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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Symmetrization and occupancy of single-particle states

Particle statistics, or state occupancy, for bosons and for fermions arise from the rules for wave function symmetrization. The purpose of this section is to show that the symmetrization factor defined above from the normalization of the symmetrized wave function, equation (2.13), is exactly the correct weight factor that is required to replace an arbitrary sum over occupied states by a sum over all states whether the particles be bosons or fermions. This is one example of the utility of the symmetrization factor. Two other advantages are that it generalizes the occupancy rules to multi-particle states, and to overlapping states (i.e., those with nonorthogonal wave functions).

The usual texts on quantum mechanics treat the subject of wave function symmetrization by invoking quantum states that comprise single, identical particle, states (Messiah 1961, Merzbacher 1970, Pathria 1972). Indeed the familiar concept that an arbitrary number of bosons, but at most one fermion, can occupy the same state is predicated upon, and only makes sense, if the state referred to is a singleparticle state. Since the present basis consists of wave packets, whose states are single-particle, we need to show that the symmetrization factor is related to these usual rules of particle occupancy. In section 3.3, the analysis is generalized to systems in which the concept of occupancy is inapplicable because the relevant states are not single-particle.

The position-momentum states are discrete so that $\Gamma_{j}$ is equivalent to $\ell_{j}$; it is the single-particle state occupied by particle $j$. The state of the system is $\boldsymbol{\Gamma}=\left{\mathbf{\Gamma}{1}, \mathbf{\Gamma}{2}, \ldots, \mathbf{\Gamma}{N}\right}$, which is equivalently $\ell=\left{\ell{1}, \ell_{2}, \ldots, \ell_{N}\right}$. We may order the possible single-particle states $a=1,2, \ldots, A$, and say equivalently that particle $j$ is in the state $\ell_{j}$, or else that it is in the $a$ th state, with $a=a\left(\ell_{j}\right)$. Let $m_{a}(\ell)=\sum_{j} \delta_{a\left(\ell_{j}\right), a}$ be the number of particles in the single-particle state $a$ when the system is in state $\ell$. We may regard $m_{a}$ as a component of the $A$-dimensional vector $\mathbf{m}(\ell)$, which tells the occupancy numbers of the possible single-particle states when the system is in the labeled particle state $\ell$. Clearly there is a many to one mapping from the system state $\ell$ to the occupancy state $\mathbf{m}$, since the latter doesn’t distinguish which particle or particles are in the given single-particle state.

A function of the state of the system may be written $f(\ell)$, or as $f(\mathbf{m})$, the latter being short-hand for the more precise $f_{\mathrm{s}}(\mathbf{m}(\ell))=f(\ell)$. Since the particles are identical, and since the labels are arbitrary, either description should suffice, provided that the rules are properly accounted for.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Partition function

We consider a canonical equilibrium system, where the subsystem has number of particles $N$ and volume $V$, and the reservoir has temperature $T$. Instead of the latter we usually exhibit the inverse temperature, $\beta \equiv 1 / k_{\mathrm{B}} T$, where $k_{\mathrm{B}}$ is Boltzmann’s constant. The partition function is (Messiah 1961, Merzbacher 1970)
$$
Z^{\pm}(N, V, T)=\mathrm{TR}^{\prime} e^{-\beta \hat{H}} .
$$
This is derived in chapter 12, and it is used in chapter 7 as the starting point for a formally exact transformation of quantum statistical mechanics to classical phase space, valid in all regions of the phase diagram. Here that transformation is performed using wave packets, and it is strictly valid only in the classical limit.
The prime on the trace in the above formula is quite important as it signifies that only allowed quantum states should be included, and that these should be distinct and each counted once only. Messiah (1961, chapter XIV, sections 6 and 7) makes a similar point that the trace should be performed on a restricted subspace containing only allowed distinct states. The symmetrized wave function normalization factor given by him in the case of one-particle, orthogonal states is equivalent to the symmetrization factor given here, at least for the same case.

