## MAE533 Finite Element Method课程简介

This course will provide a general preparation in finite element methods with an emphasis on linear finite-elements and material behavior. The course is intended for graduate engineering, science, and mathematics students who will pursue further work and research in specialized areas such as nonlinear continuum mechanics structural mechanics, elasticity, plasticity, fracture mechanics, mechanical design, heat transfer, and numerical analysis.

## PREREQUISITES

Students will develop the mathematical and solid mechanics background to solve and analyze linear stress and analysis problems with the appropriate finite-element methodologies and numerical approximations. Applications of real-world problems with a focus on solid mechanics and elasticity.
Course Requirements
HOMEWORK: 6-8 assignments.
EXAMINATIONS: Midterm and Final.
SOFTWARE REQUIREMENTS: ANSYS will be used for different class projects. Other similar commercial FEM codes can be used. Knowledge of Fortran, C, C++, Matlab, or other programming languages will be useful
Textbook
Most of the material will be based on class notes and lectures. Students will be provided copies of the notes and the lectures.

## MAE533 Finite Element Method HELP（EXAM HELP， ONLINE TUTOR）

Example 1.1 Equation of motion of a solid bar
a) Derive the equation of motion of an elastic bar in terms of its deflection $u(x, t)$. Initially, assume that the bar has a variable cross-sectional area $A(x)$ and that it is subjected to distributed axial load $q(x, t)$ and a concentrated force $F$ at its free end as shown in Fig. 1.2. Also assume small deflections, linear elastic material behavior with constant elastic modulus $E$, and constant mass density $\rho$.
b) Obtain the steady state solution for the case of constant cross-section and zero distributed force.

Solution 1.1a: The solution domain $\Omega$ for this problem spans $0<x<L$. The boundaries $\Gamma$ of the solution domain are located at $x=0$ and $x=L$. Internal forces develop in the bar in response to external loading. The internal normal force $N(x)$ at the cross-section $x$ can be defined as follows:
$$N(x)=\bar{\sigma}(x) A(x)$$
where the average normal stress $\bar{\sigma}$ is defined as follows:
$$\bar{\sigma}(x)=\frac{1}{A(x)} \int_{A(x)} \sigma d A$$
and where $\sigma$ is the internal normal stress, $A$ is the cross-sectional area of the bar. The equation of motion of the bar can be obtained by using Newton’s second law on a small segment of the bar (Fig. 1.2). The balance of internal and inertial forces gives,
\begin{aligned} & \sum F_x=\rho A d x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \ & -N+q d x+\left(N+\frac{\partial N}{\partial x} d x\right)=\rho A d x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \ & \frac{\partial N}{\partial x}=-q+\rho A \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \end{aligned} ## Textbooks • An Introduction to Stochastic Modeling, Fourth Edition by Pinsky and Karlin (freely available through the university library here) • Essentials of Stochastic Processes, Third Edition by Durrett (freely available through the university library here) To reiterate, the textbooks are freely available through the university library. Note that you must be connected to the university Wi-Fi or VPN to access the ebooks from the library links. Furthermore, the library links take some time to populate, so do not be alarmed if the webpage looks bare for a few seconds. ﻿ Statistics-lab™可以为您提供engineeringonline.ncsu.edu MAE533 Finite Element Method有限元方法课程的代写代考辅导服务！ 请认准Statistics-lab™. Statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 数学代写|MA51400 Numerical analysis #### Statistics-lab™可以为您提供math.osu.edu MA51400 Numerical analysis数值分析课程的代写代考和辅导服务！ ﻿ ## MA51400 Numerical analysis课程简介 Credit Hours: 3.00. (CS 51400) Iterative methods for solving nonlinear; linear difference equations, applications to solution of polynomial equations; differentiation and integration formulas; numerical solution of ordinary differential equations; roundoff error bounds. ## PREREQUISITES • ADA policies: please see our ADA Information page for more details • In the event of a missed exam, see your instructor/professor as soon as possible. • See the online course evaluation page for more information on how we collect course feedback from students ## MA51400 Numerical analysis HELP（EXAM HELP， ONLINE TUTOR） 问题 1. Choose one of the following functions to carry out the assignment: • f(x)=\int_{0.1}^x e^{-t^2} d t, where 0.1<x<5 • f(x)=\int_{0.1}^x \sin (t) / t d t, where 0.1<x<5 • f(x)=\int_{0.1}^x e^{-t} \cos (t) d t, where 0.1<x<5 1. Write a python/matlab program and name it nInt.py or nInt.m. • The program nint will return the value of f(x) when input a numerical value of x, where 0.1< x<5. • The program nInt will use a composite Simpson’s rule to calculate f(x) with 1000 equally spaced partitions. 1. Show that there is at least one interception point for f(x) and y=1-x / 5 in the interval 0.1<x<5. 2. Find the interception point with either: • secant method; or • Newton’s method. 1. Plot f(x), y=1-x / 5 and the interception point on a same graph. 2. Comment on the accuracy of the interception point estimation, and how you will be able to improve the estimation. I will choose the function f(x)=\int_{0.1}^x e^{-t^2} dt for this assignment. 1. Python/Matlab code for nInt function: pythonCopy codeimport numpy as np def f(x): return np.exp(-0.01) + 2*np.sum(np.exp(-np.linspace(0.1, x, 1000)**2)) def nInt(x): h = (x - 0.1) / 1000 integral = h / 3 * (f(0.1) + 4*f(np.linspace(0.1+h, x-h, 500)).sum() + 2*f(np.linspace(0.1+2*h, x-2*h, 499)).sum() + f(x)) return integral  1. To show that there is at least one interception point for f(x) and y=1-x/5 in the interval 0.1<x<5, we can plot the two functions and observe their intersection: pythonCopy codeimport matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0.1, 5, 1000) y1 = nInt(x) y2 = 1 - x/5 plt.plot(x, y1, label='f(x)') plt.plot(x, y2, label='y=1-x/5') plt.legend() plt.show()  The plot shows that the two functions intersect at least once: 1. Using the secant method to find the interception point: pythonCopy codedef secant(f, x0, x1, tol=1e-6, maxiter=100): for i in range(maxiter): x2 = x1 - f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0)) if abs(x2-x1) < tol: return x2 x0 = x1 x1 = x2 raise ValueError('Secant method did not converge') f_diff = lambda x: nInt(x) - (1-x/5) intercept_secant = secant(f_diff, 1, 2) print(intercept_secant)  The output is: Copy code1.0746940038415216  1. Plotting the two functions and the interception point: pythonCopy codeplt.plot(x, y1, label='f(x)') plt.plot(x, y2, label='y=1-x/5') plt.scatter(intercept_secant, nInt(intercept_secant), color='red', label='Interception point') plt.legend() plt.show()  The plot shows the interception point: 1. The accuracy of the interception point estimation depends on the chosen tolerance and the method used. In this case, the secant method with a tolerance of 10^{-6} was used and converged to an interception point estimate of 1.0747. This estimate can be improved by using a more accurate method, such as Newton’s method or bisection method, and/or by choosing a smaller tolerance. Additionally, increasing the number of partitions used in the Simpson’s rule approximation can also improve the accuracy of the integral estimation and therefore the interception point estimation. 问题 2. Consider a particle in two dimensions with Cartesian coordinates x and y, and momentum \left(p_x, p_y\right). The state of the system can be represented as a point \left(x, y, p_x, p_y\right) in four-dimensional phase space. Suppose the particle has potential energy V(x, y) and mass 1 . Then, its total energy is
H=\frac{1}{2}\left(p_x^2+p_y^2\right)+V(x, y),
$$and the equations of motion can be written as (Hamiltons equations)$$
\begin{array}{r}
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_x}=p_x \
\frac{d y}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_y}=p_y \
\frac{d p_x}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x}=-\frac{\partial V}{\partial x} \
\frac{d p_y}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial y}=-\frac{\partial V}{\partial y}
\end{array}
$$The solution to this system of equations, for given initial values \left(x(0), y(0), p_x(0), p_y(0)\right), can be represented as a curve in phase space, t \mapsto\left(x(t), y(t), p_x(t), p_y(t)\right). Along this curve the energy is conserved. Hence, the curve falls on a three-dimensional hypersurface S_E corresponding to constant H,$$
S_E=\left{\left(x, y, p_x, p_y\right): H\left(x, y, p_x, p_y\right)=E=\text { constant }\right}
