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数学代写|数论作业代写number theory代考|Security versus Authenticity

We finish this chapter by discussing the need for authenticity as well as security in modern digital communication. In Example $6.5$ Alice decrypts Bob’s message to meet him at 8 , but how can she be sure that Bob sent the message? Perhaps it was the evil Eve who actually sent it and plans to trick her into giving up her decrypting exponent $d$ when they meet. Alice would like to know that the message from Bob is authentic. Well, it turns out that RSA can also be used to establish authenticity as well as guarantee security, via what’s called a digital signature. This can be done by having as the last packet in a message a “signature” which, unlike the main part of the message, is encoded using the sender’s public modulus and private decoding exponent.

Here’s how it works. Let us now denote Alice’s public keys by $n_A$ and $e_A$ and her private decrypting key by $d_A$. Of course Bob can also have public and private keys which we shall denote by $n_B, e_B$, and $d_B$. Now Bob wants to send the message $m$ and his signature $s$ to Alice. As before he uses her public modulus and encrypting exponent on the $m$, but for the signature part he uses his own public modulus and his private decrypting exponent. Hence Alice receives two numbers $c$ and $t$, say, which are
$$
c=m^{e_A}\left(\bmod n_A\right) ; t=s^{d_B}\left(\bmod n_B\right) .
$$
Now upon receipt of the pair $(c, t)$, she can decrypt both as follows:
$$
m=c^{d_A}\left(\bmod n_A\right) ; s=t^{e_B}\left(\bmod n_B\right) .
$$
If the message really was from Bob, the resulting digitized signature $s$, when “undigitized,” should make sense. On the other hand, if the signature was actually from anyone besides Bob, what would come out of her computation for $s$, when undigitized, would definitely not be $s$, but rather something unrecognizable.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Solved Problems

6.1. Using the exact same linear encryption scheme as in Example 6.1, my broker sends me an encrypted reply to my “SELL” message. It translates as “EKMC.” By decrypting, what is her message?
Solution:
The encoded message EKMC, translated into numbers, is the set ${4,10,12,2}$. We now subtract 12 from each of these and then multiply by the inverse of 5 in $\mathbb{Z}_{26}$, which is 21 . Modulo 26 this gives us
$$
\begin{aligned}
21({4-12,10-12,12&-12,2-12}) \equiv-5({-8,-2,0,-10}) \
& \equiv{14,10,0,24}
\end{aligned}
$$
which translates to OKAY.

Primitive Ronts and the Diffie-Hellman Key Fxchange Method
6.2. (a) Find the smallest primitive root in $\mathbb{Z}{13}$. (b) Assume that Alice and Bob are using the Diffie-Hellman key exchange method to create a common secure key and have agreed on 13 for the modulus and the answer of Part (a) as the primitive root. If Alice chooses her secret number to be $a=3$ and Bob chooses his secret number to be $b=5$, determine the common key. Solution: (a) As we saw in Example 6.3, since $\phi(13-1)=4$, there will be four primitive roots in $\mathbb{Z}{13}$. Moreover, if $k$ is the smallest exponent on an element $a$ of $\mathbb{Z}_{13}$ for which $a^k \equiv 1(\bmod 13)$, then $k$ divides $13-1=12$. Hence, testing 2 , we compute that $2^6=64 \equiv 12 \equiv$ $-1(\bmod 13)$, so $2^{12} \equiv 1(\bmod 13)$, and 12 is the smallest such exponent, so 2 is a primitive root modulo 13.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写数论代考|安全与真实性

我们通过讨论现代数字通信中对真实性和安全性的需求来结束本章。示例$6.5$中，Alice解密了Bob的消息，并在8点与Bob见面，但是她如何确定Bob发送了消息呢?也许是邪恶的夏娃真正发送了它，并计划在他们见面时欺骗她放弃她的解密指数$d$。Alice想知道Bob发来的消息是否真实。事实证明，通过所谓的数字签名，RSA也可以用来建立真实性和保证安全性。这可以通过在消息的最后一个包中添加一个“签名”来实现。与消息的主要部分不同，“签名”是使用发送方的公共模量和私有解码指数进行编码的

下面是它的工作原理。现在让我们用$n_A$和$e_A$表示Alice的公钥，用$d_A$表示她的私有解密密钥。当然Bob也可以有公钥和私钥，我们将用$n_B, e_B$和$d_B$来表示。现在Bob想将消息$m$和他的签名$s$发送给Alice。和前面一样，他在$m$上使用了她的公共模量和加密指数，但是对于签名部分，他使用了他自己的公共模量和他的私有解密指数。因此，Alice接收到两个数字$c$和$t$，它们分别是
$$
c=m^{e_A}\left(\bmod n_A\right) ; t=s^{d_B}\left(\bmod n_B\right) .
$$
现在，在接收到这对数字$(c, t)$之后，她可以按以下方式对这两个数字进行解密:
$$
m=c^{d_A}\left(\bmod n_A\right) ; s=t^{e_B}\left(\bmod n_B\right) .
$$
如果消息真的来自Bob，那么得到的数字化签名$s$，当“非数字化”时，应该是有意义的。另一方面，如果签名实际上来自Bob以外的任何人，那么她对$s$的计算得到的结果，经过非数字化处理后，肯定不是$s$，而是一些无法识别的东西。

数学代写|数论作业代写数论代考|解决的问题

使用与示例6.1完全相同的线性加密方案，我的代理向我的“SELL”消息发送一个加密回复。翻译过来就是“EKMC”。通过解密，她的信息是什么?
解决方案:
编码消息EKMC，翻译成数字，是集合${4,10,12,2}$。现在每个数减去12然后在$\mathbb{Z}_{26}$中乘以5的倒数，也就是21。取模26得到
$$
\begin{aligned}
21({4-12,10-12,12&-12,2-12}) \equiv-5({-8,-2,0,-10}) \
& \equiv{14,10,0,24}
\end{aligned}
$$
翻译成OKAY.

