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计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Diffusion Maps

The basic idea of Diffusion MAPs (Nadler, Lafon, Coifman, and Kevrekidis, 2005; Coifman and Lafon, 2006) uses a Markov chain constructed over a graph of the data points, followed by an eigenanalysis of the probability transition matrix of the Markov chain. As with the other algorithms in this Section, there are three steps in this algorithm, with the first and second steps the same as for Laplacian eigenmaps. Although a nearest-neighbor search (Step 1) was not explicitly considered in the above papers on diffusion maps as a means of constructing the graph (Step 2), a nearest-neighbor search is included in software packages for computing diffusion maps. For an example in astronomy of a diffusion map incorporating a nearest-neighbor search, see Freeman, Newman, Lee, Richards, and Schafer (2009).

1. Nearest-Neighbor Search. Fix an integer $K$ or an $\epsilon>0$. Define a $K$-neighborhood $N_i^K$ or an $\epsilon$-neighborhood $N_i^\epsilon$ of the point $\mathbf{x}_i$ as in Step 1 of Laplacian eigenmaps. In general, let $N_i$ denote the neighborhood of $\mathbf{x}_i$.

2. Pairwise Adjacency Matrix. The $n$ data points $\left{\mathbf{x}i\right}$ in $\Re^r$ can be regarded as a graph $\mathcal{G}=\mathcal{G}(\mathcal{V}, \mathcal{E})$ with the data points playing the role of vertices $\mathcal{V}=\left{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right}$, and the set of edges $\mathcal{E}$ are the connection strengths (or weights), $w\left(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j\right)$, between pairs of adjacent vertices, $$ w{i j}=w\left(\mathbf{x}i, \mathbf{x}_j\right)= \begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2}{2 \sigma^2}\right}, & \text { if } \mathbf{x}_j \in N_i ; \ 0, & \text { otherwise. }\end{cases} $$ This is a Gaussian kernel with width $\sigma$; however, other kernels may be used. Kernels such as (1.52) ensure that the closer two points are to each other, the larger the value of $w$. For convenience in exposition, we will suppress the fact that the elements of most of the matrices depend upon the value of $\sigma$. Then, $\mathbf{W}=\left(w{i j}\right)$ is a pairwise adjacency matrix between the $n$ points. To make the matrix $\mathbf{W}$ even more sparse, values of its entries that are smaller than some given threshold (i.e., the points in question are far apart from each other) can be set to zero. The graph $\mathcal{G}$ with weight matrix $\mathbf{W}$ gives information on the local geometry of the data.
3. Spectral embedding. Define $\mathbf{D}=\left(d_{i j}\right)$ to be a diagonal matrix formed from the matrix $\mathbf{W}$ by setting the diagonal elements, $d_{i i}=\sum_j w_{i j}$, to be the column sums of $\mathbf{W}$ and the off-diagonal elements to be zero. The $(n \times n)$ symmetric matrix $\mathbf{L}=\mathbf{D}-\mathbf{W}$ is the graph Laplacian for the graph $\mathcal{G}$. We are interested in the solutions of the generalized eigenequation, $\mathbf{L v}=\lambda \mathbf{D v}$, or, equivalently, of the matrix
   $$
   \mathbf{P}=\mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{L} \mathbf{D}^{-1 / 2}=\mathbf{I}_n-\mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{W} \mathbf{D}^{-1 / 2},
   $$
   which is the normalized graph Laplacian. The matrix $\mathbf{H}=e^{t \mathbf{P}}, t \geq 0$, is usually referred to as the heat kernel. By construction, $\mathbf{P}$ is a stochastic matrix with all row sums equal to one, and, thus, can be interpreted as defining a random walk on the graph $\mathcal{G}$.

计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Hessian Eigenmaps

Recall that, in certain situations, the convexity assumption for IsomAP may be too restrictive. Instead, we may require that the manifold $\mathcal{M}$ be locally isometric to an open, connected subset of $\Re^t$. Popular examples include families of “articulated” images (i.e., translated or rotated images of the same object, possibly through time) that are found in a high-dimensional, digitized-image library (e.g., faces, pictures, handwritten numbers or letters). However, if the pixel elements of each 64-pixel-by-64-pixel digitized image are represented as a 4,096-dimensional vector in “pixel space,” it would be very difficult to show that the images really live on a low-dimensional manifold, especially if that image manifold is unknown.

