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随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域，因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数，但没有可微的地方。

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数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Exercises

Exercise 1.1. There are very few $L$ ‘s for which a closed form solution to (1.2.3) or (1.2.4) is known. Of course, when $L=\frac{1}{2} \Delta$,
$$
P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g(t, \mathbf{y}-\mathbf{x}) d \mathbf{y} \quad \text { where } g(t, \mathbf{y})=(2 \pi t)^{-\frac{N}{2}} e^{-\frac{|\mathbf{y}|^2}{2 t}} .
$$
Another case is when $L$ is the Ornstein-Uhlenbeck operator given by
$$
L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \Delta \varphi(\mathbf{x})-(\mathbf{x}, \nabla \varphi(\mathbf{x})){\mathbb{R}^N} . $$ Perhaps the most elementary way to find the associated transition probability function $P(t, \mathbf{x}, \cdot)$ is to use (1.2.4). Namely, suppose $u \in C{\mathrm{b}}^{1,2}\left([0, \infty) \times \mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)$ satisfies the heat equation $\partial_t u=\frac{1}{2} \Delta u$, and set
$$
v(t, \mathbf{x})=u\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, e^{-t} \mathbf{x}\right) .
$$
Show that $\partial_t v=L v$, and conclude that
$$
P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, \mathbf{y}-e^{-t} \mathbf{x}\right) d \mathbf{y}
$$
Exercise 1.2. Given the characterization of linear functionals that satisfy the minimum principle and are quasi-local, it is quite easy to derive the Lévy-Khinchine formula for infinitely divisible laws. A $\mu \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ is said to be infinitely divisible if, for each $n \geq 1$, there is a $\mu{\frac{1}{n}} \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ such that $\mu=\mu{\frac{1}{n}}^{* n}$, and the Lévy-Khinchine formula says that $\mu \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ is infinitely divisible if and only if there is a Lévy system $(\mathbf{m}, C, M)$ such that $\hat{\mu}=e^{\ell}$ where $(*) \quad \ell(\boldsymbol{\xi})=i(\mathbf{m}, \boldsymbol{\xi}){\mathbb{R}^N}-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\xi}, C \boldsymbol{\xi}){\mathbb{R}^N}$ $$ +\int{\mathbb{R}^N}\left(e^{i(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y}){\mathbb{R} N}}-1-i \mathbf{1}{B(\mathbf{0}, 1)}(\mathbf{y})(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y})_{\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y}) .
$$
As a consequence, one sees that $\mu=\lambda_1$, where $\left{\lambda_t: t>0\right}$ is the canonical family determined by $(\mathbf{m}, C, M)$. In this and the following exercise, you are to derive their formula.

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Itô’s Approach

To address the problem of convergence raised at the end of Chapter 1, K. Itô used a technique known as coupling. Given a pair of Borel probability measures $\mu_1$ and $\mu_2$ on some metric space $(E, \rho)$, a coupling of $\mu_1$ to $\mu_2$ is a pair of $E$-valued random variables $X_1$ on $X_2$ on some probability space $(\Omega, \mathcal{B}, \mathbb{P})$ such that $\mu_1$ is the distribution of $X_1$ and $\mu_2$ is the distribution of $X_2$. Given such a coupling, one can compare $\mu_1$ to $\mu_2$ by looking at
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\rho\left(X_1, X_2\right)^p\right]^{\frac{1}{p}} .
$$
To yield useful information, the coupling technique requires one to make a judicious choice of the random variables. On the one hand, the choice should be good enough to give a reasonably accurate assessment of the difference between the measures. On the other hand, unless the choice is one for which calculations are possible, it has no value. The choice that Itô made was a very clever compromise between accuracy and practicality. Namely, he lifted everything to pathspace and performed his coupling there. If one thinks, as Itô did, of Kolmogorov’s equations as describing the evolution of measures in $\mathbf{M}_1\left(\mathbb{R}^N\right)$, moving to pathspace is a natural idea. Indeed, the measure $\mu_t$ should be the distribution at time $t$ of a randomly diffusing particle, and so the position of that particle should be a good candidate for ones coupling procedure. However, in order to fully appreciate just how clever Itô’s coupling procedure is, it may be helpful to start by using a less clever one.

Let coefficients $a$ and $b$ be given, and, for each $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$ and $n \geq 1$, determine $t \rightsquigarrow P_n(t, \mathbf{x})$ by $(1.2 .12)$ with $\nu=\delta_{\mathbf{x}}$. Suppose that $\sigma: \mathbb{R}^N \longrightarrow$ $\operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^N\right)$ is a Borel measurable function for which $a=\sigma \sigma^{\top}$. Next, let $\left{Y_m: m \geq 1\right}$ be a sequence of mutually independent, $\mathbb{R}^M$-valued Gaussian random variables with mean $\mathbf{0}$ and covariance $\mathbf{I}$ on some probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, and define the random variable $X_n(t, \mathbf{x})$ for $(t, \mathbf{x}) \in[0, \infty) \times \mathbb{R}^N$ by $X_n(0, \mathrm{x})=\mathrm{x}$ and $$
\begin{gathered}
X_n(t, \mathbf{x})=X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)+\left(t-m 2^{-n}\right) b\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right) \
+\left(t-m 2^{-n}\right)^{\frac{1}{2}} \sigma\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right) Y_{m+1}
\end{gathered}
$$
for $m 2^{-n}<t \leq(m+1) 2^{-n}$. Using induction on $n \geq 0$, one can check that $P_n(t, \mathbf{x})$ is the distribution of $X_n(t, \mathbf{x})$ and therefore that $X_n(t, \mathbf{x})$ and $X_n(t, \mathbf{y})$ provide a coupling of $P_n(t, \mathbf{x})$ to $P_n(t, \mathbf{y})$.

