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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Superdifferential of a semiconcave function

The superdifferential of a semiconcave function enjoys many properties that are not valid for a general Lipschitz continuous function, and that can be regarded as extensions of analogous properties of concave functions. We start with the following basic estimate. Throughout the section $A \subset \mathbb{R}^{n}$ is an open set.

Proposition 3.3.1 Let $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ be a semiconcave function with modulus $\omega$ and let $x \in A$. Then, a vector $p \in \mathbb{R}^{n}$ belongs to $D^{+} u(x)$ if and only if
$$
u(y)-u(x)-\langle p, y-x\rangle \leq|y-x| \omega(|y-x|)
$$
Jor any pont y EA such that $[y, r\rfloor$ s. $_{-}$

Proof – If $p \in \mathbb{R}^{n}$ satisfies (3.18), then, by the very definition of superdifferential, $p \in D^{+} u(x)$. In order to prove the converse, let $p \in D^{+} u(x)$. Then, dividing the semiconcavity inequality $(2.1)$ by $(1-\lambda)|x-y|$, we have
$$
\left.\left.\frac{u(y)-u(x)}{|y-x|} \leq \frac{u(x+(1-\lambda)(y-x))-u(x)}{(1-\lambda)|y-x|}+\lambda \omega(|x-y|), \quad \forall \lambda \in\right] 0,1\right] .
$$
Hence, taking the limit as $\lambda \rightarrow 1^{-}$, we obtain
$$
\frac{u(y)-u(x)}{|y-x|} \leq \frac{\langle p, y-x\rangle}{|y-x|}+\omega(|x-y|),
$$
since $p \in D^{+} u(x)$. Estimate (3.18) follows.
Remark 3.3.2 In particular, if $u$ is concave on a convex set $A$. we find that $p \in$ $D^{+} u(x)$ if and only if
$$
u(y) \geq u(x)+\langle p, y-x\rangle, \quad \forall y \in A .
$$
In convex analysis (see Appendix A. 1) this property is usually taken as the definition of the superdifferential. Therefore, the Fréchet super- and subdifferential coincide with the classical semidifferentials of convex analysis in the case of a concave (resp. convex) function.

Before investigating further properties of the superdifferential, let us show how Proposition 3.3.1 easily yields a compactness property for semiconcave functions.

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Marginal functions

A function $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ is called a marginal function if it can be written in the form
$$
u(x)=\inf _{s \in S} F(s, x),
$$
where $S$ is some topological space and the function $F: S \times A \rightarrow \mathbb{R}$ depends smoothly on $x$. Functions of this kind appear often in the literature, sometimes with different names (see e.g., the lower $C^{k}$-functions in [123]).

Under suitable regularity assumptions for $F$, a marginal function is semiconcave.
For instance, Corollary $2.1 .6$ immediately implies the following.
Proposition 3.4.1 Let $A \subset \mathbb{R}^{n}$ be open and let $S \subset \mathbb{R}^{m}$ be compact. If $F=F(s, x)$ is continuous in $C(S \times A)$ together with its partial derivatives $D_{x} F$, then the function u defined in (3.34) belongs to $\mathrm{SC}{l o c}(A)$. If $D{x x}^{2} F$ also exists and is continuous in $S \times A$, then $u \in \mathrm{SCL}{l o c}(A)$. We now show that the converse also holds. Theorem 3.4.2 Let $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ be a semiconcave function. Then $u$ can be locally written as the minimum of functions of class $C^{1}$. More precisely, for any $K \subset A$ compact, there exists a compact set $S \subset \mathbb{R}^{2 n}$ and a continuous function $F: S \times K \rightarrow$ $\mathbb{R}$ such that $F(s, \cdot)$ is $C^{1}$ for any $s \in S$, the gradients $D{x} F(s, \cdot)$ are equicontinuous, and
$$
u(x)=\min _{s \in S} F(s, x), \quad \forall x \in K .
$$
If the modulus of semiconcavity of $u$ is linear, then $F$ can be chosen such that $F(s,-)$ is $C^{2}$ for any $s$, with uniformly bounded $C^{2}$ norm.

Proof – Let $\omega$ be the modulus of semiconcavity of $u$ and let $\omega_{1}$ be a function such that $\omega_{1}(0)=0$, that $\omega_{1}(r) \geq \omega(r)$ and that the function $x \rightarrow|x| \omega_{1}(|x|)$ belongs to $C^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$. The existence of such an $\omega_{1}$ has been proved in Lemma 3.1.8. If $\omega$ is linear we simply take $\omega_{1} \equiv \omega$.

Let us set $S=\left{(y, p): y \in K, p \in D^{+} u(y)\right}$. By Proposition 3.3.4(a) and the local Lipschitz continuity of $u, S$ is a compact set. Then we define
$$
F(y, p, x)=u(y)+\langle p, x-y\rangle+|y-x| \omega_{1}(|y-x|)
$$
Then $F$ has the required regularity properties. In addition $F(y, p, x) \geq u(x)$ for all $(y, p, x) \in S \times K$ by Proposition 3.3.1. On the other hand, if $x \in K$, then $D+u(x)$ is nonempty and so thêré exists at lesast a vectō $p$ such that $(x, p) \in S$. Since $F(x, p, x)=u(x)$, we obtain $(3.35)$.

If $u$ is semiconcave with a linear modulus, then it admits another representation as the infimum of regular functions by a procedure that is very similar to the Legendre transformation.

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Inf-convolutions

Given $g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ and $\varepsilon>0$, the functions
$$
x \rightarrow \inf {y \in \mathbb{R}^{n}}\left(g(y)+\frac{|x-y|^{2}}{2 \varepsilon}\right) \quad x \rightarrow \sup {y \in \mathbb{R}^{n}}\left(g(y)-\frac{|x-y|^{2}}{2 \varepsilon}\right)
$$
are called inf- and sup-convolutions of $g$ respectively, due to the formal analogy with the usual convolution. They have been used in various contexts as a way to approximate $g$; one example is the uniqueness theory for viscosity solutions of HamiltonJacobi equations. In some cases it is useful to consider more general expressions, where the quadratic term above is replaced by some other coercive function. In this section we analyze such general convolutions, showing that their regularity properties are strictly related with the properties of semiconcave functions studied in the previous sections.
Definition 3.5.1 Let $g \in C\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ satisfy
$$
|g(x)| \leq K(1+|x|)
$$
for some $K>0$ and let $\phi \in C\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ be such that

$$
\lim {|q| \rightarrow+\infty} \frac{\phi(q)}{|q|}=+\infty . $$ The inf-convolution of $g$ with kernel $\phi$ is the function $$ g \phi(x)=\inf {y \in \mathbb{R}^{a}}[g(y)+\phi(x-y)],
$$
while the sup-convolution of $g$ with kernel $\phi$ is defined by
$$
g^{\phi}(x)=\sup {y \in \mathbb{R}^{n}}[g(y)-\phi(x-y)] . $$ We observe that the function $u$ given by Hopf’s formula (1.10) is an infconvolution with respect to the $x$ variable for any fixed $t$. In addition, inf-convolutions are a particular case of the marginal functions introduced in the previous section. We give below some regularity properties of the inf-convolutions. The corresponding statements about the sup-convolutions are easily obtained observing that $g^{\phi}=-\left((-g){\phi}\right)$.