We can model such images using a vector of smoothly varying articulation parameters $\boldsymbol{\theta} \in \Theta$. For example, digitized images of a person’s face that are varied by pose and illumination can be parameterized by two pose parameters (expression [happy, sad, sleepy, surprised, wink] and glasses-no glasses) and a lighting direction (centerlight, leftlight, rightlight, normal); similarly, handwritten “2”s appear to be parameterized essentially by two features, bottom loop and top arch (Tenenbaum, de Silva, and Langford, 2000; Roweis and Saul, 2000). To some extent, learning about an underlying image manifold depends upon whether the images are sufficiently scattered around the manifold and how good is the quality of digitization of each image?

Hessian Eigenmaps (Donoho and Grimes, 2003b) were proposed for recovering manifolds of high-dimensional libraries of articulated images where the convexity assumption is often violated. Let $\Theta \subset \Re^t$ be the parameter space and suppose that $\phi: \Theta \rightarrow \Re^r$, where $t<r$. Assume $\mathcal{M}=\phi(\Theta)$ is a smooth manifold of articulated images. The isometry and convexity requirements of IsOMAP are replaced by the following weaker requirements:

• Local Isometry: $\phi$ is a locally isometric embedding of $\Theta$ into $\Re^r$. For any point $\mathbf{x}^{\prime}$ in a sufficiently small neighborhood around each point $\mathrm{x}$ on the manifold $\mathcal{M}$, the geodesic distance equals the Euclidean distance between their corresponding parameter points $\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}^{\prime} \in \Theta ;$ that is,
  $$
  d^{\mathcal{M}}\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime}\right)=\left|\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\theta}^{\prime}\right|_{\Theta},
  $$
  where $\mathbf{x}=\phi(\boldsymbol{\theta})$ and $\mathbf{x}^{\prime}=\phi\left(\boldsymbol{\theta}^{\prime}\right)$.
• Connectedness: The parameter space $\Theta$ is an open, connected subset of $\Re^t$.

流形学习代写

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扩散地图的基本思想(Nadler, Lafon, Coifman, and Kevrekidis, 2005;Coifman和Lafon, 2006)使用在数据点图上构造的马尔可夫链，然后对马尔可夫链的概率转移矩阵进行特征分析。与本节中的其他算法一样，该算法有三个步骤，第一步和第二步与拉普拉斯特征映射相同。尽管在上述关于扩散图的论文中，没有明确地将最近邻搜索(步骤1)作为构造图的一种方法(步骤2)，但用于计算扩散图的软件包中包含了最近邻搜索。关于天文学中包含最近邻搜索的扩散图的例子，见Freeman, Newman, Lee, Richards, and Schafer(2009)。

最近邻搜索。修复整数$K$或$\epsilon>0$。定义点$\mathbf{x}_i$的$K$ -邻域$N_i^K$或$\epsilon$ -邻域$N_i^\epsilon$，如拉普拉斯特征映射的步骤1所示。通常，设$N_i$表示$\mathbf{x}_i$的邻域。

成对邻接矩阵。The $n$ 数据点 $\left{\mathbf{x}i\right}$ 在 $\Re^r$ 可以看作是一个图形吗 $\mathcal{G}=\mathcal{G}(\mathcal{V}, \mathcal{E})$ 用数据点扮演顶点的角色 $\mathcal{V}=\left{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right}$，以及边的集合 $\mathcal{E}$ 是连接强度(或权重)， $w\left(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j\right)$，相邻顶点对之间， $$ w{i j}=w\left(\mathbf{x}i, \mathbf{x}_j\right)= \begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2}{2 \sigma^2}\right}, & \text { if } \mathbf{x}_j \in N_i ; \ 0, & \text { otherwise. }\end{cases} $$ 这是一个有宽度的高斯核 $\sigma$;但是，也可以使用其他内核。像(1.52)这样的核确保两个点越接近，的值就越大 $w$． 为了说明方便，我们将省略大多数矩阵的元素依赖于的值这一事实 $\sigma$． 然后， $\mathbf{W}=\left(w{i j}\right)$ 之间的成对邻接矩阵 $n$ 分。来制作矩阵 $\mathbf{W}$ 更稀疏的是，小于某个给定阈值(即，所讨论的点彼此相距很远)的条目值可以设置为零。图表 $\mathcal{G}$ 带权矩阵 $\mathbf{W}$ 给出有关数据局部几何形状的信息。

