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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Matrix Reduction Algorithm

There is a version of the algorithm PAIRPERSISTENCE that uses only matrix operations. First notice the following:

• The boundary operator $\partial_p: \mathbf{C}p \rightarrow \mathbf{C}{p-1}$ can be represented by a boundary matrix $D_p$ where the columns correspond to the $p$-simplices and rows correspond to $(p-1)$-simplices.
• It represents the transformation of a basis of $\mathrm{C}p$ given by the set of $p$-simplices to a basis of $C{p-1}$ given by the set of $(p-1)$-simplices:
  $$
  D_p[i, j]= \begin{cases}1 & \text { if } \sigma_i \in \partial_p \sigma_j, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
  $$
• One can combine all boundary matrices into a single matrix $D$ that represents all linear maps $\bigoplus_p \partial_p-\bigoplus_p\left(\mathrm{C}p \rightarrow \mathrm{C}{p-1}\right)$, that is, transformation of a basis of all chain groups together to a basis of itself, but with a shift to a one lower dimension:
  $$
  D[i, j]= \begin{cases}1 & \text { if } \sigma_i \in \partial_* \sigma_j, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
  $$
  Definition 3.12. (Filtered boundary matrix) Let $\mathcal{F}: \varnothing=K_0 \hookrightarrow K_1 \hookrightarrow \cdots$ $\hookrightarrow K_n=K$ be a filtration induced by an ordering of simplices $\left(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\right)$ in $K$. Let $D$ denote the boundary matrix for simplices in $K$ that respects the ordering of the simplices in the filtration, that is, the simplex $\sigma_i$ in the filtration occupies column $i$ and row $i$ in $D$. We call $D$ the filtered boundary matrix for $\mathcal{F}$.

Given any matrix $A$, let row ${ }_A\lfloor i\rfloor$ and $\operatorname{col}_A\lfloor j\rfloor$ denote the $i$ th row and $j$ th column of $A$, respectively. We abuse notation slightly to let $\operatorname{col}_A[j]$ denote also the chain $\left{\sigma_i \mid A[i, j]=1\right}$, which is the collection of simplices corresponding to $1 \mathrm{~s}$ in the column $\operatorname{col}_A[j]$.

Definition 3.13. (Reduced matrix) Let $\operatorname{low}_A[j]$ denote the row index of the last 1 in the $j$ th column of $A$, which we call the low-row index of the column $j$. It is undefined for empty columns (marked with $-1$ in Algorithm 3). The matrix $A$ is reduced (or is in reduced form) if low $[j] \neq \operatorname{low}_A\left[j^{\prime}\right]$ for any $j \neq j^{\prime}$; that is, no two columns share the same low-row indices.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Efficient Implementation

The matrix reduction algorithm considers a column from left to right and reduces it by left-to-right additions. As we have observed, every addition to a column with index $j$ pushes $\operatorname{low}_D[j]$ upward. In the case that $\sigma_j$ is a positive simplex, the entire column is zeroed out. In general, positive simplices incur more cost than negative ones because $\operatorname{low}_D[\cdot]$ needs to be pushed all the way up for zeroing out the entire column. However, they do not participate in any future left-to-right column additions. Therefore, if it is known beforehand that the simplex $\sigma_j$ will be a positive simplex, then the costly step of zeroing out the column $j$ can be avoided.

Chen and Kerber [94] observed the following simple fact. If we process the input filtration backward in dimension, that is, process the boundary matrices $D_p, p=1, \ldots, d$, in decreasing order of dimensions, then a persistence pair $\left(\sigma^{p-1}, \sigma^p\right)$ is detected from $D_p$ before processing the column for $\sigma^{p-1}$ in $D_{p-1}$. Fortunately, we already know that $\sigma^{p-1}$ has to be a positive simplex because it cannot pair with a negative simplex $\sigma^p$ otherwise. So, we can simply ignore the column of $\sigma^{p-1}$ while processing $D_{p-1}$. We call it clearing out column $p-1$. In practice, this saves a considerable amount of computation in cases where a lot of positive simplices occur such as in Rips filtrations. Algorithm 4: ClearPersistence implements this idea.

