统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|MAST90100

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统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。

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  • Statistical Inference 统计推断
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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|MAST90100

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Signal Recovery Problem

One of the basic problems in Signal Processing is the problem of recovering a signal $x \in \mathbf{R}^{n}$ from noisy observations
$$
y=A x+\eta
$$
of a linear image of the signal under a given sensing mapping $x \mapsto A x: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$; in (1.1), $\eta$ is the observation error. Matrix $A$ in (1.1) is called sensing matrix.
Recovery problems of the outlined types arise in many applications, including, but by far not reducing to,

  • communications, where $x$ is the signal sent by the transmitter, $y$ is the signal recorded by the receiver, and $A$ represents the communication channel (reflecting, e.g., dependencies of decays in the signals’ amplitude on the transmitter-receiver distances); $\eta$ here typically is modeled as the standard (zero mean, unit covariance matrix) $m$-dimensional Gaussian noise; ${ }^{1}$
  • image reconstruction, where the signal $x$ is an image – a $2 \mathrm{D}$ array in the usual photography, or a 3D array in tomography-and $y$ is data acquired by the imaging device. Here $\eta$ in many cases (although not always) can again be modeled as the standard Gaussian noise;
  • linear regression, arising in a wide range of applications. In linear regression, one is given $m$ pairs “input $a^{i} \in \mathbf{R}^{n \text { ” }}$ to a “black box,” with output $y_{i} \in \mathbf{R}$. Sometimes we have reason to believe that the output is a corrupted by noise version of the “existing in nature,” but unobservable, “ideal output” $y_{i}^{*}=x^{T} a^{i}$ which is just a linear function of the input (this is called “linear regression model,” with inputs $a^{i}$ called “regressors”). Our goal is to convert actual observations $\left(a^{i}, y_{i}\right), 1 \leq i \leq m$, into estimates of the unknown “true” vector of parameters $x$. Denoting by $A$ the matrix with the rows $\left[a^{i}\right]^{T}$ and assembling individual observations $y_{i}$ into a single observation $y=\left[y_{1} ; \ldots ; y_{m}\right] \in \mathbf{R}^{m}$, we arrive at the problem of recovering vector $x$ from noisy observations of $A x$. Here again the most popular model for $\eta$ is the standard Gaussian noise.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Parametric and nonparametric cases

Recovering signal $x$ from observation $y$ would be easy if there were no observation noise $(\eta=0)$ and the rank of matrix $A$ were equal to the dimension $n$ of the signals. In this case, which arises only when $m \geq n$ (“more observations than unknown parameters”), and is typical in this range of $m$ and $n$, the desired $x$ would be the unique solution to the system of linear equations, and to find $x$ would be a simple problem of Linear Algebra. Aside from this trivial “enough observations, no noise” case, people over the years have looked at the following two versions of the recovery problem:

Parametric case: $m \gg n, \eta$ is nontrivial noise with zero mean, say, standard Gaussian. This is the classical statistical setup with the emphasis on how to use numerous available observations in order to suppress in the recovery, to the extent possible, the influence of observation noise.

Nonparametric case: $m \ll n .^{2}$ If addressed literally, this case seems to be senseless: when the number of observations is less that the number of unknown parameters, even in the noiseless case we arrive at the necessity to solve an undetermined (fewer equations than unknowns) system of linear equations. Linear Algebra says that if solvable, the system has infinitely many solutions. Moreover, the solution set (an affine subspace of positive dimension) is unbounded, meaning that the solutions are in no sense close to each other. A typical way to make the case of $m \ll n$ meaningful is to add to the observations (1.1) some a priori information about the signal. In traditional Nonparametric Statistics, this additional information is summarized in a bounded convex set $X \subset \mathbf{R}^{n}$, given to us in advance, known to contain the true signal $x$. This set usually is such that every signal $x \in X$ can be approximated by a linear combination of $s=1,2, \ldots, n$ vectors from a properly selected basis known to us in advance (“dictionary” in the slang of signal processing) within accuracy $\delta(s)$, where $\delta(s)$ is a function, known in advance, approaching 0 as $s \rightarrow \infty$. In this situation, with appropriate $A$ (e.g., just the unit matrix, as in the denoising problem), we can select some $s \leqslant m$ and try to recover $x$ as if it were a vector from the linear span $E_{s}$ of the first $s$ vectors of the outlined basis $[54,86,124,112,208]$. In the “ideal case,” $x \in E_{s}$, recovering $x$ in fact reduces to the case where the dimension of the signal is $s \ll m$ rather than $n \gg m$, and we arrive at the well-studied situation of recovering a signal of low (compared to the number of observations) dimension. In the “realistic case” of $x \delta(s)$-close to $E_{s}$, deviation of $x$ from $E_{s}$ results in an additional component in the recovery error (“bias”); a typical result of traditional Nonparametric Statistics quantifies the resulting error and minimizes it in $s[86,124,178,222,223,230,239]$. Of course, this outline of the traditional approach to “nonparametric” (with $n \gg m$ ) recovery problems is extremely sketchy, but it captures the most important fact in our context: with the traditional approach to nonparametric signal recovery, one assumes that after representing the signals by vectors of their coefficients in properly selected base, the $n$-dimensional signal to be recovered can be well approximated by an $s$-sparse (at most $s$ nonzero entries) signal, with $s \ll n$, and this sparse approximation can be obtained by zeroing out all but the first $s$ entries in the signal vector. The assumption just formulated indeed takes place for signals obtained by discretization of smooth uni- and multivariate functions, and this class of signals for several decades was the main, if not the only, focus of Nonparametric Statistics.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Compressed Sensing via ℓ1 minimization: Motivation

In principle there is nothing surprising in the fact that under reasonable assumption on the $m \times n$ sensing matrix $A$ we may hope to recover from noisy observations of $A x$ an $s$-sparse signal $x$, with $s \ll m$. Indeed, assume for the sake of simplicity that there are no observation errors, and let $\operatorname{Col}{j}[A]$ be $j$-th column in $A$. If we knew the locations $j{1}<j_{2}<\ldots<j_{s}$ of the nonzero entries in $x$, identifying $x$ could be reduced to solving the system of linear equations $\sum_{\ell=1}^{s} x_{i_{\ell}} \operatorname{Col}_{j \ell}[A]=y$ with $m$ equations and $s \ll m$ unknowns; assuming every $s$ columns in $A$ to be linearly independent (a quite unrestrictive assumption on a matrix with $m \geq s$ rows), the solution to the above system is unique, and is exactly the signal we are looking for. Of course, the assumption that we know the locations of nonzeros in $x$ makes the recovery problem completely trivial. However, it suggests the following course of action: given noiseless observation $y=A x$ of an s-sparse signal $x$, let us solve the combinatorial optimization problem
$$
\min {z}\left{|z|{0}: A z=y\right},
$$
where $|z|_{0}$ is the number of nonzero entries in $z$. Clearly, the problem has a solution with the value of the objective at most $s$. Moreover, it is immediately seen that if every $2 s$ columns in $A$ are linearly independent (which again is a very unrestrictive assumption on the matrix $A$ provided that $m \geq 2 s$ ), then the true signal $x$ is the unique optimal solution to $(1.2)$.
What was said so far can be extended to the case of noisy observations and “nearly $s$-sparse” signals $x$. For example, assuming that the observation error is “uncertainbut-bounded,” specifically some known norm $|\cdot|$ of this error does not exceed a given $\epsilon>0$, and that the true signal is s-sparse, we could solve the combinatorial optimization problem
$$
\min {z}\left{|z|{0}:|A z-y| \leq \epsilon\right} .
$$
Assuming that every $m \times 2 \mathrm{~s}$ submatrix $\bar{A}$ of $A$ is not just with linearly independent columns (i.e., with trivial kernel), but is reasonably well conditioned,
$$
|\bar{A} w| \geq C^{-1}|w|_{2}
$$
for all ( $2 s)$-dimensional vectors $w$, with some constant $C$, it is immediately seen that the true signal $x$ underlying the observation and the optimal solution $\widehat{x}$ of (1.3) are close to each other within accuracy of order of $\epsilon:|x-\widehat{x}|_{2} \leq 2 C \epsilon$. It is easily seen that the resulting error bound is basically as good as it could be.

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统计推断代考

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Signal Recovery Problem

信号处理的基本问题之一是恢复信号的问题X∈Rn从嘈杂的观察中

是=一个X+这
给定传感映射下信号的线性图像X↦一个X:Rn→R米; 在(1.1)中,这是观察误差。矩阵一个(1.1)中的称为传感矩阵。
概述类型的恢复问题出现在许多应用程序中,包括但到目前为止不归结为:

  • 通讯,在哪里X是发射机发送的信号,是是接收器记录的信号,并且一个表示通信信道(反映,例如,信号幅度衰减对发射机-接收机距离的依赖性);这这里通常被建模为标准(零均值,单位协方差矩阵)米-维高斯噪声;1
  • 图像重建,其中信号X是一个图像——一个2D通常摄影中的阵列,或断层扫描中的 3D 阵列 – 和是是成像设备获取的数据。这里这在许多情况下(尽管并非总是如此)可以再次建模为标准高斯噪声;
  • 线性回归,在广泛的应用中出现。在线性回归中,给出一个米对“输入一个一世∈Rn ” 到一个“黑匣子”,输出是一世∈R. 有时我们有理由相信输出是“存在于自然界”但不可观察的“理想输出”的噪声版本是一世∗=X吨一个一世这只是输入的线性函数(这称为“线性回归模型”,输入一个一世称为“回归器”)。我们的目标是转换实际观察结果(一个一世,是一世),1≤一世≤米, 估计未知的“真实”参数向量X. 表示一个具有行的矩阵[一个一世]吨并收集个人观察结果是一世一次观察是=[是1;…;是米]∈R米,我们得到了恢复向量的问题X从嘈杂的观察一个X. 这里又是最受欢迎的模型这是标准高斯噪声。

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恢复信号X从观察是如果没有观察噪音会很容易(这=0)和矩阵的秩一个等于维度n的信号。在这种情况下,只有当米≥n(“比未知参数更多的观察”),并且在这个范围内是典型的米和n, 所需X将是线性方程组的唯一解,并且找到X将是一个简单的线性代数问题。除了这个琐碎的“足够的观察,没有噪音”的案例之外,多年来人们已经研究了以下两个版本的恢复问题:

参数案例:米≫n,这是具有零均值的非平凡噪声,例如标准高斯噪声。这是经典的统计设置,重点是如何使用大量可用的观察结果,以便在恢复过程中尽可能抑制观察噪声的影响。

非参数案例:米≪n.2如果从字面上讲,这种情况似乎是毫无意义的:当观察的数量少于未知参数的数量时,即使在无噪声的情况下,我们也需要求解一个未确定的(方程少于未知数)线性方程组。线性代数说,如果可解,则系统有无限多的解。此外,解集(正维的仿射子空间)是无界的,这意味着解在任何意义上都不会彼此靠近。一个典型的方式来制作案例米≪n有意义的是将一些关于信号的先验信息添加到观察(1.1)中。在传统的非参数统计中,这些附加信息被汇总在一个有界凸集中X⊂Rn,提前给我们,已知包含真实信号X. 这组通常是这样的,每个信号X∈X可以通过以下的线性组合来近似s=1,2,…,n向量来自我们预先知道的正确选择的基础(信号处理的俚语中的“字典”)在精度范围内d(s), 在哪里d(s)是一个函数,预先知道,接近 0 为s→∞. 在这种情况下,适当的一个(例如,只是单位矩阵,就像在去噪问题中一样),我们可以选择一些s⩽米并尝试恢复X好像它是来自线性跨度的向量和s第一个s概述基的向量[54,86,124,112,208]. 在“理想情况”下,X∈和s, 恢复X实际上简化为信号的维数为s≪米而不是n≫米,我们达到了恢复低(与观察次数相比)维度的信号的充分研究的情况。在“现实案例”中Xd(s)-相近和s, 偏差X从和s导致恢复错误中的附加组件(“偏差”);传统非参数统计的典型结果量化了产生的误差并将其最小化s[86,124,178,222,223,230,239]. 当然,这个对“非参数”的传统方法的概述(与n≫米)恢复问题非常粗略,但它捕获了我们上下文中最重要的事实:使用传统的非参数信号恢复的方法,人们假设在正确选择的基础中代表其系数的向量表示信号后n要恢复的维信号可以很好地近似为s-稀疏(最多s非零条目)信号,与s≪n,并且可以通过将除第一个以外的所有内容归零来获得此稀疏近似s信号向量中的条目。刚刚提出的假设确实适用于通过平滑单变量和多变量函数离散化获得的信号,并且几十年来这类信号是非参数统计的主要焦点,如果不是唯一的焦点。

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Compressed Sensing via ℓ1 minimization: Motivation

原则上,在合理的假设下,这一事实并不令人惊讶。米×n传感矩阵一个我们可能希望从嘈杂的观察中恢复过来一个X一个s-稀疏信号X, 和s≪米. 事实上,为了简单起见,假设没有观察错误,并让科尔⁡j[一个]是j- 第列一个. 如果我们知道地点j1<j2<…<js中的非零条目X, 识别X可以简化为求解线性方程组∑ℓ=1sX一世ℓ科尔jℓ⁡[一个]=是和米方程和s≪米未知数;假设每个s中的列一个是线性独立的(对矩阵的一个非常无限制的假设米≥s行),上述系统的解决方案是独一无二的,正是我们正在寻找的信号。当然,假设我们知道非零点的位置X使恢复问题变得微不足道。但是,它建议采取以下行动:给定无噪音观察是=一个Xs-稀疏信号的X,让我们解决组合优化问题

\min {z}\left{|z|{0}: A z=y\right},\min {z}\left{|z|{0}: A z=y\right},
在哪里|和|0是非零条目的数量和. 显然,问题最多有一个目标值的解决方案s. 此外,立即可以看出,如果每个2s中的列一个是线性独立的(这又是对矩阵的一个非常无限制的假设一个前提是米≥2s),那么真实信号X是唯一的最优解(1.2).
到目前为止所说的可以扩展到嘈杂观察的情况,并且“几乎s-稀疏”信号X. 例如,假设观察误差是“不确定但有界的”,特别是一些已知的范数|⋅|这个错误不超过给定的ε>0,并且真实信号是s稀疏的,我们可以解决组合优化问题

\min {z}\left{|z|{0}:|A zy| \leq \epsilon\right} 。\min {z}\left{|z|{0}:|A zy| \leq \epsilon\right} 。
假设每个米×2 s子矩阵一个¯的一个不仅具有线性独立的列(即具有平凡的内核),而且具有相当好的条件,

|一个¯在|≥C−1|在|2
对所有人 (2s)维向量在, 有一些常数C,立即可以看出真实信号X观察和最优解的基础X^(1.3)的顺序精度内彼此接近ε:|X−X^|2≤2Cε. 很容易看出,由此产生的误差界限基本上是尽可能好的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|МАТН6205

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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支,黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形,即在每一点的切线空间上有一个内积,从一点到另一点平滑变化。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|МАТН6205

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The First Dirichlet Eigenvalue Comparison Theorem

Following standard notations and setting (see, e.g., [Cha1] or in this context the seminal survey by Grigoryan in [Gri1]), for any precompact open set $\Omega$ in a Riemannian manifold $M$ we denote by $\lambda(\Omega)$ the smallest number $\lambda$ for which the following Dirichlet eigenvalue problem has a non-zero solution
$$
\left{\begin{aligned}
\Delta u+\lambda u &=0 \text { at all points } x \text { in } \Omega \
u(x) &=0 \text { at all points } x \text { in } \partial \Omega
\end{aligned}\right.
$$
We shall need the following beautiful observation due to Barta:

Theorem $7.1$ ([B], [Cha1]). Consider any smooth function $f$ on a domain $\Omega$ which satisfies $f_{\left.\right|{\Omega}}>0$ and $f{\mid \text {an }}=0$, and let $\lambda(\Omega)$ denote the first eigenvalue of the Dirichlet problem for $\Omega$. Then
$$
\inf {\Omega}\left(\frac{\Delta f}{f}\right) \leq-\lambda(\Omega) \leq \sup {\Omega}\left(\frac{\Delta f}{f}\right)
$$
If equality occurs in one of the inequalities, then they are both equalities, and $f$ is an eigenfunction for $\Omega$ corresponding to the eigenvalue $\lambda(\Omega)$.
Proof. Let $\phi$ be an eigenfunction for $\Omega$ corresponding to $\lambda(\Omega)$.
Then $\phi_{\Omega}>0$ and $\phi_{\left.\right|{\Omega}}=0$. If we let $h$ denote the difference $h=\phi-f$, then $$ \begin{aligned} -\lambda(\Omega)=\frac{\Delta \phi}{\phi} &=\frac{\Delta f}{f}+\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)} \ &=\inf {\Omega}\left(\frac{\Delta f}{f}\right)+\sup {\Omega}\left(\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)}\right) \ &=\sup {\Omega}\left(\frac{\Delta f}{f}\right)+\inf {\Omega}\left(\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)}\right) \end{aligned} $$ Here the supremum, $\sup {\Omega}\left(\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)}\right)$ is necessarily positive since
$$
\left.f(f+h)\right|{\Omega}>0 $$ and since by Green’s second formula $(6.8)$ in Theorem $6.4$ we have $$ \int{\Omega}(f \Delta h-h \Delta f) d V=0 \text {. }
$$
For the same reason, the infimum, $\inf _{\Omega}\left(\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)}\right)$ is necessarily negative. This gives the first part of the theorem. If equality occurs, then $(f \Delta h-h \Delta f)$ must vanish identically on $\Omega$, so that $-\lambda(\Omega)=\frac{\Delta f}{f}$, which gives the last part of the statement.