频谱嵌入。将$\mathbf{D}=\left(d_{i j}\right)$定义为由矩阵$\mathbf{W}$形成的对角矩阵，方法是将对角元素$d_{i i}=\sum_j w_{i j}$设置为$\mathbf{W}$的列和，并将非对角元素设置为零。$(n \times n)$对称矩阵$\mathbf{L}=\mathbf{D}-\mathbf{W}$是图$\mathcal{G}$的图拉普拉斯式。我们感兴趣的是广义特征方程$\mathbf{L v}=\lambda \mathbf{D v}$的解，或者，等价地，矩阵的解
$$
\mathbf{P}=\mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{L} \mathbf{D}^{-1 / 2}=\mathbf{I}_n-\mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{W} \mathbf{D}^{-1 / 2},
$$
也就是拉普拉斯归一化图。矩阵$\mathbf{H}=e^{t \mathbf{P}}, t \geq 0$，通常被称为热核。通过构造，$\mathbf{P}$是一个所有行和都等于1的随机矩阵，因此，可以解释为在图$\mathcal{G}$上定义了一个随机游走。

计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Hessian Eigenmaps

回想一下，在某些情况下，IsomAP的凸性假设可能过于严格。相反，我们可能要求流形$\mathcal{M}$与$\Re^t$的一个开放的、连通的子集局部等距。流行的例子包括在高维数字化图像库(如面孔、图片、手写数字或字母)中发现的“关节”图像家族(即同一物体的翻译或旋转图像，可能是通过时间)。然而，如果每个64 × 64像素的数字化图像的像素元素在“像素空间”中被表示为一个4096维的向量，那么就很难表明这些图像确实存在于低维流形上，尤其是在该图像流形未知的情况下。

我们可以使用平滑变化的关节参数的向量$\boldsymbol{\theta} \in \Theta$对这样的图像进行建模。例如，根据姿势和光照变化的人脸数字化图像可以通过两个姿势参数(表情[高兴，悲伤，困倦，惊讶，眨眼]和戴眼镜-不戴眼镜)和光照方向(中心光，左光，右光，正常)来参数化;类似地，手写的“2”似乎主要由两个特征参数化，即底部环和顶部拱(Tenenbaum, de Silva, and Langford, 2000;Roweis and Saul, 2000)。在某种程度上，对底层图像流形的了解取决于图像是否充分分散在流形周围，以及每张图像的数字化质量有多好。

Hessian Eigenmaps (Donoho and Grimes, 2003b)被提出用于恢复经常违反凹凸性假设的高维铰接图像库的流形。设$\Theta \subset \Re^t$为参数空间，假设$\phi: \Theta \rightarrow \Re^r$，其中$t<r$。假设$\mathcal{M}=\phi(\Theta)$是一个平滑的铰接图像集合。IsOMAP的等距和凹凸性要求被以下较弱的要求所取代:

局部等距:$\phi$是在$\Re^r$中嵌入$\Theta$的局部等距。对于流形$\mathcal{M}$上每个点$\mathrm{x}$周围足够小的邻域内的任意点$\mathbf{x}^{\prime}$，测地线距离等于其对应参数点$\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}^{\prime} \in \Theta ;$之间的欧氏距离，即:
$$
d^{\mathcal{M}}\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime}\right)=\left|\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\theta}^{\prime}\right|_{\Theta},
$$
其中$\mathbf{x}=\phi(\boldsymbol{\theta})$和$\mathbf{x}^{\prime}=\phi\left(\boldsymbol{\theta}^{\prime}\right)$。

连接性:参数空间$\Theta$是$\Re^t$的一个开放的、连接的子集。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Nonlinear Manifold Learning

