统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考| Markov Jump Processes
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蒙特卡洛方法，或称蒙特卡洛实验，是一类广泛的计算算法，依靠重复随机抽样来获得数值结果。其基本概念是利用随机性来解决原则上可能是确定性的问题。
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统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Markov Jump Processes
A Markov jump process $X=\left{X_{t}, t \geqslant 0\right}$ can be viewed as a continuous-time generalization of a Markov chain and also of a Poisson process. The Markov property $(1.30)$ now reads
$$
\mathbb{P}\left(X_{t+s}=x_{t+s} \mid X_{u}=x_{u}, u \leqslant t\right)=\mathbb{P}\left(X_{t+s}=x_{t+s} \mid X_{t}=x_{t}\right) .
$$
As in the Markov chain case, one usually assumes that the process is timehomogeneous, that is, $\mathbb{P}\left(X_{t+s}=j \mid X_{t}=i\right)$ does not depend on $t$. Denote this probability by $P_{s}(i, j)$. An important quantity is the transition rate $q_{i j}$ from state $i$ to $j$, defined for $i \neq j$ as
$$
q_{i j}=\lim {t \downarrow 0} \frac{P{t}(i, j)}{t} .
$$
The sum of the rates out of state $i$ is denoted by $q_{i}$. A typical sample path of $X$ is shown in Figure 1.6. The process jumps at times $T_{1}, T_{2}, \ldots$ to states $Y_{1}, Y_{2}, \ldots$, staying some length of time in each state.
More precisely, a Markov jump process $X$ behaves (under suitable regularity conditions; see [3]) as follows:
- Given its past, the probability that $X$ jumps from its current state $i$ to state $j$ is $K_{i j}=q_{i j} / q_{i}$.
- The amount of time that $X$ spends in state $j$ has an exponential distribution with mean $1 / q_{j}$, independent of its past history.
The first statement implies that the process $\left{Y_{n}\right}$ is in fact a Markov chain, with transition matrix $K=\left(K_{i j}\right)$.
A convenient way to describe a Markov jump process is through its transition rate graph. This is similar to a transition graph for Markov chains. The states are represented by the nodes of the graph, and a transition rate from state $i$ to $j$ is indicated by an arrow from $i$ to $j$ with weight $q_{i j}$.
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Birth-and-Death Process
A birth-and-death process is a Markov jump process with a transition rate graph of the form given in Figure 1.7. Imagine that $X_{t}$ represents the total number of individuals in a population at time $t$. Jumps to the right correspond to births, and jumps to the left to deaths. The birth rates $\left{b_{i}\right}$ and the death rates $\left{d_{i}\right}$ may differ from state to state. Many applications of Markov chains involve processes of this kind. Note that the process jumps from one state to
the next according to a Markov chain with transition probabilities $K_{0,1}=1$, $K_{i, i+1}=b_{i} /\left(b_{i}+d_{i}\right)$, and $K_{i, i-1}=d_{i} /\left(b_{i}+d_{i}\right), i=1,2, \ldots$. Moreover, it spends an $\operatorname{Exp}\left(b_{0}\right)$ amount of time in state 0 and $\operatorname{Exp}\left(b_{i}+d_{i}\right)$ in the other states.
Limiting Behavior We now formulate the continuous-time analogues of (1.34) and Theorem 1.13.2. Irreducibility and recurrence for Markov jump processes are defined in the same way as for Markov chains. For simplicity, we assume that $\mathscr{E}={1,2, \ldots}$. If $X$ is a recurrent and irreducible Markov jump process, then regardless of $i$,
$$
\lim {t \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(X{t}=j \mid X_{0}=i\right)=\pi_{j}
$$
for some number $\pi_{j} \geqslant 0$. Moreover, $\pi=\left(\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots\right)$ is the solution to
$$
\sum_{j \neq i} \pi_{i} q_{i j}=\sum_{j \neq i} \pi_{j} q_{j i}, \quad \text { for all } i=1, \ldots, m
$$
with $\sum_{j} \pi_{j}=1$, if such a solution exists, in which case all states are positive recurrent. If such a solution does not exist, all $\pi_{j}$ are 0 .
