数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Math131A

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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Carathéodory Outer Measure

85.2. Definition. An outer measure $\varphi$ defined on a metric space $(X, \rho)$ is called a Carathéodory outer measure if
$$\varphi(A \cup B)=\varphi(A)+\varphi(B)$$
whenever $A, B$ are arbitrary subsets of $X$ with $\boldsymbol{d}(A, B)>0$. The notation $\boldsymbol{d}(A, B)$ denotes the distance between the sets $A$ and $B$ and is defined by
$$\boldsymbol{d}(A, B):=\inf {\rho(a, b): a \in A, b \in B} .$$
86.1. THEOREM. If $\varphi$ is a Carathéodory outer measure on a metric space $X$, then all closed sets are $\varphi$-measurable.

Proof. We will verify the condition in Definition 79.1 whenever $C$ is a closed set. Because $\varphi$ is subadditive, it suffices to show
$$\varphi(A) \geq \varphi(A \cap C)+\varphi(A \backslash C)$$
whenever $A \subset X$. In order to prove (86.2), consider $A \subset X$ with $\varphi(A)<\infty$ and for each positive integer $i$, let $C_i={x: \boldsymbol{d}(x, C) \leq 1 / i}$. Note that $$\boldsymbol{d}\left(A \backslash C_i, A \cap C\right) \geq \frac{1}{i}>0 .$$
Since $A \supset\left(A \backslash C_i\right) \cup(A \backslash C),(85.2)$ implies
$$\varphi(A) \geq \varphi\left(\left(A \backslash C_i\right) \cup(A \cap C)\right) \geq \varphi\left(A \backslash C_i\right)+\varphi(A \cap C) .$$
Because of this inequality, the proof of (86.2) will be concluded if we can show that
$$\lim _{i \rightarrow \infty} \varphi\left(A \backslash C_i\right)=\varphi(A \backslash C) .$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lebesgue Measure

For the purpose of defining Lebesgue outer measure on $\mathbb{R}^n$, we consider closed $n$-dimensional intervals
$$I=\left{x: a_i \leq x_i \leq b_i, i=1,2, \ldots, n\right}$$
and their volumes
$$v(I)=\prod_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right) .$$
With $I_1=\left[a_1, b_1\right], I_2=\left[a_2, b_2\right], \ldots, I_n=\left[a_n, b_n\right]$, we have
$$I=I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n .$$
Notice that $n$-dimensional intervals have their edges parallel to the coordinate axes of $\mathbb{R}^n$. When no confusion arises, we shall simply say “interval” rather than ” $n$ dimensional interval.”

In preparation for the development of Lebesgue measure, we state two elementary propositions concerning intervals whose proofs will be omitted.
88.1. THEOREM. Suppose each edge $I_k=\left[a_k, b_k\right]$ of an n-dimensio-nal interval $I$ is partitioned into $\alpha_k$ subintervals. The products of these intervals produce a partition of $I$ into $\beta:=\alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdots \alpha_n$ subintervals $I_i$ and
$$v(I)=\sum_{i=1}^\beta v\left(I_i\right) .$$
88.2. THEOREM. For each interval $I$ and each $\varepsilon>0$, there exists an interval $J$ whose interior contains $I$ and
$$v(J)<v(I)+\varepsilon$$

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Carathéodory Outer Measure

85.2. 定义。在度量空间$(X, \rho)$上定义的外测度$\varphi$称为carathacimodory外测度if
$$\varphi(A \cup B)=\varphi(A)+\varphi(B)$$

$$\boldsymbol{d}(A, B):=\inf {\rho(a, b): a \in A, b \in B} .$$
86.1. 定理。如果$\varphi$是度量空间$X$上的一个carathimodory外测度，那么所有的闭集都是$\varphi$ -可测的。

$$\varphi(A) \geq \varphi(A \cap C)+\varphi(A \backslash C)$$

$$\varphi(A) \geq \varphi\left(\left(A \backslash C_i\right) \cup(A \cap C)\right) \geq \varphi\left(A \backslash C_i\right)+\varphi(A \cap C) .$$

$$\lim _{i \rightarrow \infty} \varphi\left(A \backslash C_i\right)=\varphi(A \backslash C) .$$

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lebesgue Measure

$$I=\left{x: a_i \leq x_i \leq b_i, i=1,2, \ldots, n\right}$$

$$v(I)=\prod_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right) .$$

$$I=I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n .$$

88.1. 定理。假设n维信号区间$I$的每条边$I_k=\left[a_k, b_k\right]$被划分为$\alpha_k$个子区间。这些区间的乘积将$I$划分为$\beta:=\alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdots \alpha_n$子区间$I_i$和
$$v(I)=\sum_{i=1}^\beta v\left(I_i\right) .$$
88.2. 定理。对于每个区间$I$和每个$\varepsilon>0$，存在一个区间$J$，其内部包含$I$和
$$v(J)<v(I)+\varepsilon$$

有限元方法代写

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MATLAB代写

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