原始Ronts和Diffie-Hellman键Fxchange方法
(a)在$\mathbb{Z}{13}$中找到最小的原语根。(b)假设Alice和Bob正在使用Diffie-Hellman密钥交换方法来创建一个公共安全密钥，并同意以13作为模数，以(a)部分的答案作为原根。如果Alice选择她的密匙是$a=3$, Bob选择他的密匙是$b=5$，那么确定公共密匙。解决方案:(a)正如我们在例6.3中看到的，由于$\phi(13-1)=4$, $\mathbb{Z}{13}$中将有四个原语根。此外，如果$k$是$\mathbb{Z}_{13}$的元素$a$上的最小指数，对于该元素$a^k \equiv 1(\bmod 13)$，则$k$除$13-1=12$。因此，在测试2中，我们计算出$2^6=64 \equiv 12 \equiv$$-1(\bmod 13)$，因此$2^{12} \equiv 1(\bmod 13)$, 12是最小的指数，因此2是13的原根模

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Diffie-Hellman Key Exchange

We are now in a position to describe Diffie’s and Hellman’s idea. Let us suppose that Alice and Bob wish to communicate securely by setting up a common key only they will know. This common, secure key might be used, for example, to be the multiplier $m$ in a linear encryption system, as discussed previously. Here are the steps they follow:
(1) They agree upon a large prime $p$ to act as the modulus (in practice, $p$ may have 100 decimal digits or more!), and they agree upon a primitive root $g$ of $\mathbb{Z}_p$. We leave aside the difficulties involved in identifying such a large prime and such a primitive root, but there are quick algorithms to accomplish both of these tasks. (2) Alice chooses a number $a$ and Bob likewise chooses a number $b$, both satisfying that $2 \leq a, b \leq p-2$. For security reasons, it is essential that Alice keeps her number $a$ to herself and that Bob also keeps his number $b$ to himself.
(3) Now Alice computes $g^a(\bmod p)$ and sends this number $c$ to Bob. Bob then computes $c^b(\bmod p)$. Notice that the net effect is that Bob (without knowing $a)$ has then the value $g^{a b}(\bmod p)$, since
$$
c^b \equiv\left(g^a\right)^b \equiv g^{a b} \quad(\bmod p) .
$$
(4) In the same way, Bob calculates $g^h(\bmod p)$ and sends this number $d$ to Alice. She then computes $d^a(\bmod p)$, but again notice that she (without knowing $b$ ) has the same value
$$
d^a \equiv\left(g^b\right)^a \equiv g^{b a} \quad(\bmod p) .
$$

(5) But now $g^{a b}(\bmod p)=g^{b a}(\bmod p)$, and we have arrived at a secret common key, namely the number $g^{a b}(\bmod p)$, which Alice and Bob can now use for secure communication. Note that an evil eavesdropper Eve cannot obtain this key from the information exchange since she will only have seen the numbers $c$ and $d$. Even if Eve knows $p$ and $g$ (which Alice and Bob had to agree on to get started), she cannot compute the common key since she does not know $a$ and $b$. After a couple of examples we shall discuss this point further.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Public Key Cryptography and the RSA System

Whereas the Diffie-Hellman key exchange method depends upon Fermat’s Theorem (Theorem 5.1) and on the existence of primitive roots in the set $\mathbb{Z}_p$ where $p$ is prime, the cryptographic system we shall now introduce, called the RSA system, depends instead on Euler’s Function and Euler’s Theorem (Theorem 5.4), as introduced in the previous chapter. The system is named after its founders Ronald Rivest, Adi Shamir, and Leonard Adleman; see [11]. Though introduced in the late 1970’s, this system remains in wide use today for digital communications of all sorts, including in particular financial transactions such as on-line payments with a credit card.

An important new idea in the RSA system is that it involves public keys. This conceptual breakthrough showed that it is possible to avoid the dependence on private keys which themselves require secure exchange. As designed in RSA, the public keys are made possible by the fact that factorization of integers is hard, especially when the primes involved in the factorization are large.
So let us suppose that Alice now would like anyone to be able to send her a secure encrypted message which she and only she can decrypt. Here is her procedure:
(1) She selects two large primes $p$ and $q$ of the same approximate size and carefully keeps these choices private! In practice these primes need to have at least 100 decimal digits to guarantee security. She then computes her modulus $n=p q$.
(2) Now Euler’s Function and Theorem come in. She computes $\phi(n)=\phi(p q)=(p-1)(q-1)$ and keeps this value private! Now she selects a number $e$, called her encrypting exponent, which by using the Euclidean Algorithm she carefully checks is relatively prime to $\phi(n)$. (If it is not relatively prime to $\phi(n)$, she picks another $e$ and checks it, etc.) As we saw in Lemma 3.3, this calculation can be run backwards to discover the multiplicative inverse $d$ (called the decrypting exponent) of $e$ modulo $\phi(n)$. That is, for some positive integer $k$, we have $e d-k \phi(n)=1$, so that $e d=1+k \phi(n)$. Again, she keeps the value of $d$ very secret.
(3) She publishes, for all the world (including the eavesdropper Eve) to see, her modulus $n$ and her encrypting exponent $e$. This is why RSA is an example of public key cryptography. She keeps the values of $p$ and $q$ a secret, so in addition the values of $\phi(n)$ and in particular the decrypting exponent $d$ are unknown to the outside world. She is now ready to receive messages encrypted via her public $n$ and $e$ which she alone can decrypt.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Diffie-Hellman Key Exchange

.