随机微积分代考

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Exercises

练习 1.1。很少 $L$ 的，其中 (1.2.3) 或 (1.2.4) 的封闭形式解是已知的。当然，当 $L=\frac{1}{2} \Delta$ ，
$$
P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g(t, \mathbf{y}-\mathbf{x}) d \mathbf{y} \quad \text { where } g(t, \mathbf{y})=(2 \pi t)^{-\frac{N}{2}} e^{-\frac{|y|^2}{2 t}} .
$$
另一种情况是当 $L$ 是由给出的 Ornstein-Uhlenbeck 算子
$$
L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \Delta \varphi(\mathbf{x})-(\mathbf{x}, \nabla \varphi(\mathbf{x})) \mathbb{R}^N .
$$
也许是找到相关转移概率函数的最基本方法 $P(t, \mathbf{x}, \cdot)$ 是使用 (1.2.4) 。即，假设 $u \in C \mathrm{~b}^{1,2}\left([0, \infty) \times \mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)$ 满足热方程 $\partial_t u=\frac{1}{2} \Delta u_t$ 并设置
$$
v(t, \mathbf{x})=u\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, e^{-t} \mathbf{x}\right) .
$$
显示 $\partial_t v=L v ，$ 并得出结论
$$
P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, \mathbf{y}-e^{-t} \mathbf{x}\right) d \mathbf{y}
$$
练习 1.2。鉴于线性泛函的特征满足最小原理并且是准局部的，很容易推导出无限可分定律的 Lévy-Khinchine 公 式。一个 $\mu \in \mathbf{M} 1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 被称为是无限可分的，如果，对于每个 $n \geq 1$ ，有一个 $\mu \frac{1}{n} \in \mathbf{M} 1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 这样 $\mu=\mu \frac{1}{n}^{* n}$ ，而 Lévy-Khinchin 公式表示 $\mu \in \mathbf{M} 1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 当且仅当存在 Lévy 系统时 是无限可分的 $(\mathbf{m}, C, M)$ 这样 $\hat{\mu}=e^{\ell}$ 在哪里 $(*) \quad \ell(\boldsymbol{\xi})=i(\mathbf{m}, \boldsymbol{\xi}) \mathbb{R}^N-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\xi}, C \boldsymbol{\xi}) \mathbb{R}^N$
$$
+\int \mathbb{R}^N\left(e^{i(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y}) \mathbb{R} N}-1-i \mathbf{1} B(\mathbf{0}, 1)(\mathbf{y})(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y})_{\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y}) .
$$
结果，人们看到 $\mu=\lambda_1$ ，在哪里 left{Nlambda_t: t>0〈right $}$ 是由确定的规范家庭 $(\mathbf{m}, C, M)$. 在这个和下面的练 习中，你将推导出他们的公式。

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Itô’s Approach

为了解决第 1 章末尾提出的收敛问题， $K$. Itô 使用了一种称为喁合的技术。给定一对 Borel 概率测度 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 在一 些度量空间上 $(E, \rho)$ ，的塊合 $\mu_1$ 至 $\mu_2$ 是一对 $E$ 值随机变量 $X_1$ 上 $X_2$ 在某个概率空间上 $(\Omega, \mathcal{B}, \mathbb{P})$ 这样 $\mu_1$ 是分布 $X_1$ 和 $\mu_2$ 是分布 $X_2$. 鉴于这样的耦合，可以比较 $\mu_1$ 至 $\mu_2$ 通过查看
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\rho\left(X_1, X_2\right)^p\right]^{\frac{1}{p}} .
$$
为了产生有用的信息，耦合技术需要对随机变量做出明智的选择。一方面，选择应该足够好，以对测量之间的差 异进行合理准确的评估。另一方面，除非选择是可以计算的，否则它没有价值。伊藤做出的选择是在准确性和实 用性之间非常巧妙的折衷。即，他将一切都提升到路径空间并在那里进行耦合。如果有人像伊藤那样认为
Kolmogorov 的方程描述了度量的演变 $\mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ ，移动到路径空间是一个自然的想法。确实，该措施 $\mu_t$ 应该是 当时的分布 $t$ 随机扩散粒子的位置，因此该粒子的位置应该是耦合过程的良好候选者。然而，为了充分了解 Itô 的 耦合程序是多么聪明，从使用不太聪明的程序开始可能会有所帮助。 让系数 $a$ 和 $b$ 被给予，并且，对于每个 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$ 和 $n \geq 1$ ，决定 $t \rightsquigarrow P_n(t, \mathbf{x})$ 经过 $(1.2 .12)$ 和 $\nu=\delta{\mathbf{x}}$. 假设 $\sigma: \mathbb{R}^N \longrightarrow \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^N\right)$ 是一个 Borel 可测函数 $a=\sigma \sigma^{\top}$. 接下来，让 lleft $\left{\mathrm{Y}{-} \mathrm{m}: \mathrm{m} \backslash \operatorname{lgeq} 1 \backslash \mathrm{right}\right.$, 是一个相 互独立的序列， $\mathbb{R}^M$ 具有均值的高斯随机变量 0 和协方差I在某个概率空间上 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ，并定义随机变量 $X_n(t, \mathbf{x})$ 为了 $(t, \mathbf{x}) \in[0, \infty) \times \mathbb{R}^N$ 经过 $X_n(0, \mathrm{x})=\mathrm{x}$ 和 $$ X_n(t, \mathbf{x})=X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)+\left(t-m 2^{-n}\right) b\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right)+\left(t-m 2^{-n}\right)^{\frac{1}{2}} \sigma\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right) Y{m+1}
$$
为了 $m 2^{-n}<t \leq(m+1) 2^{-n}$. 使用归纳法 $n \geq 0$ ，可以检查 $P_n(t, \mathbf{x})$ 是分布 $X_n(t, \mathbf{x})$ 因此 $X_n(t, \mathbf{x})$ 和 $X_n(t, \mathbf{y})$ 提供一个耦合 $P_n(t, \mathbf{x})$ 至 $P_n(t, \mathbf{y})$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域，因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数，但没有可微的地方。

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数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Kolmogorov’s equations

The reason why the measures $\lambda_t$ constructed in the preceding are canonical is that they are the analog in $\mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ of rays $\mathbb{R}^N$. This analogy is based on the equation $\lambda{s+t}=\lambda_s * \lambda_t$. If one thinks of convolution as the analog in $\mathbf{M}_1\left(\mathbb{R}^N\right)$ of addition in $\mathbb{R}^N$, then this equation is the analog of the equation $F(s+t)=F(s)+F(t)$, which is the equation for a ray in $\mathbb{R}^N$.

There is an alternative way to think about this analogy. Namely, a ray is the integral curve starting at $\mathbf{0}$ of a vector field $\mathbf{V}$ that is constant in the sense that, for all $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N, \tau_{\mathbf{x}} \circ \mathbf{V}=\mathbf{V} \circ \tau_{\mathbf{x}}$, where $\tau_{\mathbf{x}}$ is the translation operator given by $\tau_{\mathbf{x}} f(\mathbf{y})=f(\mathbf{x}+\mathbf{y})$ for $f: \mathbb{R}^N \longrightarrow \mathbb{R}$. Since $t \rightsquigarrow \lambda_t$ starts at $\delta_{\mathbf{0}}$, which is the analog in $\mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ of $\mathbf{0}$ in $\mathbb{R}^N$, checking that $t \rightsquigarrow \lambda_t$ is the analog of a ray reduces to showing that its tangent field is constant. To this end, let $A$ be the linear functional determined by the Lévy system corresponding to $\left{\lambda_t: t>0\right}$, and define the operator $L$ so that $L \varphi(\mathbf{x})=A \circ \tau{\mathbf{x}} \varphi$. Then $$
\begin{gathered}
t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \lambda_{s+t}\right\rangle-\left\langle\varphi, \lambda_s\right\rangle\right)=t^{-1} \int\left(\int(\varphi(\mathbf{x}+\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{x})) \lambda_t(d \mathbf{y})\right) \lambda_s(d \mathbf{x}) \
=\int t^{-1}\left(\left\langle\tau_{\mathbf{x}} \varphi, \mu_t\right\rangle-\tau_x \varphi(\mathbf{0})\right) \lambda_s(d \mathbf{x}) \longrightarrow\left\langle A \circ \tau_{\mathbf{x}} \varphi, \lambda_s\right\rangle
\end{gathered}
$$
as $t \searrow 0$. Hence,
$$
\lim {t\rangle*} t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \lambda_{s+t}\right\rangle-\left\langle\varphi, \lambda_s\right\rangle\right)=\left\langle L \varphi, \lambda_s\right\rangle,
$$
and so
$$
\frac{d}{d t}\left\langle\varphi, \lambda_t\right\rangle=\left\langle L \varphi, \lambda_t\right\rangle .
$$
Thus $L$ can be thought of as the tangent field along $t \rightsquigarrow \lambda_t$, and it is clearly constant in the sense that $\tau_{\mathbf{x}} \circ L=L \circ \tau_{\mathbf{x}}$.