Unfortunately not all workers avert to the need to restrict the trace. Pathria (1972, equation (9.6.2)), gives the partition function as the Boltzmann weighted sum over energy states, with the implication being that these are all states (the issue of distinct states is not raised), but no symmetrization correction is exhibited.

As mentioned in the previous section it is usually most convenient to invoke an unrestricted sum, together with a weight factor that is zero for forbidden states and in inverse proportion to the number of times an allowed distinct state is counted. It was shown that the symmetrization factor had these properties.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Symmetrization and occupancy of single-particle states

玻色子和费米子的粒子统计或状态占有率源于波函数对称化的规则。本节的目的是表明，上面从对称波函数的归 一化 (方程 (2.13) ) 定义的对称因子正是正确的权重因子，它需要用所有状态的总和来替换占用状态的任意总 和。说明粒子是玻色子还是费米子。这是使用对称因子的一个例子。另外两个优点是它将占用规则推广到多粒子 状态和重豎状态（即具有非正交波函数的状态）。
通常关于量子力学的教科书通过调用包含单个相同粒子状态的量子态来处理波函数对称化的主题 (Messiah 1961、Merzbacher 1970、Pathria 1972）。事实上，任意数量的玻色子，但最多一个费米子，可以占据相同的 状态这一熟悉的概念是基于并且仅在所指的状态是单粒子状态时才有意义。由于目前的基础由波包组成，其状态 是单粒子，我们需要证明对称因子与这些通常的粒子占据规则有关。在 $3.3$ 节中，分析被推广到占用概念不适用 的系统，因为相关状态不是单粒子。
位置动量状态是离散的，因此 $\Gamma_{j}$ 相当于 $\ell_{j}$; 它是粒子所占据的单粒子状态 $j$. 系统状态为 个粒子 $j$ 处于状态 $\ell_{j}$ ，否则它在 $a$ 状态，与 $a=a\left(\ell_{j}\right)$. 让 $m_{a}(\ell)=\sum_{j} \delta_{a\left(\ell_{j}\right), a}$ 是单粒子状态的粒子数 $a$ 当系统处 于状态时 $\ell$. 我们可以认为 $m_{a}$ 作为一个组成部分 $A$ 维向量 $\mathbf{m}(\ell)$ ，它告诉系统处于标记粒子状态时可能的单粒子状 态的占用数 $\ell$. 显然，系统状态存在多对一映射 $\ell$ 到占用状态 $\mathbf{m}$ ，因为后者不区分哪个或哪些粒子处于给定的单粒 子状态。
系统状态的函数可以写成 $f(\ell)$ ，或作为 $f(\mathbf{m})$, 后者是更精确的简写 $f_{\mathrm{s}}(\mathbf{m}(\ell))=f(\ell)$. 由于粒子是相同的，并且 由于标签是任意的，只要适当地考虑了规则，任何一种描述都应该足够了。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Partition function

我们考虑一个典型的平衡系统，其中子系统具有多个粒子 $N$ 和音量 $V$ ，水库有温度 $T$. 而不是后者，我们通常展示 逆温度， $\beta \equiv 1 / k_{\mathrm{B}} T$ ，在哪里 $k_{\mathrm{B}}$ 是玻尔兹曼常数。配分函数为 (Messiah 1961，Merzbacher 1970)
$$
Z^{\pm}(N, V, T)=\mathrm{TR}^{\prime} e^{-\beta \hat{H}}
$$
这是在第 12 章中得出的，并在第 7 章中用作将量子统计力学形式精确地转换为经典相空间的起点，在相图的所 有区域都有效。这里使用波包进行转换，并且仅在经典限制中严格有效。
上式中迹线上的素数非常重要，因为它表示只应包括允许的量子态，并且这些量子态应该是不同的并且每个只计 算一次。Messiah（1961 年，第 XIV 章，第 6 和 7 节）提出了类似的观点，即应该在仅包含允许的不同状态的受 限子空间上执行跟踪。他在单粒子、正交状态的情况下给出的对称波函数归一化因子等价于这里给出的对称化因 子，至少对于相同的情况。
不幸的是，并非所有工作人员都避免需要限制跟踪。Pathria (1972， equation (9.6.2)) 给出了作为能量状态的玻尔 兹曼加权和的配分函数，暗示这些都是状态（没有提出不同状态的问题)，但没有对称化校正展出。
如上一节所述，调用不受限制的总和通常最方便，加上权重因子对于禁止状态为零，并且与计算允许的不同状态 的次数成反比。结果表明，对称因子具有这些性质。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Wave packet symmetrization and overlap

