数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|MATH319

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几何变换是指从具有几何结构之集合至其自身或其他此类集合的一种对射。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|MATH319

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Mappings and Transformations

The functions we study in Linear Algebra usually have domains and/or ranges in one of the numeric vector spaces $\mathbf{R}^n$ we introduced in Section 1.

DEFINITION 3.1. A function with numeric vector inputs or outputs is called a mapping or transformation – synonymous terms. A mapping, or transformation is thus simply a function described by a diagram of the form
$$
F: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m
$$
where $n>1$ and/or $m>1$. Typically, we use uppercase letters like $F$, $G$, or $H$ to label mappings, and from now on, we try to reserve the word function for the case of scalar outputs $(m=1)$.
Example 3.2. A simple mapping
$$
J: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2
$$
is given by the rule
$$
J(x, y)=(-y, x)
$$
This formula makes it easy to compute $J(x, y)$ for any specific input $(x, y) \in \mathbf{R}^2$. For instance, we have
$$
J(1,2)=(-2,1), \quad J(-3,5)=(-5,-3), \quad \text { and } \quad J(0,0)=(0,0)
$$
Is $J$ one-to-one and/or onto? We leave that as part of Exercise 32 below.

While the domain and range of $J$ are the same, other mappings often have domains and ranges that differ, as the following examples illustrate.
Example $3.3$. The rule
$$
F(x, y, z, w)=(x-y, z+w)
$$
has four scalar entries in its input, but only two in its output.

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Linearity

Recall that both scalar multiplication and matrix/vector multiplication distribute over vector addition (Propositions $1.6$ and 1.25). The definition of linearity generalizes those distributivity rules:

Definition 4.1. A mapping $F: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m$ is linear if it has both these properties:
i) F commutes with vector addition, meaning that for any two inputs $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^m$, we have
$$
F(\mathbf{x}+\mathbf{y})=F(\mathbf{x})+F(\mathbf{y})
$$
ii) $F$ commutes with scalar multiplication, meaning that for any input $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^m$ and any scalar $c \in \mathbf{R}$, we have
$$
F(c \mathbf{x})=c F(\mathbf{x})
$$
Linear mappings are often called linear transformations, and for this reason the favorite symbol for a linear mapping is the letter $T$.
ExAmple $4.2$. The mapping $T: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2$ given by
(2) $T(a, b)=(2 b, 3 a)$
is linear.
To verify this, we have to show that $T$ has both properties in Definition $4.1$ above.

First property: $T$ commutes with addition: We have to show that for any two vectors $\mathbf{x}=\left(x_1, x_2\right)$, and $\mathbf{y}=\left(y_1, y_2\right)$, we have
(3) $\quad T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})$
We do so by expanding each side of the equation separately in coordinates, and checking that they give the same result. On the left, we have
$$
T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\left(\left(\begin{array}{l}
x_1 \
x_2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
y_1 \
y_2
\end{array}\right)\right)=T\left(x_1+y_1, x_2+y_2\right)
$$
and now the rule for $T$, namely (2), reduces this to $T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\left(2\left(x_2+y_2\right), 3\left(x_1+y_1\right)\right)=\left(2 x_2+2 y_2, 3 x_1+3 y_1\right)$

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|MATH319

几何变换代考

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Mappings and Transformations

我们在线性代数中学习的函数通常在一个数值向量空间中有定义域和/或范围 $\mathbf{R}^n$ 我们在第 1 节 中介绍过。
定义 3.1。具有数字向量输入或输出的函数称为映射或变换一一同义词。因此,映射或转换只 是一个由形式图描述的函数
$$
F: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m
$$
在哪里 $n>1$ 和/或 $m>1$. 通常,我们使用大写字母,例如 $F , G$ , 或者 $H$ 标记映射,从现在 开始,我们尝试为标量输出的情况保留词函数 $(m=1)$.
示例 3.2。一个简单的映射
$$
J: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2
$$
由规则给出
$$
J(x, y)=(-y, x)
$$
这个公式很容易计算 $J(x, y)$ 对于任何特定的输入 $(x, y) \in \mathbf{R}^2$. 例如,我们有
$$
J(1,2)=(-2,1), \quad J(-3,5)=(-5,-3), \quad \text { and } \quad J(0,0)=(0,0)
$$
是 $J$ 一对一和/或到? 我们将其作为下面练习 32 的一部分。
而领域和范围 $J$ 相同,其他映射通常具有不同的域和范围,如以下示例所示。 例子 $3.3$. 规则
$$
F(x, y, z, w)=(x-y, z+w)
$$
输入中有四个标量条目,但输出中只有两个。

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Linearity

回想一下,标量乘法和矩阵/向量乘法都分布在向量加法上(命题1.6和 1.25)。线性的定义概 括了这些分配规则:
定义 4.1。映射 $F: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m$ 如果它同时具有以下两个属性,则它是线性的:
i) $F$ 通过矢量加法交换,这意味着对于任何两个输入 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^m$ ,我们有
$$
F(\mathbf{x}+\mathbf{y})=F(\mathbf{x})+F(\mathbf{y})
$$
二) $F$ 与标量乘法交换,这意味着对于任何输入 $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^m$ 和任何标量 $c \in \mathbf{R}$ ,我们有
$$
F(c \mathbf{x})=c F(\mathbf{x})
$$
线性映射通常称为线性变换,因此线性映射最喜欢的符号是字母 $T$.
例子 $4.2$. 映射 $T: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2$ 由
(2)给出 $T(a, b)=(2 b, 3 a)$
是线性的。
为了验证这一点,我们必须证明 $T$ 在定义中具有两个属性 $4.1$ 多于。
第一个属性: $T$ 与加法通勤: 我们必须证明对于任何两个向量 $\mathbf{x}=\left(x_1, x_2\right)$ ,和 $\mathbf{y}=\left(y_1, y_2\right)$, 我们有
(3) $T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})$
我们通过在坐标中分别展开等式的每一边,并检查它们是否给出相同的结果来做到这一点。在 左边,我们有
$$
T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\left(\left(x_1 x_2\right)+\left(y_1 y_2\right)\right)=T\left(x_1+y_1, x_2+y_2\right)
$$
现在的规则 $T$ ,即 (2),将其简化为
$$
T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\left(2\left(x_2+y_2\right), 3\left(x_1+y_1\right)\right)=\left(2 x_2+2 y_2, 3 x_1+3 y_1\right)
$$

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考 请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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