物理代写|核物理代写nuclear physics代考|FYS3500
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核物理Nuclear Physics在最狭义的意义上，它只涉及质子和中子的束缚系统。然而，从一开始，这种系统的研究之所以取得进展，仅仅是因为人们对其他粒子的理解有所进步:电子、正电子、中微子，以及最终的夸克和胶子。事实上，对于这些“基本粒子”的物理学，我们现在有了比原子核本身更完整的理论。
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物理代写|核物理代写nuclear physics代考|Classical cross-sections
Classically, cross-sections are calculated from the trajectories of particles in force fields. Consider a particle in Fig. 3.9 that passes through a spherically symmetric force field centered on the origin. The particle’s original trajectory is parametrized by the “impact parameter” $b$ which would give the particle’s distance of closest approach to the force center if there were no scattering.
The scattering angle $\theta(b)$ depends on the impact parameter, as in the figure. The relation $\theta(b)$ or $b(\theta)$ can be calculated by integrating the equations of motion with the initial conditions $p_z=p, p_x=p_y=0$. The probability that a particle is scattered into an interval $\mathrm{d} \theta$ about $\theta$ is proportional to the area of the annular region between $b(\theta)$ and $b(\theta+\mathrm{d} \theta)=b+\mathrm{d} b$, i.e. $\mathrm{d} \sigma=2 \pi b \mathrm{~d} b$. The solid angle corresponding to $\mathrm{d} \theta$ is $\mathrm{d} \Omega=2 \pi \sin \theta \mathrm{d} \theta$. The differential elastic scattering cross-section is therefore
$$
\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega}(\theta)=\frac{2 \pi b \mathrm{~d} b}{2 \pi \sin \theta \mathrm{d} \theta}=\left|\frac{b(\theta)}{\sin \theta} \cdot \frac{d b}{d \theta}\right| .
$$
A measurement of $\mathrm{d} \sigma / \mathrm{d} \Omega$ determines the relation $b(\theta)$ which in turn gives information about the potential $V$.
We can apply (3.38) to several simple cases:
Scattering of a point particle on a hard immovable sphere. The angleimpact parameter relation is
$$
b=R \cos \theta / 2,
$$
where $R$ is the radius of the sphere. The cross section is then
$$
\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega}=R^2 / 4 \quad \Rightarrow \quad \sigma=\pi R^2
$$
so the total cross-section is just the geometrical cross section of the sphere. In the case of scattering of two spheres of the same radius, the total scattering cross-section is $\sigma=4 \pi R^2$.
Scattering of a charged particle in a Coulomb potential
$$
V(r)=\frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r},
$$
where $Z_1$ is the charge of the scattered particle, and $Z_2$ is the charge of the immobile target particle. This historically important reaction is called “Rutherford scattering” after E. Rutherford who demonstrated the existence of a compact nucleus by studying $\alpha$-particle scattering on gold nuclei. The unbound orbits in the Coulomb potential are hyperbolas so the scattering angle is well-defined in spite of the infinite range of the force. For an incident kinetic energy $E_k=m v^2 / 2$, the angle-impact parameter relation is
$$
b=\frac{Z_1 Z_2 e^2}{8 \pi \epsilon_0 E_k} \cot (\theta / 2) .
$$
The cross-section is then
$$
\frac{d \sigma}{d \Omega}=\left(\frac{Z_1 Z_2 e^2}{16 \pi \epsilon_0 E_k}\right)^2 \frac{1}{\sin ^4 \theta / 2}
$$
物理代写|核物理代写nuclear physics代考|Asymptotic states and their normalization
In studying nuclear, or elementary interactions, we are most of the time not interested in a space-time description of phenomena. ${ }^2$ Instead, we study processes in which we prepare initial particles with definite momenta and far away from one another so that they are out of reach of their interactions at an initial time $t_0$ in the “distant past” $t_0 \sim-\infty$. We then study the nature and the momentum distributions of final particles when these are also out of range of the interactions at some later time $t$ in the “distant future” $t \rightarrow+\infty$. (The size of the interaction region is of the order of $1 \mathrm{fm}$, the measuring devices have sizes of the order of a few meters.) Under these assumptions, the initial and final states of the particles under consideration are free particle states. These states are called asymptotic states. The decay of an unstable particle is a particular case. We measure the energy and momenta of final particles in asymptotic states.
By definition, the asymptotic states of particles have definite momenta. Therefore, strictly speaking, they are not physical states, and their wave functions $\mathrm{e}^{\mathrm{i} p x / \hbar}$ are not square integrable. Physically, this means that we are actually interested in wave packets who have a non vanishing but very small extension $\Delta p$ in momentum, i.e. $\Delta p /|p| \ll 1$.
It is possible to work with plane waves, provided one introduces a proper normalization. A limiting procedure, after all calculations are done, allows to get rid of the intermediate regularizing parameters. This is particularly simple in first order Born approximation, which we will present first. The complete manipulation of wave packets is possible but somewhat complicated. However, it gives interesting physical explanations for various specific problems, and we shall discuss it in Sect. 3.3.5.
We will consider that the particles are confined in a (very large but finite) box of volume $L^3$. We will let $L$ tend to infinity at the end of the calculation. Besides its simplicity, this procedure allows to incorporate relativistic kinematics of ingoing and outgoing particles in a simple manner.
In such a box of size $L$, the normalized momentum eigenstates are
$$
\begin{aligned}
|\boldsymbol{p}\rangle \rightarrow \psi_{\boldsymbol{p}}(\boldsymbol{r}) & =L^{-3 / 2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar} \quad \text { inside the box }, \
\psi_{\boldsymbol{p}}(\boldsymbol{r}) & =0 \quad \text { outside the box } .