As we will see, there are advantages to the second line of reasoning. For example, it gives us another characterization of $\left{\lambda_t: t>0\right}$. Namely, we know that $(1.2 .1)$ holds for $\varphi \in \mathbb{D}$, but one can easily show that it holds for all $\varphi \in C_{\mathrm{b}}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{C}\right)$. Indeed, first note that
$$
\begin{aligned}
|L \varphi(\mathbf{x})| \leq &|C|_{\text {op }}\left|\nabla^2 \varphi(\mathbf{x})\right|_{\text {op }}+|\mathbf{m} | \nabla \varphi(\mathbf{x})| \
&+\frac{1}{2} \sup {\mathbf{y} \in B(\mathbf{x}, 1)}\left|\nabla^2 \varphi(\mathbf{y})\right|{\text {op }} \int_{B(\mathbf{0}, 1)}|\mathbf{y}|^2 M(d \mathbf{y})+2 M(B(\mathbf{0}, 1) \complement)|\varphi|_{\mathrm{u}} .
\end{aligned}
$$

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|The forward equation with variable coefficients

In the preceding, we showed that, for any $\nu \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right),\left{\nu * \lambda_t: t>0\right}$ can be described as the unique integral curve of the vector field $L$ determined by a Lévy system $(\mathbf{m}, C, M)$. As we pointed out, $L$ is a constant vector field. Here we will show how one can go about solving Kolmogorov’s forward equation for $L$ ‘s having variable coefficients, although, because it is the case dealt with in the rest of this book, we will restrict our attention to local operators. That is, until further notice, we will be dealing with operators $$ L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \sum{i, j=1}^N a_{i j}(\mathbf{x}) \partial_{x_i} \partial_{x_j} \varphi(\mathbf{x})+\sum_{i=1}^N b_i(\mathbf{x}) \partial_{x_i} \varphi(\mathbf{x})
$$

where $a(\mathbf{x})=\left(\left(a_{i j}(\mathbf{x})\right)\right)_{1 \leq i, j \leq N}$ is a non-negative definite, symmetric matrix for each $x \in \mathbb{R}^N$. In the probability literature, $a$ is called the diffusion coefficient and $b$ is called the drift coefficient. (Cf. the discussion at the beginning of $\S 4.5$ regarding these designations.)

The goal is to find a family $\left{\mu_t: t \geq 0\right} \subseteq \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ which satisfies Kolmogorov’s forward equation $$ \partial_t\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle=\left\langle L \varphi, \mu_t\right\rangle \quad \text { with } \mu_0=\nu . $$ Although Kolmogorov interpreted this problem from a purely analytic standpoint and wrote $(1.2 .6)$ as $\partial_t f_t=L^* f_t$, where $f_t$ is the density of $\mu_t$ with respect to Lebesgue measure and $$ L^* \varphi=\frac{1}{2} \sum{i, j=1}^N \partial_{x_i} \partial_{x_j}\left(a_{i j} \varphi\right)-\sum_{i=1}^N \partial_{x_i}\left(b_i \varphi\right)
$$
is the formal adjoint of $L$, K. Itô chose (cf. [18]) an interpretation based on the idea that $L$ is a vector field on $\mathbf{M}_1\left(\mathbb{R}^N\right)$ and that (1.2.6) is the equation that describes its integral curves starting at $\nu$. One of the many advantages to adopting Itô’s interpretation is that it leads to the following general existence theorem and explains how he arrived at the ideas developed in Chapters 2 and 3 .

随机微积分代考

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Kolmogorov’s equations

采取措施的原因 $\lambda_t$ 前面的构造是规范的，是它们是模拟的 $\mathbf{M} 1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 光线 $\mathbb{R}^N$. 这个类比是基于等式 $\lambda s+t=\lambda_s * \lambda_t$. 如果将卷积视为 $\mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 添加在 $\mathbb{R}^N$ ，那么这个方程就是方程的类比 $F(s+t)=F(s)+F(t)$ ，这是一条射线的方程 $\mathbb{R}^N$. 有另一种方式来思考这个类比。也就是说，一条射线是从起点开始的积分曲线 0 向量场的 $\mathbf{V} 从$ 某种意义上说，对于 所有人来说，这是恒定的 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N, \tau{\mathbf{x}} \circ \mathbf{V}=\mathbf{V} \circ \tau_{\mathbf{x}}$ ，在哪里 $\tau_{\mathbf{x}}$ 是由给出的翻译运算符 $\tau_{\mathbf{x}} f(\mathbf{y})=f(\mathbf{x}+\mathbf{y})$ 为了 $f: \mathbb{R}^N \longrightarrow \mathbb{R}$. 自从 $t \rightsquigarrow \lambda_t$ 开始于 $\delta_0$ ，这是模拟 $\mathbf{M} 1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 的 0 在 $\mathbb{R}^N$ ，检查 $t \rightsquigarrow \lambda_t$ 是一条射线的类比， 简化为表明它的切场是恒定的。为此，让 $A$ 是由 Lévy 系统确定的线性泛函，对应于Uleft{Nambda_t: t>0〈right}，并 定义运算符 $L$ 以便 $L \varphi(\mathbf{x})=A \circ \tau \mathbf{x} \varphi$. 然后
$$
t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \lambda_{s+t}\right\rangle-\left\langle\varphi, \lambda_s\right\rangle\right)=t^{-1} \int\left(\int(\varphi(\mathbf{x}+\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{x})) \lambda_t(d \mathbf{y})\right) \lambda_s(d \mathbf{x})=\int t^{-1}\left(\left\langle\tau_{\mathbf{x}} \varphi, \mu_t\right\rangle-\tau_x \varphi\right.
$$
作为 $t \searrow 0$. 因此，
$$
\lim t\rangle * t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \lambda_{s+t}\right\rangle-\left\langle\varphi, \lambda_s\right\rangle\right)=\left\langle L \varphi, \lambda_s\right\rangle,
$$
所以
$$
\frac{d}{d t}\left\langle\varphi, \lambda_t\right\rangle=\left\langle L \varphi, \lambda_t\right\rangle .
$$
因此 $L$ 可以认为是沿的切场 $t \rightsquigarrow \lambda_t$ ，并且在这个意义上它显然是恒定的 $\tau_{\mathbf{x}} \circ L=L \circ \tau_{\mathbf{x}}$.
正如我们将看到的，第二条推理有优势。例如，它给了我们另一个特征 lleft{(lambda_t: t>0|right}. 也就是说，我们 知道 $(1.2 .1)$ 为 $\varphi \in \mathbb{D}$ ，但可以很容易地证明它适用于所有人 $\varphi \in C_{\mathrm{b}}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{C}\right)$. 确实，首先要注意
$$
|L \varphi(\mathbf{x})| \leq|C|{\text {op }}\left|\nabla^2 \varphi(\mathbf{x})\right|{\text {op }}+|\mathbf{m}| \nabla \varphi(\mathbf{x})\left|\quad+\frac{1}{2} \sup \mathbf{y} \in B(\mathbf{x}, 1)\right| \nabla^2 \varphi(\mathbf{y}) \mid \text { op } \int_{B(0,1)}|\mathbf{y}|^2 M(d \mathbf{y})
$$

