数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|GROUPS ACTING ON SETS

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如果你也在怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写现代代数Modern Algebra方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写现代代数Modern Algebra代写方面经验极为丰富，各种代写现代代数Modern Algebra相关的作业也就用不着说。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|GROUPS ACTING ON SETS

We begin by recalling the group of symmetries of a square, from Example 8.1. For convenience, here are the definitions of the elements and also the accompanying figure, Figure 56.1.

Group of symmetries of a square (Figure 56.1)
$$
\begin{aligned}
\mu_0 & =\text { identity permutation } \
\mu_{90} & =\text { rotation } 90^{\circ} \text { clockwise around } p \
\mu_{180} & =\text { rotation } 180^{\circ} \text { clockwise around } p \
\mu_{270} & =\text { rotation } 270^{\circ} \text { clockwise around } p \
\rho_H & =\text { reflection through } H \
\rho_V & =\text { reflection through } V \
\rho_1 & =\text { reflection through } D_1 \
\rho_2 & =\text { reflection through } D_2 .
\end{aligned}
$$
Denote the group by $G$. The elements of $G$ are isometries of the plane; therefore, they are permutations of the set of all points of the plane. But these isometries also induce permutations of the set of vertices of the square in a natural way. If we assign to eachisometry the corresponding permutation of ${a, b, c, d}$, then we have a mapping from $G$ to $\operatorname{Sym}{a, b, c, d}$. The mapping with the induced permutations written in cycle notation is
$$
\begin{aligned}
& \mu_0 \mapsto(a)(b)(c)(d) \quad \rho_H \mapsto(a d)(b \quad c) \
& \mu_{90} \mapsto\left(\begin{array}{llll}
a & b & c & d
\end{array}\right) \quad \rho_V \mapsto\left(\begin{array}{lll}
a & b
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
c & d
\end{array}\right) \
& \mu_{180} \mapsto(a c)(b d) \quad \rho_1 \mapsto(a)(c)(b d) \
& \mu_{270} \mapsto(a d c b) \quad \rho_2 \mapsto(a c)(b)(d) \text {. } \
&
\end{aligned}
$$
Because the operations on both $G$ and $\operatorname{Sym}{a, b, c, d}$ are composition, this mapping is a homomorphism.

The isometries in $G$ also induce permutations of the set of diagonals $\left{D_1, D_2\right}$ in a natural way. For instance, $\mu_{180}\left(D_1\right)=D_1$ and $\mu_{180}\left(D_2\right)=D_2$ ( $\mu_{180}$ interchanges the ends of each of the diagonals, but that is not important here). In this case we can assign to each isometry the corresponding permutation of $\left{D_1, D_2\right}$. This gives a mapping from $G$ to $\operatorname{Sym}\left{D_1, D_2\right}$. The induced permutations are
$$
\begin{aligned}
& \mu_0 \mapsto\left(D_1\right)\left(D_2\right) \quad \rho_H \mapsto\left(\begin{array}{ll}
D_1 & D_2
\end{array}\right) \
& \mu_{90} \quad \mapsto\left(\begin{array}{lll}
D_1 & D_2
\end{array}\right) \quad \rho_V \quad \mapsto\left(\begin{array}{ll}
D_1 & D_2
\end{array}\right) \
& \mu_{180} \mapsto\left(D_1\right)\left(D_2\right) \quad \rho_1 \quad \mapsto\left(D_1\right)\left(D_2\right) \
& \mu_{270} \mapsto\left(\begin{array}{lll}
D_1 & D_2
\end{array}\right) \quad \rho_2 \mapsto\left(D_1\right)\left(D_2\right) \text {. } \
&
\end{aligned}
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|BURNSIDE’S COUNTING THEOREM

One of the central problems of combinatorics is to compute the number of distinguishable ways in which something can be done. A simple example is to compute the number of distinguishable ways the three edges of an equilateral triangle can be painted so that one edge is red $(R)$, one is white $(W)$, and one is blue $(B)$. The six possibilities are shown in the top row of Figure 57.1.

If we permit rotation of the triangle in the plane, then the first three possibilities become indistinguishable-they collapse into the first possibility in the second row of Figure 57.1. The last three possibilities in the top row collapse into the second possibility in the second row.

If we permit reflections through lines, as well as rotations in the plane, then the only possibility is that shown in the third row of Figure 57.1.

In passing from one row to the next in the example, we have treated different ways of painting the triangle as being equivalent, and we have shown one representative from each equivalence class. The problem at each step is to compute the number of equivalence classes. In the terminology used most often in combinatorics, possibilities in the same equivalence class are indistinguishable, whereas possibilities in different equivalence classes are distinguishable. So the problem of computing the number of distinguishable ways in which something can be done is the same as that of computing the number of equivalence classes under an appropriate equivalence relation. The link between group theory and combinatorics rests on the fact that the equivalence classes are very often orbits under the action of an appropriate group. In the example, the appropriate group for passing to the second row of Figure 57.1 is the group of rotations of the triangle; the appropriate group for passing to the third row contains these three rotations and also three reflections, each through a line connecting a vertex with the midpoint of the opposite side (this group is $D_3$ in the notation of Section 59).

To solve a combinatorics problem with these ideas, the first step is to get clearly in mind the total set of possibilities (without regard to equivalence). Next, decide the condition under which possibilities are to be considered equivalent (indistinguishable). This will mean membership in a common orbit under the action of some group; so in effect this means to choose an appropriate group. Finally, compute the number of orbits relative to this group; this will be the number of distinguishable possibilities. This method derives its power from Burnside’s Counting Theorem, proved below, which gives a way to compute the number of orbits relative to a group action (William Burnside, 1852-1927).

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|GROUPS ACTING ON SETS

我们首先回顾例8.1中正方形的一组对称性。为方便起见，这里列出了元素的定义以及附带的图，图56.1。

正方形的对称组(图56.1)
$$
\begin{aligned}
\mu_0 & =\text { identity permutation } \
\mu_{90} & =\text { rotation } 90^{\circ} \text { clockwise around } p \
\mu_{180} & =\text { rotation } 180^{\circ} \text { clockwise around } p \
\mu_{270} & =\text { rotation } 270^{\circ} \text { clockwise around } p \
\rho_H & =\text { reflection through } H \
\rho_V & =\text { reflection through } V \
\rho_1 & =\text { reflection through } D_1 \
\rho_2 & =\text { reflection through } D_2 .
\end{aligned}
$$
用$G$表示组。$G$的元素是平面的等距;因此，它们是平面上所有点的集合的置换。但是这些等距也以一种自然的方式引起了正方形顶点集合的排列。如果我们给每个等距分配${a, b, c, d}$对应的排列，那么我们就有了一个从$G$到$\operatorname{Sym}{a, b, c, d}$的映射。用循环表示法表示的与诱导置换的映射是
$$
\begin{aligned}
& \mu_0 \mapsto(a)(b)(c)(d) \quad \rho_H \mapsto(a d)(b \quad c) \
& \mu_{90} \mapsto\left(\begin{array}{llll}
a & b & c & d
\end{array}\right) \quad \rho_V \mapsto\left(\begin{array}{lll}
a & b
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
c & d
\end{array}\right) \
& \mu_{180} \mapsto(a c)(b d) \quad \rho_1 \mapsto(a)(c)(b d) \
& \mu_{270} \mapsto(a d c b) \quad \rho_2 \mapsto(a c)(b)(d) \text {. } \
&
\end{aligned}
$$
因为$G$和$\operatorname{Sym}{a, b, c, d}$上的操作都是复合的，所以这个映射是同态的。