A fundamental axiom of quantum mechanics is that the wave function must be either fully symmetric (bosons) or fully anti-symmetric (fermions) with respect to interchange of identical particles (Messiah 1961, Merzbacher 1970). For the present wave packets, the symmetrized form is

$$
\begin{aligned}
\zeta_{\Gamma}^{\pm}(\mathbf{r}) & \equiv \frac{1}{\sqrt{N ! \chi_{\Gamma}^{\pm}}} \sum_{\hat{\mathrm{P}}}(\pm 1)^{p} \zeta_{\Gamma}(\hat{\mathrm{P}} \mathbf{r}) \
& \equiv \frac{1}{\sqrt{N ! \chi_{\Gamma}^{\pm}}} \sum_{\hat{\mathrm{P}}}(\pm 1)^{p} \zeta_{\hat{\mathrm{P}} \mathrm{\Gamma}}(\mathbf{r}) .
\end{aligned}
$$
The meaning of particle permutation can be seen from the fact that a vector is an ordered set. In the present case the first element of the vector of coordinates, or of the vector of position-momentum labels, is associated with the first particle, the second element with the second particle, etc. Hence the particle permutator $\hat{\mathrm{P}}$ can be applied to one vector relative to the other.

In the above expression for the symmetrized wave packet, the sum is over all $N$ ! permutations of the $N$ particles. Recall that we sometimes write the combined position and momentum labels as $\boldsymbol{\Gamma} \equiv{\mathbf{q}, \mathbf{p}}$. Here and below $p(\hat{\mathrm{P}})$ is the number of pair transpositions that comprise the permutation operator $\hat{\mathrm{P}}$ (or simply their parity). The plus sign is for bosons and the minus sign is for fermions.

By inspection one sees that the symmetrized wave functions show the mandated behavior for bosons and fermions under particle interchange,
$$
\zeta_{\Gamma}^{\pm}(\hat{P} \mathbf{r})=(\pm 1)^{p} \zeta_{\Gamma}^{\pm}(\mathbf{r}) .
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Pair transposition

Before exploring the general properties of the symmetrization factor, it may be worth illustrating the nature of particle permutations with a simple example.

