分类：数学分析代写

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2023

Posted on 2023年8月3日2023年8月28日 by statistics-lab

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数学分析Mathematical Analysis应该为最好的正则函数(即在复变量/分析中处理的解析函数)和最差的正则函数(即在实际分析中处理的可测函数)之间的函数提供一种理论。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2023

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Infinitesimal and infinite functions

Definition 5.8 Let $f$ be a function defined in a neighbourhood of c, except possibly at $c$. Then $f$ is said infinitesimal (or an infinitesimal) at $c$ if
$$
\lim {x \rightarrow c} f(x)=0, $$ i.e., if $f=o(1)$ for $x \rightarrow c$. The function $f$ is said infinite at $c$ if $$ \lim {x \rightarrow c} f(x)=\infty
$$
Let us introduce the following terminology to compare two infinitesimal or infinite maps.
Definition 5.9 Let $f, g$ be two infinitesimals at $c$.
If $f \asymp g$ for $x \rightarrow c, f$ and $g$ are said infinitesimals of the same order.
If $f=o(g)$ for $x \rightarrow c, f$ is called infinitesimal of bigger order than $g$.
If $g=o(f)$ for $x \rightarrow c, f$ is called infinitesimal of smaller order than $g$.
If none of the above are satisfied, $f$ and $g$ are said non-comparable infinitesimals.

Definition 5.10 Let $f$ and $g$ be two infinite maps at $c$. If $f \asymp g$ for $x \rightarrow c, f$ and $g$ are said to be infinite of the same order. If $f=o(g)$ for $x \rightarrow c, f$ is called infinite of smaller order than $g$. If $g=o(f)$ for $x \rightarrow c, f$ is called infinite of bigger order than $g$. If none of the above are satisfied, the infinite functions $f$ and $g$ are said non-comparable.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Asymptotes

We now consider a function $f$ defined in a neighbourhood of $+\infty$ and wish to study its behaviour for $x \rightarrow+\infty$. A remarkable case is that in which $f$ behaves as a polynomial of first degree. Geometrically speaking, this corresponds to the fact that the graph of $f$ will more and more look like a straight line. Precisely, we suppose there exist two real numbers $m$ and $q$ such that
$$
\lim {x \rightarrow+\infty}(f(x)-(m x+q))=0, $$ or, using the symbols of Landau, $$ f(x)=m x+q+o(1), \quad x \rightarrow+\infty . $$ We then say that the line $g(x)=m x+q$ is a right asymptote of the function $f$. The asymptote is called oblique if $m \neq 0$, horizontal if $m=0$. In geometrical terms condition (5.13) tells that the vertical distance $d(x)=|f(x)-g(x)|$ between the graph of $f$ and the asymptote tends to 0 as $x \rightarrow+\infty$ (Fig. 5.1). The asymptote’s coefficients can be recovered using limits: $$ m=\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x} \quad \text { and } \quad q=\lim {x \rightarrow+\infty}(f(x)-m x) . $$ The first relation comes from (5.13) noting that $$ 0=\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)-m x-q}{x}=\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}-\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{m x}{x}-\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{q}{x}=\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}-m,
$$
while the second one follows directly from (5.13). The conditions (5.14) furnish the means to find the possible asymptote of a function $f$. If in fact both limits exist and are finite, $f$ admits $y=m x+q$ as a right asymptote. If only one of (5.14) is not finite instead, then $f$ will not have an asymptote.

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Infinitesimal and infinite functions

定义5.8设$f$是定义在c的邻域中的函数，可能在$c$处除外。那么$f$在$c$ if被称为无穷小(或无穷小)
$$
\lim {x \rightarrow c} f(x)=0, $$即，如果$f=o(1)$为$x \rightarrow c$。函数$f$在$c$ if $$ \lim {x \rightarrow c} f(x)=\infty
$$处是无限的
让我们引入以下术语来比较两个无穷小或无穷大映射。
定义5.9设$f, g$为$c$上的两个无穷小。
如果$f \asymp g$对于$x \rightarrow c, f$和$g$是相同数量级的无穷小。
如果$f=o(g)$对于$x \rightarrow c, f$来说是比$g$量级更大的无穷小。
如果$x \rightarrow c, f$的$g=o(f)$是小于$g$的无穷小数量级。
如果以上条件都不满足，则称$f$和$g$为不可比较的无穷小。

定义5.10设$f$和$g$是$c$上的两个无限映射。如果$f \asymp g$对于$x \rightarrow c, f$和$g$是相同数量级的无穷大。如果$f=o(g)$对于$x \rightarrow c, f$来说是无穷大，它的阶数小于$g$。如果$g=o(f)$对于$x \rightarrow c, f$是无限的，它的阶比$g$大。如果以上都不满足，则无限函数$f$和$g$是非可比的。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Asymptotes

现在我们考虑一个定义在$+\infty$邻域中的函数$f$，并希望研究它对$x \rightarrow+\infty$的行为。一个显著的例子是$f$表现为一次多项式。从几何上讲，这相当于$f$的图形将越来越像一条直线。确切地说，我们假设存在两个实数$m$和$q$，使得
$$
\lim {x \rightarrow+\infty}(f(x)-(m x+q))=0, $$或者，使用朗道符号，$$ f(x)=m x+q+o(1), \quad x \rightarrow+\infty . $$我们然后说，直线$g(x)=m x+q$是函数$f$的右渐近线。渐近线称为斜线$m \neq 0$，横线称为$m=0$。用几何术语来说，条件(5.13)告诉我们，$f$图形与渐近线之间的垂直距离$d(x)=|f(x)-g(x)|$趋近于0,$x \rightarrow+\infty$(图5.1)。渐近线的系数可以使用极限恢复:$$ m=\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x} \quad \text { and } \quad q=\lim {x \rightarrow+\infty}(f(x)-m x) . $$第一个关系来自(5.13)，注意$$ 0=\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)-m x-q}{x}=\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}-\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{m x}{x}-\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{q}{x}=\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}-m,
$$
而第二个直接从(5.13)推导出来。条件(5.14)提供了找到函数$f$的可能渐近线的方法。如果事实上两个极限都存在并且都是有限的，则$f$承认$y=m x+q$为右渐近线。如果(5.14)中只有一个不是有限的，那么$f$将没有渐近线。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2400

Posted on 2023年8月3日2023年8月28日 by statistics-lab

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Substitution theorem

The so-called Substitution theorem is important in itself for theoretical reasons, besides providing a very useful method to compute limits.
Theorem 4.15 Suppose a map $f$ admits limit
$$
\lim {x \rightarrow c} f(x)=\ell, $$ finite or not. Let $g$ be defined on a neighbourhood of $\ell$ (excluding possibly the point $\ell$ ) and such that i) if $\ell \in \mathbb{R}, g$ is continuous at $\ell$; ii) if $\ell=+\infty$ or $\ell=-\infty$, the limit $\lim {y \rightarrow \ell} g(y)$ exists, finite or not.
Then the composition $g \circ f$ admits limit for $x \rightarrow c$ and
$$
\lim {x \rightarrow c} g(f(x))=\lim {y \rightarrow \ell} g(y) .
$$
Proof. Set $m=\lim _{y \rightarrow \ell} g(y)$ (noting that under $i$ ), $m=g(\ell)$ ). Given any neighbourhood $I(m)$ of $m$, by $i$ ) or ii) there will be a neighbourhood $I(\ell)$ of $\ell$ such that
$$
\forall y \in \operatorname{dom} g, \quad y \in I(\ell) \quad \Rightarrow \quad g(y) \in I(m) .
$$
Note that in case $i$ ) we can use $I(\ell)$ instead of $I(\ell) \backslash{\ell}$ because $g$ is continuous at $\ell$ (recall (3.7)), while $\ell$ does not belong to $I(\ell)$ for case $i i$ ). With such $I(\ell)$, assumption (4.9) implies the existence of a neighbourhood $I(c)$ of $c$ with
$$
\forall x \in \operatorname{dom} f, \quad x \in I(c) \backslash{c} \quad \Rightarrow \quad f(x) \in I(\ell) .
$$

Since $x \in \operatorname{dom} g \circ f$ means $x \in \operatorname{dom} f$ plus $y=f(x) \in \operatorname{dom} g$, the previous two implications now give
$$
\forall x \in \operatorname{dom} g \circ f, \quad x \in I(c) \backslash{c} \quad \Rightarrow \quad g(f(x)) \in I(m) .
$$
But $I(m)$ was arbitrary, so
$$
\lim _{x \rightarrow e} g(f(x))=m .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|More fundamental limits. Indeterminate forms of exponential type

Consider the paramount limit (3.3). Instead of the sequence $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, we look now at the function of real variable
$$
h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x .
$$
It is defined when $1+\frac{1}{x}>0$, hence on $(-\infty,-1) \cup(0,+\infty)$. The following result states that $h$ and the sequence resemble each other closely when $x$ tends to infinity.
Property 4.20 The following limit holds
$$
\lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e} $$ Proof. $\leadsto$ The number e. By manipulating this formula we achieve a series of new fundamental limits. The substitution $y=\frac{x}{a}$, with $a \neq 0$, gives $$ \lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{a y}=\left[\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\right]^a=\mathrm{e}^a .
$$
In terms of the variable $y=\frac{1}{x}$ then,
$$
\lim {x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y=\mathrm{e} .
$$
The continuity of the logarithm together with (4.11) furnish
$$
\lim {x \rightarrow 0} \frac{\log _a(1+x)}{x}=\lim {x \rightarrow 0} \log a(1+x)^{1 / x}=\log _a \lim {x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=\log _a \mathrm{e}=\frac{1}{\log a}
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Substitution theorem

