数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MAT4450
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泛函分析functional analysis 是一门研究函数和函数空间的学科，它将经典分析技术与代数技术相结合。现代泛函分析是围绕用函数给出的解来求解方程的问题发展起来的。在18世纪研究了微分方程和偏微分方程之后，19世纪又研究了积分方程和其他类型的泛函方程，在这之后，人们需要发展一种新的分析方法，用无穷变量的函数来代替通常的函数。
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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Generalization for Closed Operators
Surprising as it looks, most of the results from the preceding two sections can be generalized to the case of closed operators.
Topological Transpose. Let $X$ and $Y$ be two normed spaces and let $A: X \supset D(A) \rightarrow Y$ be a linear operator, not necessarily continuous. Consider all points $\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)$ from the product space $Y^{\prime} \times X^{\prime}$ such that
$$
\left\langle\boldsymbol{y}^{\prime}, A \boldsymbol{x}\right\rangle=\left\langle\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{x}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{x} \in D(A)
$$
where the duality pairings are to be understood in $Y^{\prime} \times Y$ and $X^{\prime} \times X$, respectively. Notice that the set is nonempty as it always contains point $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$. We claim that $\boldsymbol{y}^{\prime}$ uniquely defines $\boldsymbol{x}^{\prime}$ iff the domain $D(A)$ of operator $A$ is dense in $X$. Indeed, assume that $\overline{D(A)}=X$. By linearity of both sides with respect to the first argument, it is sufficient to prove that
$$
\left\langle\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{x}\right\rangle=0 \quad \forall \boldsymbol{x} \in D(A) \quad \text { implies } \quad \boldsymbol{x}^{\prime}=\mathbf{0}
$$
But this follows easily from the density of $D(A)$ in $X$ and continuity of $\boldsymbol{x}^{\prime}$.
Conversely, assume that $\overline{D(A)} \neq X$. Let $x \in X-\overline{D(A)}$. By the Mazur Separation Theorem (Lemma 5.13.1) there exists a continuous and linear functional $\boldsymbol{x}_0^{\prime}$, vanishing on $\overline{D(A)}$, but different from zero at $\boldsymbol{x}$. Consequently, the zero functional $\boldsymbol{y}^{\prime}=\mathbf{0}$ has two corresponding elements $\boldsymbol{x}^{\prime}=\mathbf{0}$ and $\boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{x}_0^{\prime}$, a contradiction.
Thus, restricting ourselves to the case of operators $A$ defined on domains $D(A)$ which are dense in $X$, we can identify the collection of $\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)$ discussed above (see Proposition 5.10.1) as the graph of a linear operator from $Y^{\prime}$ to $X^{\prime}$, denoted $A^{\prime}$, and called the transpose (or dual) of operator $A$. Due to our construction, this definition generalizes the definition of the transpose for $A \in \mathcal{L}(X, Y)$.
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Closed Range Theorem for Closed Operators
As we have indicated in Section 5.18, we encounter some fundamental technical difficulties in extending the arguments used for the continuous operators. Our exposition follows the proof by Tosio Kato ([5], Theorem 4.8 and Section 5.2).
We start with Kato’s fundamental geometrical result on orthogonal components. Let $Z$ be a Banach space, and let $M, N$ denote two closed subspaces of $Z$. The intersection $M \cap N$ is obviosuly closed but, in the infinite dimensional setting, the direct sum $M \oplus N$ may not be closed.
The following property follows directly from the definition of the orthogonal complement (comp. Exercise 5.19 .1$)$.
$$
(M+N)^{\perp}=M^{\perp} \cap N^{\perp}
$$
The corresponding property for the orthogonal complement of $M \cap N$ is far from trivial.
(Kato’s Theorem)
Let $Z$ be a Banach space and $M, N$ be two closed subspaces of $Z$. Then subspace $M+N$ is closed in $Z$ if and only if subspace $M^{\perp}+N^{\perp}$ is closed in $Z^{\prime}$ and
$$
M^{\perp}+N^{\perp}=(M \cap N)^{\perp}
$$
LEMMA 5.19.1
Let $M+N$ be closed in Z. Then the identity (5.5) holds and, in particular, $M^{\perp}+N^{\perp}$ is closed in $Z^{\prime}$.
