数学代写|拓扑学代写Topology代考|MTH3130

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拓扑学是数学的一个分支,有时被称为 “橡胶板几何”,在这个分支中,如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此,同时不允许撕开或粘在一起的部分,则被认为是等效的。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|拓扑学代写Topology代考|MTH3130

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Maps, Homeomorphisms, and Homotopies

The equivalence of two topological spaces is determined by how the points that comprise them are connected. For example, the surface of a cube can be deformed into a sphere without cutting or gluing it because they are connected the same way. They have the same topology. This notion of topological equivalence can be formalized via functions that send the points of one space to points of the other while preserving the connectivity.

This preservation of connectivity is achieved by preserving the open sets. A function from one space to another that preserves the open sets is called a continuous function or a map. Continuity is a vehicle to define topological equivalence, because a continuous function can send many points to a single point in the target space, or send no points to a given point in the target space. If the former does not happen, that is, when the function is injective, we call it an embedding of the domain into the target space. True equivalence is given by a homeomorphism, a bijective function from one space to another which has continuity as well as a continuous inverse. This ensures that open sets are preserved in both directions.

Definition 1.15. (Continuous function; Map) A function $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ from the topological space $\mathbb{T}$ to another topological space $\mathbb{U}$ is continuous if for every open set $Q \subseteq \mathbb{U}, f^{-1}(Q)$ is open. Continuous functions are also called maps.
Definition 1.16. (Embedding) A map $g: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ is an embedding of $\mathbb{V}$ into $\mathbb{U}$ if $g$ is injective.

A topological space can be embedded into a Euclidean space by assigning coordinates to its points so that the assignment is continuous and injective. For example, drawing a triangle on paper is an embedding of $\mathbb{S}^1$ into $\mathbb{R}^2$. There are topological spaces that cannot be embedded into a Euclidean space, or even into a metric space – these spaces cannot be represented by any metric.

Next we define a homeomorphism that connects two spaces that have essentially the same topology.

Definition 1.17. (Homeomorphism) Let $\mathbb{T}$ and $\mathbb{U}$ be topological spaces. A homeomorphism is a bijective map $h: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ whose inverse is continuous too.

Two topological spaces are homeomorphic if there exists a homeomorphism between them.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Manifolds

A manifold is a topological space that is locally connected in a particular way. A 1-manifold has this local connectivity looking like a segment. A 2manifold (with boundary) has the local connectivity looking like a complete or partial disk. In layman’s terms, a 2-manifold has the structure of a piece of paper or rubber sheet, possibly with the houndaries glued together to form a closed surface – a category that includes disks, spheres, tori, and Möbius bands.

Definition 1.22. (Manifold) A topological space $M$ is an m-manifold, or simply a manifold, if every point $x \in M$ has a neighborhood homeomorphic to $\mathbb{B}_o^m$ or $\mathbb{H}^m$. The dimension of $M$ is $m$.

Every manifold can be partitioned into boundary and interior points. Observe that these words mean very different things for a manifold than they do for a metric space or topological space.

Definition 1.23. (Boundary; Interior) The interior Int $M$ of an $m$-manifold $M$ is the set of points in $M$ that have a neighborhood homeomorphic to $\mathbb{B}_o^m$. The boundary $\mathrm{Bd} M$ of $M$ is the set of points $M \backslash \operatorname{Int} M$. The boundary $\operatorname{Bd} M$, if not empty, consists of the points that have a neighborhood homeomorphic to $\mathbb{H}^m$. If $\mathrm{Bd} M$ is the empty set, we say that $M$ is without boundary.

A single point, a 0 -ball, is a 0 -manifold without boundary according to this definition. The closed disk $\mathbb{B}^2$ is a 2-manifold whose interior is the open disk $\mathbb{B}_o^2$ and whose boundary is the circle $\mathbb{S}^1$. The open disk $\mathbb{B}_o^2$ is a 2-manifold whose interior is $\mathbb{B}_o^2$ and whose boundary is the empty set. This highlights an important difference between Definitions $1.13$ and $1.23$ of “boundary”: when $\mathbb{B}_o^2$ is viewed as a point set in the space $\mathbb{R}^2$, its boundary is $\mathbb{S}^1$ according to Definition 1.13; but viewed as a manifold, its boundary is empty according to Definition 1.23. The boundary of a manifold is always included in the manifold.

The open disk $\mathbb{B}_o^2$, the Euclidean space $\mathbb{R}^2$, the sphere $\mathbb{S}^2$, and the torus are all connected 2-manifolds without boundary. The first two are homeomorphic to each other, but the last two are not. The sphere and the torus in $\mathbb{R}^3$ are compact (bounded and closed with respect to $\mathbb{R}^3$ ) whereas $\mathbb{B}_o^2$ and $\mathbb{R}^2$ are not.

A $d$-manifold, $d \geq 2$, can have orientations whose formal definition we skip here. Informally, we say that a 2-manifold $M$ is non-orientable if, starting from a point $p$, one can walk on one side of $M$ and end up on the opposite side of $M$ upon returning to $p$. Otherwise, $M$ is orientable. Spheres and balls are orientable, whereas the Möbius band in Figure 1.7(a) is a non-orientable 2-manifold with boundary.