We cannot take advantage of the clearing for the last dimension in the filtration. If $d$ is the highest dimension of the simplices in the input filtration, the matrix $D_d$ has to be processed for all columns because the pairings for the positive $d$-simplices are not available.

If the number of $d$-simplices is large compared to the number of simplices of lower dimensions, the incurred cost of processing their columns can still be high. For example, in a Rips filtration restricted to a certain dimension $d$, the number of $d$-simplices becomes usually much larger than the number of, say,

1-simplices. In those cases, the clearing can be more cost-effective if it can be applied forward.

In this respect, the following observation becomes helpful. Let $D_p^$ denote the anti-transpose of the matrix $D_p$, defined by the transpose of $D_p$ with the columns and rows being ordered in reverse. This means that if $D_p$ has row and column indices $1, \ldots, m$ and $1, \ldots, n$, respectively, then $D_p^(i, j)=D_p(n+$ $1-j, m+1-i)$. We call it the twisted matrix of $D_p$. Figure $3.13$ shows the twisted matrix $D^$ of the matrix $D$ in Figure $3.12$ where the rows and columns are marked with the indices of the original matrix. The following proposition guaranteés thăt wé cañ computê thê persistencee pairs in $D_P$ from the matrix $D_p^$

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Matrix Reduction Algorithm

有一个仅使用矩阵运算的算法 PAIRPERSISTENCE 版本。首先注意以下几点:

• 边界运算符 $\partial_p: \mathbf{C} p \rightarrow \mathbf{C} p-1$ 可以用边界矩阵表示 $D_p$ 其中列对应于 $p$-单纯形和行对应 $(p-1)$ 简单的
• 它代表了基础的转变 $\mathrm{C} p$ 由一组给出 $p$-单纯形的基础 $C p-1$ 由一组给出 $(p-1)$-简单的:
  $$
  D_p[i, j]=\left{1 \quad \text { if } \sigma_i \in \partial_p \sigma_j, 0 \quad\right. \text { otherwise. }
  $$
• 可以将所有边界矩阵组合成一个矩阵 $D$ 表示所有线性映射 $\bigoplus_p \partial_p-\bigoplus_p(\mathrm{C} p \rightarrow \mathrm{C} p-1)$ ，也就 是说，将所有链组的基础一起转换为自身的基础，但转移到一个较低的维度:
  $$
  D[i, j]=\left{1 \quad \text { if } \sigma_i \in \partial_* \sigma_j, 0 \quad\right. \text { otherwise. }
  $$
  定义 3.12。 (过滤后的边界矩阵) 让 $\mathcal{F}: \varnothing=K_0 \hookrightarrow K_1 \hookrightarrow \cdots \hookrightarrow K_n=K$ 是由单纯形的排 序引起的过滤 $\left(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\right)$ 在 $K$. 让 $D$ 表示单纯形的边界矩阵 $K$ 尊重过滤中单纯形的顺序，即 单纯形 $\sigma_i$ 在过滤占列 $i$ 和行 $i$ 在 $D$. 我们称之为 $D$ 过滤后的边界矩阵 $\mathcal{F}$.
  给定任何矩阵 $A$ ， 让行 $A\lfloor i\rfloor$ 和 $\operatorname{col}A\lfloor j\rfloor$ 表示 $i$ 行和 $j$ 第 列 $A$ ，分别。我们稍微滥用符号让 $\operatorname{col}_A[j]$ 也表示链 \eft{\sigma_i \mid A[i, j]=1\right } } \text { , 这是对应于 } 1 \text { s在专栏中 } \operatorname { c o l } { A } [ j ] \text { . }
  定义 3.13。(简化矩阵) 让 $\operatorname{low}_A[j]$ 表示最后一个 1 的行索引 $j$ 第列 $A$ ，我们称之为列的低行索引 $j$. 它对 于空列是末定义的 (标有 $-1$ 在算法 3) 中。矩阵 $A$ 如果低，则减少 (或减少形式) $[j] \neq \operatorname{low}_A\left[j^{\prime}\right]$ 对于 任何 $j \neq j^{\prime}$ ；也就是说，没有两列共享相同的低行索引。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Efficient Implementation