我们现在可以描述迪菲和海尔曼的想法了。让我们假设Alice和Bob希望通过设置一个只有他们自己知道的公共密钥来安全地通信。例如，如前所述，这个通用的安全密钥可以用作线性加密系统中的乘法器$m$。
(1)他们一致同意一个大素数$p$作为模数(实际上，$p$可能有100位或更多的小数!)，他们一致同意$\mathbb{Z}_p$的原根号$g$。我们不考虑识别如此大的质数和原始根所涉及的困难，但有一些快速的算法可以完成这两项任务。(2) Alice选择一个数字$a$, Bob同样选择一个数字$b$，两者都满足$2 \leq a, b \leq p-2$。为了安全的原因，Alice把她的号码$a$留给自己，Bob也把他的号码$b$留给自己。
(3)现在Alice计算$g^a(\bmod p)$并把这个号码$c$发送给Bob。然后Bob计算$c^b(\bmod p)$。注意，最终结果是Bob(不知道$a)$的情况下，的值是$g^{a b}(\bmod p)$，因为
$$
c^b \equiv\left(g^a\right)^b \equiv g^{a b} \quad(\bmod p) .
$$
(4))以同样的方式，Bob计算$g^h(\bmod p)$并将这个数字$d$发送给Alice。然后她计算$d^a(\bmod p)$，但是再次注意到她(不知道$b$)具有相同的值
$$
d^a \equiv\left(g^b\right)^a \equiv g^{b a} \quad(\bmod p) .
$$

但是现在是$g^{a b}(\bmod p)=g^{b a}(\bmod p)$，我们已经得到了一个秘密的公共密钥，即数字$g^{a b}(\bmod p)$, Alice和Bob现在可以使用这个数字进行安全通信。请注意，邪恶的窃听者Eve无法从信息交换中获得这个密钥，因为她只会看到数字$c$和$d$。即使Eve知道$p$和$g$(这是Alice和Bob在开始之前必须同意的)，她也不能计算公共密钥，因为她不知道$a$和$b$。在举了几个例子之后，我们将进一步讨论这一点

数学代写|数论作业代写数论代考|公钥密码术和RSA系统

Diffie-Hellman密钥交换方法依赖于费马定理(定理5.1)和在$p$为素数的集合$\mathbb{Z}_p$中存在原始根，而我们现在要介绍的RSA密码系统则依赖于上一章介绍的欧拉函数和欧拉定理(定理5.4)。该系统以其创始人Ronald Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman的名字命名;参见[11]。虽然该系统于20世纪70年代末引入，但时至今日仍广泛应用于各种数字通信，特别是金融交易，如信用卡在线支付

RSA系统中一个重要的新思想是它涉及到公钥。这一概念上的突破表明，有可能避免对私钥的依赖，私钥本身需要安全交换。正如在RSA中设计的那样，由于整数的因数分解非常困难，特别是当涉及因数分解的质数很大时，公钥就成为可能。所以让我们假设Alice现在希望任何人能够给她发送一条安全的加密信息，并且只有她能够解密。
(1)她选择两个大素数 $p$ 和 $q$ 差不多大小，小心翼翼地把这些选择保密!实际上，为了保证安全性，这些质数至少需要有100位小数。然后计算她的模量 $n=p q$
(2)现在引入欧拉函数和定理。她会计算 $\phi(n)=\phi(p q)=(p-1)(q-1)$ 并保持此值为私有!现在她选了一个号码 $e$她用欧几里得算法(Euclidean Algorithm)仔细检验了这个指数是相对的质数 $\phi(n)$。(如果它不是相对的 $\phi(n)$，她又选了一个 $e$ 就像我们在引理3.3中看到的，这个计算可以反向运行来发现乘法逆 $d$ 的(称为解密指数) $e$ 模 $\phi(n)$。也就是说，对于某个正整数 $k$，我们有 $e d-k \phi(n)=1$，因此 $e d=1+k \phi(n)$。再一次，她保留了 $d$ 她公开了她的模子，让全世界(包括偷听的伊芙)看到 $n$ 和她的加密指数 $e$。这就是为什么RSA是公钥密码学的一个例子。她保持着……的价值观 $p$ 和 $q$ 一个秘密，所以除了价值 $\phi(n)$ 特别是解密指数 $d$ 都不为外界所知。她现在已经准备好通过她的公众号接收加密的信息 $n$ 和 $e$ 只有她能解密

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Basics of Encryption

Let us start by discussing the basic idea of encryption and the need for one or more keys for that encryption to work. Here is an example of a relatively simple encryption technique.

Example 6.1. Suppose I want to send the message “SELL” to my stock broker but I want the message to be encrypted so that only she knows what I want. A simple technique is called linear encryption, which in this case would involve using a modulus of 26 and two keys, a multiplier $m$ (which must be relatively prime to 26) and an adder $b$. Then if $x$ is a numerical representation of a letter (say $\mathrm{A}=0, \mathrm{~B}=1$, and so on), then my encryption of each letter $x$ will be $y=m x+b(\bmod 26)$ and her decryption would then be $x=m^{-1}(y-b)(\bmod 26)$. What she and I need to do before any communication can occur is agree on our two private keys $m$ and $b$, and, using the Euclidean Algorithm, we can each compute the multiplicative inverse $m^{-1}$ of $m$ in $\mathbb{Z}_{26}$. So, suppose we agree on $m=5$ and $b=12$. Since $\mathrm{S}=18, \mathrm{E}=4$ and $\mathrm{L}=11$, I now do the three computations modulo $26: 5(18)+12 \equiv 24,5(4)+12 \equiv 6$, and $5(11)+12 \equiv 15(\bmod 26)$, and send over to her ${24,6,15,15}$ (that is, “YGPP”). Since $m^{-1}=21$, she now computes (again modulo 26) $21(24-12) \equiv 18,21(6-12) \equiv 4$, and $21(15-12) \equiv 11$; that is, she decrypts the message to ${18,4,11,11}$, which is, of course, “SELL.”

The primary point for us in this example is that my broker and I need to share a private key (or keys) to do secure communication, but how can we securely agree on the shared keys? The point is that we need shared secure keys to communicate, but, ironically, we need other keys to communicate our desired keys, and so on. What was traditionally used was a “trusted carrier,” but who/what is that? An answer to this seemingly unsolvable situation would be some method by which a key or keys can be agreed upon with an unsecured communication exchange which does not reveal what the keys are to anyone but the two communicators, even if the process is somehow hacked by an outsider. This is what Diffie and Hellman devised in the 1970’s (see [2]). Their system, which we describe below, was for example used during the Cold War when the United States and the Soviet Union wanted to establish their “hotline,” and it continues to be used in setting up extremely fast and secure modern computer communication channels.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Primitive Roots

Before describing the Diffie-Hellman method, we need to investigate the multiplicative structure of $\mathbb{Z}_p$ where $p$ is prime. Fermat’s Theorem tells us that if $a$ is a non-zero element of $\mathbb{Z}_p$, the integers modulo $p$, then $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$. A question is: Is $p-1$ the smallest exponent on $a$ for which the reduced answer is 1? Let’s look at a couple of examples.