We next discuss some algorithmic techniques that proved to be innovative in the study of nonlinear manifold learning: Isomap, Local LineAR EmbedDing, LAPLACIAN EigenmaPs, Diffusion MaPs, Hessian Eigenmaps, and the many different versions of NONLINEAR PCA. The goal of each of these algorithms is to recover the full low-dimensional representation of an unknown nonlinear manifold, $\mathcal{M}$, embedded in some high-dimensional space, where it is important to retain the neighborhood structure of $\mathcal{M}$. When $\mathcal{M}$ is highly nonlinear, such as the S-shaped manifold in the left panel of Figure 1.1, these algorithms outperform the usual linear techniques. The nonlinear manifold-learning methods emphasize simplicity and avoid optimization problems that could produce local minima.

Assume that we have a finite random sample of data points, $\left{\mathbf{y}i\right}$, from a smooth $t$ dimensional manifold $\mathcal{M}$ with metric given by the geodesic distance $d^{\mathcal{M}}$; see Section 1.2.4. These points are then nonlinearly embedded by a smooth map $\psi$ into high-dimensional input space $\mathcal{X}=\Re^r(t \ll r)$ with Euclidean metric $|\cdot|{\mathcal{X}}$. This embedding provides us with the input data $\left{\mathbf{x}_i\right}$. For example, in the right panel of Figure 1.1, we randomly generated 20,000 three-dimensional points to lie uniformly on the surface of the two-dimensional Sshaped curve displayed in the left panel. Thus, $\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$ is the embedding map, and a point on the manifold, $\mathbf{y} \in \mathcal{M}$, can be expressed as $\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathcal{X}$, where $\phi=\psi^{-1}$. The goal is to recover $\mathcal{M}$ and find an implicit representation of the map $\psi$ (and, hence, recover the $\left.\left{\mathbf{y}_i\right}\right)$, given only the input data points $\left{\mathbf{x}_i\right}$ in $\mathcal{X}$.

Each algorithm computes $t^{\prime}$-dimensional estimates, $\left{\widehat{\mathbf{y}}_i\right}$, of the $t$-dimensional manifold data, $\left{\mathbf{y}_i\right}$, for some $t^{\prime}$. Such a reconstruction is deemed to be successful if $t^{\prime}=t$, the true (unknown) dimensionality of $\mathcal{M}$. In practice, $t^{\prime}$ will most likely be too large. Because we require a low-dimensional solution, we retain only the first two or three of the coordinate vectors and plot the corresponding elements of those vectors against each other to yield $n$ points in two- or three-dimensional space. For all practical purposes, such a display is usually sufficient to identify the underlying manifold.

计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Isomap

The isometric feature mapping (or IsOMAP) algorithm (Tenenbaum, de Silva, and Langford, $2000)$ assumes that the smooth manifold $\mathcal{M}$ is a convex region of $\Re^t(t \ll r)$ and that the embedding $\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$ is an isometry. This assumption has two key ingredients:

• Isometry: The geodesic distance is invariant under the map $\psi$. For any pair of points on the manifold, $\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime} \in \mathcal{M}$, the geodesic distance between those points equals the Euclidean distance between their corresponding coordinates, $\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{X}$; i.e.,
  $$
  d^{\mathcal{M}}\left(\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime}\right)=\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|_{\mathcal{X}}
  $$
  where $\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x})$ and $\mathbf{y}^{\prime}=\phi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)$.
• Convexity: The manifold $\mathcal{M}$ is a convex subset of $\Re^t$.
  IsomaP considers $\mathcal{M}$ to be a convex region possibly distorted in any of a number of ways (e.g., by folding or twisting). The so-called Swiss roll, ${ }^2$ which is a flat two-dimensional rectangular submanifold of $\Re^3$, is one such example; see Figure 1.2. Empirical studies show that IsOMAP works well for intrinsically flat submanifolds of $\mathcal{X}=\Re^r$ that look like rolledup sheets of paper or “open” manifolds such as an open box or open cylinder. However, IsOMAP does not perform well if there are any holes in the roll, because this would violate the convexity assumption. The isometry assumption appears to be reasonable for certain types of situations, but, in many other instances, the convexity assumption may be too restrictive (Donoho and Grimes, 2003b).