$G$中的等距也以自然的方式诱导了一组对角线$\left{D_1, D_2\right}$的排列。例如，$\mu_{180}\left(D_1\right)=D_1$和$\mu_{180}\left(D_2\right)=D_2$ ($\mu_{180}$互换了每个对角线的两端，但这在这里并不重要)。在这种情况下，我们可以为每个等距分配$\left{D_1, D_2\right}$的相应排列。这给出了从$G$到$\operatorname{Sym}\left{D_1, D_2\right}$的映射。诱导排列为
$$
\begin{aligned}
& \mu_0 \mapsto\left(D_1\right)\left(D_2\right) \quad \rho_H \mapsto\left(\begin{array}{ll}
D_1 & D_2
\end{array}\right) \
& \mu_{90} \quad \mapsto\left(\begin{array}{lll}
D_1 & D_2
\end{array}\right) \quad \rho_V \quad \mapsto\left(\begin{array}{ll}
D_1 & D_2
\end{array}\right) \
& \mu_{180} \mapsto\left(D_1\right)\left(D_2\right) \quad \rho_1 \quad \mapsto\left(D_1\right)\left(D_2\right) \
& \mu_{270} \mapsto\left(\begin{array}{lll}
D_1 & D_2
\end{array}\right) \quad \rho_2 \mapsto\left(D_1\right)\left(D_2\right) \text {. } \
&
\end{aligned}
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|BURNSIDE’S COUNTING THEOREM

组合学的核心问题之一是计算完成某件事的不同方法的数量。一个简单的例子是计算等边三角形的三条边的不同绘制方法的数量，一条边是红色(R)$，一条是白色(W)$，一条是蓝色(B)$。图57.1的最上面一行显示了六种可能性。

如果我们允许在平面上旋转三角形，那么前三种可能性将变得无法区分—它们将合并为图57.1第二行中的第一种可能性。上面一行的最后三种可能会变成第二行的第二种可能。

如果我们允许通过线反射，以及在平面上的旋转，那么唯一的可能性是图57.1的第三行所示。

在示例中，从一行传递到下一行时，我们处理了将三角形画成等价的不同方法，并从每个等价类中展示了一个代表。每一步的问题是计算等价类的数量。在组合学中最常用的术语中，同一等价类中的可能性是不可区分的，而不同等价类中的可能性是可区分的。因此，计算某件事的可区分方法的数目的问题与计算在适当的等价关系下等价类的数目的问题是一样的。群论和组合学之间的联系建立在这样一个事实之上:等价类常常是在适当群的作用下运行的轨道。在本例中，传递到图57.1的第二行的适当组是三角形的旋转组;传递到第三行的合适的组包含这三个旋转和三个反射，每个都通过一条连接顶点和对边中点的线(在第59节的符号中，这个组是$D_3$)。

要用这些想法解决组合问题，第一步是要清楚地记住所有的可能性(不考虑等价性)。接下来，决定在何种条件下可能性被认为是等价的(不可区分的)。这将意味着在某个集团的作用下，在一个共同轨道上的成员;实际上，这意味着选择一个合适的群体。最后，计算相对于该组的轨道数;这是可区分可能性的数目。这种方法的力量来自伯恩赛德的计数定理，下面证明了它，它提供了一种计算相对于群作用的轨道数的方法(威廉·伯恩赛德，1852-1927)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|SOLVABILITY BY RADICALS

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|SOLVABILITY BY RADICALS

We can now deal with the connection between solvable groups and the solvability of polynomial equations by radicals. We begin by using field extensions to clarify the notion of solvability by radicals. We then consider a special case involving Abelian groups, and follow that with some necessary background about solvable groups. This will lead to Theorem 49.3 , the central theorem of the section. The section will end with an example of a polynomial equation not solvable by radicals.

In addition to results we have already proved, this section uses the following three facts: (i) Remark preceding Theorem 44.2. (ii) Any homomorphic image of a solvable group is solvable, from Theorem 54.3. (iii) If a prime $p$ divides the order of a finite group $G$, then $G$ has an element of order $p$ (Problem 58.15).

Throughout this section we assume that $F$ is a subfield of the field of complex numbers and that $F$ contains all nth roots of unity for every positive integer $n$.

Lemma 49.1. If $a \in F$ and $c$ is any root of $x^n-a \in F[x]$, then $F(c)$ is a splitting field of $x^n-a$ over $F$.

PROOF. The complex roots of unity are described in Theorem 33.2. These form a cyclic group that is generated by any primitive $n$th root of unity (Problem 33.21). If $\omega=\cos (2 \pi / n)+i \sin (2 \pi / n)$, then the group is generated by $\omega$ or by any other primitive $n$th root, that is, any $\omega^k=\cos (2 k \pi / n)+i \sin (2 k \pi / n)$ with $1 \leq k \leq n$ and $k$ relatively prime to $n$ (Theorem 17.1). If a is any nonzero complex number, and $c$ is any $n$th root of $a$ (that is, any root of the equation $x^n-a=0$ ), then the set of all $n$th roots of $a$ is $\left{c, c \omega, \ldots, c \omega^{n-1}\right}$; here $\omega$ can be as defined as above, or it can be any one of the primitive $n$th roots of unity (Problem 33.28). The lemma follows from those statements, since we are assuming that $F$ contains all $n$th roots of unity.

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THREE FAMOUS PROBLEMS

In the fifth century B.C., early in the history of Greek geometry, three problems began to attract increasing attention.
I. The duplication of the cube.
II. The trisection of an arbitrary angle.
III. The quadrature of the circle.
Each involved the construction of one geometrical segment from another, using only an (unmarked) straightedge and a (collapsible) compass. With the first the problem was to construct the edge of a cube having twice the volume of a given cube; with the second the problem was to show that any angle could be trisected; and with the third the problem was to construct the side of a square having the same area as a circle of given radius.