As already alluded to in the introduction, the key heuristic message of this report is that the Laplacian is a particularly ‘swift actor’ on minimal submanifolds (i.e., minimal extrinsic regular $R$-balls $D_{R}$ ) in ambient spaces with an upper bound $b$ on its sectional curvatures. This is to be understood in comparison with the ‘action’ of the Laplacian on totally geodesic $R$-balls $B_{R}^{b, m}$ in spaces of constant curvature b. In this section we will use Barta’s theorem to show that this phenomenon can indeed be ‘heard’ by ‘listening’ to the bass note of the Dirichlet spectrum of any given $D_{R}$.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Isoperimetric Relations

In this and the following two sections we survey some comparison results concerning inequalities of isoperimetric type, mean exit times and capacities, respectively, for extrinsic minimal balls in ambient spaces with an upper bound on sectional curvature. This has been developed in a series of papers, see [Pa] and [MaP1][MaP4].

We will still assume a standard situation as in the previous section, i.e., $D_{R}$ denotes an extrinsic minimal ball of a minimal submanifold $P$ in an ambient space $N$ with the upper bound $b$ on the sectional curvatures.

Proposition 8.1. We define the following function of $t \in \mathbb{R}{+} \cup{0}$ for every $b \in \mathbb{R}$, for every $q \in \mathbb{R}$, and for every dimension $m \geq 2$ : $$ L{q}^{b, m}(t)=q\left(\frac{\operatorname{Vol}\left(S_{t}^{b, m-1}\right)}{m h_{b}(t)}-\operatorname{Vol}\left(B_{t}^{b, m}\right)\right)
$$
Then
$$
L_{q}^{b, m}(0)=0 \text { for all } b, q, \text { and } m
$$
and
$$
\operatorname{sign}\left(\frac{d}{d t} L_{q}^{b, m}(t)\right)=\operatorname{sign}(b q) \text { for all } b, q, m, \text { and } t>0 \text {. }
$$
Proof. This follows from a direct computation using the definition of $h_{b}(t)$ from equation (3.5) together with the volume formulae (cf. [Gr])
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Vol}\left(B_{t}^{b, m}\right) &=\operatorname{Vol}\left(S_{1}^{0, m-1}\right) \cdot \int_{0}^{t}\left(Q_{b}(u)\right)^{m-1} d u \
\operatorname{Vol}\left(S_{t}^{b, m-1}\right) &=\operatorname{Vol}\left(S_{1}^{0, m-1}\right) \cdot\left(Q_{b}(t)\right)^{m-1}
\end{aligned}
$$

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|A Consequence of the Co-area Formula

The co-area equation (6.4) applied to our setting gives the following
Proposition 9.1. Let $D_{R}(p)$ denote a regular extrinsic minimal ball of $P$ with center $p$ in $N$. Then
$$
\frac{d}{d u} \operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) \geq \operatorname{Vol}\left(\partial D_{u}\right) \text { for all } u \leq R
$$

Proof. We let $f: \bar{D}{R} \rightarrow \mathbb{R}$ denote the function $f(x)=R-r(x)$, which clearly vanishes on the boundary of $D{R}$ and is smooth except at $p$. Following the notation of the co-area formula we further let
$$
\begin{aligned}
\Omega(t) &=D_{(R-t)} \
V(t) &=\operatorname{Vol}\left(D_{(R-t)}\right) \text { and } \
\Sigma(t) &=\partial D_{(R-t)}
\end{aligned}
$$
Then
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) &=V(R-u) \text { so that } \
\frac{d}{d u} \operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) &=-V^{\prime}(t){\left.\right|{i=n-u}} .
\end{aligned}
$$
The co-area equation (6.4) now gives
$$
\begin{aligned}
-V^{\prime}(t) &=\int_{\partial D_{(R-t)}}\left|\nabla^{P} r\right|^{-1} d A \
& \geq \operatorname{Vol}\left(\partial D_{(R-t)}\right) \
&=\operatorname{Vol}\left(\partial D_{u}\right)
\end{aligned}
$$
and this proves the statement.
Exercise 9.2. Explain why the non-smoothness of the function $f$ at $p$ does not create problems for the application of equation (6.4) in this proof although smoothness is one of the assumptions in Theorem 6.1.

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黎曼几何代考

数学代写黎曼几何代写Riemannian geometry代 考|lsoperimetric Relations


在本节和接下来的两节中,我们分别调查了一些关于等周型不等式、平均退出时间和容量的比较结果,用于在截面曲率 上有上限的环境空间中的外在最小球。这已经在一系列论文中得到发展,参见 [Pa] 和 [MaP1] [MaP4]。
我们仍将假设与上一节一样的标准情况,即 $D_{R}$ 表示最小子流形的外在最小球 $P$ 在环境空间中 $N$ 与上限 $b$ 在截面曲率上。
提案 8.1。我们定义如下函数 $t \in \mathbb{R}+\cup 0$ 对于每个 $b \in \mathbb{R}$ ,对于每个 $q \in \mathbb{R}$ ,并且对于每个维度 $m \geq 2$ :
$$
L q^{b, m}(t)=q\left(\frac{\operatorname{Vol}\left(S_{t}^{b, m-1}\right)}{m h_{b}(t)}-\operatorname{Vol}\left(B_{t}^{b, m}\right)\right)
$$
然后
$$
L_{q}^{b, m}(0)=0 \text { for all } b, q, \text { and } m
$$

$$
\operatorname{sign}\left(\frac{d}{d t} L_{q}^{b, m}(t)\right)=\operatorname{sign}(b q) \text { for all } b, q, m, \text { and } t>0
$$
证明。这是从使用定义的直接计算得出的 $h_{b}(t)$ 从方程 (3.5) 连同体积公式 (cf. [Gr])
$$
\operatorname{Vol}\left(B_{t}^{b, m}\right)=\operatorname{Vol}\left(S_{1}^{0, m-1}\right) \cdot \int_{0}^{t}\left(Q_{b}(u)\right)^{m-1} d u \operatorname{Vol}\left(S_{t}^{b, m-1}\right)=\operatorname{Vol}\left(S_{1}^{0, m-1}\right) \cdot\left(Q_{b}(t)\right)^{m-1}
$$


数学代写黎曼几何代写Riemannian geometry代考|A Consequence of the Co-area Formula


应用于我们的设置的共面积方程 $(6.4)$ 给出了以下命题 9.1。让 $D_{R}(p)$ 表示一个规则的外在最小球 $P$ 带中心 $p$ 在 $N$. 然后
$$
\frac{d}{d u} \operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) \geq \operatorname{Vol}\left(\partial D_{u}\right) \text { for all } u \leq R
$$
证明。我们让 $f: \bar{D} R \rightarrow \mathbb{R}$ 表示函数 $f(x)=R-r(x)$ ,它显然在边界上消失了 $D R$ 并且是光滑的,除了在 $p$. 根据共 面积公式的符号,我们进一步让
$$
\Omega(t)=D_{(R-t)} V(t)=\operatorname{Vol}\left(D_{(R-t)}\right) \text { and } \Sigma(t)=\partial D_{(R-t)}
$$
然后
$$
\operatorname{Vol}\left(D_{u}\right)=V(R-u) \text { so that } \frac{d}{d u} \operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) \quad=-V^{\prime}(t) \mid i=n-u
$$
共面积方程 (6.4) 现在给出
$$
-V^{\prime}(t)=\int_{\partial D_{(R-t)}}\left|\nabla^{P} r\right|^{-1} d A \geq \operatorname{Vol}\left(\partial D_{(R-t)}\right)=\operatorname{Vol}\left(\partial D_{u}\right)
$$
这证明了这个说法。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3342

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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支,黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形,即在每一点的切线空间上有一个内积,从一点到另一点平滑变化。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3342

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Analysis of Lorentzian Distance Functions

For comparison, and before going further into the Riemannian setting, we briefly present the corresponding Hessian analysis of the distance function from a point in a Lorentzian manifold and its restriction to a spacelike hypersurface. The results can be found in [AHP], where the corresponding Hessian analysis was also carried out, i.e., the analysis of the Lorentzian distance from an achronal spacelike hypersurface in the style of Proposition 3.9. Recall that in Section 3 we also considered

the analysis of the distance from a totally geodesic hypersurface $P$ in the ambient Riemannian manifold $N$.

Let $\left(N^{n+1}, g\right)$ denote an $(n+1)$-dimensional spacetime, that is, a timeoriented Lorentzian manifold of dimension $n+1 \geq 2$. The metric tensor $g$ has index 1 in this case, and, as we did in the Riemannian context, we shall denote it alternatively as $g=\langle,$,$rangle (see, e.g., [O’N] as a standard reference for this section).$
Given $p, q$ two points in $N$, one says that $q$ is in the chronological future of $p$, written $p \ll q$, if there exists a future-directed timelike curve from $p$ to $q$. Similarly, $q$ is in the causal future of $p$, written $p<q$, if there exists a future-directed causal (i.e., nonspacelike) curve from $p$ to $q$.
Then the chronological future $I^{+}(p)$ of a point $p \in N$ is defined as
$$
I^{+}(p)={q \in N: p \ll q} .
$$
The Lorentzian distance function $d: N \times N \rightarrow[0,+\infty]$ for an arbitrary spacetime may fail to be continuous in general, and may also fail to be finite-valued. But there are geometric restrictions that guarantee a good behavior of $d$. For example, globally hyperbolic spacetimes turn out to be the natural class of spacetimes for which the Lorentzian distance function is finite-valued and continuous.

Given a point $p \in N$, one can define the Lorentzian distance function $d_{p}$ :
$M \rightarrow[0,+\infty]$ with respect to $p$ by
$$
d_{p}(q)=d(p, q) .
$$
In order to guarantee the smoothness of $d_{p}$, we need to restrict this function on certain special subsets of $N$. Let $\left.T_{-1} N\right|{p}$ be the following set $$ \left.T{-1} N\right|{p}=\left{v \in T{p} N: v \text { is a future-directed timelike unit vector }\right} .
$$
Define the function $s_{p}:\left.T_{-1} N\right|{p} \rightarrow[0,+\infty]$ by $$ s{p}(v)=\sup \left{t \geq 0: d_{p}\left(\gamma_{v}(t)\right)=t\right},
$$
where $\gamma_{v}:[0, a) \rightarrow N$ is the future inextendible geodesic starting at $p$ with initial velocity $v$. Then we define
$$
\tilde{\mathcal{I}}^{+}(p)=\left{t v: \text { for all }\left.v \in T_{-1} N\right|{p} \text { and } 0{p}(v)\right}
$$
and consider the subset $\mathcal{I}^{+}(p) \subset N$ given by
$$
\mathcal{I}^{+}(p)=\exp {p}\left(\operatorname{int}\left(\tilde{\mathcal{I}}^{+}(p)\right)\right) \subset I^{+}(p) . $$ Observe that the exponential map $$ \exp {p}: \operatorname{int}\left(\tilde{\mathcal{I}}^{+}(p)\right) \rightarrow \mathcal{I}^{+}(p)
$$
is a diffeomorphism and $\mathcal{I}^{+}(p)$ is an open subset (possible empty).
Remark 4.1. When $b \geq 0$, the Lorentzian space form of constant sectional curvature $b$, which we denote as $N_{b}^{n+1}$, is globally hyperbolic and geodesically complete, and every future directed timelike unit geodesic $\gamma_{b}$ in $N_{b}^{n+1}$ realizes the Lorentzian distance between its points. In particular, if $b \geq 0$ then $\mathcal{I}^{+}(p)=I^{+}(p)$ for every point $p \in N_{b}^{n+1}$ (see [EGK, Remark 3.2]).

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Concerning the Riemannian Setting and Notation

Returning now to the Riemannian case: Although we indeed do have the possibility of considering 4 basically different settings determined by the choice of $p$ or $V$ as the ‘base’ of our normal domain and the choice of $K_{N} \leq b$ or $K_{N} \geq b$ as the curvature assumption for the ambient space $N$, we will, however, mainly consider the ‘first’ of these. Specifically we will (unless otherwise explicitly stated) apply the following assumptions and denotations:
Definition 5.1. A standard situation encompasses the following:
(1) $P^{m}$ denotes an $m$-dimensional complete minimally immersed submanifold of the Riemannian manifold $N^{n}$. We always assume that $P$ has dimension $m \geq 2 .$
(2) The sectional curvatures of $N$ are assumed to satisfy $K_{N} \leq b, b \in \mathbb{R}$, cf. Proposition $3.10$, equation (3.13).
(3) The intersection of $P$ with a regular ball $B_{R}(p)$ centered at $p \in P$ (cf. Definition 3.4) is denoted by
$$
D_{R}=D_{R}(p)=P^{m} \cap B_{R}(p)
$$
and this is called a minimal extrinsic $R$-ball of $P$ in $N$, see the Figures 3-7 of extrinsic balls, which are cut out from some of the well-known minimal surfaces in $\mathbb{R}^{3}$.
(4) The totally geodesic $m$-dimensional regular $R$-ball centered at $\tilde{p}$ in $\mathbb{K}^{n}(b)$ is denoted by
$$
B_{R}^{b, m}=B_{R}^{b, m}(\tilde{p})
$$
whose boundary is the $(m-1)$-dimensional sphere
$$
\partial B_{R}^{b, m}=S_{R}^{b, m-1}
$$
(5) For any given smooth function $F$ of one real variable we denote
$$
W_{F}(r)=F^{\prime \prime}(r)-F^{\prime}(r) h_{b}(r) \text { for } 0 \leq r \leq R
$$
We may now collect the basic inequalities from our previous analysis as follows.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Green’s Formulae and the Co-area Formula

Now we recall the coarea formula. We follow the lines of [Sa] Chapter II, Section 5. Let $(M, g)$ denote a Riemannian manifold and $\Omega$ a precompact domain in $M$. Let $\psi: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ be a smooth function such that $\psi(\Omega)=[a, b]$ with $a<b$. Denote by $\Omega_{0}$ the set of critical points of $\psi$. By Sard’s theorem, the set of critical values $S_{\psi}=\psi\left(\Omega_{0}\right)$ has null measure, and the set of regular values $R_{\psi}=[a, b]-S_{\psi}$ is open. In particular, for any $t \in R_{\psi}=[a, b]-S_{\psi}$, the set $\Gamma(t):=\psi^{-1}(t)$ is a smooth embedded hypersurface in $\Omega$ with $\partial \Gamma(t)=\emptyset$. Since $\Gamma(t) \subseteq \Omega-\Omega_{0}$ then $\nabla \psi$ does not vanish along $\Gamma(t)$; indeed, a unit normal along $\Gamma(t)$ is given by $\nabla \psi /|\nabla \psi|$.
Now we let
$$
\begin{aligned}
&A(t)=\operatorname{Vol}(\Gamma(t)) \
&\Omega(t)={x \in \bar{\Omega} \mid \psi(x)<t} \
&V(t)=\operatorname{Vol}(\Omega(t))
\end{aligned}
$$
Theorem 6.1.
i) For every integrable function $u$ on $\bar{\Omega}$ :
$$
\int_{\Omega} u \cdot|\nabla \psi| d V=\int_{a}^{b}\left(\int_{\Gamma(t)} u d A_{t}\right) d t,
$$
where $d A_{t}$ is the Riemannian volume element defined from the induced metric $g_{t}$ on $\Gamma(t)$ from $g$.
ii) The function $V(t)$ is a smooth function on the regular values of $\psi$ given by:
$$
V(t)=\operatorname{Vol}\left(\Omega_{0} \cap \Omega(t)\right)+\int_{a}^{t}\left(\int_{\Gamma(t)}|\nabla \psi|^{-1} d A_{t}\right)
$$
and its derivative is
$$
\frac{d}{d t} V(t)=\int_{\Gamma(t)}|\nabla \psi|^{-1} d A_{t}
$$

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3342

黎曼几何代考

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Analysis of Lorentzian Distance Functions

为了比较,在进一步研究黎曼设置之前,我们简要介绍了洛伦兹流形中一点的距离函数的相应 Hessian 分析及其对类空间超曲面的限制。结果可以在[AHP] 中找到,其中也进行了相应的Hessian 分析,即以命题3.9 的风格分析洛伦兹距离与非时间类空间超曲面的距离。回想一下,在第 3 节中,我们还考虑了

与完全测地线超曲面的距离分析磷在环境黎曼流形中ñ.