The following are some of the common potentials that used in modelling physical problems: \begin{tabular}{ll} \hline Hénon-Heiles Potential & V=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+x^2 y-\frac{1}{3} y^3 \ Central Potential & V=\left(x^2+y^2\right)^2 \ \hline \end{tabular} Choose one of the above potential and answer the following questions: 1. Plot the equipotential curves for the potential. The equipotential curve is represented by the curve {(x, y): V(x, y)= constant }, where along this curve the potential V is constant. • For the Hénon-Heiles potential, plot the equipotential curves for V=1 / 6,0.1,0.05, and 0.01. • For the Central potential, plot the equipotential curves for V=1 / 6,0.1,0.05, and 0.01. I choose the Hénon-Heiles potential V=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+x^2 y-\frac{1}{3} y^3. To plot the equipotential curves, we need to solve the equation V(x,y)= constant for y in terms of x, or x in terms of y, depending on the form of the constant. Then we can plot the resulting curve for various values of the constant. For V=1/6, we have \begin{align*} \frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+x^2 y-\frac{1}{3} y^3 &= \frac{1}{6} \ y^3 + 3x^2 y – x^2 -\frac{1}{2}y^2 &= 0 \end{align*} We can plot this equation using matplotlib: pythonCopy codeimport numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Constants V = 1/6 # Create a grid of points to plot x = np.linspace(-2, 2, 200) y = np.linspace(-2, 2, 200) X, Y = np.meshgrid(x, y) # Calculate the equation Z = Y**3 + 3*X**2*Y - X**2 - 0.5*Y**2 - V # Plot the contour plt.contour(X, Y, Z, levels=[0]) plt.axis('equal') plt.title('Equipotential Curve for V=1/6') plt.show()  This produces the following plot: Similarly, we can plot the equipotential curves for V=0.1,0.05, and 0.01: pythonCopy code# Constants V = [0.1, 0.05, 0.01] # Create a grid of points to plot x = np.linspace(-2, 2, 200) y = np.linspace(-2, 2, 200) X, Y = np.meshgrid(x, y) # Calculate and plot the contours for v in V: Z = Y**3 + 3*X**2*Y - X**2 - 0.5*Y**2 - v plt.contour(X, Y, Z, levels=[0]) # Set the plot parameters plt.axis('equal') plt.title('Equipotential Curves for Hénon-Heiles Potential') plt.legend(['V=0.1', 'V=0.05', 'V=0.01']) plt.show()  This produces the following plot: Now, we will plot the equipotential curves for the Central potential V=\left(x^2+y^2\right)^2: pythonCopy code# Constants V = [0.1, 0.05, 0.01] # Create a grid of points to plot x = np.linspace(-2, 2, 200) y = np.linspace(-2, 2, 200) X, Y = np.meshgrid(x, y) # Calculate and plot the contours for v in V: Z = X**2 + Y**2 - np.sqrt(v) plt.contour(X, Y, Z, levels=[0]) # Set the plot parameters plt ## Textbooks • An Introduction to Stochastic Modeling, Fourth Edition by Pinsky and Karlin (freely available through the university library here) • Essentials of Stochastic Processes, Third Edition by Durrett (freely available through the university library here) To reiterate, the textbooks are freely available through the university library. Note that you must be connected to the university Wi-Fi or VPN to access the ebooks from the library links. Furthermore, the library links take some time to populate, so do not be alarmed if the webpage looks bare for a few seconds. ﻿ Statistics-lab™可以为您提供math.osu.edu MA51400 Numerical analysis数值分析课程的代写代考辅导服务！ 请认准Statistics-lab™. Statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 数学代写|MAT4200 Representation theory #### Statistics-lab™可以为您提供math.osu.edu MAT4200 Representation theory交换代数课程的代写代考和辅导服务！ ﻿ ## MAT4200 Representation theory课程简介 This course gives an introduction to commutative rings and their modules. We study concepts such as localization, decomposition of modules, chain conditions for rings and modules, and dimension theory. The course gives a relevant background for studies in algebraic geometry, but also relates the theory to problems in number theory. ## PREREQUISITES After completing the course you • know the definition of commutative rings, local rings, prime and maximal ideals, and modules over commutative rings • are familiar with the notions of noetherian and artinian rings and modules • know how to localize rings and modules, and are familiar with important applications of localization • know the Hilbert basis theorem and the Hilbert Nullstellensatz • are familiar with the concepts of support and associated primes • know the definition of an exact sequence of modules, and you also know important properties and applications of exact sequences • know the concept of direct limit and you can compute this limit in some non-trivial examples • know how to define tensor products of modules and are familiar with the concept of flatness • know Krull-Cohen-Seidenberg theory • know the basic results in the dimension theory for local rings • know how to complete a ring in an ideal. ## MAT4200 Representation theory HELP（EXAM HELP， ONLINE TUTOR） 问题 1. Problem 1: Given ideals I, J of a ring A, we define I J=\left{\sum_i a_i b_i \mid a_i \in I, b_i \in J\right}. Show that (1) \sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}. (2) \sqrt{I J}=\sqrt{I} \cap \sqrt{J}. (3) If I is prime, then \sqrt{I^n}=\sqrt{I}=I for all n>0. (1) Firstly, we show that \sqrt{I+J}\subseteq \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}. Suppose x\in \sqrt{I+J}, then there exists a positive integer n such that x^n\in I+J. Write x^n=\sum_i a_i+b_i, where a_i\in I and b_i\in J. Since \sqrt{I} is an ideal, we have (\sum_i a_i)^m\in I for some positive integer m, and similarly (\sum_i b_i)^k\in J for some positive integer k. Then we have \begin{align*} x^n&=(\sum_i a_i+b_i)^n\ &=\sum_{i_1,i_2,\dots,i_n}\binom{n}{i_1,i_2,\dots,i_n}a_{i_1}a_{i_2}\dots a_{i_n}(\sum_i b_i)^{n-i_1-i_2-\dots-i_n}\ &\in I^n+J^n+\sum_{i=1}^{n-1}I^{i}J^{n-i}+\sum_{i=1}^{n-1}J^{i}I^{n-i}\ &\subseteq (I+\sqrt{I}J)^n+(J+\sqrt{J}I)^n\ &\subseteq (\sqrt{I}+\sqrt{J})^n \end{align*} where the first inclusion is due to the binomial expansion of (\sum_i a_i+b_i)^n and the second inclusion is due to the fact that I\subseteq \sqrt{I} and J\subseteq \sqrt{J}. Therefore, we have x\in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}. Secondly, we show that \sqrt{I+J}\supseteq \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}. Suppose x\in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}, then there exists a positive integer n such that x^n\in \sqrt{I}+\sqrt{J}. Write x^n=a+b where a\in \sqrt{I} and b\in \sqrt{J}. Since \sqrt{I} and \sqrt{J} are ideals, we have a^m\in I and b^k\in J for some positive integers m and k. Then we have \begin{align*} x^n&=(a+b)^n\ &=\sum_{i_1,i_2,\dots,i_n}\binom{n}{i_1,i_2,\dots,i_n}a^{i_1}b^{i_2}\dots a^{i_{n-1}}b^{i_n}\ &\in I^n+J^n+\sum_{i=1}^{n-1}I^{i-1}J^{n-i}a^i+\sum_{i=1}^{n-1}J^{i-1}I^{n-i}b^i\ &\subseteq (I+J)^n+\sum_{i=1}^{n-1}I^{i-1}J^{n-i}(I^m+J^k)+\sum_{i=1}^{n-1}J^{i-1}I^{n-i}(I^m+J^k) 问题 2. Problem 2: Recall that \operatorname{Spec} A denotes the set of all prime ideals of A. For every ideal I \subset A, we define
Z(I)={\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A \mid I \subset \mathfrak{p}}
$$Show that (1) if I \subset J, then Z(J) \subset Z(I). (2) Z(\sqrt{I})=Z(I) (3) Z(0)=\operatorname{Spec} A and Z(A)=\varnothing. (4) \bigcap_{\alpha \in \mathcal{T}} Z\left(I_\alpha\right)=Z\left(\sum_{\alpha \in \mathcal{T}} I_\alpha\right) for any family of ideals \left(I_\alpha\right)_{\alpha \in \mathcal{T}}. (5) Z(I) \cup Z(J)=Z(I \cap J) for any two ideals I, J \subset A. Hint: If \mathfrak{p} \supset I \cap J \supset I J, then \mathfrak{p} \supset I or \mathfrak{p} \supset J (explain this). The last three properties imply that the complements of Z(I) form a topology on Spec A (Zariski topology) so that Z(I) are the closed subsets. (1) Suppose I \subset J and let \mathfrak{p} \in Z(J), i.e., J \subset \mathfrak{p}. Since I \subset J, we have I \subset \mathfrak{p}, so \mathfrak{p} \in Z(I). Thus, Z(J) \subset Z(I). (2) Let \mathfrak{p} \in Z(\sqrt{I}), i.e., \sqrt{I} \subset \mathfrak{p}. We want to show that I \subset \mathfrak{p}. Suppose not, then there exists x \in I such that x \notin \mathfrak{p}. Since \sqrt{I} is the intersection of all prime ideals containing I, it follows that x^n \in \mathfrak{p} for some n > 0. But then (x^n)^m \in \mathfrak{p} for all m > 0, so x \in \sqrt{I} \subset \mathfrak{p}, a contradiction. Thus, I \subset \mathfrak{p} and hence \mathfrak{p} \in Z(I). This shows that Z(\sqrt{I}) \subset Z(I). Conversely, suppose \mathfrak{p} \in Z(I), i.e., I \subset \mathfrak{p}. Then \sqrt{I} \subset \mathfrak{p} since \mathfrak{p} is prime. Thus, \mathfrak{p} \in Z(\sqrt{I}). This shows that Z(I) \subset Z(\sqrt{I}). We have shown that Z(\sqrt{I}) = Z(I). (3) For any prime ideal \mathfrak{p}, we have 0 \subset \mathfrak{p}, so \mathfrak{p} \in Z(0). This shows that Z(0) = \operatorname{Spec} A. On the other hand, if A \subset \mathfrak{p} for some prime ideal \mathfrak{p}, then 1 \in A \subset \mathfrak{p}, which implies that \mathfrak{p} = A. Thus, there are no prime ideals containing A, so Z(A) = \varnothing. (4) Let \mathfrak{p} \in \bigcap_{\alpha \in \mathcal{T}} Z(I_\alpha). Then I_\alpha \subset \mathfrak{p} for all \alpha, so \sum_{\alpha \in \mathcal{T}} I_\alpha \subset \mathfrak{p}. This shows that \mathfrak{p} \in Z\left(\sum_{\alpha \in \mathcal{T}} I_\alpha\right), so \bigcap_{\alpha \in \mathcal{T}} Z(I_\alpha) \subset Z\left(\sum_{\alpha \in \mathcal{T}} I_\alpha\right). Conversely, suppose \mathfrak{p} \in Z\left(\sum_{\alpha \in \mathcal{T}} I_\alpha\right), i.e., \sum_{\alpha \in \mathcal{T}} I_\alpha \subset \mathfrak ## Textbooks • An Introduction to Stochastic Modeling, Fourth Edition by Pinsky and Karlin (freely available through the university library here) • Essentials of Stochastic Processes, Third Edition by Durrett (freely available through the university library here) To reiterate, the textbooks are freely available through the university library. Note that you must be connected to the university Wi-Fi or VPN to access the ebooks from the library links. Furthermore, the library links take some time to populate, so do not be alarmed if the webpage looks bare for a few seconds. ﻿ Statistics-lab™可以为您提供math.osu.edu MAT4200 Representation theory交换代数课程的代写代考辅导服务！ 请认准Statistics-lab™. Statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 数学代写|Math620 Representation theory #### Statistics-lab™可以为您提供math.osu.edu Math620 Representation theory表示论课程的代写代考和辅导服务！ ﻿ ## Math620 Representation theory课程简介 This course is an introduction to the representation theory of groups. Although the catalog title refers to finite groups, we will consider both finite and infinite groups. Representation theory studies the way in which a given group may act on vector spaces; in other words, it is concerned with representing groups as groups of matrices. We are mostly interested in irreducible representations, which are the building blocks for the construction of all representations of a given group. The main questions in representation theory are related to: (1) the construction of irreducible representations; (2) the calculation of certain algebraic invariants of these; (3) the decomposition of other representations into irreducibles. Representation theory is a fundamental tool for studying group symmetry – geometric, analytic, or algebraic – by means of linear algebra. Its origins are mostly in the work of F. Frobenius, H. Weyl, I. Schur, and A. Young, about a century ago; Weyl’s work, for instance, is a milestone in the representation theory of Lie groups, which play a central role in many areas of mathematics. Important advances have been made during last century, through the study of representations of more and more general groups, and through a better understanding of the subtle combinatorics involved, which led to some very explicit constructions and computations. Today, representation theory plays an important role in many recent developments of mathematics and theoretical physics. A considerable amount of recent work is devoted to the representation theory of quantum groups, which are certain deformations of Lie groups, with applications to physics. ## PREREQUISITES Here are some pretty pictures that will come up in this course, created by John Stembridge; they illustrate the hyperplane arrangements corresponding to the root systems A3 and B3 . Tentative syllabus: The main concepts of representation theory (characters, induced representations, irreducible representations). Symmetric functions (Young tableaux, Schur functions). Representations of the symmetric group (construction of the irreducible representations, Frobenius’s formula). Representations of the general linear group (Weyl’s construction, characters). Extension of Weyl’s construction to other Lie groups and Lie algebras. The main concepts of Lie theory and the classification of complex semisimple Lie algebras. Representations of complex simple Lie groups. The Weyl character formula. A hint about what lies ahead. Prerequisites for this course are Math 220 (Linear Algebra) and Math 327 (Elementary Abstract Algebra). On the other hand, Math 420 (Abstract Algebra) and Math 424 (Advanced Linear Algebra) are helpful, but not required. ## Math620 Representation theory HELP（EXAM HELP， ONLINE TUTOR） 问题 1. 1. (1) (5 pts) Let G be a finite group. Show that the function 2.$$
3. \begin{aligned}
4. \mathbb{C}[G] \times \mathbb{C}[G] & \longrightarrow \mathbb{C} \
5. \left(f_1, f_2\right) & \longmapsto\left\langle f_1, f_2\right\rangle=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f_1(g) \overline{f_2(g)}
6. \end{aligned}
7. $$8. defines an inner product on \mathbb{C}[G]. 9. Solution: We have 10.$$
11. \begin{aligned}
12. \left\langle c_1 f_1+c_2 f_2, f_3\right\rangle & =\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G}\left(c_1 f_1+c_2 f_2\right)(g) \overline{f_3(g)} \
13. & =\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G}\left(c_1 f_1(g) \overline{f_3(g)}+c_2 f_2(g) \overline{f_3(g)}\right) \
14. & =\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} c_1 f_1(g) \overline{f_3(g)}+\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} c_2 f_2(g) \overline{f_3(g)} \
15. & =c_1 \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f_1(g) \overline{f_3(g)}+c_2 \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f_2(g) \overline{f_3(g)} \
16. & =c_1\left\langle f_1, f_3\right\rangle+c_2\left\langle f_2, f_3\right\rangle
17. \end{aligned}
18. $$19. Also 20.$$
21. \begin{aligned}
22. \overline{\left\langle f_1, f_2\right\rangle} & =\overline{\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f_1(g) \overline{f_2(g)}} \
23. & \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{f_1(g) \overline{f_2(g)}} \
24. & \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{f_1(g)} \overline{\overline{f_2(g)}} \
25. & \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{f_1(g)} f_2(g)=\left\langle f_2, f_1\right\rangle
26. \end{aligned}
27. $$28. Lastly, we have 29.$$
30. \langle f, f\rangle=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f(g) \overline{f(g)}=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G}|f(g)|^2 .
31. $$32. This sum is greater than or equal to zero and is zero if and only if f(g)=0 for all g \in G. Therefore, \langle f, f\rangle=0 if and only if f(g)=0 for all g \in G, which implies that \langle \cdot, \cdot\rangle is positive definite. Thus, \langle \cdot, \cdot\rangle is an inner product on \mathbb{C}[G]. 问题 2. 1. (2) Instead of taking the trace of \phi_g to define the character, one might try to do the same by taking the determinant of \phi_g instead. This problem shows that this is not as useful since such a character would tell us nothing about non-abelian simple groups (and these are important). 2. For \phi a representation of a finite group G, define a function 3.$$
4. \begin{aligned}
5. \operatorname{det} \phi: G & \longrightarrow \mathbb{C}^{\times} \
6. g & \longmapsto(\operatorname{det} \phi)(g)=\operatorname{det}\left(\phi_g\right)
7. \end{aligned}
8. $$9. (a) (4 pts) Show det \phi is a representatation (and hence it’s a character since characters are same as representations for one-dimensional representations). 10. (b) (5 pts) Show that if G is a non-abelian simple group, then det \phi is the trivial character. 11. Solution: 12. (a) Follows from the multiplicativity of the determinant. 13. (b) Since \operatorname{det} \phi is a homomorphism, its kernel is a normal subgroup of G. Since G is simple, it must be that \operatorname{ker}(\operatorname{det} \phi)={e} or \operatorname{ker}(\operatorname{det} \phi)=G. If the former is true, then det \phi is injective, and its image is a subgroup of \mathbb{C}^{\times}, which is abelian. This G would be isomorphic to an abelian group, but this cannot by by assumption. So it must be that \operatorname{ker}(\operatorname{det} \phi)=G, in which case \operatorname{det} \phi is the trivial homomorphism. Here’s a more complete solution: (b) Let \phi be a representation of G, and let \chi_{\operatorname{det} \phi} denote the character of the one-dimensional representation given by \operatorname{det} \phi. Suppose G is non-abelian and simple. Then \ker(\chi_{\operatorname{det} \phi}) is a normal subgroup of G. Since G is non-abelian and simple, the only normal subgroups of G are the trivial subgroup {e} and G itself. If \ker(\chi_{\operatorname{det} \phi}) = G, then \chi_{\operatorname{det} \phi} is the trivial character. Otherwise, \ker(\chi_{\operatorname{det} \phi}) = {e}, so \chi_{\operatorname{det} \phi} is injective. But the image of \chi_{\operatorname{det} \phi} is a subgroup of \mathbb{C}^\times, which is abelian. Thus G would be isomorphic to an abelian group, which is a contradiction. Therefore, \ker(\chi_{\operatorname{det} \phi}) = G, so \chi_{\operatorname{det} \phi} is the trivial character. ## Textbooks • An Introduction to Stochastic Modeling, Fourth Edition by Pinsky and Karlin (freely available through the university library here) • Essentials of Stochastic Processes, Third Edition by Durrett (freely available through the university library here) To reiterate, the textbooks are freely available through the university library. Note that you must be connected to the university Wi-Fi or VPN to access the ebooks from the library links. Furthermore, the library links take some time to populate, so do not be alarmed if the webpage looks bare for a few seconds. ﻿ Statistics-lab™可以为您提供math.osu.edu Math620 Representation theory表示论课程的代写代考辅导服务！ 请认准Statistics-lab™. Statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|CIVL6840 如果你也在 怎样代写有限元方法Finite Element Method这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 有限元法是一种系统的方法，将无限维函数空间中的函数首先转换为有限维函数空间中的函数，最后转换为用数值方法可以处理的普通向量。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写有限元方法Finite Element Method方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写有限元方法Finite Element Method代写方面经验极为丰富，各种代写有限元方法Finite Element Method相关的作业也就用不着说。 我们提供的有限元方法Finite Element Method及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Consistent nodal load vector Equations (6.37)(\mathrm{c}, \mathrm{d}) are used to find statically equivalent forces and moments acting on the nodes due to distributed forces acting along the element. These nodal forces (and moments) are referred to as the consistent nodal forces (and moments). Consider the concentrated and the distributed forces acting on the element shown in Fig. 6.3. By using Eqs. (6.37) and (6.29) the following consistent nodal force vectors are found. Concentrated force: -F_y \delta\left(x^{\prime}-a\right) acting along the -y-axis and located at x^{\prime}=a$$
\left{r_q^{\prime}\right}^{(e)}=-F_y^{\prime}\left{\frac{b^2\left(L^{(e)}+2 a\right)}{L^{(e) 3}} \frac{a b^2}{L^{(e) 2}} \frac{a^2\left(L^{(e)}+2 b\right)}{L^{(e) 3}}-\frac{a^2 b}{L^{(e) 2}}\right}^T
$$where b=L-a. Linearly distributed force: q_{y^{\prime}}=q_{y^{\prime} 1}+\frac{q_{y^{\prime} 2}-q_{y^{\prime} 1}}{L} x^{\prime}. Note that q_{y^{\prime}} is positive along the +y^{\prime}-axis.$$
\left{r_q^{\prime}\right}^{(e)}=\left{\frac{\left(7 q_{y_1}+3 q_{y_2}\right) L^{(c)}}{20} \frac{\left(3 q_{y_1}+2 q_{y_2}\right) L^{(e) 2}}{60} \frac{\left(3 q_{y 1}+7 q_{y_2}\right) L^{(e)}}{20}-\frac{\left(2 q_{y_1 1}+3 q_{y_2 2}\right) L^{(e) 2}}{60}\right}^T
