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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。
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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|States and Dynamics
A quantum mechanical state of the system is given by a density operator $\rho(t)$, whose evolution,
$$
\rho(t)=U_t \rho(0) U_t^{\dagger},
$$
is governed by the unitary propagator
$$
U_t:=\exp (-i H t / \hbar)=\sum_n \exp \left(-i E_n t / \hbar\right)|n\rangle\langle n| \text {. }
$$
Equations (1.12) and (1.13) yicld, for an arbitrary initial state $\rho(0)$,
$$
\rho(t)-\sum_{m, n} \rho_{m n}(0) e^{-i\left(E_m-E_n\right) t / \hbar}|m\rangle\langle n|,
$$
where $\sum_{m, n}$ is a summation over all $m, n=0,1,2, \ldots, \rho_{m n}(t):=\langle m|\rho(t)| n\rangle$ being the matrix elements of $\rho(t)$.
The ensemble-averaged occupation probability $p_{E_n}$ of an eigenvalue $E_n$ is given by the expectation value of the projector (1.3) onto the corresponding eigenspace,
$$
p_{E_n}:=\operatorname{Tr}\left[P_{E_n} \rho(t)\right]=\sum_{E_m=E_n} \rho_{m m}(t)=\sum_{E_m=E_n} p_m,
$$
where the level population $p_n$ is the time-independent expectation value of the observable $|n\rangle\langle n|$,
$$
p_n:=\operatorname{Tr}[|n\rangle\langle n| \rho(t)]=\rho_{n n}(t)=\rho_{n n}(0),
$$
normalized by
$$
1=\operatorname{Tr} \rho(t)=\sum_n \rho_{n n}(t)=\sum_n p_n=\sum_{E_n} p_{E_n} .
$$
In what follows, we shall employ the energy basis in which all the non-diagonal elements of $P_{E_n} \rho(0) P_{E_n}$ vanish,
$$
\rho_{m n}(0)=0 \quad \text { if } \quad m \neq n \quad \text { and } \quad E_m=E_n .
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|The Problem of Equilibration for Physical Observables
The statistical ensemble $\rho(t)$ is not stationary at short $t$ if $\rho(0)$ is out of equilibrium. Yet, if the right-hand side of (1.14) initially depends on $t$, it cannot approach at large $t$ any time-independent “equilibrium ensemble.” Furthermore, any mixed state $\rho(t)$ returns arbitrarily “near” its initial state $\rho(0)$ at certain times $t$ (analogously, but not identically, to pure-state Poincaré recurrences). In what follows, we examine the apparent contradiction of such recurrences with equilibration.
According to (1.14), there exists at least one $\rho_{m n}(0) \neq 0$ with
$$
\omega:=\left(E_n-E_m\right) / \hbar \neq 0 .
$$
We consider observables represented by Hermitian operators
$$
X=\sum_{m, n} X_{m n}|m\rangle\langle n|, \quad X_{m n}:=\langle m|X| n\rangle,
$$
with expectation values
$$
\langle X\rangle(t):=\operatorname{Tr}[\rho(t) X]
$$
For the observable that represents an interlevel transition,
$$
X=\hat{X}+\hat{X}^{\dagger}, \quad \hat{X}:=|m\rangle\langle n| / \rho_{m n}(0)
$$
we find from (1.14) that
$$
\operatorname{Tr}[\rho(t) X]=2 \cos (\omega t)
$$
Thus, the mean value of $X$ in the ensemble $\rho(t)$ exhibits permanent oscillations, allowing us to conclude that quantum mechanics and equilibration are, in general,
incompatible. Nevertheless, as shown below, equilibration can approximately hold true for a restricted class of observables $X$ and initial conditions $\rho(0)$.
A measurement of an observable $X$ may be assumed to yield a finite range of possible outcomes,
$$
\Delta_X:=\max {\mathcal{H}}\langle\psi|X| \psi\rangle-\min {\mathcal{H}}\langle\psi|X| \psi\rangle=x_{\max }-x_{\min }
$$
where the maximization and minimization are over all normalized vectors in the pertinent Hilbert space $\mathcal{H},|\psi\rangle \in \mathcal{H}$, so that $x_{\max }$ and $x_{\min }$ are the largest and smallest eigenvalues of $X$, respectively.