IsOMAP uses the isometry and convexity assumptions to form a nonlinear generalization of multidimensional scaling (MDS). Recall that MDS looks for a low-dimensional subspace in which to embed input data while preserving the Euclidean interpoint distances (see Section 1.3.2). Unfortunately, working with Euclidean distances in MDS when dealing with curved regions tends to give poor results. IsOMAP follows the general MDS philosophy by attempting to preserve the global geometric properties of the underlying nonlinear manifold, and it does this by approximating all pairwise geodesic distances (i.e., lengths of the shortest paths between two points) on the manifold. In this sense, IsOMAP provides a global approach to manifold learning.

流形学习代写

计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Nonlinear Manifold Learning

接下来，我们将讨论一些在非线性流形学习研究中被证明具有创新性的算法技术:isommap、局部线性嵌入、LAPLACIAN特征映射、扩散映射、Hessian特征映射以及许多不同版本的非线性主成分分析。这些算法的目标都是恢复嵌入在高维空间中的未知非线性流形$\mathcal{M}$的完整低维表示，其中保留$\mathcal{M}$的邻域结构非常重要。当$\mathcal{M}$是高度非线性的，如图1.1左面板中的s形流形时，这些算法优于通常的线性技术。非线性流形学习方法强调简单性，避免了可能产生局部最小值的优化问题。

假设我们有一个数据点的有限随机样本，$\left{\mathbf{y}i\right}$，来自光滑的$t$维流形$\mathcal{M}$，其度量由测地线距离$d^{\mathcal{M}}$给出;参见1.2.4节。然后通过光滑映射$\psi$将这些点非线性嵌入到高维输入空间$\mathcal{X}=\Re^r(t \ll r)$中，并使用欧几里德度量$|\cdot|{\mathcal{X}}$。这个嵌入为我们提供了输入数据$\left{\mathbf{x}_i\right}$。例如，在图1.1的右面板中，我们随机生成了2万个三维点，均匀地分布在左面板中显示的二维s形曲线的表面上。因此，$\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$是嵌入映射，流形上的一个点$\mathbf{y} \in \mathcal{M}$可以表示为$\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathcal{X}$，其中$\phi=\psi^{-1}$。我们的目标是恢复$\mathcal{M}$并找到映射$\psi$的隐式表示(因此，在只给定$\mathcal{X}$中的输入数据点$\left{\mathbf{x}_i\right}$的情况下，恢复$\left.\left{\mathbf{y}_i\right}\right)$)。

每个算法计算$t^{\prime}$ -维估计，$\left{\widehat{\mathbf{y}}_i\right}$, $t$ -维流形数据，$\left{\mathbf{y}_i\right}$，对于一些$t^{\prime}$。如果$t^{\prime}=t$为$\mathcal{M}$的真实(未知)维数，则认为重建成功。实际上，$t^{\prime}$很可能太大了。因为我们需要一个低维解，所以我们只保留前两个或三个坐标向量，并将这些向量的相应元素相互绘制，从而在二维或三维空间中生成$n$点。对于所有实际用途，这样的显示通常足以识别底层歧管。

计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Isomap

等长特征映射(或IsOMAP)算法(Tenenbaum, de Silva和Langford, $2000)$)假设光滑流形$\mathcal{M}$是$\Re^t(t \ll r)$的一个凸区域，并且嵌入的$\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$是等长。这个假设有两个关键因素:

等距:测地线距离在地图$\psi$下是不变的。对于流形上的任意一对点$\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime} \in \mathcal{M}$，这些点之间的测地线距离等于它们对应坐标之间的欧氏距离$\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{X}$;即，
$$
d^{\mathcal{M}}\left(\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime}\right)=\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|_{\mathcal{X}}
$$
其中$\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x})$和$\mathbf{y}^{\prime}=\phi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)$。