Example 6.2. (a) For each non-zero element $a$ of $\mathbb{Z}_{11}$, the following chart shows the smallest power $k$ for which $a^k \equiv 1(\bmod 11)$ :

We see then that four of the ten non-zero elements $(2,6,7$ and 8) of $\mathbb{Z}{11}$ need to be raised all the way to the 10-th power to get to 1 . Such an element will be called a primitive root of $\mathbb{Z}{11}$ (see the general definition below). We also note that the number of primitive roots here, namely 4 , is given by $\phi(11-1)=4$ ( $\phi$ of course being Euler’s Function). This will in fact be true in general: the number of primitive roots of the prime $p$ is $\phi(p-1)$. Hence we have a way of counting how many primitive roots there are in $\mathbb{Z}_p$, but not necessarily an easy way to identify which elements they are.
(b) If we were to do the same experiment for $p=7$, we would find that there are two primitive roots (namely 3 and 5), i.e., two elements which must be raised all the way to the 6-th power modulo 7 to get an answer of 1 . Note that $\phi(7-1)=2$.

We make then the following definition: Suppose $a$ is a non-zero element of $\mathbb{Z}_p$ where $p$ is prime and suppose that $k$ is the smallest exponent such that $a^k \equiv 1(\bmod p)$. If $k=p-1$, then $a$ is called a primitive root of $\mathbb{Z}_p$.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Basics of Encryption

. The basic of Encryption

让我们从讨论加密的基本思想和加密工作需要一个或多个密钥开始。下面是一个相对简单的加密技术的例子

例6.1假设我想将消息“SELL”发送给我的股票经纪人，但我希望该消息被加密，以便只有她知道我想要什么。一种简单的技术称为线性加密，在本例中，它将涉及使用26的模数和两个密钥，一个乘数$m$(它必须相对于26为素数)和一个加法器$b$。然后，如果$x$是一个字母的数字表示(比如$\mathrm{A}=0, \mathrm{~B}=1$等等)，那么我对每个字母$x$的加密将是$y=m x+b(\bmod 26)$，然后她的解密将是$x=m^{-1}(y-b)(\bmod 26)$。在进行任何通信之前，她和我需要做的是就我们的两个私钥$m$和$b$达成一致，并且使用欧氏算法，我们可以各自在$\mathbb{Z}_{26}$中计算$m$的乘法逆$m^{-1}$。那么，假设我们同意$m=5$和$b=12$。从$\mathrm{S}=18, \mathrm{E}=4$和$\mathrm{L}=11$开始，我现在做了$26: 5(18)+12 \equiv 24,5(4)+12 \equiv 6$和$5(11)+12 \equiv 15(\bmod 26)$的三个计算，并发送到她的${24,6,15,15}$(即“YGPP”)。从$m^{-1}=21$开始，她现在计算(同样对26取模)$21(24-12) \equiv 18,21(6-12) \equiv 4$和$21(15-12) \equiv 11$;也就是说，她将消息解密到${18,4,11,11}$，当然，这是“卖出”。

在这个例子中，我们的主要观点是，我的代理和我需要共享一个私钥(或多个密钥)来进行安全通信，但是我们如何安全地就共享密钥达成一致呢?关键是我们需要共享的安全密钥来通信，但讽刺的是，我们需要其他密钥来通信我们所需的密钥，以此类推。传统上使用的是“可信的载体”，但这是谁/什么?这种看似无法解决的情况的答案是，通过某种方法，可以在不安全的通信交换中商定一个或多个密钥，这种通信交换不向除两个通信方以外的任何人透露密钥是什么，即使该过程以某种方式被外部黑客入侵。这是迪菲和海尔曼在20世纪70年代设计的(见[2])。例如，他们的系统，我们将在下面描述，在冷战期间美国和苏联想要建立他们的“热线”，并继续使用它来建立极其快速和安全的现代计算机通信渠道

数学代写|数论作业代写number theory代考|Primitive Roots

在描述Diffie-Hellman方法之前，我们需要研究$\mathbb{Z}_p$的乘法结构，其中$p$是素数。费马定理告诉我们，如果$a$是$\mathbb{Z}_p$的一个非零元素，整数对$p$取模，那么$a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$。问题是:$p-1$是$a$上最小的指数吗?让我们看几个例子

(a)对于$\mathbb{Z}_{11}$的每个非零元素$a$，下表显示了$a^k \equiv 1(\bmod 11)$:

时的最小幂$k$

我们看到十个非零元素中的四个 $(2,6,7$ 和8) $\mathbb{Z}{11}$ 需要一直取到10次方才能得到1。这样的元素称为的原根 $\mathbb{Z}{11}$ (参见下面的一般定义)。我们还注意到这里的原根数，即4，是由 $\phi(11-1)=4$ ( $\phi$ 当然是欧拉函数)。这在一般情况下是成立的质数的原始根数 $p$ 是 $\phi(p-1)$。因此，我们有了一种计算有多少个原始根的方法 $\mathbb{Z}_p$
(b)如果我们要做同样的实验 $p=7$，我们会发现有两个原根(即3和5)，即两个元素必须一直求到6次模7才能得到1。注意 $\phi(7-1)=2$.

我们作出以下定义:假设$a$是$\mathbb{Z}_p$的一个非零元素，其中$p$是素数，并且假设$k$是最小的指数，使得$a^k \equiv 1(\bmod p)$。如果$k=p-1$，则$a$被称为$\mathbb{Z}_p$的原语根

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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我们提供的数论number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
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数学代写|数论作业代写number theory代考|Answers to Selected Supplementary Problems

1.13. (a) True since $644=7(92)$. (b) True since $644=-7(-92)$.
(c) False since the remainder is 4 , not $0 . \quad$ (d) True since $2916=$ $243(12)$
(e) True since $16 m-12=4(4 m-3)$. (f) True since $-7 m=$ $m(-7)$.
(g) False since the remainder is $3 m$, not 0 . (h) True since $-k^{3}+$ $2 k=k\left(-k^{2}+2\right)$.
1.15. (a) $487=14(34)+11$, i.e., $q=34$ and $r=11$.
(b) $-386=27(-15)+19$, i.e., $q=-15$ and $r=19$.
1.16. Since $486=15 a+6$, we get $a=480 / 15=32$.
1.17. $44=2^{2} \cdot 11,111=3 \cdot 37$, so $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
1.19. (a) $F_{9}=34, F_{10}=55, F_{11}=89, F_{12}=144$.
1.20. (a) $84 . \quad$ (b) $525 .$
1.22. (a) $44=\left(2^{2}\right)(11)$ and $111=(3)(37)$, so $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
(b) $111=44(2)+23,44=23(1)+21,23=21(1)+2,21=2(10)+1$.
1.23. By the Euclidean Algorithm, we have $71=23(3)+2$ and $23=2(11)+1$.