所谓的代换定理在理论上是很重要的，除了提供了一个非常有用的计算极限的方法。
定理4.15假设一个映射$f$允许极限
$$
\lim {x \rightarrow c} f(x)=\ell, $$有限与否。设$g$在$\ell$的邻域上定义(可能不包括$\ell$点)，并且满足i)如果$\ell \in \mathbb{R}, g$在$\ell$连续;Ii)如果$\ell=+\infty$或$\ell=-\infty$，则存在限制$\lim {y \rightarrow \ell} g(y)$，无论是否有限。
然后组成$g \circ f$为$x \rightarrow c$和容许极限
$$
\lim {x \rightarrow c} g(f(x))=\lim {y \rightarrow \ell} g(y) .
$$
证明。设置$m=\lim _{y \rightarrow \ell} g(y)$(注意在$i$下)，$m=g(\ell)$)。给定任意邻居$I(m)$的$m$，通过$i$)或ii)，将会有一个邻居$I(\ell)$的$\ell$，这样
$$
\forall y \in \operatorname{dom} g, \quad y \in I(\ell) \quad \Rightarrow \quad g(y) \in I(m) .
$$
请注意，对于情况$i$)，我们可以使用$I(\ell)$而不是$I(\ell) \backslash{\ell}$，因为$g$在$\ell$是连续的(回想一下(3.7))，而对于情况$i i$, $\ell$不属于$I(\ell)$。有了这样的$I(\ell)$，假设(4.9)意味着$c$的邻域$I(c)$的存在
$$
\forall x \in \operatorname{dom} f, \quad x \in I(c) \backslash{c} \quad \Rightarrow \quad f(x) \in I(\ell) .
$$

因为$x \in \operatorname{dom} g \circ f$的意思是$x \in \operatorname{dom} f$加$y=f(x) \in \operatorname{dom} g$，所以前面两个含义现在给出
$$
\forall x \in \operatorname{dom} g \circ f, \quad x \in I(c) \backslash{c} \quad \Rightarrow \quad g(f(x)) \in I(m) .
$$
但是$I(m)$是任意的，所以
$$
\lim _{x \rightarrow e} g(f(x))=m .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|More fundamental limits. Indeterminate forms of exponential type

考虑最高限制(3.3)。我们现在看的不是序列$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$，而是实变量函数
$$
h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x .
$$
它是在$1+\frac{1}{x}>0$上定义的，因此在$(-\infty,-1) \cup(0,+\infty)$上。下面的结果表明，当$x$趋于无穷时，$h$和序列非常相似。
属性4.20以下限制成立
$$
\lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e} $$证明。$\leadsto$数字e。通过操纵这个公式，我们获得了一系列新的基本极限。用$a \neq 0$替换$y=\frac{x}{a}$，得到$$ \lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{a y}=\left[\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\right]^a=\mathrm{e}^a .
$$
对于变量$y=\frac{1}{x}$，
$$
\lim {x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=\lim {y \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y=\mathrm{e} .
$$
对数的连续性与式(4.11)一起给出
$$
\lim {x \rightarrow 0} \frac{\log _a(1+x)}{x}=\lim {x \rightarrow 0} \log a(1+x)^{1 / x}=\log _a \lim {x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=\log _a \mathrm{e}=\frac{1}{\log a}
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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回归分析代写

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH212

Posted on 2023年8月3日2023年8月28日 by statistics-lab

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Neighbourhoods

The process of defining limits and continuity leads to consider real numbers which are ‘close’ to a certain real number. In equivalent geometrical jargon, one considers points on the real line ‘in the proximity’ of a given point. Let us begin by making mathematical sense of the notion of neighbourhood of a point.

Definition 3.1 Let $x_0 \in \mathbb{R}$ be a point on the real line, and $r>0$ a real number. We call neighbourhood of $x_0$ of radius $r$ the open and bounded interval
$$
I_r\left(x_0\right)=\left(x_0-r, x_0+r\right)=\left{x \in \mathbb{R}:\left|x-x_0\right|<r\right} .
$$
Hence, the neighbourhood of 2 of radius $10^{-1}$, denoted $I_{10^{-1}}(2)$, is the set of real numbers lying between 1.9 and 2.1, these excluded. By understanding the quantity $\left|x-x_0\right|$ as the Euclidean distance between the points $x_0$ and $x$, we can then say that $I_r\left(x_0\right)$ consists of the points on the real line whose distance from $x_0$ is less than $r$. If we interpret $\left|x-x_0\right|$ as the tolerance in the approximation of $x_0$ by $x$, then $I_r\left(x_0\right)$ becomes the set of real numbers approximating $x_0$ with a better margin of precision than $r$.

Varying $r$ in the set of positive real numbers, while mantaining $x_0$ in $\mathbb{R}$ fixed, we obtain a family of neighbourhoods of $x_0$. Each neighbourhood is a proper subset of any other in the family that has bigger radius, and in turn it contains all neighbourhoods of lesser radius.

Remark 3.2 The notion of neighbourhood of a point $x_0 \in \mathbb{R}$ is nothing but a particular case of the analogue for a point in the Cartesian product $\mathbb{R}^d$ (hence the plane if $d=2$, space if $d=3$ ), presented in Definition 8.11.

The upcoming definitions of limit and continuity, based on the idea of neighbourhood, can be stated directly for functions on $\mathbb{R}^d$, by considering functions of one real variable as subcases for $d=1$. We prefer to follow a more gradual approach, so we shall examine first the one-dimensional case. Sect. 8.5 will be devoted to explaining how all this generalises to several dimensions.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Limit of a sequence

Consider a real sequence $a: n \mapsto a_n$. We are interested in studying the behaviour of the values $a_n$ as $n$ increases, and we do so by looking first at a couple of examples.

Examples 3.4
i) Let $a_n=\frac{n}{n+1}$. The first terms of this sequence are presented in Table 3.1. We see that the values approach 1 as $n$ increases. More precisely, the real number 1 can be approximated as well as we like by $a_n$ for $n$ sufficiently large. This clause is to be understood in the following sense: however small we fix $\varepsilon>0$, from a certain point $n_{\varepsilon}$ onwards all values $a_n$ approximate 1 with a margin smaller that $\varepsilon$.
The condition $\left|a_n-1\right|<\varepsilon$, in fact, is tantamount to $\frac{1}{n+1}<\varepsilon$, i.e., $n+1>\frac{1}{\varepsilon}$; thus defining $n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$ and taking any natural number $n>n_{\varepsilon}$, we have $n+1>$ $\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1>\frac{1}{\varepsilon}$, hence $\left|a_n-1\right|<\varepsilon$. In other words, for every $\varepsilon>0$, there exists an $n_{\varepsilon}$ such that
$$
n>n_{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad\left|a_n-1\right|<\varepsilon . $$ Looking at the graph of the sequence (Fig.3.3), one can say that for all $n>n_{\varepsilon}$ the points $\left(n, a_n\right)$ of the graph lie between the horizontal lines $y=1-\varepsilon$ and $y=1+\varepsilon$.

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Neighbourhoods

定义极限和连续性的过程导致考虑与某个实数“接近”的实数。在等价的几何术语中，人们认为实线上的点与给定点“接近”。让我们从点的邻域概念的数学意义开始。

定义3.1设$x_0 \in \mathbb{R}$为实线上的一个点，$r>0$为实数。我们称半径$r$的$x_0$邻域为开有界区间
$$
I_r\left(x_0\right)=\left(x_0-r, x_0+r\right)=\left{x \in \mathbb{R}:\left|x-x_0\right|<r\right} .
$$
因此，半径为$10^{-1}$的2的邻域，记为$I_{10^{-1}}(2)$，是位于1.9和2.1之间的实数的集合，不包括这些实数。通过将数量$\left|x-x_0\right|$理解为点$x_0$和$x$之间的欧几里得距离，我们可以说$I_r\left(x_0\right)$由实线上到$x_0$的距离小于$r$的点组成。如果我们将$\left|x-x_0\right|$解释为$x$近似$x_0$的容差，那么$I_r\left(x_0\right)$就变成了一组实数，它近似于$x_0$，比$r$有更好的精度余量。

在正实数集合中改变$r$，在$\mathbb{R}$中保持$x_0$不变，我们得到了一个$x_0$的邻域族。每个社区都是家庭中半径较大的任何其他社区的固有子集，反过来，它包含所有半径较小的社区。

注3.2点$x_0 \in \mathbb{R}$的邻域概念只不过是笛卡尔积$\mathbb{R}^d$(因此平面为$d=2$，空间为$d=3$)中点的类比的一个特殊情况，如定义8.11所示。