凸性:流形$\mathcal{M}$是$\Re^t$的凸子集。
IsomaP认为$\mathcal{M}$是一个凸区域，可能以多种方式(例如，折叠或扭曲)中的任何一种方式扭曲。所谓的瑞士卷${ }^2$是$\Re^3$的平面二维矩形子流形，就是这样一个例子;见图1.2。实证研究表明，IsOMAP可以很好地用于$\mathcal{X}=\Re^r$的本质上扁平的子流形，这些子流形看起来像卷起的纸张或“开放”的流形，如开放的盒子或开放的圆柱体。然而，如果卷中有孔，IsOMAP就不能很好地执行，因为这会违反凹凸性假设。在某些情况下，等长假设似乎是合理的，但在许多其他情况下，凸性假设可能过于严格(Donoho和Grimes, 2003b)。

IsOMAP使用等距和凸性假设来形成多维尺度(MDS)的非线性泛化。回想一下，MDS寻找一个低维子空间来嵌入输入数据，同时保持欧几里得点间距离(参见第1.3.2节)。不幸的是，当处理弯曲区域时，在MDS中使用欧几里得距离往往会得到很差的结果。IsOMAP遵循一般的MDS原理，试图保留底层非线性流形的全局几何特性，它通过近似流形上的所有两两测地线距离(即两点之间最短路径的长度)来实现这一点。从这个意义上说，IsOMAP为流形学习提供了一种全局方法。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Riemannian Manifolds

In the entire theory of topological manifolds, there is no mention of the use of calculus. However, in a prototypical application of a “manifold,” calculus enters in the form of a “smooth” (or differentiable) manifold $\mathcal{M}$, also known as a Riemannian manifold; it is usually defined in differential geometry as a submanifold of some ambient (or surrounding) Euclidean space, where the concepts of length, curvature, and angle are preserved, and where smoothness relates to differentiability. The word manifold (in German, Mannigfaltigkeit) was coined in an “intuitive” way and without any precise definition by Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) in his 1851 doctoral dissertation (Riemann, 1851; Dieudonné, 2009); in 1854, Riemann introduced in his famous Habilitations lecture the idea of a topological manifold on which one could carry out differential and integral calculus.

A topological manifold $\mathcal{M}$ is called a smooth (or differentiable) manifold if $\mathcal{M}$ is continuously differentiable to any order. All smooth manifolds are topological manifolds, but the reverse is not necessarily true. (Note: Authors often differ on the precise definition of a “smooth” manifold.)

We now define the analogue of a homeomorphism for a differentiable manifold. Consider two open sets, $U \in \Re^r$ and $V \in \Re^s$, and let $g: U \rightarrow V$ so that for $\mathbf{x} \in U$ and $\mathbf{y} \in V, g(\mathbf{x})=$ y. If the function $g$ has finite first-order partial derivatives, $\partial y_j / \partial x_i$, for all $i=1,2, \ldots, r$, and all $j=1,2, \ldots, s$, then $g$ is said to be a smooth (or differentiable) mapping on $U$. We also say that $g$ is a $\mathcal{C}^1$-function on $U$ if all the first-order partial derivatives are continuous. More generally, if $g$ has continuous higher-order partial derivatives, $\partial^{k_1+\cdots+k_r} y_j / \partial x_1^{k_1} \cdots \partial x_r^{k_r}$, for all $j=1,2, \ldots, s$ and all nonnegative integers $k_1, k_2, \ldots, k_r$ such that $k_1+k_2+\cdots+k_r \leq r$, then we say that $g$ is a $\mathcal{C}^r$-function, $r=1,2, \ldots$ If $g$ is a $\mathcal{C}^r$-function for all $r \geq 1$, then we say that $g$ is a $\mathcal{C}^{\infty}$-function.

If $g$ is a homeomorphism from an open set $U$ to an open set $V$, then it is said to be a $\mathcal{C}^r$-diffeomorphism if $g$ and its inverse $g^{-1}$ are both $\mathcal{C}^r$-functions. A $\mathcal{C}^{\infty}$-diffeomorphism is simply referred to as a diffeomorphism. We say that $U$ and $V$ are diffeomorphic if there exists a diffeomorphism between them. These definitions extend in a straightforward way to manifolds. For example, if $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are both smooth manifolds, the function $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ is a diffeomorphism if it is a homeomorphism from $\mathcal{X}$ to $\mathcal{Y}$ and both $g$ and $g^{-1}$ are smooth. Furthermore, $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are diffeomorphic if there exists a diffeomorphism between them, in which case, $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are essentially indistinguishable from each other.