让(ñn+1,G)表示一个(n+1)维时空,即维的时间导向洛伦兹流形n+1≥2. 度量张量G在这种情况下具有索引 1,并且正如我们在黎曼上下文中所做的那样,我们将其表示为G=⟨,,r一个nGl和(s和和,和.G.,[○′ñ]一个s一个s吨一个nd一个rdr和F和r和nC和F○r吨H一世ss和C吨一世○n).
给定p,q两点在ñ,有人说q是在时间顺序的未来p, 写p≪q, 如果存在一条未来导向的类时曲线p至q. 相似地,q是在因果未来p, 写p<q,如果存在一个未来导向的因果(即非空间)曲线p至q.
然后按时间顺序的未来我+(p)一点的p∈ñ定义为

我+(p)=q∈ñ:p≪q.
洛伦兹距离函数d:ñ×ñ→[0,+∞]因为一个任意的时空通常可能不是连续的,也可能不是有限值的。但是有几何限制可以保证良好的行为d. 例如,全局双曲时空被证明是洛伦兹距离函数是有限值且连续的自然类时空。

给定一个点p∈ñ,可以定义洛伦兹距离函数dp :
米→[0,+∞]关于p经过

dp(q)=d(p,q).
为了保证流畅度dp,我们需要将此函数限制在某些特殊子集上ñ. 让吨−1ñ|p是以下集合

\left.T{-1} N\right|{p}=\left{v \in T{p} N: v \text { 是一个面向未来的类时单位向量 }\right} 。\left.T{-1} N\right|{p}=\left{v \in T{p} N: v \text { 是一个面向未来的类时单位向量 }\right} 。
定义函数sp:吨−1ñ|p→[0,+∞]经过

s{p}(v)=\sup \left{t \geq 0: d_{p}\left(\gamma_{v}(t)\right)=t\right},s{p}(v)=\sup \left{t \geq 0: d_{p}\left(\gamma_{v}(t)\right)=t\right},
在哪里C在:[0,一个)→ñ是未来不可扩展的测地线,开始于p以初速度在. 然后我们定义

\tilde{\mathcal{I}}^{+}(p)=\left{t v: \text { for all }\left.v \in T_{-1} N\right|{p} \text { 和} 0{p}(v)\right}\tilde{\mathcal{I}}^{+}(p)=\left{t v: \text { for all }\left.v \in T_{-1} N\right|{p} \text { 和} 0{p}(v)\right}
并考虑子集我+(p)⊂ñ由

我+(p)=经验⁡p(整数⁡(我~+(p)))⊂我+(p).观察指数图

经验⁡p:整数⁡(我~+(p))→我+(p)
是微分同胚和我+(p)是一个开放子集(可能为空)。
备注 4.1。什么时候b≥0, 等截面曲率的洛伦兹空间形式b, 我们记为ñbn+1, 是全局双曲线和测地线完备的,并且每一个未来有向类时单位测地线Cb在ñbn+1实现其点之间的洛伦兹距离。特别是,如果b≥0然后我+(p)=我+(p)对于每一点p∈ñbn+1(参见 [EGK,备注 3.2])。

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Concerning the Riemannian Setting and Notation

现在回到黎曼案例:虽然我们确实有可能考虑 4 个基本不同的设置,这些设置由p或者在作为我们正常域的“基础”和选择ķñ≤b或者ķñ≥b作为环境空间的曲率假设ñ,但是,我们将主要考虑其中的“第一个”。具体而言,我们将(除非另有明确说明)应用以下假设和表示:
定义 5.1。标准情况包括以下内容:
(1)磷米表示一个米黎曼流形的一维完全最小浸没子流形ñn. 我们总是假设磷有维度米≥2.
(2) 截面曲率ñ假设满足ķñ≤b,b∈R,参见。主张3.10,等式(3.13)。
(3) 交集磷用普通球乙R(p)以p∈磷(参见定义 3.4)表示为

DR=DR(p)=磷米∩乙R(p)
这被称为最小外在R- 球磷在ñ,请参见外部球的图 3-7,它们是从R3.
(4) 完全测地线米维规则R- 球为中心p~在ķn(b)表示为

乙Rb,米=乙Rb,米(p~)
其边界是(米−1)维球

∂乙Rb,米=小号Rb,米−1
(5) 对于任何给定的平滑函数F我们表示的一个实变量

在F(r)=F′′(r)−F′(r)Hb(r) 为了 0≤r≤R
我们现在可以从之前的分析中收集如下的基本不等式。

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Green’s Formulae and the Co-area Formula

现在我们回忆一下 coarea 公式。我们遵循 [Sa] 第二章第 5 节的思路。让(米,G)表示黎曼流形和Ω预压缩域米. 让ψ:Ω→R是一个光滑的函数,使得ψ(Ω)=[一个,b]和一个<b. 表示为Ω0的一组临界点ψ. 根据 Sard 定理,临界值的集合小号ψ=ψ(Ω0)具有空度量,以及一组常规值Rψ=[一个,b]−小号ψ开了。特别是,对于任何吨∈Rψ=[一个,b]−小号ψ, 集合Γ(吨):=ψ−1(吨)是一个光滑的嵌入超曲面Ω和∂Γ(吨)=∅. 自从Γ(吨)⊆Ω−Ω0然后∇ψ不会消失Γ(吨); 确实,一个单位正常Γ(吨)是(谁)给的∇ψ/|∇ψ|.
现在我们让

一个(吨)=卷⁡(Γ(吨)) Ω(吨)=X∈Ω¯∣ψ(X)<吨 在(吨)=卷⁡(Ω(吨))
定理 6.1。
i) 对于每个可积函数在上Ω¯ :

∫Ω在⋅|∇ψ|d在=∫一个b(∫Γ(吨)在d一个吨)d吨,
在哪里d一个吨是从诱导度量定义的黎曼体积元素G吨上Γ(吨)从G.
ii) 功能在(吨)是一个关于正则值的平滑函数ψ给出:

在(吨)=卷⁡(Ω0∩Ω(吨))+∫一个吨(∫Γ(吨)|∇ψ|−1d一个吨)
它的导数是

dd吨在(吨)=∫Γ(吨)|∇ψ|−1d一个吨

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3405

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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支,黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形,即在每一点的切线空间上有一个内积,从一点到另一点平滑变化。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3405

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Appetizer and Introduction

It is a natural and indeed a classical question to ask: “What is the effective resistance of, say, a hyperboloid or a helicoid if the surface is made of a homogeneous conducting material?”.

In these notes we will study the precise meaning of this and several other related questions and analyze how the answers depend on the curvature and topology of the given surfaces and manifolds. We will focus mainly on minimal submanifolds in ambient spaces which are assumed to have a well-defined upper (or lower) bound on their sectional curvatures.

One key ingredient is the comparison theory for distance functions in such spaces. In particular we establish and use a comparison result for the Laplacian of geometrically restricted distance functions. It is in this setting that we obtain information about such diverse phenomena as diffusion processes, isoperimetric inequalities, Dirichlet eigenvalues, transience, recurrence, and effective resistance of the spaces in question. In this second edition of the present notes we extend those previous findings in four ways: Firstly, we include comparison results for the exit time moment spectrum for compact domains in Riemannian manifolds; Secondly, and most substantially, we report on very recent results obtained by the first and third author together with C. Rosales concerning comparison results for the capacities and the type problem (transient versus recurrent) in weighted Riemannian manifolds; Thirdly we survey how some of the purely Riemannian results on transience and recurrence can be lifted to the setting of spacelike submanifolds in Lorentzian manifolds; Fourthly, the comparison spaces that we employ for some of the new results are typically so-called model spaces, i.e., warped products (gen= eralized surfaces of revolution) where ‘all the geometry’ in each case is determined by a given radial warping function and a given weight function.In a sense, all the different phenomena that we consider are ‘driven’ by the Laplace operator which in turn depends on the background curvatures and the weight function. One key message of this report is that the Laplacian is a particularly ‘swift’ operator – for example on minimal submanifolds in ambient spaces with small sectional curvatures – but depending on the weight functions. Specifically, we observe and report new findings about this behaviour in the contexts of both Riemannian, Lorentzian, and weighted geometries, see Sections 12 and $20-27$. Similar results generally hold true within the intrinsic geometry of the manifolds themselves – often even with Ricci curvature lower bounds (see, e.g., the survey [Zhu]) as a substitute for the specific assumption of a lower bound on sectional curvatures.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Comparison Setting and Preliminaries

We consider a complete immersed submanifold $P^{m}$ in a Riemannian manifold $N^{n}$, and denote by $\mathrm{D}^{P}$ and $\mathrm{D}^{N}$ the Riemannian connections of $P$ and $N$, respectively. We refer to the excellent general monographs on Riemannian geometry – e.g., [Sa], [CheeE], and [Cha2] – for the basic notions, that will be applied in these notes. In particular we shall be concerned with the second-order behavior of certain functions on $P$ which are obtained by restriction from the ambient space $N$ as displayed in Proposition $3.1$ below. The second-order derivatives are defined in terms of the Hessian operators Hess ${ }^{N}$, Hess ${ }^{P}$ and their traces $\Delta^{N}$ and $\Delta^{P}$, respectively (see, e.g., [Sa] p. 31). The difference between these operators quite naturally involves geometric second-order information about how $P^{m}$ actually sits inside $N^{n}$. This information is provided by the second fundamental form $\alpha$ (resp. the mean curvature $H$ ) of $P$ in $N$ (see [Sa] p. 47). If the functions under consideration are essentially distance functions in $N$ – or suitably modified distance functions then their second-order behavior is strongly influenced by the curvatures of $N$, as is directly expressed by the second variation formula for geodesics ([Sa] p. 90).

As is well known, the ensuing and by now classical comparison theorems for Jacobi fields give rise to the celebrated Toponogov theorems for geodesic triangles and to powerful results concerning the global structure of Riemannian spaces ([Sa], Chapters IV-V). In these notes, however, we shall mainly apply the Jacobi field comparison theory only off the cut loci of the ambient space $N$, or more precisely, within the regular balls of $N$ as defined in Definition $3.4$ below. On the other hand, from the point of view of a given (minimal) submanifold $P$ in $N$, our results for $P$ are semi-global in the sense that they apply to domains which are not necessarily distance-regular within $P$.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Analysis of Riemannian Distance Functions

Let $\mu: N \mapsto \mathbb{R}$ denote a smooth function on $N$. Then the restriction $\tilde{\mu}=\mu_{\left.\right|{P}}$ is a smooth function on $P$ and the respective Hessians $\operatorname{Hess}^{N}(\mu)$ and $\operatorname{Hess}^{P}(\tilde{\mu})$ are related as follows: Proposition $3.1([\mathrm{JK}]$ p. 713$)$. $$ \begin{aligned} \operatorname{Hess}^{P}(\tilde{\mu})(X, Y)=& \operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, Y) \ &+\left\langle\nabla^{N}(\mu), \alpha(X, Y)\right\rangle \end{aligned} $$ for all tangent vectors $X, Y \in T P \subseteq T N$, where $\alpha$ is the second fundamental form of $P$ in $N$. Proof. $$ \begin{aligned} \operatorname{Hess}^{P}(\tilde{\mu})(X, Y) &=\left\langle\mathrm{D}{X}^{P} \nabla^{P} \tilde{\mu}, Y\right\rangle \
&=\left\langle\mathrm{D}{X}^{N} \nabla^{P} \tilde{\mu}-\alpha\left(X, \nabla^{P} \tilde{\mu}\right), Y\right\rangle \ &=\left\langle\mathrm{D}{X}^{N} \nabla^{P} \tilde{\mu}, Y\right\rangle \
&=X\left(\left\langle\nabla^{P} \tilde{\mu}, Y\right\rangle\right)-\left\langle\nabla^{P} \tilde{\mu}, \mathrm{D}{X}^{N} Y\right\rangle \ &=\left\langle\mathrm{D}{X}^{N} \nabla^{N} \mu, Y\right\rangle+\left\langle\left(\nabla^{N} \mu\right)^{\perp}, \mathrm{D}_{X}^{N} Y\right\rangle \
&=\operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, Y)+\left\langle\left(\nabla^{N} \mu\right)^{\perp}, \alpha(X, Y)\right\rangle \
&=\operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, Y)+\left\langle\nabla^{N} \mu, \alpha(X, Y)\right\rangle
\end{aligned}
$$
If we modify $\mu$ to $F \circ \mu$ by a smooth function $F: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, then we get
Lemma 3.2.
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hess}^{N}(F \circ \mu)(X, X)=& F^{\prime \prime}(\mu) \cdot\left\langle\nabla^{N}(\mu), X\right\rangle^{2} \
&+F^{\prime}(\mu) \cdot \operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, X)
\end{aligned}
$$
for all $X \in T N^{n}$

In the following we write $\mu=\tilde{\mu}$. Combining (3.1) and (3.3) then gives
Corollary 3.3.
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hess}^{P}(F \circ \mu)(X, X)=& F^{\prime \prime}(\mu) \cdot\left\langle\nabla^{N}(\mu), X\right\rangle^{2} \
&+F^{\prime}(\mu) \cdot \operatorname{Hess}^{N}(\mu)(X, X) \
&+\left\langle\nabla^{N}(\mu), \alpha(X, X)\right\rangle
\end{aligned}
$$
for all $X \in T P^{m}$.
In what follows the function $\mu$ will always be a distance function in $N$-either from a point $p$ in which case we set $\mu(x)=\operatorname{dist}{N}(p, x)=r(x)$, or from a totally geodesic hypersurface $V^{n-1}$ in $N$ in which case we let $\mu(x)=$ dist ${N}(V, x)=$ $\eta(x)$. The function $F$ will always be chosen, so that $F \circ \mu$ is smooth inside the respective regular balls around $p$ and inside the regular tubes around $V$, which we now define. The sectional curvatures of the two-planes $\Omega$ in the tangent bundle of the ambient space $N$ are denoted by $K_{N}(\Omega)$, see, e.g., [Sa], Section II.3. Concerning the notation: In the following both Hess $^{N}$ and Hess will be used invariantly for both the Hessian in the ambient manifold $N$, as well as in a purely intrinsic context where only $N$ and not any of its submanifolds is under consideration.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3405