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|The forward equation with variable coefficients

为向量场的唯一积分曲线 $L$ 由 Lévy 系统确定 $(\mathbf{m}, C, M)$. 正如我们所指出的， $L$ 是一个常数向量场。在这里，我 们将展示如何求解 Kolmogorov 的正向方程 $L$ 的系数是可变的，但是，因为这是本书其余部分处理的情况，我们 将把注意力限制在局部运算符上。也就是说，在另行通知之前，我们将与运营商打交道
$$
L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \sum i, j=1^N a_{i j}(\mathbf{x}) \partial_{x_i} \partial_{x_j} \varphi(\mathbf{x})+\sum_{i=1}^N b_i(\mathbf{x}) \partial_{x_i} \varphi(\mathbf{x})
$$
在哪里 $a(\mathbf{x})=\left(\left(a_{i j}(\mathbf{x})\right)\right){1 \leq i, j \leq N}$ 是一个非负定对称矩阵 $x \in \mathbb{R}^N$. 在概率文献中， $a$ 被称为扩散系数和 $b$ 称为漂 移系数。(参见开头的讨论 $4.5$ 关于这些名称。) 的正向方程 $$ \partial_t\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle=\left\langle L \varphi, \mu_t\right\rangle \quad \text { with } \mu_0=\nu . $$ 尽管 Kolmogorov 从纯分析的角度解释了这个问题，并写道 $(1.2 .6)$ 作为 $\partial_t f_t=L^* f_t$ ，在哪里 $f_t$ 是密度 $\mu_t$ 关于 勒贝格测度和 $$ L^* \varphi=\frac{1}{2} \sum i, j=1^N \partial{x_i} \partial_{x_j}\left(a_{i j} \varphi\right)-\sum_{i=1}^N \partial_{x_i}\left(b_i \varphi\right)
$$
是的正式伴随 $L$, K. Itô 选择 (cf. [18]) 一种基于以下观点的解释: $L$ 是一个向量场 $\mathbf{M}_1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 并且 (1.2.6) 是描述其 积分曲线的方程，起始于 $\nu$. 采用伊藤解释的众多优点之一是它导致了以下一般存在定理，并解释了他如何得出第 2 章和第 3 章中提出的想法。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
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如果你也在 怎样代写随机微积分Stochastic calculus这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域，因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数，但没有可微的地方。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写随机微积分Stochastic calculus方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写随机微积分Stochastic calculus代写方面经验极为丰富，各种随机微积分Stochastic calculus相关的作业也就用不着说。

我们提供的随机微积分Stochastic calculus及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Linear functionals that satisfy the minimum principle

Suppose that $t \in(0, \infty) \longmapsto \mu_t \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ is a map with the properties that ${ }^1$ $$ A \varphi:=\lim {t \chi_0} \frac{\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})}{t}
$$
exists for all $^2 \varphi \in \mathbb{D}:=\mathbb{R} \oplus \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)=\left{c+\psi: c \in \mathbb{R} \& \psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)\right}$ and
$$
\varlimsup_{R \rightarrow \infty} \varlimsup_{t \searrow_0} \frac{\mu_t(B(\mathbf{0}, R) \mathrm{C})}{t}=0
$$

Then
(i) A satisfies the minimum principle:
$$
\varphi(\mathbf{0}) \leq \varphi \Longrightarrow A \varphi \geq 0 .
$$
(ii) $A$ is clusi-local in the sense that
$$
\lim {R \rightarrow \infty} A \varphi_R=0 \quad \text { where } \varphi_R(\mathbf{x})=\varphi\left(\frac{\mathbf{x}}{R}\right) $$ if $\varphi$ is constant in a neighborhood of $\mathbf{0}$. The first of these is obvious, since $$ \left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})=\left\langle\varphi-\varphi(\mathbf{0}), \mu_t\right\rangle \geq 0 $$ if $\varphi(\mathbf{0}) \leq \varphi$. To check the second, choose $\delta>0$ so that $\varphi(\mathbf{y})=\varphi(\mathbf{0})$ for $|\mathbf{y}|<\delta$. Then $$ \begin{aligned} \left|\left\langle\varphi_R, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})\right| & \leq \int{B(\mathbf{0}, R \delta) \mathrm{C}}\left|\varphi\left(\frac{\mathbf{y}}{R}\right)-\varphi(\mathbf{0})\right| \mu_t(d \mathbf{y}) \
& \leq 2|\varphi|_{\mathrm{u}} \mu_t(B(\mathbf{0}, R \delta) \mathbf{C})
\end{aligned}
$$
which, by $(1.1 .1)$, means that $\lim _{R \rightarrow \infty} A \varphi_R=0$.

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Canonical paths

We have shown that if $\left{\mu_t: t \geq 0\right} \subseteq \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ satisfies (1.1.1) and the limit $$ A \varphi=\lim {t\rangle_\lambda 0} t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})\right)
$$
exists for every $\varphi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)$, then there is a Lévy system $(\mathbf{m}, C, M)$ for which
$$
\begin{aligned}
A \varphi=(\mathbf{m}, \nabla \varphi)+\frac{1}{2} \operatorname{Trace}\left(C \nabla^2 \varphi\right) \
&+\int_{\mathbb{R}^N}\left(\varphi(\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{0})-\mathbf{1}{B(\mathbf{0}, 1)}(\mathbf{y})(\mathbf{y}, \nabla \varphi(0)){\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y}) .
\end{aligned}
$$
The goal here is to show that, for each Lévy system, there is a canonical choice of $\left{\lambda_t: t \geq 0\right}$ such that
$$
\begin{aligned}
\lim {t \searrow 0} & \frac{\left\langle\varphi, \lambda_t(d \mathbf{y})\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})}{t} \ =&(\mathbf{m}, \nabla \varphi(\mathbf{0})){\mathbb{R}^N}+\frac{1}{2} \operatorname{Trace}\left(C \nabla^2 \varphi(\mathbf{0})\right) \
& \quad+\int_{\mathbb{R}^N}\left(\varphi(\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{0})-\mathbf{1}{B(\mathbf{0}, 1)}(\mathbf{y})(\mathbf{y}, \nabla \varphi(0)){\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y})
\end{aligned}
$$

随机微积分代考

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Linear functionals that satisfy the minimum principle

