数学代写|拓扑学代写Topology代考|MATH6204

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metrics and the metric topology

This section is devoted to a special kind of topological spaces – the metric spaces. A parallel context is Sutherland’s book [38], which puts an emphasis on metric spaces.
The Cartesian product of two sets $X$ and $Y$ is the set
$$X \times Y={(x, y): x \in X, y \in Y} .$$
It is also called the direct product. The Cartesian product of $n$ copies of a set $\bar{X}$ is usually denoted as $\bar{X}^{n}$. A function
$$f: X^{n} \rightarrow \mathbb{C}$$
is said to be symmetric if
$$f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=f\left(x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n}}\right)$$
for any rearrangement $\left(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n}\right)$ of the subscripts $1,2, \ldots, n$, where $\mathbb{C}$ is the set of complex numbers.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Spaces

Exercises $2.19$ and $2.20$ give other two ways of self-production of metrics.
The concept of norm in linear algebra, functional analysis and related areas has a close relationship with metrics. Let $X$ be a set. A function
$$f: X \rightarrow \mathbb{R}$$
$$f(x+y) \leq f(x)+f(y)$$
for any $x, y \in X$. Let $V$ be a vector space over $\mathbb{R}$. A seminorm on $V$ is a function
$$|\cdot|: V \rightarrow \mathbb{R}$$
that is subadditive and absolutely scalable:
$$|\lambda v|=|\lambda| \cdot|v|, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall v \in V .$$
The trivial seminorm is the function that maps every vector to zero. Any seminorm is positive semi-definite, i.e.,
$$|v| \geq 0, \quad \forall v \in V .$$
In fact, the absolute scalability implies
$$|0|=0 \quad \text { and } \quad|-v|=|v| .$$
Taking $u=-v$ in the subadditivity condition that
$$|u+v| \leq|u|+|v|$$
we obtain $|v| \geq 0$. A seminorm is a norm if it is definite, that is, if it satisfies the implication
$$|v|=0 \Rightarrow v=0$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metrics and the metric topology

$$X \times Y=(x, y): x \in X, y \in Y .$$

$$f: X^{n} \rightarrow \mathbb{C}$$

$$f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=f\left(x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n}}\right)$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Spaces

$$f: X \rightarrow \mathbb{R}$$

$$f(x+y) \leq f(x)+f(y)$$

$$|\cdot|: V \rightarrow \mathbb{R}$$

$$|\lambda v|=|\lambda| \cdot|v|, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall v \in V .$$

$$|v| \geq 0, \quad \forall v \in V .$$

$$|0|=0 \quad \text { and } \quad|-v|=|v| .$$

$$|u+v| \leq|u|+|v|$$

$$|v|=0 \Rightarrow v=0$$

有限元方法代写

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MATLAB代写

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