黎曼几何代考

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Appetizer and Introduction

这是一个自然且确实是经典的问题:“如果表面由均质导电材料制成,例如双曲面或螺旋面的有效电阻是多少?”。

在这些笔记中,我们将研究这个问题和其他几个相关问题的确切含义,并分析答案如何取决于给定曲面和流形的曲率和拓扑结构。我们将主要关注环境空间中的最小子流形,这些子流形假定其截面曲率具有明确定义的上限(或下限)。

一个关键因素是此类空间中距离函数的比较理论。特别是,我们建立并使用了几何限制距离函数的拉普拉斯算子的比较结果。正是在这种情况下,我们获得了有关扩散过程、等周不等式、狄利克雷特征值、瞬变、递归和所讨论空间的有效阻力等多种现象的信息。在本笔记的第二版中,我们以四种方式扩展了这些先前的发现:首先,我们包括黎曼流形中紧域的退出时间矩谱的比较结果;其次,也是最重要的,我们报告了第一作者和第三作者与 C. Rosales 关于加权黎曼流形中容量和类型问题(瞬态与循环)的比较结果;第三,我们调查了一些关于瞬态和递归的纯黎曼结果如何可以提升到洛伦兹流形中的类空间子流形的设置;第四,我们为一些新结果使用的比较空间通常是所谓的模型空间,即翘曲产品(一般化的旋转表面),其中“所有几何形状”在每种情况下都由给定的径向翘曲确定函数和给定的权重函数。在某种意义上,我们考虑的所有不同现象都是由拉普拉斯算子“驱动”的,而拉普拉斯算子又取决于背景曲率和权重函数。本报告的一个关键信息是,拉普拉斯算子是一种特别“快速”的算子——例如在具有小截面曲率的环境空间中的最小子流形上——但取决于权重函数。具体来说,我们在黎曼、洛伦兹和加权几何的背景下观察并报告了关于这种行为的新发现,见第 12 节和20−27. 类似的结果通常在流形本身的内在几何中成立——通常甚至使用 Ricci 曲率下界(参见,例如,调查 [Zhu])来替代截面曲率下界的特定假设。

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Comparison Setting and Preliminaries

我们考虑一个完全浸入式子流形磷米在黎曼流形中ñn,并表示为D磷和Dñ的黎曼联系磷和ñ, 分别。对于将在这些笔记中应用的基本概念,我们参考了关于黎曼几何的优秀一般专着——例如,[Sa]、[CheeE] 和 [Cha2]。特别是我们将关注某些函数的二阶行为磷通过环境空间的限制获得ñ如提案中所示3.1以下。二阶导数根据 Hessian 算子 Hess 定义ñ, 赫斯磷和他们的踪迹Δñ和Δ磷,分别(参见,例如,[Sa] p. 31)。这些运算符之间的差异很自然地涉及有关如何磷米实际上坐在里面ñn. 此信息由第二个基本形式提供一个(分别是平均曲率H) 的磷在ñ(参见 [Sa] 第 47 页)。如果所考虑的函数本质上是距离函数ñ– 或适当修改的距离函数,则它们的二阶行为受到曲率的强烈影响ñ,正如测地线的第二个变化公式直接表示的那样 ([Sa] p. 90)。

众所周知,Jacobi 场的经典比较定理产生了著名的测地线三角形 Toponogov 定理和关于黎曼空间的全局结构的强大结果([Sa],第 IV-V 章)。然而,在这些笔记中,我们将主要应用雅可比场比较理论,仅适用于环境空间的切割轨迹ñ,或者更准确地说,在ñ如定义中所定义3.4以下。另一方面,从给定(最小)子流形的角度来看磷在ñ, 我们的结果为磷是半全局的,因为它们适用于不一定是距离规则的域磷.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Analysis of Riemannian Distance Functions

让μ:ñ↦R表示一个平滑函数ñ. 然后是限制μ~=μ|磷是一个平滑函数磷和各自的黑森州赫斯ñ⁡(μ)和赫斯磷⁡(μ~)相关如下: 命题3.1([Ĵķ]页。713).

赫斯磷⁡(μ~)(X,是)=赫斯ñ⁡(μ)(X,是) +⟨∇ñ(μ),一个(X,是)⟩对于所有切向量X,是∈吨磷⊆吨ñ, 在哪里一个是第二种基本形式磷在ñ. 证明。

赫斯磷⁡(μ~)(X,是)=⟨DX磷∇磷μ~,是⟩ =⟨DXñ∇磷μ~−一个(X,∇磷μ~),是⟩ =⟨DXñ∇磷μ~,是⟩ =X(⟨∇磷μ~,是⟩)−⟨∇磷μ~,DXñ是⟩ =⟨DXñ∇ñμ,是⟩+⟨(∇ñμ)⊥,DXñ是⟩ =赫斯ñ⁡(μ)(X,是)+⟨(∇ñμ)⊥,一个(X,是)⟩ =赫斯ñ⁡(μ)(X,是)+⟨∇ñμ,一个(X,是)⟩
如果我们修改μ至F∘μ通过平滑函数F:R↦R,然后我们得到
引理 3.2。

赫斯ñ⁡(F∘μ)(X,X)=F′′(μ)⋅⟨∇ñ(μ),X⟩2 +F′(μ)⋅赫斯ñ⁡(μ)(X,X)
对所有人X∈吨ñn

下面我们写μ=μ~. 结合 (3.1) 和 (3.3) 得出
推论 3.3。

赫斯磷⁡(F∘μ)(X,X)=F′′(μ)⋅⟨∇ñ(μ),X⟩2 +F′(μ)⋅赫斯ñ⁡(μ)(X,X) +⟨∇ñ(μ),一个(X,X)⟩
对所有人X∈吨磷米.
在下面的函数μ永远是一个距离函数ñ——无论从哪一点p在这种情况下,我们设置μ(X)=距离⁡ñ(p,X)=r(X),或从完全测地线超曲面在n−1在ñ在这种情况下,我们让μ(X)=距离ñ(在,X)= 这(X). 功能F将始终被选中,因此F∘μ在周围的各个常规球内是光滑的p在周围的常规管内在,我们现在定义。两平面的截面曲率Ω在环境空间的切丛中ñ表示为ķñ(Ω),参见,例如,[Sa],第 II.3 节。关于符号:在以下两个赫斯ñ并且 Hess 将不变地用于环境流形中的 Hessianñ,以及在纯粹的内在上下文中,只有ñ并且没有考虑其任何子流形。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

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在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个理论框架,它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Thermal Correlation Functions

The energies of excited states are encoded in the thermal correlation functions. These functions are expectation values of products of the position operator
$$
\hat{q}{\mathrm{E}}(\tau)=\mathrm{e}^{\tau \hat{H} / \hbar} \hat{q} \mathrm{e}^{-\tau \hat{H} / \hbar}, \quad \hat{q}{\mathrm{E}}(0)=\hat{q}(0),
$$
at different imaginary times in the canonical ensemble,
$$
\left\langle\hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \cdots \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{n}\right)\right\rangle_{\beta} \equiv \frac{1}{Z(\beta)} \operatorname{tr}\left(\mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \cdots \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{n}\right)\right)
$$
The normalizing function $Z(\beta)$ is the partition function (2.56). From the thermal two-point function
$$
\begin{aligned}
\left\langle\hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{2}\right)\right\rangle_{\beta} &=\frac{1}{Z(\beta)} \operatorname{tr}\left(\mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{2}\right)\right) \
&=\frac{1}{Z(\beta)} \operatorname{tr}\left(\mathrm{e}^{-\left(\beta-\tau_{1}\right) \hat{H}} \hat{q} \mathrm{e}^{-\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right) \hat{H}} \hat{q} \mathrm{e}^{-\tau_{2} \hat{H}}\right)
\end{aligned}
$$
we can extract the energy gap between the ground state and the first excited state. For this purpose we use orthonormal energy eigenstates $|n\rangle$ to calculate the trace and in addition insert the resolution of the identity operator $\mathbb{1}=\sum|m\rangle\langle m|$. This yields
$$
\langle\ldots\rangle_{\beta}=\frac{1}{Z(\beta)} \sum_{n, m} \mathrm{e}^{-\left(\beta-\tau_{1}+\tau_{2}\right) E_{n}} \mathrm{e}^{-\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right) E_{\mathrm{m}}}\langle n|\hat{q}| m\rangle\langle m|\hat{q}| n\rangle
$$
Note that in the sum over $n$ the contributions from the excited states are exponentially suppressed at low temperatures $\beta \rightarrow \infty$, implying that the thermal two-point function converges to the Schwinger function in this limit:
$$
\left\langle\hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{2}\right)\right\rangle_{\beta} \stackrel{\beta \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \sum_{m>0} \mathrm{e}^{-\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)\left(E_{m}-E_{0}\right)}|\langle 0|\hat{q}| m\rangle|^{2}=\left\langle 0\left|\hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{1}\right) \hat{q}{\mathrm{E}}\left(\tau{2}\right)\right| 0\right\rangle
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Harmonic Oscillator

We wish to study the path integral for the Euclidean oscillator with discretized time. The oscillator is one of the few systems for which the path integral can be calculated explicitly. For more such system, the reader may consult the text [19]. But the results for the oscillator are particularly instructive with regard to lattice field theories considered later in this book. So let us discretize the Euclidean time interval $[0, \tau]$ with $n$ sampling points separated by a lattice constant $\varepsilon=\tau / n$. For the Lagrangian
$$
L=\frac{m}{2} \dot{q}^{2}+\mu q^{2}
$$
the discretized path integral over periodic paths reads
$$
\begin{aligned}
Z &=\int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n}\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \exp \left{-\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_{j}}{\varepsilon}\right)^{2}+\mu q_{j}^{2}\right)\right} \
&=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n} \exp \left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathrm{A} q)\right)
\end{aligned}
$$
where we assumed $q_{0}=q_{n}$ and introduced the symmetric matrix
$$
\mathrm{A}=\frac{m}{\varepsilon}\left(\begin{array}{cccccc}
\alpha & -1 & 0 & \cdots & 0 & -1 \
-1 & \alpha & -1 & \cdots & 0 & 0 \
& & \ddots & & & \
& & & \ddots & & \
0 & 0 & \cdots & -1 & \alpha & -1 \
-1 & 0 & \cdots & 0 & -1 & \alpha
\end{array}\right), \quad \alpha=2\left(1+\frac{\mu}{m} \varepsilon^{2}\right)
$$
This is a Toeplitz matrix in which each descending diagonal from left to right is constant. This property results from the invariance of the action under lattice translations. For the explicit calculation of $Z$, we consider the generating function
$$
\begin{aligned}
Z[j] &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \int \mathrm{d}^{n} q \exp \left{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathrm{A} q)+(\boldsymbol{j}, \boldsymbol{q})\right} \
&=\frac{(m / \varepsilon)^{n / 2}}{\sqrt{\operatorname{det} \mathrm{A}}} \exp \left{\frac{1}{2}\left(j, \mathrm{~A}^{-1} \boldsymbol{j}\right)\right}
\end{aligned}
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Problems

2.1 (Gaussian Integral) Show that
$$
\int \mathrm{d} z_{1} \mathrm{~d} \bar{z}{1} \ldots \mathrm{d} z{n} \mathrm{~d} \bar{z}{n} \exp \left(-\sum{i j} \bar{z}{i} A{i j} z_{j}\right)=\pi^{n}(\operatorname{det} \mathrm{A})^{-1}
$$
with A being a positive Hermitian $n \times n$ matrix and $z_{i}$ complex integration variables.
2.2 (Harmonic Oscillator) In (2.43) we quoted the result for the kernel $K_{\omega}\left(\tau, q^{\prime}, q\right)$ of the $d$-dimensional harmonic oscillator with Hamiltonian
$$
\hat{H}=\frac{1}{2 m} \hat{p}^{2}+\frac{m \omega^{2}}{2} \hat{q}^{2}
$$
at imaginary time $\tau$. Derive this formula.
Hint: Express the kernel in terms of the eigenfunctions of $\hat{H}$, which for $\hbar=m=$ $\omega=1$ are given by
$$
\exp \left(-\xi^{2}-\eta^{2}\right) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{2^{n} n !} H_{n}(\xi) H_{n}(\eta)=\frac{1}{\sqrt{1-\alpha^{2}}} \exp \left(\frac{-\left(\xi^{2}+\eta^{2}-2 \xi \eta \alpha\right)}{1-\alpha^{2}}\right)
$$
The functions $H_{n}$ denote the Hermite polynomials.
Comment: This result also follows from the direct evaluation of the path integral.
2.3 (Free Particle on a Circle) A free particle moves on an interval and obeys periodic boundary conditions. Compute the time evolution kernel $K\left(t_{b}-t_{a}, q_{b}, q_{a}\right)=$ $\left\langle q_{b}, t_{b} \mid q_{a}, t_{a}\right\rangle$. Use the familiar formula for the kernel of the free particle (2.26) and enforce the periodic boundary conditions by a suitable sum over the evolution kernel for the particle on $\mathbb{R}$.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Thermal Correlation Functions

激发态的能量编码在热相关函数中。这些函数是位置算子乘积的期望值

q^和(τ)=和τH^/ℏq^和−τH^/ℏ,q^和(0)=q^(0),
在规范合奏中的不同想象时间,

⟨q^和(τ1)⋯q^和(τn)⟩b≡1从(b)tr⁡(和−bH^q^和(τ1)⋯q^和(τn))
归一化函数从(b)是配分函数 (2.56)。从热两点函数

⟨q^和(τ1)q^和(τ2)⟩b=1从(b)tr⁡(和−bH^q^和(τ1)q^和(τ2)) =1从(b)tr⁡(和−(b−τ1)H^q^和−(τ1−τ2)H^q^和−τ2H^)
我们可以提取基态和第一个激发态之间的能隙。为此,我们使用正交能量本征态|n⟩计算迹线,另外插入恒等运算符的分辨率1=∑|米⟩⟨米|. 这产生

⟨…⟩b=1从(b)∑n,米和−(b−τ1+τ2)和n和−(τ1−τ2)和米⟨n|q^|米⟩⟨米|q^|n⟩
请注意,在总和超过n激发态的贡献在低温下呈指数抑制b→∞,这意味着热两点函数在此极限内收敛到 Schwinger 函数:

⟨q^和(τ1)q^和(τ2)⟩b⟶b→∞∑米>0和−(τ1−τ2)(和米−和0)|⟨0|q^|米⟩|2=⟨0|q^和(τ1)q^和(τ2)|0⟩

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Harmonic Oscillator

我们希望研究离散时间欧几里得振子的路径积分。振荡器是少数几个可以明确计算路径积分的系统之一。对于更多这样的系统,读者可以查阅文本[19]。但是振子的结果对于本书后面讨论的晶格场理论特别有指导意义。所以让我们离散欧几里得时间间隔[0,τ]和n由晶格常数分隔的采样点e=τ/n. 对于拉格朗日