It must be stressed that these problems are concerned only with the question of whether the constructions can, in theory, be carried out in a finite number of steps using only a straightedge and compass. With the straightedge we can draw the line through two given points, and with the compass we can draw the circle through a given point with a given radius. For practical purposes there is no reason to restrict the tools to a straightedge and compass, and the constructions can be carried out to any desired degree of accuracy by other means.

As a first step in analyzing the three problems, let us rephrase each of them using numbers. In I, if the edge of the given cube is taken as the unit of length, and the edge of the required cube is denoted by $x$, then the volumes of the two cubes are 1 cubic unit and $x^3$ cubic units, respectively. Thus I can be rephrased as follows:
I.’ Given a segment of length 1 , construct a segment of length $x$ with $x^3=2$.
Ultimately, we shall show that the construction II is impossible in general by showing that an angle of $60^{\circ}$ cannot be trisected. (Some angles can, in fact, be trisected. But the problem in II is whether they all can be trisected, and one example will suffice to prove otherwise.) Thus we restrict attention now to an angle of $60^{\circ}$. It is easy to show that any angle can be trisected iff a segment the length of its cosine can be constructed from a segment of unit length (Problem 51.1; here and elsewhere we can assume a segment of unit length as given). It can be shown with elementary trigonometry (Problem 51.2) that if $A$ is any angle, then
$$
\cos A=4 \cos ^3(A / 3)-3 \cos (A / 3)
$$

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|SOLVABILITY BY RADICALS

我们现在可以处理可解群和多项式方程的根可解性之间的联系。我们首先使用域扩展来澄清自由基可解性的概念。然后我们考虑了一个涉及阿贝尔群的特殊情况，并在此基础上介绍了一些关于可解群的必要背景知识。这将引出定理49.3，这一节的中心定理。本节将以一个不能用根式解的多项式方程的例子结束。

除了我们已经证明的结果之外，本节使用以下三个事实:(i)前面定理44.2的注释。(ii)由定理54.3可知，任何可解群的同态象都是可解的。(iii)如果一个素数$p$能除有限群$G$的阶，则$G$有一个阶为$p$的元素(58.15题)。

在本节中，我们假设$F$是复数域的子域，并且$F$包含每个正整数$n$的所有n个单位根。

引理49.1。如果$a \in F$和$c$是$x^n-a \in F[x]$的任何根，那么$F(c)$是$x^n-a$ / $F$的拆分字段。

证明。单位的复根在定理33.2中描述。它们构成了一个循环群，这个循环群是由任何原语$n$单位的根生成的(问题33.21)。如果是$\omega=\cos (2 \pi / n)+i \sin (2 \pi / n)$，则组由$\omega$或任何其他原语$n$根生成，即$1 \leq k \leq n$和$k$相对于$n$素数的任何$\omega^k=\cos (2 k \pi / n)+i \sin (2 k \pi / n)$(定理17.1)。若a为任意非零复数，且$c$为$a$的任意$n$次根(即方程$x^n-a=0$的任意根)，则$a$的所有$n$次根的集合为$\left{c, c \omega, \ldots, c \omega^{n-1}\right}$;这里$\omega$可以如上定义，也可以是任何一个原始的$n$单位的次方根(33.28题)。引理从这些陈述中得出，因为我们假设$F$包含所有$n$的统一根。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THREE FAMOUS PROBLEMS

在公元前5世纪，希腊几何史的早期，有三个问题开始引起人们越来越多的注意。
1 .立方体的复制。
2任意角的三切线
3圆的正交。
每一个都涉及到用一个(未标记的)直尺和一个(可折叠的)指南针从另一个几何部分构造一个几何部分。第一个问题是构造一个立方体的边缘，这个立方体的体积是给定立方体的两倍;第二个问题是证明任何角度都可以被三等分;第三题的问题是要画出一个正方形的边长与半径给定的圆的面积相等。

必须强调的是，这些问题只涉及的问题是，在理论上，这些结构是否可以只用直尺和圆规在有限的步骤中完成。用直尺我们可以画出经过两个给定点的直线，用圆规我们可以画出经过一个给定半径的点的圆。出于实际目的，没有理由将工具限制在直尺和圆规上，并且可以通过其他方法实现任何所需的精度。

作为分析这三个问题的第一步，让我们用数字来重新表述它们。在I中，如果以给定立方体的边为长度单位，所需立方体的边用$x$表示，则两个立方体的体积分别为1立方和$x^3$立方。因此，我可以重新表述如下:
我……”给定一个长度为1的段，用$x^3=2$构造一个长度为$x$的段。
最后，我们将通过证明$60^{\circ}$角不能被三等分来证明构造II一般是不可能的。(事实上，有些角可以被三等分。但第二章的问题是，它们是否都可以被三分，一个例子就足以证明这一点。)因此，我们现在将注意力限制在$60^{\circ}$的角度。很容易证明任何角都可以被一段三切分它的余弦长度可以由一段单位长度的段构成(问题51.1;在这里和其他地方，我们可以假设一个单位长度的段(如给定)。用初等三角学(51.2题)可以证明，如果$A$是任意角度，则
$$
\cos A=4 \cos ^3(A / 3)-3 \cos (A / 3)
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|SIMPLE EXTENSIONS. DEGREE

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|SIMPLE EXTENSIONS. DEGREE

We begin by looking at how to construct field extensions that solve a particular kind of problem, namely that of providing roots for polynomials; the extension of $\mathbb{R}$ to $\mathbb{C}$ to obtain a root for $1+x^2$ (Section 32) is a special case.

Let $E$ be an extension field of a field $F$; for convenience, assume $F \subseteq E$. Also let $S$ be a subset of $E$. There is at least one subfield of $E$ containing both $F$ and $S$, namely $E$ itself. The intersection of all the subfields of $E$ that contain both $F$ and $S$ is a subfield of $E$ (Problem $42.1)$; it will be denoted $F(S)$. If $S \subseteq F$, then $F(S)=F$. If $S=\left{a_1, a_2, \ldots, a_n\right}$, then $F(S)$ will be denoted $F\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$. For example, $\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$. The field $F(S)$ consists of all the elements of $E$ that can be obtained from $F$ and $S$ by repeated applications of the operations of $E$-addition, multiplication, and the taking of additive and multiplicative inverses (Problem 42.3).

