### 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|PHYS3020

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Limiting value of a sequence of numbers

If $a_{n}$ approaches for $n \rightarrow \infty$ a single finite number $a$, then $a$ is the limiting value (limes) of the sequence $\left{a_{n}\right}$ :
$$\lim {n \rightarrow \infty} a{n}=a ; a_{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a .$$
The mathematical definition reads:
$$\begin{gathered} \left{a_{n}\right} \text { converges to } a \ \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0 \quad \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \text { so that }\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \quad \forall n>n_{\varepsilon} \end{gathered}$$
Does such an $a$ not exist then the sequence is called divergent. In case $\left{a_{n}\right}$ converges to $a$, then for each $\varepsilon>0$ only a finite number of sequence elements has a distance greater than $\varepsilon$ to $a$.
Examples
$1 .$
$$\left{a_{n}\right}=\left{\frac{1}{n}\right} \longrightarrow 0 \quad \text { (null sequence) }$$
$2 .$
$$\left{a_{n}\right}=\left{\frac{n}{n+1}\right} \longrightarrow 1$$
because:
$$\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \longrightarrow \frac{1}{1+0}=1$$
In anticipation, we have here already used the rule (1.22).

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Series and Limiting Values

Adding up the terms of an infinite sequence of numbers leads to what is called a series:
$$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}, \cdots \curvearrowright a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty} a_{m} .$$

Strictly, the series is defined as limiting value of a sequence of (finite) partial sums:
$$S_{r}=\sum_{m=1}^{r} a_{m}$$
The series converges to $S$ if
$$\lim {r \rightarrow \infty} S{r}=S$$
does exist. If not then it is called divergent.
A necessary condition for the series $\sum_{m=1}^{\infty} a_{m}$ to be convergent is
$$\lim {m \rightarrow \infty} a{m}=0$$
For, if $\sum_{m=1}^{\infty} a_{m}$ is indeed convergent then it must hold:
$$\lim {m \rightarrow \infty} a{m}=\lim {m \rightarrow \infty}\left(S{m}-S_{m-1}\right)=\lim {m \rightarrow \infty} S{m}-\lim {m \rightarrow \infty} S{m-1}=S-S=0 .$$
However, Eq. (1.26) is not a sufficient condition. A prominent counter-example represents the harmonic scries:
$$\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$$

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Limiting value of a sequence of numbers

$$\lim n \rightarrow \infty a n=a ; a_{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a .$$

$1 .$
Veft $\left{a_{-}{\mathrm{n}} \backslash\right.$ right $}=\backslash$ left ${$ \frac ${1}{\mathrm{n}} \backslash$ right $}$ Vongrightarrow $0 \backslash$ \quad \text ${$ (空序列) $}$
$5 .$
Veft $\left{a_{-}{\mathrm{n}} \backslash\right.$ right $}=\backslash \backslash \mathrm{left}{\backslash \mathrm{frac}{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1} \backslash$ right $}$ \ongrightarrow 1

$$\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \longrightarrow \frac{1}{1+0}=1$$

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Series and Limiting Values

$$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}, \cdots \curvearrowright a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty} a_{m} .$$

$$S_{r}=\sum_{m=1}^{r} a_{m}$$

$$\lim r \rightarrow \infty S r=S$$

$$\lim m \rightarrow \infty a m=0$$

$$\lim m \rightarrow \infty a m=\lim m \rightarrow \infty\left(S m-S_{m-1}\right)=\lim m \rightarrow \infty S m-\lim m \rightarrow \infty S m-1=S-S=0$$

$$\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。