大号=米2q˙2+μq2
周期性路径上的离散路径积分读取

\begin{aligned} Z &=\int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n}\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{ n / 2} \exp \left{-\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_ {j}}{\varepsilon}\right)^{2}+\mu q_{j}^{2}\right)\right} \ &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon} \right)^{n / 2} \int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n} \exp \left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q }, \mathrm{A} q)\right) \end{对齐}\begin{aligned} Z &=\int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n}\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{ n / 2} \exp \left{-\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_ {j}}{\varepsilon}\right)^{2}+\mu q_{j}^{2}\right)\right} \ &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon} \right)^{n / 2} \int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n} \exp \left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q }, \mathrm{A} q)\right) \end{对齐}
我们假设的地方q0=qn并引入了对称矩阵

一个=米e(一个−10⋯0−1 −1一个−1⋯00 ⋱ ⋱ 00⋯−1一个−1 −10⋯0−1一个),一个=2(1+μ米e2)
这是一个 Toeplitz 矩阵,其中从左到右的每个下降对角线都是常数。这个属性是由格子平移下动作的不变性产生的。对于显式计算从,我们考虑生成函数

\begin{对齐} Z[j] &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \int \mathrm{d}^{n} q \exp \左{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathrm{A} q)+(\boldsymbol{j}, \boldsymbol{q})\right} \ &=\frac{(m / \varepsilon)^{n / 2}}{\sqrt{\operatorname{det} \mathrm{A}}} \exp \left{\frac{1}{2}\left(j, \mathrm{~A }^{-1} \boldsymbol{j}\right)\right} \end{aligned}\begin{对齐} Z[j] &=\left(\frac{m}{2 \pi \varepsilon}\right)^{n / 2} \int \mathrm{d}^{n} q \exp \左{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{q}, \mathrm{A} q)+(\boldsymbol{j}, \boldsymbol{q})\right} \ &=\frac{(m / \varepsilon)^{n / 2}}{\sqrt{\operatorname{det} \mathrm{A}}} \exp \left{\frac{1}{2}\left(j, \mathrm{~A }^{-1} \boldsymbol{j}\right)\right} \end{aligned}

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Problems

2.1(高斯积分)证明

∫d和1 d和¯1…d和n d和¯n经验⁡(−∑一世j和¯一世一个一世j和j)=圆周率n(这⁡一个)−1
A 是正厄米特n×n矩阵和和一世复杂的积分变量。
2.2(谐波振荡器)在(2.43)中,我们引用了内核的结果ķω(τ,q′,q)的d具有哈密顿量的维谐振子

H^=12米p^2+米ω22q^2
在虚构的时间τ. 推导出这个公式。
提示:用特征函数表示核H^,对于ℏ=米= ω=1由

经验⁡(−X2−这2)∑n=0∞一个n2nn!Hn(X)Hn(这)=11−一个2经验⁡(−(X2+这2−2X这一个)1−一个2)
功能Hn表示 Hermite 多项式。
评论:这个结果也来自对路径积分的直接评估。
2.3 (圆周上的自由粒子) 自由粒子在一个区间上移动并服从周期性边界条件。计算时间演化核ķ(吨b−吨一个,qb,q一个)= ⟨qb,吨b∣q一个,吨一个⟩. 对自由粒子的核使用熟悉的公式 (2.26),并通过粒子在演化核上的适当总和来强制周期性边界条件R.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS3101

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS3101

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Quantum Mechanics in Imaginary Time

The unitary time evolution operator has the spectral representation
$$
\hat{K}(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} t}=\int \mathrm{e}^{-\mathrm{i} E t} \mathrm{~d} \hat{P}{\mathrm{E}}, $$ where $\hat{P}{\mathrm{E}}$ is the spectral family of the Hamiltonian. If $\hat{H}$ has discrete spectrum, then $\hat{P}{\mathrm{E}}$ is the orthogonal projector onto the subspace of $\mathscr{H}$ spanned by all eigenfunctions with energies less than $E$. In the following we assume that the Hamiltonian operator is bounded from below. Then we can subtract its ground state energy to obtain a non-negative $\hat{H}$ for which the integration limits in (2.35) are 0 and $\infty$. With the substitution $t \rightarrow t-\mathrm{i} \tau$, we obtain $$ \mathrm{e}^{-(\tau+\mathrm{i} t) \hat{H}}=\int{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-E(\tau+\mathrm{i} t)} \mathrm{d} \hat{P}_{\mathrm{E}}
$$
This defines a holomorphic semigroup in the lower complex half-plane
$$
{z=t-\mathrm{i} \tau \in \mathbb{C}, \tau \geq 0}
$$
If the operator $(2.36)$ is known on the negative imaginary axis $(t=0, \tau \geq 0)$, one can perform an analytic continuation to the real axis $(t, \tau=0)$. The analytic continuation to complex time $t \rightarrow-\mathrm{i} \tau$ corresponds to a transition from the Minkowski metric $\mathrm{d} s^{2}=d t^{2}-\mathrm{d} x^{2}-\mathrm{d} y^{2}-\mathrm{d} z^{2}$ to a metric with Euclidean signature. Hence a theory with imaginary time is called Euclidean theory.

The time evolution operator $\hat{K}(t)$ exists for real time and defines a oneparametric unitary group. It fulfills the Schrödinger equation
$$
\mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \hat{K}(t)=\hat{H} \hat{K}(t)
$$
with a complex and oscillating kernel $K\left(t, q^{\prime}, q\right)=\left\langle q^{\prime}|\hat{K}(t)| q\right\rangle$. For imaginary time we have a Hermitian (and not unitary) evolution operator
$$
\hat{K}(\tau)=\mathrm{e}^{-\tau \hat{H}}
$$
with positive spectrum. The $\hat{K}(\tau)$ exist for positive $\tau$ and form a semi-group only. For almost all initial data, evolution back into the “imaginary past” is impossible.
The evolution operator for imaginary time satisfies the heat equation
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \hat{K}(\tau)=-\hat{H} \hat{K}(\tau)
$$
instead of the Schrödinger equation and has kernel
$$
K\left(\tau, q^{\prime}, q\right)=\left\langle q^{\prime}\left|\mathrm{e}^{-\tau \hat{H}}\right| q\right\rangle, \quad K\left(0, q^{\prime}, q\right)=\delta\left(q^{\prime}, q\right)
$$
This kernel is real ${ }^{1}$ for a real Hamiltonian. Furthermore it is strictly positive:

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Imaginary Time Path Integral

To formulate the path integral for imaginary time, we employ the product formula $(2.28)$, which follows from the product formula (2.27) through the substitution of it by $\tau$. For such systems the analog of $(2.31)$ for Euclidean time $\tau$ is obtained by the substitution of $i \varepsilon$ by $\varepsilon$. Thus we tind
$$
\begin{aligned}
K\left(\tau, q^{\prime}, q\right) &=\left\langle\hat{q}^{\prime}\left|\mathrm{e}^{-\tau \hat{H} / \hbar}\right| \hat{q}\right\rangle \
&=\lim {n \rightarrow \infty} \int \mathrm{d} q{1} \cdots \mathrm{d} q_{n-1}\left(\frac{m}{2 \pi \hbar \varepsilon}\right)^{n / 2} \mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}\left(q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right) / \hbar} \
S_{\mathrm{E}}(\ldots) &=\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left{\frac{m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_{j}}{\varepsilon}\right)^{2}+V\left(q_{j}\right)\right}
\end{aligned}
$$
where $q_{0}=q$ and $q_{n}=q^{\prime}$. The multidimensional integral represents the sum over all broken-line paths from $q$ to $q^{\prime}$. Interpreting $S_{\mathrm{E}}$ as Hamiltonian of a classical lattice model and $\hbar$ as temperature, it is (up to the fixed endpoints) the partition function of a one-dimensional lattice model on a lattice with $n+1$ sites. The realvalued variable $q_{j}$ defined on site $j$ enters the action $S_{\mathrm{E}}$ which contains interactions between the variables $q_{j}$ and $q_{j+1}$ at neighboring sites. The values of the lattice field
$$
{0,1, \ldots, n-1, n} \rightarrow\left{q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n-1}, q_{n}\right}
$$
are prescribed at the endpoints $q_{0}=q$ and $q_{n}=q^{\prime}$. Note that the classical limit $\hbar \rightarrow 0$ corresponds to the low-temperature limit of the lattice system.

The multidimensional integral (2.52) corresponds to the summation over all path on the time lattice. What happens to the finite-dimensional integral when we take the continuum limit $n \rightarrow \infty$ ? Then we obtain the Euclidean path integral representation for the positive kernel
$$
K\left(\tau, q^{\prime}, q\right)=\left\langle q^{\prime}\left|\mathrm{e}^{-\tau \hat{H} / h}\right| q\right\rangle=C \int_{q(0)=q}^{q(\tau)=q^{\prime}} \mathscr{D} q \mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}[q] / h}
$$
The integrand contains the Euclidean action
$$
S_{\mathrm{E}}[q]=\int_{0}^{\tau} d \sigma\left{\frac{m}{2} \dot{q}^{2}+V(q(\sigma))\right}
$$
which for many physical systems is bounded from below.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Path Integral in Quantum Statistics

The Euclidean path integral formulation immediately leads to an interesting connection between quantum statistical mechanics and classical statistical physics. Indeed, if we set $\tau / \hbar \equiv \beta$ and integrate over $q=q^{\prime}$ in (2.53), then we end up with the path integral representation for the canonical partition function of a quantum system with Hamiltonian $\hat{H}$ at inverse temperature $\beta=1 / k_{B} T$. More precisely, setting $q=q^{\prime}$ and $\tau=\hbar \beta$ in the left-hand side of this formula, then the integral over $q$ yields the trace of $\exp (-\beta \hat{H})$, which is just the canonical partition function,
$$
\int \mathrm{d} q K(\hbar \beta, q, q)=\operatorname{tr} \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}}=Z(\beta)=\sum \mathrm{e}^{-\beta E_{n}} \quad \text { with } \quad \beta=\frac{1}{k_{B} T}
$$
Setting $q=q^{\prime}$ in the Euclidean path integral in (2.53) means that we integrate over paths beginning and ending at $q$ during the imaginary time interval $[0, \hbar \beta]$. The final integral over $q$ leads to the path integral over all periodic paths with period $\hbar \beta$
$$
Z(\beta)=C \oint \mathscr{D} q \mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}[q] / \hbar}, \quad q(\hbar \beta)=q(0)
$$
For example, the kernell of the harmonic oscillator in $(2.43)$ on the diagonal is
$$
K_{\omega}(\beta, q, q)=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \sinh (\omega \beta)}} \exp \left{-m \omega \tanh (\omega \beta / 2) q^{2}\right}
$$
where we used units with $\hbar=1$. The integral over $q$ yields the partition function
$$
\begin{aligned}
Z(\beta) &=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \sinh (\omega \beta)}} \int \mathrm{d} q \exp \left{-m \omega \tanh (\omega \beta / 2) q^{2}\right} \
&=\frac{1}{2 \sinh (\omega \beta / 2)}=\frac{\mathrm{e}^{-\omega \beta / 2}}{1-\mathrm{e}^{-\omega \beta}}=\mathrm{e}^{-\omega \beta / 2} \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n \omega \beta}
\end{aligned}
$$
where we used $\sinh x=2 \sinh x / 2 \cosh x / 2$. A comparison with the spectral sum over all energies in (2.55) yields the energies of the oscillator with (angular) frequency $\omega$,
$$
E_{n}=\omega\left(n+\frac{1}{2}\right), \quad n=0,1,2, \ldots
$$
For large values of $\omega \beta$, i.e., for very low temperature, the spectral sum is dominated by the contribution of the ground state energy. Thus for cold systems, the free energy converges to the ground state energy
$$
F(\beta) \equiv-\frac{1}{\beta} \log Z(\beta) \stackrel{\omega \beta \rightarrow \infty}{\longrightarrow} E_{0}
$$
One often is interested in the energies and wave functions of excited states. We now discuss an elegant method to extract this information from the path integral.

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量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Quantum Mechanics in Imaginary Time

酉时间演化算子具有谱表示

ķ^(吨)=和−一世H^吨=∫和−一世和吨 d磷^和,在哪里磷^和是哈密顿量的谱族。如果H^有离散谱,则磷^和是在子空间上的正交投影H由能量小于的所有特征函数跨越和. 在下文中,我们假设哈密顿算子是从下面有界的。然后我们可以减去它的基态能量得到一个非负的H^(2.35) 中的积分限制为 0 并且∞. 随着替换吨→吨−一世τ, 我们获得

和−(τ+一世吨)H^=∫0∞和−和(τ+一世吨)d磷^和
这在下复半平面中定义了一个全纯半群

和=吨−一世τ∈C,τ≥0
如果运营商(2.36)在负虚轴上已知(吨=0,τ≥0), 可以对实轴进行解析延拓(吨,τ=0). 复杂时间的解析延展吨→−一世τ对应于 Minkowski 度量的转换ds2=d吨2−dX2−d是2−d和2到具有欧几里得签名的度量。因此,具有虚时间的理论称为欧几里得理论。

时间演化算子ķ^(吨)实时存在并定义一个参数酉群。它满足薛定谔方程

一世dd吨ķ^(吨)=H^ķ^(吨)
具有复杂和振荡的内核ķ(吨,q′,q)=⟨q′|ķ^(吨)|q⟩. 对于虚构的时间,我们有一个 Hermitian(而不是单一的)进化算子

ķ^(τ)=和−τH^
具有正谱。这ķ^(τ)为积极而存在τ并且只形成一个半群。对于几乎所有的初始数据,进化回“想象的过去”是不可能的。
虚时间演化算子满足热方程

ddτķ^(τ)=−H^ķ^(τ)
而不是薛定谔方程并且有核

ķ(τ,q′,q)=⟨q′|和−τH^|q⟩,ķ(0,q′,q)=d(q′,q)
这个内核是真的1对于一个真正的哈密顿量。此外,它是严格肯定的:

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Imaginary Time Path Integral

为了制定虚时间的路径积分,我们使用乘积公式(2.28), 通过将乘积公式 (2.27) 替换为τ. 对于这样的系统,模拟(2.31)欧几里得时间τ通过替换获得一世e经过e. 因此我们认为

\begin{aligned} 左(\tau, q^{\prime}, q\right) &=\left\langle\hat{q}^{\prime}\left|\mathrm{e}^{- \tau \hat{H} / \hbar}\right| \hat{q}\right\rangle\&=\lim{n\rightarrow\infty}\int \mathrm{d}q{1}\cdots\mathrm{d}q_{n-1}\left(\frac {m}{2 \pi \hbar \value psilon}\right)^{n/2}\mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}\left(q_{0}, q_{1} , \ldots, q_{n}\right) / \hbar}\S_{\mathrm{E}}(\ldots) &=\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left{\frac { m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_{j}}{\valuepsilon}\right)^{2}+V\left(q_{j}\right)\right} \结束{对齐}\begin{aligned} 左(\tau, q^{\prime}, q\right) &=\left\langle\hat{q}^{\prime}\left|\mathrm{e}^{- \tau \hat{H} / \hbar}\right| \hat{q}\right\rangle\&=\lim{n\rightarrow\infty}\int \mathrm{d}q{1}\cdots\mathrm{d}q_{n-1}\left(\frac {m}{2 \pi \hbar \value psilon}\right)^{n/2}\mathrm{e}^{-S_{\mathrm{E}}\left(q_{0}, q_{1} , \ldots, q_{n}\right) / \hbar}\S_{\mathrm{E}}(\ldots) &=\varepsilon \sum_{j=0}^{n-1}\left{\frac { m}{2}\left(\frac{q_{j+1}-q_{j}}{\valuepsilon}\right)^{2}+V\left(q_{j}\right)\right} \结束{对齐}
在哪里q0=q和qn=q′. 多维积分表示所有虚线路径的总和q至q′. 口译小号和作为经典晶格模型的哈密顿量和ℏ作为温度,它是(直到固定端点)晶格上的一维晶格模型的配分函数n+1网站。实值变量qj现场定义j进入动作小号和其中包含变量之间的相互作用qj和qj+1在邻近站点。格域的值