下面的极限和连续性的定义，基于邻域的思想，可以通过考虑一个实变量的函数作为$d=1$的子情况来直接描述$\mathbb{R}^d$上的函数。我们倾向于采用一种更渐进的方法，因此我们将首先检查一维的情况。第8.5节将专门解释所有这些如何推广到几个维度。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Limit of a sequence

考虑一个真实的序列$a: n \mapsto a_n$。我们感兴趣的是研究$n$增加时$a_n$值的行为，我们首先看几个例子。

例3.4
i)让$a_n=\frac{n}{n+1}$。表3.1给出了这个序列的第一项。我们看到，随着$n$的增加，这些值趋于1。更准确地说，当$n$足够大时，实数1可以用$a_n$近似。该条款应在以下意义上理解:无论我们修复$\varepsilon>0$多么小，从某一点$n_{\varepsilon}$开始，所有值$a_n$都近似于1，边际小于$\varepsilon$。
条件$\left|a_n-1\right|<\varepsilon$，实际上等于$\frac{1}{n+1}<\varepsilon$，即$n+1>\frac{1}{\varepsilon}$;因此定义$n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$并取任意自然数$n>n_{\varepsilon}$，我们得到$n+1>$$\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1>\frac{1}{\varepsilon}$，因此得到$\left|a_n-1\right|<\varepsilon$。换句话说，对于每一个$\varepsilon>0$，都存在一个$n_{\varepsilon}$
$$
n>n_{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad\left|a_n-1\right|<\varepsilon . $$看一下序列图(图3.3)，我们可以说，对于所有$n>n_{\varepsilon}$，图中的点$\left(n, a_n\right)$位于水平线$y=1-\varepsilon$和$y=1+\varepsilon$之间。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH212

Posted on 2023年7月19日2023年7月19日 by statistics-lab

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Surjective and injective functions; inverse function

A map with values in $Y$ is called onto if $\operatorname{im} f=Y$. This means that each $y \in Y$ is the image of one element $x \in X$ at least. The term surjective (on $Y$ ) has the same meaning. For instance, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x+b$ with $a \neq 0$ is surjective on $\mathbb{R}$, or onto: the real number $y$ is the image of $x=\frac{y-b}{a}$. On the contrary, the function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2$ is not onto, because its range coincides with the interval $[0,+\infty)$.

A function $f$ is called one-to-one (or 1-1) if every $y \in \operatorname{im} f$ is the image of a unique element $x \in \operatorname{dom} f$. Otherwise put, if $y=f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ for some elements $x_1, x_2$ in the domain of $f$, then necessarily $x_1=x_2$. This, in turn, is equivalent to
$$
x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)
$$
for all $x_1, x_2 \in \operatorname{dom} f$ (see Fig. 2.6). Again, the term injective may be used. If a map $f$ is one-to-one, we can associate to each element $y$ in the range the unique $x$ in the domain with $f(x)=y$. Such correspondence determines a function defined on $Y$ and with values in $X$, called inverse function of $f$ and denoted by the symbol $f^{-1}$. Thus
$$
x=f^{-1}(y) \Longleftrightarrow y=f(x)
$$
(the notation mixes up deliberately the pre-image of $y$ under $f$ with the unique element this set contains). The inverse function $f^{-1}$ has the image of $f$ as its domain, and the domain of $f$ as range:
$$
\operatorname{dom} f^{-1}=\operatorname{im} f, \quad \operatorname{im} f^{-1}=\operatorname{dom} f .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Monotone functions

Let $f$ be a real map of one real variable, and $I$ the domain of $f$ or an interval contained in the domain. We would like to describe precisely the situation in which the dependent variable increases or decreases as the independent variable grows. Examples are the increase in the pressure of a gas inside a sealed container as we raise its temperature, or the decrease of the level of fuel in the tank as a car proceeds on a highway. We have the following definition.
Definition 2.6 The function $f$ is increasing on $I$ if, given elements $x_1, x_2$ in I with $x_1<x_2$, one has $f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$; in symbols
$$
\forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1<x_2 \quad \Rightarrow \quad f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right) .
$$
The function $f$ is strictly increasing on $I$ if
$$
\forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right) .
$$

If a map is strictly increasing then it is increasing as well, hence condition (2.8) is stronger than (2.7).

The definitions of decreasing and strictly decreasing functions on $I$ are obtained from the previous definitions by reverting the inequality between $f\left(x_1\right)$ and $f\left(x_2\right)$.

The function $f$ is (strictly) monotone on $I$ if it is either (strictly) increasing or (strictly) decreasing on $I$. An interval $I$ where $f$ is monotone is said interval of monotonicity of $f$.

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Surjective and injective functions; inverse function

值为$Y$的映射被调用到$\operatorname{im} f=Y$。这意味着每个$y \in Y$至少是一个元素$x \in X$的图像。术语满射(在$Y$上)具有相同的含义。例如，$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x+b$和$a \neq 0$是$\mathbb{R}$上的满射，或上的满射:实数$y$是$x=\frac{y-b}{a}$的映像。相反，函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2$不是映上的，因为它的范围与区间$[0,+\infty)$重合。

如果每个$y \in \operatorname{im} f$都是唯一元素$x \in \operatorname{dom} f$的图像，则函数$f$称为一对一(或1-1)。否则，如果$f$域中的某些元素$x_1, x_2$为$y=f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$，则必然为$x_1=x_2$。这个，反过来，等于
$$
x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)
$$
所有的$x_1, x_2 \in \operatorname{dom} f$(见图2.6)。同样，也可以使用术语injective。如果映射$f$是一对一的，我们可以将域中惟一的$x$与$f(x)=y$关联到范围内的每个元素$y$。这种对应关系决定了在$Y$上定义的函数，其值在$X$中，称为$f$的逆函数，用符号$f^{-1}$表示。因此
$$
x=f^{-1}(y) \Longleftrightarrow y=f(x)
$$
(该符号故意将$f$下的$y$的预图像与该集合包含的唯一元素混合在一起)。逆函数$f^{-1}$以$f$的图像为其定义域，$f$的定义域为值域:
$$
\operatorname{dom} f^{-1}=\operatorname{im} f, \quad \operatorname{im} f^{-1}=\operatorname{dom} f .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Monotone functions

设$f$为一个实变量的实映射，$I$为$f$的域或域中包含的区间。我们想精确地描述因变量随着自变量的增长而增加或减少的情况。例如，当我们提高密封容器的温度时，容器内气体的压力就会增加，或者当汽车在高速公路上行驶时，油箱内的燃油水平会降低。我们有下面的定义。
定义2.6函数$f$在$I$上递增，如果给定I中的元素$x_1, x_2$和$x_1<x_2$，一个有$f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$;在符号中
$$
\forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1<x_2 \quad \Rightarrow \quad f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right) .
$$
函数$f$在$I$ if上严格递增
$$
\forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right) .
$$

如果一个映射是严格递增的，那么它也在递增，因此条件(2.8)比(2.7)强。

通过还原$f\left(x_1\right)$和$f\left(x_2\right)$之间的不等式，得到了$I$上的递减函数和严格递减函数的定义。

如果函数$f$在$I$上(严格)递增或(严格)递减，那么它在$I$上(严格)是单调的。当区间$I$中$f$为单调时，称其为$f$的单调性区间。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MA50400

Posted on 2023年7月19日2023年8月24日 by statistics-lab

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Completeness of R

The property of completeness of $\mathbb{R}$ may be formalised in several equivalent ways. The reader should have already come across (Dedekind’s) separability axiom: decomposing $\mathbb{R}$ into the union of two disjoint subsets $C_1$ and $C_2$ (the pair $\left(C_1, C_2\right)$ is called a cut) so that each element of $C_1$ is smaller or equal than every element in $C_2$, there exists a (unique) separating element $s \in \mathbb{R}$ :
$$
x_1 \leq s \leq x_2, \quad \forall x_1 \in C_1, \forall x_2 \in C_2 .
$$
An alternative formulation of completeness involves the notion of supremum of a set: every bounded set from above admits a supremum in $\mathbb{R}$, i.e., there is a real number smaller or equal than all upper bounds of the set.

With the help of this property one can prove, for example, the existence in $\mathbb{R}$ of the square root of 2 , hence of a number $p(>0)$ such that $p^2=2$. Going back to Example 1.5 iv), the completeness of the reals ensures that the bounded set $B=\left{x \in \mathbb{Q} \mid x^2<2\right}$ has a supremum, say $p$. Using the properties of $\mathbb{R}$ it is possible to show that $p^2<2$ cannot occur, otherwise $p$ would not be an upper bound for $B$, and neither $p^2>2$ holds, for $p$ would not be the least of all upper bounds. Thus necessarily $p^2=2$. Note that $B$, albeit contained in $\mathbb{Q}$, is not allowed to have a rational upper bound, because $p^2=2$ prevents $p$ from being rational (Property 1.1).

This example explains why the completeness of $\mathbb{R}$ lies at the core of the possibility to solve in $\mathbb{R}$ many remarkable equations. We are thinking in particular about the family of algebraic equations
$$
x^n=a,
$$
where $n \in \mathbb{N}_{+}$and $a \in \mathbb{R}$, for which it is worth recalling the following known fact.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Factorials and binomial coefficients

We introduce now some noteworthy integers that play a role in many areas of Mathematics.

