### 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|PHYS2712

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## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy in Band Gaps

Let us consider photonic crystals free of dissipation or disorder, where the edge of a band gap is a singularity of the DOM (i.e., $\rho_{n}(\omega)$ vanishes abruptly). Then, within a bandgap,
$$\gamma_{j j^{\prime}} \propto \gamma \propto \rho_{n}\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)=0 .$$
The evaluation of $\Delta_{j j^{\prime}}$ in a band gap is more involved. The frequency is expanded about the singularity $\omega_{c}$, the lower or upper edge of the bandgap (Fig. 3.3),
$$\omega=\omega_{\mathrm{c}}+b \kappa^{2}+\ldots,$$
$\kappa$ being the deviation from $K_{\mathrm{c}}$, the wave vector of the band edge. The firstderivative term in the expansion vanishes at the cutoff. Just above the cutoff frequency or the lower edge of a band gap $\omega_{\mathrm{c}}$, this expansion corresponds to
$$\rho_{n}(\omega) \simeq \frac{\omega\left(\omega^{2}-\omega_{\mathrm{c}}^{2}\right)^{1 / 2}}{\left(2 b \omega_{\mathrm{c}}\right)^{3 / 2}} \theta\left(\omega^{2}-\omega_{\mathrm{c}}^{2}\right),$$
$\theta$ being the Heaviside step function. An analogous expression is obtained for $\omega_{\mathrm{c}}$ at the upper edge of a band gap.

For this form of $\rho_{n}(\omega), \Delta_{j j^{\prime}}$ can be evaluated for $\omega_{\mathrm{a}}$ just below $\omega_{\mathrm{c}}$ upon extending the integral in (8.21) over the domain $\omega_{\mathrm{c}}<\omega<\infty$ and $-\infty<\omega<-\omega_{\mathrm{c}}$.

## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Long-Range RDDI near a Waveguide Cutoff

Contrary to RDDI suppression in a band gap of a photonic crystal, the cooperative Lamb shift (RDDI) can be enhanced, while the radiative rate $\gamma_{j j^{\prime}}$ can be suppressed (compared to free space) when atoms are placed inside a rectangular hollow metallic waveguide (MWG) along its axis $z$ [Fig. 8.3(a)].

These results are determined by two key features of the waveguide structure: (1) below the cutoff $\omega_{m n}$ no guided photon modes exist, and (2) the density of states diverges near the cutoff, because it is proportional to
$$\frac{\partial k}{\partial \omega}=\frac{1}{c} \frac{\omega}{\omega_{m n}} \frac{1}{\sqrt{\left(\omega / \omega_{m n}\right)^{2}-1}} .$$
In what follows, feature (1) will be shown to suppress radiative decay and feature (2) to enhance and extend the range of RDDI.

Let the atoms be polarizable in the $z$ direction, $\wp_{e g}=\wp_{e g} e_{z}$. Since in TE modes the $z$ component of the electric field vanishes, only TM modes contribute to the bath spectrum, which evaluates to [cf. (3.12) and Table 3.1]
$$G_{j j^{\prime}}(\omega)=\sum_{m n} \frac{\Gamma_{m n}}{2 \pi} \frac{\cos \left[k\left(z_{j}-z_{j^{\prime}}\right)\right]}{\sqrt{\left(\omega / \omega_{m n}\right)^{2}-1}} \theta\left(\omega-\omega_{m n}\right) .$$
Here we have introduced $\Gamma_{m n} \equiv \frac{4 \omega_{m n} \tilde{\varphi}{m n . j} \tilde{\beta}{m n . j}}{\pi \epsilon_{0} \hbar c a b}$, where
$$\tilde{\wp}{m n, j}=\wp{e g} \sin \left(\frac{m \pi}{a} x_{j}\right) \sin \left(\frac{n \pi}{b} y_{j}\right),$$ $\left(x_{j}, y_{j}\right)$ being the transverse position of atom $j$ in a waveguide with transverse dimensions $a$ and $b$.

## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy in Band Gaps

$$\gamma_{j j^{\prime}} \propto \gamma \propto \rho_{n}\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)=0 .$$

$$\omega=\omega_{\mathrm{c}}+b \kappa^{2}+\ldots$$
$\kappa$ 偏离 $K_{\mathrm{c}}$ ，波段边缘的波矢量。展开式中的一阶导数项在截止处消失。刚好高于截止频率或带隙的下边缘 $\omega_{\mathrm{c}}$ ，这个 展开对应于
$$\rho_{n}(\omega) \simeq \frac{\omega\left(\omega^{2}-\omega_{\mathrm{c}}^{2}\right)^{1 / 2}}{\left(2 b \omega_{\mathrm{c}}\right)^{3 / 2}} \theta\left(\omega^{2}-\omega_{\mathrm{c}}^{2}\right)$$
$\theta$ 是 Heaviside 阶跃函数。得到一个类似的表达式 $\omega_{\mathrm{c}}$ 在带隙的上边缘。

## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Long-Range RDDI near a Waveguide Cutoff

$$\frac{\partial k}{\partial \omega}=\frac{1}{c} \frac{\omega}{\omega_{m n}} \frac{1}{\sqrt{\left(\omega / \omega_{m n}\right)^{2}-1}}$$

$$G_{j j^{\prime}}(\omega)=\sum_{m n} \frac{\Gamma_{m n}}{2 \pi} \frac{\cos \left[k\left(z_{j}-z_{j^{\prime}}\right)\right]}{\sqrt{\left(\omega / \omega_{m n}\right)^{2}-1}} \theta\left(\omega-\omega_{m n}\right) .$$

$$\tilde{\wp} m n, j=\wp \operatorname{seg} \sin \left(\frac{m \pi}{a} x_{j}\right) \sin \left(\frac{n \pi}{b} y_{j}\right),$$
$\left(x_{j}, y_{j}\right)$ 是原子的横向位置 $j$ 在具有横向尺寸的波导中 $a$ 和 $b$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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