统计代写|数据科学代写data science代考| Circular PCA
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- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|数据科学代写data science代考|Circular PCA
Kirby and Miranda [5] introduced a circular unit at the component layer in order to describe a potential circular data structure by a closed curve. As illustrated in Fig. 2.4, a circular unit is a pair of networks units $p$ and $q$ whose output values $z_{p}$ and $z_{q}$ are constrained to lie on a unit circle
$$
z_{p}^{2}+z_{q}^{2}=1 .
$$
Thus, the values of both units can be described by a single angular variable $\theta$.
$$
z_{p}=\cos (\theta) \quad \text { and } \quad z_{q}=\sin (\theta)
$$
The forward propagation through the network is as follows: First, equivalent to standard units, both units are weighted sums of their inputs $z_{m}$ given by the values of all units $m$ in the previous layer.
$$
a_{p}=\sum_{m} w_{p m} z_{m} \quad \text { and } \quad a_{q}=\sum_{m} w_{q m} z_{m} .
$$
The weights $w_{p m}$ and $w_{q m}$ are of matrix $W_{2}$. Biases are not explicitly considered, however, they can be included by introducing an extra input with activation set to one.
The sums $a_{p}$ and $a_{q}$ are then corrected by the radial value
to obtain circularly constraint unit outputs $z_{p}$ and $z_{q}$
$$
z_{p}=\frac{a_{p}}{r} \quad \text { and } \quad z_{q}=\frac{a_{q}}{r} .
$$
统计代写|数据科学代写data science代考|Inverse Model of Nonlinear PCA
In this section we define nonlinear PCA as an inverse problem. While the classical forward problem consists of predicting the output from a given input, the inverse problem involves estimating the input which matches best a given output. Since the model or data generating process is not known, this is referred to as a blind inverse problem.
The simple linear PCA can be considered equally well either as a forward or inverse problem depending on whether the desired components are predicted as outputs or estimated as inputs by the respective algorithm. The autoassociative network models both the forward and the inverse model simultaneously. The forward model is given by the first part, the extraction
function $\Phi_{\text {extr }}: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Z}$. The inverse model is given by the second part, the generation function $\Phi_{g e n}: \mathcal{Z} \rightarrow \hat{\mathcal{X}}$. Even though a forward model is appropriate for linear PCA, it is less suitable for nonlinear PCA, as it sometimes can be functionally very complex or even intractable due to a one-to-many mapping problem. Two identical samples $\boldsymbol{x}$ may correspond to distinct component values $\boldsymbol{z}$, for example, the point of self-intersection in Fig. 2.6B.
By contrast, modelling the inverse mapping $\Phi_{g e n}: \mathcal{Z} \rightarrow \hat{\mathcal{X}}$ alone, provides a numher of advantages: we direstly model the assumed data generation process which is often much easier than modelling the extraction mapping. We also can extend the inverse NLPCA model to be applicable to incomplete data sets, since the data are only used to determine the error of the model output. And, it is more efficient than the entire autoassociative network, since we only have to estimate half of the network weights.
Since the desired components now are unknown inputs, the blind inverse problem is to estimate both the inputs and the parameters of the model by only given outputs. In the inverse NLPCA approach, we use one single error function for simultaneously optimising both the model weights $\boldsymbol{w}$ and the components as inputs $z$.
统计代写|数据科学代写data science代考|The Inverse Network Model
Inverse NLPCA is given by the mapping function $\Phi_{g e n}$, which is represented by a multi-layer perceptron (MLP) as illustrated in Fig. 2.5. The output $\hat{\boldsymbol{x}}$ depends on the input $z$ and the network weighte $w \in W_{3}, W_{4}$.
$$
\hat{\boldsymbol{x}}=\Phi_{g e n}(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{z})=W_{4} g\left(W_{3} z\right)
$$
The nonlinear activation function $g$ (e.g., tunh) is applied element-wise. Biases are not explicitly considered. They can be included by introducing extra units with activation set to one.