Hence $1=23-2(11)=23-(71-23(3))(11)=23(34)+71(-11)$, so $x=34$ and $y=-11$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Listing Primes: The Sieve of Eratosthenes

A second question we now ask is, How can we list all of the prime numbers up to some positive value $n \geq 2$ ? A method to do this is known as the Sieve of Eratosthenes, named in honor of Eratosthenes $(276 \mathrm{BC}-194 \mathrm{BC})$, who appears to be the first to make use of this process. The process, described below, is quite efficient as long as $n$ isn’t too large.

We begin by listing all of the numbers from 2 to $n$. Then since 2 is prime, we leave it in the list and delete all multiples of 2 (except 2 itself) up to and including $n$. That knocks out all the even numbers in our list larger than 2 . We then leave 3 and delete all larger multiples of 3 . The next value not already deleted is 5 , so we leave it and delete all multiples of 5 . We continue this process with 7 which is yet to be deleted, then 11, ctc. The numbers remaining in the list give all primes up to $n$. A question you might have is, When can we stop this process so that we have indeed listed all the primes up to $n$ ? You are asked in Problem $2.2$ to show that we need only process primes which are less than or equal to the square root of $n$.

Example 2.2. We illustrate the Sieve of Eratosthenes by finding all primes up to $n=50$. We begin by listing all of the positive integers from 2 through 50 . By what we just stated, we need only process $2,3,5$, and 7 since $11>\sqrt{50}$.
$\begin{array}{rrrrrrrrrr} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 & 37 & 38 & 39 & 40 \ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 & 47 & 48 & 49 & 50\end{array}$
We boldface the number 2 as the first item in this list (since we know it is prime), and then cross out each multiple of 2 that is greater than 2. It is important to note that no actual arithmetic must be done here! We simply start at 2, skip by the amount of 2 (which gets us to the number 4), cross out the 4 , then skip by another 2 to get to 6 , cross out the 6 , and so on. This stage of the process is quite straightforward. This now leaves us with the following table.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Answers to Selected Supplementary Problems

1.13。 (a) 真因为 $644=7(92)$. (b) 真因为 $644=-7(-92)$.
(c) 假，因为余数是 4 ，不是 $0 . \quad$ (d) 真因为 $2916=243(12)$
(e) 真因为 $16 m-12=4(4 m-3)$. (f) 真因为 $-7 m=m(-7)$.
(g) 假，因为余数是 $3 m$ ，而不是 0 。(h) 真因为 $-k^{3}+2 k=k\left(-k^{2}+2\right)$.
1.15。(一个) $487=14(34)+11$ ，那是， $q=34$ 和 $r=11$.
(二) $-386=27(-15)+19$ ， 那是， $q=-15$ 和 $r=19$.
1.16。自从 $486=15 a+6$ ，我们得到 $a=480 / 15=32$.
1.17. $44=2^{2} \cdot 11,111=3 \cdot 37$ ，所以 $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
1.19。 (-个) $F_{9}=34, F_{10}=55, F_{11}=89, F_{12}=144$.
1.20。(一个) 84 . (b) 525 .
1.22。(一个) $44=\left(2^{2}\right)(11)$ 和 $111=(3)(37)$ ，所以 $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
(二) $111=44(2)+23,44=23(1)+21,23=21(1)+2,21=2(10)+1$.
1.23。根据欧几里得算法，我们有 $71=23(3)+2$ 和 $23=2(11)+1$.
因此1 $1=23-2(11)=23-(71-23(3))(11)=23(34)+71(-11)$, 所以 $x=34$ 和 $y=-11$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Listing Primes: The Sieve of Eratosthenes

我们现在要问的第二个问题是，我们如何列出所有素数，直到某个正值 $n \geq 2 ?$ 一种方法被称为埃拉托色尼筛，以纪 念埃拉托色尼而命名 $(276 \mathrm{BC}-194 \mathrm{BC})$ ，谁似平是第一个利用这个过程的人。下面描述的过程非常有效，只要 $n$ 不是太大。
我们首先列出从 2 到 $n$. 然后因为 2 是素数，我们将它留在列表中并删除所有 2 的倍数（除了 2 本身)，包括 $n$. 这 会㓭除我们列表中大于 2 的所有偶数。然后我们留下 3 并删除所有更大的 3 倍数。下一个尚末删除的值是 5 ，因此 给出了所有素数 $n$. 你可能有一个问题，我们什么时候可以停止这个过程，以便我们确实列出了所有素数 $n$ ? 你在问题 中被问到 $2.2$ 表明我们只需要处理小于或等于平方根的素数 $n$.
例 2.2。我们通过找出所有素数来说明埃拉托色尼筛法 $n=50$. 我们首先列出从 2 到 50 的所有正整数。正如我们刚 オ所说，我们只需要处理 $2,3,5$, 和 7 以来 $11>\sqrt{50}$. 我们将数字 2 加粗作为该列表中的第一项（因为我们知道它是素数），然后删除大于 2 的每个 2 的倍数。重要的是 要注意，这里不必进行实际的算术运算！我们只是从 2 开始，跳过 2 的数量（这使我们到达数字 4 )，划掉 4 ，然 后再跳过 2 到达 6 ，划掉 6 ，依此类推。该过程的这个阶段非常简单。现在给我们留下了下表。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisors

1.17. Find $\operatorname{gcd}(44,111)$ using factorization into powers of prime numbers.
1.18. For a positive integer $a$, what are the possibilities for the quantity $\operatorname{gcd}(a+3, a)$ ? Find specific examples to demonstrate each possibility. Now prove your conjecture. (Hint: Suppose $d$ divides both $a$ and $a+3$, then by Lemma $1.1$ Part (ii) $\cdots$.)
1.19. The sequence of numbers $1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots$ is known as the sequence of Fibonacci number. After the first two values, a given number is obtained as the sum of the previous two numbers. We denote this sequence of positive integers by $F_{1}, F_{2}, F_{3}, \ldots$, in honor of Fibonacci who first wrote about these numbers in his book “Liber Abaci,” which was published in $1202 .$
(a) Above we have written $F_{1}$ through $F_{8}$. Write down $F_{y}$ through $F_{12}$.
(b) Prove that for any positive integer $k \geq 1, \operatorname{gcd}\left(F_{k}, F_{k+1}\right)=1$, i.e., prove that any two consecutive Fibonacci numbers are relatively prime. (Hint: Suppose $d$ divides both $F_{k+1}$ and $F_{k}$; then by Lemma 1.1 Part (ii) (or (iii)) it divides their difference, which is what by the definition of these numbers? Hence $d$ must divide $F_{k}$ and $F_{k-1}$. Continue this process, concluding finally that we must have $d=1$.
1.20. (a) What is $\operatorname{lcm}(21,28)$ ?
(b) What is $\operatorname{lcm}(21,25)$ ? (See Solved Problem 1.8.)
1.21. Prove that $\operatorname{lcm}(a, b)=\frac{a \cdot b}{\operatorname{gcd}(a, b)}$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclidean Algorithm

1.22. Find $\operatorname{gcd}(44,111)$ using the Euclidean Algorithm.
1.23. The numbers 23 and 71 are relatively prime since both are themselves prime. Find integers $(x, y)$ such that $23 x+71 y=1$.
1.24. (a) Find $\operatorname{gcd}(381,3837)$ using the Euclidean Algorithm.
(b) Find integers $(x, y)$ such that $\operatorname{gcd}(381,3837)=381 x+3837 y$.
1.25. How many steps must the Euclidean Algorithm take to find the gcd of two positive integers $a$ and $b$ ? We have seen through examples and problems that it can vary, but what is the “worst case?” It can be shown that if $a$ is the first divisor, then the total number of steps can be no more than 7 times the number of decimal digits of $a$.
(a) Suppose the first divisor $a$ is between a billion and 9 billion (and the dividend $b$ is larger). What is the maximum number of steps to discover $\operatorname{gcd}(a, b)$ by the Euclidean Algorithm?
(b) Returning to the Fibonacci numbers (Supplementary Problem 1.19), we saw that $F_{11}=89$ and $F_{12}=144$. According to the above information, what is the maximum number of steps needed to compute $\operatorname{gcd}\left(F_{11}, F_{12}\right)$ using the Euclidean Algorithm? Now do the actual computation and check the number of steps. (Note: This part illustrates that computing the gcd of two adjacent Fibonacci numbers using the Euclidean Algorithm goes about as slowly as possible.)

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisors

1.17。寻找 $\operatorname{acd}(44,111)$ 使用因式分解为素数的幂。
1.18。对于一个正整数 $a$, 数量的可能性是什么 $\operatorname{gcd}(a+3, a)$ ? 找到具体的例子来展示每一种可能性。现在证明你的 猜想。（提示：假设 $d$ 将两者分开 $a$ 和 $a+3$ ，然后由引理 $1.1$ 第 (ii) 部分 $\cdots$ )
1.19。数字序列 $1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots$ 被称为斐波那契数列。在前两个值之后，得到一个给定的数字作为前两 个数字的总和。我们将这个正整数序列表示为 $F_{1}, F_{2}, F_{3}, \ldots$, 以纪念斐波那契，他在他的书“Liber Abaci”中首次 写到这些数字，该书发表于 1202 .
(a) 上面我们写了 $F_{1}$ 通过 $F_{8}$. 写下 $F_{y}$ 通过 $F_{12}$.
(b) 证明对于任何正整数 $k \geq 1, \operatorname{gcd}\left(F_{k}, F_{k+1}\right)=1$ ，即证明任何两个连续的斐波那契数都是互质的。（提示: 假 设 $d$ 将两者分开 $F_{k+1}$ 和 $F_{k}$; 然后通过引理 $1.1$ 第 (ii) 部分 (或 (iii)) 它划分它们的差异，这些数字的定义是什么? 因此 $d$ 必须分开 $F_{k}$ 和 $F_{k-1}$. 继续这个过程，最后得出结论，我们必须有 $d=1$.
1.20。(一) 什么是 $\operatorname{lcm}(21,28)$ ?
(b) 什么是 $\operatorname{lcm}(21,25)$ ? (见已解决的问题 1.8。)
1.21。证明 $\operatorname{lcm}(a, b)=\frac{a \cdot b}{\operatorname{gcd}(a, b)}$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclidean Algorithm

1.22。寻找gcd $(44,111)$ 使用欧几里得算法。
1.23。数字 23 和 71 是相对质数，因为它们本身都是质数。查找整数 $(x, y)$ 这样 $23 x+71 y=1$.
1.24。(a) 查找 $\operatorname{gcd}(381,3837)$ 使用欧几里得算法。
(b) 求整数 $(x, y)$ 这样 $\operatorname{gcd}(381,3837)=381 x+3837 y$.
1.25。欧几里得算法需要多少步才能找到两个正整数的 $g c d a$ 和 $b$ ? 我们已经通过例子和问题看到了它可能会有所不 同，但“最坏的情况”是什么? 可以证明，如果 $a$ 是第一个除数，那么总步数不能超过小数位数的7倍 $a$.
(a) 假设第一个除数 $a$ 介于 10 亿和 90 亿之间（以及股息 $b$ 更大）。发现的最大步数是多少 $\operatorname{gcd}(a, b)$ 欧几里得算法?
(b) 回到斐波那契数列（补充问题 1.19），我们看到 $F_{11}=89$ 和 $F_{12}=144$. 根据以上信息，计算需要的最大步数 是多少 $\operatorname{gcd}\left(F_{11}, F_{12}\right)$ 使用欧几里得算法? 现在进行实际计算并检查步数。（注意：这部分说明了使用欧几里得算 法计算两个相邻斐波那契数的 gcd 尽可能慢。)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Euclidean Algorithm

Given two positive integers $a$ and $b$, how do we compute their greatest common divisor? If $a$ and $b$ are relatively small, one way (which we shall discuss in some detail in our next chapter) is to factor them both into their representation as a product of powers of prime numbers and observe what factors are in common. However, if at least one of the integers $a$ and $b$ is large, this method can be difficult and relatively inefficient. Euclid, in Book VII of his Elements, describes a very efficient procedure for computing greatest common divisors. Before stating his method, let us look at a couple of examples.

