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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Baire’s Theorem
Definition 6.37 A subset in a topological space is said to be nowhere dense if its closure has empty interior, and meagre if it is contained in the union of countably many nowhere-dense subsets.
Being nowhere dense or meagre is not an intrinsic property, in other words it also depends on the ambient space $X$. For example, the point ${0}$ is nowhere dense in $\mathbb{R}$ but not in $\mathbb{Z}$ (it’s not even meagre in the integers); so it makes sense to speak of nowheredense and meagre subspaces, whereas a nowhere-dense or meagre topological space alone is meaningless.
We may, rather punningly, distinguish meagre sets in two categories: truly thin and slender subsets, and ‘false lean’ ones. The former have empty interior, while the second sort do not albeit still being meagre. A Baire space is a space that has no subsets of the second type:
Definition 6.38 A topological space $X$ is a Baire space if each meagre subset has empty interior.
To check such a property it obviously suffices to show that countable unions of nowhere-dense closed sets have non-empty interior, or equivalently, countable intersections of open dense sets are dense.
Example 6.39 The empty set is a Baire space. Any non-empty discrete set is a Baire space: the only nowhere-dense subset is $\emptyset$.
The space $\mathbb{Q}$ is not a Baire space: every point is nowhere dense and closed, and is the countable union of its elements.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Completions
Definition 6.43 Let $(X, d)$ and $(\widehat{X}, \hat{d})$ be metric spaces. A map $\Phi: X \rightarrow \widehat{X}$ is called a completion of $(X, d)$ if:
- $\Phi$ is an isometry: $\hat{d}(\Phi(x), \Phi(y))=d(x, y)$ for all $x, y \in X$;
- $(\widehat{X}, \hat{d})$ is a complete metric space;
- $\Phi(X)$ is dense in $\widehat{X}$.
Example 6.44 The inclusion maps $(\mathbb{Q}, d) \subset(\mathbb{R}, d)$ and (] $0,1[, d) \subset([0,1], d)$ are completions ( $d$ is the Euclidean distance).
In this section we shall prove the existence, uniqueness and the main features of completions.
Lemma 6.45 Let $\left{a_n\right},\left{b_n\right}$ be Cauchy sequences in a metric space $(X, d)$. The limit
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(a_n, b_n\right) \in[0,+\infty[
$$
exists and is finite.
Proof The quadrangle inequality (Exercise 3.32) implies
$$
\left|d\left(a_n, b_n\right)-d\left(a_m, b_m\right)\right| \leq d\left(a_n, a_m\right)+d\left(b_n, b_m\right)
$$
and so the real sequence $d\left(a_n, b_n\right)$ is Cauchy.
Given a metric space $(X, d)$ we denote by $\mathfrak{c}(X, d)$ the set of all Cauchy sequences in it. Consider on $\mathfrak{c}(X, d)$ the equivalence relation
$$
\left{a_n\right} \sim\left{b_n\right} \quad \text { if and only if } \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(a_n, b_n\right)=0
$$
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Baire’s Theorem
定义6.37如果拓扑空间中的子集闭包内部为空，则称其为无密子集;如果子集包含在可数多个无密子集的并集中，则称其为弱子集。
无处密集或贫乏不是一种内在属性，换句话说，它还取决于周围空间X。例如，点${0}$在$\mathbb{R}$中没有密度，但在$\mathbb{Z}$中没有密度(它在整数中甚至不弱);所以说无密度和稀疏的子空间是有意义的，而单独的无密度或稀疏的拓扑空间是没有意义的。
我们可以用双关语来区分两类:真正的瘦子集和细长子集，以及“假瘦”子集。前者内部是空的，而后者虽然仍然是贫乏的，却没有。贝尔空间是不存在第二类子集的空间:
6.38如果拓扑空间$X$的每个微子集都有空的内部，则该拓扑空间$X$是一个贝尔空间。
为了检验这一性质，显然足以证明无密闭集的可数联合具有非空的内部，或者等价地说，开密集的可数交集是稠密的。
例6.39空集是一个贝尔空间。任何非空的离散集都是一个贝尔空间:唯一的无密度子集是$\emptyset$。
空间$\mathbb{Q}$不是一个贝尔空间:每一点都不是稠密和封闭的，并且是它的元素的可数并。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Completions
6.43设$(X, d)$和$(\widehat{X}， \hat{d})$为度量空间。映射$\Phi: X \rightarrow \widehat{X}$称为$(X, d)$的补全:
\φ是一个等距:美元美元的帽子\ d{}(\φ(x) \φ(y)) = d (x, y) $ $ x, y \ x美元;
$(\widehat{X}， \hat{d})$是完全度量空间;
$\Phi(X)$在$\widehat{X}$中是密集的。
包含映射$(\mathbb{Q}， d) \子集(\mathbb{R}， d)$和(]$0,1[，d) \子集([0,1]，d)$是补全($d$是欧几里得距离)。
在本节中，我们将证明补全的存在性、唯一性和主要特征。
引理6.45设$\left{a_n\right}，\left{b_n\right}$是度量空间$(X, d)$中的柯西序列。的极限
$ $
\lim _{n \right \ inty} d\left(a_n, b_n\right) \in[0，+\ inty]
$ $
存在且有限。
四边形不等式(练习3.32)的证明
$$
\left|d\left(a_n, b_n\right)-d\left(a_m, b_m\right)\right| \leq d\left(a_n, a_m\right)+d\left(b_n, b_m\right)
$$
所以实序列$d\left(a_n, b_n\right)$是柯西的。
给定一个度量空间$(X, d)$，我们用$\mathfrak{c}(X, d)$表示该空间中所有柯西序列的集合。考虑$\mathfrak{c}(X, d)$上的等价关系
$$
\left{a_n\right} \sim\left{b_n\right} \quad \text { if and only if } \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(a_n, b_n\right)=0
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。