最优控制代考

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Superdifferential of a semiconcave function

半凹函数的超微分具有许多对一般 Lipschitz 连续函数无效的性质，可以看作是凹函数类似性质的扩展。我们从以下基本估计开始。在整个部分一种⊂Rn是开集。

命题 3.3.1 让在:一种→R是一个带模的半凹函数ω然后让X∈一种. 然后，一个向量p∈Rn属于D+在(X)当且仅当
在(是的)−在(X)−⟨p,是的−X⟩≤|是的−X|ω(|是的−X|)
Jor 任何 pont y EA 使得[是的,r⌋s。−

证明——如果p∈Rn满足 (3.18)，然后，根据超微分的定义，p∈D+在(X). 为了证明相反，让p∈D+在(X). 然后，划分半凹不等式(2.1)经过(1−λ)|X−是的|， 我们有
在(是的)−在(X)|是的−X|≤在(X+(1−λ)(是的−X))−在(X)(1−λ)|是的−X|+λω(|X−是的|),∀λ∈]0,1].
因此，取极限为λ→1−， 我们获得
在(是的)−在(X)|是的−X|≤⟨p,是的−X⟩|是的−X|+ω(|X−是的|),
自从p∈D+在(X). 估计（3.18）如下。
备注 3.3.2 特别是，如果在在凸集上是凹的一种. 我们发现p∈ D+在(X)当且仅当
在(是的)≥在(X)+⟨p,是的−X⟩,∀是的∈一种.
在凸分析中（见附录 A.1），这个性质通常被视为超微分的定义。因此，在凹（或凸）函数的情况下，Fréchet 超微分和次微分与凸分析的经典半微分一致。

在进一步研究超微分的性质之前，让我们展示命题 3.3.1 如何轻松地为半凹函数产生紧致性质。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Marginal functions

一个函数在:一种→R如果可以写成以下形式，则称为边际函数
在(X)=信息s∈小号F(s,X),
在哪里小号是一些拓扑空间和函数F:小号×一种→R顺利地依赖于X. 这类函数经常出现在文献中，有时有不同的名称（例如，见下Cķ-[123] 中的函数）。

在适当的规律性假设下F，边际函数是半凹的。
例如，推论2.1.6立即暗示以下内容。
命题 3.4.1 让一种⊂Rn敞开心扉小号⊂R米紧凑。如果F=F(s,X)是连续的C(小号×一种)连同它的偏导数DXF，则(3.34)中定义的函数u属于小号Cl这C(一种). 如果DXX2F也存在并且连续小号×一种， 然后在∈小号C大号l这C(一种). 我们现在证明反之亦然。定理 3.4.2 让在:一种→R是一个半凹函数。然后在可以在本地写为类的函数的最小值C1. 更准确地说，对于任何ķ⊂一种紧，存在紧集小号⊂R2n和一个连续函数F:小号×ķ→ R这样F(s,⋅)是C1对于任何s∈小号, 梯度DXF(s,⋅)是等连续的，并且
在(X)=分钟s∈小号F(s,X),∀X∈ķ.
如果半凹模量为在是线性的，那么F可以这样选择F(s,−)是C2对于任何s, 一致有界C2规范。

证明——让ω是半凹模量在然后让ω1是一个函数，使得ω1(0)=0， 那ω1(r)≥ω(r)并且函数X→|X|ω1(|X|)属于C1(Rn). 这样的存在ω1已在引理 3.1.8 中证明。如果ω是线性的，我们简单地取ω1≡ω.

让我们设置S=\left{(y, p): y \in K, p \in D^{+} u(y)\right}S=\left{(y, p): y \in K, p \in D^{+} u(y)\right}. 由命题 3.3.4(a) 和局部 Lipschitz 连续性在,小号是紧集。然后我们定义
F(是的,p,X)=在(是的)+⟨p,X−是的⟩+|是的−X|ω1(|是的−X|)
然后F具有所需的规律性。此外F(是的,p,X)≥在(X)对全部(是的,p,X)∈小号×ķ根据提案 3.3.1。另一方面，如果X∈ķ， 然后D+在(X)是非空的，所以 thêré 至少存在一个 vectōp这样(X,p)∈小号. 自从F(X,p,X)=在(X)， 我们获得(3.35).

如果在是具有线性模量的半凹的，那么它通过与勒让德变换非常相似的过程承认另一种表示为正则函数的下确界。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Inf-convolutions

给定G:Rn→R和e>0, 函数
X→信息是的∈Rn(G(是的)+|X−是的|22e)X→支持是的∈Rn(G(是的)−|X−是的|22e)
被称为 inf 和 sup 卷积G分别是由于与通常的卷积的形式类比。它们已在各种情况下用作近似G; 一个例子是 HamiltonJacobi 方程粘度解的唯一性理论。在某些情况下，考虑更一般的表达式是有用的，其中上面的二次项被其他一些强制函数替换。在本节中，我们分析了此类一般卷积，表明它们的规律性与前几节中研究的半凹函数的性质密切相关。
定义 3.5.1 让G∈C(Rn)满足
|G(X)|≤ķ(1+|X|)
对于一些ķ>0然后让φ∈C(Rn)是这样的林|q|→+∞φ(q)|q|=+∞.inf-卷积G带内核φ是函数Gφ(X)=信息是的∈R一种[G(是的)+φ(X−是的)],
而上卷积G带内核φ定义为
Gφ(X)=支持是的∈Rn[G(是的)−φ(X−是的)].我们观察到函数在Hopf 的公式 (1.10) 给出的是关于X任何固定的变量吨. 此外，inf-convolutions 是上一节介绍的边缘函数的一个特例。我们在下面给出了 inf 卷积的一些规律性属性。观察到关于上卷积的相应陈述很容易获得Gφ=−((−G)φ).

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Generalized Gradients and Semiconcavity

In the last decades a branch of mathematics has developed called nonsmooth analysis, whose object is to generalize the basic tools of calculus to functions that are not differentiable in the classical sense. For this purpose, one introduces suitable notions of generalized differentials, which are extensions of the usual gradient; the best known example is the subdifferential of convex analysis. The motivation for this study is that in more and more fields of analysis, like the optimization problems considered in this book, the functions that come into play are often nondifferentiable.
For semiconcave functions, the analysis of generalized gradients is important in view of applications to control theory. As we have already seen in a special case (Corollary 1.5.10), if the value function of a control problem is smooth, then one can design the optimal trajectories knowing the differential of the value function. In the general case, where the value function is not smooth but only semiconcave, one can try to follow a similar procedure starting from its generalized gradient.

In Section $3.1$ we define the generalized differentials which are relevant for our purposes and recall basic properties and equivalent characterizations of these objects. Then, we restrict ourselves to semiconcave functions. In Section $3.2$ we show that semiconcave functions possess one-sided directional derivatives everywhere, while in Section $3.3$ we describe the special properties of the superdifferential of a semiconcave function; in particular, we show that it is nonempty at every point and that it is a singleton exactly at the points of differentiability. These properties are classical in the case of concave functions; here we prove that they hold for semiconcave functions with arbitrary modulus.

Section $3.4$ is devoted to the so-called marginal functions, which are obtained as the infimum of smooth functions. We show that semiconcave functions can be characterized as suitable classes of marginal functions. In addition, we describe the semi-differentials of a marginal function using the general results of the previous sections. In Section $3.5$ we study the so-called inf-convolutions. They are marginal functions defined by a process which is a generalization of Hopf’s formula, and provide approximations to a given function which enjoy useful properties. Finally, in Section $3.6$ we introduce proximal gradients and proximally smooth sets, and we analyze how these notions are related to semiconcavity.

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Generalized differentials

We begin with the definitions of some generalized differentials and derivatives from nonsmooth analysis. In this section $u$ is a real-valued function defined on an open set $A \subset \mathbb{R}^{n}$.
Definition 3.1.1 For any $x \in A$, the sets
$$
\begin{aligned}
D^{-} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}: \liminf {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u(x)-\langle p, y-x\rangle}{|y-x|} \geq 0\right} \ D^{+} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}: \limsup {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u(x)-\langle p, y-x\rangle}{|y-x|} \leq 0\right}
\end{aligned}
$$
are called, respectively, the (Fréchet) superdifferential and subdifferential of $u$ at $x$.
From the definition it follows that, for any $x \in A$,
$$
D^{-}(-u)(x)=-D^{+} u(x) .
$$
Example 3.1.2
Let $A=\mathbb{R}$ and let $u(x)=|x|$. Then it is easily seen that $D^{+} u(0)=\emptyset$ whereas $D^{-} u(0)=[-1,1] .$
Let $A=\mathbb{R}$ and let $u(x)=\sqrt{|x|}$. Then, $D^{+} u(0)=\emptyset$ whereas $D^{-} u(0)=\mathbb{R}$.
Let $A=\mathbb{R}^{2}$ and $u(x, y)=|x|-|y|$. Then, $D^{+} u(0,0)=D^{-} u(0,0)=\emptyset$.
Definition 3.1.3 Let $x \in A$ and $\theta \in \mathbb{R}^{n}$. The upper and lower Dini derivatives of $u$ at $x$ in the direction $\theta$ are defined as
$$
\partial^{+} u(x, \theta)=\lim {h \rightarrow 0^{+}, \theta^{\prime} \rightarrow \theta} \frac{u\left(x+h \theta^{\prime}\right)-u(x)}{h} $$ and $$ \partial^{-} u(x, \theta)=\liminf {h \rightarrow 0^{+}, \theta^{\prime} \rightarrow \theta} \frac{u\left(x+h \theta^{\prime}\right)-u(x)}{h},
$$
respectively.
It is readily seen that, for any $x \in A$ and $\theta \in \mathbb{R}^{n}$
$$
\partial^{-}(-u)(x, \theta)=-\partial^{+} u(x, \theta) .
$$
Remark 3.1.4 Whenever $u$ is Lipschitz continuous in a neighborhood of $x$, the lower Dini derivative reduces to
$$
\partial^{-} u(x, \theta)=\liminf _{h \rightarrow 0+} \frac{u(x+h \theta)-u(x)}{h}
$$
for any $\theta \in \mathbb{R}^{n}$. Indeed, if $L>0$ is the Lipschitz constant of $u$ we have
$$
\left|\frac{u\left(x+h \theta^{\prime}\right)-u(x)}{h}-\frac{u(x+h \theta)-u(x)}{h}\right| \leq L\left|\theta^{\prime}-\theta\right|,
$$
and (3.5) easily follows. A similar property holds for the upper Dini derivative.