If $E=F(a)$ for some $a \in E$, then $E$ is said to be a simple extension of $F$. We can classify the simple extensions of $F$ by making use of $F[x]$, the ring of polynomials in the indeterminate $x$ over $F$, and
$$
F[a]=\left{a_0+a_1 a+\cdots+a_n a^n: a_0, a_1, \ldots, a_n \in F\right},
$$
the ring of all polynomials in $a$. The difference between $F[x]$ and $F[a]$ is that two polynomials in $F[x]$ are equal only if the coefficients on like powers of $x$ are equal, whereas if $a$ is algebraic over $F$ (Section 32), then two polynomials in $F[a]$ can be equal without the coefficients on like powers of $a$ being equal. For example,
$$
1+3 \sqrt{2}=-1+3 \sqrt{2}+\sqrt{2}^2 \text { in } \mathbb{Q}[\sqrt{2}]
$$
but
$$
1+3 x \neq-1+3 x+x^2 \quad \text { in } \mathbb{Q}[x]
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|ROOTS OF POLYNOMIALS

By definition, an element $c$ of a field $F$ is a root of a polynomial $f(x) \in F[x]$ if $f(c)=0$. By the Factor Theorem (Section 35), $f(c)=0$ iff $x-c$ is a factor of $f(x)$. If $(x-c)^m$ divides $f(x)$, but no higher power of $x-c$ divides $f(x)$, then $c$ is called a root of multiplicity $m$. When we count the number of roots of a polynomial, each root of multiplicity $m$ is counted $m$ times. For example, $x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)$ has 1 as a root of multiplicity two, and -1 as a root of multiplicity one; it has no other root. Thus we say that this polynomial has three roots.

In this section we shall first prove that a polynomial of degree $n$ has at most $n$ roots (Theorem 43.1). We’ll then see that any polynomial of degree $n$ over the field $\mathbb{C}$ of complex numbers has exactly $n$ roots in $\mathbb{C}$ (Theorem 43.2). Polynomials of degree $n$ over other fields may have fewer than $n$ roots in that field; however, a polynomial will have $n$ roots in an appropriately constructed extension field. (See the remarks following Example 43.2.)
Theorem 43.1. A polynomial $f(x)$ of degree $n \geq 1$ over a field $F$ has at most $n$ roots in $F$.
PROOF. The proof will be by induction on $n$. If $n=1$, then $f(x)=a_0+a_1 x$ with $a_1 \neq 0$, and the only root is $-a_1^{-1} a_0$. Thus assume that $n>1$, and assume the theorem true for polynomials of degree less than $n$. If $f(x)$ has no root, we are through. If $c$ is a root, then by the Factor Theorem $f(x)=(x-c) f_1(x)$ for some $f_1(x) \in F[x]$, and $\operatorname{deg} f_1(x)=$ $n-1$. By the induction hypothesis $f_1(x)$ has at most $n-1$ roots in $F$. It will follow that $f(x)$ has at most $n$ roots in $F$ if $f(x)$ has no roots in $F$ except $c$ and the roots of $f_1(x)$. But this is so because if $a \in F$, then $f(a)=(a-c) f_1(a)$, so that $f(a)=0$ only if $a-c=0$ or $f_1(a)=0$ (because $F$ has no divisors of zero). Thus $f(a)=0$ only if $a=c$ or $a$ is a root of $f_1(x)$.

We have seen that a polynomial over a field may have no roots in that field. For example, $x^2-2$ and $x^2+1$ have no roots in the field of rationals. However, the Fundamental Theorem of Algebra (Section 32) ensures that each polynomial over the complex numbers has at least one complex root. In fact, we can prove more, as in the following theorem.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|SIMPLE EXTENSIONS. DEGREE

我们首先看一下如何构造域扩展来解决一类特殊的问题，即多项式的根;将$\mathbb{R}$扩展到$\mathbb{C}$以获得$1+x^2$的根(第32节)是一种特殊情况。

设$E$为字段$F$的扩展字段;为方便起见，假设$F \subseteq E$。也让$S$是$E$的一个子集。$E$至少有一个子字段同时包含$F$和$S$，即$E$本身。包含$F$和$S$的所有$E$子字段的交集是$E$的子字段(问题$42.1)$;记为$F(S)$。如果是$S \subseteq F$，那么就是$F(S)=F$。如果是$S=\left{a_1, a_2, \ldots, a_n\right}$，那么$F(S)$将表示为$F\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$。例如:$\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$。字段$F(S)$由$E$的所有元素组成，这些元素可以通过重复应用$E$的运算——加法、乘法以及加法和乘法的逆运算——从$F$和$S$中得到(问题42.3)。

如果将$E=F(a)$表示为$a \in E$，那么$E$就是$F$的简单扩展。我们可以利用$F[x]$，不确定的$x$ / $F$中的多项式环，和对$F$的简单扩展进行分类
$$
F[a]=\left{a_0+a_1 a+\cdots+a_n a^n: a_0, a_1, \ldots, a_n \in F\right},
$$
$a$中所有多项式的环。$F[x]$和$F[a]$之间的区别在于，$F[x]$中的两个多项式只有在$x$的类似幂次上的系数相等时才相等，而如果$a$是$F$上的代数(第32节)，那么$F[a]$中的两个多项式可以相等，而$a$的类似幂次上的系数不相等。例如，
$$
1+3 \sqrt{2}=-1+3 \sqrt{2}+\sqrt{2}^2 \text { in } \mathbb{Q}[\sqrt{2}]
$$
但是
$$
1+3 x \neq-1+3 x+x^2 \quad \text { in } \mathbb{Q}[x]
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|ROOTS OF POLYNOMIALS

根据定义，字段$F$的元素$c$是多项式$f(x) \in F[x]$(如果$f(c)=0$)的根。根据因子定理(第35节)，$f(c)=0$假设$x-c$是$f(x)$的因子。如果$(x-c)^m$除$f(x)$，但没有更高次幂的$x-c$除$f(x)$，则$c$称为多重根$m$。当我们计算多项式的根的个数时，每个重性$m$的根被计算$m$次。例如，$x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)$将1作为多重性2的根，将-1作为多重性1的根;它没有其他的根。因此我们说这个多项式有三个根。

在本节中，我们将首先证明次为$n$的多项式最多有$n$个根(定理43.1)。然后我们将看到，在复数域$\mathbb{C}$上，任何次为$n$的多项式在$\mathbb{C}$中都有$n$根(定理43.2)。在其他字段上的次多项式$n$在该字段中的根可能少于$n$;但是，多项式在适当构造的扩展域中将具有$n$根。(参见例43.2后面的注释。)
定理43.1。域$F$上的次为$n \geq 1$的多项式$f(x)$在$F$中最多有$n$个根。
证明。我们将通过归纳法在$n$上进行证明。如果是$n=1$，那么是$f(x)=a_0+a_1 x$和$a_1 \neq 0$，唯一的根是$-a_1^{-1} a_0$。因此，假设$n>1$，并假设定理对次数小于$n$的多项式成立。如果$f(x)$没有根，我们就完了。如果$c$是根，那么根据因子定理$f(x)=(x-c) f_1(x)$对于某些$f_1(x) \in F[x]$，和$\operatorname{deg} f_1(x)=$$n-1$。通过归纳法假设$f_1(x)$在$F$中最多有$n-1$根。如果$f(x)$除了$c$和$f_1(x)$的根之外在$F$中没有根，那么$f(x)$在$F$中最多有$n$根。但这是因为如果$a \in F$，那么$f(a)=(a-c) f_1(a)$，所以$f(a)=0$只当$a-c=0$或$f_1(a)=0$(因为$F$没有零因子)。因此，只有当$a=c$或$a$是$f_1(x)$的根时，才能使用$f(a)=0$。