Example 1.4. (a) What is $\operatorname{gcd}(420,378)$ ? As suggested above, one way is to factor them both: $420=2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ and $378=2 \cdot 3^{3} \cdot 7$. These factorizations have in common 2,3 and 7 , so $\operatorname{gcd}(420,378)=$ $2 \cdot 3 \cdot 7=42$.
(b) What is $\operatorname{gcd}(858,1092)$ ? We could factor again, but it does not look easy. We are seeing that the larger the numbers become, the more difficult the factorization method becomes. Here is a better method.

Theorem 1.3. (Euclidean Algorithm) Let a and b be positive integers. If $a$ divides $b$, then the $\operatorname{gcd}(a, b)=a$. Otherwise, repeatedly using the Division Algorithm, there exists a strictly decreasing sequence of positive integers $r_{1}, \ldots, r_{n}$ so that
$$
\begin{aligned}
b &=a q_{1}+r_{1} \
a &=r_{1} q_{2}+r_{2} \
r_{1} &=r_{2} q_{3}+r_{3} \
& \vdots \
r_{n-2} &=r_{n-1} q_{n}+r_{n} \
r_{n-1} &=r_{n} q_{n+1}+0 .
\end{aligned}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Division Algorithm

1.4. (a) Using the Division Algorithm, find the quotient $q$ and the remainder $r$ when $b=711$ is divided by $a=23$.
(b) Do the same as in Part (a) for dividing $b=-135$ by $a=31$.
Solution:
(a) $711=23(30)+21$, i.e., $q=30$ and $r=21$.
(b) $-135=31(-5)+20$, i.e., $q=-5$ and $r=20$.
1.5. In the Division Algorithm, suppose that the dividend $b=259$, the quotient $q=12$, and the remainder $r=7$. What is the divisor $a$ ?
Solution:
Since $259=12 a+7$, we get $a=252 / 12=21$.
Greatest Common Divisors
1.6. Find $\operatorname{gcd}(35,180)$ using factorization into powers of prime numbers.
Solution:
$35=5 \cdot 7,180=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$, so $\operatorname{gcd}(35,180)=5$.
1.7. Find $\operatorname{gcd}(224,468)$ using factorization into powers of prime numbers.
Solution:
$$
221=2^{5} \cdot 7,168=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 13 \text {, so } \operatorname{gcd}(221,168)=2^{2}=1 \text {. }
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Euclidean Algorithm

给定两个正整数 $a$ 和 $b$ ，我们如何计算它们的最大公约数? 如果 $a$ 和 $b$ 相对较小，一种方法 (我们将在下一章详细讨 论) 是将它们都分解为素数幂的乘积，并观察它们的共同点。但是，如果至少有一个整数 $a$ 和 $b$ 很大，这种方法可能 很困难并且效率相对较低。Euclid 在其 Elements 的第 VII 卷中描述了一种非常有效的计算最大公约数的过程。在说 明他的方法之前，让我们看几个例子。
例 1.4。(一) 什么是 $\operatorname{gcd}(420,378)$ ? 如上所述，一种方法是将它们都考虑在内: $420=2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ 和 $378=2 \cdot 3^{3} \cdot 7$. 这些因式分解有共同点 2,3 和 7 ，所以 $\operatorname{gcd}(420,378)=2 \cdot 3 \cdot 7=42$.
(b) 什么是 $\operatorname{gcd}(858,1092)$ ? 我们可以再次考虑因素，但这看起来并不容易。我们看到数字越大，分解方法就越困 难。这里有一个更好的方法。
定理 1.3。(欧几里得算法) 令 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 为正整数。如果 $a$ 划分 $b$ ，那么 $\operatorname{gcd}(a, b)=a$. 否则，重复使用除法算法，存在 严格递减的正整数序列 $r_{1}, \ldots, r_{n}$ 以便
$$
b=a q_{1}+r_{1} a \quad=r_{1} q_{2}+r_{2} r_{1}=r_{2} q_{3}+r_{3} \quad \vdots r_{n-2}=r_{n-1} q_{n}+r_{n} r_{n-1} \quad=r_{n} q_{n+1}+0 .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Division Algorithm

1.4. (a) 使用除法算法，求商 $q$ 和其余的 $r$ 什么时候 $b=711$ 被除以 $a=23$.
(b) 做与 $(\mathrm{a})$ 部分相同的除法 $b=-135$ 经过 $a=31$.
解决方案: (
一) $711=23(30)+21$ ，那是， $q=30$ 和 $r=21$.
(二) $-135=31(-5)+20$ ， 那是， $q=-5$ 和 $r=20$.
1.5。在除法算法中，假设被除数 $b=259$ ，商 $q=12$ ，和余数 $r=7$. 什么是除数 $a$ ?
解决方案:
由于 $259=12 a+7$ ，我们得到 $a=252 / 12=21$.
最大公约数
1.6。寻找 $\operatorname{gcd}(35,180)$ 使用因式分解为素数的幂。
解决方案：
$35=5 \cdot 7,180=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ ，所以 $\operatorname{gcd}(35,180)=5$.
1.7. 寻找 $\operatorname{gcd}(224,468)$ 使用因式分解为素数的幂。
解决方窣：
$$
221=2^{5} \cdot 7,168=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 13, \text { so } \operatorname{gcd}(221,168)=2^{2}=1
$$

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility

Definition: Suppose $b$ is an integer and $a$ is a non-zero integer. We say that $a$ divides $b$ if there is an integer $q$ so that $b=a q$. If there are such integers, we denote the fact that $a$ divides $b$ by using the notation $a \mid b$.