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Directional derivatives

We begin our exposition of the differential properties of semiconcave functions showing that they possess (one-sided) directional derivatives
$$
\partial u(x, \theta):=\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{u(x+h \theta)-u(x)}{h} $$ at any point $x$ and in any direction $\theta$. Theorem 3.2.1 Let $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ be semiconcave. Then, for any $x \in A$ and $\theta \in \mathbb{R}^{n}$, $$ \partial u(x, \theta)=\partial^{-} u(x, \theta)=\partial^{+} u(x, \theta)=u{-}^{0}(x, \theta) .
$$
Proof – Let $\delta>0$ be fixed so that $B_{\delta|\theta|}(x) \subset A$. Then, for any pair of numbers $h_{1}, h_{2}$ satisfying $0<h_{1} \leq h_{2}<\delta$, estimate (2.1) yields
$$
\left(1-\frac{h_{1}}{h_{2}}\right) u(x)+\frac{h_{1}}{h_{2}} u\left(x+h_{2} \theta\right)-u\left(x+h_{1} \theta\right) \leq h_{1}\left(1-\frac{h_{1}}{h_{2}}\right)|\theta| \omega\left(h_{2}|\theta|\right) .
$$
Hence,
$$
\begin{aligned}
&\frac{u\left(x+h_{1} \theta\right)-u(x)}{h_{1}} \
&\geq \frac{u\left(x+h_{2} \theta\right)-u(x)}{h_{2}}-\left(1-\frac{h_{1}}{h_{2}}\right)|\theta| \omega\left(h_{2}|\theta|\right) .
\end{aligned}
$$
Taking the liminf as $h_{1} \rightarrow 0^{+}$in both sides of the above inequality, we obtain

$$
\partial^{-} u(x, \theta) \geq \frac{u\left(x+h_{2} \theta\right)-u(x)}{h_{2}}-|\theta| \omega\left(h_{2}|\theta|\right)
$$
Now, taking the limsup as $h_{2} \rightarrow 0^{+}$, we conclude that
$$
\partial^{-} u(x, \theta) \geq \partial^{+} u(x, \theta) .
$$
So, $\partial u(x, \theta)$ exists and coincides with the lower and upper Dini derivatives.
To complete the proof of $(3.15)$ it suffices to show that
$$
\partial^{+} u(x, \theta) \leq u_{-}^{0}(x, \theta),
$$
since the reverse inequality holds by definition and by Remark 3.1.4. For this purpose, let $\varepsilon>0, \lambda \in] 0, \delta[$ be fixed. Since $u$ is continuous, we can find $\alpha \in$ ] $0,(\delta-\lambda) \theta$ [ such that
$$
\frac{u(x+\lambda \theta)-u(x)}{\lambda} \leq \frac{u(y+\lambda \theta)-u(y)}{\lambda}+\varepsilon, \quad \forall y \in B_{\alpha}(x) .
$$
Using inequality (3.16) with $x$ replaced by $y$, we obtain
$$
\left.\frac{u(y+\lambda \theta)-u(y)}{\lambda} \leq \frac{u(y+h \theta)-u(y)}{h}+|\theta| \omega(\lambda|\theta|), \quad \forall h \in\right] 0, \lambda[.
$$
Therefore,
$$
\frac{u(x+\lambda \theta)-u(x)}{\lambda} \leq \inf {y \in B{u}(x), h \in|0, \lambda|} \frac{u(y+h \theta)-u(y)}{h}+|\theta| \omega(\lambda|\theta|)+\varepsilon .
$$
This implies, by definition of $u_{-}^{0}(x, \theta)$, that
$$
\frac{u(x+\lambda \theta)-u(x)}{\lambda} \leq u_{-}^{0}(x, \theta)+|\theta| \omega(\lambda|\theta|)+\varepsilon .
$$
Hence, taking the limit as $\varepsilon, \lambda \rightarrow 0$, we obtain inequality (3.17).

最优控制代考

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Generalized Gradients and Semiconcavity

在过去的几十年中，发展了一个称为非光滑分析的数学分支，其目的是将微积分的基本工具推广到经典意义上不可微分的函数。为此，引入了广义微分的适当概念，它们是通常梯度的扩展；最著名的例子是凸分析的次微分。这项研究的动机是，在越来越多的分析领域，比如本书中考虑的优化问题，发挥作用的函数通常是不可微的。
对于半凹函数，广义梯度的分析对于控制理论的应用很重要。正如我们已经在一个特殊情况下看到的（推论 1.5.10），如果一个控制问题的价值函数是平滑的，那么可以设计出知道价值函数微分的最优轨迹。在一般情况下，值函数不是平滑的，而是半凹的，可以尝试从其广义梯度开始遵循类似的过程。

在部分3.1我们定义了与我们的目的相关的广义微分，并回忆了这些对象的基本属性和等效特征。然后，我们将自己限制在半凹函数上。在部分3.2我们证明了半凹函数在任何地方都具有单向导数，而在第3.3我们描述了半凹函数的超微分的特殊性质；特别是，我们证明了它在每个点上都是非空的，并且在可微分点上它是一个单例。这些性质在凹函数的情况下是经典的；在这里，我们证明它们适用于具有任意模数的半凹函数。

部分3.4致力于所谓的边际函数，它们是作为平滑函数的下确界获得的。我们表明，半凹函数可以表征为合适的边际函数类别。此外，我们使用前面部分的一般结果来描述边际函数的半微分。在部分3.5我们研究所谓的 inf 卷积。它们是由一个过程定义的边际函数，该过程是 Hopf 公式的推广，并为具有有用属性的给定函数提供近似值。最后，在部分3.6我们引入了近端梯度和近端平滑集，并分析了这些概念与半凹性的关系。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Generalized differentials

我们从非光滑分析的一些广义微分和导数的定义开始。在这个部分在是定义在开集上的实值函数一种⊂Rn.
定义 3.1.1 对于任何X∈一种, 集合
\begin{对齐} D^{-} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}: \liminf {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u( x)-\langle p, yx\rangle}{|yx|} \geq 0\right} \ D^{+} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}： \limsup {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u(x)-\langle p, yx\rangle}{|yx|} \leq 0\right} \end{aligned}\begin{对齐} D^{-} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}: \liminf {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u( x)-\langle p, yx\rangle}{|yx|} \geq 0\right} \ D^{+} u(x) &=\left{p \in \mathbb{R}^{n}： \limsup {y \rightarrow x} \frac{u(y)-u(x)-\langle p, yx\rangle}{|yx|} \leq 0\right} \end{aligned}
分别称为 (Fréchet) 超微分和亚微分在在X.
从定义可以看出，对于任何X∈一种,
D−(−在)(X)=−D+在(X).
示例 3.1.2
让一种=R然后让在(X)=|X|. 那么很容易看出D+在(0)=∅然而D−在(0)=[−1,1].
让一种=R然后让在(X)=|X|. 然后，D+在(0)=∅然而D−在(0)=R.
让一种=R2和在(X,是的)=|X|−|是的|. 然后，D+在(0,0)=D−在(0,0)=∅.
定义 3.1.3 让X∈一种和θ∈Rn. 的上 Dini 导数和下 Dini 导数在在X在这个方向上θ被定义为
∂+在(X,θ)=林H→0+,θ′→θ在(X+Hθ′)−在(X)H和∂−在(X,θ)=林恩夫H→0+,θ′→θ在(X+Hθ′)−在(X)H,
分别。
不难看出，对于任何X∈一种和θ∈Rn
∂−(−在)(X,θ)=−∂+在(X,θ).
备注 3.1.4 无论何时在是 Lipschitz 连续在邻域X，下 Dini 导数减少为
∂−在(X,θ)=林恩夫H→0+在(X+Hθ)−在(X)H
对于任何θ∈Rn. 确实，如果大号>0是 Lipschitz 常数在我们有
|在(X+Hθ′)−在(X)H−在(X+Hθ)−在(X)H|≤大号|θ′−θ|,
和（3.5）很容易遵循。类似的性质适用于上 Dini 导数。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Directional derivatives