As in the Markov chain case, $\left{\pi_{j}\right}$ is called the limiting distribution of $X$ and is usually identified with the row vector $\pi$. Any solution $\pi$ of (1.42) with $\sum_{j} \pi_{j}=1$ is called a stationary distribution, since taking it as the initial distribution of the Markov jump process renders the process stationary.
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|GAUSSIAN PROCESSES
The normal distribution is also called the Gaussian distribution. Gaussian processes are generalizations of multivariate normal random vectors (discussed in Section 1.10). Specifically, a stochastic process $\left{X_{t}, t \in \mathscr{T}\right}$ is said to be Gaussian if all its finite-dimensional distributions are Gaussian. That is, if for any choice of $n$ and $t_{1}, \ldots, t_{n} \in \mathscr{T}$, it holds that
$$
\left(X_{t_{1}}, \ldots, X_{t_{n}}\right)^{\top} \sim \mathrm{N}(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)
$$
for some expectation vector $\boldsymbol{\mu}$ and covariance matrix $\Sigma$ (both of which depend on the choice of $\left.t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$. Equivalently, $\left{X_{t}, t \in \mathscr{T}\right}$ is Gaussian if any linear combination $\sum_{i=1}^{n} b_{i} X_{t_{i}}$ has a normal distribution. Note that a Gaussian process is determined completely by its expectation function $\mu_{t}=\mathbb{E}\left[X_{t}\right], t \in \mathscr{T}$, and covariance function $\Sigma_{s, t}=\operatorname{Cov}\left(X_{s}, X_{t}\right), s, t \in \mathscr{T}$.
The Wiener process can be defined as a Gaussian process $\left{X_{t}, t \geqslant 0\right}$ with expectation function $\mu_{t}=0$ for all $t$ and covariance function $\Sigma_{s, t}=s$ for $0 \leqslant s \leqslant t$. The Wiener process has many fascinating properties (e.g., [11]). For example, it is a Markov process (i.e., it satisfies the Markov property $(1.30)$ ) with continuous sample paths that are nowhere differentiable. Moreover, the increments $X_{t}-X_{s}$ over intervals $[s, t]$ are independent and normally distributed. Specifically, for any $t_{1}<t_{2} \leqslant t_{3}<t_{4}$,
$$
X_{t_{4}}-X_{t_{3}} \quad \text { and } \quad X_{t_{2}}-X_{t_{1}}
$$
are independent random variables, and for all $t \geqslant s \geqslant 0$,
$$
X_{t}-X_{s} \sim \mathrm{N}(0, t-s) .
$$
This leads to a simple simulation procedure for Wiener processes, which is discussed in Section 2.8.
monte carlo method代写
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Markov Jump Processes
马尔可夫跳跃过程X=\left{X_{t}, t \geqslant 0\right}X=\left{X_{t}, t \geqslant 0\right}可以看作是马尔可夫链和泊松过程的连续时间推广。马尔科夫性质(1.30)现在读
磷(X吨+s=X吨+s∣X在=X在,在⩽吨)=磷(X吨+s=X吨+s∣X吨=X吨).
与马尔可夫链的情况一样，通常假设过程是时间齐次的，即磷(X吨+s=j∣X吨=一世)不依赖于吨. 将此概率表示为磷s(一世,j). 一个重要的量是转换率q一世j从状态一世到j, 定义为一世≠j作为
q一世j=林吨↓0磷吨(一世,j)吨.
州外费率总和一世表示为q一世. 一个典型的样本路径X如图 1.6 所示。过程有时会跳跃吨1,吨2,…给各州是1,是2,…，在每个状态停留一段时间。
更准确地说，马尔可夫跳跃过程X行为（在合适的规律性条件下；参见 [3]）如下：
- 鉴于它的过去，概率X从当前状态跳转一世陈述j是ķ一世j=q一世j/q一世.
- 的时间量X在州花费j具有均值的指数分布1/qj，独立于其过去的历史。
第一条语句意味着该过程\left{Y_{n}\right}\left{Y_{n}\right}实际上是一个马尔可夫链，带有转移矩阵ķ=(ķ一世j).
