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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。
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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Radiative Transitions in Atoms
Here we consider transitions between two electronic states of an atom, $|e\rangle$ and $|g\rangle$, resulting in the emission or absorption of one photon, via the interaction (4.1). The matrix element for single-photon emission that corresponds to the term linear in $\boldsymbol{A}$ in (4.1), expanded as per (3.5), is given by
$$
\begin{aligned}
\left\langle g, n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\left|H_{\mathrm{I}}\right| e, n_\lambda(\boldsymbol{k})\right\rangle= & -\frac{e}{m}\left(\frac{2 \pi \hbar}{\mathcal{V} \omega_{\boldsymbol{k}}}\right)^{1 / 2}\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]^{1 / 2} \
& \times\left\langle g\left|\epsilon_{\boldsymbol{k} \lambda}^* \cdot \sum_i e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}i} \boldsymbol{p}_i\right| e\right\rangle, \end{aligned} $$ where $n\lambda(\boldsymbol{k})$ is the initial photon number in the mode $(\boldsymbol{k}, \lambda), \boldsymbol{k}$ being the wave vector and $\lambda$ the polarization, $\omega_{\boldsymbol{k}}$ is the photon frequency at a given $\boldsymbol{k}, \mathcal{V}$ is the quantization volume, $\boldsymbol{\epsilon}{\boldsymbol{k} \lambda}$ is a unit polarization vector of the photon, $e$ and $m$ are the electron charge and mass, whereas $\boldsymbol{r}_i$ and $\boldsymbol{p}_i$ are the position and momentum of the atomic electron $i$. The corresponding transition probability per unit time is then $$ w\lambda d \Omega_{\mathrm{s}}=\frac{e^2 \omega_{\mathrm{a}} d \Omega_{\mathrm{s}}}{2 \pi m^2 \hbar c^3}\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]\left|\epsilon_{\boldsymbol{k} \lambda}^* \cdot\left\langle g\left|\sum_i e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}i} p_i\right| e\right\rangle\right|^2, $$ where $\omega{\mathrm{a}}=\left(E_e-E_g\right) / \hbar$ and $E_e$ and $E_g$ are the energies of the excited and ground atomic (electronic) states, $\Omega_{\mathrm{s}}$ being the solid angle of the emission. Equation (4.3) can be adapted to the absorption of a photon upon replacing the factor $\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]$ by $n_\lambda(\boldsymbol{k})$.
The electric dipole approximation is valid provided we can approximate the exponential factors in Eqs. (4.2) and (4.3) by unity: $$
e^{-i k \cdot \boldsymbol{r}i} \approx 1 . $$ This holds if the wavelength $2 \pi / k$ of the photon is very large compared to the size $R$ of the atom, as in the case of optical atomic transitions. Then the wave functions of $|e\rangle$ and $|g\rangle$ restrict the values of $\boldsymbol{r}_i$ to $\left|\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}_i\right| \lesssim k R \ll 1$. The equation of motion $$ i \hbar \dot{\boldsymbol{r}}_i=\left[\boldsymbol{r}_i, H{\mathrm{a}}\right]
$$
where $H_{\mathrm{a}}$ is the atomic Hamiltonian, yields
$$
\left\langle g\left|\boldsymbol{p}i\right| e\right\rangle=m\left\langle g\left|\dot{\boldsymbol{r}}_i\right| e\right\rangle=-i m \omega{\mathrm{a}}\left\langle g\left|\boldsymbol{r}i\right| e\right\rangle $$ The electric dipole operator $\boldsymbol{d}=e \sum_i \boldsymbol{r}_i$ in this two-state basis may be represented by $$ \boldsymbol{d}=\sum{j, l=e, g}|j\rangle\langle j|\boldsymbol{d}| l\rangle\langle l|=\sum_{j, l=e, g} \boldsymbol{\wp}{j l} \sigma{j l}