{0,1, \ldots, n-1, n} \rightarrow\left{q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n-1}, q_{n}\right}{0,1, \ldots, n-1, n} \rightarrow\left{q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n-1}, q_{n}\right}
在端点规定q0=q和qn=q′. 注意经典极限ℏ→0对应于晶格系统的低温极限。

多维积分 (2.52) 对应于时间格上所有路径的总和。当我们取连续极限时,有限维积分会发生什么n→∞? 然后我们得到正核的欧几里得路径积分表示

ķ(τ,q′,q)=⟨q′|和−τH^/H|q⟩=C∫q(0)=qq(τ)=q′Dq和−小号和[q]/H
被积函数包含欧几里得动作

S_{\mathrm{E}}[q]=\int_{0}^{\tau} d \sigma\left{\frac{m}{2} \dot{q}^{2}+V(q( \sigma))\对}S_{\mathrm{E}}[q]=\int_{0}^{\tau} d \sigma\left{\frac{m}{2} \dot{q}^{2}+V(q( \sigma))\对}
对于许多物理系统来说,它是从下面限定的。

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欧几里得路径积分公式立即导致了量子统计力学和经典统计物理学之间的有趣联系。确实,如果我们设置τ/ℏ≡b并整合过来q=q′在 (2.53) 中,我们最终得到具有哈密顿量的量子系统的规范配分函数的路径积分表示H^在逆温b=1/ķ乙吨. 更准确地说,设置q=q′和τ=ℏb在这个公式的左边,那么积分超过q产生的痕迹经验⁡(−bH^),这只是典型的分区函数,

∫dqķ(ℏb,q,q)=tr⁡和−bH^=从(b)=∑和−b和n 和 b=1ķ乙吨
环境q=q′在(2.53)中的欧几里得路径积分中意味着我们在开始和结束于的路径上积分q在虚构的时间间隔内[0,ℏb]. 最后的积分超过q导致所有周期路径上的路径积分ℏb

从(b)=C∮Dq和−小号和[q]/ℏ,q(ℏb)=q(0)
例如,谐振子的 kernell(2.43)对角线上是

K_{\omega}(\beta, q, q)=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \sinh (\omega \beta)}} \exp \left{-m \omega \tanh ( \omega \beta / 2) q^{2}\right}K_{\omega}(\beta, q, q)=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \sinh (\omega \beta)}} \exp \left{-m \omega \tanh ( \omega \beta / 2) q^{2}\right}
我们在哪里使用单位ℏ=1. 积分超过q产生配分函数

\begin{对齐}Z(\beta)&=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\sinh(\omega\beta)}}\int\mathrm{d}q\exp\left{- m\omega\tanh(\omega\beta/2)q^{2}\right}\&=\frac{1}2\sinh(\omega\beta/2)}=\mathrm{e}^{- \omega\beta/2}{1-\mathrm{e}^{-\omega\beta}}=\mathrm{e}^{-\omega\beta/2}\sum_{n=0}^{\ infty} \ mathrm {e} ^ {- n \ omega \ beta} \ end {对齐}\begin{对齐}Z(\beta)&=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\sinh(\omega\beta)}}\int\mathrm{d}q\exp\left{- m\omega\tanh(\omega\beta/2)q^{2}\right}\&=\frac{1}2\sinh(\omega\beta/2)}=\mathrm{e}^{- \omega\beta/2}{1-\mathrm{e}^{-\omega\beta}}=\mathrm{e}^{-\omega\beta/2}\sum_{n=0}^{\ infty} \ mathrm {e} ^ {- n \ omega \ beta} \ end {对齐}
我们用过的地方出生⁡X=2出生⁡X/2科什⁡X/2. 与 (2.55) 中所有能量的频谱总和进行比较,得出具有(角)频率的振荡器的能量ω,

和n=ω(n+12),n=0,1,2,…
对于较大的值ωb,即对于非常低的温度,谱和主要由基态能量的贡献决定。因此对于冷系统,自由能收敛到基态能量

F(b)≡−1b日志⁡从(b)⟶ωb→∞和0
人们经常对激发态的能量和波函数感兴趣。我们现在讨论一种从路径积分中提取此信息的优雅方法。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYSICS 3544

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在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个理论框架,它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYSICS 3544

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Path Integrals in Quantum and Statistical Mechanics

Already back in 1933 , Dirac asked himself whether the classical Lagrangian and action are as significant in quantum mechanics as they are in classical mechanics $[1,2]$. He observed that for simple systems, the probability amplitude
$$
K\left(t, q^{\prime}, q\right)=\left\langle q^{\prime}\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{A} t / h}\right| q\right\rangle
$$
for the propagation from a point with coordinate $q$ to another point with coordinate $q^{\prime}$ in time $t$ is given by
$$
K\left(t, q^{\prime}, q\right) \propto \mathrm{e}^{\mathrm{i} S\left[q_{\mathrm{cl}}\right] / h}
$$
where $q_{\mathrm{cl}}$ denotes the classical trajectory from $q$ to $q^{\prime}$. In the exponent the action of this trajectory enters as a multiple of Planck’s reduced constant $h$. For a free particle with Lagrangian
$$
L_{0}=\frac{m}{2} \dot{q}^{2}
$$ the formula $(2.2)$ is verified easily: A free particle moves with constant velocity $\left(q^{\prime}-q\right) / t$ from $q$ to $q^{\prime}$ and the action of the classical trajectory is
$$
S\left[q_{\mathrm{cl}}\right]=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} s L_{0}\left[q_{\mathrm{cl}}(s)\right]=\frac{m}{2 t}\left(q^{\prime}-q\right)^{2}
$$
The factor of proportionality in $(2.2)$ is then uniquely fixed by the condition $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} t / \hbar} \longrightarrow 1$ for $t \rightarrow 0$ which in position space reads
$$
\lim {t \rightarrow 0} K\left(t, q^{\prime}, q\right)=\delta\left(q^{\prime}, q\right) $$ Alternatively, it is fixed by the property $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} t / h} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} s / h}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H}(t+s) / h}$ that takes the form $$ \int \mathrm{d} u K\left(t, q^{\prime}, u\right) K(s, u, q)=K\left(t+s, q^{\prime}, q\right) $$ in position space. Thus, the correct free particle propagator on a line is given by $$ K{0}\left(t, q^{\prime} \cdot q\right)=\left(\frac{m}{2 \pi \mathrm{i} \hbar t}\right)^{1 / 2} \mathrm{c}^{\mathrm{i} m\left(q^{\prime}-q\right)^{2} / 2 h t}
$$
Similar results hold for the harmonic oscillator or systems for which $\langle\hat{q}(t)\rangle$ fulfills the classical equation of motion. For such systems $\left\langle V^{\prime}(\hat{q})\right\rangle=V^{\prime}(\langle\hat{q}\rangle)$ holds true. However, for general systems, the simple formula (2.2) must be extended, and it was Feynman who discovered this extension back in 1948. He realized that all paths from $q$ to $q^{\prime}$ (and not only the classical path) contribute to the propagator. This means that in quantum mechanics a particle can potentially move on any path $q(s)$ from the initial to the final destination,
$$
q(0)=q \quad \text { and } \quad q(t)=q^{\prime}
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Recalling Quantum Mechanics

There are two well-established ways to quantize a classical system: canonical quantization and path integral quantization. For completeness and later use, we recall the main steps of canonical quantization both in Schrödinger’s wave mechanics and Heisenberg’s matrix mechanics.

A classical system is described by its coordinates $\left{q^{i}\right}$ and momenta $\left{p_{i}\right}$ on phase space $\Gamma$. An observable $O$ is a real-valued function on $\Gamma$. Examples are the coordinates on phase space and the energy $H(q, p)$. We assume that phase space comes along with a symplectic structure and has local coordinates with Poisson brackets
$$
\left{q^{i}, p_{j}\right}=\delta_{j}^{i}
$$
The brackets are extended to observables on through antisymmetry and the derivation rule ${O P, Q}=O{P, Q}+{O, Q} P$. The evolution in time of an observable is determined by
$$
\dot{O}={O, H}, \quad \text { e.g. } \quad \dot{q}^{i}=\left{q^{i}, H\right} \quad \text { and } \quad \dot{p}{i}=\left{p{i}, H\right}
$$
In the canonical quantization, functions on phase space are mapped to operators, and the Poisson brackets of two functions become commutators of the associated operators:
$$
O(q, p) \rightarrow \hat{O}(\hat{q}, \hat{p}) \quad \text { and } \quad{O, P} \longrightarrow \frac{1}{\mathrm{i} \hbar}[\hat{O}, \hat{P}]
$$

The time evolution of an (not explicitly time-dependent) observable is determined by Heisenberg’s equation
$$
\frac{\mathrm{d} \hat{O}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}[\hat{H}, \hat{O}]
$$
In particular the phase space coordinates $\left(q^{l}, p_{i}\right)$ become operators with commutation relations $\left[\hat{q}^{i}, \hat{p}{j}\right]=\mathrm{i} \hbar \delta{j}^{i}$, and their time evolution is determined by
$$
\frac{\mathrm{d} \hat{q}^{i}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat{H}, \hat{q}^{i}\right] \quad \text { and } \quad \frac{\mathrm{d} \hat{p}{i}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat{H}, \hat{p}{i}\right]
$$
For a system of non-relativistic and spinless particles, the Hamiltonian reads
$$
\hat{H}=\hat{H}{0}+\hat{V} \quad \text { with } \quad \hat{H}{0}=\frac{1}{2 m} \sum \hat{p}{i}^{2} $$ and one arrives at Heisenberg’s equations of motion $$ \frac{\mathrm{d} \hat{q}^{i}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\hat{p}{i}}{m} \quad \text { and } \quad \frac{\mathrm{d} \hat{p}{i}}{\mathrm{~d} t}=-\hat{V}{, i}
$$
Observables are represented by Hermitian operators on a Hilbert space $\mathscr{H}$, whose elements characterize the states of the system:
$$
\hat{O}(\hat{q}, \hat{p}): \mathcal{H} \longrightarrow \mathcal{H}
$$
Consider a particle confined to an endless wire. Its Hilbert space is $\mathcal{H}=L_{2}(\mathbb{R})$, and its position and momentum operator are represented in position space as
$$
(\hat{q} \psi)(q)=q \psi(q) \quad \text { and } \quad(\hat{p} \psi)(q)=\frac{\hbar}{i} \partial_{q} \psi(q)
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Feynman–Kac Formula

We shall derive Feynman’s path integral representation for the unitary time evolution operator $\exp (-\mathrm{i} \hat{H} t)$ as well as Kac’s path integral representation for the positive operator $\exp (-\hat{H} \tau)$. Thereby we shall utilize the product formula of Trotter. In case of matrices, this formula was already verified by Lie and has the form:
Theorem 2.1 (Lie’s Theorem) For two matrices $\mathrm{A}$ and $\mathrm{B}$
$$
\mathrm{e}^{\mathrm{A}+\mathrm{B}}=\lim {n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{A} / n} \mathrm{e}^{\mathrm{B} / n}\right)^{n} $$ To prove this theorem, we define for each $n$ the two matrices $\mathrm{S}{n}:=\exp (\mathrm{A} / n+\mathrm{B} / n)$ and $\mathrm{T}{n}:=\exp (\mathrm{A} / n) \exp (\mathrm{B} / n)$ and telescope the difference of their $n$ ‘th powers, $$ \mathrm{S}{n}^{n}-\mathrm{T}{n}^{n}=\mathrm{S}{n}^{n-1}\left(\mathrm{~S}{n}-\mathrm{T}{n}\right)+\mathrm{S}{n}^{n-2}\left(\mathrm{~S}{n}-\mathrm{T}{n}\right) \mathrm{T}{n}+\cdots+\left(\mathrm{S}{n}-\mathrm{T}{n}\right) \mathrm{T}{n}^{n-1} $$ Now we choose any (sub-multiplicative) matrix norm, for example, the Frobenius norm. The triangle inequality together with $|X Y| \leq|X \mid| Y |$ imply the inequality $|\exp (X)| \leq \exp (|X|)$ such that $$ \left|\mathrm{S}{n}\right|,\left|\mathrm{T}{n}\right| \leq a^{1 / n} \quad \text { with } \quad a=\mathrm{e}^{|\mathrm{A}|+|\mathrm{B}|} $$ Thus we conclude $$ \left|\mathrm{S}{n}^{n}-\mathrm{T}{n}^{n}\right| \equiv\left|\mathrm{e}^{\mathrm{A}+B}-\left(\mathrm{e}^{\mathrm{A} / n} \mathrm{e}^{B / n}\right)^{n}\right| \leq n \times a^{(n-1) / n}\left|\mathrm{~S}{n}-\mathrm{T}{n}\right| $$ Finally, using $\mathrm{S}{n}-\mathrm{T}_{n}=-[\mathrm{A}, \mathrm{B}] / 2 n^{2}+O\left(1 / n^{3}\right)$, the product formula is verified for matrices. But the theorem also holds for self-adjoint operators.

Theorem $2.2$ (Trotter’s Theorem) If $\hat{A}$ and $\hat{B}$ are self-adjoint operators and $\hat{A}+$ $\hat{B}$ is essentially self-adjoint on the intersection $\mathscr{D}$ of their domains, then
$$
\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t(\hat{A}+\hat{B})}=s-\lim {n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t \hat{A} / n} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} t \hat{B} / n}\right)^{n} $$ If in addition $\hat{A}$ and $\hat{B}$ are bounded from below, then $$ \mathrm{e}^{-\tau(\hat{A}+\hat{B})}=s-\lim {n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{-\tau \hat{A} / n} \mathrm{e}^{-\tau \hat{B} / n}\right)^{n}
$$
The operators need not be bounded and the convergence is with respect to the strong operator topology. For operators $\hat{A}{n}$ and $\hat{A}$ on a common domain $\mathscr{D}$ in the Hilbert space, we have s- $\lim {n \rightarrow \infty} \hat{A}{n}=\hat{A}$ iff $\left|\hat{A}{n} \psi-\hat{A} \psi\right| \rightarrow 0$ for all $\psi \in \mathscr{D}$. Formula (2.27) is used in quantum mechanics, and formula $(2.28)$ finds its application in statistical physics and the Euclidean formulation of quantum mechanics [16].

