澳洲代写|MATH4343|Foundations of Mathematics数学基础 澳洲国立大学
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课程介绍:
This course is a critical approach to the foundations of mathematics. In other mathematics classes, the philosophical concepts at the most basic foundations are usually treated naively. The question of what exactly a number is, or what a set or a proof or an algorithm are, is completely ignored. Some evidence that these matters are not insubstantial is that in the early twentieth century, naive attempts to address them by the great logicians of the time led to famous paradoxes and a period known as the Crisis in Foundations of Mathematics.
Field | Information |
---|---|
Course Code | MATH4343 |
Prerequisite Courses | Not explicitly mentioned in the provided text. |
Majors | Mathematics |
Teachers | Not mentioned in the provided text. |
Units | 6 units |
First order logics一阶逻辑知识点
Satisfaction
We can already skip ahead to the semantics of first-order logic once we know what formulas are: here, the basic definition is that of a structure. For our simple language, a structure $\mathfrak{M}$ has just three components: a non-empty set $|\mathfrak{M}|$ called the domain, what a picks out in $\mathfrak{M}$, and what $P$ is true of in $\mathfrak{M}$. The object picked out by $a$ is denoted $a^{\mathfrak{M}}$ and the set of things $P$ is true of by $P^{\mathfrak{M}}$. A structure $\mathfrak{M}$ consists of just these three things: $|\mathfrak{M}|, a^{\mathfrak{M}} \in|\mathfrak{M}|$ and $P^{\mathfrak{M}} \subseteq|\mathfrak{M}|$. The general case will be more complicated, since there will be many predicate symbols and constant symbols, the constant symbols can have more than one place, and there will also be function symbols.
一旦我们知道了什么是公式,我们就可以跳过一阶逻辑的语义:在这里,基本的定义是结构的定义。对于我们的简单语言来说,一个结构 $\mathfrak{M}$ 只有三个组成部分:一个非空集 $|\mathfrak{M}|$(称为域)、$\mathfrak{M}$ 中 a 所选择的对象,以及 $\mathfrak{M}$ 中 $P$ 为真的对象。由 $a$ 挑选出的对象表示为 $a^{\mathfrak{M}}$,$P$ 为真的事物集合表示为 $P^{\mathfrak{M}}$。一个结构 $\mathfrak{M}$ 只由这三样东西组成:$|\mathfrak{M}|, a^{mathfrak{M}} \in|\mathfrak{M}|$ 和 $P^{\mathfrak{M}} \subseteq|\mathfrak{M}|$. 一般情况会更复杂,因为会有很多谓词符号和常量符号,常量符号可以有多个位置,而且还会有函数符号。
This is enough to give a definition of satisfaction for formulas that don’t contain variables. The idea is to give an inductive definition that mirrors the way we have defined formulas. We specify when an atomic formula is satisfied in $\mathfrak{M}$, and then when, e.g., $\neg \varphi$ is satisfied in $\mathfrak{M}$ on the basis of whether or not $\varphi$ is satisfied in $\mathfrak{M}$. E.g., we could define:
这足以给出不含变量的公式的满意度定义。我们的想法是给出一个归纳式定义,它反映了我们定义公式的方式。我们指定一个原子公式在 $\mathfrak{M}$ 中何时满足,然后根据 $\varphi$ 是否在 $\mathfrak{M}$ 中满足来确定 $neg \varphi$ 在 $\mathfrak{M}$ 中何时满足。例如,我们可以定义
- $P(a)$ is satisfied in $\mathfrak{M}$ iff $a^{\mathfrak{M}} \in P^{\mathfrak{M}}$.
- $\neg \varphi$ is satisfied in $\mathfrak{M}$ iff $\varphi$ is not satisfied in $\mathfrak{M}$.
- $(\varphi \wedge \psi)$ is satisfied in $\mathfrak{M}$ iff $\varphi$ is satisfied in $\mathfrak{M}$, and $\psi$ is satisfied in $\mathfrak{M}$ as well.
$P(a)$ 在 $\mathfrak{M}$ 中满足,如果 $a^{mathfrak{M}} \在 P^{mathfrak{M}}$ 中满足。
如果 $varphi$ 在 $mathfrak{M}$ 中不满足,那么 $neg \varphi$ 在 $mathfrak{M}$ 中满足。
如果 $\varphi$ 在 $\mathfrak{M}$ 中满足,并且 $\psi$ 在 $\mathfrak{M}$ 中也满足,那么 $(\varphi \wedge \psi)$ 在 $\mathfrak{M}$ 中满足。
Let’s say that $|\mathfrak{M}|={0,1,2}, a^{\mathfrak{M}}=1$, and $P^{\mathfrak{M}}={1,2}$. This definition would tell us that $P(a)$ is satisfied in $\mathfrak{M}$ (since $a^{\mathfrak{M}}=1 \in{1,2}=P^{\mathfrak{M}}$ ). It tells
us further that $\neg P(a)$ is not satisfied in $\mathfrak{M}$, and that in turn $\neg \neg P(a)$ is and $(\neg P(a) \wedge P(a))$ is not satisfied, and so on.
The trouble comes when we want to give a definition for the quantifiers: we’d like to say something like, ” $\exists v_0 P\left(v_0\right)$ is satisfied iff $P\left(v_0\right)$ is satisfied.” But the structure $\mathfrak{M}$ doesn’t tell us what to do about variables. What we actually want to say is that $P\left(v_0\right)$ is satisfied for some value of $v_0$. To make this precise we need a way to assign elements of $|\mathfrak{M}|$ not just to a but also to $v_0$. To this end, we introduce variable assignments. A variable assignment is simply a function $s$ that maps variables to elements of $|\mathfrak{M}|$ (in our example, to one of 1,2 , or 3 ). Since we don’t know beforehand which variables might appear in a formula we can’t limit which variables $s$ assigns values to. The simple solution is to require that $s$ assigns values to all variables $v_0, v_1, \ldots$ We’ll just use only the ones we need.
假设 $|\mathfrak{M}|={0,1,2},a^{\mathfrak{M}}=1$,$P^{mathfrak{M}}={1,2}$。这个定义告诉我们 $P(a)$ 在 $\mathfrak{M}$ 中满足(因为 $a^{\mathfrak{M}}=1 \in{1,2}=P^{\mathfrak{M}}$ )。它告诉我们
进一步告诉我们 $\neg P(a)$ 在 $\mathfrak{M}$ 中是不满足的,反过来 $\neg \neg P(a)$ 是满足的,而 $(\neg P(a) \wedge P(a))$ 是不满足的,以此类推。
当我们想给量词下定义时,麻烦就来了:我们想说 “如果 $Pleft(v_0\right)$ 满足,那么 $exists v_0 P\left(v_0\right)$ 就满足”。但是 $mathfrak{M}$ 这个结构并没有告诉我们如何处理变量。我们实际上想说的是 $P\left(v_0\right)$ 对于 $v_0$ 的某个值是满足的。为了准确地说明这一点,我们需要一种方法,不仅把 $|\mathfrak{M}|$ 的元素赋给 a,也赋给 $v_0$。为此,我们引入变量赋值。变量赋值是一个简单的函数 $s$,它将变量映射到 $|\mathfrak{M}|$ 中的元素(在我们的例子中,映射到 1、2 或 3 中的一个)。由于我们事先不知道哪些变量可能会出现在公式中,因此无法限制 $s$ 为哪些变量赋值。简单的解决方法是要求 $s$ 为所有变量 $v_0, v_1, \ldots$ 赋值。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。