项式系数。有时 (如 $f_4$ ，我们愿意接受任意复数。
虽然我们不考虑 $f_2$ 作为一个封闭的公式，它仍然比列出它计算的所有对象（正如我们将看到的）更有启发性， 也更容易计算。对于更复杂的求和，更难看出其价值，事实上，可以将求和写得如此复杂，以至于评估它们并不 比列出所有对象更好。
生成函数的封闭公式可能涉及经典函数，如 sin、cos、exp、log，以及求幂 (包括任意实指数) 和乘法、除 法、加法、减法。

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Counting by bijection: spanning trees

最令人满意的计数方法是将您正在计数的对象与更简单的对象相关联，或者（理想情况下）与您已经知道如何计 数的对象相关联。在本节中，我们将看到一个经典示例：用于计算标记生成树数量的凯莱定理。即固定顶点集上 有多少生成树 $V$ ? 很明显，元素的性质 $V$ 并不重要: 我们不妨采取 $V=[n]$ ，所以答案只取决于的大小 $V$. 用表 示数字 $t(n)$. 和以前一样，我们从一张桌子开始。我们生成树的方式是首先 (使用临时方法) 确定所有可能的树 形状 (“末标记的树 $n$ 顶点”)，然后找到所有方法来分配元素 $V$ 到他们的标签。
有趣的是，右边的数字等于 $n^{n-2}$. 凯莱证明，这实际上对所有人都是正确的 $n$ :
2.2.1 定理（凯莱定理）。size 顶点集上生成树的数量 $n$ 是 $n^{n-2}$.
我们将给出这个重要定理的两个证明。第一个是双射证明。我们首先创建 Prüfer 代码 $\left(y_1, \ldots, y_{n-1}\right)$ 一棵树 $T$ 在顶点集上 $V=[n]$. 这是通过递归定义序列来完成的 $\left(x_1, \ldots, x_{n-1}\right)$ 和 $\left(y_1, \ldots, y_{n-1}\right)$ 的顶点，和 $\left(T_1, \ldots, T_{n-1}\right)$ 树，如下:

• $T_1:=T$.
• 为了 $1 \leq i \leq n-1 ， i 上 x_i$ 是的度数为 1 的顶点 $T_i$ 具有最小的索引。
• 为了 $1 \leq i \leq n-1 ＼mathrm{~ ， 让 ~} y_i$ 做邻居 $x_i$ 在 $T_i$.
• 为了 $1 \leq i \leq n-2$ ，让 $T_{i+1}:=T_i-x_i$ ，即去掉顶点得到的树 $x_i$ 和边缘 left{x_i, y_ilright $}$.
  2.2.2 示例。考虑图 $2.1$ 中的树。序列 $\left(x_1, \ldots, x_9\right)=(3,4,2,5,6,7,1,8,9)$ 和顺序 $\left(y_1, \ldots, y_9\right)=(2,2,1,1,7,1,10,10,10)$.
  定理 2.2.1 的第一个证明: 考虑一个Prüfer 序列 $\left(y_1, \ldots, y_{n-1}\right)$. 由于每棵树至少有两个度数为 1 的顶点，所 以 vertexn永远不会被删除。因此 $y_{n-1}=n$. 挑选 $k \in 1, \ldots, n-2$. 由于只删除了度数为 1 的顶点，因此可 以得出顶点的度数 $v$ 在树上 $T_k$ 比出现的次数多一 $v$ 之中 $\left(y_k, \ldots, y_{n-2}\right)$. 所以度数为 1 的顶点在 $T_k$ 恰恰是那些没 有出现在

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Some notation and terminology

If we use special notation, we normally explain it when it is first introduced. Some notation crops up often enough that we introduce it here:
$\mathbb{N} \quad$ The set of nonnegative integers ${0,1,2, \ldots}$
[n] The finite set of integers ${1,2, \ldots, n}$
$|X| \quad$ The size of the set $X$, i.e. the number of elements in it.
$\mathscr{P}(X)$ The power set of $X$, i.e. the set ${Y: Y \subseteq X}$.
Many of the structures we will study can be seen as set systems. A set system is a pair $(X, \mathscr{F})$, where $X$ is a finite set and $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{P}(X)$. We refer to $\mathscr{F}$ as a set family. Often we are interested in families with certain properties (“all sets have the same size”), or families whose members have certain intersections (“no two sets are disjoint”), or families that are closed under certain operations (“closed under taking supersets”).
An important example, that comes with a little bit of extra terminology, is that of a graph:
.2.1 Definition. A graph $G$ is a pair $(V, E)$, where $V$ is a finite set, and $E$ is a collection of size-2 subsets of $V$.

The members of $V$ are called vertices, the members of $E$ edges. If $e={u, v}$ is an edge, then $u$ and $v$ are the endpoints. We say $u$ and $v$ are adjacent, and that $u$ and $v$ are incident with $e$. One can think of a graph as a network with set of nodes $V$. The edges then denote which nodes are connected. Graphs are often visualized by drawing the vertices as points in the plane, and the edges as lines connecting two points.
.2.2 Definition. The degree of a vertex $v$, denoted $\operatorname{deg}(v)$, is the number of edges having $v$ as endpoint. A vertex of degree 0 is called isolated.

If you have never encountered graphs before, an overview of the most basic concepts is given in Appendix A.