我们开始阐述半凹函数的微分性质，表明它们具有（单向）方向导数
∂在(X,θ):=林H→0+在(X+Hθ)−在(X)H在任何时候X并且在任何方向θ. 定理 3.2.1 令在:一种→R是半凹的。那么，对于任何X∈一种和θ∈Rn,∂在(X,θ)=∂−在(X,θ)=∂+在(X,θ)=在−0(X,θ).
证明——让d>0被固定，以便乙d|θ|(X)⊂一种. 那么，对于任意一对数H1,H2令人满意的0<H1≤H2<d，估计（2.1）产量
(1−H1H2)在(X)+H1H2在(X+H2θ)−在(X+H1θ)≤H1(1−H1H2)|θ|ω(H2|θ|).
因此，
在(X+H1θ)−在(X)H1 ≥在(X+H2θ)−在(X)H2−(1−H1H2)|θ|ω(H2|θ|).
以 liminf 为H1→0+在上述不等式的两边，我们得到∂−在(X,θ)≥在(X+H2θ)−在(X)H2−|θ|ω(H2|θ|)
现在，将 limsup 作为H2→0+, 我们得出结论
∂−在(X,θ)≥∂+在(X,θ).
所以，∂在(X,θ)存在并与下 Dini 导数和上 Dini 导数一致。
完成证明(3.15)足以证明
∂+在(X,θ)≤在−0(X,θ),
因为反向不等式根据定义和备注 3.1.4 成立。为此，让e>0,λ∈]0,d[被固定。自从在是连续的，我们可以找到一种∈ ] 0,(d−λ)θ[ 这样
在(X+λθ)−在(X)λ≤在(是的+λθ)−在(是的)λ+e,∀是的∈乙一种(X).
使用不等式 (3.16)X取而代之是的， 我们获得
在(是的+λθ)−在(是的)λ≤在(是的+Hθ)−在(是的)H+|θ|ω(λ|θ|),∀H∈]0,λ[.
所以，
在(X+λθ)−在(X)λ≤信息是的∈乙在(X),H∈|0,λ|在(是的+Hθ)−在(是的)H+|θ|ω(λ|θ|)+e.
这意味着，根据定义在−0(X,θ)， 那
在(X+λθ)−在(X)λ≤在−0(X,θ)+|θ|ω(λ|θ|)+e.
因此，取极限为e,λ→0，我们得到不等式（3.17）。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Special properties of SCL

While many properties of semiconcave functions are valid in the case of an arbitrary modulus of semiconcavity, there are some results which are peculiar to the case of a linear modulus; we collect in this section some important ones, in addition to those already given in Proposition 1.1.3.

We have seen in Proposition 1.1.3 that semiconcave functions with a linear modulus can be regarded as $C^{2}$ perturbations of concave functions. This allows to extend immediately some well-known properties of concave functions, such as the following.

Theorem 2.3.1 Let $u \in \mathrm{SCL}(A)$, with $A \subset \mathbb{R}^{n}$ open. Then the following properties hold.
(i) (Alexandroff’s Theorem) $u$ is twice differentiable a.e, that is, for a.e. every $x_{0} \in A$, there exist a vector $p \in \mathbb{R}^{n}$ and a symmetric matrix $B$ such that
$$
\lim {x \rightarrow x{0}} \frac{u(x)-u\left(x_{0}\right)-\left\langle p, x-x_{0}\right)+\left\langle B\left(x-x_{0}\right), x-x_{0}\right\rangle}{\left|x-x_{0}\right|^{2}}=0 .
$$
(ii) The gradient of u, defined almost everywhere in A, belongs to the class $\mathrm{BV}_{\text {loc }}\left(A, \mathbb{R}^{n}\right)$.
Proof – Properties (i) and (ii) hold for a convex function (see e.g., $[72$, Ch. 6.3]). Since $u$ is the difference of a smooth function and a convex one, $u$ also satisfies these properties.

The following result shows that semiconcave functions with linear modulus exhibit a behavior similar to $C^{2}$ functions near a minimum point.

Theorem 2.3.2 Let $u \in \mathrm{SCL}(A)$, with $A \subset \mathbb{R}^{n}$ open, and let $x_{0} \in A$ be a point of local minimum for $u$. Then there exist a sequence $\left{x_{h}\right} \subset A$ and an infinitesimal sequence $\left{\varepsilon_{h}\right} \subset \mathbb{R}+$ such that $u$ is $t$ wice differentiable in $x_{h}$ and that
$$
\lim {h \rightarrow \infty} x{h}=x_{0}, \quad \lim {h \rightarrow \infty} D u\left(x{h}\right)=0, \quad D^{2} u\left(x_{h}\right) \geq-\varepsilon_{h} I \quad \forall h .
$$
The proof of this theorem is based on the following result.

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A differential Harnack inequality

Let us consider the parabolic Hamilton-Jacobi equation
$$
\partial_{f} u(t, x)+|\nabla u(t, x)|^{2}=\Delta u(t, x), \quad t \geq 0, x \in \mathbb{R}^{n} .
$$
We have seen in Proposition 2.2.6 that the solutions to this equation are semiconcave. We now show how such a semiconcavity result is related to the classical Harnack inequality for the heat equation.

A remarkable feature of equation $(2.15)$ is that it can be reduced to the heat equation by a change of unknown called the Cole-Hopf transformation, or logarithmic transformation. In fact, if we set $w(t, x)=\exp (-u(t, x))$, a direct computation shows that $u$ satisfies $(2.15)$ if and only if $\partial_{t} w=\Delta w$. Let us investigate the properties of $w$ which follow from the semiconcavity of $u$.

Proposition 2.4.1 Let $w$ be a positive solution of the heat equation in $[0, T] \times \mathbb{R}^{n}$ whose first and second derivatives are bounded. Then w satisfies
$$
\nabla^{2} w+\frac{w}{2 t} I-\frac{\nabla w \otimes \nabla w}{w} \geq 0
$$
Here $\nabla^{2} w$ denotes the hessian matrix of $w$ with respect to the space variables; inequality (2.16) means that the matrix on the left-hand side is positive semidefinite.
Proof – It is not restrictive to assume that $w$ is greater than some positive constant; if this is not the case, we can replace $w$ by $w+\varepsilon$ and then let $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$. Let us set $u(t, x)=-\ln (w(t, x))$. Then $u$ is a solution of equation (2.15). In addition, $u$ is bounded together with its first and second derivatives. Therefore, by Proposition $2.2 .6, u\left(t,{ }^{-}\right)$is semiconcave with modulus $\omega(\rho)=\rho /(4 t)$. Using the equivalent formulations of Proposition 1.1.3, we can restate this property as
$$
\nabla^{2} u \leq \frac{1}{2 t} I
$$
On the other hand, an easy computation shows that
$$
\nabla^{2} u=-\frac{\nabla^{2} w}{w}+\frac{\nabla w \otimes \nabla w}{w^{2}}
$$
and this proves (2.16). Taking the trace of the left-hand side of (2.16), we obtain
$$
\Delta w+\frac{n w}{2 t}-\frac{|\nabla w|^{2}}{w} \geq 0
$$
which implies $(2.17)$, since $w$ solves the heat equation.
Inequality (2.17) is called a differential Harnack estimate. The connection with the classical Harnack inequality is explained by the following result.

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A generalized semiconcavity estimate

In this section we compare the semiconcavity estimate with another one-sided estimate, a priori weaker, which was introduced in [46]. We prove here that the two estimates are in some sense equivalent, and this has applications for the study of certain Hamilton-Jacobi equations, as we will see in the following (see Theorem $5.3 .7)$.