热力学代写
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|States and Dynamics
系统的量子力学状态由密度算子给出 $\rho(t)$ ，其演变，
$$
\rho(t)=U_t \rho(0) U_t^{\dagger}
$$
由西传播子控制
$$
U_t:=\exp (-i H t / \hbar)=\sum_n \exp \left(-i E_n t / \hbar\right)|n\rangle\langle n|
$$
方程 (1.12) 和 (1.13) yicld，对于任意初始状态 $\rho(0)$ ，
$$
\rho(t)-\sum_{m, n} \rho_{m n}(0) e^{-i\left(E_m-E_n\right) t / \hbar}|m\rangle\langle n|
$$
在哪里 $\sum_{m, n}$ 是所有的总和 $m, n=0,1,2, \ldots, \rho_{m n}(t):=\langle m|\rho(t)| n\rangle$ 是矩阵元素 $\rho(t)$.
整体平均占用概率 $p_{E_n}$ 一个特征值 $E_n$ 由投影仪 (1.3) 到相应特征空间的期望值给出，
$$
p_{E_n}:=\operatorname{Tr}\left[P_{E_n} \rho(t)\right]=\sum_{E_m=E_n} \rho_{m m}(t)=\sum_{E_m=E_n} p_m
$$
凡级人口 $p_n$ 是可观察的与时间无关的期望值 $|n\rangle\langle n|$ ，
$$
p_n:=\operatorname{Tr}[|n\rangle\langle n| \rho(t)]=\rho_{n n}(t)=\rho_{n n}(0)
$$
$$
1=\operatorname{Tr} \rho(t)=\sum_n \rho_{n n}(t)=\sum_n p_n=\sum_{E_n} p_{E_n}
$$
在下文中，我们将使用能量基础，其中所有非对角线元素 $P_{E_n} \rho(0) P_{E_n}$ 消失，
$$
\rho_{m n}(0)=0 \quad \text { if } \quad m \neq n \quad \text { and } \quad E_m=E_n .
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|The Problem of Equilibration for Physical Observables
统计系综 $\rho(t)$ 短时间内不稳定 $t$ 如果 $\rho(0)$ 是失衡的。然而，如果 (1.14) 的右侧最初取决于 $t$, 它不能大范围 地接近 $t$ 任何与时间无关的“平衡系综”。此外，任何混合状态 $\rho(t)$ 任意返回“接近”其初始状态 $\rho(0)$ 在某些 时候t（类似于但不完全相同的纯状态 Poincaré 递归）。在下文中，我们将检验这种重复与平衡之间的 明显予盾。
根据(1.14)，至少存在一个 $\rho_{m n}(0) \neq 0$ 和
$$
\omega:=\left(E_n-E_m\right) / \hbar \neq 0
$$
我们考虑由 Hermitian 算子表示的可观察量
$$
X=\sum_{m, n} X_{m n}|m\rangle\langle n|, \quad X_{m n}:=\langle m|X| n\rangle,
$$
具有期望值
$$
\langle X\rangle(t):=\operatorname{Tr}[\rho(t) X]
$$
对于表示层间转换的可观察对象，
$$
X=\hat{X}+\hat{X}^{\dagger}, \quad \hat{X}:=|m\rangle\langle n| / \rho_{m n}(0)
$$
我们从 (1.14) 中发现
$$
\operatorname{Tr}[\rho(t) X]=2 \cos (\omega t)
$$
因此，平均值 $X$ 在合秦中 $\rho(t)$ 表现出永久性振荡，使我们能够得出结论，一般来说，量子力学和平衡 是，
不相容。然而，如下所示，平衡可以近似地适用于一类受限制的可观察量 $X$ 和初始条件 $\rho(0)$.
可观察量的测量 $X$ 可以假设产生有限范围的可能结果，
$$
\Delta_X:=\max \mathcal{H}\langle\psi|X| \psi\rangle-\min \mathcal{H}\langle\psi|X| \psi\rangle=x_{\max }-x_{\min }
$$
其中最大化和最小化是在相关希尔伯特空间中的所有归一化向量上 $\mathcal{H},|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ ， 以便 $x_{\max }$ 和 $x_{\text {min }}$ 是的 最大和最小特征值 $X$ ，分别。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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