假设 $t \in(0, \infty) \longmapsto \mu_t \in \mathbf{M} 1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 是一张具有以下属性的地图 ${ }^1$
$$
A \varphi:=\lim t \chi_0 \frac{\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})}{t}
$$
为所有人而存在 和
$$
\varlimsup_{R \rightarrow \infty} \varlimsup_{t \bigwedge_0} \frac{\mu_t(B(\mathbf{0}, R) \mathrm{C})}{t}=0
$$
那么
(i) $A$ 满足最小原则:
$$
\varphi(\mathbf{0}) \leq \varphi \Longrightarrow A \varphi \geq 0 .
$$
(二) $A$ 是局部的，在这个意义上
$$
\lim R \rightarrow \infty A \varphi_R=0 \quad \text { where } \varphi_R(\mathbf{x})=\varphi\left(\frac{\mathbf{x}}{R}\right)
$$
如果 $\varphi$ 在邻域中是常数 0 . 其中第一个是显而易见的，因为
$$
\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})=\left\langle\varphi-\varphi(\mathbf{0}), \mu_t\right\rangle \geq 0
$$
如果 $\varphi(\mathbf{0}) \leq \varphi$. 要检查第二个，请选择 $\delta>0$ 以便 $\varphi(\mathbf{y})=\varphi(\mathbf{0})$ 为了 $|\mathbf{y}|<\delta$. 然后
$$
\left|\left\langle\varphi_R, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})\right| \leq \int B(\mathbf{0}, R \delta) \mathrm{C}\left|\varphi\left(\frac{\mathbf{y}}{R}\right)-\varphi(\mathbf{0})\right| \mu_t(d \mathbf{y}) \quad \leq\left.\left. 2\right|{\varphi}\right|{\mathrm{u}} \mu_t(B(\mathbf{0}, R \delta) \mathbf{C})
$$
其中，由(1.1.1)，意思是 $\lim _{R \rightarrow \infty} A \varphi_R=0$.

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Canonical paths

$$
A \varphi=\lim t\rangle_\lambda 0 t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})\right)
$$
存在于每个 $\varphi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)$, 那么有一个 Lévy 系统 $(\mathbf{m}, C, M)$ 为此
$$
A \varphi=(\mathbf{m}, \nabla \varphi)+\frac{1}{2} \operatorname{Trace}\left(C \nabla^2 \varphi\right)+\int_{\mathbb{R}^N}\left(\varphi(\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{0})-\mathbf{1} B(\mathbf{0}, 1)(\mathbf{y})(\mathbf{y}, \nabla \varphi(0)) \mathbb{R}^N\right) M(d \mathbf{y})
$$
这里的目标是表明，对于每个 Lévy 系统，都有一个规范的选择 left:Nlambda_t: t lgeq olright} 这样
$$
\lim t \searrow 0 \frac{\left\langle\varphi, \lambda_t(d \mathbf{y})\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})}{t}=(\mathbf{m}, \nabla \varphi(\mathbf{0})) \mathbb{R}^N+\frac{1}{2} \operatorname{Trace}\left(C \nabla^2 \varphi(\mathbf{0})\right) \quad+\int_{\mathbb{R}^N}(\varphi(\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{0})
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Martingale Convergence Theorem

Martingale convergence theorem is one of the main results on martingales. We begin this section with an upcrossings inequality-a key step in its proof. Let $\left{a_n: 1 \leq\right.$ $n \leq m}$ be a sequence of real numbers and $\alpha<\beta$ be real numbers. Let $s_k$, $t_k$ be defined (inductively) as follows: $s_0=0, t_0=0$, and for $k=1,2, \ldots m$ $$ s_k=\inf \left{n>t_{k-1}: a_n \leq \alpha\right}, \quad t_k=\inf \left{n \geq s_k: a_n \geq \beta\right} .
$$
Recall our convention-infimum of an empty set is taken to be $\infty$. It is easy to see that if $t_k=j<\infty$, then $$ 0 \leq s_1$ $(2 k-1)$ and also writing $c_j=\max \left(\alpha, a_j\right)$ that
$$
\sum_{j=1}^m\left(c_{t_j \wedge m}-c_{s j \wedge m}\right) \geq(\beta-\alpha) U_m\left(\left{a_j\right}, \alpha, \beta\right) .
$$
This inequality follows because each completed upcrossings contributes at least $\beta-\alpha$ to the sum, one term could be non-negative and rest of the terms are zero.

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Square Integrable Martingales

Martingales $M$ such that
$$
\mathrm{E}\left[\left|M_n\right|^2\right]<\infty, \quad n \geq 0
$$ are called square integrable martingales, and they play a special role in the theory of stochastic integration as we will see later. Let us note that for $p=2$, the constant $C_p$ appearing in (1.7.2) equals 4 . Thus for a square integrable martingale $M$, we have
$$
\mathrm{E}\left[\left(\max {0 \leq k \leq n}\left|M_k\right|\right)^2\right] \leq 4 \mathrm{E}\left[\left|M_n\right|^2\right] . $$ As seen earlier, $X_n=M_n^2$ is a submartingale and the compensator of $X$-namely the predictable increasing process $A$ such that $X_n-A_n$ is a martingale, is given by $A_0=0$ and for $n \geq 1$, $$ A_n=\sum{k=1}^n \mathrm{E}\left[\left(X_k-X_{k-1}\right) \mid \mathcal{F}{k-1}\right] . $$ The compensator $A$ is denoted as $\langle M, M\rangle$. Using $$ \begin{aligned} \mathrm{E}\left[\left(M_k-M{k-1}\right)^2 \mid \mathcal{F}{k-1}\right] &=\mathrm{E}\left[\left(M_k^2-2 M_k M{k-1}+M_{k-1}^2\right) \mid \mathcal{F}{k-1}\right] \ &=\mathrm{E}\left[\left(M_k^2-M{k-1}^2\right) \mid \mathcal{F}{k-1}\right] \end{aligned} $$ it follows that the compensator can be described as $$ \langle M, M\rangle_n-\sum{k=1}^n \mathrm{E}\left[\left(M_k-M_{k-1}\right)^2 \mid \mathcal{T}{k-1}\right] $$ Thus $\langle M, M\rangle$ is the unique predictable increasing process with $\langle M, M\rangle_0=0$ such that $M_n^2-\langle M, M\rangle_n$ is a martingale. Let us also define another increasing process $[M, M]$ associated with a martingale $M:[M, M]_0=0$ and $$ [M, M]_n=\sum{k=1}^n\left(M_k-M_{k-1}\right)^2 .
$$
The process $[M, M]$ is called the quadratic variation of $M$, and the process $\langle M, M\rangle$ is called the predictable quadratic variation of $M$.