矩阵缩减算法从左到右考虑一列，并通过从左到右的加法来减少它。正如我们所观察到的，每次添加到 具有索引的列 $j$ 推动 $\operatorname{low}_D[j]$ 向上。在这种情况下 $\sigma_j$ 是一个正单纯形，整个列被清零。一般来说，正单形 比负单形产生更多的成本，因为 $\operatorname{low}_D[\cdot]$ 需要一直向上推以将整个列归零。但是，它们不参与任何末来的 从左到右的列添加。因此，如果事先知道单纯形 $\sigma_j$ 将是一个正单纯形，然后是将列归零的昂贵步驵㼋 $j$ 以 避免。

Chen 和 Kerber [94] 观察到以下简单事实。如果我们对输入过滤进行维度逆向处理，即对边界矩阵进行 处理 $D_p, p=1, \ldots, d$ ，按维度降序排列，然后是持久性对 $\left(\sigma^{p-1}, \sigma^p\right)$ 从检测到 $D_p$ 在处理列之前 $\sigma^{p-1}$ 在 $D_{p-1}$. 幸运的是，我们已经知道 $\sigma^{p-1}$ 必须是正单纯形，因为它不能与负单纯形配对 $\sigma^p$ 除此以外。所 以，我们可以简单地忽略列 $\sigma^{p-1}$ 加工时 $D_{p-1}$. 我们称之为清除列 $p-1$. 实际上，在出现大量正单纯形的 情况下（例如在 Rips 过滤中），这可以节省大量计算。算法 4：ClearPersistence 实现了这个想法。
我们不能利用过滤中最后一个维度的清理。如果 $d$ 是输入过滤中单纯形的最高维度，矩阵 $D_d$ 必须对所有 列进行处理，因为正的配对 $d$-单纯形不可用。
如果数量 $d-$ 单形与低维单形的数量相比很大，处理它们的列所产生的成本仍然很高。例如，在限制为特 定维度的 Rips 过滤中 $d$ ，的数量 $d$ – 单纯形通常变得比数量大得多，比如说，
1-单纯形。在这些情况下，如果可以向前应用清算，则清算可能更具成本效益。
在这方面，以下观察会有所帮助。让 $\mathrm{D}_{-} \mathrm{p}^{\wedge}$ 表示矩阵的反转置 $D_p$ ，由转置定义 $D_p$ 列和行被反向排序。这 意味着如果 $D_p$ 有行和列索引 $1, \ldots, m$ 和 $1, \ldots, n$, 分别是 $\left.D_p^{(} i, j\right)=D_p(n+1-j, m+1-i)$. 我 们称之为扭曲矩阵 $D_p$. 数字 $3.13$ 显示扭曲矩阵^ 矩阵的 $D$ 在图中 $3.12$ 其中行和列标有原始矩阵的索引。 以下命题保证我们可以计算持久性对 $D_P$ 从矩阵 D_p $^{\wedge}$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stability of Persistence Diagrams

A persistence diagram $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$, as a set of points in the extended plane $\overline{\mathbb{R}}^2$, summarizes certain topological information of a simplicial complex (space) in relation to the function $f$ that induces the filtration $\mathcal{F}_f$. However, this is not useful in practice unless we can be certain that a slight change in $f$ does not change this diagram dramatically. In practice $f$ is seldom measured accurately, and if its persistence diagram can be approximated from a slightly perturbed version, it becomes useful. Fortunately, persistence diagrams are stable. To formulate this stability, we need a notion of distance between persistence diagrams.

Let $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ be two persistence diagrams for two functions $f$ and $g$. We want to consider bijections between points from $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$. However, they may have different cardinality for off-diagonal points. Recall that persistence diagrams include the points on the diagonal $\Delta$ each with infinite multiplicity. This addition allows us to borrow points from the diagonal when necessary to define the bijections. Note that we are considering only filtrations of finite complexes which also make each homology group finite.