PROOF Step 1. Assume additionally that $M \cap N={\mathbf{0}}$. Obviously, ${\mathbf{0}}^{\perp}=\mathbf{Z}^{\prime}$, so we need to prove that
$$
M^{\perp}+N^{\perp}=Z^{\prime}
$$
Inclusion $\subset$ is trivial. To prove inclusion $\supset$, take an arbitrary $f \in Z^{\prime}$. Let $z \in M+N$ and
$$
\boldsymbol{z}=\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}, \quad \boldsymbol{m} \in M, \boldsymbol{n} \in N
$$
be the unique decomposition of $\boldsymbol{z}$. Consider linear projections implied by the decomposition,
$$
\begin{gathered}
P_M: M+N \ni \boldsymbol{z} \rightarrow \boldsymbol{m} \in M \
P_N: M+N \ni \boldsymbol{z} \rightarrow \boldsymbol{n} \in N
\end{gathered}
$$
泛函分析代写
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Generalization for Closed Operators
令人惊讶的是，前面两节的大多数结果都可以推广到闭操作符的情况。
拓扑转置。设$X$和$Y$是两个赋范空间，设$A: X \supset D(A) \rightarrow Y$是一个线性算子，不一定是连续的。考虑产品空间$Y^{\prime} \times X^{\prime}$中的所有点$\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)$，这样
$$
\left\langle\boldsymbol{y}^{\prime}, A \boldsymbol{x}\right\rangle=\left\langle\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{x}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{x} \in D(A)
$$
其中对偶对要分别在$Y^{\prime} \times Y$和$X^{\prime} \times X$中理解。注意，这个集合是非空的，因为它总是包含点$(\mathbf{0}, \mathbf{0})$。如果运算符$A$的域$D(A)$在$X$中是密集的，我们声明$\boldsymbol{y}^{\prime}$唯一地定义$\boldsymbol{x}^{\prime}$。的确，假设$\overline{D(A)}=X$。通过两边关于第一个参数的线性，就足以证明
$$
\left\langle\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{x}\right\rangle=0 \quad \forall \boldsymbol{x} \in D(A) \quad \text { implies } \quad \boldsymbol{x}^{\prime}=\mathbf{0}
$$
但这很容易从$X$中$D(A)$的密度和$\boldsymbol{x}^{\prime}$的连续性得出。
反过来，假设$\overline{D(A)} \neq X$。让$x \in X-\overline{D(A)}$。根据Mazur分离定理(引理5.13.1)，存在一个连续线性泛函$\boldsymbol{x}_0^{\prime}$，它在$\overline{D(A)}$上消失，但在$\boldsymbol{x}$上不等于零。因此，零函数$\boldsymbol{y}^{\prime}=\mathbf{0}$有两个对应的元素$\boldsymbol{x}^{\prime}=\mathbf{0}$和$\boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{x}_0^{\prime}$，这是一个矛盾。
因此，限制我们自己在$X$中密集的域$D(A)$上定义的算子$A$的情况，我们可以将上面讨论的$\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)$的集合(见命题5.10.1)识别为从$Y^{\prime}$到$X^{\prime}$的线性算子的图，记为$A^{\prime}$，并称为算子$A$的转置(或对偶)。由于我们的构造，这个定义推广了$A \in \mathcal{L}(X, Y)$的转置的定义。
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Closed Range Theorem for Closed Operators
正如我们在5.18节中指出的，在扩展连续运算符的实参时，我们遇到了一些基本的技术困难。我们的论述遵循Tosio Kato([5]，定理4.8和第5.2节)的证明。
我们从加藤关于正交分量的基本几何结果开始。设$Z$是一个巴拿赫空间，设$M, N$表示$Z$的两个闭子空间。相交$M \cap N$显然是封闭的，但在无限维设置中，直接和$M \oplus N$可能不封闭。
下面的性质直接来自正交补的定义(参见练习5.19.1 $)$)。
$$
(M+N)^{\perp}=M^{\perp} \cap N^{\perp}
$$
$M \cap N$的正交补的相应性质远非平凡。
(加藤定理)
设$Z$是一个巴拿赫空间，$M, N$是$Z$的两个闭子空间。那么子空间$M+N$在$Z$中关闭当且仅当子空间$M^{\perp}+N^{\perp}$在$Z^{\prime}$和中关闭
$$
M^{\perp}+N^{\perp}=(M \cap N)^{\perp}
$$
引理5.19.1
假设$M+N$在z中关闭，那么恒等式(5.5)成立，特别是$M^{\perp}+N^{\perp}$在$Z^{\prime}$中关闭。
第1步。另外假设$M \cap N={\mathbf{0}}$。显然，${\mathbf{0}}^{\perp}=\mathbf{Z}^{\prime}$，所以我们需要证明它
$$
M^{\perp}+N^{\perp}=Z^{\prime}
$$
包含$\subset$是微不足道的。为了证明包含$\supset$，取一个任意的$f \in Z^{\prime}$。让$z \in M+N$和
$$
\boldsymbol{z}=\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}, \quad \boldsymbol{m} \in M, \boldsymbol{n} \in N
$$
被独特的分解$\boldsymbol{z}$。考虑分解所隐含的线性投影，
$$
\begin{gathered}
P_M: M+N \ni \boldsymbol{z} \rightarrow \boldsymbol{m} \in M \
P_N: M+N \ni \boldsymbol{z} \rightarrow \boldsymbol{n} \in N
\end{gathered}
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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