Given a natural number $n \geq 1$, the product of all natural numbers between 1 and $n$ goes under the name of factorial of $n$ and is indicated by $n$ ! (read ‘ $n$ factorial’). Out of conveniency one sets $0 !=1$. Thus
$$
0 !=1, \quad 1 !=1, \quad n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n=(n-1) ! n \quad \text { for } n \geq 2
$$
Factorials grow extremely rapidly as $n$ increases; for instance $5 !=120,10 !=$ 3628800 and $100 !>10^{157}$.
Example 1.9
Suppose we have $n \geq 2$ balls of different colours in a box. In how many ways can we extract the balls from the box?

When taking the first ball we are making a choice among the $n$ balls in the box; the second ball will be chosen among the $n-1$ balls left, the third one among $n-2$ and so on. Altogether we have $n(n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1=n$ ! different ways to extract the balls: $n$ ! represents the number of arrangements of $n$ distinct objects in a sequence, called permutations of $n$ ordered objects.
If we stop after $k$ extractions, $00$ choices there are then $n^k$ possible sequences of colours: $n^k$ is the number of permutations of $n$ objects in sequences of $k$, with repetitions (i.e., allowing an object to be chosen more than once).

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Completeness of R

$\mathbb{R}$的完备性可以用几种等价的方式形式化。读者应该已经遇到了(Dedekind的)可分离性公理:将$\mathbb{R}$分解为两个不相交的子集$C_1$和$C_2$的并集(对$\left(C_1, C_2\right)$称为切割)，因此$C_1$的每个元素都小于或等于$C_2$中的每个元素，存在一个(唯一的)分离元素$s \in \mathbb{R}$:
$$
x_1 \leq s \leq x_2, \quad \forall x_1 \in C_1, \forall x_2 \in C_2 .
$$
完备性的另一种表述涉及到集合的上界的概念:上面的每一个有界集合在$\mathbb{R}$中都有上界，即存在一个小于或等于集合所有上界的实数。

借助于这个性质，我们可以证明，例如，在$\mathbb{R}$中存在根号2，因此，一个数$p(>0)$使得$p^2=2$。回到例1.5 iv)，实数的完备性确保有界集合$B=\left{x \in \mathbb{Q} \mid x^2<2\right}$有一个上限值，例如$p$。使用$\mathbb{R}$的属性可以证明$p^2<2$不可能出现，否则$p$就不是$B$的上界，$p^2>2$也不成立，因为$p$不是所有上界中最小的。因此必须$p^2=2$。请注意，$B$虽然包含在$\mathbb{Q}$中，但不允许有理性上界，因为$p^2=2$会阻止$p$成为理性上界(属性1.1)。

这个例子解释了为什么$\mathbb{R}$的完备性是求解$\mathbb{R}$中许多显著方程的可能性的核心。我们现在特别考虑的是代数方程族
$$
x^n=a,
$$
其中$n \in \mathbb{N}_{+}$和$a \in \mathbb{R}$，值得回顾以下已知事实。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Factorials and binomial coefficients

现在我们介绍一些值得注意的整数，它们在数学的许多领域中发挥着作用。

给定一个自然数$n \geq 1$, 1到$n$之间所有自然数的乘积以$n$的阶乘的名称命名，并用$n$表示!(阅读’ $n$ factorial’)。出于方便，人们设置$0 !=1$。因此
$$
0 !=1, \quad 1 !=1, \quad n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n=(n-1) ! n \quad \text { for } n \geq 2
$$
阶乘随着$n$的增加而迅速增长;例如$5 !=120,10 !=$ 3628800和$100 !>10^{157}$。
例1.9
假设我们在一个盒子里有$n \geq 2$不同颜色的球。我们有多少种方法把球从盒子里取出来?

当拿第一个球时，我们在盒子里的$n$球中做出选择;第二个球将从剩下的$n-1$球中选出，第三个球将从$n-2$中选出，以此类推。我们总共有$n(n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1=n$ !提取球的不同方法:$n$ !表示在一个序列中$n$不同对象的排列数量，称为$n$有序对象的排列。
如果我们在$k$提取之后停止，那么$00$选择就会有$n^k$种可能的颜色序列:$n^k$是$n$对象在$k$序列中排列的次数，带有重复(即允许一个对象被选择多次)。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2050A

Posted on 2023年7月19日2023年8月24日 by statistics-lab

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|A Glimpse of Fourier Analysis

This section has a number of axes. We extend the discussion of Fourier series of $2 \pi$-periodic functions we started in section 4.10 . We also study Fourier series of functions in $\mathbb{Q}^p(-\pi, \pi)$. Then we take a brief tour through the Fourier transform. Finally we take a last look at the orthogonal polynomials we encountered in section 4.10.
Fourier Series of $2 \pi$-Periodic Functions
In section 4.10 , we looked at the sequence of partial sums $S_n f$ of a $2 \pi$-periodic function $f$. The first tool we develop is an integral formula for $S_n f$. Using the notation of section 4.10 ,
$$
\begin{aligned}
S_n f(x) & =\sum_{j=-n}^n \tilde{f}(j) e^{i j x}=\sum_{j=-n}^n \frac{1}{2 \pi} e^{i j x} \int_{-\pi}^\pi e^{-i j t} f(t) d t \
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi\left(\sum_{j=-n}^n e^{i j(x-t)}\right) f(t) d t .
\end{aligned}
$$
We define the Dirichlet kernel to be the sequence of functions
$$
D_n(x)=\sum_{j=-n}^n e^{i j x}
$$
Then the above calculation yields
$$
S_n f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) D_n(x-t) d t=\frac{1}{2 \pi}\left(f * D_n\right)(x) .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Fourier Series of $\boldsymbol{Q}^p$-Functions

Consider the Banach space $\boldsymbol{Q}^p(-\pi, \pi)$ with the norm
$$
|f|_p=\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi|f(x)|^p d x\right)^{1 / p}, 1 \leq p<\infty .
$$
We are primarily interested in the cases $p=1$ and $p=2$, but a good number of the results in this subsection are valid for any $p \in[1, \infty)$. One can see directly that the Fourier coefficients $\hat{f}(n)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) e^{-i n t} d t$ of a function $f$ in $\mathbb{Q}^p(-\pi, \pi)$ are defined. This is because, for $p \geq 1, \mathfrak{Q}^p(-\pi, \pi) \subseteq \mathfrak{Q}^1(-\pi, \pi)$; hence
$$
\hat{f}(n)\left|\leq \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi\right| f(t) \mid d t=|f|_1<\infty .
$$
It is convenient to refer to the set of Fourier coefficients $(\hat{f}(n))_{n \in \mathbb{Z}}$ of a function $f \in \mathfrak{Q}^p(-\pi, \pi)$ by the notation $\mathfrak{F}(f)$. We think of $\mathfrak{F}$ as a linear transformation from $\boldsymbol{\Omega}^p(-\pi, \pi)$ to some suitable range space. For example, when $p=2$, the range space of $\mathfrak{F}$ is $l^2(\mathbb{Z})$. We will show in example 2 below that, for all $p \geq 1$,and all $f \in \mathbb{Q}^p(-\pi, \pi), \mathfrak{F}(f) \in c_0(\mathbb{Z})$. The norm on $c_0(\mathbb{Z})$ is the $\infty$-norm. Thus $|\mathfrak{\mho}(f)|_{\infty}=\sup {\hat{f f}(n) \mid: n \in \mathbb{Z}}$.
The following theorem is a special case of example 3 in section 8.7.
Theorem 8.9.3. Trigonometric polynomials are dense in $\mathfrak{\Omega}^2(-\pi, \pi)$.

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|A Glimpse of Fourier Analysis

这个部分有许多轴。我们扩展在4.10节开始的$2 \pi$ -周期函数的傅里叶级数的讨论。我们还研究了$\mathbb{Q}^p(-\pi, \pi)$中函数的傅里叶级数。然后我们简单介绍一下傅里叶变换。最后，我们最后看一下4.10节中遇到的正交多项式。
$2 \pi$的傅里叶级数-周期函数
在4.10节中，我们研究了一个$2 \pi$ -周期函数$f$的部分和序列$S_n f$。我们开发的第一个工具是$S_n f$的积分公式。使用第4.10节的符号，
$$
\begin{aligned}
S_n f(x) & =\sum_{j=-n}^n \tilde{f}(j) e^{i j x}=\sum_{j=-n}^n \frac{1}{2 \pi} e^{i j x} \int_{-\pi}^\pi e^{-i j t} f(t) d t \
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi\left(\sum_{j=-n}^n e^{i j(x-t)}\right) f(t) d t .
\end{aligned}
$$
我们将狄利克雷核定义为函数序列
$$
D_n(x)=\sum_{j=-n}^n e^{i j x}
$$
然后得到上述计算结果
$$
S_n f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) D_n(x-t) d t=\frac{1}{2 \pi}\left(f * D_n\right)(x) .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Fourier Series of $\boldsymbol{Q}^p$-Functions