Let us consider a function $u: A \rightarrow \mathbb{R}$, with $A \subset \mathbb{R}^{n}$ open. Given $x 0 \in A$, we set, for $0<\delta<\operatorname{dist}\left(x_{0}, \partial A\right), x \in B_{1}$,
$$
u_{x_{0}, \delta}(x)=\frac{u\left(x_{0}+\delta x\right)-u\left(x_{0}\right)}{\delta}
$$

Definition 2.5.1 Let $C \subset A$ be a compact set. We say that u satisfies a generalized one-sided estimate in $C$ if there exist $\left.K \geq 0, \delta_{0} \in\right] 0$, $\operatorname{dist}(C, \partial A)[$ and a nondecreasing upper semicontinuous function $\tilde{\omega}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}{+}$, such that $\lim {h \rightarrow 0} \tilde{\omega}(h)=0$ and
$$
\begin{aligned}
&\lambda u_{x_{0}, \delta}(x)+(1-\lambda) u_{x_{0}, \delta}(y)-u_{x_{0}, \delta}(\lambda x+(1-\lambda) y) \
&\leq \lambda(1-\lambda)|x-y|{K \delta+\widetilde{\omega}(|x-y|)}
\end{aligned}
$$
for all $\left.x_{0} \in C, \delta \in\right] 0, \delta_{0}\left[, x, y \in B_{1}, \lambda \in[0,1]\right.$.
It is easily seen that, if $u$ is semiconcave in $A$, then the above property is satisfied taking $\tilde{\omega}$ equal to a modulus of semiconcavity of $u$ in $A$ and $K=0$. Conversely, semiconcavity can be deduced from the one-sided estimate above, as the next result shows.

Theorem 2.5.2 Let $u: A \rightarrow \mathbb{R}$, with A open and let $C$ be a compact subset of $A$. If u satisfies a generalized one-sided estimate in $C$, then $u$ is semiconcave in $C$.

Proof – By hypothesis inequality $(2.20)$ holds for some $K, \delta_{0}, \tilde{\omega}$. Let us take $x, y \in$ $C$ such that $[x, y] \subset C$ and $\lambda \in[0,1]$. It is not restrictive to assume $|x-y|<\delta_{0} / 2$. For any $\delta$ with $|x-y|<\delta<\delta_{0}$, we set
$$
x_{0}=\lambda x+(1-\lambda) y, x^{\prime}=\delta^{-1}(1-\lambda)(x-y), y^{\prime}=\delta^{-1} \lambda(y-x) .
$$
From $(2.19)$ and $(2.20)$ we obtain
$$
\begin{aligned}
&\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \
&=\delta\left{\lambda u_{x_{0}, \delta}\left(x^{\prime}\right)+(1-\lambda) u_{x_{0}, \delta}\left(y^{\prime}\right)-u_{x_{0}, \delta}\left(\lambda x^{\prime}+(1-\lambda) y^{\prime}\right)\right} \
&\leq \delta \lambda(1-\lambda)\left|x^{\prime}-y^{\prime}\right|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\left|x^{\prime}-y^{\prime}\right|\right)\right} \
&=\lambda(1-\lambda)|x-y|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\delta^{-1}|x-y|\right)\right} .
\end{aligned}
$$
Therefore
$$
\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \leq \lambda(1-\lambda)|x-y| \omega(|x-y|)
$$
where $\omega(\rho):=\inf {\delta \in\rfloor \rho, \delta{0}[}\left{K \delta+\tilde{\omega}\left(\delta^{-1} \rho\right)\right}$. The function $\omega$ is upper semicontinuous and nondecreasing. The conclusion will follow if we show that $\lim {h \rightarrow 0} \omega(h)=0$. Given $\varepsilon \in 10.2 K \delta$ o $[$. we choose $\eta \in] 0$. 1[ such that $\tilde{\omega}(s)<\varepsilon / 2$ for $0{0}[$; therefore
$$
\omega(\rho) \leq\left{K \frac{\varepsilon}{2 K}+\tilde{\omega}\left(\frac{2 K}{\varepsilon} \rho\right)\right}<\varepsilon .
$$
This shows that $\lim _{\rho \rightarrow 0} \omega(\rho)=0$ and concludes the proof.

最优控制代考

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Special properties of SCL

虽然半凹函数的许多性质在任意半凹模量的情况下都是有效的，但也有一些结果是线性模量的情况所特有的。除了命题 1.1.3 中已经给出的内容之外，我们在本节中收集了一些重要的内容。

我们在命题 1.1.3 中已经看到，具有线性模量的半凹函数可以被视为C2凹函数的扰动。这允许立即扩展凹函数的一些众所周知的属性，例如以下。

定理 2.3.1 令在∈小号C大号(一种)， 和一种⊂Rn打开。那么以下性质成立。
(i) (Alexandroff 定理)在是二次可微的ae，也就是说，对于ae，每X0∈一种, 存在一个向量p∈Rn和一个对称矩阵乙这样
林X→X0在(X)−在(X0)−⟨p,X−X0)+⟨乙(X−X0),X−X0⟩|X−X0|2=0.
(ii) u 的梯度，在 A 中几乎处处定义，属于类乙在地方 (一种,Rn).
证明 – 属性 (i) 和 (ii) 适用于凸函数（参见例如，[72, 通道。6.3]）。自从在是平滑函数和凸函数的差，在也满足这些性质。

以下结果表明具有线性模量的半凹函数表现出类似于C2函数在最小值点附近。

定理 2.3.2 令在∈小号C大号(一种)， 和一种⊂Rn打开，让X0∈一种是局部最小值的一个点在. 那么存在一个序列\left{x_{h}\right} \subset A\left{x_{h}\right} \subset A和一个无穷小的序列\left{\varepsilon_{h}\right} \subset \mathbb{R}+\left{\varepsilon_{h}\right} \subset \mathbb{R}+这样在是吨wice 可微分XH然后
林H→∞XH=X0,林H→∞D在(XH)=0,D2在(XH)≥−eH一世∀H.
该定理的证明基于以下结果。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A differential Harnack inequality

让我们考虑抛物线 Hamilton-Jacobi 方程
∂F在(吨,X)+|∇在(吨,X)|2=Δ在(吨,X),吨≥0,X∈Rn.
我们在命题 2.2.6 中看到这个方程的解是半凹的。我们现在展示这样的半凹结果如何与热方程的经典 Harnack 不等式相关。

方程的一个显着特征(2.15)是它可以通过称为 Cole-Hopf 变换或对数变换的未知变化简化为热方程。事实上，如果我们设置在(吨,X)=经验⁡(−在(吨,X))，直接计算表明在满足(2.15)当且仅当∂吨在=Δ在. 让我们研究一下它的属性在从半凹处得出在.

命题 2.4.1 让在是热方程的正解[0,吨]×Rn其一阶和二阶导数是有界的。那么 w 满足
∇2在+在2吨一世−∇在⊗∇在在≥0
这里∇2在表示 Hessian 矩阵在关于空间变量；不等式 (2.16) 意味着左边的矩阵是半正定的。
证明——不限制假设在大于某个正常数；如果不是这种情况，我们可以替换在经过在+e然后让e→0+. 让我们设置在(吨,X)=−ln⁡(在(吨,X)). 然后在是方程 (2.15) 的解。此外，在与它的一阶和二阶导数有界。因此，通过命题2.2.6,在(吨,−)是半凹模ω(ρ)=ρ/(4吨). 使用命题 1.1.3 的等价公式，我们可以将此属性重述为
∇2在≤12吨一世
另一方面，一个简单的计算表明
∇2在=−∇2在在+∇在⊗∇在在2
这证明了（2.16）。取 (2.16) 左边的迹，我们得到
Δ在+n在2吨−|∇在|2在≥0
这意味着(2.17)， 自从在求解热方程。
不等式 (2.17) 称为微分 Harnack 估计。以下结果解释了与经典哈纳克不等式的联系。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A generalized semiconcavity estimate

在本节中，我们将半凹性估计与另一个在 [46] 中介绍的单边估计（先验较弱）进行比较。我们在这里证明了这两个估计在某种意义上是等价的，这可以应用于某些 Hamilton-Jacobi 方程的研究，正如我们将在下面看到的那样（见 Theorem5.3.7).

让我们考虑一个函数在:一种→R， 和一种⊂Rn打开。给定X0∈一种，我们设置，为0<d<距离⁡(X0,∂一种),X∈乙1,
在X0,d(X)=在(X0+dX)−在(X0)d

定义 2.5.1 让C⊂一种是一个紧集。我们说 u 满足一个广义的单边估计C如果存在ķ≥0,d0∈]0, 距离⁡(C,∂一种)[和一个非减半连续函数 $\tilde{\omega}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} {+},s在CH吨H一种吨\lim {h \rightarrow 0} \波浪号{\omega}(h)=0一种ndλ在X0,d(X)+(1−λ)在X0,d(是的)−在X0,d(λX+(1−λ)是的) ≤λ(1−λ)|X−是的|ķd+ω~(|X−是的|)F这r一种ll\left.x_{0} \in C, \delta \in\right] 0, \delta_{0}\left[, x, y \in B_{1}, \lambda \in[0,1]\right ..一世吨一世s和一种s一世l是的s和和n吨H一种吨,一世F在一世ss和米一世C这nC一种在和一世n一种,吨H和n吨H和一种b这在和pr这p和r吨是的一世ss一种吨一世sF一世和d吨一种ķ一世nG\波浪号{\欧米茄}和q在一种l吨这一种米这d在l在s这Fs和米一世C这nC一种在一世吨是的这F在一世n一种一种ndK=0$。相反，半凹度可以从上面的单边估计推导出来，如下一个结果所示。

定理 2.5.2 让在:一种→R, 用 A 打开并让C是一个紧凑的子集一种. 如果你满足一个广义的单边估计C， 然后在是半凹的C.