The aim is to find a function $\Phi_{g e n}$ which generates data $\hat{x}$ that approximate the observed data $\boldsymbol{x}$ by a minimal squared error $|\hat{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{x}|^{2}$. Hence, we search for a minimal error depending on $\boldsymbol{w}$ and $z: \min {w, z}\left|\Phi{g e n}(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{z})-\boldsymbol{x}\right|^{2}$. Both the lower dimensional component representation $z$ and the model parameters $w$ are unknown and can be estimated by minimising the reconstruction error:
$$
E(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{z})=\frac{1}{2} \sum_{n}^{N} \sum_{i}^{d}\left[\sum_{j}^{h} w_{i j} g\left(\sum_{i}^{m} w_{j k} z_{k}^{n}\right)-x_{i}^{n}\right]^{2}
$$
where $N$ is the number of samples and $d$ the dimensionality.
The error can be minimised by using a gradient optimisation algorithm, e.g., conjugate gradient descent [31]. The gradients are obtained by propagating the partial errors $\sigma_{i}^{n}$ back to the input layer, meaning one layer more than
usual. The gradients of the weights $w_{i j} \in W_{4}$ and $w_{j k} \in W_{3}$ are given by the partial derivatives:
$$
\begin{array}{ll}
\frac{\partial E}{\partial w_{i j}}=\sum_{n} \sigma_{i}^{n} g\left(a_{j}^{n}\right) \quad ; \quad & \sigma_{i}^{n}=\hat{x}{i}^{n}-x{i}^{n} \
\frac{\partial E}{\partial w_{j k}}=\sum_{n} \sigma_{j}^{n} z_{k}^{n} \quad ; \quad \sigma_{j}^{n}=g^{\prime}\left(a_{j}^{n}\right) \sum_{i} w_{1 j} \sigma_{i}^{n}
\end{array}
$$
The partial derivatives of linear input units $\left(z_{k}=a_{k}\right)$ are:
$$
\frac{\partial E}{\partial z_{k}^{n}}=\sigma_{k}^{n}=\sum_{j} w_{j k} \sigma_{j}^{n}
$$
For circular input units given by equations (2.6) and (2.7), the partial derivatives of $a_{p}$ and $a_{q}$ are:
$$
\frac{\partial E}{\partial a_{p}^{n}}=\left(\bar{\sigma}{p}^{n} z{q}^{n}-\tilde{\sigma}{q}^{n} z{p}^{n}\right) \frac{z_{q}^{n}}{r_{n}^{3}} \quad \text { and } \quad \frac{\partial E}{\partial a_{q}^{n}}=\left(\bar{\sigma}{q}^{n} z{p}^{n}-\bar{\sigma}{p}^{n} z{q}^{n}\right) \frac{z_{p}^{n}}{r_{n}^{3}}
$$
数据可视化代写
统计代写|数据科学代写data science代考|Circular PCA
Kirby 和 Miranda [5] 在组件层引入了一个圆形单元，以便通过闭合曲线描述潜在的圆形数据结构。如图 2.4 所示，一个圆形单元是一对网络单元p和q其输出值和p和和q被限制在单位圆上
和p2+和q2=1.
因此，两个单位的值都可以用一个角度变量来描述θ.
和p=因(θ) 和 和q=罪(θ)
通过网络的前向传播如下：首先，等价于标准单位，两个单位都是其输入的加权和和米由所有单位的值给出米在上一层。
一种p=∑米在p米和米 和 一种q=∑米在q米和米.
权重在p米和在q米是矩阵在2. 没有明确考虑偏差，但是，可以通过引入额外的输入并将激活设置为 1 来包含偏差。
总和一种p和一种q然后通过径向值校正
以获得循环约束单元输出和p和和q
和p=一种pr 和 和q=一种qr.