Because the wave function is the product of individual particle wave packets, it is simplest to focus on a single pair transposition, since all permutations can be decomposed into consecutive pair transpositions. Let $\hat{P}{j k}$ transpose particles $j$ and $k$, so that $$ \begin{aligned} \zeta{\Gamma}\left(\hat{\mathbf{P}}{j k} \mathbf{r}\right) &=\zeta{\Gamma_{1} \ldots \Gamma_{j} \ldots \Gamma_{k} \ldots}\left(\mathbf{r}{1} \ldots \mathbf{r}{k} \ldots \mathbf{r}{j \ldots} \ldots\right) \ &=\zeta{\Gamma_{1}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{1}\right) \ldots \zeta{\Gamma_{j}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{k}\right) \ldots \zeta{\mathbf{r}{k}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{j}\right) \ldots
\end{aligned}
$$
The so-called dimer symmetrization or overlap factor consists of the inner product of the original and the transposed wave function,
$\chi_{j k}^{\pm,(2)} \equiv \pm\left\langle\zeta_{\boldsymbol{\Gamma}}\left(\hat{\mathbf{P}}{j k} \mathbf{r}\right) \mid \zeta{\boldsymbol{\Gamma}}(\mathbf{r})\right\rangle$
$=\pm\left\langle\zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{k}\right) \zeta{\mathbf{\Gamma}{k}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{j}\right) \mid \zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{j}\right) \zeta{\mathbf{r}{k}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{k}\right)\right\rangle$
$=\pm\left|\left\langle\zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)} \mid \zeta_{\Gamma_{k}}^{(1)}\right\rangle\right|^{2}$
$=\frac{\pm 1}{\left(2 \pi \xi^{2}\right)^{3}} \mid \int \mathrm{d} \mathbf{r}{j} e^{-\left(\mathbf{r}{j}-\mathbf{q}{k}\right)^{2} / 4 \xi^{2}} e^{\mathbf{p}{k}-\left(\mathbf{r} /-\mathbf{q}{k}\right) / / \mathrm{in}}$ $\times\left. e^{-\left(\mathbf{r}{j}-\mathbf{q}{j}\right)^{2} / 4 \xi^{2}} e^{-\mathbf{p}{j}-\left(\mathbf{r}{j}-\mathbf{q}{j}\right) / i^{\prime}}\right|^{2}$
$=\pm \exp \left{\frac{-1}{4 \xi^{2}}\left(\mathbf{q}{k}-\mathbf{q}{j}\right)^{2}-\frac{\xi^{2}}{\hbar^{2}}\left(\mathbf{p}{k}-\mathbf{p}{j}\right)^{2}\right} .$
The second equality follows because the unpermuted single-particle wave packets are normalized and so their respective inner product each gives a factor of unity. The third equality follows because what remains in the product of two integrals over the dummy variables $\mathbf{r}{j}$ and $\mathbf{r}{k}$, respectively, and these integrals are the complex conjugate of each other. The final equality shows that for the general wave packet the dimer overlap factor is evidently an un-normalized Gaussian in position and momentum that ties the two particles together.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Wave packet symmetrization and overlap

量子力学的一个基本公理是，对于相同粒子的交换，波函数必须是完全对称的（玻色子) 或完全反对 称的 (费米子) (Messiah 1961，Merzbacher 1970）。对于目前的波包，对称形式是
$$
\zeta_{\Gamma}^{\pm}(\mathbf{r}) \equiv \frac{1}{\sqrt{N ! \chi_{\Gamma}^{\pm}}} \sum_{\hat{\mathrm{P}}}(\pm 1)^{p} \zeta_{\Gamma}(\hat{\mathrm{P}} \mathbf{r}) \equiv \frac{1}{\sqrt{N ! \chi_{\Gamma}^{\pm}}} \sum_{\hat{\mathrm{P}}}(\pm 1)^{p} \zeta_{\hat{\mathrm{P}}}(\mathbf{r}) .
$$
从向量是有序集合这一事实可以看出粒子置换的意义。在本例中，坐标向量或位置动量标签向量的第 一个元素与第一个粒子相关联，第二个元素与第二个粒子相关联，等等。因此，粒子置换器P可以应 用于相对于另一个向量的一个向量。
在对称波包的上述表达式中，总和超过了所有 $N !$ 的排列 $N$ 粒子。回想一下，我们有时将组合的位置 和动量标签写为 $\boldsymbol{\Gamma} \equiv \mathbf{q}, \mathbf{p} \cdot$ 这里和下面 $p(\hat{\mathrm{P}})$ 是组成置换算子的对换位的数量 $\hat{\mathrm{P}}$ (或只是他们的平 价）。加号代表玻色子，减号代表费米子。
通过检查可以看出，对称波函数显示了粒子交换下玻色子和费米子的强制行为，
$$
\zeta_{\Gamma}^{\pm}(\hat{P} \mathbf{r})=(\pm 1)^{p} \zeta_{\Gamma}^{\pm}(\mathbf{r}) .
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Pair transposition