证明——通过假设不等式(2.20)持有一些ķ,d0,ω~. 让我们采取X,是的∈ C这样[X,是的]⊂C和λ∈[0,1]. 假设没有限制|X−是的|<d0/2. 对于任何d和|X−是的|<d<d0， 我们设置
X0=λX+(1−λ)是的,X′=d−1(1−λ)(X−是的),是的′=d−1λ(是的−X).
从(2.19)和(2.20)我们获得
\begin{对齐} &\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \ &=\delta\left{\lambda u_{x_ {0}, \delta}\left(x^{\prime}\right)+(1-\lambda) u_{x_{0}, \delta}\left(y^{\prime}\right)-u_ {x_{0}, \delta}\left(\lambda x^{\prime}+(1-\lambda) y^{\prime}\right)\right} \ &\leq \delta \lambda(1- \lambda)\left|x^{\prime}-y^{\prime}\right|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\left|x^{\prime}-y^{ \prime}\right|\right)\right} \ &=\lambda(1-\lambda)|xy|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\delta^{-1}|xy |\right)\right} 。\结束{对齐}\begin{对齐} &\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \ &=\delta\left{\lambda u_{x_ {0}, \delta}\left(x^{\prime}\right)+(1-\lambda) u_{x_{0}, \delta}\left(y^{\prime}\right)-u_ {x_{0}, \delta}\left(\lambda x^{\prime}+(1-\lambda) y^{\prime}\right)\right} \ &\leq \delta \lambda(1- \lambda)\left|x^{\prime}-y^{\prime}\right|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\left|x^{\prime}-y^{ \prime}\right|\right)\right} \ &=\lambda(1-\lambda)|xy|\left{K \delta+\widetilde{\omega}\left(\delta^{-1}|xy |\right)\right} 。\结束{对齐}
所以
λ在(X)+(1−λ)在(是的)−在(λX+(1−λ)是的)≤λ(1−λ)|X−是的|ω(|X−是的|)
在哪里\omega(\rho):=\inf {\delta \in\rfloor \rho, \delta{0}[}\left{K \delta+\tilde{\omega}\left(\delta^{-1} \ rho\右）\右}\omega(\rho):=\inf {\delta \in\rfloor \rho, \delta{0}[}\left{K \delta+\tilde{\omega}\left(\delta^{-1} \ rho\右）\右}. 功能ω是上半连续且非递减的。如果我们证明林H→0ω(H)=0. 给定e∈10.2ķd这[. 我们选择这∈]0. 1[这样ω~(s)<e/2为了00[; 所以
\omega(\rho) \leq\left{K \frac{\varepsilon}{2 K}+\波浪号{\omega}\left(\frac{2 K}{\varepsilon} \rho\right)\right} <\伐普西隆。\omega(\rho) \leq\left{K \frac{\varepsilon}{2 K}+\波浪号{\omega}\left(\frac{2 K}{\varepsilon} \rho\right)\right} <\伐普西隆。
这表明林ρ→0ω(ρ)=0并总结证明。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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有限元方法代写

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随机分析代写

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时间序列分析代写

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回归分析代写

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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcave Functions

This chapter and the following two are devoted to the general properties of semiconcave functions. We begin here by studying the direct consequences of the definition and some basic examples, while the next chapters deal with generalized differentials and singularities. At this stage we study semiconcave functions without referring to specific applications; later in the book we show how the results obtained here can be applied to Hamilton-Jacobi equations and optimization problems.

The chapter is structured as follows. In Section $2.1$ we define semiconcave functions in full generality, and study some direct consequences of the definition, like the Lipschitz continuity and the relationship with the differentiability. Then we consider some examples in Section 2.2, like the distance function from a set, or the solutions to certain partial differential equations. We give an account of the vanishing viscosity method for Hamilton-Jacobi equations, where semiconcavity estimates play an important role. In Section $2.3$ we recall some properties which are peculiar to semiconcave functions with a linear modulus, like Alexandroff’s theorem or Jensen’s lemma. In Section $2.4$ we investigate the relation between viscous Hamilton-Jacobi equations and the heat equation induced by the Cole-Hopf transformation, showing that semiconcavity corresponds to the Li-Yau differential Harnack inequality for the heat equation. Finally, in Section $2.5$ we analyze the relation between semiconcavity and a generalized one-sided estimate, a property which will be applied later in the book to prove semiconcavity of viscosity solutions.

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Definition and basic properties

Throughout the section $S$ will be a subset of $\mathbb{R}^{n}$.
Definition 2.1.1 We say that a function $u: S \rightarrow \mathbb{R}$ is semiconcave if there exists a nondecreasing upper semicontinuous function $\omega: \mathbb{R}{+} \rightarrow \mathbb{R}{+}$such that $\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \omega(\rho)=0$ and
$$
\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \leq \lambda(1-\lambda)|x-y| \omega(|x-y|)
$$

for any pair $x, y \in S$, such that the segment $[x, y]$ is contained in $S$ and for any $\lambda \in[0,1]$. We call $\omega a$ modulus of semiconcavity for $u$ in $S$. A function $v$ is called semiconvex in $S$ if $-v$ is semiconcave.

In the case of $\omega$ linear, we recover the class of semiconcave functions introduced in the previous chapter (see Definition 1.1.1 and Proposition 1.1.3). We recall that, if $\omega(\rho)=\frac{C}{2} \rho$, for some $C \geq 0$, then $C$ is called a semiconcavity constant for $u$ in $S$.
We denote by $\mathrm{SC}(S)$ the space of all semiconcave functions in $S$ and by $\mathrm{SCL}(S)$ the functions which are semiconcave in $S$ with a linear modulus. A usual, we use the notation $S C_{l o c}(S)$ or $S C L_{l o c}(S)$ for the functions which are semiconcave (with a linear modulus) locally in $S$, i.e., on every compact subset of $S$.

As we have remarked in Chapter 1 , semiconcave functions with a linear modulus are the most common in the literature. Although they are a smaller class, they are sufficient for many applications; in addition, they enjoy stronger properties than general semiconcave functions and are easier to analyze, since they are more closely related to concave functions. Nevertheless, it is interesting to consider semiconcave functions with a general modulus, since they are a larger class, sharing many of the properties of the case of a linear modulus.

An interesting consequence of the general definition of semiconcavity given above is that any $C^{1}$ function is semiconcave, without any assumption on its second derivatives, as the next result shows.

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Examples

A first interesting example of a semiconcave function is provided by the distance function. We recall that the distance function from a given nonempty closed set $C \subset$ $\mathbb{R}^{n}$ is defined by
$$
d_{C}(x)=\min {y \in C}|y-x|, \quad\left(x \in \mathbb{R}^{n}\right) $$ As we show below, $d{C}$ is not semiconcave in the whole space $\mathbb{R}^{n}$, but is semiconcave on the complement of $C$, at least locally. On the other hand, the square of the distance function is semiconcave in $\mathbb{R}^{\pi}$. Before proving this result, let us introduce a property of sets which is useful for the analysis of the semiconcavity of $d_{C}$.

Definition 2.2.1 We say that a set $C \subset \mathbb{R}^{n}$ satisfies an interior sphere condition for some $r>0$ if $C$ is the union of closed spheres of radius $r$, i.e., for any $x \in C$ there exists y such that $x \in \overline{B_{r}(y)} \subset C$.