$$
where $\wp_{j l}=\langle j|d| l\rangle$ is the electric-dipole transition matrix element. The transition operators $\sigma_{j l}=|j\rangle\langle l|$ form the set
$$
\begin{aligned}
\sigma_z & =|e\rangle\langle e|-| g\rangle\langle g|, \
\sigma_{+} & =|e\rangle\langle g|, \
\sigma_{-} & =|g\rangle\langle e|,
\end{aligned}
$$
where $\sigma_{+}, \sigma_{-}$, and $\sigma_z$ satisfy the spin-1/2 algebra of the Pauli matrices, that is,
$$
\begin{gathered}
{\left[\sigma_{-}, \sigma_{+}\right]=-\sigma_z,} \
{\left[\sigma_{-}, \sigma_z\right]=2 \sigma_{-} .}
\end{gathered}
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Polaronic System–Bath Interactions
We consider the basic opto-mechanical Hamiltonian that governs an optical cavity mode (denoted by O) that is coupled to a photonic bath and to a mechanical oscillator (denoted by M). The total Hamiltonian then has the form
$$
\begin{aligned}
H_{\text {Tot }} & =H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}+\left(O^{\dagger}+O\right) \otimes B ; \
H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}} & =\omega_{\mathrm{O}} O^{\dagger} O+\Omega_{\mathrm{M}} M^{\dagger} M+g O^{\dagger} O\left(M+M^{\dagger}\right) .
\end{aligned}
$$
Here $O^{\dagger}, O$ and $M^{\dagger}, M$ are the creation and annihilation operators of the cavity mode and the oscillator, respectively; $\omega_{\mathrm{O}}, \Omega_{\mathrm{M}}$ and $g$ are their respective frequencies and coupling rate; and $B$ is the photonic-bath operator (Fig. 4.1).
We transform these operators to the basis of hybridized optical-mechanical modes that diagonalize $H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}$ without changing their frequency. Namely,
$$
\begin{aligned}
H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}} & =\widetilde{H}{\mathrm{O}}+\widetilde{H}{\mathrm{M}}, \quad \widetilde{H}{\mathrm{O}}=\omega{\mathrm{O}} \tilde{O}^{\dagger} \tilde{O}-\left(g \widetilde{O}^{\dagger} \widetilde{O}\right)^2 \frac{1}{\Omega_{\mathrm{M}}}, \quad \widetilde{H}{\mathrm{M}}=\Omega{\mathrm{M}} \tilde{M}^{\dagger} \tilde{M}, \
\tilde{M} & =M+\frac{g}{\Omega_{\mathrm{M}}} O^{\dagger} O, \quad \widetilde{O}=O e^{\frac{g}{\Omega_{\mathrm{M}}^{\mathrm{M}}}\left(M^{\dagger}-M\right)} .
\end{aligned}
$$
The new variables can be expressed in terms of the unitary (“polaron”) transformation $$
U=e^{\frac{g}{\frac{g}{2 \mathrm{M}}\left(M^{+}-M\right) O^{\dagger} O}} .
$$
as $\tilde{O}=U^{\dagger} O U$ and $\tilde{M}=U^{\dagger} M U$. Then, the interaction between the optical mode and the photonic bath is found to indirectly affect the mechanical oscillator.
We shall restrict ourselves to low excitations of the transformed number operators $\hat{n}{\tilde{O}}=\widetilde{O}^{\dagger} \tilde{O}$ and $\hat{n}{\tilde{M}}=\tilde{M}^{\dagger} \tilde{M}$ and to the weak optomechanical-coupling regime. Namely, we shall assume
$$
\left(\frac{g}{\Omega_{\mathrm{M}}}\right)^2\left\langle n_{\tilde{M}}\right\rangle \ll 1, \quad \frac{g^2}{\Omega_{\mathrm{M}}}\left\langle n_{\tilde{O}}\right\rangle^2 t \ll 1,
$$
where $\left\langle n_{\tilde{M}}\right\rangle$ and $\langle n \tilde{O}\rangle$ are the mean numbers of quanta in the $\tilde{M}$ and $\widetilde{O}$ degrees of freedom, respectively.