在探索对称因子的一般性质之前，可能值得用一个简单的例子来说明粒子排列的性质。
因为波函数是单个粒子波包的乘积，所以最简单的方法是关注单对换位，因为所有排列都可以分解为 连续的对换位。让 $\hat{P} j k$ 转置粒子 $j$ 和 $k$ ，以便
$$
\zeta \Gamma\left(\hat{\mathbf{P}}{j k \mathbf{r}}\right)=\zeta \Gamma{1} \ldots \Gamma_{j} \ldots \Gamma_{k} \ldots(\mathbf{r} 1 \ldots \mathbf{r} k \ldots \mathbf{r} j \ldots \ldots)=\zeta \Gamma_{1}^{(1)}(\mathbf{r} 1) \ldots \zeta \Gamma_{j}^{(1)}(\mathbf{r} k)^{\prime}
$$
所谓二聚体对称或重坚因子由原始波函数和转置波函数的内积组成，
$\chi_{j k}^{\pm,(2)} \equiv \pm\left\langle\zeta_{\boldsymbol{\Gamma}}(\hat{\mathbf{P}} j k \mathbf{r}) \mid \zeta \boldsymbol{\Gamma}(\mathbf{r})\right\rangle$
$=\pm\left\langle\zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)}(\mathbf{r} k) \zeta \mathbf{\Gamma} k^{(1)}(\mathbf{r} j) \mid \zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)}(\mathbf{r} j) \zeta \mathbf{r} k^{(1)}(\mathbf{r} k)\right\rangle$
$=\pm\left|\left\langle\zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)} \mid \zeta_{\Gamma_{k}}^{(1)}\right\rangle\right|^{2}$
$=\frac{\pm 1}{\left(2 \pi \xi^{2}\right)^{3}}\left|\int \mathrm{d} \mathbf{r} j e^{-(\mathbf{r} j-\mathbf{q} k)^{2} / 4 \xi^{2}} e^{\mathbf{p} k-(\mathbf{r} /-\mathbf{q} k) / / \mathrm{in}} \times e^{-(\mathbf{r} j-\mathbf{q} j)^{2} / 4 \xi^{2}} e^{-\mathbf{p} j-(\mathbf{r} j-\mathbf{q} j) / i^{t}}\right|^{2}$
第二个等式是因为末置换的单粒子波包被归一化，因此它们各自的内积都给出了一个统一因子。第三
个等式紧随其后，因为在虚拟变量上的两个积分的乘积中剩下的是什么 $\mathrm{r} j$ 和 $\mathrm{r} k$ ，分别，并且这些积分
是彼此的复共轭。最后的等式表明，对于一般波包，二聚体重疍因子显然是将两个粒子联系在一起的
位置和动量的非归一化高斯。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Wave packets as eigenfunctions in the classical limit

The primary goal here is to show how to get from the quantum picture to classical statistical mechanics, which is of course formulated in the classical phase space of the particles’ positions and momenta. To this end we use wave packets because they are localized simultaneously in position and momentum. Some care must be taken with using these as a basis, as there are issues with their orthogonality and completeness. Also the meaning of simultaneous localization must be reconciled with the Heisenberg uncertainty principle.

Consider a system consisting of $N$ particles in three dimensions, with position representation coordinates $\mathbf{r}=\left{\mathbf{r}{1}, \mathbf{r}{2}, \ldots, \mathbf{r}{N}\right}, \mathbf{r}{j}=\left{r_{j x}, r_{j y}, r_{j z}\right}, j=1,2, \ldots, N$. Define analogous vectors for the position label $\mathbf{q}$, and the momentum label $\mathbf{p}$. It will sometimes be convenient to write the combined labels as $\mathbf{\Gamma} \equiv{\mathbf{q}, \mathbf{p}}$. The representation coordinates $\mathbf{r}$ belong to the real continuum. The labels are discretized, for example $q_{j \alpha}=\ell_{\mathrm{q}, j \alpha} \Delta_{\mathrm{q}}$ and $p_{j a}=\ell_{\mathrm{p}, j \alpha} \Delta_{\mathrm{p}}$, with the $\ell_{\mathrm{q}}$ and $\ell_{\mathrm{p}}$ being integers. Below $\Gamma$ and $\ell$ are used interchangeably to label the system state. The meaning of position and momentum labels emerges from the following analysis.