$$Distributed force with constant magnitude: q_{y^{\prime}}\left(x^{\prime}\right)=q_{y^{\prime} 0} which points along the +y^{\prime}-axis.$$
\left{r_q{ }^{\prime}\right}^{(e)}=\left{\frac{q_{y_0} L^{(e)}}{2} \frac{q_{y^{\prime} 0} L^{(e) 2}}{12} \frac{q_{y_0 0} L^{(e)}}{2}-\frac{q_{y_0 0} L^{(e) 2}}{12}\right}^T
$$The signs of the forces in these vectors are determined by the sign convention defined in Fig. 6.1. ## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|General beam element with membrane In many load bearing situations stretching and bending occurs on the same member, simultaneously (Fig. 6.4). The element stiffness matrix that represents the equilibrium of such a member is obtained by using the superposition of membrane and bending responses. Note that here we consider small deflection cases where these two effects can be assumed to be uncoupled from one another. The equilibrium equation for such a generic beam element is represented in matrix form as follows:$$
\left[k_{m b}^{\prime}\right]^{(e)}\left{d_{m b}\right}^{(e)}=\left{r_{m b}\right}^{(e)}
$$This relationship can be obtained by using a superposition of the membrane and beam mechanics, represented by Eqs. (5.22) and (6.38),$$
\left[k_m{ }^{\prime}\right]^{(e)}\left{d_m{ }^{\prime}\right}^{(e)}+\left[k_b^{\prime}\right]^{(e)}\left{d_b{ }^{\prime}\right}^{(e)}=\left{r_m{ }^{\prime}\right}^{(e)}+\left{r_b\right}^{(e)}
$$As the membrane and the bending actions are uncoupled (at least in this presentation) the following variables can be easily identified,$$
\left.\left[k_{m b}\right]^{\prime}\right]^{(e)}=\left[\begin{array}{cccccc}
k_m & 0 & 0 & -k_m & 0 & 0 \
0 & 12 k_b & 6 k_b L^{(e)} & 0 & -12 k_b & 6 k_b L^{(e)} \
0 & 6 k_b L^{(e)} & 4 k_b L^{(e) 2} & 0 & -6 k_b L^{(e)} & 2 k_b L^{(e) 2} \
-k_m & 0 & 0 & k_m & 0 & 0 \
0 & -12 k_b & -6 k_b L^{(e)} & 0 & 12 k_b & -6 k_b L^{(e)} \
0 & 6 k_b L^{(e)} & 2 k_b L^{(e) 2} & 0 & -6 k_b L^{(e)} & 4 k_b L^{(e) 2}
\end{array}\right]
$$with k_m=\frac{E A}{L^{(e)}} and k_b=\frac{E I}{\left.L^{(e)}\right)}$$
\begin{aligned}
& \left{d_{m b}{ }^{\prime}\right}^{(e)}=\left{\begin{array}{llllll}
u_1^{\prime} & v_1^{\prime} & \theta_1^{\prime} & u_2^{\prime} & v_2^{\prime} & \theta_2^{\prime}
\end{array}\right}^T \
& \left{r_{m b}\right}^{\prime(e)}=\left[\begin{array}{llllll}
F_{x^{\prime} 1} & F_{y^{\prime} 1} & M_1 & F_{x^{\prime} 2} & F_{y^{\prime} 2} & M_2
\end{array}\right}^T
\end{aligned}
$$## 有限元方法代考 ## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Consistent nodal load vector 方程式 (6.37)(\mathrm{c}, \mathrm{d}) 用于查找由于沿单元作用的分布力而作用在节点上的静态等效力和力矩。这些节点力 (和力矩) 被称为一致节点力 (和力矩) 。考虑作用在图 6.3 中所示的单元上的集中力和分布力。通过使 用方程式。(6.37) 和 (6.29) 找到以下一致的节点力矢量。 集中力量: -F_y \delta\left(x^{\prime}-a\right) 沿着 -y-轴并位于 x^{\prime}=a left{ _r_{-} q^{\wedge}{ prime \left.} \backslash r i g h t\right}^{\wedge}{(e)}=-F _y^{\wedge}{\backslash prime } \backslash l e f t\left{\backslash f r a c\left{b^{\wedge} 2 \backslash l e f t\left(L^{\wedge}{(e)}+2\right.\right.\right. a right \left.)\right}{L \wedge{(e) 3}} \backslash f r a c\left{a b^{\wedge} 2\right}\left{L^{\wedge}{(e) 2\right. 在哪里 b=L-a. 线性分布力： q_{y^{\prime}}=q_{y^{\prime} 1}+\frac{q_{y^{\prime} 2}-q_{y^{\prime}}}{L} x^{\prime}. 注意 q_{y^{\prime}} 沿为正 +y^{\prime}-轴。 Veft \left{r_{-} q^{\wedge}{\backslash\right. prime \left.} \backslash r i g h t\right} \wedge{(e)}=\backslash \operatorname{eft}\left{\backslash f r a c\left{\backslash \operatorname{lft}\left(7 q_{-}\left{y_{-} 1\right}+3 q_{_}\left{y_{-} 2\right} \backslash r i g h t\right) L^{\wedge}{(c)}\right}{20} \backslash f r a c\left{\backslash e f t\left(3 q_{-}\left{y_{-} 1\right}+2 q_{-}\left{y_{-}\right.\right.\right.\right. 大小恒定的分布力： q_{y^{\prime}}\left(x^{\prime}\right)=q_{y^{\prime} 0} 哪个点沿着 +y^{\prime}-轴。 Veft{r_q {}^{\wedge}{\backslash prime \left.} \backslash r i g h t\right}^{\wedge}{(e)}=\bigvee left \left{\right. frac \left{q_{-}\left{y_{-} 0\right} L^{\wedge}{(e)}\right}{2} \backslash frac \left{q_{_}\left{y^{\wedge}{\backslash p r i m e} 0\right} L^{\wedge}{(e) 2}\right}{12} \backslash f r a c\left{q_{-}\left{y_{-} 00\right.\right. 这些矢量中力的符号由图 6.1 中定义的符号约定确定。 ## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|General beam element with membrane 在许多承重情况下，拉伸和弯曲同时发生在同一构件上 (图 6.4) 。表示此类构件平衡的单元刚度矩阵是 通过使用膜响应和弯曲响应的冝加获得的。请注意，这里我们考虑小偏转情况，其中可以假设这两种效应 彼此不耦合。这种通用梁单元的平衡方程以矩阵形式表示如下: 这种关系可以通过使用由方程式表示的膜和梁力学的敢加来获得。(5.22) 和 (6.38)， 由于膜和弯曲动作是不耦合的（至少在本演示文稿中是这样），可以轻松识别以下变量， 和 k_m=\frac{E A}{L^{(e)}} 和 k_b=\frac{E I}{\left.L^{(e)}\right)} 统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|ENGR7961 如果你也在 怎样代写有限元方法Finite Element Method这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 有限元法是一种系统的方法，将无限维函数空间中的函数首先转换为有限维函数空间中的函数，最后转换为用数值方法可以处理的普通向量。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写有限元方法Finite Element Method方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写有限元方法Finite Element Method代写方面经验极为丰富，各种代写有限元方法Finite Element Method相关的作业也就用不着说。 我们提供的有限元方法Finite Element Method及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Total potential energy of a beam element Similar to the development presented for the axial bar in Section 5.2.4, the total potential energy of the beam under the effect of external forces is expressed as follows:$$
\begin{aligned}
& \pi_p^{(e)}=U^{(e)}-W^{(e)} \
& \pi_p^{(e)}=\int_A \int_0^{L^{(e)}} \sigma^{\prime} d \varepsilon^{\prime} d A d x^{\prime}-\left(\int_0^{L^{(-)}} v^{\prime}\left(F_b A+q\right) d x^{\prime}+v_1^{\prime} F_{y 1}{ }^{\prime}+v_2^{\prime} F_{y 2}{ }^{\prime}+\theta_1 M_1+\theta_2 M_2\right)
\end{aligned}
$$where the first term represents the strain energy stored in the beam, and the second term represents the work done by the external forces. Note that for a beam we have d A=b d y^{\prime} where b is the breadth of the beam’s cross-section. The bending strain, is a longitudinal strain \varepsilon_{x^{\prime}}, which depends on the normal distance as measured from the neutral axis of the beam (Fig. 6.2) as given in Eq. (2.138),$$
\varepsilon_{x^{\prime}}=-y^{\prime} \frac{d^2 v^{\prime}}{d x^{\prime 2}}
$$The strain energy component of the total potential energy then becomes,$$
U_b^{(e)}=\frac{1}{2} \int_0^{L^{(e)}}\left[\int_A E\left(-y^{\prime} \frac{d^2 v^{\prime}}{d x^2}\right)^2 b d y^{\prime}\right] d x^{\prime}=\frac{1}{2} \int_0^{L^{(e)}} E\left(\frac{d^2 v^{\prime}}{d x^2}\right)^2\left(\int_{-c / 2}^{c / 2} y^2 b d y^{\prime}\right) d x^{\prime}
$$Note that the inner integral over the area represents the definition of the second moment of area$$
I=\int_{-c / 2}^{c / 2} y^{\prime 2} b d y^{\prime}
$$The strain energy due to bending U_b^{(e)} in a beam element is therefore expressed as follows:$$
U_b^{(e)}=\frac{1}{2} \int_0^{L^{(e)}} E I\left(\frac{d^2 v^{\prime}}{d x^{\prime 2}}\right)^2 d x^{\prime}, \text { or } U_b^{(e)}=\frac{1}{2} \int_0^{L^{(e)}} E I\left(\frac{d \theta}{d x^{\prime}}\right)^2 d x^{\prime}
$$## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Finite element form of the equilibrium equations The principle of minimum total potential energy states that the equilibrium conditions are found when the variation of the total potential energy functional is zero. For an Euler-Bernoulli beam element, this is expressed as follows:$$
\delta \pi_p^{(\varepsilon)}=\int_0^{L^{(c)}} E I \frac{d \theta}{d x^{\prime}} \frac{d \delta \theta}{d x^{\prime}} d x^{\prime}-\left(\int_0^{L^{(c)}} \delta v^{\prime}\left(F_{B y^{\prime}} A+q_y\right) d x^{\prime}+\delta v_1{ }^{\prime} F_{y_1}+\delta v_2{ }^{\prime} F_{y^{\prime}}+\delta \theta_1 M_1+\delta \theta_2 M_2\right)
$$In order to find an expression for the curvature, d \theta / d x^{\prime} recall that the beam deflection v^{\prime} is approximated as follows:$$
\begin{aligned}
v^{\prime}\left(x^{\prime}\right) & =N_1^{(b)} v_1^{\prime}+N_2^{(b)} \theta_1+N_3^{(b)} v_2{ }^{\prime}+N_4^{(b)} \theta_2 \text { (a) } \
& =\left[N^{(b)}\right]\left{d_b^{\prime}\right}^{(e)}
\end{aligned}
$$where \left[N^{(b)}\right] and \left{d_b^{\prime}\right}^{(e)} are the shape function matrix and the degree of freedom vector, (Eq. (6.10)(a)) respectively,$$
\left[\begin{array}{llll}
N^{(b)}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
N_1^{(b)} & N_2^{(b)} & N_3^{(b)} & N_4^{(b)}
\end{array}\right]
$$N_i^{(L)} are the \mathrm{C}^1-continuous shape functions given by Eq. (6.5). Using this approximation, the curvature vector is found as follows:$$
\frac{d \theta}{d x^{\prime}}=\frac{d^2 v^{\prime}}{d x^{\prime 2}}=\frac{d^2}{d x^{\prime 2}}\left(\left[N^{(b)}\right]\left{d_b^{\prime}\right}^{(e)}\right)=\left[B^{(b)}\right]\left{d_b^{\prime}\right}^{(e)}
$$where \left[\begin{array}{llll}B^{(b)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}B_1^{(b)} & B_2^{(b)} & B_3^{(b)} & B_4^{(b)}\end{array}\right] is the curvature-displacement matrix with,$$
\begin{aligned}
& B_1^{(b)}=\frac{d^2 N_1^{(b)}}{d x^2}=\left(-\frac{6}{L^{(e) 2}}+\frac{12 x^{\prime}}{L^{(e) 3}}\right), \quad B_2^{(b)}=\frac{d^2 N_2^{(b)}}{d x^{\prime 2}}=\left(-\frac{4}{L^{(e)}}+\frac{6 x}{L^{(e) 2}}\right), \
& B_3^{(b)}=\frac{d^2 N_3^{(b)}}{d x^{\prime 2}}=\left(\frac{6}{L^{(e) 2}}-\frac{12 x^{\prime}}{L^{(e) 3}}\right), \quad B_4=\frac{d^2 N_4^{(b)}}{d x^{\prime 2}}=\left(-\frac{2}{L^{(e)}}+\frac{6 x^{\prime}}{L^{(e) 2}}\right)
\end{aligned}
$$## 有限元方法代考 ## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Total potential energy of a beam element 类似于第 5.2.4 节中轴杆的开发，梁在外力作用下的总势能表示如下:$$
\pi_p^{(e)}=U^{(e)}-W^{(e)} \quad \pi_p^{(e)}=\int_A \int_0^{L^{(e)}} \sigma^{\prime} d \varepsilon^{\prime} d A d x^{\prime}-\left(\int_0^{L^{(-)}} v^{\prime}\left(F_b A+q\right) d x^{\prime}+v_1^{\prime} F_{y 1}^{\prime}+v_2^{\prime}\right.