热力学代写
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Radiative Transitions in Atoms
在这里，我们考虑原子的两个电子态之间的跃迁， $|e\rangle$ 和 $|g\rangle$ ，通过相互作用 (4.1) 导致一个光子的发射或 吸收。对应于线性项的单光子发射矩阵元素 $\boldsymbol{A}$ 在 (4.1) 中，根据 (3.5) 展开，由下式给出
$$
\left\langle g, n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\left|H_{\mathrm{I}}\right| e, n_\lambda(\boldsymbol{k})\right\rangle=-\frac{e}{m}\left(\frac{2 \pi \hbar}{\mathcal{V} \omega_{\boldsymbol{k}}}\right)^{1 / 2}\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]^{1 / 2} \times\left\langle g\left|\epsilon_{\boldsymbol{k} \lambda}^* \cdot \sum_i e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r i}} \boldsymbol{p}i\right| e\right\rangle $$ 在哪里 $n \lambda(\boldsymbol{k})$ 是模式中的初始光子数 $(\boldsymbol{k}, \lambda), \boldsymbol{k}$ 是波矢量和 $\lambda$ 极化， $\omega_k$ 是给定的光子频率 $\boldsymbol{k}, \mathcal{V}$ 是量化体 积， $\boldsymbol{\epsilon k} \lambda$ 是光子的单位偏振矢量， $e$ 和 $m$ 是电子电荷和质量，而 $\boldsymbol{r}_i$ 和 $\boldsymbol{p}_i$ 是原子电子的位置和动量 $i$. 对应的 单位时间转移概率为 $$ w \lambda d \Omega{\mathrm{s}}=\frac{e^2 \omega_{\mathrm{a}} d \Omega_{\mathrm{s}}}{2 \pi m^2 \hbar c^3}\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]\left|\epsilon_{\boldsymbol{k} \lambda}^* \cdot\left\langle g\left|\sum_i e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} i} p_i\right| e\right\rangle\right|^2
$$
在哪里 $\omega \mathrm{a}=\left(E_e-E_g\right) / \hbar$ 和 $E_e$ 和 $E_g$ 是激发态和基态原子（电子）态的能量， $\Omega_{\mathrm{s}}$ 是发射的立体角。 等式 (4.3) 可以在替换因数后适用于光子的吸收 $\left[n_\lambda(\boldsymbol{k})+1\right]$ 经过 $n_\lambda(\boldsymbol{k})$.
如果我们可以近似方程式中的指数因子，则电偶极子近似是有效的。(4.2) 和 (4.3) 合一:
$$
e^{-i k \cdot r i} \approx 1
$$
如果波长 $2 \pi / k$ 与尺寸相比，光子的尺寸非常大 $R$ 原子，如光学原子跃迁的情况。那么波函数为 $|e\rangle$ 和 $|g\rangle$ 限制值 $\boldsymbol{r}i$ 到 $\left|\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}_i\right| \lesssim k R \ll 1$. 运动方程 $$ i \hbar \dot{\boldsymbol{r}}_i=\left[\boldsymbol{r}_i, H \mathrm{a}\right] $$ 在哪里 $H{\mathrm{a}}$ 是原子哈密顿量，产量
$$
\langle g|\boldsymbol{p} i| e\rangle=m\left\langle g\left|\dot{\boldsymbol{r}}i\right| e\right\rangle=-i m \omega \mathrm{a}\langle g|\boldsymbol{r} i| e\rangle $$ 电偶极算子 $\boldsymbol{d}=e \sum_i \boldsymbol{r}_i$ 在这个两国基础上可以表示为 $$ \boldsymbol{d}=\sum j, l=e, g|j\rangle\langle j|\boldsymbol{d}| l\rangle\langle l|=\sum{j, l=e, g} \wp j l \sigma j l