我们已经知道，一个域上的多项式可能在该域中没有根。例如，$x^2-2$和$x^2+1$在理性领域没有根基。然而，代数基本定理(第32节)保证了复数上的每个多项式至少有一个复根。事实上，我们可以证明更多，如下面的定理。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Connections with Analytic Functions

Posted on 2023年6月2日2023年6月2日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

如果你也在怎样代写傅里叶分析Fourier Analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。傅里叶分析Fourier Analysis在数学中，傅里叶分析（/ˈfʊrieɪ, -iər/）是研究一般函数如何通过较简单的三角函数之和来表示或近似。傅里叶分析源于对傅里叶级数的研究，并以约瑟夫-傅里叶的名字命名，他表明将一个函数表示为三角函数之和可以大大简化对热传递的研究。

傅里叶分析Fourier Analysis的主题包含了一个巨大的数学范围。在科学和工程领域，将一个函数分解成振荡成分的过程通常被称为傅里叶分析，而从这些碎片中重建函数的操作被称为傅里叶合成。例如，确定一个音符中存在哪些频率成分，需要计算采样音符的傅里叶变换。然后，人们可以通过包括傅里叶分析中显示的频率成分来重新合成同一个声音。在数学中，傅里叶分析一词通常指的是对这两种操作的研究。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写傅里叶分析Fourier analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写傅里叶分析Fourier analysis代写方面经验极为丰富，各种代写傅里叶分析Fourier analysis相关的作业也就用不着说。

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Connections with Analytic Functions

We now investigate connections of the Hilbert transform with the Poisson kernel. Recall the definition of the Poisson kernel $P_y$ given in Example 1.2.17. Then for $f \in L^p(\mathbf{R}), 1 \leq p<\infty$, we have $$ \left(P_y * f\right)(x)=\frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{(x-t)^2+y^2} d t $$ and the integral in (4.1.15) converges absolutely by Hölder’s inequality, since the function $t \mapsto\left((x-t)^2+y^2\right)^{-1}$ is in $L^{p^{\prime}}(\mathbf{R})$ whenever $y>0$.

Let $\operatorname{Re} z$ and $\operatorname{Im} z$ denote the real and imaginary parts of a complex number $z$. Observe that
$$
\left(P_y * f\right)(x)=\operatorname{Re}\left(\frac{i}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{x-t+i y} d t\right)=\operatorname{Re}\left(\frac{i}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{z-t} d t\right),
$$
where $z=x+i y$. The function

$$
F_f(z)=\frac{i}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{z-t} d t
$$
defined on
$$
\mathbf{R}{+}^2={z=x+i y: y>0} $$ is analytic, since its $\partial / \partial \bar{z}$ derivative is zero. The real part of $F_f(x+i y)$ is $\left(P_y * f\right)(x)$. The imaginary part of $F_f(x+i y)$ is $$ \operatorname{Im}\left(\frac{i}{\pi} \int{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{x-t+i y} d t\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)(x-t)}{(x-t)^2+y^2} d t=\left(f * Q_y\right)(x),
$$
where $Q_y$ is called the conjugate Poisson kernel and is given by
$$
Q_y(x)=\frac{1}{\pi} \frac{x}{x^2+y^2}
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|$L^p$ Boundedness of the Hilbert Transform

As a consequence of the result in Exercise 4.1.4 and of the fact that
$$
x \leq \frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)
$$
we obtain that
$$
\left|\left{x:\left|H\left(\chi_E\right)(x)\right|>\alpha\right}\right| \leq \frac{2}{\pi} \frac{|E|}{\alpha}, \quad \alpha>0,
$$
for all subsets $E$ of the real line of finite measure. Theorem 1.4.19 with $p_0=q_0=1$ and $p_1=q_1=2$ now implies that $H$ is bounded on $L^p$ for $1<p<2$. Duality gives that $H^*=-H$ is bounded on $L^p$ for $2<p<\infty$ and hence so is $H$.

We give another proof of the boundedness of the Hilbert transform $H$ on $L^p(\mathbf{R})$, which has the advantage that it gives the best possible constant in the resulting norm inequality when $p$ is a power of 2 .
Theorem 4.1.7. For all $1<p<\infty$, there exists a positive constant $C_p$ such that
$$
|H(f)|_{L^p} \leq C_p|f|_{L^p}
$$
for all $f$ in $\mathscr{S}(\mathbf{R})$. Moreover, the constant $C_p$ satisfies $C_p \leq 2 p$ for $2 \leq p<\infty$ and $C_p \leq 2 p /(p-1)$ for $1<p \leq 2$. Therefore, the Hilbert transform $H$ admits an extension to a bounded operator on $L^p(\mathbf{R})$ when $1<p<\infty$.
Proof. The proof we give is based on the interesting identity
$$
H(f)^2=f^2+2 H(f H(f))
$$
valid whenever $f$ is a real-valued Schwartz function. Before we prove (4.1.21), we discuss its origin. The function $f+i H(f)$ has a holomorphic extension on $\mathbf{R}_{+}^2$ and therefore so does its square
$$
(f+i H(f))^2=f^2-H(f)^2+i 2 f H(f)
$$

傅里叶分析代写

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Connections with Analytic Functions

现在我们研究希尔伯特变换与泊松核的联系。回想一下例1.2.17中给出的泊松核$P_y$的定义。然后对于$f \in L^p(\mathbf{R}), 1 \leq p<\infty$，我们有$$ \left(P_y * f\right)(x)=\frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{(x-t)^2+y^2} d t $$，(4.1.15)中的积分绝对收敛于Hölder的不等式，因为当$y>0$时，函数$t \mapsto\left((x-t)^2+y^2\right)^{-1}$在$L^{p^{\prime}}(\mathbf{R})$中。

设$\operatorname{Re} z$和$\operatorname{Im} z$表示复数$z$的实部和虚部。观察一下
$$
\left(P_y * f\right)(x)=\operatorname{Re}\left(\frac{i}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{x-t+i y} d t\right)=\operatorname{Re}\left(\frac{i}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{z-t} d t\right),
$$
在哪里$z=x+i y$。函数

$$
F_f(z)=\frac{i}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{z-t} d t
$$
定义于
$$
\mathbf{R}{+}^2={z=x+i y: y>0} $$是解析的，因为它的$\partial / \partial \bar{z}$导数为零。$F_f(x+i y)$的实部是$\left(P_y * f\right)(x)$。$F_f(x+i y)$的虚部是$$ \operatorname{Im}\left(\frac{i}{\pi} \int{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{x-t+i y} d t\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)(x-t)}{(x-t)^2+y^2} d t=\left(f * Q_y\right)(x),
$$
其中$Q_y$称为共轭泊松核，由
$$
Q_y(x)=\frac{1}{\pi} \frac{x}{x^2+y^2}
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|$L^p$ Boundedness of the Hilbert Transform

