### 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|MATH4022

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• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Trigonometric Functions

It can be assumed that the trigonometric functions are well-known from schoolmathematics. Therefore, only the most important relations shall be compiled in this subsection.

Figure $1.3$ illustrates that the angle $\varphi$ can be expressed not only by angular degrees $^{\circ}$, but equally uniquely also via the arc of the circle $s$ :
$$s=s(\varphi) \quad: \quad s\left(360^{\circ}\right)=2 \pi r ; s\left(180^{\circ}\right)=\pi r ; s\left(90^{\circ}\right)=\frac{\pi}{2} r ; \ldots$$
One introduces the dimensionless quantity
$$\begin{gathered} \varphi=\frac{s}{r} \quad \text { ‘radian’ } \ \varphi\left(^{\circ}\right)=360(180,90,45,1) \longrightarrow 2 \pi\left(\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{180}\right) \mathrm{rad} \end{gathered}$$
• Trigonometric functions
In the right-angled triangle in Fig. $1.4 a$ and $b$, adjacent and opposite to angle $\alpha$, respectively, are called the leg (side, cathetus) and $c$ the hypothenuse. With these terms one defines:
\begin{aligned} \sin \alpha &=\frac{b}{c} \ \cos \alpha &=\frac{a}{c} \ \tan \alpha &=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{b}{a} \ \cot \alpha &=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1}{\tan \alpha}=\frac{a}{b} \end{aligned}

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Exponential Function and Logarithm

• Exponential function
By this one understands the following function:
$$y=a^{x} .$$
$a$ is called the ‘basis’ and $x$ the ‘exponent’. Here $a$ may be an arbitrary real number. Very often one uses Euler’s number e (1.18) writing:
$$y=y_{0} e^{\alpha x}=y_{0} \exp (\alpha x)$$
This function is of great importance in theoretical physics and appears often in a variety of contexts (rate of growth, increase of population, law of radioactive decay, capacitor charge and discharge, …) (Fig. 1.8).

In Sect. $1.1 .10$ we will be able to prove, by using the Taylor expansion, the following important series expansion of the exponential function:
$$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} .$$

• Logarithm
It is just the inverse function of $y=a^{x}$ being defined only for $y>0$ :
Logarithm to the base $a$
$$x=\log {a} y .$$ Thus, if $a$ is raised to the power of $\log {a} y$ one gets $y$. Rather often one uses $a=10$ and calls it then ‘common (decimal) logarithm’:
$$\log {10} 100=2 ; \log {10} 1000=3 ; \ldots$$
However, in physics we use most frequently the ‘natural logarithm’ with base $a=e$ denoted by the symbol $\log _{e} \equiv \ln$. In this case the explicit indication of the base is left out:
$$\ln \left(e^{x}\right)=x \Longleftrightarrow e^{\ln x}=x .$$

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Trigonometric Functions

• 弧度测量
图 $1.3$ 说明角度 $\varphi$ 不仅可以用角度来表示，但同样独特地也通过圆弧 $s$ :
$$s=s(\varphi) \quad: \quad s\left(360^{\circ}\right)=2 \pi r ; s\left(180^{\circ}\right)=\pi r ; s\left(90^{\circ}\right)=\frac{\pi}{2} r ; \ldots$$
一、介绍无量纲量
$$\varphi=\frac{s}{r} \quad \text { ‘radian’ } \varphi\left({ }^{\circ}\right)=360(180,90,45,1) \longrightarrow 2 \pi\left(\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{180}\right) \mathrm{rad}$$
• 三角函数
在图 1 中的直角三角形中。 $1.4 a$ 和 $b$, 与角相邻且相反 $\alpha$, 分别称为腿 (side, cathetus) 和 $c$ 假设。使用这些术语 可以定义：
$$\sin \alpha=\frac{b}{c} \cos \alpha \quad=\frac{a}{c} \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{b}{a} \cot \alpha \quad=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1}{\tan \alpha}=\frac{a}{b}$$

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Exponential Function and Logarithm

• 指数函数 由此理解以下函数：
$$y=a^{x} .$$
$a$ 被称为“基础”并且 $x$ “指数”。这里 $a$ 可以是任意实数。经常有人使用欧拉数 e (1.18) 写作:
$$y=y_{0} e^{\alpha x}=y_{0} \exp (\alpha x)$$
该函数在理论物理学中非常重要，并且经常出现在各种环境中 (增长率、人口增加、放射性衰变定律、电容器 充电和放电……) (图 1.8)。
昆虫。1.1.10我们将能够通过使用泰勒展开来证明指数函数的以下重要级数展开:
$$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} .$$
• 对数
它只是的反函数 $y=a^{x}$ 仅被定义为 $y>0$ :
以对数为底 $a$
$$x=\log a y .$$
因此，如果 $a$ 被提升到 $\log a y$ 一个得到 $y$. 往往一种用途 $a=10$ 然后将其称为”常用 (十进制) 对数”:
$$\log 10100=2 ; \log 101000=3 ; \ldots$$
然而，在物理学中，我们最常使用带底的“自然对数” $a=e$ 用符号表示 $\log _{e} \equiv \ln$. 在这种情况下，基地的明确 指示被省略：
$$\ln \left(e^{x}\right)=x \Longleftrightarrow e^{\ln x}=x .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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