考虑带规范的Banach空间$\boldsymbol{Q}^p(-\pi, \pi)$
$$
|f|p=\left(\frac{1}{2 \pi} \int{-\pi}^\pi|f(x)|^p d x\right)^{1 / p}, 1 \leq p<\infty .
$$
我们主要对案例$p=1$和$p=2$感兴趣，但是本小节中的许多结果对任何$p \in[1, \infty)$都有效。我们可以直接看到$\mathbb{Q}^p(-\pi, \pi)$中函数$f$的傅里叶系数$\hat{f}(n)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) e^{-i n t} d t$是有定义的。这是因为，对于$p \geq 1, \mathfrak{Q}^p(-\pi, \pi) \subseteq \mathfrak{Q}^1(-\pi, \pi)$;因此
$$
\hat{f}(n)\left|\leq \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi\right| f(t) \mid d t=|f|1<\infty . $$ 用$\mathfrak{F}(f)$表示函数$f \in \mathfrak{Q}^p(-\pi, \pi)$的傅里叶系数集$(\hat{f}(n)){n \in \mathbb{Z}}$是很方便的。我们把$\mathfrak{F}$看作是从$\boldsymbol{\Omega}^p(-\pi, \pi)$到某个合适的值域空间的线性变换。例如:输入$p=2$时，“$\mathfrak{F}$”的范围空间为“$l^2(\mathbb{Z})$”。我们将在下面的示例2中显示，对于所有$p \geq 1$和所有$f \in \mathbb{Q}^p(-\pi, \pi), \mathfrak{F}(f) \in c_0(\mathbb{Z})$。$c_0(\mathbb{Z})$上的规范是$\infty$ -规范。因此$|\mathfrak{\mho}(f)|_{\infty}=\sup {\hat{f f}(n) \mid: n \in \mathbb{Z}}$。
下面的定理是8.7节中例3的一个特例。
定理8.9.3。三角多项式在$\mathfrak{\Omega}^2(-\pi, \pi)$中是密集的。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Riemann Integral

Posted on 2023年7月4日2023年7月4日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写数学分析Mathematical Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数学分析Mathematical Analysis分析学是处理极限和相关理论的数学分支，如微分、积分、度量、序列、数列和分析函数。

数学分析Mathematical Analysis 这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Riemann Integral

In this section, we treat the definition and the fundamental properties of the Riemann integral of a bounded function on a compact box. The main reason for the inclusion of this section is that our definition of Lebesgue measure is, loosely stated, based on the notion that the Riemann integral of a continuous function $f$ on a compact box measures the volume of the region below the graph of $f$. The presentation in this section is standard and reflects almost exactly the standard approach to the Riemann integral on a compact interval found in undergraduate real analysis textbooks.

Let $I=[a, b]$ be a compact interval. A grid in $I$ is a sequence of points $x_0=a<$ $x_1<x_2<\ldots<x_k=b$.

Each grid in $I$ defines a partition of $I$ into a finite set of closed intervals $\mathcal{P}=\left{\left[x_0, x_1\right],\left[x_1, x_2\right], \ldots,\left[x_{k-1}, x_k\right]\right}$. We make no distinction between a grid in $I$ and the partition it generates. We also denote a partition of $I$ by the sequence that defines it, $\left{x_0, \ldots, x_k\right}$. We say that a partition $\mathcal{P}^{\prime}=\left{y_0, \ldots, y_m\right}$ is a refinement of a partition $\mathcal{P}=\left{x_0, \ldots, x_k\right}$ if $\left{x_0, \ldots, x_k\right} \subseteq\left{y_0, \ldots, y_m\right}$. This simply means that $\mathcal{P}^{\prime}$ is obtained from $\mathcal{P}$ by inserting additional grid points between some (or all) consecutive points $x_i$ and $x_{i+1}$. Note that if $\mathcal{P}^{\prime}$ is a refinement of $\mathcal{P}$, then every interval in $\mathcal{P}$ is the union of intervals in $\mathcal{P}^{\prime}$. If $\mathcal{P}$ and $\mathcal{P}^{\prime}$ are partitions of $[a, b]$, then $\mathcal{P}$ and $\mathcal{P}^{\prime}$ have a common refinement, namely, the partition generated by the $\operatorname{grid}\left{x_0, \ldots, x_k\right} \cup\left{y_0, \ldots, y_m\right}$.

Let $I_1, \ldots, I_n$ be compact intervals. The closed box in $\mathbb{R}^n$ determined by $I_1, \ldots, I_n$ is $Q=I_1 \times \ldots \times I_n$. Thus if $I_i=\left[a_i, b_i\right]$, then $Q=\left{x=\left(x_1, \ldots, x_n\right): a_i \leq x_i \leq b_i\right}$. By definition, the volume of the box $Q$ is $\operatorname{vol}(Q)=\prod_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right)$. It is easy to show that $\operatorname{diam}(Q)=\left(\sum_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right)^2\right)^{1 / 2}$. Now if, for each $1 \leq i \leq n, \mathcal{P}_i$ is a partition of $I_i$, then the corresponding partition of $Q$ is $\Delta=\mathcal{P}_1 \times \ldots \times \mathcal{P}_n$. We often use the notation $\sigma$ to denote a typical sub-box in $\Delta$. Thus we use the following notation to denote the partition of $Q$ generated by $\mathcal{P}_1, \ldots, \mathcal{P}_n$ :
$$
\Delta=\left{\sigma=J_1 \times J_2 \times \ldots \times J_n: J_i \in \mathcal{P}\right}
$$
By a refinement $\Delta^{\prime}$ of $\Delta$, we mean a sequence of refinements $\mathcal{P}_1^{\prime}, \ldots, \mathcal{P}_n^{\prime}$ of $\mathcal{P}_1, \ldots, \mathcal{P}_n$, respectively, and
$$
\Delta^{\prime}=\left{\sigma^{\prime}=J_1^{\prime} \times \ldots \times J_n^{\prime}: J_i^{\prime} \in \mathcal{P}_i^{\prime}\right}
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Measure Spaces

Let us consider the problem of measuring the volume of objects (sets) in $\mathbb{R}^3$. Strictly speaking, volume is a function that assigns a nonnegative number to a subset of $\mathbb{R}^3$. A natural question is whether it is possible to measure the volume of an arbitrary subset of $\mathbb{R}^3$. For the most natural measure on $\mathbb{R}^3$, namely, the Lebesgue measure, the answer to the question is no. In other words, there are subsets of $\mathbb{R}^3$ to which a volume cannot be assigned. The question then becomes that of finding a large enough collection of $\mathbb{R}^3$ for which a volume can be assigned. Such sets are called measurable. It is clearly desirable for the finite union of measurable sets to be measurable. It was a paradigm shift when it was realized that a successful formulation of a measure theory necessitates that we allow the countable union of measurable sets to be measurable, and this leads to the definition of a $\sigma$-algebra. The definition of a measure as a set function on a $\sigma$-algebra is quite intuitive. This section develops the basics of abstract measure theory and measurable functions. The picture continues to evolve and culminates in section 8.4 with the construction of the Lebesgue measure.

For the remainder of this chapter, we use the notation $E^{\prime}$ for the complement $X-E$ of a subset $E$ of a set $X$.

Definitions. A collection $\mathfrak{M}$ of subsets of a nonempty set $X$ is said to be an algebra of sets in $X$ if the following two conditions are met:
(a) if $E \in \mathfrak{M}$, then $E^{\prime} \in \mathfrak{M}$; and
(b) if $E_1, E_2 \in \mathfrak{M}$, then $E_1 \cup E_2 \in \mathfrak{M}$.
An algebra $\mathfrak{M}$ is called a $\sigma$-algebra if it satisfies the additional condition
(c) if $\left(E_n\right)$ is a sequence in $\mathfrak{M}$, then $\cup_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathfrak{M}$.

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Riemann Integral

在本节中，我们讨论紧盒上有界函数的黎曼积分的定义和基本性质。包含本节的主要原因是，我们对勒贝格测度的定义是，松散地表述，基于紧盒上连续函数$f$的黎曼积分测量$f$图下方区域的体积的概念。本节的介绍是标准的，几乎完全反映了在本科实分析教科书中发现的紧区间上的黎曼积分的标准方法。

设$I=[a, b]$为紧化区间。$I$中的网格是一个点序列$x_0=a<$$x_1<x_2<\ldots<x_k=b$。

$I$中的每个网格将$I$的一个分区定义为一个封闭区间$\mathcal{P}=\left{\left[x_0, x_1\right],\left[x_1, x_2\right], \ldots,\left[x_{k-1}, x_k\right]\right}$的有限集合。我们不区分$I$中的网格和它生成的分区。我们还用定义$I$的序列$\left{x_0, \ldots, x_k\right}$来表示它的分区。我们说分区$\mathcal{P}^{\prime}=\left{y_0, \ldots, y_m\right}$是分区$\mathcal{P}=\left{x_0, \ldots, x_k\right}$ if $\left{x_0, \ldots, x_k\right} \subseteq\left{y_0, \ldots, y_m\right}$的细化。这仅仅意味着$\mathcal{P}^{\prime}$是通过在一些(或所有)连续点$x_i$和$x_{i+1}$之间插入额外的网格点从$\mathcal{P}$获得的。注意，如果$\mathcal{P}^{\prime}$是$\mathcal{P}$的细化，那么$\mathcal{P}$中的每个间隔都是$\mathcal{P}^{\prime}$中间隔的并集。如果$\mathcal{P}$和$\mathcal{P}^{\prime}$是$[a, b]$的分区，那么$\mathcal{P}$和$\mathcal{P}^{\prime}$有一个共同的细化，即由$\operatorname{grid}\left{x_0, \ldots, x_k\right} \cup\left{y_0, \ldots, y_m\right}$生成的分区。