Be aware that the notation $a \mid b$ is a sentence with the verb being “divides.” Contrast this with the notation $\frac{a}{b}$, which is an element of the rational numbers $\mathbb{Q}$ (see Appendix $B$, not a sentence.

Example 1.1. Clearly $2 \mid 8$ since $8=2(4) ; 36 \mid 108$ since $108=$ $36(3) ; 3 \mid(-36)$ since $-36=3(-12)$; and for any integer $m, 3 \mid(15 m+$ 3) since $15 m+3=3(5 m+1)$. On the other hand, 3 does not divide 13 as there is no integer $q$ with $13=3 q$.

In the following lemma, we provide a few basic properties involving the divisibility of integers. (Note: A “lemma” is a “helping theorem,” i.e., an often easily proved result which is then used to establish bigger results.)
Lemma 1.1. Let $a, b, c, d$ be integers with $a>0$ and $d>0$.
(i) If $a \mid b$ and $a \mid c$, then $a \mid(b+c)$;
(ii) If $a \mid b$ and $a \mid c$, then $a \mid(b-c)$;
(iii) If $a \mid b$ and $a \mid c$, then $a \mid(m b+n c)$ for any integers $m$ and $n$;
(iv) If $d \mid a$ and $a \mid b$, then $d \mid b$.
Proof. To prove Part (i), we may assume that $b=a q$ and $c=a s$ where $q$ and $s$ are integers. Then $b+c=a q+a s=a(q+s)$ so that $a$ divides $b+c$ (since $q+s$ is an integer). The proof of Part (ii) is similar and hence omitted. Proofs of the remaining parts are left to the reader in Supplementary Problem 1.14.

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Division Algorithm

What if a positive integer $a$ does not divide an integer $b$ ? Here is where the seemingly simple but very important Division Algorithm comes into play when doing computations in $\mathbb{Z}$.

Theorem 1.2. (Division Algorithm) Let $a$ and $b$ be integers with $a>0$. Then there are integers $q$ and $r$ with $0 \leq r<a$ so that $b=a q+r$.

This is simply a formal statement of the long division process. The integer $b$ is often called the dividend, $a$ the divisor, $q$ the quotient, and $r$ the remainder. The key is that the remainder $r$ must be non-negative and must be less than the divisor $a$. It is clear that $a \mid b$ if and only if $r=0$.

Example 1.2. Given $b=436$ and $a=17$, we can compute by long division that $436=17(25)+11$. Note that, as required, the remainder 11 is greater than or equal to 0 and is less than the divisor 17. Given $b=-67$ and $a=12$, we get $-67=12(-6)+5$, so in this case the quotient $-6$ is negative, but again the remainder 5 must be non-negative and below the divisor 12 .

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility

定义: 假设 $b$ 是一个整数并且 $a$ 是一个非零整数。我们说 $a$ 划分 $b$ 如果有一个整数 $q$ 以便 $b=a q$. 如果存在这样的整 数，我们表示 $a$ 划分 $b$ 通过使用符号 $a \mid b$.
请注意，符号 $a \mid b$ 是一个动词为“divides”的句子。将此与符号进行对比 $\frac{a}{b}$ ，它是有理数的一个元素 $\mathbb{Q}$ (参见附录 $B$ ，而不是一句话。
例 1.1。清楚地 $2 \mid 8$ 自从 $8=2(4) ; 36 \mid 108$ 自从 $108=36(3) ; 3 \mid(-36)$ 自从 $-36=3(-12)$; 对于任何整数 $m, 3 \mid(15 m+3)$ 因为 $15 m+3=3(5 m+1)$. 另一方面， 3 不能整除 13 ，因为没有整数 $q$ 和 $13=3 q$.
在下面的引理中，我们提供了一些涉及整数整除性的基本性质。（注意: “引理”是“帮助定理”，即一个经常容易证明 的结果，然后用于建立更大的结果。)
引理 1.1。让 $a, b, c, d$ 是整数 $a>0$ 和 $d>0$.
(一) 如果 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ ，然后 $a \mid(b+c)$ ；
(ii) 如果 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ ，然后 $a \mid(b-c)$;
(iii) 如果 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ ，然后 $a \mid(m b+n c)$ 对于任何整数 $m$ 和 $n$;
(iv) 如果 $d \mid a$ 和 $a \mid b$ ，然后 $d \mid b$.
证明。为了证明第 (i) 部分，我们可以假设 $b=a q$ 和 $c=a s$ 在哪里 $q$ 和 $s$ 是整数。然后
$b+c=a q+a s=a(q+s)$ 以便 $a$ 划分 $b+c$ (自从 $q+s$ 是一个整数)。(ii) 部分的证明类似，因此省略。其余 部分的证明留给读者在补充问题 $1.14$ 中。

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Division Algorithm

如果一个正整数怎么办 $a$ 不除整数 $b$ ? 这是看似简单但非常重要的除法算法在进行计算时发挥作用的地方 $\mathbb{Z}$.
定理 1.2。(除法算法) 让 $a$ 和 $b$ 是整数 $a>0$. 然后有整数 $q$ 和 $r$ 和 $0 \leq r<a$ 以便 $b=a q+r$.
这只是对长除法过程的正式陈述。整数 $b$ 通常被称为股息， $a$ 除数， $q$ 商，和 $r$ 其余的。关键是剩下的 $r$ 必须是非负数 且必须小于除数 $a$. 很清楚 $a \mid b$ 当且仅当 $r=0$.
例 1.2。给定 $b=436$ 和 $a=17$ ，我们可以通过长除法计算出 $436=17(25)+11$. 注意，根据需要，余数 11 大 于或等于 0 并且小于除数 17。给定 $b=-67$ 和 $a=12$ ，我们得到 $-67=12(-6)+5$ ，所以在这种情况下，商 $-6$ 是负数，但余数 5 必须是非负数并且低于除数 12 。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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