随机微积分代考

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|鞅收敛定理

鞅收敛定理是关于鞅的主要结果之一。我们从上交不等式开始本节一一这是证明的关键步骙。让
Ueft{a_n: 1 leqiright. $\$ \$$ \leq $m}$ }是一个实数序列和 $\alpha<\beta$ 是实数。让 $s_k$ ， $t_k$ 定义 (归纳) 如下: $s_0=0, t_0=0$ 并且对于 $k=1,2, \ldots m$
回想一下我们的约定一一空集的下确界被认为是 $\infty$. 很容易看出，如果 $t_k=j<\infty$ ，然后
$$
0 \leq s_1 \$ \$(2 k-1) \$ \text { andalsowriting } \$ c_j=\max \left(\alpha, a_j\right) \$ \text { that }
$$
Ibetalright) $\$ \$$
这种不等式是因为每个完成的上交至少贡献了 $\beta-\alpha$ 总而言之，一项可能是非负数，其余项为零。

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|平方可积鞅

鞅 $M$ 这样
$$
\mathrm{E}\left[\left|M_n\right|^2\right]<\infty, \quad n \geq 0
$$
被称为平方可积鞅，它们在随机积分理论中扮演着特殊的角色，我们将在后面看到。让我们注意，对于 $p=2$ ，常 数 $C_p$ 出现在 (1.7.2) 中等于 4 。因此对于平方可积鞅 $M$ ，我们有
$$
\mathrm{E}\left[\left(\max 0 \leq k \leq n\left|M_k\right|\right)^2\right] \leq 4 \mathrm{E}\left[\left|M_n\right|^2\right] .
$$
如前所述， $X_n=M_n^2$ 是一个亚鞅，是的补偿器 $X$-即可预测的增长过程 $A$ 这样 $X_n-A_n$ 是鞅，由下式给出 $A_0=0$ 并且对于 $n \geq 1$ ，
$$
A_n=\sum k=1^n \mathrm{E}\left[\left(X_k-X_{k-1}\right) \mid \mathcal{F} k-1\right] .
$$
补偿器 $A$ 表示为 $\langle M, M\rangle$. 使用
$$
\mathrm{E}\left[\left(M_k-M k-1\right)^2 \mid \mathcal{F} k-1\right]=\mathrm{E}\left[\left(M_k^2-2 M_k M k-1+M_{k-1}^2\right) \mid \mathcal{F} k-1\right] \quad \mathrm{E}\left[\left(M_k^2-M k\right.\right.
$$
因此，补偿器可以描述为
$$
\langle M, M\rangle_n-\sum k=1^n \mathrm{E}\left[\left(M_k-M_{k-1}\right)^2 \mid \mathcal{T} k-1\right]
$$
因此 $\langle M, M\rangle$ 是唯一的可预测的增加过程 $\langle M, M\rangle_0=0$ 这样 $M_n^2-\langle M, M\rangle_n$ 是鞅。让我们也定义另一个增加 的过程 $[M, M]$ 与鞅相关 $M:[M, M]0=0$ 和 $$ [M, M]_n=\sum k=1^n\left(M_k-M{k-1}\right)^2 .
$$
过程 $[M, M]$ 被称为二次变分 $M$ ，和过程 $\langle M, M\rangle$ 称为可预测的二次变分 $M$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
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随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域，因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数，但没有可微的地方。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写随机微积分Stochastic calculus方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写随机微积分Stochastic calculus代写方面经验极为丰富，各种随机微积分Stochastic calculus相关的作业也就用不着说。

我们提供的随机微积分Stochastic calculus及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Martingales

In this section, we will fix a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ and a filtration $(\mathcal{F}$. ). We will only be consideríng $\mathbb{R}$-valued processes in thís section.

Definition $1.9$ A sequence $M=\left{M_n\right}$ of random variables is said to be a martingale if $M$ is $\left(\mathcal{F}{\text {. }}\right)$ adapted and for $n \geq 0$ one has $\mathrm{E}\left[\left|M_n\right|\right]<\infty$ and $$ \mathrm{E}{\mathrm{P}}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F}n\right]=M_n . $$ Definition 1.10 A sequence $M=\left{M_n\right}$ of random variables is said to be a submartingale if $M$ is $\left(\mathcal{F}\right.$.) adapted and for $n \geq 0$ one has $\mathrm{E}\left[\left|M_n\right|\right]<\infty$ and $$ \mathrm{E}{\mathrm{p}}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F}n\right] \geq M_n . $$ When there are more than one filtration in consideration, we will call it a $(\mathcal{F}$.)martingale or martingale w.r.t. $\left(\mathcal{F}\right.$. ). Alternatively, we will say that $\left{\left(M_n, \mathcal{F}_n\right): n \geq\right.$ $0}$ is a martingale. It is easy to see that for a martingale $M$, for any $m{\mathrm{P}}\left[M_n \mid \mathcal{F}_m\right]=M_m
$$
and similar statement is also true for submartingales. Indeed, one can define martingales and submartingales indexed by an arbitrary partially ordered set. We do not discuss these in this book.

If $M$ is a martingale and $\phi$ is a convex function on $\mathbb{R}$, then Jensen’s inequality implies that the process $X=\left{X_n\right}$ defined by $X_n=\phi\left(M_n\right)$ is a submartingale provided $X_n$ is integrable for all $n$. If $M$ is a submartingale and $\phi$ is an increasing convex function then $X$ is also a submartingale provided $X_n$ is integrable for each $n$. In particular, if $M$ is a martingale or a positive submartingale with $\mathrm{E}\left[M_n^2\right]<\infty$ for all $n$, then $Y$ defined by $Y_n=M_n^2$ is a submartingale.

When we are having only one filtration under consideration, we will drop reference to it and simply say $M$ is a martingale. It is easy to see also that sum of two martingales with respect to the same underlying filtration is also a martingale. We note here an important property of martingales that would be used later.

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Stopping Times

We continue to work with a fixed probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ and a filtration $(\mathcal{F}$. ).
Definition $1.18$ A stopping time $\tau$ is a function from $\Omega$ to ${0,1,2, \ldots,} \cup{\infty}$ such that
$$
{\tau=n} \in \mathcal{F}_n, \quad \forall n<\infty .
$$
Equivalently, $\tau$ is a stopping time if ${\tau \leq n} \in \mathcal{F}_n$ for all $n \geq 1$. Stopping times were introduced in the context of Markov Chains by Doob. Martingales and stopping times together are very important tools in the theory of stochastic process in general and stochastic calculus in particular.

Definition 1.19 Let $\tau$ be a stopping time and $X$ be an adapted process. The stopped random variable $X_\tau$ is defined by
$$
X_\tau(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty} X_n(\omega) 1_{{\tau=n}} .
$$
Note that by definition, $X_\tau=X_\tau 1_{{\tau<\infty}}$. The following results connecting martingales and submartingales and stopping times (and their counterparts in continuous time) play a very important role in the theory of stochastic processes.
Exercise 1.20 Let $\sigma$ and $\tau$ be two stopping times and let
$$
\xi=\tau \vee \sigma \text { and } \eta=\tau \wedge \sigma .
$$
Show that $\xi$ and $\eta$ are also stopping times. Here and in the rest of this book, $a \vee b=\max (a, b)$ and $a \wedge b=\min (a, b)$.

Exercise 1.21 Let $\tau$ be a random variable taking values in ${0,1,2, \ldots}$, and for $n \geq 0$, let $\mathcal{F}_n$ be the $\sigma$-field generated by $\tau \wedge n$. Characterize all the stopping times w.r.t. this filtration.