设$I_1, \ldots, I_n$为紧间隔。$I_1, \ldots, I_n$确定的$\mathbb{R}^n$中的封闭框为$Q=I_1 \times \ldots \times I_n$。因此，如果$I_i=\left[a_i, b_i\right]$，那么$Q=\left{x=\left(x_1, \ldots, x_n\right): a_i \leq x_i \leq b_i\right}$。根据定义，盒子$Q$的体积为$\operatorname{vol}(Q)=\prod_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right)$。很容易证明$\operatorname{diam}(Q)=\left(\sum_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right)^2\right)^{1 / 2}$。现在，如果每个$1 \leq i \leq n, \mathcal{P}_i$都是$I_i$的一个分区，那么$Q$的对应分区就是$\Delta=\mathcal{P}_1 \times \ldots \times \mathcal{P}_n$。我们经常使用$\sigma$符号来表示$\Delta$中的典型子框。因此，我们使用以下符号来表示$\mathcal{P}_1, \ldots, \mathcal{P}_n$生成的$Q$分区:
$$
\Delta=\left{\sigma=J_1 \times J_2 \times \ldots \times J_n: J_i \in \mathcal{P}\right}
$$
对于$\Delta$的细化$\Delta^{\prime}$，我们指的是分别为$\mathcal{P}_1, \ldots, \mathcal{P}_n$和的一系列细化$\mathcal{P}_1^{\prime}, \ldots, \mathcal{P}_n^{\prime}$
$$
\Delta^{\prime}=\left{\sigma^{\prime}=J_1^{\prime} \times \ldots \times J_n^{\prime}: J_i^{\prime} \in \mathcal{P}_i^{\prime}\right}
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Measure Spaces

让我们考虑在$\mathbb{R}^3$中测量物体(集合)体积的问题。严格地说，volume是一个函数，它将一个非负数分配给$\mathbb{R}^3$的子集。一个自然的问题是，是否有可能测量$\mathbb{R}^3$的任意子集的体积。对于$\mathbb{R}^3$上最自然的衡量标准，即勒贝格衡量标准，这个问题的答案是否定的。换句话说，存在不能分配卷的$\mathbb{R}^3$子集。接下来的问题是找到一个足够大的$\mathbb{R}^3$集合，以便为其分配卷。这样的集合被称为可测量的。显然，可测集合的有限并是可测的。这是一个范式的转变，当人们意识到一个成功的度量理论的表述必须允许可测集合的可数并是可测的，这导致了$\sigma$ -代数的定义。测度作为$\sigma$ -代数上的集合函数的定义是非常直观的。本节发展抽象测量理论和可测量函数的基础知识。这幅图继续发展，并在第8.4节以勒贝格测度的构建达到高潮。

在本章的剩余部分，我们使用$E^{\prime}$表示集合$X$的子集$E$的补$X-E$。

定义。如果满足以下两个条件，则非空集合$X$的子集的集合$\mathfrak{M}$是$X$中集合的代数:
(a)如果$E \in \mathfrak{M}$，则$E^{\prime} \in \mathfrak{M}$;和
(b)如果$E_1, E_2 \in \mathfrak{M}$，则$E_1 \cup E_2 \in \mathfrak{M}$。
这叫代数$\mathfrak{M}$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Spectrum of an Operator

Posted on 2023年7月4日2023年7月4日 by statistics-lab

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Spectrum of an Operator

The spectrum of a square matrix $A$ is simply its set of eigenvalues, and the eigenvalues of $A$ are easy to characterize. They are exactly the complex numbers $\lambda$ for which the matrix $A-\lambda I$ is not invertible. We recall the simple fact that $A-\lambda I$ is not invertible if and only if the linear operator $T$ it generates on $\mathbb{K}^n$ is not oneto-one, and this is the case if and only if $T$ in not onto.

The definition of the spectrum of an operator $T$ on an infinite-dimensional space is exactly the same as it is for a matrix. The stark distinction here is that not every point in the spectrum of an operator on an infinite-dimensional space is an eigenvalue. This is because such an operator may be one-to-one but not onto or conversely. See example 1. Thus the spectrum consists of two main parts: the complex numbers $\lambda$ for which $T-\lambda I$ is not one-to-one (the eigenvalues) and those for which $T-\lambda I$ is one to one but not onto. The spectrum of an operator $T$ often carries valuable information about $T$, and, in some cases, the eigenvalues of an operator and the corresponding eigenvectors completely define the operator.
Definition. A Banach algebra is a Banach space $X$ that is also an algebra with a multiplicative identity $I$ such that the norm satisfies the following additional assumptions:
(a) $|I|=1$, and
(b) $|S T| \leq|S| T |$ for all $S$ and $T$ in $X$.

We know that the set $\mathcal{L}(X)$ of bounded linear operators on a Banach space $X$ is a Banach space. In fact, $\mathcal{L}(X)$ is a Banach algebra with the composition of operators as the multiplication operation. The composition of two operators $S$ and $T$ is usually denoted by $S T$ rather than SoT. Property (a) is obvious, and property (b) follows from the inequalities $|(S T)(x)|=|S(T(x))| \leq|S||T(x)| \leq|S||T||x|$.
For the convenience of the reader, we list below the properties that make $\mathcal{L}(X)$ a Banach algebra: for operators $T, S, U \in \mathcal{L}(X)$ and all $a, b \in \mathbb{K}$,
(a) $(S T) U=S(T U)$
(b) $(a b) T=a(b T)$,
(c) $(T+S) U=T U+S U$ and $U(T+S)=U T+U S$,
(d) $|I|=1$, and
(e) $|S T| \leq|S||T|$.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Adjoint Operators and Quotient Spaces

In section 3.7, we defined the adjoint of an operator on a finite-dimensional inner product space, and, in chapter 7 , we will study adjoints of operators on a Hilbert space. The definition of the adjoints on Banach spaces $X$ is more complicated. In fact, the adjoint of a bounded operator on a Banach space $X$ is a bounded operator on the dual space $X^$. Among other results, we prove that an operator $T$ and its adjoint, $T^$ have the same norm, the same spectrum, and the same spectral radius. We also study annihilators and quotient spaces. Little subsequent material rests on this section, and it is possible to study the remainder of the book independently of this section.

Notation. The duality bracket: Let $X$ be a Banach space. For $x \in X$ and $\lambda \in X^*$, we write $\langle x, \lambda\rangle$ for $\lambda(x)$. This is a notational convenience that also facilitates certain computations. In addition, the notation equalizes the roles of $X$ and $X^$. We already saw that $X$ acts on $X^$ in much the same way $X^*$ acts on $X$. See, for example, the construction leading up to theorem 6.4.8. Observe that $|\langle x, \lambda\rangle| \leq|x||\lambda|$, reminiscent of the Cauchy-Schwarz inequality. We revert to the traditional notation $\lambda(x)$ when convenient.

Theorem 6.6.1. Let $X$ be a Banach space, let $x \in X, \lambda \in X^$, and let $T \in \mathcal{L}(X)$. Then (a) $|\lambda|=\sup {|\langle x, \lambda\rangle|: x \in X,|x| \leq 1}$ (b) $|x|=|\hat{x}|=\sup \left{|\langle x, \lambda\rangle|: \lambda \in X^,|\lambda| \leq 1\right}$, and
(c) $|T|=\sup \left{|\langle T x, \lambda\rangle|: x \in X, \lambda \in X^*,|x| \leq 1,|\lambda| \leq 1\right}$.
Proof. (a) and (b) are previously established facts in new notation. To prove (c),
$$
\begin{aligned}
|T| & =\sup {|T x|:|x| \leq 1}=\sup {|x| \leq 1} \sup {|\lambda| \leq 1}|\langle T x, \lambda\rangle| \
& =\sup {|\langle T x, \lambda\rangle|:|x| \leq 1,|\lambda| \leq 1} .
\end{aligned}
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Spectrum of an Operator

一个方阵$A$的谱就是它的特征值的集合，并且$A$的特征值很容易表征。它们就是矩阵$A-\lambda I$不可逆的复数$\lambda$。我们回想一下这个简单的事实，$A-\lambda I$不可逆当且仅当它在$\mathbb{K}^n$上生成的线性算子$T$不是一对一的，当且仅当$T$不是映上的。

无穷维空间上算子$T$的谱的定义与矩阵的定义完全相同。这里明显的区别是，并不是无限维空间上算子谱中的每个点都是特征值。这是因为这样的操作符可能是一对一的，但不是映上的或相反的。参见例1。因此，频谱由两个主要部分组成:复数$\lambda$，其中$T-\lambda I$不是一对一的(特征值)，$T-\lambda I$是一对一的，但不是映上的。算子$T$的谱通常携带有关$T$的有价值的信息，并且，在某些情况下，算子的特征值和相应的特征向量完全定义了算子。
定义。一个巴拿赫代数是一个巴拿赫空间$X$，它也是一个具有乘法单位$I$的代数，使得范数满足以下附加假设:
(a) $|I|=1$，以及
(b) $X$中所有的$S$和$T$均为$|S T| \leq|S| T |$。