Proposition 2.2.2 Let $C \subset \mathbb{R}^{n}$ be a closed set, $C \neq \emptyset, \mathbb{R}^{n}$. Then the distance funcrion $d_{C}$ satisfies the following properties:
(i) $d_{C}^{2} \in \mathrm{SCL}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ with semiconcavity constant 2 .
(ii) $d_{C} \in \mathrm{SCL}{\text {loc }}\left(\mathbb{R}^{n} \backslash C\right.$ ). More precisely, given a set $S$ (not necessarily compact) such that dist $(S, C)>0, d{C}$ is semiconcave in $S$ with semiconcavity constant equal to $\operatorname{dist}(S, C)^{-1}$.
(iii) If C satisfies an interior sphere condition for some $r>0$, then $d c \in \mathrm{SCL}\left(\overline{\mathbb{R}^{n} \backslash C}\right)$ with semiconcavity constant equal to $r^{-1}$.
(iv) $d_{C}$ is not locally semiconcave in the whole space $\mathbb{R}^{n}$.
Proof – (i) For any $x \in \mathbb{R}^{n}$ we have
$$
d_{C}^{2}(x)-|x|^{2}=\inf {y \in C}|x-y|^{2}-|x|^{2}=\inf {y \in C}|y|^{2}-2\langle x, y\rangle
$$
Since the infimum of linear functions is concave we deduce, by Proposition 1.1.3, that property (i) holds.
(ii) Let us first observe that, given $z, h \in \mathbb{R}^{n}, z \neq 0$, we have
$$
\begin{aligned}
&(|z+h|+|z-h|)^{2} \
&\leq 2\left(|z+h|^{2}+|z-h|^{2}\right)=4\left(|z|^{2}+|h|^{2}\right) \leq\left(2|z|+\frac{|h|^{2}}{|z|}\right)^{2}
\end{aligned}
$$

最优控制代考

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcave Functions

本章和以下两章专门讨论半凹函数的一般性质。我们在这里首先研究定义的直接后果和一些基本示例，而下一章将处理广义微分和奇点。在这个阶段我们研究半凹函数而不参考具体应用；在本书的后面，我们将展示如何将此处获得的结果应用于 Hamilton-Jacobi 方程和优化问题。

本章结构如下。在部分2.1我们完全通用地定义了半凹函数，并研究了定义的一些直接后果，例如 Lipschitz 连续性以及与可微性的关系。然后我们考虑 2.2 节中的一些例子，比如距离函数，或者某些偏微分方程的解。我们给出了 Hamilton-Jacobi 方程的消失粘度法的说明，其中半凹度估计起着重要作用。在部分2.3我们回想起具有线性模量的半凹函数所特有的一些性质，例如 Alexandroff 定理或 Jensen 引理。在部分2.4我们研究了粘性 Hamilton-Jacobi 方程与 Cole-Hopf 变换引起的热方程之间的关系，表明半凹性对应于热方程的 Li-Yau 微分 Harnack 不等式。最后，在部分2.5我们分析了半凹性和广义单面估计之间的关系，这一性质将在本书后面用于证明粘度解的半凹性。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Definition and basic properties

在整个部分小号将是的一个子集Rn.
定义 2.1.1 我们说一个函数在:小号→R如果存在非减半连续函数 $\omega: \mathbb{R} {+} \rightarrow \mathbb{R} {+}是半凹的s在CH吨H一种吨\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \omega(\rho)=0一种ndλ在(X)+(1−λ)在(是的)−在(λX+(1−λ)是的)≤λ(1−λ)|X−是的|ω(|X−是的|)$

对于任何一对X,是的∈小号，使得该段[X,是的]包含在小号并且对于任何λ∈[0,1]. 我们称之为ω一种半凹模量为在在小号. 一个函数在被称为半凸小号如果−在是半凹的。

如果是ω线性，我们恢复了前一章介绍的半凹函数类（见定义 1.1.1 和命题 1.1.3）。我们记得，如果ω(ρ)=C2ρ， 对于一些C≥0， 然后C称为半凹常数在在小号.
我们表示小号C(小号)所有半凹函数的空间小号并通过小号C大号(小号)半凹函数小号具有线性模量。通常，我们使用符号小号Cl这C(小号)或者小号C大号l这C(小号)对于局部半凹（具有线性模量）的函数小号，即，在每个紧凑子集上小号.

正如我们在第 1 章中提到的，具有线性模量的半凹函数在文献中是最常见的。虽然它们是一个较小的类，但它们对于许多应用程序来说已经足够了；此外，它们比一般的半凹函数具有更强的性质，并且更容易分析，因为它们与凹函数的关系更密切。然而，考虑具有一般模量的半凹函数是很有趣的，因为它们是一个更大的类，共享线性模量情况的许多性质。

上面给出的半凹度的一般定义的一个有趣的结果是，任何C1函数是半凹的，对它的二阶导数没有任何假设，如下一个结果所示。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Examples

距离函数提供了半凹函数的第一个有趣示例。我们回想起给定非空闭集的距离函数C⊂ Rn定义为
dC(X)=分钟是的∈C|是的−X|,(X∈Rn)正如我们在下面展示的，dC整个空间都不是半凹的Rn, 但在的补码上是半凹的C，至少在本地。另一方面，距离函数的平方是半凹的R圆周率. 在证明这个结果之前，让我们介绍一个集合的性质，它有助于分析dC.

定义 2.2.1 我们说一个集合C⊂Rn满足某些内部球体条件r>0如果C是半径闭合球体的并集r，即对于任何X∈C存在 y 使得X∈乙r(是的)¯⊂C.

命题 2.2.2 让C⊂Rn成为闭集，C≠∅,Rn. 那么距离函数dC满足以下性质：
(i)dC2∈小号C大号(Rn)半凹常数为 2 。
(二)dC∈小号C大号地方 (Rn∖C)。更准确地说，给定一个集合小号（不一定紧凑）使得 dist(小号,C)>0,dC是半凹的小号半凹常数等于距离⁡(小号,C)−1.
(iii) 如果 C 满足某个内部球体条件r>0， 然后dC∈小号C大号(Rn∖C¯)半凹常数等于r−1.
(四)dC在整个空间中不是局部半凹的Rn.
证明 – (i) 对于任何X∈Rn我们有
$$
d_{C}^{2}(x)-|x|^{2}=\inf {y \in C}|xy|^ {2}-|x|^{2}=\inf {y \in C}|y|^{2}-2\langle x, y\rangle
小号一世nC和吨H和一世nF一世米在米这Fl一世n和一种rF在nC吨一世这ns一世sC这nC一种在和在和d和d在C和,b是的磷r这p这s一世吨一世这n1.1.3,吨H一种吨pr这p和r吨是的(一世)H这lds.(一世一世)大号和吨在sF一世rs吨这bs和r在和吨H一种吨,G一世在和n$和,H∈Rn,和≠0$,在和H一种在和
(|和+H|+|和−H|)2 ≤2(|和+H|2+|和−H|2)=4(|和|2+|H|2)≤(2|和|+|H|2|和|)2
$$

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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Hamilton–Jacobi equations

In this section we introduce a partial differential equation which is solved by the value function of our variational problem. We assume throughout that hypotheses (1.9) are satisfied. We use the notation
$$
u_{t}=\frac{\partial u}{\partial t}, \quad \nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_{n}}\right)
$$
Theorem 1.4.1 Let $u$ be differentiable at a point $(t, x) \in Q_{T}$. Then
$$
u_{t}(t, x)+H(\nabla u(t, x))=0
$$
where
$$
H(p)=\sup _{q \in \mathbb{R}^{n}}[p \cdot q-L(q)] .
$$
Equation (1.14) is called the Hamilton-Jacobi equation of our problem in the calculus of variations. In the terminology of control theory, such an equation is also called Bellman’s equation or dynamic programming equation. The function $H$ is called the hamiltonian. In general, a function defined as in (1.15) is called the Legendre transform of $L$ (see Appendix A.1).

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Method of characteristics

We describe in this section the method of characteristics, which is a classical approach to the study of first order partial differential equations like the HamiltonJacobi equation (1.16). This method explains why such equations do not possess in general smooth solutions for all times, and has some interesting connections with the variational problem associated to the equation. A more general treatment of these topics will be given in Section 5.1.