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Generating function

Having the ability to compute a number does not mean we know all about it. Is the sequence monotone? How fast does it grow? For questions like these we have a very powerful tool, which at first sight may look like we are cheating: the generating function. A generating function is, initially, nothing but a formalism, a way to write down the sequence. We write down an infinite polynomial in $x$, where $f(n)$ is the coefficient of $x^n$ :
$$
F(x):=\sum_{n \geq 0} f(n) x^n .
$$
Again, in spite of the notation, we do (for now) not see this as a function, just as a way to write down the sequence. In particular, we do not (yet) allow substitution of anything for $x$.

An interesting thing happens if we try to turn each side of the recurrence relation into a generating function. We multiply left and right by $x^n$, and sum over all values of $n$ for which all terms are defined (in this case $n \geq 1$ ). This gives
$$
\sum_{n \geq 1} f(n+1) x^n=\sum_{n \geq 1} f(n) x^n+\sum_{n \geq 1} f(n-1) x^n .
$$
Next, we multiply both sides by $x$, and extract a factor of $x$ from the last sum:
$$
\sum_{n \geq 1} f(n+1) x^{n+1}=x\left(\sum_{n \geq 1} f(n) x^n+x \sum_{n \geq 1} f(n-1) x^{n-1}\right)
$$
A change of variables in the first and third sum gives:
$$
\sum_{m \geq 2} f(m) x^m=x\left(\sum_{n \geq 1} f(n) x^n+x \sum_{m \geq 0} f(m) x^m\right)
$$
Finally we add terms to the sums to make all range from 0 to infinity:
$$
\sum_{m \geq 0} f(m) x^m-f(0) x^0-f(1) x^1=x\left(\sum_{n \geq 0} f(n) x^n-f(0) x^0+x \sum_{m \geq 0} f(m) x^m\right) .
$$

组合数学代写

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Some notation and terminology

如果我们使用特殊的表示法，我们通常会在它第一次被介绍时进行解释。一些符号经常出现，我们在这里介绍 它:
$\mathbb{N}$ 非负整数集 $0,1,2, \ldots$
[n]有限整数集 $1,2, \ldots, n$
$|X|$ 集合的大小 $X$ ，即其中的元素个数。
$\mathscr{P}(X)$ 的幂集 $X$ ，即集合 $Y: Y \subseteq X$.
我们将研究的许多结构都可以看作是集合系统。一套系统是一对 $(X, \mathscr{F})$ ，在哪里 $X$ 是一个有限集并且
$\mathscr{F} \subseteq \mathscr{P}(X)$. 我们指的是 $\mathscr{F}$ 作为一个固定的家庭。我们通常对具有特定属性的族 (“所有集合都具有相同的大
小”)，或者其成员具有特定交集的族（”没有两个集合不相交”)，或者在特定操作下闭合的族 (“closed under taking”）感兴趣。超集”)。
一个重要的例子，带有一些额外的术语，是图形的例子:
$.2 .1$ 定义。一张图 $G$ 是一对 $(V, E)$ ， 在哪里 $V$ 是一个有限集，并且 $E$ 是 size-2 子集的集合 $V$.
的成员 $V$ 被称为顶点，其中的成员 $E$ 边缘。如果 $e=u, v$ 是一条边，那么 $u$ 和 $v$ 是端点。我们说 $u$ 和 $v$ 是相邻的， 并且 $u$ 和 $v$ 与 $e$. 人们可以将图形视为具有一组节点的网络 $V$. 然后边表示连接了哪些节点。通常通过将顶点绘制为 平面中的点，将边绘制为连接两点的线来可视化图形。
$.2 .2$ 定义。顶点的度数 $v$ ，表示 $\operatorname{deg}(v)$ ，是边的数量 $v$ 作为端点。度为 0 的顶点称为孤立的。
如果您以前从末接触过图形，附录 A 中提供了最基本概念的概述。

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Generating function

具有计算数字的能力并不意味着我们对它了如指掌。序列是单调的吗? 它的增长速度有多快? 对于这些问题，我 们有一个非常强大的工具，乍一看我们可能在作弊: 生成函数。生成函数最初只是一种形式主义，一种写下序列 的方法。我们写下一个无限多项式 $x$ ， 在哪里 $f(n)$ 是系数 $x^n$ :
$$
F(x):=\sum_{n \geq 0} f(n) x^n .
$$
同样，尽管有符号，我们（现在）不将其视为函数，只是作为记下序列的一种方式。特别是，我们 (还) 不允许 用任何东西代替 $x$.
如果我们试图将递归关系的每一边都变成生成函数，就会发生一件有趣的事情。我们左右相乘 $x^n$ ，并对所有值求 和 $n$ 为此定义了所有术语 (在这种情况下 $n \geq 1$ ). 这给
$$
\sum_{n \geq 1} f(n+1) x^n=\sum_{n \geq 1} f(n) x^n+\sum_{n \geq 1} f(n-1) x^n .
$$
接下来，我们将两边乘以 $x$ ，并提取一个因子 $x$ 从最后一笔：
$$
\sum_{n \geq 1} f(n+1) x^{n+1}=x\left(\sum_{n \geq 1} f(n) x^n+x \sum_{n \geq 1} f(n-1) x^{n-1}\right)
$$
改变第一个和第三个和中的变量给出:
$$
\sum_{m \geq 2} f(m) x^m=x\left(\sum_{n \geq 1} f(n) x^n+x \sum_{m \geq 0} f(m) x^m\right)
$$
最后，我们将项添加到总和中，使所有范围从 0 到无穷大：
$$
\sum_{m \geq 0} f(m) x^m-f(0) x^0-f(1) x^1=x\left(\sum_{n \geq 0} f(n) x^n-f(0) x^0+x \sum_{m \geq 0} f(m) x^m\right)
$$

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金融工程代写

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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