由于练习4.1.4的结果以及
$$
x \leq \frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)
$$
我们得到了它
$$
\left|\left{x:\left|H\left(\chi_E\right)(x)\right|>\alpha\right}\right| \leq \frac{2}{\pi} \frac{|E|}{\alpha}, \quad \alpha>0,
$$
对于所有子集 $E$ 实线的有限测度。定理1.4.19 $p_0=q_0=1$ 和 $p_1=q_1=2$ 这意味着 $H$ 是有界的 $L^p$ 为了 $1<p<2$．对偶性给出了 $H^*=-H$ 是有界的 $L^p$ 为了 $2<p<\infty$ 因此也是如此 $H$．

我们在$L^p(\mathbf{R})$上给出了希尔伯特变换$H$的有界性的另一个证明，它的优点是当$p$是2的幂时，它给出了所得到的范数不等式的最佳常数。
定理4.1.7。对于所有$1<p<\infty$，存在一个正常数$C_p$，使得
$$
|H(f)|{L^p} \leq C_p|f|{L^p}
$$
所有的$f$都在$\mathscr{S}(\mathbf{R})$中。此外，对于$2 \leq p<\infty$和$1<p \leq 2$，常数$C_p$分别满足$C_p \leq 2 p$和$C_p \leq 2 p /(p-1)$。因此，Hilbert变换$H$允许扩展到$L^p(\mathbf{R})$上的有界算子，当$1<p<\infty$。
证明。我们给出的证明是基于一个有趣的恒等式
$$
H(f)^2=f^2+2 H(f H(f))
$$
当$f$是实值Schwartz函数时有效。在我们证明(4.1.21)之前，我们先讨论一下它的起源。函数$f+i H(f)$在$\mathbf{R}_{+}^2$上有全纯扩展，因此它的平方也有全纯扩展
$$
(f+i H(f))^2=f^2-H(f)^2+i 2 f H(f)
$$

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|The Lp Boundedness of the Conjugate Function

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|The $L^p$ Boundedness of the Conjugate Function

We know now that convergence of Fourier series in $L^p$ is equivalent to the $L^p$ boundedness of the conjugate function or either of the two Riesz projections. It is natural to ask whether these operators are $L^p$ bounded.

Theorem 3.5.6. Given $10$ such that for all $f$ in $\mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbf{T}^{\mathrm{l}}\right)$ we have
$$
|\widetilde{f}|_{L^p} \leq A_p|f|_{L^p}
$$
Consequently, the Fourier series of $L^p$ functions on the circle converge back to the functions in $L^p$ for $1<p<\infty$.

Proof. We present a relatively short proof of this theorem due to $\mathrm{S}$. Bochner. Let $f(t)$ be a trigonometric polynomial on $\mathrm{T}^1$ with coefficients $c_j$. We write
$$
f(t)=\sum_{j=-N}^N c_j e^{2 \pi i j t}=\left[\sum_{j=-N}^N \frac{c_j+\overline{c_{-j}}}{2} e^{2 \pi i j t}\right]+i\left[\sum_{j=-N}^N \frac{c_j-\overline{c_{-j}}}{2 i} e^{2 \pi i j t}\right]
$$
and we note that the expressions inside the square brackets are real-valued trigonometric polynomials. We may therefore assume that $f$ is real-valued and by subtracting a constant we can assume that $\widehat{f}(0)=0$. Since $f$ is real-valued, we have that $\widehat{f}(-m)=\widehat{\widehat{f}(m)}$ for all $m$, and since $\widehat{f}(0)=0$, we may write
$$
\widetilde{f}(t)=-i \sum_{m>0} \widehat{f}(m) e^{2 \pi i m t}+i \sum_{m>0} \widehat{f}(-m) e^{-2 \pi i m t}=2 \operatorname{Re}\left[-i \sum_{m>0} \widehat{f}(m) e^{2 \pi i m t}\right],
$$

which implies that $\tilde{f}$ is also real-valued (see also Exercise 3.5.4(b)). Therefore the polynomial $f+i \widetilde{f}$ contains only positive frequencies. Thus for $k \in \mathbf{Z}^{+}$we have
$$
\int_{\mathbf{T}^1}(f(t)+i \widetilde{f}(t))^{2 k} d t=0
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Multipliers on the Torus

In analogy with the nonperiodic case, we could identify convolution operators on $\mathbf{T}^n$ with appropriate distributions on the torus; see Exercise 3.6.2 for an introduction to this topic. However, it is simpler to avoid this point of view and consider the multipliers directly, bypassing the discussion of distributions on the torus. The reason for this is the following theorem.

Theorem 3.6.1. Suppose that $T$ is a linear operator that commutes with translations and maps $L^p\left(\mathbf{T}^n\right)$ to $L^q\left(\mathbf{T}^n\right)$ for some $1 \leq p, q \leq \infty$. Then there exists a bounded sequence $\left{a_m\right}_{m \in \mathbf{Z}^n}$ such that
$$
T(f)(x)=\sum_{m \in \mathbf{Z}^n} a_m \widehat{f}(m) e^{2 \pi i m \cdot x}
$$
for all $f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbf{T}^n\right)$. Moreover, we have $\left|\left{a_m\right}\right|_{\ell^{\infty}} \leq|T|_{L^p \rightarrow L^q}$.
Proof. Consider the functions $e_m(x)=e^{2 \pi i m \cdot x}$ defined on $\mathbf{T}^n$ for $m$ in $\mathbf{Z}^n$. Since $T$ is translation invariant for all $h \in \mathbf{T}^n$, we have
$$
T\left(e_m\right)(x-h)=T\left(\tau^h\left(e_m\right)\right)(x)=e^{-2 \pi i m \cdot h} T\left(e_m\right)(x)
$$
for every $x \in F_h$, where $F_h$ is a set of full measure on $\mathbf{T}^n$. For $x \in \mathbf{T}^n$ define $D(x)=$ $\left|\left{h \in \mathbf{T}^n: x \in F_h\right}\right|$. Then $D(x) \leq 1$ for all $x$ and by Fubini’s theorem $D$ has integral 1 on $\mathbf{T}^n$. Therefore there exists an $x_0 \in \mathbf{T}^n$ such that $D\left(x_0\right)=1$. It follows that for almost all $h \in \mathbf{T}^n$ (i.e., for all $h$ in the set $\left.\left{h \in \mathbf{T}^n: x_0 \in F_h\right}\right)$ we have $T\left(e_m\right)\left(x_0-\right.$ $h)=e^{-2 \pi i m \cdot h} T\left(e_m\right)\left(x_0\right)$. Replacing $x_0-h$ by $x$, we obtain
$$
T\left(e_m\right)(x)=e^{2 \pi i m \cdot x}\left(e^{-2 \pi i m \cdot x_0} T\left(e_m\right)\left(x_0\right)\right)=a_m e_m(x)
$$
for almost all $x \in \mathbf{T}^n$, where we set $a_m=e^{-2 \pi i m \cdot x_0} T\left(e_m\right)\left(x_0\right)$, for $m \in \mathbf{Z}^n$. Taking $L^q$ norms in (3.6.2), we deduce $\left|a_m\right|=\left|T\left(e_m\right)\right|_{L^q} \leq|T|_{L^p \rightarrow L^q}$, and thus $a_m$ is bounded. Moreover, since $T\left(e_m\right)=a_m e_m$ for all $m$ in $\mathbf{Z}^n$, it follows that (3.6.1) holds for all trigonometric polynomials. By density this extends to all $f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbf{T}^n\right)$ and the theorem is proved.