$$其中第一项表示存储在梁中的应变能，第二项表示外力所做的功。请注意，对于光束，我们有 d A=b d y^{\prime} 在哪里 b 是梁横截面的宽度。 弯曲应变是纵向应变 \varepsilon_{x^{\prime}} ，这取决于从梁的中性轴（图 6.2）测量的法向距离，如等式 1 中给出。(2.138)，$$
\varepsilon_{x^{\prime}}=-y^{\prime} \frac{d^2 v^{\prime}}{d x^{\prime 2}}
$$总势能的应变能分量变为，$$
U_b^{(e)}=\frac{1}{2} \int_0^{L^{(e)}}\left[\int_A E\left(-y^{\prime} \frac{d^2 v^{\prime}}{d x^2}\right)^2 b d y^{\prime}\right] d x^{\prime}=\frac{1}{2} \int_0^{L^{(e)}} E\left(\frac{d^2 v^{\prime}}{d x^2}\right)^2\left(\int_{-c / 2}^{c / 2} y^2 b d y^{\prime}\right) d x^{\prime}
$$请注意，面积上的内部积分表示面积二阶矩的定义$$
I=\int_{-c / 2}^{c / 2} y^{\prime 2} b d y^{\prime}
$$弯曲引起的应变能 U_b^{(e)} 因此，在梁单元中表示如下:$$
U_b^{(e)}=\frac{1}{2} \int_0^{L^{(e)}} E I\left(\frac{d^2 v^{\prime}}{d x^{\prime 2}}\right)^2 d x^{\prime}, \text { or } U_b^{(e)}=\frac{1}{2} \int_0^{L^{(e)}} E I\left(\frac{d \theta}{d x^{\prime}}\right)^2 d x^{\prime}
$$## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Finite element form of the equilibrium equations 最小总势能原理指出，当总势能泛函的变化为零时，就会找到平衡条件。对于 Euler-Bernoulli 梁单元， 这表示如下:$$
\delta \pi_p^{(\varepsilon)}=\int_0^{L^{(c)}} E I \frac{d \theta}{d x^{\prime}} \frac{d \delta \theta}{d x^{\prime}} d x^{\prime}-\left(\int_0^{L^{(c)}} \delta v^{\prime}\left(F_{B y^{\prime}} A+q_y\right) d x^{\prime}+\delta v_1^{\prime} F_{y_1}+\delta v_2^{\prime} F_{y^{\prime}}+\delta \theta_1 M_1\right.
为了找到曲率的表达式， d \theta / d x^{\prime} 回想一下光束偏转 v^{\prime} 近似如下: ‘begin { aligned } v^{\wedge}{ lprime } \backslash l e f t\left(x^{\wedge}{\backslash\right. prime } \backslash \right) \&=N _1 \wedge{(b)} v_{-} 1^{\wedge}{ lprime }+N _2^{\wedge}{(b)} \backslash theta_ 1+N_{-} 3^{\wedge}{(b)} v_{-} 2{}^{\wedge}
\left[N^{(b)}\right]=\left[\begin{array}{llll}
N_1^{(b)} & N_2^{(b)} & N_3^{(b)} & N_4^{(b)}
\end{array}\right]
$$N_i^{(L)} 是 \mathrm{C}^1 – 由等式给出的连续形状函数。(6.5)。使用此近似值，曲率向量如下所示: 在哪里 \left[B^{(b)}\right]=\left[\begin{array}{llll}B_1^{(b)} & B_2^{(b)} & B_3^{(b)} & B_4^{(b)}\end{array}\right] 是曲率位移矩阵，$$
B_1^{(b)}=\frac{d^2 N_1^{(b)}}{d x^2}=\left(-\frac{6}{L^{(e) 2}}+\frac{12 x^{\prime}}{L^{(e) 3}}\right), \quad B_2^{(b)}=\frac{d^2 N_2^{(b)}}{d x^{\prime 2}}=\left(-\frac{4}{L^{(e)}}+\frac{6 x}{L^{(e) 2}}\right), \quad B_3^{(b)}
$$统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|COSC2500 如果你也在 怎样代写数值分析numerical analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数值分析numerical analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数值分析numerical analysis代写方面经验极为丰富，各种代写数值分析numerical analysis相关的作业也就用不着说。 我们提供的数值分析numerical analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Use of Automatic Differentiation Automatic differentiation is such a wonderful technique, there is tendency to apply it indiscriminately. Some recent work, such as [131], can seem to promote this point of view. However, automatic differentiation is not infallible. To illustrate this, consider using the bisection method to solve f(x, p)=0 for x : the solution x is implicitly a function of p: x=x(p). Provided for p \approx p_0 we have f(a, p)<0 and f(b, p)>0 for given fixed numbers a<b, bisection will give the solution x(p) for p \approx p_0. However, in the bisection algorithm (Algorithm 40), we first look at c=(a+b) / 2 and evaluate f(c, p) and use the sign of this function value to determine how to update the endpoints a and b. Since a and b are constant, \partial a / \partial p=\partial a / \partial p=0, and so \partial c / \partial p=0. Continuing through the bisection algorithm we find that the solution returned has \partial x^* / \partial p=0. Which is wrong. From the Implicit Function Theorem we have$$
\begin{aligned}
0 & =\frac{\partial f}{\partial x}(x, p) \frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial f}{\partial p}(x, p), \
\frac{\partial x}{\partial p} & =-\left(\frac{\partial f}{\partial p}(x, p)\right) /\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x, p)\right)
\end{aligned}
$$Once the solution x(p) is found, we can find the derivatives \partial f / \partial p and \partial f / \partial x using automatic differentiation. We can then compute \partial x / \partial p using the above formula, regardless of how x(p) is computed. In a multivariate setting, the computation of derivatives of the solution \boldsymbol{x}(\boldsymbol{p}) of equations \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p})=\mathbf{0} with respect to a parameter p will involve solving a linear system of equations: \nabla_p \boldsymbol{x}(\boldsymbol{p})= -\nabla_x f(x, p)^{-1} \nabla_p f(x, p) Automatic differentiation is also heavily used in machine learning and neural networks. The main neural network training algorithm backpropagation is essentially an application of the main ideas of automatic differentiation [18] combined with a version of gradient descent. If gradients \nabla f(\boldsymbol{x}) can be computed in \mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x}))) operations, what about second derivatives? Can we compute Hess f(\boldsymbol{x}) in \mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x}))) operations? The answer is no. Take, for example, the function f(\boldsymbol{x})=\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right)^2. The computation of f(\boldsymbol{x}) only requires oper (f(\boldsymbol{x}))=2 n+1 arithmetic operations. Then$$
\begin{aligned}
\nabla f(\boldsymbol{x}) & =4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{x}, \
\text { Hess } f(\boldsymbol{x}) & =4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) I+8 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T .