Theorem 1.22 Let $M=\left{M_n\right}$ be a submartingale and $\tau$ be a stopping time. Then the process $N=\left{N_n\right}$ defined by
$$
N_n=M_{n \wedge \tau}
$$
is a submartingale. Further, if $M$ is a martingale then so is $N$.

随机微积分代考

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Martingales

在本节中，我们将修复一个概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ 和过滤 $(\mathcal{F}$.$) 。我们只会考虑 \mathbb{R}$ 本节中的价值流程。
$$
\mathrm{EP}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F} n\right]=M_n .
$$
$\mathrm{E}\left[\left|M_n\right|\right]<\infty$ 和
$$
\operatorname{Ep}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F} n\right] \geq M_n .
$$
当考虑的过滤不止一种时，我们将其称为 $(\mathcal{F}$.) 鞅或鞅 $\operatorname{wrt}(\mathcal{F}$.) 。或者，我们会说 $m \mathrm{P}\left[M_n \mid \mathcal{F}_m\right]=M_m \$$
和类似的陈述也适用于亚鞅。实际上，可以定义由任意偏序集索引的鞅和子鞅。我们在本书中不讨论这些。
如果 $M$ 是鞅并且 $\phi$ 是一个凸函数 $\mathbb{R}$ ，那么Jensen 不等式意味着这个过程 X=|left{X_n!right} 被定义为 $X_n=\phi\left(M_n\right)$ 是提供的亚鞅 $X_n$ 对所有人都是可积的 $n$. 如果 $M$ 是一个亚鞅并且 $\phi$ 是一个递增的凸函数 $X$ 也是提供的亚鞅 $X_n$ 对每 个都是可积的 $n$. 特别是，如果 $M$ 是鞅或正亚鞅 $\mathrm{E}\left[M_n^2\right]<\infty$ 对所有人 $n$ ，然后 $Y$ 被定义为 $Y_n=M_n^2$ 是一个亚 鞅。
当我们只考虑一种过滤时，我们将放弃对它的引用并简单地说 $M$ 是鞅。也很容易看出，对于相同的底层过滤，两 个鞅的总和也是一个鞅。我们在这里注意到鞅的一个重要性质，以后会用到。

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Stopping Times

我们继续使用固定的概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ 和过滤 $(\mathcal{F}$.$) 。$
定义1.18-个停止时间 $\tau$ 是一个函数 $\Omega$ 至 $0,1,2, \ldots, \cup \infty$ 这样
$$
\tau=n \in \mathcal{F}n, \quad \forall n<\infty . $$ 等效地， $\tau$ 是一个停止时间，如果 $\tau \leq n \in \mathcal{F}_n$ 对所有人 $n \geq 1$. Doob 在马尔可夫链的背景下引入了停止时间。鞅 和停止时间一起是随机过程理论中非常重要的工具，特别是随机微积分。 定义 $1.19$ 让 $\tau$ 是一个停止时间和 $X$ 是一个适应的过程。停止的随机变量 $X\tau$ 定义为
$$
X_\tau(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty} X_n(\omega) 1_{\tau=n} .
$$
请注意，根据定义， $X_\tau=X_\tau 1_{\tau<\infty}$. 以下连接鞅和亚鞅和停止时间（以及它们在连续时间中的对应物) 的结果在 随机过程理论中起着非常重要的作用。
练习 $1.20$ 让 $\sigma$ 和 $\tau$ 是两个停止时间，让
$$
\xi=\tau \vee \sigma \text { and } \eta=\tau \wedge \sigma .
$$
显示 $\xi$ 和 $\eta$ 也是停止时间。在这里和本书的其余部分， $a \vee b=\max (a, b)$ 和 $a \wedge b=\min (a, b)$.
练习 $1.21$ 让 $\tau$ 是一个随机变量，取值 $0,1,2, \ldots$ ，并且对于 $n \geq 0$ ，让 $\mathcal{F}n$ 成为 $\sigma$-生成的字段 $\tau \wedge n$. 表征此过滤 的所有停止时间。 $$ N_n=M{n \wedge \tau}
$$
是一个亚鞅。此外，如果 $M$ 是鞅然后也是 $N$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域，因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数，但没有可微的地方。

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经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Discrete Parameter Martingales

For an integer $d \geq 1, \mathbb{R}^d$ denotes the $d$-dimensional Euclidean space, and $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$ will denote the Borel $\sigma$-field on $\mathbb{R}^d$. Further, $\mathbb{C}\left(\mathbb{R}^d\right)$ and $\mathbb{C}_b\left(\mathbb{R}^d\right)$ will denote the classes of continuous functions and bounded continuous functions on $\mathbb{R}^d$, respectively. When $d=1$, we will write $\mathbb{R}$ in place of $\mathbb{R}^1$. $\mathbb{Q}$ will denote the set of rational numbers in $\mathbb{R}$.
$(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ will denote a generic probability space, and $\mathbb{B}(\Omega, \mathcal{F})$ will denote the class of real-valued bounded $\mathcal{F}$ measurable functions.

For a collection $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{T}, \sigma(\mathcal{A})$ will denote the smallest $\sigma$-field which contains $\mathcal{A}$ and for a collection $\mathbb{G} \subseteq \mathbb{B}(\Omega, \mathcal{F}), \sigma(\mathbb{G})$ will likewise denote the smallest $\sigma$-field with respect to which each function in $\mathbb{G}$ is measurable.
It is well known and easy to prove that
$$
\sigma\left(\mathbb{C}_b\left(\mathbb{R}^d\right)\right)=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right) .
$$
An $\mathbb{R}^d$-valued random variable $X$, on a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$, is function from $(\Omega, \mathcal{F})$ to $\left(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)\right)$. For such an $X$ and a function $f \in \mathbb{C}_b\left(\mathbb{R}^d\right), \mathrm{E}[f(X)]$ (or $\mathrm{E}_P[f(X)]$ if there are more than one probability measure under consideration) will denote the integral $$
\mathrm{E}[f(X)]=\int_{\Omega} f(X(\omega)) d \mathrm{P}(\omega) .
$$
For any measure $\mu$ on $(\Omega, \mathcal{F})$ and for $1 \leq p<\infty$, we will denote by $\mathbb{L}^p(\mu)$ the space $\mathbb{L}^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ of real-valued $\mathcal{F}$ measurable functions equipped with the norm
$$
|f|_p=\left(\int|f|^p d \mu\right)^{\frac{1}{p}} .
$$
It is well known that $\mathbb{L}^p(\mu)$ is a Banach space under the norm $|f|_p$.
For more details and discussions as well as proofs of statements quoted in this chapter, see Billingsley [4], Breiman [5], Ethier and Kurtz [18].