计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Curves and Geodesics

If the Riemannian manifold $(\mathcal{M}, g)$ is connected, it is a metric space with an induced topology that coincides with the underlying manifold topology. We can, therefore, define a function $d^{\mathcal{M}}$ on $\mathcal{M}$ that calculates distances between points on $\mathcal{M}$ and determines its structure.

Let $\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathcal{M}$ be any two points on the Riemannian manifold $\mathcal{M}$. We first define the length of a (one-dimensional) curve in $\mathcal{M}$ that joins $\mathbf{p}$ to $\mathbf{q}$, and then the length of the shortest such curve.

A curve in $\mathcal{M}$ is defined as a smooth mapping from an open interval $\Lambda$ (which may have infinite length) in $\Re$ into $\mathcal{M}$. The point $\lambda \in \Lambda$ forms a parametrization of the curve. Let $c(\lambda)=\left(c_1(\lambda), \cdots, c_d(\lambda)\right)^\tau$ be a curve in $\Re^d$ parametrized by $\lambda \in \Lambda \subseteq \Re$. If we take the coordinate functions, $\left{c_h(\lambda)\right}$, of $c(\lambda)$ to be as smooth as needed (usually, $\mathcal{C}^{\infty}$, functions that have any number of continuous derivatives), then we say that $c$ is a smooth curve. If $c(\lambda+\alpha)=c(\lambda)$ for all $\lambda, \lambda+\alpha \in \Lambda$, the curve $c$ is said to be closed. The velocity (or tangent) vector at the point $\lambda$ is given by
$$
c^{\prime}(\lambda)=\left(c_1^{\prime}(\lambda), \cdots, c_d^{\prime}(\lambda)\right)^\tau,
$$
where $c_j^{\prime}(\lambda)=d c_j(\lambda) / d \lambda$, and the “speed” of the curve is
$$
\left|c^{\prime}(\lambda)\right|=\left{\sum_{j=1}^d\left[c_j^{\prime}(\lambda)\right]^2\right}^{1 / 2} .
$$
Distance on a smooth curve $c$ is given by arc-length, which is measured from a fixed point $\lambda_0$ on that curve. Usually, the fixed point is taken to be the origin, $\lambda_0=0$, defined to be one of the two endpoints of the data. More generally, the arc-length $L(c)$ along the curve $c(\lambda)$ from point $\lambda_0$ to point $\lambda_1$ is defined as
$$
L(c)=\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\left|c^{\prime}(\lambda)\right| d \lambda
$$

流形学习代写

计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Riemannian Manifolds

在拓扑流形的整个理论中，没有提到微积分的使用。然而，在“流形”的典型应用中，微积分以“光滑”(或可微)流形$\mathcal{M}$的形式进入，也称为黎曼流形;在微分几何中，它通常被定义为一些环境(或周围)欧几里得空间的子流形，其中长度，曲率和角度的概念被保留，并且平滑与可微性有关。流形这个词(在德语中，Mannigfaltigkeit)是由Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866)在他1851年的博士论文中以一种“直观”的方式创造出来的，没有任何精确的定义。dieudonnnet, 2009);1854年，黎曼在他著名的《栖息地》演讲中介绍了拓扑流形的概念，人们可以在其上进行微分和积分计算。

如果$\mathcal{M}$对任意阶连续可微，则拓扑流形$\mathcal{M}$称为光滑(或可微)流形。所有光滑流形都是拓扑流形，但反过来不一定正确。(注:作者在“光滑”流形的精确定义上经常存在分歧。)