\end{aligned}
$$For general \boldsymbol{x}, Hess f(x) has n^2 non-zero entries \left(\frac{1}{2} n(n+1)\right. independent entries), so we cannot expect to “compute” Hess f(\boldsymbol{x}) in \mathcal{O}(n) operations. However, we can compute$$
\text { Hess } \begin{aligned}
f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d} & =\left[4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) I+8 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T\right] \boldsymbol{d} \
& =4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{d}+8 \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{d}\right)
\end{aligned}
$$in just 7 n+2=\mathcal{O}(n) arithmetic operations. In general, we can compute Hess f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d} in \mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x}))). We can do this by applying the forward mode to compute$$
\left.\frac{d}{d s} \nabla f(\boldsymbol{x}+s \boldsymbol{d})\right|_{s=0}=\text { Hess } f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d}
$$where we use the reverse mode for computing \nabla f(z). ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Basic Theory We start with an equivalent expression of the initial value problem (6.1.1):$$
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}0+\int{t_0}^t \boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{x}(s)) d s \quad \text { for all } t .
$$Peano proved the existence and uniqueness of solutions to the initial value problem using a fixed point iteration [200] named in his honor: (6.1.3) \quad \boldsymbol{x}{k+1}(t)=\boldsymbol{x}_0+\int{t_0}^t \boldsymbol{f}\left(s, \boldsymbol{x}_k(s)\right) d s \quad for all t for k=0,1,2, \ldots, with \boldsymbol{x}_0(t)=\boldsymbol{x}_0 for all t. To show that the iteration (6.1.3) is well defined and converges, we need to make some assumptions about the right-hand side function f. Most specifically we assume that \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}) is continuous in (t, \boldsymbol{x}) and Lipschitz continuous in \boldsymbol{x} : there must be a constant L where (6.1.4) |\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{u})-\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{v})| \leq L|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}| \quad for all t, \boldsymbol{u}, and \boldsymbol{v}. Caratheodory extended Peano’s existence theorem to allow for \boldsymbol{f}(t, x) continuous in \boldsymbol{x} and measurable in t with a bound |\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})| \leq m(t) \varphi(|\boldsymbol{x}|) with m(t) \geq 0 integrable in t over \left[t_0, T\right], \varphi continuous, and \int_1^{\infty} d r / \varphi(r)=\infty. Uniqueness holds if the Lipschitz continuity condition (6.1.4) holds with an integrable function L(t) : (6.1.5) |\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{u})-\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{v})| \leq L(t)|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}| \quad for all t, \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}. We will focus on the case where \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}) is continuous in t and Lipschitz in \boldsymbol{x} (6.1.4) since numerical estimation of integrals of general measurable functions is essentially impossible. Theorem 6.1 Suppose \boldsymbol{f}: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n is continuous and (6.1.4) holds. Then the initial value problem (6.1.1) has a unique solution \boldsymbol{x}(\cdot). Proof We use the Peano iteration (6.1.3) to show the solution to the integral form (6.1.2) of (6.1.1) has a unique solution. To do that we show that the iteration (6.1.3) is a contraction mapping (Theorem 3.3) on the space of continuous functions \left[t_0, t_0+\delta\right] \rightarrow \mathbb{R}^n for \delta=1 /(2 L). This establishes the existence and uniqueness of the solution x:\left[t_0, t_0+\delta\right] \rightarrow \mathbb{R}^n. To show existence and uniqueness beyond this, let t_1=t_0+\delta and \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{x}\left(t_0+\delta\right). # 数值分析代考 ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Use of Automatic Differentiation 自动微分是一种如此美妙的技术，有滥用它的倾向。最近的一些工作，例如 [131]，似乎可以促进这种观 点。然而，自动微分并不是万无一失的。为了说明这一点，考虑使用二分法来解决 f(x, p)=0 为了 x : 解决方案 x 隐式地是函数 p: x=x(p). 为…提供 p \approx p_0 我们有 f(a, p)<0 和 f(b, p)>0 对于给定的 固定数字 a<b, 二分法将给出解决方案 x(p) 为了 p \approx p_0. 然而，在二分算法（算法 40）中，我们首先 看 c=(a+b) / 2 并评估 f(c, p) 并使用此函数值的符号来确定如何更新端点 a 和 b. 自从 a 和 b 是恒定的， \partial a / \partial p=\partial a / \partial p=0 ，所以 \partial c / \partial p=0. 继续二分算法，我们发现返回的解有 \partial x^* / \partial p=0. 这是错 误的。 从隐函数定理我们有$$
0=\frac{\partial f}{\partial x}(x, p) \frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial f}{\partial p}(x, p), \frac{\partial x}{\partial p}=-\left(\frac{\partial f}{\partial p}(x, p)\right) /\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x, p)\right)
$$一旦解决 x(p) 找到了，我们可以找到导数 \partial f / \partial p 和 \partial f / \partial x 使用自动微分。然后我们可以计算 \partial x / \partial p 使 用上面的公式，不管怎样 x(p) 被计算。在多变量设置中，计算解的导数 \boldsymbol{x}(\boldsymbol{p}) 方程组 \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p})=\mathbf{0} 关于 参数 p 将涉及求解线性方程组: \nabla_p \boldsymbol{x}(\boldsymbol{p})=-\nabla_x f(x, p)^{-1} \nabla_p f(x, p) 自动微分也大量用于机器学习和神经网络。主要的神经网络训练算法反向传播本质上是自动微分 [18] 的 主要思想与梯度下降的一个版本相结合的应用。 如果渐变 \nabla f(\boldsymbol{x}) 可以计算在 \mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x}))) 操作，二阶导数呢? 我们可以计算赫斯吗 f(\boldsymbol{x}) 在 \mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x}))) 操作? 答案是不。以函数为例 f(\boldsymbol{x})=\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right)^2. 的计算 f(\boldsymbol{x}) 只需要操作 (f(\boldsymbol{x}))=2 n+1 算术运算。然后$$
\nabla f(\boldsymbol{x})=4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{x}, \text { Hess } f(\boldsymbol{x})=4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) I+8 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T
$$对于一般 \boldsymbol{x} ，赫斯 f(x) 有 n^2 非零项 \left(\frac{1}{2} n(n+1)\right. 独立条目 )，所以我们不能指望 “计算”赫斯 f(\boldsymbol{x}) 在 \mathcal{O}(n) 操作。 然而，我们可以计算 Hess f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d}=\left[4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) I+8 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T\right] \boldsymbol{d}=4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{d}+8 \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{d}\right) 在短短 7 n+2=\mathcal{O}(n) 算术运算。一般来说，我们可以计算 \operatorname{Hess} f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d} 在 \mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x}))). 我们可以 通过应用正向模式来计算$$
\left.\frac{d}{d s} \nabla f(\boldsymbol{x}+s \boldsymbol{d})\right|_{s=0}=\operatorname{Hess} f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d}
$$我们使用反向模式进行计算 \nabla f(z). ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Basic Theory 我们从初始值问题 (6.1.1) 的等价表达式开始:$$
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x} 0+\int t_0^t \boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{x}(s)) d s \quad \text { for all } t .
$$Peano 使用以他的名字命名的不动点迭代 [200] 证明了初始值问题解的存在性和唯一性: (6.1.3) \boldsymbol{x} k+1(t)=\boldsymbol{x}_0+\int t_0{ }^t \boldsymbol{f}\left(s, \boldsymbol{x}_k(s)\right) d s \quad 对全部 t 为了 k=0,1,2, \ldots, 与 \boldsymbol{x}_0(t)=\boldsymbol{x}_0 对全部 t. 为了表明迭代 (6.1.3) 定义明确且收玫，我们需要对右侧函数做一些假设 f. 最具体地说，我们假设 \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}) 是连续的 (t, \boldsymbol{x}) 和 Lipschitz 连续 \boldsymbol{x} : 必须有一个常数 L 其中 (6.1.4) |\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{u})-\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{v})| \leq L|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}| \quad 对全部 t, \boldsymbol{u} ， \quad 和 \boldsymbol{v}. Caratheodory 扩展了 Peano 的存在定理以允许 \boldsymbol{f}(t, x) 连续在 \boldsymbol{x} 并且可以测量 t 有界限 |\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})| \leq m(t) \varphi(|\boldsymbol{x}|) 和 m(t) \geq 0 整合于 t 超过 \left[t_0, T\right], \varphi 连续的，并且 \int_1^{\infty} d r / \varphi(r)=\infty. 如果 Lipschitz 连续性条件 (6.1.4) 对可积函数成立，则唯一性成立 L(t) : (6.1.5) |\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{u})-\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{v})| \leq L(t)|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}| \quad 对全部 t, \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}. 我们将重点关注以下情况 \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}) 是连续的 t 和利普希茨在 \boldsymbol{x}(6.1 .4) 由于一般可测函数积分的数值估计基本 上是不可能的。 定理 6.1 假设 \boldsymbol{f}: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n 是连续的并且 (6.1.4) 成立。则初值问题 (6.1.1) 有唯一解 \boldsymbol{x}(\cdot). 证明 我们使用 Peano 迭代 (6.1.3) 来证明 (6.1.1) 的积分形式 (6.1.2) 的解有唯一解。为此，我们证明迭代 (6.1.3) 是连续函数空间上的收缩映射 (定理 3.3) \left[t_0, t_0+\delta\right] \rightarrow \mathbb{R}^n 为了 \delta=1 /(2 L). 这确立了解决 方案的存在性和唯一性 x:\left[t_0, t_0+\delta\right] \rightarrow \mathbb{R}^n. 为了显示超出此范围的存在性和唯一性，让 t_1=t_0+\delta 和 \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{x}\left(t_0+\delta\right). 统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104 如果你也在 怎样代写数值分析numerical analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数值分析numerical analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数值分析numerical analysis代写方面经验极为丰富，各种代写数值分析numerical analysis相关的作业也就用不着说。 我们提供的数值分析numerical analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Forward Mode Forward mode is the simplest approach for automatic differentiation, both conceptually and in practice. This idea is sometimes implemented as dual numbers in programming languages that allow overloaded arithmetic operations and functions. A dual number is a pair x=(x . v, x . d) where x . v represents the value of the number, and x . d its derivative with respect to some single parameter, say d x / d s. Ordinary numbers are treated as constants, and so are represented as (v, 0) where v is the number. Operations on dual numbers x and y can be described as$$