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Conditional Expectation

Let $X$ and $Y$ be random variables. Suppose we are going to observe $Y$ and are required to make a guess for the value of $X$. Of course, we would like to be as close to $X$ as possible. Suppose the penalty function is square of the error. Thus we wish to minimize
$$
\mathrm{E}\left[(X-a)^2\right]
$$
where $a$ is the guess or the estimate. For this to be meaningful, we should assume $E\left[X^2\right]<\infty$. The value of $a$ that minimizes $(1.2 .1)$ is the mean $\mu=\mathrm{E}[X]$. On the other hand, if we are allowed to use observations $Y$ while making the guess, then our estimate could be a function of $Y$. Thus we should choose the function $g$ such that
$$
\mathrm{E}\left[(X-g(Y))^2\right]
$$
takes the minimum possible value. It can be shown that there exists a function $g$ (Borel measurable function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ ) such that
$$
\mathrm{E}\left[(X-g(Y))^2\right] \leq \mathrm{E}\left[(X-f(Y))^3\right]
$$
for all (Borel measurable) functions $f$. Further, if $g_1, g_2$ are two functions satisfying (1.2.2), then $g_1(Y)=g_2(Y)$ almost surely $\mathrm{P}$. Indeed, $\mathbb{A}=\mathbb{L}^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ – the space of all square integrable random variables on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ with inner product $\langle X, Y\rangle=$ $\mathrm{E}[X Y]$, giving rise to the norm $|Z|=\sqrt{\mathrm{E}\left[Z^2\right]}$, is a Hilbert space and
$$
\mathbb{K}=\left{f(Y): f \text { from } \mathbb{R} \text { to } \mathbb{R} \text { measurable, } \mathrm{E}\left[(f(Y))^2\right]<\infty\right}
$$
is a closed subspace of $\mathbb{A}$. Hence given $X \in \mathbb{A}$, there is a unique element in $\mathbb{K}$, namely the orthogonal projection of $X$ to $\mathbb{K}$, that satisfies (1.2.2). Thus for $X \in \mathbb{A}$, we can define $g(Y)$ to be the conditional expectation of $X$ given $Y$, written as $\mathrm{E}[X \mid Y]=$ $g(Y)$. One can show that for $X, Z \in \mathbb{A}$ and $a, b \in \mathbb{R}$
$$
\mathrm{E}[a X+b Z \mid Y]=a \mathrm{E}[X \mid Y]+b \mathrm{E}[Z \mid Y]
$$
and
$$
X \leq Z \text { implies } \mathrm{E}[X \mid Y] \leq \mathrm{E}[Z \mid Y] \text {. }
$$

随机微积分代考

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Discrete Parameter Martingales

对于一个整数$d \geq 1, \mathbb{R}^d$表示$d$维欧氏空间，$\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$表示$\mathbb{R}^d$上的Borel $\sigma$ -字段。此外，$\mathbb{C}\left(\mathbb{R}^d\right)$和$\mathbb{C}_b\left(\mathbb{R}^d\right)$将分别表示$\mathbb{R}^d$上连续函数和有界连续函数的类。当$d=1$时，我们将用$\mathbb{R}$代替$\mathbb{R}^1$。$\mathbb{Q}$表示$\mathbb{R}$中的有理数集合。
$(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$表示一般概率空间，$\mathbb{B}(\Omega, \mathcal{F})$表示实值有界$\mathcal{F}$可测函数的类。

对于集合$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{T}, \sigma(\mathcal{A})$将表示最小的$\sigma$ -字段，其中包含$\mathcal{A}$，对于集合$\mathbb{G} \subseteq \mathbb{B}(\Omega, \mathcal{F}), \sigma(\mathbb{G})$将同样表示最小的$\sigma$ -字段，对于$\mathbb{G}$中的每个函数都是可测量的。
$$
\sigma\left(\mathbb{C}_b\left(\mathbb{R}^d\right)\right)=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right) .
$$
一个$\mathbb{R}^d$值的随机变量$X$，在概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$上，是从$(\Omega, \mathcal{F})$到$\left(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)\right)$的函数，这是众所周知且容易证明的。对于这样的$X$和函数$f \in \mathbb{C}_b\left(\mathbb{R}^d\right), \mathrm{E}[f(X)]$(或$\mathrm{E}_P[f(X)]$，如果考虑一个以上的概率度量)将表示积分$$
\mathrm{E}[f(X)]=\int_{\Omega} f(X(\omega)) d \mathrm{P}(\omega) .
$$
对于$(\Omega, \mathcal{F})$上的任何度量$\mu$和$1 \leq p<\infty$，我们将用$\mathbb{L}^p(\mu)$表示实值$\mathcal{F}$可度量函数的空间$\mathbb{L}^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$，该函数具有范数
$$
|f|_p=\left(\int|f|^p d \mu\right)^{\frac{1}{p}} .
$$
众所周知，$\mathbb{L}^p(\mu)$是范数$|f|_p$下的巴拿赫空间
要了解更多的细节和讨论，以及本章引用的语句的证明，请参阅Billingsley [4]， Breiman [5]， Ethier和Kurtz [18].

经济代写|随机微积分代写随机微积分代考|条件期望

设$X$和$Y$为随机变量。假设我们要观察$Y$，并需要猜测$X$的值。当然，我们希望尽可能接近$X$。假设惩罚函数是误差的平方。因此，我们希望最小化
$$
\mathrm{E}\left[(X-a)^2\right]
$$
，其中$a$是猜测或估计。为了使它有意义，我们应该假设$E\left[X^2\right]<\infty$。使$(1.2 .1)$最小化的$a$的值是$\mu=\mathrm{E}[X]$的平均值。另一方面，如果允许我们在进行猜测时使用观察结果$Y$，那么我们的估计可能是$Y$的函数。因此，我们应该选择函数$g$，使
$$
\mathrm{E}\left[(X-g(Y))^2\right]
$$
取可能的最小值。可以证明存在一个函数$g$(从$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}$的Borel可度量函数)，使得对于所有(Borel可度量)函数$f$
$$
\mathrm{E}\left[(X-g(Y))^2\right] \leq \mathrm{E}\left[(X-f(Y))^3\right]
$$
。此外，如果$g_1, g_2$有两个函数令人满意(1.2.2)，那么$g_1(Y)=g_2(Y)$几乎可以肯定是$\mathrm{P}$。确实，$\mathbb{A}=\mathbb{L}^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ -所有平方可积随机变量的空间$(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$与内积$\langle X, Y\rangle=$$\mathrm{E}[X Y]$，产生规范$|Z|=\sqrt{\mathrm{E}\left[Z^2\right]}$，是一个希尔伯特空间，
$$
\mathbb{K}=\left{f(Y): f \text { from } \mathbb{R} \text { to } \mathbb{R} \text { measurable, } \mathrm{E}\left[(f(Y))^2\right]<\infty\right}
$$
是$\mathbb{A}$的一个闭子空间。因此对于$X \in \mathbb{A}$, $\mathbb{K}$中有一个唯一的元素，即$X$到$\mathbb{K}$的正交投影，满足(1.2.2)。因此，对于$X \in \mathbb{A}$，我们可以将$g(Y)$定义为给定$Y$时$X$的条件期望，即$\mathrm{E}[X \mid Y]=$$g(Y)$。可以看出，对于$X, Z \in \mathbb{A}$和$a, b \in \mathbb{R}$
$$
\mathrm{E}[a X+b Z \mid Y]=a \mathrm{E}[X \mid Y]+b \mathrm{E}[Z \mid Y]
$$
和
$$
X \leq Z \text { implies } \mathrm{E}[X \mid Y] \leq \mathrm{E}[Z \mid Y] \text {. }
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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