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拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Maps, Homeomorphisms, and Homotopies

两个拓扑空间的等价性取决于组成它们的点的连接方式。例如,立方体的表面可以变形为球体而无需切 割或粘合,因为它们的连接方式相同。它们具有相同的拓扑结构。这种拓扑等价的概念可以通过将一个 空间的点发送到另一个空间的点同时保持连通性的函数来形式化。
这种连通性的保存是通过保存开集来实现的。从一个空间到另一个空间并保留开集的函数称为连续函数 或映射。连续性是定义拓扑等价性的载体,因为连续函数可以将许多点发送到目标空间中的单个点,或 者不发送任何点到目标空间中的给定点。如果前者没有发生,即函数是单射的,我们称它为域到目标空 间的嵌入。真正的等价性由同胚给出,同胚是从一个空间到另一个空间的双射函数,它具有连续性和连 续逆。这确保开集在两个方向上都得到保留。
定义 1.15。(Continuous function; Map) 一个函数 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ 从拓扑空间 $\mathbb{T}$ 到另一个拓扑空间 $\mathbb{U}$ 是连续 的如果对于每个开集 $Q \subseteq \mathbb{U}, f^{-1}(Q)$ 开了。连续函数也称为映射。
定义 1.16。(嵌入)地图 $g: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ 是一个嵌入 $\mathbb{V}$ 进入 $\mathbb{U}$ 如果 $g$ 是单射的。
拓扑空间可以通过为它的点分配坐标来嵌入到欧几里得空间中,这样分配是连续的和单射的。例如,在 纸上画一个三角形是嵌入 $\mathbb{S}^1$ 进入 $\mathbb{R}^2$. 有些拓扑空间不能嵌入到欧几里得空间,甚至不能嵌入到度量空间 一一这些空间不能用任何度量表示。
接下来我们定义一个同胚连接两个具有基本相同拓扑结构的空间。
定义 1.17。(同胚) 让 $\mathbb{T}$ 和 $\mathbb{U}$ 是拓扑空间。同胚是双射映射 $h: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ 它的逆也是连续的。
如果两个拓扑空间之间存在同胚,则它们是同胚的。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Manifolds

流形是以特定方式局部连接的拓扑空间。一个1-流形具有看起来像一个段的这种局部连通性。2 流形 (带边界) 具有看起来像完整或部分磁盘的本地连接。用外行的话来说,2-流形具有一张纸或橡胶板的结 构,可能有边界粘在一起形成一个封闭的表面一一这一类别包括圆盘、球体、环面和莫比乌斯带。
定义 1.22。(流形) 拓扑空间 $M$ 是一个 $\mathrm{m}$-流形,或者只是一个流形,如果每个点 $x \in M$ 有一个邻域同 肧于 $\mathbb{B}_o^m$ 要么 $\mathbb{H}^m$. 的维度 $M$ 是 $m$.
每个流形都可以划分为边界点和内部点。请注意,这些词对于流形的含义与它们对于度量空间或拓扑空 间的含义截然不同。
定义 1.23。(边界;内部) 内部 Int $M$ 的 $m$-歧管 $M$ 是点集 $M$ 有一个邻域同胚于 $\mathbb{B}_o^m$. 边界 $\mathrm{Bd} M$ 的 $M$ 是 点集 $M \backslash \operatorname{Int} M$. 边界 $\mathrm{Bd} M$ ,如果不为空,则由邻域同胚于 $\mathbb{H}^m$. 如果 $\mathrm{Bd} M$ 是空集,我们说 $M$ 是无边 界的。
根据这个定义,一个点,一个 0 -球,是一个没有边界的 0 -流形。封闭的磁盘 $\mathbb{B}^2$ 是一个 2 流形,其内部 是开放圆盘 $\mathbb{B}_o^2$ 以圆为界 $\mathbb{S}^1$. 打开的磁盘 $\mathbb{B}_o^2$ 是一个 2-流形,其内部是 $\mathbb{B}_o^2$ 并且其边界为空集。这突出了定
1.13;但作为流形来看,根据定义 1.23,它的边界是空的。流形的边界总是包含在流形中。
打开的磁盘 $\mathbb{B}_o^2$ ,欧氏空间 $\mathbb{R}^2$ ,球体 $\mathbb{S}^2$ ,环面都是无边界连接的 2-流形。前两个是彼此同胚的,但后两个 不是。中的球体和环面 $\mathbb{R}^3$ 是紧凑的(相对于 $\mathbb{R}^3$ ) 然而 $\mathbb{B}_o^2$ 和 $\mathbb{R}^2$ 不是。
一种 $d$-歧管, $d \geq 2$ ,可以有方向,我们在这里跳过其正式定义。非正式地,我们说一个 2-流形 $M$ 是不可 定向的,如果从一个点开始 $p$ ,一个人可以走在一侧 $M$ 并最终在对面 $M$ 回到 $p$. 除此以外, $M$ 是可定向 的。球体和球是可定向的,而图 1.7(a) 中的莫比乌斯带是一个不可定向的有边界的 2-流形。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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