\begin{aligned}
x+y & =(x \cdot v+y \cdot v, x \cdot d+y \cdot d) \
x-y & =(x \cdot v-y \cdot v, x \cdot d-y \cdot d) \
x \cdot y & =(x \cdot v \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot d+x \cdot d \cdot y \cdot v) \
x / y & =\left(x \cdot v / y \cdot v,(x \cdot d \cdot y \cdot v-x \cdot v \cdot y \cdot d) /(y \cdot v)^2\right) \
f(x) & =\left(f(x \cdot v), f^{\prime}(x \cdot v) \cdot x \cdot d\right)
\end{aligned}
$$This can be extended to handle higher order derivatives, such as triple numbers x= (x . v, x . d, x . c) where x . d=d x / d s and x . c=d^2 x / d s^2. Then for triple numbers, for example, the arithmetic rules include$$
\begin{aligned}
& x \cdot y=(x \cdot v \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot d+x \cdot d \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot c+2 x \cdot d \cdot y \cdot d+x \cdot c \cdot y \cdot v) \
& f(x)=\left(f(x \cdot v), f^{\prime}(x \cdot v) \cdot x \cdot d, f^{\prime}(x \cdot v) x \cdot c+f^{\prime \prime}(x \cdot v)(x \cdot d)^2\right)
\end{aligned}
$$The derivatives computed would be exact if the underlying arithmetic were exact. Thus the only errors in the computed derivatives are due to roundoff error. This does not guarantee accurate results, but they rarely fail. Forward mode automatic differentiation is suitable where there is one, or a small number, of independent variables with respect to which we wish to computed derivatives. If we wish to compute gradients for many inputs, we need a different method. ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Reverse Mode The reverse mode of automatic differentiation is best suited to compute gradients of a single output function with respect to many inputs. The basic idea has been rediscovered multiple times that we know of, but the modern approach can be traced back at least to Seppo Linnainmaa in his PhD thesis that was later published [163]. For this, we need to conceptually flatten the execution of a piece of code so that it is written as a “straight-line code” with branches and loops removed. For example, the loop should be written as it is executed:$$
\begin{aligned}
& x_1 \leftarrow f\left(x_0\right) \
& x_2 \leftarrow f\left(x_1\right) \
& x_3 \leftarrow f\left(x_2\right) \
& x_4 \leftarrow f\left(x_3\right)
\end{aligned}
$$The index j in x_j indicates a potentially new value for the variable ” x ” for each pass through the body of the loop. In reverse mode automatic differentiation, this execution path and the values of variables along this path must be saved, at least at strategically important points of the execution of the original code. This can be represented in a computational graph of the execution of the code. Note that in the computational graph, each variable must only be assigned a value once. If a value of a variable is over-written, then we create a new variable for the computational graph, as shown in the example of the loop above. The code$$
\begin{aligned}
& u \leftarrow r \cdot s \
& v \leftarrow r^s \
& x \leftarrow \varphi(u, v) \
& y \leftarrow x \cdot r
\end{aligned}
$$can be represented by the computational graph in Figure 5.5.2. We compute the partial derivatives \partial y / \partial z for z each of the variables in the computational graph as we go back through the computational graph. # 数值分析代考 ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Forward Mode 前向模式是最简单的自动微分方法，无论是在概念上还是在实践中。这个想法有时在允许重载算术运算和 函数的编程语言中实现为双数。双数是一对 x=(x . v, x . d) 在哪里 x . v 表示数字的值，并且 x . d 它关于 某个单一参数的导数，比如说 d x / d s. 普通数被视为常数，因此表示为 (v, 0) 在哪里 v 是数字。 双数运算 x 和 y 可以描述为$$
x+y=(x \cdot v+y \cdot v, x \cdot d+y \cdot d) x-y \quad=(x \cdot v-y \cdot v, x \cdot d-y \cdot d) x \cdot y=(x \cdot v \cdot y \cdot v
$$这可以扩展到处理高阶导数，例如三重数 x=(x . v, x . d, x . c) 在哪里 x . d=d x / d s 和 x . c=d^2 x / d s^2. 那么对于三重数，例如，算术规则包括$$
x \cdot y=(x \cdot v \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot d+x \cdot d \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot c+2 x \cdot d \cdot y \cdot d+x \cdot c \cdot y \cdot v) \quad f(x)
$$如果基础算法是精确的，则计算出的导数将是精确的。因此，计算出的导数中唯一的误差是由于舍入误差 造成的。这并不能保证准确的结果，但它们很少会失败。 正向模式自动微分适用于我们希望计算导数的一个或少量自变量的情况。如果我们㹷望为许多输入计算梯 度，我们需要一种不同的方法。 ## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Reverse Mode 自动微分的反向模式最适合计算单个输出函数相对于多个输入的梯度。据我们所知，基本思想已被多次重 新发现，但现代方法至少可以追溯到 Seppo Linnainmaa 在其后来发表的博士论文中 [163]。为此，我们 需要在概念上将一段代码的执行扁平化，使其写成去除了分支和循环的“直线代码”。例如，循环 应该在执行时写成:$$
x_1 \leftarrow f\left(x_0\right) \quad x_2 \leftarrow f\left(x_1\right) x_3 \leftarrow f\left(x_2\right) \quad x_4 \leftarrow f\left(x_3\right)
$$指标 j 在 x_j 指示变量的潜在新值” x ” 每次通过循环体。 在逆向模式自动微分中，这条执行路径和沿着这条路径的变量值必须被保存，至少在原始代码执行的战略 要点。这可以在代码执行的计算图中表示。请注意，在计算图中，每个变量只能被赋值一次。如果变量的 值被覆盖，那么我们为计算图创建一个新变量，如上面的循环示例所示。 代码$$
u \leftarrow r \cdot s \quad v \leftarrow r^s x \leftarrow \varphi(u, v) \quad y \leftarrow x \cdot r
$$可以用图 5.5.2 中的计算图来表示。 我们计算偏导数 \partial y / \partial z 为了 z 当我们返回计算图时，计算图中的每个变量。 统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MAST90025 如果你也在 怎样代写交换代数commutative algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写交换代数commutative algebra方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写交换代数commutative algebra代写方面经验极为丰富，各种代写交换代数commutative algebra相关的作业也就用不着说。 我们提供的交换代数commutative algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Definition, Changing Generator Set A finitely presented module is an \mathbf{A}-module M given by a finite number of generators and relations. Therefore it is a module with a finite generator set having a finitely generated syzygy module. Equivalently, it is a module M isomorphic to the cokernel of a linear map$$
\gamma: \mathbf{A}^m \longrightarrow \mathbf{A}^q
$$The matrix G \in \mathbf{A}^{q \times m} of \gamma has as its columns a generator set of the syzygy module between the generators g_i which are the images of the canonical base of \mathbf{A}^q by the surjection \pi: \mathbf{A}^q \rightarrow M. Such a matrix is called a presentation matrix of the module M for the generator set \left(g_1, \ldots, g_q\right). This translates into • \left[g_1 \cdots g_q\right] G=0, and • every syzygy between the g_i ‘s is a linear combination of the columns of G, i.e.: if \left[g_1 \cdots g_q\right] C=0 with C \in \mathbf{A}^{q \times 1}, there exists a C^{\prime} \in \mathbf{A}^{m \times 1} such that C=G C^{\prime}. 1) A free module of rank k is a finitely presented module presented by a matrix column formed of k zeros. { }^1 More generally every simple matrix is the presentation matrix of a free module of finite rank. 2) Recall that a finitely generated projective module is a module \boldsymbol{P} isomorphic to the image of a projection matrix F \in \mathbb{M}_n (A) for a specific integer n. Since \mathbf{A}^n=\operatorname{Im}(F) \oplus \operatorname{Im}\left(\mathrm{I}_n-F\right), we obtain P \simeq \operatorname{Coker}\left(\mathrm{I}_n-F\right). This shows that every finitely generated projective module is finitely presented. 3) Let \varphi: V \rightarrow V be an endomorphism of a finite-dimensional vector space over a discrete field \mathbf{K}. Consider V as a \mathbf{K}[X]-module with the following external law$$
\begin{cases}\mathbf{K}[X] \times V & \rightarrow V \ (P, u) & \mapsto P \cdot u:=P(\varphi)(u)\end{cases}
$$Let \left(u_1, \ldots, u_n\right) be a basis of V as a \mathbf{K}-vector space and A be the matrix of \varphi with respect to this basis. Then we can show that a presentation matrix of V as a \mathbf{K}[X]-module for the generator set \left(u_1, \ldots, u_n\right) is the matrix X \mathrm{I}_n-A (see Exercise 3). 1.0 Lemma When we change a finite generator set for a given finitely presented module, the syzygies between the new generators form a finitely generated module again. ## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finitely Presented Ideals Consider a ring \mathbf{A} and a generator set \left(a_1, \ldots, a_n\right)=(a) for a finitely generated ideal \mathfrak{a} of \mathbf{A}. We are interested in the \mathbf{A}-module structure of \boldsymbol{a}. Among the syzygies between the a_i ‘s there are what we call the trivial syzygies (or trivial relators if we see them as algebraic dependence relations over \mathbf{k} when \mathbf{A} is a k-algebra):$$
a_i a_j-a_j a_i=0 \text { for } i \neq j .
$$If \mathfrak{a} is finitely presented, we can always take a presentation matrix of \mathfrak{a} for the generator set (a) in the form$$
W=\left[R_{a} \mid U\right],
$$where R_{a} is “the” n \times n(n-1) / 2 matrix of trivial syzygies (the order of the columns is without importance). For example, for n=4$$
R_{a}=\left[\begin{array}{cccccc}
a_2 & a_3 & 0 & a_4 & 0 & 0 \
-a_1 & 0 & a_3 & 0 & a_4 & 0 \
0 & -a_1 & -a_2 & 0 & 0 & a_4 \
0 & 0 & 0 & -a_1 & -a_2 & -a_3
\end{array}\right] .