我们知道在巴拿赫空间$X$上有界线性算子的集合$\mathcal{L}(X)$是一个巴拿赫空间。事实上，$\mathcal{L}(X)$是一个以组合运算符作为乘法运算符的巴拿赫代数。两个运算符$S$和$T$的组合通常用$S T$而不是SoT表示。性质(a)是显而易见的，性质(b)由不等式$|(S T)(x)|=|S(T(x))| \leq|S||T(x)| \leq|S||T||x|$推导出来。
为了方便读者，我们在下面列出了使$\mathcal{L}(X)$成为巴拿赫代数的属性:对于运算符$T, S, U \in \mathcal{L}(X)$和所有$a, b \in \mathbb{K}$，
(a) $(S T) U=S(T U)$
(b) $(a b) T=a(b T)$;
(c) $(T+S) U=T U+S U$和$U(T+S)=U T+U S$;
(d) $|I|=1$
(e) $|S T| \leq|S||T|$。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Adjoint Operators and Quotient Spaces

在第3.7节中，我们定义了有限维内积空间上算子的伴随，在第7章中，我们将研究希尔伯特空间上算子的伴随。Banach空间$X$上伴随的定义更为复杂。事实上，Banach空间$X$上的有界算子的伴随是对偶空间$X^$上的有界算子。在其他结果中，我们证明了算子$T$和它的伴随算子$T^$具有相同的范数、相同的谱和相同的谱半径。我们还研究了湮灭子和商空间。这一节的后续材料很少，并且可以独立于这一节研究本书的其余部分。

符号。对偶括号:设$X$为巴拿赫空间。对于$x \in X$和$\lambda \in X^$，我们将$\lambda(x)$写成$\langle x, \lambda\rangle$。这是一种符号上的便利，也方便了某些计算。此外，该符号使$X$和$X^$的角色相等。我们已经看到$X$作用于$X^$的方式与$X^$作用于$X$的方式大致相同。例如，可以看到通向定理6.4.8的构造。观察$|\langle x, \lambda\rangle| \leq|x||\lambda|$，让人想起柯西-施瓦茨不等式。我们在方便的时候恢复到传统的符号$\lambda(x)$。

定理6.6.1。设$X$是巴拿赫空间，设$x \in X, \lambda \in X^$，设$T \in \mathcal{L}(X)$。然后(a) $|\lambda|=\sup {|\langle x, \lambda\rangle|: x \in X,|x| \leq 1}$ (b) $|x|=|\hat{x}|=\sup \left{|\langle x, \lambda\rangle|: \lambda \in X^,|\lambda| \leq 1\right}$，以及
(c) $|T|=\sup \left{|\langle T x, \lambda\rangle|: x \in X, \lambda \in X^*,|x| \leq 1,|\lambda| \leq 1\right}$。
证明。(a)和(b)是新符号中先前确定的事实。为了证明(c)，
$$
\begin{aligned}
|T| & =\sup {|T x|:|x| \leq 1}=\sup {|x| \leq 1} \sup {|\lambda| \leq 1}|\langle T x, \lambda\rangle| \
& =\sup {|\langle T x, \lambda\rangle|:|x| \leq 1,|\lambda| \leq 1} .
\end{aligned}
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Locally Compact Spaces

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Locally Compact Spaces

Without a doubt, $\mathbb{R}^n$ is the most important example of a locally compact Hausdorff space. We studied locally compact metric spaces briefly in section 4.7. In this section, we will see that locally compact Hausdorff spaces are regular (theorem 5.9.3); hence they have good separation properties. They are also very nearly normal. Compare theorems 5.9.2 and 5.6.3. The next section is the natural continuation of this one, where we show that every locally compact Hausdorff spaces can be embedded into a compact Hausdorff space in a special kind of way. We will take another journey into locally compact spaces in section 5.11 , where we establish Urysohn’s theorem for locally compact Hausdorff spaces and introduce the space of continuous, compactly supported functions on such spaces.

This section is the transitional section to the remaining three sections in this chapter. It may be bypassed on the first reading of the book because locally compact metric spaces (section 4.7) are sufficient for most of the rest of the book. Locally compact Hausdorff spaces are needed only in sections 8.4 and 8.7 , where frequent reference is made to the results in this section and sections 5.10 and 5.11 , and where certain theorems are extended from $\mathbb{R}^n$ to locally compact Hausdorff spaces.
Definition. A topological space $X$ is locally compact if, for every $x \in X$, there exists an open set $V$ such that $x \in V$ and $\bar{V}$ is compact. Thus every point is in the interior of a compact set.

We established in section 4.7 that $\mathbb{R}^n$ is locally compact and that $l^{\infty}$ is not. See theorem 6.1.5 for a far-reaching result. Also in section 4.7 , we showed that $\mathbb{Q}$ is not locally compact.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Compactification

In this section, we show that a locally compact Hausdorff space $(X, \mathcal{J})$ can be embedded in a compact Hausdorff space $\left(X_{\infty}, \mathcal{J}{\infty}\right)$ in the manner described in theorem 5.10.1. In that theorem, the definition of the topology $\mathcal{J}{\infty}$ requires some explanation.

The prototypical and most important example of a locally compact Hausdorff space is $\mathbb{R}^n$. We focus here on $\mathbb{R}^2$, because the stereographic projection of the punctured sphere $\mathcal{S}*^2$ onto $\mathbb{R}^2$ is easy to visualize and provides an excellent motivation for the the definition of $\mathcal{J}{\infty}$. The stereographic projection has been known to mapmakers since the late sixteenth century, and it is reasonable to surmise that Alexandroff was aware of that projection when he invented the topology $\mathcal{J}_{\infty}$

It is clear that a compactification of the plane (more literally, its homeomorphic image $\mathcal{S}^2$ ) is the compact sphere $\mathcal{S}^2$, which contains $\mathcal{S}^2$ and a single additional point $N$. Some reflection reveals that there are two types of open subsets of the compact sphere:
(a) The open subsets of $\mathcal{S}^2$ that do not contain $N$ : These are in one-to-one correspondence (through the stereographic projection) with the open subsets of the usual topology of $\mathbb{R}^2$.
(b) The open subsets $U$ of $\mathcal{S}^2$ that contain the point $N$ : The complement $K=\mathcal{S}^2-U$ of such an open set is closed in $\mathcal{S}^2$. Since $\mathcal{S}^2$ is compact, $K$ is compact. Thus the open sets $U$ of this type are exactly the complements of compact subsets of the punctured sphere, which are in one-to-one correspondence with the compact subsets of $\mathbb{R}^2$.

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Locally Compact Spaces

毫无疑问，$\mathbb{R}^n$是局部紧致Hausdorff空间最重要的例子。我们在第4.7节简要地研究了局部紧化度量空间。在本节中，我们将看到局部紧化的Hausdorff空间是正则的(定理5.9.3);因此，它们具有良好的分离性能。它们也非常接近正常。比较定理5.9.2和5.6.3。下一节是这一节的自然延续，我们证明了每一个局部紧致的Hausdorff空间都可以以一种特殊的方式嵌入到一个紧致的Hausdorff空间中。在第5.11节中，我们将继续讨论局部紧化空间，在那里我们建立局部紧化Hausdorff空间的Urysohn定理，并在这些空间中引入连续紧支持函数的空间。

本节是本章其余三节的过渡节。在第一次阅读本书时，可以跳过它，因为局部紧致的度量空间(第4.7节)对于本书的其余大部分内容已经足够了。局部紧化的Hausdorff空间只在8.4节和8.7节中需要，在这里经常引用本节和5.10节和5.11节的结果，并且某些定理从$\mathbb{R}^n$推广到局部紧化的Hausdorff空间。
定义。如果对于每个$x \in X$，存在一个开集$V$使得$x \in V$和$\bar{V}$是紧的，那么拓扑空间$X$是局部紧的。因此每个点都在紧集合的内部。

我们在4.7节中指出$\mathbb{R}^n$是局部紧凑的，而$l^{\infty}$不是。见定理6.1.5得到一个意义深远的结果。同样在4.7节中，我们展示了$\mathbb{Q}$不是局部紧凑的。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Compactification

在本节中，我们将展示一个局部紧化的Hausdorff空间$(X, \mathcal{J})$可以用定理5.10.1中描述的方式嵌入到一个紧化的Hausdorff空间$\left(X_{\infty}, \mathcal{J}{\infty}\right)$中。在该定理中，拓扑$\mathcal{J}{\infty}$的定义需要一些解释。

局部紧致Hausdorff空间的原型和最重要的例子是$\mathbb{R}^n$。我们在这里关注$\mathbb{R}^2$，因为穿透球体$\mathcal{S}*^2$在$\mathbb{R}^2$上的立体投影很容易可视化，并且为定义$\mathcal{J}{\infty}$提供了很好的动机。自16世纪后期以来，地图绘制者就已经知道了立体投影，我们有理由推测，亚历山德罗夫在发明拓扑图时就意识到了这种投影 $\mathcal{J}_{\infty}$