$$
在哪里 $\wp_{j l}=\langle j|d| l\rangle$ 是电偶极子跃迁矩阵元素。转换运算符 $\sigma_{j l}=|j\rangle\langle l|$ 形成集合
$$
\sigma_z=|e\rangle\langle e|-| g\rangle\left\langle g\left|, \sigma_{+}=\right| e\right\rangle\left\langle g\left|, \sigma_{-}=\right| g\right\rangle\langle e|,
$$
在哪里 $\sigma_{+}, \sigma_{-}$，和 $\sigma_z$ 满足 Pauli 矩阵的 spin- $1 / 2$ 代数，即
$$
\left[\sigma_{-}, \sigma_{+}\right]=-\sigma_z,\left[\sigma_{-}, \sigma_z\right]=2 \sigma_{-}
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Polaronic System–Bath Interactions
我们考虑控制光腔模式 (用 $O$ 表示) 的基本光机械哈密顿量，该模式耦合到光子浴和机械振荡器 (用 $M$ 表示) 。总哈密顿量则具有以下形式
$$
H_{\mathrm{Tot}}=H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}+\left(O^{\dagger}+O\right) \otimes B ; H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}=\omega_{\mathrm{O}} O^{\dagger} O+\Omega_{\mathrm{M}} M^{\dagger} M+g O^{\dagger} O\left(M+M^{\dagger}\right) \text {. }
$$
这里 $O^{\dagger}, O$ 和 $M^{\dagger}, M$ 分别是腔模和振荡器的产生和湮灭算符; $\omega_{\mathrm{O}}, \Omega_{\mathrm{M}}$ 和 $g$ 是它们各自的频率和耦合 率; 和 $B$ 是光子浴算子 (图 4.1) 。
我们将这些算子转换为对角化的混合光学机械模式的基础 $H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}$ 不改变他们的频率。即，
$$
H_{\mathrm{O}+\mathrm{M}}=\widetilde{H} \mathrm{O}+\widetilde{H} \mathrm{M}, \quad \widetilde{H} \mathrm{O}=\omega \mathrm{O} \tilde{O}^{\dagger} \tilde{O}-\left(g \widetilde{O}^{\dagger} \widetilde{O}\right)^2 \frac{1}{\Omega_{\mathrm{M}}}, \quad \widetilde{H} \mathrm{M}=\Omega \mathrm{M} \tilde{M}^{\dagger} \tilde{M}, \tilde{M} \quad=M
$$
新变量可以用么正 (“极化子”) 变换表示
$$
U=e^{\frac{g}{\frac{g}{2 M}\left(M^{+}-M\right) o \dagger o}} .
$$
作为 $\tilde{O}=U^{\dagger} O U$ 和 $\tilde{M}=U^{\dagger} M U$. 然后，发现光学模式和光子浴之间的相互作用间接影响机械振荡 器。
我们将限制自己对转换后的数字运算符的低激发 $\hat{n} \tilde{O}=\tilde{O}^{\dagger} \tilde{O}$ 和 $\hat{n} \tilde{M}=\tilde{M}^{\dagger} \tilde{M}$ 以及弱光机耦合机制。 即，我们假设
$$
\left(\frac{g}{\Omega_{\mathrm{M}}}\right)^2\left\langle n_{\tilde{M}}\right\rangle \ll 1, \quad \frac{g^2}{\Omega_{\mathrm{M}}}\left\langle n_{\tilde{O}}\right\rangle^2 t \ll 1
$$
在哪里 $\left\langle n_{\tilde{M}}\right\rangle$ 和 $\langle n \tilde{O}\rangle$ 是量子的平均数 $\tilde{M}$ 和 $\widetilde{O}$ 自由度，分别。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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