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蒙特卡洛方法，或称蒙特卡洛实验，是一类广泛的计算算法，依靠重复随机抽样来获得数值结果。其基本概念是利用随机性来解决原则上可能是确定性的问题。
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- Advanced Probability Theory 高等概率论
- Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|FUNCTIONS OF RANDOM VARIABLES
Suppose that $X_{1}, \ldots, X_{n}$ are measurements of a random experiment. Often we are only interested in certain functions of the measurements rather than the individual measurements. Here are some examples.
EXAMPLE $1.5$
Let $X$ be a continuous random variable with pdf $f_{X}$ and let $Z=a X+b$, where $a \neq 0$. We wish to determine the pdf $f_{Z}$ of $Z$. Suppose that $a>0$. We have for any $z$
$$
F_{Z}(z)=\mathbb{P}(Z \leqslant z)=\mathbb{P}(X \leqslant(z-b) / a)=F_{X}((z-b) / a) .
$$
Differentiating this with respect to $z$ gives $f_{Z}(z)=f_{X}((z-b) / a) / a$. For $a<0$ we similarly obtain $f_{Z}(z)=f_{X}((z-b) / a) /(-a)$. Thus, in general,
$$
f_{Z}(z)=\frac{1}{|a|} f_{X}\left(\frac{z-b}{a}\right) .
$$
EXAMPLE $1.6$
Generalizing the previous example, suppose that $Z=g(X)$ for some monotonically increasing function $g$. To find the pdf of $Z$ from that of $X$ we first write
$$
F_{Z}(z)=\mathbb{P}(Z \leqslant z)=\mathbb{P}\left(X \leqslant g^{-1}(z)\right)=F_{X}\left(g^{-1}(z)\right),
$$
where $g^{-1}$ is the inverse of $g$. Differentiating with respect to $z$ now gives
$$
f_{Z}(z)=f_{X}\left(g^{-1}(z)\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} g^{-1}(z)=\frac{f_{X}\left(g^{-1}(z)\right)}{g^{\prime}\left(g^{-1}(z)\right)} .
$$
For monotonically decreasing functions, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} g^{-1}(z)$ in the first equation needs to be replaced with its negative value.
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Linear Transformations
Let $\mathbf{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{\top}$ be a column vector in $\mathbb{R}^{n}$ and $A$ an $m \times n$ matrix. The mapping $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{z}$, with $\mathbf{z}=A \mathbf{x}$, is called a linear transformation. Now consider a random vector $\mathbf{X}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)^{\top}$, and let
$$
\mathbf{Z}=A \mathbf{X}
$$
Then $\mathbf{Z}$ is a random vector in $\mathbb{R}^{m}$. In principle, if we know the joint distribution of $\mathbf{X}$, then we can derive the joint distribution of Z. Let us first see how the expectation vector and covariance matrix are transformed.
Theorem 1.8.1 If $\mathbf{X}$ has an expectation vector $\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}$ and covariance matrix $\mathbf{\Sigma}{\mathbf{X}}$, then the expectation vector and covariance matrux of $\mathbf{Z}-A \mathbf{X}$ are given by
$$
\mu_{\mathbf{Z}}=A \mu_{\mathbf{X}}
$$
and
$$
\Sigma_{\mathbf{Z}}=A \Sigma_{\mathbf{X}} A^{\top} .
$$
Proof: We have $\boldsymbol{\mu}{\mathbf{Z}}=\mathbb{F}[\mathbf{Z}]=\mathbb{E}[A \mathbf{X}]=A \mathbb{E}[\mathbf{X}]=A{\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}}$ and $$ \begin{aligned} \Sigma{\mathbf{Z}} &=\mathbb{E}\left[\left(\mathbf{Z}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{Z}}\right)\left(\mathbf{Z}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{Z}}\right)^{\top}\right]=\mathbb{E}\left[A\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}\right)\left(A\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}\right)\right)^{\top}\right] \
&=A \mathbb{E}\left[\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}\right)\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}\right)^{\top}\right] A^{\top} \
&=A \Sigma_{\mathbf{X}} A^{\top} .
\end{aligned}
$$
Suppose that $A$ is an invertible $n \times n$ matrix. If $\mathbf{X}$ has a joint density $f \mathbf{X}$, what is the joint density $f_{\mathbf{z}}$ of $\mathbf{Z}$ ? Consider Figure 1.1. For any fixed $\mathbf{x}$, let $\mathbf{z}=A \mathbf{x}$. Hence, $\mathbf{x}=A^{-1} \mathbf{z}$. Consider the $n$-dimensional cube $C=\left[z_{1}, z_{1}+h\right] \times \cdots \times\left[z_{n}, z_{n}+h\right]$. Let $D$ be the image of $C$ under $A^{-1}$, that is, the parallelepiped of all points $\mathbf{x}$ such that $A \mathbf{x} \in C$. Then,
$$
\mathbb{P}(\mathbf{Z} \in C) \approx h^{n} f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})
$$
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|General Transformations
We can apply reasoning similar to that above to deal with general transformations $\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol{g}(\mathbf{x})$, written out as
$$
\left(\begin{array}{c}
x_{1} \
x_{2} \
\vdots \
x_{n}
\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}
g_{1}(\mathbf{x}) \
g_{2}(\mathbf{x}) \
\vdots \
g_{n}(\mathbf{x})
\end{array}\right)
$$
For a fixed $\mathbf{x}$, let $\mathbf{z}=\boldsymbol{g}(\mathbf{x})$. Suppose that $\boldsymbol{g}$ is invertible; hence $\mathbf{x}=\boldsymbol{g}^{-1}(\mathbf{z})$. Any infinitesimal $n$-dimensional rectangle at $\mathbf{x}$ with volume $V$ is transformed into an $n$-dimensional parallelepiped at $\mathbf{z}$ with volume $V\left|J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})\right|$, where $J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})$ is the matrix of Jacobi at $\mathbf{x}$ of the transformation $\boldsymbol{g}$, that is,
$$
J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{n}} \
\vdots & \cdots & \vdots \
\frac{\partial g_{n}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial g_{n}}{\partial x_{n}}
\end{array}\right)
$$
Now consider a random column vector $\mathbf{Z}=\boldsymbol{g}(\mathbf{X})$. Let $C$ be a small cube around $\mathbf{z}$ with volume $h^{n}$. Let $D$ be the image of $C$ under $\boldsymbol{g}^{-1}$. Then, as in the linear case,
$$
\mathbb{P}(\mathbf{Z} \in C) \approx h^{n} f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) \approx h^{n}\left|J_{\mathbf{z}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}\right)\right| f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) .