Definition 3.9. (Bottleneck distance) Let $\Pi=\left{\pi: \operatorname{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right) \rightarrow\right.$ $\left.\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right}$ denote the set of all bijections. Consider the distance between two points $x=\left(x_1, x_2\right)$ and $y=\left(y_1, y_2\right)$ in $L{\infty}$-norm $|x-y|_{\infty}=$ $\max \left{\left|x_1-x_2\right|,\left|y_1-y_2\right|\right}$ with the assumption that $\infty-\infty=0$. The bottleneck distance between the two diagrams (see Figure $3.10$ ) is
$$
\mathrm{d}b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\inf {\pi \in \Pi} \sup {x \in \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)}|x-\pi(x)|{\infty} .
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Computing Bottleneck Distances

Let $A$ and $B$ be the nondiagonal points in two persistence diagrams $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$, respectively. For a point $a \in A$, let $\bar{a}$ denote the nearest point of $a$ on the diagonal. Define $\bar{b}$ for every point $b \in B$ similarly. Let $\bar{A}={\bar{a}}$ and $\bar{B}={\bar{b}}$. Let $\tilde{A}=A \cup \bar{B}$ and $\tilde{B}=B \cup \bar{A}$. We want to bijectively match points in $\tilde{A}$ and $\tilde{B}$. Let $\Pi={\pi}$ denote such a matching. It follows from the definition that
$$
\mathrm{d}b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\min {\pi \in \Pi} \sup {a \in \tilde{A}, \pi(a) \in \tilde{B}}|a-\pi(a)|{\infty} .
$$
Then, the bottleneck distance we want to compute must be $L_{\infty}$ distance $\max \left{\left|x_a-x_b\right|,\left|y_a-y_b\right|\right}$ for two points $a \in \tilde{A}$ and $b \in \tilde{B}$. We do a binary search on all such possible $O\left(n^2\right)$ distances where $|\tilde{A}|=|\tilde{B}|=n$. Let $\delta_0, \delta_1, \ldots, \delta_{n^{\prime}}$ be the sorted sequence of these distances in a nondecreasing order.

Given a $\delta=\delta_i \geq 0$ where $i$ is the median of the index in the hinary search interval $[\ell, u]$, we construct a bipartite graph $G=(\tilde{A} \cup \tilde{B}, E)$ where an edge $e=(a, b){{a \in \tilde{A}, b \in \tilde{B}}}$ is in $E$ if and only if either both $a \in \bar{A}$ and $b \in \bar{B}$ (weight $(e)=0$ ) or $|a-b|{\infty} \leq \delta$ (weight $(e)=|a-b|_{\infty}$ ). A complete matching in $G$ is a set of $n$ edges so that every vertex in $\tilde{A}$ and $\tilde{B}$ is incident to exactly one edge in the set. To determine if $G$ has a complete matching, one can use an $O\left(n^{2.5}\right)$ algorithm of Hopcroft and Karp [198] for complete matching in a bipartite graph. However, exploiting the geometric embedding of the points in the persistence diagrams, we can apply an $O\left(n^{1.5}\right)$ time algorithm of Efrat et al. [154] for the purpose. If such an algorithm affirms that a complete matching exists, we do the following: If $\ell=u$ we output $\delta$, otherwise we set $u=i$ and repeat. If no matching exists, we set $\ell=i$ and repeat. Observe that matching has to exist for some value of $\delta$, in particular for $\delta_{n^{\prime}}$ and thus the binary search always succeeds. Algorithm 1: BoTTLENECK lays out the pseudocode for this matching. The algorithm runs in $O\left(n^{1.5} \log n\right)$ time accounting for the $O(\log n)$ probes for binary search each applying an $O\left(n^{1.5}\right)$ time matching algorithm. However, to achieve this complexity, we have to avoid sorting $n^{\prime}=O\left(n^2\right)$ values taking $O\left(n^2 \log n\right)$ time. Again, using the geometric embedding of the points, one can perform the binary probes without incurring the cost for sorting. For details and an efficient implementation of this algorithm, seee [209].