Let us assume that $\hat{H}$ can be written as $\hat{H}=\hat{H}{0}+\hat{V}$ and apply the product formula to the evolution kernel in (2.22). With $\varepsilon=t / n$ and $\hbar=1$, we obtain $$ \begin{aligned} K\left(t, q^{\prime}, q\right) &=\lim {n \rightarrow \infty}\left\langle q^{\prime}\left|\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{H}{0}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{V}}\right)^{n}\right| q\right\rangle \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \int \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} q_{n-1} \prod_{j=0}^{j=n-1}\left|q_{j+1}\right| \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{H}{0}} \mathrm{e}^{-i \varepsilon \hat{V}}\left|q{j}\right\rangle
\end{aligned}
$$
where we repeatedly inserted the resolution of the identity $(2.21)$ and denoted the initial and final point by $q_{0}=q$ and $q_{n}=q^{\prime}$, respectively. The potential $\hat{V}$ is diagonal in position space such that
$$
\left\langle q_{j+1}\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{H}{0}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{V}}\right| q{j}\right\rangle=\left\langle q_{j+1}\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon \hat{H}{0}}\right| q{j}\right\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon V\left(q_{j}\right)}
$$

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量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Path Integrals in Quantum and Statistical Mechanics

早在 1933 年,狄拉克就问自己,经典拉格朗日算子和作用在量子力学中是否与在经典力学中一样重要[1,2]. 他观察到,对于简单系统,概率幅

ķ(吨,q′,q)=⟨q′|和−一世一个^吨/H|q⟩
对于从具有坐标的点的传播q到另一个坐标点q′及时吨是(谁)给的

ķ(吨,q′,q)∝和一世小号[qCl]/H
在哪里qCl表示来自的经典轨迹q至q′. 在指数中,该轨迹的作用作为普朗克约化常数的倍数进入H. 对于具有拉格朗日的自由粒子

大号0=米2q˙2公式(2.2)容易验证:自由粒子以恒定速度运动(q′−q)/吨从q至q′经典轨迹的作用是

小号[qCl]=∫0吨 ds大号0[qCl(s)]=米2吨(q′−q)2
比例系数(2.2)然后由条件唯一固定和−一世H^吨/ℏ⟶1为了吨→0在位置空间中读取

林吨→0ķ(吨,q′,q)=d(q′,q)或者,它由属性固定和−一世H^吨/H和−一世H^s/H=和−一世H^(吨+s)/H采取形式

∫d在ķ(吨,q′,在)ķ(s,在,q)=ķ(吨+s,q′,q)在位置空间。因此,一条线上正确的自由粒子传播子由下式给出

ķ0(吨,q′⋅q)=(米2圆周率一世ℏ吨)1/2C一世米(q′−q)2/2H吨
类似的结果适用于谐波振荡器或系统⟨q^(吨)⟩满足经典的运动方程。对于这样的系统⟨在′(q^)⟩=在′(⟨q^⟩)成立。然而,对于一般系统,必须扩展简单的公式(2.2),而费曼早在 1948 年就发现了这个扩展。他意识到所有从q至q′(不仅是经典路径)有助于传播者。这意味着在量子力学中,粒子可以在任何路径上移动q(s)从最初的目的地到最终的目的地,

q(0)=q 和 q(吨)=q′

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Recalling Quantum Mechanics

量化经典系统有两种行之有效的方法:规范量化和路径积分量化。为了完整性和以后的使用,我们回顾一下薛定谔的波力学和海森堡的矩阵力学中规范量化的主要步骤。

经典系统由其坐标描述\left{q^{i}\right}\left{q^{i}\right}和动量\left{p_{i}\right}\left{p_{i}\right}在相空间Γ. 一个可观察的○是一个实值函数Γ. 例子是相空间上的坐标和能量H(q,p). 我们假设相空间带有一个辛结构并且具有泊松括号的局部坐标

\left{q^{i}, p_{j}\right}=\delta_{j}^{i}\left{q^{i}, p_{j}\right}=\delta_{j}^{i}
括号通过反对称和推导规则扩展到可观察量○磷,问=○磷,问+○,问磷. 可观测量的时间演化由下式决定

\dot{O}={O, H}, \quad \text { 例如} \quad \dot{q}^{i}=\left{q^{i}, H\right} \quad \text { 和} \quad \dot{p}{i}=\left{p{i}, H\right}\dot{O}={O, H}, \quad \text { 例如} \quad \dot{q}^{i}=\left{q^{i}, H\right} \quad \text { 和} \quad \dot{p}{i}=\left{p{i}, H\right}
在规范量化中,相空间上的函数被映射到算子,两个函数的泊松括号成为相关算子的交换子:

○(q,p)→○^(q^,p^) 和 ○,磷⟶1一世ℏ[○^,磷^]

(不是明确的时间相关的)可观测的时间演化由海森堡方程确定

d○^ d吨=一世ℏ[H^,○^]
特别是相空间坐标(ql,p一世)成为有交换关系的算子[q^一世,p^j]=一世ℏdj一世, 它们的时间演化由下式决定

dq^一世 d吨=一世ℏ[H^,q^一世] 和 dp^一世 d吨=一世ℏ[H^,p^一世]
对于非相对论和无自旋粒子系统,哈密顿量为

H^=H^0+在^ 和 H^0=12米∑p^一世2一个到达海森堡的运动方程

dq^一世 d吨=p^一世米 和 dp^一世 d吨=−在^,一世
Observables 由希尔伯特空间上的 Hermitian 算子表示H,其元素表征系统的状态:

○^(q^,p^):H⟶H
考虑一个被限制在无限线中的粒子。它的希尔伯特空间是H=大号2(R),其位置和动量算子在位置空间中表示为

(q^ψ)(q)=qψ(q) 和 (p^ψ)(q)=ℏ一世∂qψ(q)

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Feynman–Kac Formula

我们将推导出酉时间演化算子的​​费曼路径积分表示经验⁡(−一世H^吨)以及正算子的 Kac 路径积分表示经验⁡(−H^τ). 因此我们将利用Trotter的产品配方。在矩阵的情况下,这个公式已经被 Lie 验证并具有形式:
Theorem 2.1 (Lie’s Theorem) 对于两个矩阵一个和乙

和一个+乙=林n→∞(和一个/n和乙/n)n为了证明这个定理,我们定义每个n两个矩阵小号n:=经验⁡(一个/n+乙/n)和吨n:=经验⁡(一个/n)经验⁡(乙/n)并望远镜他们的差异n的权力,

小号nn−吨nn=小号nn−1( 小号n−吨n)+小号nn−2( 小号n−吨n)吨n+⋯+(小号n−吨n)吨nn−1现在我们选择任何(子乘法)矩阵范数,例如 Frobenius 范数。三角不等式与|X是|≤|X∣|是|暗示不等式|经验⁡(X)|≤经验⁡(|X|)这样

|小号n|,|吨n|≤一个1/n 和 一个=和|一个|+|乙|因此我们得出结论

|小号nn−吨nn|≡|和一个+乙−(和一个/n和乙/n)n|≤n×一个(n−1)/n| 小号n−吨n|最后,使用小号n−吨n=−[一个,乙]/2n2+○(1/n3),乘积公式针对矩阵进行验证。但该定理也适用于自伴算子。

定理2.2(特罗特定理)如果一个^和乙^是自伴算子和一个^+ 乙^在交点上本质上是自伴的D他们的域,然后

和−一世吨(一个^+乙^)=s−林n→∞(和−一世吨一个^/n和−一世吨乙^/n)n如果另外一个^和乙^是从下方有界的,那么

和−τ(一个^+乙^)=s−林n→∞(和−τ一个^/n和−τ乙^/n)n
算子不需要有界,收敛与强算子拓扑有关。对于运营商一个^n和一个^在一个共同的领域D在希尔伯特空间中,我们有 s-林n→∞一个^n=一个^当且当|一个^nψ−一个^ψ|→0对所有人ψ∈D. 公式(2.27)用于量子力学,公式(2.28)发现其在统计物理学和量子力学的欧几里得公式中的应用[16]。

让我们假设H^可以写成H^=H^0+在^并将乘积公式应用于(2.22)中的进化核。和e=吨/n和ℏ=1, 我们获得

ķ(吨,q′,q)=林n→∞⟨q′|(和−一世eH^0和−一世e在^)n|q⟩ =林n→∞∫dq1⋯dqn−1∏j=0j=n−1|qj+1|和−一世eH^0和−一世e在^|qj⟩
我们反复插入身份的解析(2.21)并用q0=q和qn=q′, 分别。潜力在^在位置空间中是对角线使得

⟨qj+1|和−一世eH^0和−一世e在^|qj⟩=⟨qj+1|和−一世eH^0|qj⟩和−一世e在(qj)

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYSICS2534

如果你也在 怎样代写电磁学electromagnetism这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

电磁学是电荷、磁矩和电磁场之间的物理互动。电磁场可以是静态的,缓慢变化的,或形成波。电磁波一般被称为光,遵守光学定律。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYSICS2534

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electrostatics of Conductors

Topics. The electrostatic potential in vacuum. The uniqueness theorem for Poisson’s equation. Laplace’s equation, harmonic functions and their properties. Boundary conditions at the surfaces of conductors: Dirichlet, Neumann and mixed boundary conditions. The capacity of a conductor. Plane, cylindrical and spherical capacitors. Electrostatic field and electrostatic pressure at the surface of a conductor. The method of image charges: point charges in front of plane and spherical conductors.
Basic equations Poisson’s equation is
$$
\nabla^{2} \varphi(\mathbf{r})=-4 \pi k_{\mathrm{e}} \varrho(\mathbf{r})
$$
where $\varphi(\mathbf{r})$ is the electrostatic potential, and $\varrho(\mathbf{r})$ is the electric charge density, at the point of vector position $\mathbf{r}$. The solution of Poisson’s equation is unique if one of the following boundary conditions is true

  1. Dirichlet boundary condition: $\varphi$ is known and well defined on all of the boundary surfaces.
  2. Neumann boundary condition: $\mathbf{E}=-\nabla \varphi$ is known and well defined on all of the boundary surfaces.
  3. Modified Neumann boundary condition (also called Robin boundary condition): conditions where boundaries are specified as conductors with known charges.
  4. Mixed boundary conditions: a combination of Dirichlet, Neumann, and modified Neumann boundary conditions:
    Laplace’s equation is the special case of Poisson’s equation
    $$
    \nabla^{2} \varphi(\mathbf{r})=0
    $$
    which is valid in vacuum.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Metal Sphere in an External Field

A a metal sphere of radius $R$ consists of a “rigid” lattice of ions, each of charge $+Z e$, and valence electrons each of charge $-e$. We denote by $n_{\mathrm{i}}$ the ion density, and by $n_{\mathrm{e}}$ the electron density. The net charge of the sphere is zero, therefore $n_{\mathrm{e}}=Z n_{\mathrm{i}}$. The sphere is located in an external, constant, and uniform electric field $\mathbf{E}{0}$. The field causes a displacement $\delta$ of the “electron sea” with respect to the ion lattice, so that the total field inside the sphere, $\mathbf{E}$, is zero. Using Problem $1.1$ as a model, evaluate a) the displacement $\delta$, giving a numerical estimate for $E{0}=10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}$;
b) the field generated by the sphere at its exterior, as a function of $\mathbf{E}_{0}$;
c) the surface charge density on the sphere.

(b) Consider the configurations of
(c)
a) A charge $q$ is located at a distance $a$ from an infinite conducting plane.
b) Two opposite charges $+q$
Fig. $2.1$ and $-q$ are at a distance $d$ from distance $a$ from an infinite conducting plane.
c) A charge $q$ is at distances $a$ and $b$, respectively, from two infinite conducting half planes forming a right dihedral angle.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Fields Generated by Surface Charge Densities

Consider the case a) of Problem 2.2: we have a point charge $q$ at a distance $a$ from an infinite conducting plane.
a) Evaluate the surface charge density $\sigma$, and the total induced charge $q_{\text {ind }}$, on the plane.

b) Now assume to have a nonconducting plane with the same surface charge distribution as in point a). Find the electric field in the whole space.
c) A non conducting spherical surface of radius $a$ has the same charge distribution as the conducting sphere of Problem 2.4. Evaluate the electric field in the whole space.

A point charge $q$ is located at a distance $d$ from the center of a conducting grounded sphere of radius $a<d$. Evaluate
a) the electric potential $\varphi$ over the whole space;
b) the force on the point charge;
c) the electrostatic energy of the system.
Answer the above questions also in the case of an isolated, uncharged conducting sphere.

An electric dipole $\mathbf{p}$ is located at a distance $d$ from the center of a conducting sphere of radius $a$. Evaluate the electrostatic potential $\varphi$ over the whole space assuming that
a) $\mathbf{p}$ is perpendicular to the direction from $\mathbf{p}$ to the center of the sphere,
b) $\mathbf{p}$ is directed towards the center of the sphere.
c) $\mathbf{p}$ forms an arbitrary angle $\theta$ with respect to the straight line passing through the center of the sphere and the dipole location.

In all three cases consider the two possibilities of i) a grounded sphere, and ii) an electrically uncharged isolated sphere.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYSICS2534

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electrostatics of Conductors

话题。真空中的静电势。泊松方程的唯一性定理。拉普拉斯方程、调和函数及其性质。导体表面的边界条件:Dirichlet、Neumann 和混合边界条件。导体的容量。平面、圆柱形和球形电容器。导体表面的静电场和静电压力。镜像电荷的方法:平面和球形导体前面的点电荷。
基本方程 泊松方程是

∇2披(r)=−4圆周率ķ和ϱ(r)
在哪里披(r)是静电势,并且ϱ(r)是矢量位置点处的电荷密度r. 如果下列边界条件之一为真,则泊松方程的解是唯一的

  1. 狄利克雷边界条件:披是已知的并且在所有的边界表面上定义良好。
  2. 纽曼边界条件:和=−∇披是已知的并且在所有的边界表面上定义良好。
  3. 修正的 Neumann 边界条件(也称为 Robin 边界条件):边界被指定为具有已知电荷的导体的条件。
  4. 混合边界条件:Dirichlet、Neumann 和修正的 Neumann 边界条件的组合:
    拉普拉斯方程是泊松方程的特例
    ∇2披(r)=0
    这在真空中是有效的。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Metal Sphere in an External Field

A 一个半径为金属的球体R由离子的“刚性”晶格组成,每个电荷+从和, 和价电子,每个电荷−和. 我们表示n一世离子密度,并由n和电子密度。球体的净电荷为零,因此n和=从n一世. 球体位于一个外部的、恒定的、均匀的电场中和0. 该场导致位移d相对于离子晶格的“电子海”,因此球体内的总场,和, 为零。使用问题1.1作为模型,评估 a) 位移d, 给出一个数值估计和0=103 在/米;
b) 球体在其外部产生的场,作为以下函数的函数和0;
c) 球面上的表面电荷密度。

(b) 考虑
(c)
a) 电荷的配置q位于远处一个从一个无限的导电平面。
b) 两个相反的电荷+q
如图。2.1和−q在远处d从远处一个从一个无限的导电平面。
c) 收费q在远处一个和b,分别来自形成直二面角的两个无限导电半平面。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Fields Generated by Surface Charge Densities

考虑问题 2.2 的情况 a):我们有一个点收费q在远处一个从一个无限的导电平面。
a) 评估表面电荷密度σ, 和总感应电荷q工业 , 在飞机上。

b) 现在假设有一个非导电平面,其表面电荷分布与 a) 点相同。求整个空间的电场。
c) 半径为非导电球面一个具有与问题 2.4 的导电球相同的电荷分布。评估整个空间中的电场。

一分收费q位于远处d从半径的导电接地球的中心一个<d. 评估
a) 电位披覆盖整个空间;
b) 点电荷上的力;
c) 系统的静电能。
在孤立的、不带电的导电球体的情况下也回答上述问题。

一个电偶极子p位于远处d从半径导电球的中心一个. 评估静电势披在整个空间上假设
a)p垂直于从p到球心,
b)p指向球体的中心。
C)p形成任意角度θ关于通过球心和偶极子位置的直线。

在所有三种情况下,考虑以下两种可能性:i) 接地球体和 ii) 不带电的隔离球体。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYS3040

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYS3040

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Mie Oscillations

Now, instead of a the metal slab of Problem 1.4, consider a metal sphere of radius $R$. Initially, all the conduction electrons ( $n_{\mathrm{e}}$ per unit volume) are displaced by $-\delta$ (with $\delta \ll R$ ) by an external electric field, analogously to Problem 1.1.
a) At time $t=0$ the external field is suddenly removed. Describe the subsequent motion of the conduction electrons under the action of the self-consistent electrostatic field, neglecting the boundary effects on the electrons close to the surface of the sphere.
b) At the limit $\delta \rightarrow 0$ (but assuming $e n_{\mathrm{e}} \delta=\sigma_{0}$ to remain finite, $\mathrm{i}{2} \mathrm{e}{2}$, the charge distribution is a surface density), find the electrostatic energy of the sphere as a function of $\delta$ and use the result to discuss the electron motion as in point $\mathbf{a})$.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Coulomb explosions

At $t=0$ we have a spherical cloud of radius $R$ and total charge $Q$, comprising $N$ point-like particles. Each particle has charge $q=Q / N$ and mass $m$. The particle density is uniform, and all particles are at rest.

a) Evaluate the electrostatic potential energy of a charge located at a distance $r0$. Consider the particles located in the infinitesimal spherical shell $r_{0}<r_{\mathrm{s}}<r_{0}+\mathrm{d} r$, with $r_{0}+\mathrm{d} r<R$, at $t=0$. Show that the equation of motion of the layer is
$$
m \frac{\mathrm{d}^{2} r_{\mathrm{s}}}{\mathrm{d} t^{2}}=k_{\mathrm{e}} \frac{q Q}{r_{\mathrm{s}}^{2}}\left(\frac{r_{0}}{R}\right)^{3}
$$
c) Find the initial position of the particles that acquire the maximum kinetic energy during the cloud expansion, and determinate the value of such maximum energy.
d) Find the energy spectrum, i.e., the distribution of the particles as a function of their final kinetic energy. Compare the total kinetic energy with the potential energy initially stored in the electrostatic field.
e) Show that the particle density remains spatially uniform during the expansion.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Plane and Cylindrical Coulomb Explosions

Particles of identical mass $m$ and charge $q$ are distributed with zero initial velocity and uniform density $n_{0}$ in the infinite slab $|x|0$ the slab expands because of the electrostatic repulsion between the pairs of particles.
a) Find the equation of motion for the particles, its solution, and the kinetic energy acquired by the particles.
b) Consider the analogous problem of the explosion of a uniform distribution having cylindrical symmetry.