Suppose that $H, u_{0}$ are in $C^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, and suppose that we already know that problem (1.16) has a solution $u$ of class $C^{2}$ in some strip $Q_{T}$. For fixed $z \in \mathbb{R}^{n}$, let us denote by $X(t ; z)$ the solution of the ordinary differential equation (here the dot denotes differentiation with respect to $t$ )
$$
\dot{X}=D H(\nabla u(t, X)), \quad X(0)=z
$$
Such a solution is defined in some maximal interval $\left[0, T_{z}[\right.$ (although it will later turn out that $T_{z}=T$ for all $\left.z\right)$. The curve $t \rightarrow(t, X(t ; z))$ is called the characteristic curve associated with $u$ and starting from the point $(0, z)$. Let us now set
$$
U(t ; z)=u(t, X(t ; z)), \quad P(t ; z)=\nabla u(t, X(t ; z)) .
$$
Then, using the fact that $u$ solves problem (1.16) we find that
$$
\begin{gathered}
\dot{U}=u_{t}(t, X)+\nabla u(t, X) \cdot \dot{X}=-H(P)+D H(P) \cdot P \
\dot{P}=\nabla u_{t}(t, X)+\nabla^{2} u(t, X) \dot{X}=\nabla\left(u_{t}+H(\nabla u)\right)(t, X)=0
\end{gathered}
$$
Therefore $P$ is constant, and so the right-hand side of (1.19) is also constant. Thus, $X$ is defined in $[0, T$ [ and we can compute explicitly $X, U, P$ obtaining
$$
\left{\begin{array}{l}
P(t ; z)=D u_{0}(z) \
X(t ; z)=z+t D H\left(D u_{0}(z)\right) \
U(t ; z)=u_{0}(z)+t\left[D H\left(D u_{0}(z)\right) \cdot D u_{0}(z)-H\left(D u_{0}(z)\right)\right]
\end{array}\right.
$$
Observe that the right-hand side of $(1.21)$ is no longer defined in terms of the solution $u$, but only depends on the initial value $u_{0}$. This suggests that, even without assuming in advance the existence of a solution, one can use these formulas to define one. As we are now going to show, such a construction can be in general carried out only locally in time.

We need the following classical result about the global invertibility of maps (see e.g., [11, Th. 3.1.8]).

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcavity of Hopf’s solution

In this section we show that the semiconcavity property characterizes the value function among all possible Lipschitz continuous solutions of the Hamilton-Jacobi equation (1.16).
Theorem 1.6.1 Let $L, u_{0}$ satisfy assumptions (1.9). Suppose in addition that
(i) $L \in C^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right), D^{2} L(q) \leq \frac{2}{\alpha} I \quad \forall q \in \mathbb{R}^{n}$
(ii) $u_{0}(x+h)+u_{0}(x-h)-2 u_{0}(x) \leq C_{0}|h|^{2}, \quad \forall x, h \in \mathbb{R}^{n}$

for suitable constants $\alpha>0, C_{0} \geq 0$. Then there exists a constant $C_{1} \geq 0$ such that
$$
\begin{aligned}
&u(t+s, x+h)+u(t-s, x-h)-2 u(t, x) \
&\leq \frac{2 t C_{0}}{2 t+\alpha\left(t^{2}-s^{2}\right) C_{0}}\left(|h|+C_{1}|s|\right)^{2}
\end{aligned}
$$
for all $t>0, s \in]-t, t\left[, x, h \in \mathbb{R}^{n}\right.$.
Proof – For fixed $t, s, x, h$ as in the statement of the theorem, let us choose $\hat{x} \in \mathbb{R}^{n}$ such that
$$
u(t, x)=t L\left(\frac{x-\hat{x}}{t}\right)+u_{0}(\hat{x}) .
$$
Such a $\hat{x}$ exists by Hopf’s formula; in addition, by (1.13), there exists $C_{1}$, depending only on $L$, such that
$$
\frac{|x-\hat{x}|}{t} \leq C_{1} .
$$
We set, for $\lambda \geq 0$,
$$
x_{\lambda}^{+}=\hat{x}+\lambda\left(h-s \frac{x-\hat{x}}{t}\right), \quad x_{\lambda}^{-}=\hat{x}-\lambda\left(h-s \frac{x-\hat{x}}{t}\right) .
$$
Then we have
$$
\frac{x_{\lambda}^{+}+x_{\lambda}^{-}}{2}=\hat{x}, \quad \frac{x_{\lambda}^{+}-x_{\lambda}^{-}}{2}=\lambda\left(h-s \frac{x-\hat{x}}{t}\right) .
$$
By (1.29) we have
$$
\frac{\left|x_{\lambda}^{+}-x_{\lambda}^{-}\right|}{2} \leq \lambda\left(|h|+C_{1}|s|\right) .
$$
By Hopf’s formula (1.10) we have
$$
u(t \pm s, x \pm h) \leq(t \pm s) L\left(\frac{x \pm h-x_{\lambda}^{\pm}}{t \pm s}\right)+u_{0}\left(x_{\lambda}^{\pm}\right) .
$$

最优控制代考

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Hamilton–Jacobi equations

在本节中，我们介绍了一个由变分问题的值函数求解的偏微分方程。我们始终假设满足假设（1.9）。我们使用符号
在吨=∂在∂吨,∇在=(∂在∂X1,…,∂在∂Xn)
定理 1.4.1 让在在一点上可微(吨,X)∈问吨. 然后
在吨(吨,X)+H(∇在(吨,X))=0
在哪里
H(p)=支持q∈Rn[p⋅q−大号(q)].
方程 (1.14) 被称为变分法中我们问题的 Hamilton-Jacobi 方程。在控制理论的术语中，这样的方程也称为贝尔曼方程或动态规划方程。功能H被称为汉密尔顿。一般而言，在 (1.15) 中定义的函数称为勒让德变换大号（见附录 A.1）。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Method of characteristics

我们在本节中描述特征法，这是研究一阶偏微分方程（如 HamiltonJacobi 方程（1.16））的经典方法。这种方法解释了为什么这些方程在一般情况下并不总是具有平滑解，并且与方程相关的变分问题有一些有趣的联系。5.1 节将对这些主题进行更一般的处理。

假设H,在0在C2(Rn), 并假设我们已经知道问题 (1.16) 有一个解在类的C2在一些地带问吨. 对于固定和∈Rn，让我们表示为X(吨;和)常微分方程的解（这里的点表示关于吨 )
X˙=DH(∇在(吨,X)),X(0)=和
这样的解决方案是在某个最大间隔中定义的[0,吨和[（虽然后来会证明吨和=吨对全部和). 曲线吨→(吨,X(吨;和))被称为与相关的特征曲线在并从这一点开始(0,和). 现在让我们设置
在(吨;和)=在(吨,X(吨;和)),磷(吨;和)=∇在(吨,X(吨;和)).
然后，利用这个事实在解决问题 (1.16) 我们发现
在˙=在吨(吨,X)+∇在(吨,X)⋅X˙=−H(磷)+DH(磷)⋅磷 磷˙=∇在吨(吨,X)+∇2在(吨,X)X˙=∇(在吨+H(∇在))(吨,X)=0
所以磷是常数，所以 (1.19) 的右边也是常数。因此，X定义在[0,吨[ 我们可以显式计算X,在,磷获得
$$
\left{磷(吨;和)=D在0(和) X(吨;和)=和+吨DH(D在0(和)) 在(吨;和)=在0(和)+吨[DH(D在0(和))⋅D在0(和)−H(D在0(和))]\对。
$$
观察右边(1.21)不再根据解决方案定义在, 但仅取决于初始值在0. 这表明，即使事先不假设存在解决方案，也可以使用这些公式来定义一个解决方案。正如我们现在将要展示的，这样的构建通常只能在本地及时进行。

我们需要以下关于地图全局可逆性的经典结果（参见例如 [11, Th. 3.1.8]）。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcavity of Hopf’s solution

在本节中，我们展示了半凹特性表征了 Hamilton-Jacobi 方程 (1.16) 的所有可能的 Lipschitz 连续解中的值函数。
定理 1.6.1 令大号,在0满足假设（1.9）。另外假设
(i)大号∈C2(Rn),D2大号(q)≤2一种一世∀q∈Rn
(二)在0(X+H)+在0(X−H)−2在0(X)≤C0|H|2,∀X,H∈Rn

适合的常数一种>0,C0≥0. 那么存在一个常数C1≥0这样
在(吨+s,X+H)+在(吨−s,X−H)−2在(吨,X) ≤2吨C02吨+一种(吨2−s2)C0(|H|+C1|s|)2
对全部吨>0,s∈]−吨,吨[,X,H∈Rn.
证明 – 对于固定吨,s,X,H如在定理的陈述中，让我们选择X^∈Rn这样
在(吨,X)=吨大号(X−X^吨)+在0(X^).
这样一个X^由 Hopf 公式存在；此外，由（1.13），有C1, 仅取决于大号, 这样
|X−X^|吨≤C1.
我们设置，为λ≥0,
Xλ+=X^+λ(H−sX−X^吨),Xλ−=X^−λ(H−sX−X^吨).
然后我们有
Xλ++Xλ−2=X^,Xλ+−Xλ−2=λ(H−sX−X^吨).
由 (1.29) 我们有
|Xλ+−Xλ−|2≤λ(|H|+C1|s|).
由 Hopf 的公式 (1.10) 我们有
在(吨±s,X±H)≤(吨±s)大号(X±H−Xλ±吨±s)+在0(Xλ±).

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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