描述马尔可夫跳跃过程的一种方便方法是通过其转换率图。这类似于马尔可夫链的转移图。状态由图的节点表示，以及状态的转换率一世到j用箭头表示一世到j有重量q一世j.
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Birth-and-Death Process
生死过程是一个马尔可夫跳跃过程，其转换率图的形式如图 1.7 所示。想象一下X吨表示在某个时间人口中的个体总数吨. 向右跳对应出生，向左跳对应死亡。出生率\left{b_{i}\right}\left{b_{i}\right}和死亡率\left{d_{i}\right}\left{d_{i}\right}可能因州而异。马尔可夫链的许多应用都涉及这种过程。请注意，该过程从一种状态跳转到
下一个根据具有转移概率的马尔可夫链ķ0,1=1, ķ一世,一世+1=b一世/(b一世+d一世)， 和ķ一世,一世−1=d一世/(b一世+d一世),一世=1,2,…. 此外，它花费了一个经验(b0)处于状态 0 的时间量和经验(b一世+d一世)在其他州。
限制行为 我们现在制定 (1.34) 和定理 1.13.2 的连续时间类似物。马尔可夫跳跃过程的不可约性和重复性的定义与马尔可夫链的定义方式相同。为简单起见，我们假设和=1,2,…. 如果X是一个循环且不可约的马尔可夫跳跃过程，则不管一世,
林吨→∞磷(X吨=j∣X0=一世)=圆周率j
对于一些数字圆周率j⩾0. 而且，圆周率=(圆周率1,圆周率2,…)是解决方案
∑j≠一世圆周率一世q一世j=∑j≠一世圆周率jqj一世, 对全部 一世=1,…,米
和∑j圆周率j=1，如果存在这样的解决方案，在这种情况下，所有状态都是正循环的。如果没有这样的解决方案，所有圆周率j是 0 。
就像马尔可夫链的情况一样，\左{\pi_{j}\右}\左{\pi_{j}\右}称为极限分布X并且通常用行向量标识圆周率. 任何解决方案圆周率(1.42) 的∑j圆周率j=1称为平稳分布，因为将其作为马尔可夫跳跃过程的初始分布会使过程平稳。
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|GAUSSIAN PROCESSES
正态分布也称为高斯分布。高斯过程是多元正态随机向量的推广（在 1.10 节中讨论）。具体来说，一个随机过程\left{X_{t}, t \in \mathscr{T}\right}\left{X_{t}, t \in \mathscr{T}\right}如果其所有有限维分布都是高斯分布，则称其为高斯分布。也就是说，如果对于任何选择n和吨1,…,吨n∈吨, 它认为
(X吨1,…,X吨n)⊤∼ñ(μ,Σ)
对于一些期望向量μ和协方差矩阵Σ（两者都取决于选择吨1,…,吨n). 等效地，\left{X_{t}, t \in \mathscr{T}\right}\left{X_{t}, t \in \mathscr{T}\right}如果有任何线性组合，则为高斯∑一世=1nb一世X吨一世具有正态分布。请注意，高斯过程完全由其期望函数决定μ吨=和[X吨],吨∈吨, 和协方差函数Σs,吨=这(Xs,X吨),s,吨∈吨.
维纳过程可以定义为高斯过程\left{X_{t}, t \geqslant 0\right}\left{X_{t}, t \geqslant 0\right}有期望函数μ吨=0对全部吨和协方差函数Σs,吨=s为了0⩽s⩽吨. 维纳过程有许多令人着迷的特性（例如，[11]）。例如，它是一个马尔科夫过程（即满足马尔科夫性质(1.30)) 具有无处可微的连续样本路径。此外，增量X吨−Xs间隔时间[s,吨]是独立且正态分布的。具体来说，对于任何吨1<吨2⩽吨3<吨4,
X吨4−X吨3 和 X吨2−X吨1
是独立的随机变量，并且对于所有吨⩾s⩾0,
X吨−Xs∼ñ(0,吨−s).
这导致了一个简单的维纳过程模拟过程，这将在第 2.8 节中讨论。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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