数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MA50400
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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Completeness of R
The property of completeness of $\mathbb{R}$ may be formalised in several equivalent ways. The reader should have already come across (Dedekind’s) separability axiom: decomposing $\mathbb{R}$ into the union of two disjoint subsets $C_1$ and $C_2$ (the pair $\left(C_1, C_2\right)$ is called a cut) so that each element of $C_1$ is smaller or equal than every element in $C_2$, there exists a (unique) separating element $s \in \mathbb{R}$ :
$$
x_1 \leq s \leq x_2, \quad \forall x_1 \in C_1, \forall x_2 \in C_2 .
$$
An alternative formulation of completeness involves the notion of supremum of a set: every bounded set from above admits a supremum in $\mathbb{R}$, i.e., there is a real number smaller or equal than all upper bounds of the set.
With the help of this property one can prove, for example, the existence in $\mathbb{R}$ of the square root of 2 , hence of a number $p(>0)$ such that $p^2=2$. Going back to Example 1.5 iv), the completeness of the reals ensures that the bounded set $B=\left{x \in \mathbb{Q} \mid x^2<2\right}$ has a supremum, say $p$. Using the properties of $\mathbb{R}$ it is possible to show that $p^2<2$ cannot occur, otherwise $p$ would not be an upper bound for $B$, and neither $p^2>2$ holds, for $p$ would not be the least of all upper bounds. Thus necessarily $p^2=2$. Note that $B$, albeit contained in $\mathbb{Q}$, is not allowed to have a rational upper bound, because $p^2=2$ prevents $p$ from being rational (Property 1.1).
This example explains why the completeness of $\mathbb{R}$ lies at the core of the possibility to solve in $\mathbb{R}$ many remarkable equations. We are thinking in particular about the family of algebraic equations
$$
x^n=a,
$$
where $n \in \mathbb{N}_{+}$and $a \in \mathbb{R}$, for which it is worth recalling the following known fact.
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Factorials and binomial coefficients
We introduce now some noteworthy integers that play a role in many areas of Mathematics.
Given a natural number $n \geq 1$, the product of all natural numbers between 1 and $n$ goes under the name of factorial of $n$ and is indicated by $n$ ! (read ‘ $n$ factorial’). Out of conveniency one sets $0 !=1$. Thus
$$
0 !=1, \quad 1 !=1, \quad n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n=(n-1) ! n \quad \text { for } n \geq 2
$$
Factorials grow extremely rapidly as $n$ increases; for instance $5 !=120,10 !=$ 3628800 and $100 !>10^{157}$.
Example 1.9
Suppose we have $n \geq 2$ balls of different colours in a box. In how many ways can we extract the balls from the box?
When taking the first ball we are making a choice among the $n$ balls in the box; the second ball will be chosen among the $n-1$ balls left, the third one among $n-2$ and so on. Altogether we have $n(n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1=n$ ! different ways to extract the balls: $n$ ! represents the number of arrangements of $n$ distinct objects in a sequence, called permutations of $n$ ordered objects.
If we stop after $k$ extractions, $00$ choices there are then $n^k$ possible sequences of colours: $n^k$ is the number of permutations of $n$ objects in sequences of $k$, with repetitions (i.e., allowing an object to be chosen more than once).
数学分析代考
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Completeness of R
$\mathbb{R}$的完备性可以用几种等价的方式形式化。读者应该已经遇到了(Dedekind的)可分离性公理:将$\mathbb{R}$分解为两个不相交的子集$C_1$和$C_2$的并集(对$\left(C_1, C_2\right)$称为切割)，因此$C_1$的每个元素都小于或等于$C_2$中的每个元素，存在一个(唯一的)分离元素$s \in \mathbb{R}$:
$$
x_1 \leq s \leq x_2, \quad \forall x_1 \in C_1, \forall x_2 \in C_2 .
$$
完备性的另一种表述涉及到集合的上界的概念:上面的每一个有界集合在$\mathbb{R}$中都有上界，即存在一个小于或等于集合所有上界的实数。
借助于这个性质，我们可以证明，例如，在$\mathbb{R}$中存在根号2，因此，一个数$p(>0)$使得$p^2=2$。回到例1.5 iv)，实数的完备性确保有界集合$B=\left{x \in \mathbb{Q} \mid x^2<2\right}$有一个上限值，例如$p$。使用$\mathbb{R}$的属性可以证明$p^2<2$不可能出现，否则$p$就不是$B$的上界，$p^2>2$也不成立，因为$p$不是所有上界中最小的。因此必须$p^2=2$。请注意，$B$虽然包含在$\mathbb{Q}$中，但不允许有理性上界，因为$p^2=2$会阻止$p$成为理性上界(属性1.1)。
这个例子解释了为什么$\mathbb{R}$的完备性是求解$\mathbb{R}$中许多显著方程的可能性的核心。我们现在特别考虑的是代数方程族
$$
x^n=a,
$$
其中$n \in \mathbb{N}_{+}$和$a \in \mathbb{R}$，值得回顾以下已知事实。
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Factorials and binomial coefficients
现在我们介绍一些值得注意的整数，它们在数学的许多领域中发挥着作用。
给定一个自然数$n \geq 1$, 1到$n$之间所有自然数的乘积以$n$的阶乘的名称命名，并用$n$表示!(阅读’ $n$ factorial’)。出于方便，人们设置$0 !=1$。因此
$$
0 !=1, \quad 1 !=1, \quad n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n=(n-1) ! n \quad \text { for } n \geq 2
$$
阶乘随着$n$的增加而迅速增长;例如$5 !=120,10 !=$ 3628800和$100 !>10^{157}$。
例1.9
假设我们在一个盒子里有$n \geq 2$不同颜色的球。我们有多少种方法把球从盒子里取出来?
当拿第一个球时，我们在盒子里的$n$球中做出选择;第二个球将从剩下的$n-1$球中选出，第三个球将从$n-2$中选出，以此类推。我们总共有$n(n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1=n$ !提取球的不同方法:$n$ !表示在一个序列中$n$不同对象的排列数量，称为$n$有序对象的排列。
如果我们在$k$提取之后停止，那么$00$选择就会有$n^k$种可能的颜色序列:$n^k$是$n$对象在$k$序列中排列的次数，带有重复(即允许一个对象被选择多次)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