Two rigid spheres have the same radius $R$ and the same mass $M$, and opposite charges $\pm Q$. Both charges are uniformly and rigidly distributed over the volumes of the two spheres. The two spheres are initially at rest, at a distance $x_{0} \gg R$ between their centers, such that their interaction energy is negligible compared to the sum of their “internal” (construction) energies.
a) Evaluate the initial energy of the system.
The two spheres, having opposite charges, attract each other, and start moving at $t=0$.
b) Evaluate the velocity of the spheres when they touch each other (i.e. when the distance between their centers is $x=2 R$ ).
c) Assume that, after touching, the two spheres penetrate each other without friction. Evaluate the velocity of the spheres when the two centers overlap $(x=0)$.

An electrically neutral metal sphere of radius $a$ contains $N$ conduction electrons. A fraction $f$ of the conduction electrons $(0<f<1)$ is removed from the sphere, and the remaining $(1-f) N$ conduction electrons redistribute themselves to an equilibrium configurations, while the $N$ lattice ions remain fixed.
a) Evaluate the conduction-electron density and the radius of their distribution in the sphere.

Now the conduction-electron sphere is rigidly displaced by $\boldsymbol{\delta}$ relatively to the ion lattice, with $|\delta|$ small enough for the conduction-electron sphere to remain inside the ion sphere.
b) Evaluate the electric field inside the conduction-electron sphere.
c) Evaluate the oscillation frequency of the conduction-electron sphere when it is released.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYS3040

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Mie Oscillations

现在,代替问题 1.4 的金属板,考虑一个半径为金属的球体R. 最初,所有的传导电子(n和每单位体积)由−d(和d≪R) 通过外部电场,类似于问题 1.1。
a) 有时吨=0外场突然被移除。描述导电电子在自洽静电场作用下的后续运动,忽略靠近球体表面的电子的边界效应。
b) 在极限d→0(但假设和n和d=σ0保持有限,一世2和2,电荷分布是表面密度),找到球体的静电能量作为函数d并使用结果来讨论电子运动一个).

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Coulomb explosions

在吨=0我们有一个半径为球形的云R和总费用问, 包括ñ点状粒子。每个粒子都有电荷q=问/ñ和质量米. 粒子密度均匀,所有粒子都处于静止状态。

a) 评估位于远处的电荷的静电势能r0. 考虑位于无穷小球壳中的粒子r0<rs<r0+dr, 和r0+dr<R, 在吨=0. 证明层的运动方程为

米d2rsd吨2=ķ和q问rs2(r0R)3
c) 找出在云膨胀过程中获得最大动能的粒子的初始位置,并确定该最大能量的值。
d) 找出能谱,即粒子的分布作为其最终动能的函数。将总动能与最初存储在静电场中的势能进行比较。
e) 表明粒子密度在膨胀过程中保持空间均匀。

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相同质量的粒子米并收费q以零初速度和均匀密度分布n0在无限平板 $|x| 0$ 由于粒子对之间的静电排斥,平板膨胀。
a) 找出粒子的运动方程、它的解以及粒子获得的动能。
b) 考虑具有圆柱对称性的均匀分布爆炸的类似问题。

两个刚性球体具有相同的半径R和相同的质量米, 和相反的电荷±问. 两种电荷均匀且刚性地分布在两个球体的体积上。两个球体最初处于静止状态,相距一定距离X0≫R在它们的中心之间,使得它们的相互作用能量与它们的“内部”(构造)能量的总和相比可以忽略不计。
a) 评估系统的初始能量。
两个带相反电荷的球体相互吸引,并开始在吨=0.
b) 评估球体相互接触时的速度(即,当它们的中心之间的距离为X=2R)。
c) 假设两个球体接触后相互穿透,没有摩擦。计算两个中心重叠时球体的速度(X=0).

半径为电中性的金属球一个包含ñ传导电子。一小部分F的传导电子(0<F<1)从球体中移除,剩下的(1−F)ñ传导电子重新分配到平衡构型,而ñ晶格离子保持固定。
a) 评估传导电子密度及其在球体中的分布半径。

现在传导电子球被刚性位移d相对于离子晶格,有|d|小到足以使传导电子球留在离子球内。
b) 评估传导电子球内的电场。
c) 评估传导电子球释放时的振荡频率。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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电磁学是电荷、磁矩和电磁场之间的物理互动。电磁场可以是静态的,缓慢变化的,或形成波。电磁波一般被称为光,遵守光学定律。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYC20014

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Basics of Electrostatics

Topics. The electric charge. The electric field. The superposition principle. Gauss’s law. Symmetry considerations. The electric field of simple charge distributions (plane layer, straight wire, sphere). Point charges and Coulomb’s law. The equations of electrostatics. Potential energy and electric potential. The equations of Poisson and Laplace. Electrostatic energy. Multipole expansions. The field of an electric dipole.

Units. An aim of this book is to provide formulas compatible with both SI (French: Système International d’Unités) units and Gaussian units in Chapters 1-6, while only Gaussian units will be used in Chapters 7-13. This is achieved by introducing some system-of-units-dependent constants.

The first constant we need is Coulomb’s constant, $k_{\mathrm{e}}$, which for instance appears in the expression for the force between two electric point charges $q_{1}$ and $q_{2}$ in vacuum, with position vectors $\mathbf{r}{1}$ and $\mathbf{r}{2}$, respectively. The Coulomb force acting, for instance, on $q_{1}$ is
$$
\mathbf{f}{1}=k{\mathrm{e}} \frac{q_{1} q_{2}}{\left|\mathbf{r}{1}-\mathbf{r}{2}\right|^{2}} \hat{\mathbf{r}}{12}, $$ where $k{\mathrm{e}}$ is Coulomb’s constant, dependent on the units used for force, electric charge, and length. The vector $\mathbf{r}{12}=\mathbf{r}{1}-\mathbf{r}{2}$ is the distance from $q{2}$ to $q_{1}$, pointing towards $q_{1}$, and $\hat{r}{12}$ the corresponding unit vector. Coulomb’s constant is $$ k{\mathrm{e}}= \begin{cases}\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} 8.987 \cdots \times 10^{9} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{C}^{-2} \simeq 9 \times 10^{9} \mathrm{~m} / \mathrm{F} & \text { SI } \ 1 & \text { Gaussian. }\end{cases}
$$
Constant $\varepsilon_{0} \simeq 8.854187817620 \cdots \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}$ is the so-called “dielectric permittivity of free space”, and is defined by the formula

$$
\varepsilon_{0}=\frac{1}{\mu_{0} c^{2}}
$$
where $\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}$ (by definition) is the vacuum magnetic permeability, and $c$ is the speed of light in vacuum, $c=299792458 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ (this is a precise value, since the length of the meter is defined from this constant and the international standard for time).

Basic equations The two basic equations of this Chapter are, in differential and integral form,
$$
\begin{array}{ll}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=4 \pi k_{\mathrm{e}} \varrho, & \oint_{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=4 \pi k_{\mathrm{e}} \int_{V} \varrho \mathrm{d}^{3} r \
\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=0, & \oint_{C} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \ell=0
\end{array}
$$
where $\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)$ is the electric field, and $\varrho(\mathbf{r}, t)$ is the volume charge density, at a point of location vector $\mathbf{r}$ at time $t$. The infinitesimal volume element is $\mathrm{d}^{3} r=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$. In (1.4) the functions to bẻ iñtēgrâtèd arré evalluateed ovèr añ arbbitrāry volume $V$, or over the surface $S$ enclosing the volume $V$. The function to be integrated in (1.5) is evaluated over an arbitrary closed path $C$. Since $\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=0$, it is possible to define an electric potential $\varphi=\varphi(\mathbf{r})$ such that
$$
\mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla} \varphi
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Overlapping Charged Spheres

We assume that a neutral sphere of radius $R$ can be regarded as the superposition of two “rigid” spheres: one of uniform positive charge density $+\varrho_{0}$, comprising the nuclei of the atoms, and a second sphere of the same radius, but of negative uniform charge density $-\varrho_{0}$, comprising the electrons. We further assume that its is possible to shift the two spheres relative to each other by a quantity $\delta$, as shown in Fig. 1.1, without perturbing the internal structure of either sphere.

a) in the “inner” region, where the two spheres overlap,
b) in the “outer” region, i.e., outside both spheres, discussing the limit of small displacements $\delta \ll R$.

A sphere of radius $a$ has uniform charge density $\varrho$ over all its volume, excluding a spherical cavity of radius $b<a$, where $\varrho=0$. The center of the cavity, $O_{b}$ is located at a distance d, with $|\mathbf{d}|<(a-b)$, from the center of the sphere, $O_{a}$. The mass distribution of the sphere is proportional to its charge distribution.
a) Find the electric field inside the cavity.
Now we apply an external, uniform electric field $\mathbf{E}_{0}$. Find
b) the force on the sphere,

c) the torque with respect to the center of the sphere, and the torque with respect to the center of mass.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Energy of a Charged Sphere

A total charge $Q$ is distributed uniformly over the volume of a sphere of radius $R$. Evaluate the electrostatic energy of this charge configuration in the following three alternative ways:
a) Evaluate the work needed to assemble the charged sphere by moving successive infinitesimals shells of charge from infinity to their final location.
b) Evaluate the volume integral of $u_{\mathrm{E}}=|\mathbf{E}|^{2} /\left(8 \pi k_{\mathrm{e}}\right)$ where $\mathbf{E}$ is the electric field [Eq. (1.10)].
c) Evaluate the volume integral of $\rho \phi / 2$ where $\rho$ is the charge density and $\phi$ is the electrostatic potential [Eq. (1.11)]. Discuss the differences with the calculation made in b).

A square metal slab of side $L$ has thickness $h$, with $h \ll L$. The conduction-electron and ion densities in the slab are $n_{\mathrm{e}}$ and $n_{i}=n_{\mathrm{e}} / Z$, respectively, $Z$ being the ion charge.

An external electric field shifts all conduction electrons by the same amount $\delta$, such that $|\delta| \ll h$, perpendicularly to the base of the slab. We assume that both $n_{\mathrm{e}}$ and $n_{i}$ are constant, that the ion lattice is unperturbed by the external field, and that boundary effects are negligible.
a) Evaluate the electrostatic field generated by the displacement of the electrons.
b) Evaluate the electrostatic energy of the system.
Fig. 1.3
Now the external field is removed, and the “electron slab” starts oscillating around its equilibrium position.
c) Find the oscillation frequency, at the small displacement limit $(\delta \ll h)$.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYC20014

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Basics of Electrostatics

话题。电荷。电场。叠加原理。高斯定律。对称性考虑。简单电荷分布的电场(平面层、直线、球体)。点电荷和库仑定律。静电方程。势能和电势。泊松方程和拉普拉斯方程。静电能量。多极展开。电偶极子的场。

单位。本书的目的是在第 1-6 章中提供与 SI(法语:Système International d’Unités)单位和高斯单位兼容的公式,而在第 7-13 章中仅使用高斯单位。这是通过引入一些与单位系统相关的常数来实现的。

我们需要的第一个常数是库仑常数,ķ和,例如出现在两个点电荷之间的力的表达式中q1和q2在真空中,带有位置向量r1和r2, 分别。例如,库仑力作用于q1是

F1=ķ和q1q2|r1−r2|2r^12,在哪里ķ和是库仑常数,取决于力、电荷和长度的单位。向量r12=r1−r2是距离q2至q1, 指向q1, 和r^12对应的单位向量。库仑常数为

ķ和={14圆周率e08.987⋯×109 ñ⋅米2⋅C−2≃9×109 米/F 和  1 高斯。 
持续的e0≃8.854187817620⋯×10−12 F/米是所谓的“自由空间的介电常数”,由下式定义

e0=1μ0C2
在哪里μ0=4圆周率×10−7H/米(根据定义)是真空磁导率,并且C是真空中的光速,C=299792458 米/s(这是一个精确值,因为米的长度是根据这个常数和国际时间标准定义的)。

基本方程本章的两个基本方程分别是微分和积分形式,

∇⋅和=4圆周率ķ和ϱ,∮小号和⋅d小号=4圆周率ķ和∫在ϱd3r ∇×和=0,∮C和⋅dℓ=0
在哪里和(r,吨)是电场,并且ϱ(r,吨)是体积电荷密度,在位置矢量点r有时吨. 无穷小的体积元是d3r=dX d是 d和. 在 (1.4) 中,函数 bẻ iñtēgrâtèd arré evaluateded ovèr añ arbbitrāry volume在, 或在表面上小号封闭体积在. (1.5)中要集成的函数在任意闭合路径上进行评估C. 自从∇×和=0, 可以定义一个电势披=披(r)这样

和=−∇披

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Overlapping Charged Spheres

我们假设一个半径为中性的球体R可以看作是两个“刚性”球体的叠加:一个均匀的正电荷密度+ϱ0,由原子核和第二个具有相同半径但具有均匀负电荷密度的球体组成−ϱ0,包括电子。我们进一步假设可以将两个球体相对于彼此移动一个量d,如图 1.1 所示,不扰动任一球体的内部结构。

a)在“内部”区域,两个球体重叠,
b)在“外部”区域,即在两个球体之外,讨论小位移的限制d≪R.

一个半径的球体一个具有均匀的电荷密度ϱ在其所有体积上,不包括半径为球形的空腔b<一个, 在哪里ϱ=0. 空腔的中心,○b位于距离 d 处,其中|d|<(一个−b),从球体的中心,○一个. 球体的质量分布与其电荷分布成正比。
a) 求空腔内的电场。
现在我们施加一个外部的均匀电场和0. 求
b) 球体上的力,

c) 相对于球心的扭矩,以及相对于质心的扭矩。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Energy of a Charged Sphere

总费用问均匀分布在半径球体的体积上R. 用以下三种替代方法评估这种电荷配置的静电能:
a) 通过将连续的无穷小电荷壳从无穷远移动到它们的最终位置来评估组装带电球体所需的功。
b) 评估体积积分在和=|和|2/(8圆周率ķ和)在哪里和是电场 [Eq. (1.10)]。
c) 评估体积积分ρφ/2在哪里ρ是电荷密度和φ是静电势 [Eq. (1.11)]。讨论与 b) 中计算的差异。

一面方形金属板大号有厚度H, 和H≪大号. 平板中的传导电子和离子密度为n和和n一世=n和/从, 分别,从是离子电荷。

外部电场使所有传导电子移动相同的量d, 这样|d|≪H, 垂直于板的底部。我们假设两者n和和n一世是恒定的,离子晶格不受外场干扰,并且边界效应可以忽略不计。
a) 评估由电子位移产生的静电场。
b) 评估系统的静电能量。
图 1.3
现在外场被移除,“电子板”开始围绕其平衡位置振荡。
c) 找出小位移极限处的振荡频率(d≪H).

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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