很明显，平面的紧化(更确切地说，它的同胚像$\mathcal{S}^2$)是紧化球体$\mathcal{S}^2$，它包含$\mathcal{S}^2$和一个单独的附加点$N$。一些反思揭示了紧球的开子集有两种类型:
(a)不包含$N$的$\mathcal{S}^2$的开放子集:它们与$\mathbb{R}^2$通常拓扑的开放子集(通过立体投影)是一一对应的。
(b)包含点$N$的$\mathcal{S}^2$的开子集$U$:这个开集的补$K=\mathcal{S}^2-U$在$\mathcal{S}^2$中闭合。因为$\mathcal{S}^2$是紧凑的，所以$K$也是紧凑的。因此这种类型的开集$U$正是穿孔球紧子集的补集，它们与$\mathbb{R}^2$的紧子集是一一对应的。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Bases and Subbases

Posted on 2023年6月12日2023年6月12日 by statistics-lab

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Bases and Subbases

Some topologies are quite difficult to define directly, and it is frequently the case that we want to define a topology on a set $X$ that includes a certain collection ङ of subsets of $X$. The existence of such a topology is obvious because $\mathcal{P}(X)$ is such a topology. However, $\mathcal{P}(X)$ is useless because it is too large. This immediately suggests the question of finding the smallest topology $\mathcal{J}$ on $X$ that contains $\mathfrak{5}$. Fortunately, such a unique smallest topology $\mathcal{T}$ exists.

The reader may wonder what situations would compel us to “want” the members of $\subsetneq$ to be open. The prime such situation is when we need a certain class of functions from $X$ to another topological space $Y$ to be continuous, which is the overarching idea behind the definition of product and weak topologies. See sections 5.4 and 6.7 .

The set $\subsetneq$ in the above discussion is called a subbase for $\mathcal{T}$, and a closely connected concept is that of a base for the topology $\mathcal{T}$, which is our first definition. Bases and subbases have a wide range of applications. In addition to providing the means to define useful topologies, bases and subbases give us easy ways to prove the continuity of functions and to characterize closures. See theorems 5.2.2 and 5.3.1.
Definition. An open base for a topology $\mathcal{J}$ on a set $X$ is a collection $\mathfrak{B}$ of open subsets of $X$ such that every nonempty open subset in $X$ is the union of members of $\mathfrak{B}$. If $\mathfrak{B}$ is an open base for $\mathcal{T}$, we say that $\mathfrak{B}$ generates $\mathcal{T}$.

See problem 2 at the end of this section for an equivalent, more explicit formulation of the definition of an open base.

Example 1. The collection $\mathfrak{B}={(r, s): r, s \in \mathbb{Q}, r<s}$ is an open base for the usual topology on $\mathbb{R}$. This is because every open subset of $\mathbb{R}$ is the union of open bounded intervals, and any such interval is the union of members of $\boldsymbol{B}:(a, b)=$ $\cup{(r, s): r \in \mathbb{Q}, s \in \mathbb{Q}, a<r<s<b}$. See section 4.5 for a more general version of this example.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Continuity

In section 4.3 , we studied the definition of local continuity of functions on metric spaces. It is clear that the $\epsilon-\delta$ definition provides no clues to generalizing the definition to the topological case. However, theorem 4.3.1 provides a metric-free characterization of local continuity which, with very slight changes, produces the following definition.
Definition. Let $X$ and $Y$ be topological spaces. A function $f: X \rightarrow Y$ is said to be continuous at a point $x_0 \in X$ if, for every open subset $V$ of $Y$ containing $f\left(x_0\right)$, $f^{-1}(V)$ contains an open neighborhood of $x_0$.
We point out here an important distinction between metric and general topologies. Theorem 4.3.2 established the fact that, in the metric case, continuity is equivalent to sequential continuity. This is not the case for a general topological space. See problem 11 at the end of this section.
As in the metric case, we can define a function from a topological space $X$ to another space $Y$ to be continuous if it is continuous at each point of $X$. However, theorem 4.3.3 suggests a more convenient, and widely used, definition of global continuity.
Definition. Let $\left(X, \mathcal{T}_X\right)$ and $\left(Y, \mathcal{T}_Y\right)$ be topological spaces. A function $f: X \rightarrow Y$ is said to be continuous if the inverse image of every open subset of $Y$ is an open subset of $X$. Symbolically, $V \in \mathcal{T}_Y$ implies $f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X$.
Continuity depends entirely on the topologies on $X$ and $Y$. Let $X=\mathbb{R}, \mathcal{T}_1$ be the discrete topology on $X$, and let $\mathcal{T}_2$ be the usual topology on $\mathbb{R}$. The identity function $I_X:\left(X, \mathcal{T}_1\right) \rightarrow\left(X, \mathcal{T}_2\right)$ is continuous, but the very same function $I_X:$ $\left(X, \mathcal{T}_2\right) \rightarrow\left(X, \mathcal{T}_1\right)$ is not continuous because not every subset of $\mathbb{R}$ is open in the usual topology of $\mathbb{R}$.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Product Spaces

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Bases and Subbases

有些拓扑很难直接定义，经常出现的情况是，我们想要在包含$X$子集的特定集合的集合$X$上定义拓扑。这种拓扑的存在是显而易见的，因为$\mathcal{P}(X)$就是这样的拓扑。然而，$\mathcal{P}(X)$是无用的，因为它太大了。这立即提出了在$X$上找到包含$\mathfrak{5}$的最小拓扑$\mathcal{J}$的问题。幸运的是，存在这样一个唯一的最小拓扑$\mathcal{T}$。

读者可能想知道，什么情况会迫使我们“希望”$\subsetneq$的成员是开放的。最主要的情况是当我们需要从$X$到另一个拓扑空间$Y$的某类函数是连续的，这是积和弱拓扑定义背后的总体思想。参见5.4和6.7节。

上面讨论的集合$\subsetneq$称为$\mathcal{T}$的子基，与之密切相关的概念是拓扑$\mathcal{T}$的基，这是我们的第一个定义。碱和亚碱具有广泛的应用。除了提供定义有用拓扑的方法外，基和子基还为我们提供了证明函数连续性和表征闭包的简单方法。参见定理5.2.2和5.3.1。
定义。集合$X$上拓扑$\mathcal{J}$的开放基是$X$的开放子集的集合$\mathfrak{B}$，使得$X$中的每个非空开放子集都是$\mathfrak{B}$成员的并集。如果$\mathfrak{B}$是$\mathcal{T}$的开放基，我们说$\mathfrak{B}$生成$\mathcal{T}$。

请参阅本节末尾的问题2，以获得一个等效的、更明确的开放式碱的定义公式。

例1。集合$\mathfrak{B}={(r, s): r, s \in \mathbb{Q}, r<s}$是$\mathbb{R}$上常用拓扑的开放基础。这是因为$\mathbb{R}$的每个开放子集都是开放有界区间的并集，而任何这样的区间都是$\boldsymbol{B}:(a, b)=$$\cup{(r, s): r \in \mathbb{Q}, s \in \mathbb{Q}, a<r<s<b}$的成员的并集。关于这个例子的更一般的版本，请参见第4.5节。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Continuity

在第4.3节中，我们研究了度量空间上函数的局部连续性的定义。很明显，$\epsilon-\delta$定义没有提供将定义推广到拓扑情况的线索。然而，定理4.3.1提供了局部连续性的无度量的表征，经过很小的改变，产生了以下定义。
定义。设$X$和$Y$为拓扑空间。如果对于包含$f\left(x_0\right)$的$Y$的每个开放子集$V$, $f^{-1}(V)$都包含$x_0$的开放邻域，则称函数$f: X \rightarrow Y$在$x_0 \in X$点连续。
我们在这里指出度量拓扑和一般拓扑之间的一个重要区别。定理4.3.2建立了这样一个事实，即在度量情况下，连续性等价于序列连续性。这与一般拓扑空间的情况不同。参见本节末尾的问题11。
在度量的情况下，我们可以定义从拓扑空间$X$到另一个空间$Y$的函数是连续的，如果它在$X$的每个点上都是连续的。然而，定理4.3.3提出了一个更方便、更广泛使用的全局连续性定义。
定义。设$\left(X, \mathcal{T}_X\right)$和$\left(Y, \mathcal{T}_Y\right)$为拓扑空间。如果$Y$的每个开放子集的逆像都是$X$的开放子集，则称函数$f: X \rightarrow Y$是连续的。从象征意义上说，$V \in \mathcal{T}_Y$意味着$f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X$。
连续性完全取决于$X$和$Y$上的拓扑结构。设$X=\mathbb{R}, \mathcal{T}_1$为$X$上的离散拓扑，$\mathcal{T}_2$为$\mathbb{R}$上的常规拓扑。恒等函数$I_X:\left(X, \mathcal{T}_1\right) \rightarrow\left(X, \mathcal{T}_2\right)$是连续的，但是同样的函数$I_X:$$\left(X, \mathcal{T}_2\right) \rightarrow\left(X, \mathcal{T}_1\right)$不是连续的，因为不是$\mathbb{R}$的每个子集在$\mathbb{R}$的通常拓扑中都是开放的。

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