At this stage we do not need to be more precise about the grid spacing or the system size. Messiah (1961, chapter V, section 11) insists that in order for the momentum operator to be Hermitian periodic boundary conditions must be imposed on all wave functions, and discrete momentum eigenvalues must have spacing $\Delta_{\mathrm{p}}=2 \pi \hbar / L$ where $I$. is the system edge length. This is true if the wave function does not go to zero at the boundaries. In any case, here we do not explicitly use this (but we consistently do so in later chapters), but instead observe that for a macroscopic system, $L \rightarrow \infty$, the present grid spacing could be made an integer multiple of this.

Spin could be included in the set of commuting dynamical variables, with $\mathbf{x}{j}=\left{\mathbf{r}{j}, \sigma_{j}\right}$, where $\sigma_{j} \in{-S,-S+1, \ldots, S}$ is the $z$-component of the spin of particle j. See Messiah (1961, section 14.1), or Merzbacher (1970, section 20.5), or section $6.4$ below. However, we do not include spin in the present analysis.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Eigenfunctions

The probability amplitude in the position representation is
$$
\zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})^{*} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})=\frac{1}{C^{2}} e^{-(\mathbf{r}-\mathbf{q})(\mathbf{r}-\mathbf{q}) / 2 \xi^{2}} .
$$
This is a Gaussian of width $\xi$ (per particle, per direction), peaked at the position label $\mathbf{q}$. Similarly in the momentum representation, the probability amplitude has width $\hbar / 2 \xi$ and is peaked at the momentum label p. To within an error of these magnitudes, the minimum uncertainty wave function is approximately a simultaneous eigenfunction of the position and momentum operators,
$$
\hat{\mathbf{q}} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})=\mathbf{r} \zeta_{\mathbf{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r}) \approx \mathbf{q} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}),
$$
and
$$
\hat{\mathbf{p}} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})=\left[\frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \xi^{2}}(\mathbf{r}-\mathbf{q})+\mathbf{p}\right] \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r}) \approx \mathbf{p} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r}) .
$$
(Recall that the momentum operator is $\hat{\mathbf{p}}=-i \hbar \nabla_{\mathbf{r}}$.) Since the probability amplitude is sharply peaked about ${\mathbf{q}, \mathbf{p}}$, the approximation in these is to neglect contributions $\mathcal{O}(\xi)$ and $\mathcal{O}(\hbar / 2 \xi)$, respectively.

Because the wave packet is an approximate simultaneous position and momentum eigenfunction, for any sufficiently slowly varying phase function one can write $\int(\hat{\mathbf{q}}, \hat{\mathbf{p}}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx f(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})$. In particular, the wave packet is an approximate energy eigenfunction,
$$
\hat{H}(\mathbf{r}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \equiv H(\hat{\mathbf{q}}, \hat{\mathbf{p}}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) .
$$
The eigenvalue is the classical Hamiltonian energy function of phase space, which is usually split into kinetic and potential energies,
$$
H(\mathbf{q}, \mathbf{p})=\mathcal{K}(\mathbf{p})+U(\mathbf{q}), \quad \mathcal{K}(\mathbf{p})=\frac{p^{2}}{2 m}=\frac{1}{2 m} \sum_{j, \alpha} p_{j \alpha}^{2} .
$$

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Wave packets as eigenfunctions in the classical limit