傅里叶分析代写

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|The $L^p$ Boundedness of the Conjugate Function

现在我们知道$L^p$的傅里叶级数的收敛性等价于共轭函数的$L^p$有界性或者两个Riesz投影中的任何一个。很自然要问这些运算符是否$L^p$有界。

定理3.5.6。给定 $10$ 对于所有人来说 $f$ 在 $\mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbf{T}^{\mathrm{l}}\right)$ 我们有
$$
|\widetilde{f}|{L^p} \leq A_p|f|{L^p}
$$
因此，的傅里叶级数 $L^p$ 圆上的函数收敛于圆上的函数 $L^p$ 为了 $1<p<\infty$．

证明。由于$\mathrm{S}$，我们给出了这个定理的一个相对简短的证明。博纳。设$f(t)$是$\mathrm{T}^1$上的一个三角多项式，系数为$c_j$。我们写
$$
f(t)=\sum_{j=-N}^N c_j e^{2 \pi i j t}=\left[\sum_{j=-N}^N \frac{c_j+\overline{c_{-j}}}{2} e^{2 \pi i j t}\right]+i\left[\sum_{j=-N}^N \frac{c_j-\overline{c_{-j}}}{2 i} e^{2 \pi i j t}\right]
$$
我们注意到方括号内的表达式是实值三角多项式。因此，我们可以假设$f$是实值，通过减去一个常数，我们可以假设$\widehat{f}(0)=0$。因为$f$是实值，所以对于所有的$m$都有$\widehat{f}(-m)=\widehat{\widehat{f}(m)}$，因为$\widehat{f}(0)=0$，我们可以写
$$
\widetilde{f}(t)=-i \sum_{m>0} \widehat{f}(m) e^{2 \pi i m t}+i \sum_{m>0} \widehat{f}(-m) e^{-2 \pi i m t}=2 \operatorname{Re}\left[-i \sum_{m>0} \widehat{f}(m) e^{2 \pi i m t}\right],
$$

这意味着$\tilde{f}$也是实值(参见练习3.5.4(b))。因此多项式$f+i \widetilde{f}$只包含正频率。因此对于$k \in \mathbf{Z}^{+}$，我们有
$$
\int_{\mathbf{T}^1}(f(t)+i \widetilde{f}(t))^{2 k} d t=0
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Multipliers on the Torus

与非周期情况类似，我们可以识别$\mathbf{T}^n$上的卷积算子在环面上具有适当的分布;关于本主题的介绍，请参见练习3.6.2。然而，避免这种观点，直接考虑乘数，绕过环面上分布的讨论更为简单。原因是下面的定理。

定理3.6.1。假设 $T$ 一个线性算子能与平移和映射交换吗 $L^p\left(\mathbf{T}^n\right)$ 到 $L^q\left(\mathbf{T}^n\right)$ 对一些人来说 $1 \leq p, q \leq \infty$．那么存在一个有界序列 $\left{a_m\right}{m \in \mathbf{Z}^n}$ 这样 $$ T(f)(x)=\sum{m \in \mathbf{Z}^n} a_m \widehat{f}(m) e^{2 \pi i m \cdot x}
$$
对所有人 $f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbf{T}^n\right)$．此外，我们有 $\left|\left{a_m\right}\right|{\ell^{\infty}} \leq|T|{L^p \rightarrow L^q}$．
证明。考虑函数 $e_m(x)=e^{2 \pi i m \cdot x}$ 定义于 $\mathbf{T}^n$ 为了 $m$ 在 $\mathbf{Z}^n$．自从 $T$ 平移对所有都是不变的吗 $h \in \mathbf{T}^n$，我们有
$$
T\left(e_m\right)(x-h)=T\left(\tau^h\left(e_m\right)\right)(x)=e^{-2 \pi i m \cdot h} T\left(e_m\right)(x)
$$
对于每一个 $x \in F_h$，其中 $F_h$ 是全套的吗 $\mathbf{T}^n$．对于 $x \in \mathbf{T}^n$ 定义 $D(x)=$ $\left|\left{h \in \mathbf{T}^n: x \in F_h\right}\right|$．然后 $D(x) \leq 1$ 对所有人 $x$ 根据富比尼定理 $D$ 有1的积分 $\mathbf{T}^n$．因此存在 $x_0 \in \mathbf{T}^n$ 这样 $D\left(x_0\right)=1$．几乎所有人都是如此 $h \in \mathbf{T}^n$ (即，对所有人 $h$ 在集合中 $\left.\left{h \in \mathbf{T}^n: x_0 \in F_h\right}\right)$ 我们有 $T\left(e_m\right)\left(x_0-\right.$ $h)=e^{-2 \pi i m \cdot h} T\left(e_m\right)\left(x_0\right)$．更换 $x_0-h$ 通过 $x$，我们得到
$$
T\left(e_m\right)(x)=e^{2 \pi i m \cdot x}\left(e^{-2 \pi i m \cdot x_0} T\left(e_m\right)\left(x_0\right)\right)=a_m e_m(x)
$$
几乎所有人 $x \in \mathbf{T}^n$，我们出发的地方 $a_m=e^{-2 \pi i m \cdot x_0} T\left(e_m\right)\left(x_0\right)$，为 $m \in \mathbf{Z}^n$．取 $L^q$ 规范在(3.6.2)中，我们推导 $\left|a_m\right|=\left|T\left(e_m\right)\right|{L^q} \leq|T|{L^p \rightarrow L^q}$，因此 $a_m$ 是有界的。而且，既然 $T\left(e_m\right)=a_m e_m$ 对所有人 $m$ 在 $\mathbf{Z}^n$，则(3.6.1)对所有三角多项式成立。通过密度，这扩展到所有 $f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbf{T}^n\right)$ 定理被证明了。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Pointwise Convergence of the Fejer Means

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Pointwise Convergence of the Fejer Means

We saw in Section 3.1 that the Fejér kernel is an approximate identity. This implies that the Fejér (or Cesàro) means of an $L^p$ function $f$ on $\mathbf{T}^n$ converge to it in $L^p$ for any $1 \leq p<\infty$. Moreover, if $f$ is continuous at $x_0$, then the means $(F(n, N) * f)\left(x_0\right)$ converge to $f\left(x_0\right)$ as $N \rightarrow \infty$ in view of Theorem 1.2.19 (2). Although this is a satisfactory result, it is restrictive, since it applies only to continuous functions. It is natural to ask what happens for more general functions.