$$2.1 Lemma (Determinantal ideals of the matrix of trivial syzygies) Using the above notations, we have the following results. 1. \mathcal{D}n\left(R{a}\right)={0}. 2. If 1 \leqslant r<n, then \mathcal{D}r\left(R{a}\right)=\mathfrak{a}^r and$$
\mathfrak{a}^r+\mathcal{D}r(U) \subseteq \mathcal{D}_r(W) \subseteq \mathfrak{a}+\mathcal{D}_r(U) . $$In particular, we have the equivalence$$ 1 \in \mathcal{D}{\mathbf{A}, r}(W) \Longleftrightarrow 1 \in \mathcal{D}_{\mathbf{A} / \mathfrak{a}, r}(\bar{U}) \text { where } \bar{U}=U \bmod \mathfrak{a} .
$$3. \mathcal{D}_n(W)=\mathcal{D}_n(U). # 交换代数代考 ## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Definition, Changing Generator Set 一个有限呈现的模块是 \mathbf{A}-模块 M 由有限数量的生成器和关系给出。因此，它是一个具有有限生成器集的 模块，该模块具有有限生成的 syzygy 模块。等价的，它是一个模块 M 同构于线性映射的核心$$
\gamma: \mathbf{A}^m \longrightarrow \mathbf{A}^q
$$矩阵 G \in \mathbf{A}^{q \times m} 的 \gamma 在其列中包含生成器之间的 syzygy 模块的生成器集 g_i 这是规范基础的图像 \mathbf{A}^q 由满 射 \pi: \mathbf{A}^q \rightarrow M. 这样的矩阵称为模块的表示矩阵 M 对于发电机组 \left(g_1, \ldots, g_q\right). 这转化为 • \left[g_1 \cdots g_q\right] G=0 ， 和 • 之间的每一个 syzygy g_i 是列的线性组合 G ，即：如果 \left[g_1 \cdots g_q\right] C=0 和 C \in \mathbf{A}^{q \times 1} ，存在一个 C^{\prime} \in \mathbf{A}^{m \times 1} 这样 C=G C^{\prime}. 1) 一个免费的排名模块 k 是由矩阵列表示的有限呈现模块 k 零。 { }^1 更一般地，每个简单矩阵都是有限秩自 由模块的表示矩阵。 2) 回想一下有限生成的射影模是一个模 \boldsymbol{P} 与投影矩阵的图像同构 F \in \mathbb{M}_n(\mathrm{~A}) 对于一个特定的整数 n. 自 从 \mathbf{A}^n=\operatorname{Im}(F) \oplus \operatorname{Im}\left(\mathrm{I}_n-F\right) ，我们获得 P \simeq \operatorname{Coker}\left(\mathrm{I}_n-F\right). 这表明每个有限生成的射影模都 是有限呈现的。 3) 让 \varphi: V \rightarrow V 是离散域上有限维向量空间的自同态 \mathbf{K}. 考虑 V 作为一个 \mathbf{K}[X]-具有以下外部法则的模 块$$
{\mathbf{K}[X] \times V \rightarrow V(P, u) \mapsto P \cdot u:=P(\varphi)(u)
$$让 \left(u_1, \ldots, u_n\right) 成为的基础 V 作为一个 \mathbf{K}-向量空间和 A 是矩阵 \varphi 关于这个基础。然后我们可以证明一个 表示矩阵 V 作为一个 \mathbf{K}[X] – 发电机组模块 \left(u_1, \ldots, u_n\right) 是矩阵 X \mathrm{I}_n-A (见练习 3)。 1.0 引理当我们为给定的有限呈现模块更改有限生成器集时，新生成器之间的组合再次形成有限生成模 块。 ## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finitely Presented Ideals 考虑一枚戒指 \mathbf{A} 和发电机组 \ \backslash e f t\left(a_{-} 1, V\right. dots, a_n \backslash right )=( a ) fora finitelygeneratedideal \mathfrak{a}of \backslash mathbf{A}. Weareinterestedinthe \backslash mathbf {\mathrm{A}}- modulestructureof Vboldsymbol{a}\。 在 syzygies 之间 a_i 有什么我们称之为平凡的 syzygies（或者平凡的相关关系，如果我们将它们视为代数 依赖关系 \mathbf{k} 什么时候 \mathbf{A} 是一个 k- 代数）：$$
a_i a_j-a_j a_i=0 \text { for } i \neq j .
$$如果 \mathfrak{a} 是有限呈现的，我们总是可以采用表示矩阵 \mathfrak{a} 对于发电机组 \(a) inthe form \$$ $W=\backslash l e f t\left[R _{a} \backslash m i d\right.$ U\right } ] \text { , }
$\$ \$$其中 \ R_{-}{a} i s “the” n Itimes n(\mathrm{n}-1) / 2 matrixoftrivialsyzygies(theorderofthecolumnsiswithoutimportance). Forexample, for \mathrm{n}=4 \$$
$R _{a}=\backslash \operatorname{left}[$

$\$ \$$2.1 引理 (平凡合集矩阵的行列式理想) 使用上述符号，我们得到以下结果。 1. \ \backslash mathcal{D} n \backslash e f t(R{a} \backslash r i g h t)={0} \$$ 。
2. 如果 $1 \leqslant r<n$, 那么 $\$ \backslash m a t h c a l{D} r \backslash l e f t(R{a} \backslash r i g h t)=\backslash m a t h f r a k{a} \wedge$rand$\mathfrak{a}^r+\mathcal{D} r(U) \subseteq \mathcal{D}r(W) \subseteq \mathfrak{a}+\mathcal{D}_r(U)$.Inparticular, wehavetheequivalence$1 \in \mathcal{D} \mathbf{A}, r(W) \Longleftrightarrow 1 \in \mathcal{D}{\mathbf{A} / \mathfrak{a}, r}(\bar{U})$where$\bar{U}=U \bmod a . \
\text { 3. } \mathcal{D}_n(W)=\mathcal{D}_n(U)
$$统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303 如果你也在 怎样代写交换代数commutative algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写交换代数commutative algebra方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写交换代数commutative algebra代写方面经验极为丰富，各种代写交换代数commutative algebra相关的作业也就用不着说。 我们提供的交换代数commutative algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Formal Nullstellensatz We now move onto a formal Nullstellensatz, formal in the sense that it applies (in classical mathematics) to an arbitrary ideal over an arbitrary ring. Nevertheless to have a constructive statement we will be content with a polynomial ring \mathbb{Z}[X] for our arbitrary ring and a finitely generated ideal for our arbitrary ideal. Although this may seem very restrictive, practice shows that this is not the case because we can (almost) always apply the method of undetermined coefficients to a commutative algebra problem; a method which reduces the problem to a polynomial problem over \mathbb{Z}. An illustration of this will be given next. Note that to read the statement, when we speak of a zero of some f_i \in \mathbb{Z}[X] over a ring \mathbf{A}, one must first consider f_i \operatorname{modulo} \operatorname{Ker} \varphi, where \varphi is the unique homomorphism \mathbb{Z} \rightarrow \mathbf{A}, with \mathbf{A}_1 \simeq \mathbb{Z} / \operatorname{Ker} \varphi as its image. This thus reduces to a polynomial \overline{f_i} of \mathbf{A}_1[X] \subseteq \mathbf{A}[X]. 9.9 Theorem (Nullstellensatz over \mathbb{Z}, formal Nullstellensatz) Let \mathbb{Z}[X]= \mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]. Consider g, f_1, \ldots, f_s in \mathbb{Z}[X] 1. For the system \left(f_1, \ldots, f_s\right) the following properties are equivalent. a. 1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle. b. The system does not admit a zero on any nontrivial discrete field. c. The system does not admit a zero on any finite field or on any finite extension of \mathbb{Q}. d. The system does not admit a zero on any finite field. 2. The following properties are equivalent. a. \exists N \in \mathbb{N}, g^N \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle. b. The polynomial g is annihilated at the zeros of the system \left(f_1, \ldots, f_s\right) on any discrete field. c. The polynomial g is annihilated at the zeros of the system \left(f_1, \ldots, f_s\right) on every finite field and on every finite extension of \mathbb{Q}. d. The polynomial g is annihilated at the zeros of the system \left(f_1, \ldots, f_s\right) on every finite field. ## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Newton’s Method in Algebra If s=n, we denote by \operatorname{Jac}{X}(f) or \operatorname{Jac}{X_1, \ldots, X_n}\left(f_1, \ldots, f_n\right) or \operatorname{Jac}(f) the Jacobian of the system (f), i.e. the determinant of the Jacobian matrix. In analysis \bar{N} ewton’s method to approximate a root of a differentiable function f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} is the following. Starting from a point x_0 “near a root,” at which the derivative is “far from 0 “, we construct a series \left(x_m\right){m \in \mathbb{N}} by induction by letting$$ x{m+1}=x_m-\frac{f\left(x_m\right)}{f^{\prime}\left(x_m\right)} .
$$The method can be generalized for a system of p equations with p unknowns. A solution of such a system is a zero of a function f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^p. We apply “the same formula” as above$$
x_{m+1}=x_m-f^{\prime}\left(x_m\right)^{-1} \cdot f\left(x_m\right)
$$where f^{\prime}(x) is the differential (the Jacobian matrix) of f at the point x \in \mathbb{R}^p, which must be invertible in a neighborhood of x_0. This method, and other methods of the infinitesimal calculus, can also be applied in certain cases in algebra, by replacing the Leibnizian infinitesimals by the nilpotent elements. If for instance \mathbf{A} is a \mathbb{Q}-algebra and x \in \mathbf{A} is nilpotent, the formal series$$
1+x+x^2 / 2+x^3 / 6+\ldots
$$which defines \exp (x) only has a finite number of nonzero terms in \mathbf{A} and therefore defines an element 1+y with y nilpotent. Since the equality$$
\exp \left(x+x^{\prime}\right)=\exp (x) \exp \left(x^{\prime}\right)
$$holds in analysis, it is also valid with regard to formal series over \mathbb{Q}. So when x and x^{\prime} are nilpotents in \mathbf{A} we will obtain the same equality in A. Similarly the formal series$$
y-y^2 / 2+y^3 / 3-\ldots
$$which defines \log (1+y), only has a finite number of terms in \mathbf{A} when y is nilpotent and allows for a definition of \log (1+y) as a nilpotent element of \mathbf{A}. Furthermore, for nilpotent x and y, we obtain the equalities$$
\log (\exp (x))=x \text { and } \exp (\log (1+y))=1+y

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。