我们现在定义一个可微流形的同胚的类似物。考虑两个开集， $U \in \Re^r$ 和 $V \in \Re^s$，让 $g: U \rightarrow V$ 这就是 $\mathbf{x} \in U$ 和 $\mathbf{y} \in V, g(\mathbf{x})=$ y，如果函数 $g$ 一阶偏导数是有限的， $\partial y_j / \partial x_i$对所有人来说 $i=1,2, \ldots, r$等等 $j=1,2, \ldots, s$那么， $g$ 上的光滑(或可微)映射 $U$。我们也说 $g$ 是? $\mathcal{C}^1$-function on $U$ 如果所有一阶偏导数都是连续的。更一般地说，如果 $g$ 有连续的高阶偏导数， $\partial^{k_1+\cdots+k_r} y_j / \partial x_1^{k_1} \cdots \partial x_r^{k_r}$对所有人来说 $j=1,2, \ldots, s$ 所有的非负整数 $k_1, k_2, \ldots, k_r$ 这样 $k_1+k_2+\cdots+k_r \leq r$，那么我们说 $g$ 是? $\mathcal{C}^r$-function， $r=1,2, \ldots$ 如果 $g$ 是? $\mathcal{C}^r$-function for all $r \geq 1$，那么我们说 $g$ 是? $\mathcal{C}^{\infty}$-function。

如果$g$是从一个开集$U$到一个开集$V$的同胚，那么如果$g$和它的逆$g^{-1}$都是$\mathcal{C}^r$ -函数，我们就说它是一个$\mathcal{C}^r$ -微分同胚。一个$\mathcal{C}^{\infty}$ -微同态被简单地称为一个微同态。我们说$U$和$V$是微同构的，如果它们之间存在一个微同构。这些定义以一种直接的方式扩展到流形。例如，如果$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$都是光滑流形，那么如果$g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$是$\mathcal{X}$到$\mathcal{Y}$的同胚，并且$g$和$g^{-1}$都是光滑的，那么就是一个微分同态。此外，如果$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$之间存在微同态，则它们是微同态的，在这种情况下，$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$基本上是无法区分的。

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如果黎曼流形$(\mathcal{M}, g)$是连通的，则它是一个度量空间，其诱导拓扑与底层流形拓扑一致。因此，我们可以在$\mathcal{M}$上定义一个函数$d^{\mathcal{M}}$，该函数计算$\mathcal{M}$上点之间的距离并确定其结构。

设$\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathcal{M}$为黎曼流形$\mathcal{M}$上的任意两点。我们首先定义$\mathcal{M}$中连接$\mathbf{p}$和$\mathbf{q}$的(一维)曲线的长度，然后定义最短曲线的长度。

$\mathcal{M}$中的曲线被定义为从$\Re$中的开放区间$\Lambda$(可能有无限长)到$\mathcal{M}$的平滑映射。点$\lambda \in \Lambda$形成曲线的参数化。设$c(\lambda)=\left(c_1(\lambda), \cdots, c_d(\lambda)\right)^\tau$为$\Re^d$中的曲线，由$\lambda \in \Lambda \subseteq \Re$参数化。如果我们使$c(\lambda)$的坐标函数$\left{c_h(\lambda)\right}$尽可能光滑(通常是$\mathcal{C}^{\infty}$，具有任意数量的连续导数的函数)，那么我们说$c$是一条光滑曲线。如果$c(\lambda+\alpha)=c(\lambda)$对于所有的$\lambda, \lambda+\alpha \in \Lambda$，曲线$c$被认为是闭合的。速度(或切线)向量在点$\lambda$是由
$$
c^{\prime}(\lambda)=\left(c_1^{\prime}(\lambda), \cdots, c_d^{\prime}(\lambda)\right)^\tau,
$$
$c_j^{\prime}(\lambda)=d c_j(\lambda) / d \lambda$和曲线的“速度”在哪里
$$
\left|c^{\prime}(\lambda)\right|=\left{\sum_{j=1}^d\left[c_j^{\prime}(\lambda)\right]^2\right}^{1 / 2} .
$$
平滑曲线$c$上的距离由弧长给出，弧长从曲线上的固定点$\lambda_0$开始测量。通常，固定点作为原点$\lambda_0=0$，定义为数据的两个端点之一。更一般地说，沿曲线$c(\lambda)$从点$\lambda_0$到点$\lambda_1$的弧长$L(c)$定义为
$$
L(c)=\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\left|c^{\prime}(\lambda)\right| d \lambda

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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