统计代写|数据科学代写data science代考|Inverse Model of Nonlinear PCA
在本节中，我们将非线性 PCA 定义为逆问题。经典的正向问题包括预测给定输入的输出，而逆向问题涉及估计与给定输出最匹配的输入。由于模型或数据生成过程是未知的，这被称为盲反问题。
简单的线性 PCA 可以被视为正向或逆向问题，这取决于所需的组件是被预测为输出还是被相应算法估计为输入。自关联网络同时对正向和逆向模型进行建模。前向模型由第一部分给出，提取
功能披提取物 :X→从. 逆模型由第二部分给出，生成函数披G和n:从→X^. 尽管前向模型适用于线性 PCA，但它不太适用于非线性 PCA，因为由于一对多映射问题，它有时在功能上可能非常复杂甚至难以处理。两个相同的样本X可能对应于不同的组件值和，例如图 2.6B 中的自交点。
相比之下，建模逆映射披G和n:从→X^仅此一项就提供了许多优势：我们直接对假设的数据生成过程进行建模，这通常比对提取映射建模容易得多。我们还可以扩展逆 NLPCA 模型以适用于不完整的数据集，因为数据仅用于确定模型输出的误差。而且，它比整个自关联网络更有效，因为我们只需要估计一半的网络权重。
由于所需的组件现在是未知的输入，盲逆问题是仅通过给定的输出来估计模型的输入和参数。在逆 NLPCA 方法中，我们使用一个单一的误差函数来同时优化两个模型权重在和组件作为输入和.
统计代写|数据科学代写data science代考|The Inverse Network Model
逆 NLPCA 由映射函数给出披G和n，它由多层感知器（MLP）表示，如图 2.5 所示。输出X^取决于输入和和网络权重在∈在3,在4.
X^=披G和n(在,和)=在4G(在3和)
非线性激活函数G（例如，tunh）是按元素应用的。没有明确考虑偏差。可以通过引入激活设置为 1 的额外单元来包含它们。
目的是找到一个函数披G和n生成数据X^近似观察到的数据X通过最小平方误差|X^−X|2. 因此，我们根据在和 $z: \min {w, z}\left|\Phi {gen}(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{z})-\boldsymbol{x}\right|^{2}.乙这吨H吨H和l这在和rd一世米和ns一世这n一种lC这米p这n和n吨r和pr和s和n吨一种吨一世这n和一种nd吨H和米这d和lp一种r一种米和吨和rs在一种r和在nķn这在n一种ndC一种nb和和s吨一世米一种吨和db是米一世n一世米一世s一世nG吨H和r和C这ns吨r在C吨一世这n和rr这r:和(在,和)=12∑nñ∑一世d[∑jH在一世jG(∑一世米在jķ和ķn)−X一世n]2在H和r和ñ一世s吨H和n在米b和r这Fs一种米pl和s一种ndd吨H和d一世米和ns一世这n一种l一世吨是.吨H和和rr这rC一种nb和米一世n一世米一世s和db是在s一世nG一种Gr一种d一世和n吨这p吨一世米一世s一种吨一世这n一种lG这r一世吨H米,和.G.,C这nj在G一种吨和Gr一种d一世和n吨d和sC和n吨[31].吨H和Gr一种d一世和n吨s一种r和这b吨一种一世n和db是pr这p一种G一种吨一世nG吨H和p一种r吨一世一种l和rr这rs\sigma_{i}^{n}$ 回到输入层，意思是多一层
通常。权重的梯度在一世j∈在4和在jķ∈在3由偏导数给出：
∂和∂在一世j=∑nσ一世nG(一种jn);σ一世n=X^一世n−X一世n ∂和∂在jķ=∑nσjn和ķn;σjn=G′(一种jn)∑一世在1jσ一世n
线性输入单元的偏导数(和ķ=一种ķ)是：
∂和∂和ķn=σķn=∑j在jķσjn
对于方程 (2.6) 和 (2.7) 给出的圆形输入单元，一种p和一种q是：
∂和∂一种pn=(σ¯pn和qn−σ~qn和pn)和qnrn3 和 ∂和∂一种qn=(σ¯qn和pn−σ¯pn和qn)和pnrn3
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
