This document is one part of the application to the Ross Mathematics Program,and will remain posted at https://rossprogram.org/students/to-apply from January through March. The deadline for applications is March 15, 2024. The Admissions Committee will start reading applications on March 16.
You are not expected to answer every question perfectly; rather, take this application as an opportunity to explore some beautiful mathematics! We are interested in seeing how you approach unfamiliar, open-ended math problems, and we encourage you to write up your discoveries and conjectures, even if you can’t prove them.
We believe that the most valuable part of a problem is the time spent thinking on it, and your application should reflect this: we are not looking for quick answers written in minimal space. Instead, we hope to see evidence of your explorations, conjectures, proofs, and generalizations written in a readable format. If you make progress on these four problems (even if you don’t solve them completely), we encourage you to submit
your Ross application.
Submit your own work on these problems. If you’ve seen one of the problems before (e.g. in a class or online), please include a reference along with your solution.
Admission factors include the quality of mathematical exposition and the questions you pose, as well as the completeness and correctness of your solutions to those questions.
Work on the 2024 Application Problems which you can find at https://raw.githubusercontent.com/rossprogram/rossprogram.github.io/master/students/application-problems.pdf. There are four problems. Upload your carefully written solutions to those four problems.
- The solution to each problem must be uploaded as a separate PDF.
- Use the PDF file format. If your solution file is in some other fomat, please transform it to a PDF, check that the converted file is readable, and then upload that PDF.
- We welcome solutions that have been prepared with LaTeX or some similar typesetting program that produces PDFs. It is OK to type up your work using a word processor (like Microsoft Word), and then converting that file to a PDF. Please verify that the mathematical symbols you use are readable.
- You are allowed to write up your solutions by hand, provided you use black ink or very dark pencil. Scan each page, combine the pages for one problem into a single PDF, check that the file is readable, and then upload that file. Please be sure to reduce the file size to be less than five megabytes. The Ross system cannot accept any files of larger size.
The Admissions Committee is not looking for quick answers written in minimal space, but rather for readable mathematical expositions that includes evidence of your explorations, conjectures, and proofs.
Problem 1
A polynomial is integral when it has integer coefficients. The square root of 2 is a solution to the integral polynomial equation $x^2-2=0$.
A number is rational when it can be expressed as $\frac{a}{b}$ for integers $a$ and $b$ (with $b \neq 0$ ).
A number is irrational when it is not rational.
(a) Suppose $c$ is a non-square integer. (That is, $c \neq n^2$ for any $n$.) Explain why $\sqrt{c}$ is not rational. Similarly, if $c$ is a non-cube integer, does it follow that $\sqrt[3]{c}$ is irrational?
(b) Find an integral polynomial equation that has $\alpha=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ as a solution. Show that $\alpha$ is irrational.
(c) Let $a$ and $b$ be integers. Find an integral polynomial equation which has $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ as a solution. Must $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ be irrational? If $a \neq b$, must $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ be irrational?
(d) Formulate some generalizations. As a starting point, is $\beta=\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$ irrational? What about numbers like $\gamma=3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}+\sqrt{6}$ and $\delta=\sqrt[3]{5}-\sqrt{2}$ ?
Problem 2
Here’s a (paraphrased) conversation that took place between two Ross students.
A: Hey, want to see a magic trick?
B: Sure, how does it go?
A: Think of any number. Any nonnegative integer, I should say.
B: Okay.
A: Multiply it by 3 .
B: Okay….
A: Now divide it by 2, and if you get a decimal, then round down. Tell me if you rounded down or not.
B: I did have to round down.
A: Multiply it by 3 then divide it by 2 again. Again, tell me if you rounded down.
B: Okay, hang on… I did not have to round down this time.
A: Great, now just tell me: how many times does 9 go into this last number?
B: You want me to divide by 9 ?
A: Yes, just the quotient.
B: Um, the quotient is 4 .
A: So your original number was 19 .
B: That’s right! How did you do that? Let me think….
(a) Figure out how A’s magic trick works, and write up a clear, mathematical explanation of how to perform it.
(b) What variants of this trick can you come up with using the same principles? Can you change the numbers 2,3 , and 9 in the trick, or maybe the operations involved? What about the information you ask for?
问题 1
当一个多项式有整数系数时，它就是积分多项式。2 的平方根是积分多项式方程 $x^2-2=0$ 的解。
当一个数可以用 $ rac{a}{b}$ 表示整数 $a$ 和 $b$（其中 $b
等于 0$ ）。
当一个数不是有理数时，它就是无理数。
(a) 假设 $c$ 是一个非平方整数。即
eq n^2$ for any $n$）。请解释为什么 $\sqrt{c}$ 不是有理数。同样，如果 $c$ 是一个非立方整数，那么 $\sqrt[3]{c}$ 是不是无理数呢？
(b) 找出一个以 $lpha=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 为解的积分多项式方程。证明 $lpha$ 是无理数。
(c) 设 $a$ 和 $b$ 为整数。求一个以 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 为解的积分多项式方程。$sqrt{a}+\sqrt{b}$ 一定是无理数吗？如果 $a
eq b$，那么 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 一定是无理数吗？
(d) 提出一些概括。作为一个起点，$ea=\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$是无理数吗？那么像 $\gamma=3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}+\sqrt{6}$ 和 $\delta=sqrt[3]{5}-\sqrt{2}$ 这样的数呢？
问题 2
下面是罗斯大学两个学生之间的一段对话（转述）。
A: 嘿，想看魔术吗？
乙：当然，怎么变？
甲：随便想一个数。应该说是任何一个非负整数。
乙：好的。
甲：乘以 3 。
乙：好的….。
甲：现在除以 2，如果是小数，就四舍五入。告诉我你有没有四舍五入。
乙：我必须四舍五入。
甲：乘以 3，然后再除以 2。同样，告诉我你是否四舍五入了。
乙：好的，等一下……这次我不用四舍五入。
甲：很好，现在告诉我：最后这个数是 9 的几倍？
乙：你要我除以 9？
甲：是的，只要商。
乙：嗯，商是 4。
甲：所以你原来的数字是 19 。
乙：没错！你是怎么算出来的？让我想想….
(a) 找出 A 的魔术是如何变出来的，并写出清晰的数学解释。
(b) 利用同样的原理，你还能变出什么魔术？你能改变魔术中的数字 2、3 和 9 吗？你要求的信息是什么？
ROSS数学夏令营2023选拔代写
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。