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stability of Persistence Diagrams

持久性图 $\operatorname{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right)$ ，作为扩展平面中的一组点 $\overline{\mathbb{R}}^2$ ，总结了与函数相关的单纯复形 (空间) 的某些拓扑 信息 $f$ 诱导过滤 $\mathcal{F}_f$. 然而，这在实践中没有用，除非我们可以确定 $f$ 不会显着改变此图。在实践中 $f$ 很少 被准确测量，如果它的持久性图可以从一个轻微扰动的版本中近似出来，它就会变得有用。幸运的是， 持久性图是稳定的。为了表达这种稳定性，我们需要持久性图之间的距离概念。 让D $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ 是两个函数的两个持久性图 $f$ 和 $g$. 我们想考虑点之间的双射 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$. 但是，对于非对角线点，它们可能具有不同的基数。回想一下持久性图包括对角线上的点 $\Delta$ 每个都有无限的多样性。这种添加允许我们在必要时从对角线上借用点来定义双射。请注意，我们只 考虑有限复形的过滤，这也使每个同调群都有限。 定义 3.9。 (瓶颈距离) 让 表示所有双射的集合。考虑两点之间的距离 $x=\left(x_1, x_2\right)$ 和 $y=\left(y_1, y_2\right)$ 在 $L \infty$-规范 $|x-y|{\infty}=$ $3.10)$ 是
$$
\mathrm{d} b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\inf \pi \in \Pi \sup x \in \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)|x-\pi(x)| \infty
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Computing Bottleneck Distances

让 $A$ 和 $B$ 是两个持久性图中的非对角点 $\mathrm{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ ，分别。对于一点 $a \in A$ ，让 $\bar{a}$ 表示 最近的点 $a$ 在对角线上。定义 $\bar{b}$ 对于每一点 $b \in B$ 相似地。让 $\bar{A}=\bar{a}$ 和 $\bar{B}=\bar{b}$. 让 $\tilde{A}=A \cup \bar{B}$ 和 $$ \mathrm{d} b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\min \pi \in \Pi \sup a \in \tilde{A}, \pi(a) \in \tilde{B}|a-\pi(a)| \infty . $$ $a \in \tilde{A}$ 和 $b \in \tilde{B}$. 我们对所有可能的情况进行二分查找 $O\left(n^2\right)$ 距离在哪里 $|\tilde{A}|=|\tilde{B}|=n$. 让 $\delta_0, \delta_1, \ldots, \delta{n^{\prime}}$ 是这些距离的非递减顺序的排序序列。
给定一个 $\delta=\delta_i \geq 0$ 在哪里 $i$ 是 hinary 搜索区间中索引的中位数 $[\ell, u]$ ，我们构造一个二分图 $G=(\tilde{A} \cup \tilde{B}, E$ ) 哪里有边 $e=(a, b) a \in \tilde{A}, b \in \tilde{B}$ 在 $E$ 当且仅当两者都有 $a \in \bar{A}$ 和 $b \in \bar{B}$ (重量
$(e)=0$ ) 要么 $|a-b| \infty \leq \delta$ (重量 $(e)=|a-b|{\infty}$ ). 一个完整的匹配 $G$ 是一组 $n$ 边使得每个顶点在 $\tilde{A}$ 和 $\tilde{B}$ 恰好与集合中的一条边相关。确定是否 $G$ 有一个完整的匹配，一个可以使用 $O\left(n^{2.5}\right)$ Hopcroft 和 Karp [198] 的算法用于二分图中的完全匹配。然而，利用持久性图中点的几何嵌入，我们可以应用 $O\left(n^{1.5}\right)$ Efrat 等人的时间算法。[154] 的目的。如果这样的算法确认存在完全匹配，我们将执行以下操 作: 如果 $\ell=u$ 我们输出 $\delta$ ，否则我们设置 $u=i$ 并重复。如果不存在匹配项，我们设置 $\ell=i$ 并重复。观 察到对于某些值必须存在匹配 $\delta$ ，特别是对于 $\delta{n^{\prime}}$ 因此二分查找总是成功的。算法 1: BOTTLENECK 列出 了此匹配的伪代码。该算法运行于 $O\left(n^{1.5} \log n\right)$ 时间占 $O(\log n)$ 用于二进制搜索的探针每个应用一个 $O\left(n^{1.5}\right)$ 时间匹配算法。然而，为了实现这种复杂性，我们必须避免排序 $n^{\prime}=O\left(n^2\right)$ 取值
$O\left(n^2 \log n\right)$ 时间。同样，使用点的几何嵌入，可以在不产生排序成本的情况下执行二元探测。有关此 算法的详细信息和有效实现，请参阅 [209]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence

In both cases of space and simplicial filtration $\mathcal{F}$, we arrive at a homology module:
$$
\mathrm{H}p \mathcal{F}: 0=\mathrm{H}_p\left(X_0\right) \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_1\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_i\right) \rightarrow \stackrel{h_p^{h_j}}{ } \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_j\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_n\right)=\mathrm{H}_p(X), $$ where $X_i=\mathbb{T}{a_i}$ if $\mathcal{F}$ is a space filtration of a topological space $X=\mathbb{T}$ or $X_i=K_i$ if $\mathcal{F}$ is a simplicial filtration of a simplicial complex $X=K$. Persistent homology groups for a homology module are algebraic structures capturing the survival of the homology classes through this sequence. In general, we will call homology modules persistence modules in Section $3.4$ recognizing that we can replace homology groups with vector spaces.

Definition 3.4. (Persistent Betti number) The $p$-th persistent homology groups are the images of the homomorphisms: $\mathrm{H}_p^{i, j}=\operatorname{im} h_p^{i, j}$, for $0 \leq i \leq$ $j \leq n$. The $p$-th persistent Betti numbers are the dimensions $\beta_p^{i, j}=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p^{i, j}$ of the vector spaces $\mathrm{H}_p^{i, j}$.

The $p$-th persistent homology groups contain the important information of when a homology class is born or when it dies. The issue of birth and death of a class becomes more subtle because when a new class is born, many other classes that are the sum of this new class and any other existing class are also born. Similarly, when a class ceases to exist, many other classes may cease to exist along with it. Therefore, we need a mechanism to pair births and deaths canonically. Figure $3.7$ illustrates the birth and death of a class, though the pairing of birth and death events is more complicated as stated in Fact 3.3.
Observe that the nontrivial elements of $p$-th persistent homology groups $\mathrm{H}_p^{i, j}$ consist of classes that survive from $X_i$ to $X_j$, that is, the classes which do not get “quotiented out” by the boundaries in $X_j$. So, one can observe the following.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence Diagram

Fact $3.3$ provides a qualitative characterization of the pairing of births and deaths of classes. Now we give a quantitative characterization which helps to draw a visual representation of this pairing called a persistence diagram; see Figure 3.8(a). Consider the extended plane $\overline{\mathbb{R}}^2:=(\mathbb{R} \cup{\pm \infty})^2$ on which we represent the birth at $a_i$ paired with the death at $a_j$ as a point $\left(a_i, a_j\right)$. This pairing uses a persistence pairing function $\mu_p^{i, j}$ defined below. Strictly positive values of this function correspond to multiplicities of points in the persistence diagram (Definition 3.8). In what follows, to account for classes that never die, we extend the induced module in Eq. (3.3) on the right end by assuming that $\mathrm{H}p\left(X{n+1}\right)=0$.
Definition 3.6. For $0<i<j \leq n+1$, define
$$
\mu_p^{i, j}=\left(\beta_p^{i, j-1}-\beta_p^{i, j}\right)-\left(\beta_p^{i-1, j-1}-\beta_p^{i-1, j}\right) .
$$
The first difference on the right-hand side counts the number of independent classes that are born at or before $X_i$ and die entering $X_j$. The second difference counts the number of independent classes that are born at or before $X_{i-1}$ and die entering $X_j$. The difference between the two differences thus counts the number of independent classes that are born at $X_i$ and die entering $X_j$. When $j-n+1, \mu_p^{i, n+1}$ counts the number of independent classes that are born at $X_i$ and die entering $X_{n+1}$. They remain alive till the end in the original filtration without extension, or we say that they never die. To emphasize that classes which exist in $X_n$ actually never die, we equate $n+1$ with $\infty$ and take $a_{n+1}=$ $a_{\infty}=\infty$. Observe that, with this assumption, we have $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ for every $i \leq n$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence

在空间和简单过滤的两种情况下 $\mathcal{F}$ ，我们得到一个同源模块:
$$
\mathrm{H} p \mathcal{F}: 0=\mathrm{H}_p\left(X_0\right) \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_1\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_i\right) \rightarrow h_p^{h_j} \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_j\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_n\right)=\mathrm{H}_p
$$
在哪里 $X_i=\mathbb{T} a_i$ 如果 $\mathcal{F}$ 是拓扑空间的空间过滤 $X=\mathbb{T}$ 要么 $X_i=K_i$ 如果 $\mathcal{F}$ 是单纯复形的单纯过滤 $X=K$. 同源模块的持久同源群是通过该序列捕获同源类生存的代数结构。一般来说，我们会在Section 中调用同源模块persistence modules3.4认识到我们可以用向量空间代替同调群。
定义 3.4。 (持久的 Betti 号码) $p$-th 持久同源群是同态的图像: $\mathrm{H}_p^{i, j}=\operatorname{im} h_p^{i, j}$ ，为了 $0 \leq i \leq j \leq n$ . 这 $p$-th 持久的 Betti 数字是维度 $\beta_p^{i, j}=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p^{i, j}$ 向量空间 $\mathrm{H}_p^{i, j}$.
这 $p$-th 持久同源群包含同源类何时诞生或何时消亡的重要信息。一个类的生雨问题变得更加微妙，因为 当一个新类诞生时，许多其他类也诞生了，这些类是这个新类和任何其他现有类的总和。同样，当一个 类不复存在时，许多其他类也可能随之不复存在。因此，我们需要一种机制来规范地配对出生和死亡。 数字3.7说明了一个类的出生和死亡，尽管如事实 $3.3$ 所述，出生和死亡事件的配对更为复杂。
观察到的非平凡元素 $p$-th 持久同源群 $\mathrm{H}_p^{i, j}$ 由从中幸存下来的类组成 $X_i$ 到 $X_j$ ，也就是说，没有被边界“商 出”的类 $X_j$. 因此，可以观察以下内容。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence Diagram

事实3.3提供了阶级出生和死亡配对的定性特征。现在我们给出一个定量特征，这有助于绘制这种配对的 可视化表示，称为持久性图；见图 3.8(a)。考虑扩展平面 $\bar{R}^2:=(\mathbb{R} \cup \pm \infty)^2$ 我们代表出生于 $a_i$ 与死亡 配对 $a_j$ 作为一个点 $\left(a_i, a_j\right)$. 本次配对使用持久配对功能 $\mu_p^{i, j}$ 定义如下。此函数的严格正值对应于持久性 图中的多个点（定义 3.8) 。接下来，为了解释永不消亡的类，我们扩展了方程式中的诱导模块。(3.3) 在 右端假设 $\mathrm{H} p(X n+1)=0$.
定义 3.6。为了 $0<i<j \leq n+1$ ，定义
$$
\mu_p^{i, j}=\left(\beta_p^{i, j-1}-\beta_p^{i, j}\right)-\left(\beta_p^{i-1, j-1}-\beta_p^{i-1, j}\right) .
$$
右侧的第一个差值计算出生时或之前出生的独立班级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_j$. 第二个差异计算出生在或 之前的独立班级的数量 $X_{i-1}$ 并死于进入 $X_j$. 因此，这两个差异之间的差异计算了出生时独立阶级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_j$. 什么时候 $j-n+1, \mu_p^{i, n+1}$ 计算出生于的独立班级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_{n+1}$. 它们 在原始过滤中一直存活到最后，没有延伸，或者我们说它们永远不会死。强调存在于 $X_n$ 实际上永远不会 死，我们等同于 $n+1$ 和 $\infty$ 并釆取 $a_{n+1}=a_{\infty}=\infty$. 观察到，根据这个假设，我们有 $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ 每一个 $i \leq n$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。