$$
Hence we have the transformation rule
$$
f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})=f_{\mathbf{X}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}(\mathbf{z})\right)\left|J_{\mathbf{z}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}\right)\right|, \quad \mathbf{z} \in \mathbb{R}^{n} .
$$
$\left(\right.$ Note: $\left.\left|J_{\mathbf{z}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}\right)\right|=1 /\left|J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})\right| .\right)$
monte carlo method代写
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|FUNCTIONS OF RANDOM VARIABLES
假设X1,…,Xn是随机实验的测量值。通常我们只对测量的某些功能感兴趣，而不是对单个测量感兴趣。这里有些例子。
例子1.5
让X是一个带有 pdf 的连续随机变量FX然后让从=一种X+b， 在哪里一种≠0. 我们希望确定 pdfF从的从. 假设一种>0. 我们有任何和
F从(和)=磷(从⩽和)=磷(X⩽(和−b)/一种)=FX((和−b)/一种).
对此进行区分和给F从(和)=FX((和−b)/一种)/一种. 为了一种<0我们同样得到F从(和)=FX((和−b)/一种)/(−一种). 因此，一般来说，
F从(和)=1|一种|FX(和−b一种).
例子1.6
概括前面的例子，假设从=G(X)对于一些单调递增的函数G. 找到pdf从从那个X我们先写
F从(和)=磷(从⩽和)=磷(X⩽G−1(和))=FX(G−1(和)),
在哪里G−1是的倒数G. 区别于和现在给
F从(和)=FX(G−1(和))dd和G−1(和)=FX(G−1(和))G′(G−1(和)).
对于单调递减函数，dd和G−1(和)在第一个方程中需要用它的负值替换。
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|Linear Transformations
让X=(X1,…,Xn)⊤是一个列向量Rn和一种一个米×n矩阵。映射X↦和， 和和=一种X，称为线性变换。现在考虑一个随机向量X=(X1,…,Xn)⊤， 然后让
从=一种X
然后从是一个随机向量R米. 原则上，如果我们知道联合分布X，那么我们可以推导出Z的联合分布。我们先看看期望向量和协方差矩阵是如何变换的。
定理 1.8.1 如果X有一个期望向量μX和协方差矩阵ΣX，则期望向量和协方差矩阵从−一种X由
μ从=一种μX
和
Σ从=一种ΣX一种⊤.
证明：我们有μ从=F[从]=和[一种X]=一种和[X]=一种μX和Σ从=和[(从−μ从)(从−μ从)⊤]=和[一种(X−μX)(一种(X−μX))⊤] =一种和[(X−μX)(X−μX)⊤]一种⊤ =一种ΣX一种⊤.
假设一种是可逆的n×n矩阵。如果X具有联合密度FX, 什么是联合密度F和的从? 考虑图 1.1。对于任何固定X， 让和=一种X. 因此，X=一种−1和. 考虑n维立方体C=[和1,和1+H]×⋯×[和n,和n+H]. 让D成为C在下面一种−1，即所有点的平行六面体X这样一种X∈C. 然后，
磷(从∈C)≈HnF从(和)
统计代写|蒙特卡洛方法代写monte carlo method代考|General Transformations
我们可以应用与上述类似的推理来处理一般变换X↦G(X)，写成
(X1 X2 ⋮ Xn)↦(G1(X) G2(X) ⋮ Gn(X))
对于一个固定X， 让和=G(X). 假设G是可逆的；因此X=G−1(和). 任何无穷小n维矩形在X有音量在被转化为n维平行六面体在和有音量在|ĴX(G)|， 在哪里ĴX(G)是 Jacobi 的矩阵X转型的G， 那是，
ĴX(G)=(∂G1∂X1⋯∂G1∂Xn ⋮⋯⋮ ∂Gn∂X1⋯∂Gn∂Xn)
现在考虑一个随机列向量从=G(X). 让C成为一个小立方体和有音量Hn. 让D成为C在下面G−1. 然后，与线性情况一样，
磷(从∈C)≈HnF从(和)≈Hn|Ĵ和(G−1)|FX(X).
因此我们有转换规则
F从(和)=FX(G−1(和))|Ĵ和(G−1)|,和∈Rn.
(笔记：|Ĵ和(G−1)|=1/|ĴX(G)|.)
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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