\end{aligned}
$$
These wave functions are normalized in the sense that
$$
\int\left|\psi_{\boldsymbol{p}}(\boldsymbol{r})\right|^2 \mathrm{~d}^3 \boldsymbol{r}=1 .
$$
核物理代写
物理代写|核物理代写nuclear physics代考|Classical cross-sections
经典的横截面是根据粒子在力场中的运动轨迹计算的。考虑图3.9中的一个粒子，它穿过以原点为中心的球对称力场。粒子的原始轨迹由“冲击参数”$b$参数化，该参数将给出粒子在没有散射的情况下最接近力中心的距离。
散射角$\theta(b)$取决于冲击参数，如图所示。关系$\theta(b)$或$b(\theta)$可以通过积分运动方程与初始条件$p_z=p, p_x=p_y=0$来计算。粒子散射到$\theta$附近的一个区间$\mathrm{d} \theta$的概率与$b(\theta)$和$b(\theta+\mathrm{d} \theta)=b+\mathrm{d} b$之间的环形区域的面积成正比，即$\mathrm{d} \sigma=2 \pi b \mathrm{~d} b$。$\mathrm{d} \theta$对应的立体角是$\mathrm{d} \Omega=2 \pi \sin \theta \mathrm{d} \theta$。因此，微分弹性散射截面为
$$
\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega}(\theta)=\frac{2 \pi b \mathrm{~d} b}{2 \pi \sin \theta \mathrm{d} \theta}=\left|\frac{b(\theta)}{\sin \theta} \cdot \frac{d b}{d \theta}\right| .
$$
对$\mathrm{d} \sigma / \mathrm{d} \Omega$的测量确定了关系$b(\theta)$，进而给出了关于潜在的$V$的信息。
我们可以将(3.38)应用于几个简单的情况:
点粒子在坚硬的不动球体上的散射。角-冲击参数关系为
$$
b=R \cos \theta / 2,
$$
其中$R$是球体的半径。横截面是
$$
\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega}=R^2 / 4 \quad \Rightarrow \quad \sigma=\pi R^2
$$
所以总横截面就是球面的几何横截面。两个半径相同的球散射时，总散射截面为$\sigma=4 \pi R^2$。
带电粒子在库仑势中的散射
$$
V(r)=\frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r},
$$
其中$Z_1$为散射粒子的电荷，$Z_2$为不运动目标粒子的电荷。这个具有重要历史意义的反应被称为“卢瑟福散射”，以E.卢瑟福的名字命名。卢瑟福通过研究$\alpha$ -粒子在金核上的散射，证明了致密核的存在。库仑势中的非束缚轨道是双曲线，所以散射角是明确的，尽管力的范围是无限的。对于入射动能$E_k=m v^2 / 2$，角-冲击参数关系为
$$
b=\frac{Z_1 Z_2 e^2}{8 \pi \epsilon_0 E_k} \cot (\theta / 2) .
$$
横截面是
$$
\frac{d \sigma}{d \Omega}=\left(\frac{Z_1 Z_2 e^2}{16 \pi \epsilon_0 E_k}\right)^2 \frac{1}{\sin ^4 \theta / 2}
$$
物理代写|核物理代写nuclear physics代考|Asymptotic states and their normalization
在研究原子核或基本相互作用时，我们大多数时候对现象的时空描述不感兴趣。${ }^2$相反，我们研究的过程是，我们准备了具有确定动量且彼此远离的初始粒子，使它们在初始时间$t_0$在“遥远的过去”$t_0 \sim-\infty$无法相互作用。然后，我们研究最终粒子的性质和动量分布，当它们也超出相互作用的范围时，在稍后的某个时间$t$在“遥远的未来”$t \rightarrow+\infty$。(相互作用区域的大小为$1 \mathrm{fm}$数量级，测量装置的大小为几米数量级。)在这些假设下，所考虑的粒子的初始和最终状态都是自由粒子状态。这些状态称为渐近状态。不稳定粒子的衰变是一个特例。我们测量了最终粒子在渐近状态下的能量和动量。
根据定义，粒子的渐近状态具有确定的动量。因此，严格地说，它们不是物理状态，它们的波函数$\mathrm{e}^{\mathrm{i} p x / \hbar}$不是平方可积的。在物理上，这意味着我们实际上感兴趣的是具有不消失但动量扩展极小$\Delta p$的波包，即$\Delta p /|p| \ll 1$。
只要引入适当的归一化，就可以处理平面波。在所有的计算完成之后，一个限制程序允许去掉中间的正则化参数。这在一阶玻恩近似中特别简单，我们将首先介绍它。完全操纵波包是可能的，但有些复杂。然而，它为各种具体问题提供了有趣的物理解释，我们将在3.3.5节中讨论它。
我们将考虑粒子被限制在一个(非常大但有限的)体积盒子$L^3$中。我们让$L$在计算结束时趋于无穷。除了它的简单性，这个程序允许以一种简单的方式结合入射和出射粒子的相对论运动学。
在这样一个尺寸为$L$的盒子中，归一化动量本征态是
$$
\begin{aligned}
|\boldsymbol{p}\rangle \rightarrow \psi_{\boldsymbol{p}}(\boldsymbol{r}) & =L^{-3 / 2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar} \quad \text { inside the box }, \
\psi_{\boldsymbol{p}}(\boldsymbol{r}) & =0 \quad \text { outside the box } .
\end{aligned}
$$
这些波函数在某种意义上是标准化的
$$
\int\left|\psi_{\boldsymbol{p}}(\boldsymbol{r})\right|^2 \mathrm{~d}^3 \boldsymbol{r}=1 .
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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