这里的主要目标是展示如何从量子图像到经典统计力学，这当然是在粒子位置和动量的经典相空间中制定的。为 此，我们使用波包，因为它们同时定位在位置和动量上。使用这些作为基础时必须小心谨慎，因为它们的正交性 和完整性存在问题。同时定位的含义也必须与海森堡测不准原理相协调。
考虑一个由以下组成的系统 $N$ 三个维度的粒子，具有位置表示坐标 . 为位置标签定义类似向量 $\mathbf{q}$, 和动量标签 $\mathbf{p}$. 有时将组合标签写为 $\boldsymbol{\Gamma} \equiv \mathbf{q}, \mathbf{p}$. 表示坐标 $\mathbf{r}$ 属于实相。标签是离散
的，例如 $q_{j \alpha}=\ell_{\mathrm{q}, j \alpha} \Delta_{\mathrm{q}}$ 和 $p_{j a}=\ell_{\mathrm{p}, j \alpha} \Delta_{\mathrm{p}}$, 与 $\ell_{\mathrm{q}}$ 和 $\ell_{\mathrm{p}}$ 是整数。以下 $\Gamma$ 和 $\ell$ 可以互换使用来标记系统状态。位置和 动量标签的含义来自以下分析。
在这个阶段，我们不需要更精确的网格间距或系统大小。Messiah（1961 年，第五章，第 11 节) 坚持认为，为 了使动量算子成为厄米特周期边界条件，必须对所有波函数施加周期性边界条件，并且离散动量特征值必须具有 间距 $\Delta_{\mathrm{p}}=2 \pi \hbar / L$ 在哪里 $I$. 是系统边长。如果波函数在边界处不为零，这是正确的。无论如何，这里我们没有 明确地使用它（但我们在后面的章节中一直这样做），而是观察到对于宏观系统， $L \rightarrow \infty$ ，现在的网格间距可 以是这个的整数倍。 $\sigma_{j} \in-S,-S+1, \ldots, S$ 是个 $z$-粒子 $\mathrm{j}$ 的自旋分量。见 Messiah (1961， section 14.1), or Merzbacher (1970， section 20.5), or section6.4以下。但是，我们在本分析中不包括自旋。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Eigenfunctions

位置表示中的概率幅度为
$$
\zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})^{*} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})=\frac{1}{C^{2}} e^{-(\mathbf{r}-\mathbf{q})(\mathbf{r}-\mathbf{q}) / 2 \xi^{2}}
$$
这是宽度的高斯 $\xi$ (每个粒子，每个方向)，在位置标签处达到峰值q. 类似地，在动量表示中，概率幅具有宽度 $\hbar / 2 \xi$ 并且在动量标签 $\mathrm{p}$ 处达到峰值。在这些量级的误差范围内，最小不确定性波函数近似为位置和动量算子的同 时特征函数，
$$
\hat{\mathbf{q}} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})=\mathbf{r} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx \mathbf{q} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})
$$
和
$$
\hat{\mathbf{p}} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})=\left[\frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \xi^{2}}(\mathbf{r}-\mathbf{q})+\mathbf{p}\right] \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r}) \approx \mathbf{p} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})
$$
(回想一下，动量算子是 $\hat{\mathbf{p}}=-i \hbar \nabla_{\mathbf{r}}$.) 由于概率幅度在大约 $\mathbf{q}, \mathbf{p}$ ，其中的近似值是忽略贡献 $\mathcal{O}(\xi)$ 和 $\mathcal{O}(\hbar / 2 \xi)$ ，分别。
因为波包是一个近似的同时位置和动量特征函数，对于任何足够缓慢变化的相位函数，我们可以写出 $\int(\hat{\mathbf{q}}, \hat{\mathbf{p}}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx f(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})$. 特别地，波包是一个近似的能量特征函数，
$$
\hat{H}(\mathbf{r}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \equiv H(\hat{\mathbf{q}}, \hat{\mathbf{p}}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})
$$
特征值是相空间的经典哈密顿能量函数，通常分为动能和势能，
$$
H(\mathbf{q}, \mathbf{p})=\mathcal{K}(\mathbf{p})+U(\mathbf{q}), \quad \mathcal{K}(\mathbf{p})=\frac{p^{2}}{2 m}=\frac{1}{2 m} \sum_{j, \alpha} p_{j \alpha}^{2}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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