Using properties of the Fejér kernel, we obtain the following one-dimensional result regarding the convergence of the Fejér means:

Theorem 3.3.1. (Fejér) If a function $f$ in $L^1\left(\mathbf{T}^1\right)$ has left and right limits at a point $x_0$, denoted by $f\left(x_0-\right)$ and $f\left(x_0+\right)$, respectively, then
$$
\left(F_N * f\right)\left(x_0\right) \rightarrow \frac{1}{2}\left(f\left(x_0+\right)+f\left(x_0-\right)\right) \quad \text { as } \quad N \rightarrow \infty .
$$
In particular, this is the case for functions of bounded variation.
Proof. Let us identify $\mathbf{T}^1$ with $[-1 / 2,1 / 2]$. Given $\varepsilon>0$, find $\delta>0(\delta<1 / 2)$ such that $$ 00$ such that for $N \geq N_0$ we have
$$
\sup {t \in[\delta, 1 / 2]} F_N(t)<\varepsilon $$ We now have $$ \begin{aligned} & \left(F_N * f\right)\left(x_0\right)-f\left(x_0+\right)=\int{\mathbf{T}^1} F_N(-t)\left(f\left(x_0+t\right)-f\left(x_0+\right)\right) d t, \
& \left(F_N * f\right)\left(x_0\right)-f\left(x_0-\right)=\int_{\mathbf{T}^1} F_N(t)\left(f\left(x_0-t\right)-f\left(x_0-\right)\right) d t .
\end{aligned}
$$
Averaging these two identities and using that the integrand is even, we obtain
$$
\begin{aligned}
& \left(F_N * f\right)\left(x_0\right)-\frac{f\left(x_0+\right)+f\left(x_0-\right)}{2} \
& \quad=2 \int_0^{1 / 2} F_N(t)\left(\frac{f\left(x_0+t\right)+f\left(x_0-t\right)}{2}-\frac{f\left(x_0+\right)+f\left(x_0-\right)}{2}\right) d t
\end{aligned}
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Almost Everywhere Convergence of the Fejer Means

We have seen that the Fejér means of a relatively nice function (such as of bounded variation) converge everywhere. What can we say about the Fejér means of a general integrable function? Since the Fejér kernel is a well-behaved approximate identity, the following result should not come as a surprise.
Theorem 3.3.3. (a) For $f \in L^1\left(\mathbf{T}^n\right)$, let
$$
\mathscr{H}(f)=\sup _{N \in \mathbf{Z}^{+}}|f * F(n, N)|
$$
Then $\mathscr{H}$ maps $L^1\left(\mathbf{T}^n\right)$ to $L^{1, \infty}\left(\mathbf{T}^n\right)$ and $L^p\left(\mathbf{T}^n\right)$ to itself for $1
0$. For $x=$ $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbf{R}^n$ and $\varepsilon>0$ we also set
$$
\Phi(x)=\varphi\left(x_1\right) \cdots \varphi\left(x_n\right)
$$
and $\Phi_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-n} \Phi\left(\varepsilon^{-1} x\right)$. Then for $|t| \leq \frac{1}{2}$ we have $\left|F_N(t)\right| \leq \frac{\pi^2}{2} \varphi_{\varepsilon}(t)$ with $\varepsilon=$ $(N+1)^{-1}$, and for $y \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]^n$ we have
$$
|F(n, N)(y)| \leq\left(\frac{\pi^2}{2}\right)^n \Phi_{\varepsilon}(y), \quad \text { with } \varepsilon=(N+1)^{-1}
$$
Now let $f$ be an integrable function on $\mathbf{T}^n$ and let $f_0$ denote its periodic extension on $\mathbf{R}^n$. For $x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]^n$ we have
$$
\begin{aligned}
\mathscr{H}(f)(x) & \leq \sup {N>0}\left|\int{\mathbf{T}^n} F(n, N)(y) f(x-y) d y\right| \
& \leq\left(\frac{\pi^2}{2}\right)^n \sup {\varepsilon>0} \int{\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]^n}\left|\Phi_{\varepsilon}(y)\right|\left|f_0(x-y)\right| d y \
& \leq 5^n \sup {\varepsilon>0} \int{\mathbf{R}^n}\left|\Phi_{\varepsilon}(y)\right|\left|\left(f_0 \chi_Q\right)(x-y)\right| d y \
& =5^n \mathscr{G}\left(f_0 \chi_Q\right)(x),
\end{aligned}
$$
where $Q$ is the cube $[-1,1]^n$ and $\mathscr{G}$ is the operator
$$
\mathscr{G}(h)=\sup {\varepsilon>0}|h| * \Phi{\varepsilon}
$$

傅里叶分析代写

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Pointwise Convergence of the Fejer Means

们在3.1节中看到fejsamr核是一个近似恒等式。这意味着$L^p$函数$f$在$\mathbf{T}^n$上的fej(或Cesàro)均值收敛于$L^p$对于任意$1 \leq p<\infty$。此外，如果$f$在$x_0$处连续，则根据定理1.2.19(2)，平均值$(f (n, n) * f)\left(x_0\right)$收敛于$f\left(x_0\right)$作为$ n \rightarrow \infty$。虽然这是一个令人满意的结果，但它是限制性的，因为它只适用于连续函数。很自然地要问对于更一般的函数会发生什么。

利用fejsamr核的性质，我们得到了fejsamr均值收敛性的一维结果:

定理3.3.1。如果函数$f$在$L^1\left(\mathbf{T}^1\right)$中有左极限和右极限在点$x_0$，分别用$f\left(x_0-\right)$和$f\left(x_0+\right)$表示，则
$$
\left(F_N * f\right)\left(x_0\right) \rightarrow \frac{1}{2}\left(f\left(x_0+\right)+f\left(x_0-\right)\right) \quad \text { as } \quad N \rightarrow \infty .
$$
特别地，这是有界变分函数的情况。
证明。让我们将$\mathbf{T}^1$与$[-1 / 2,1 / 2]$识别。给定$\varepsilon>0$，求$\delta>0(\delta<1 / 2)$使得$$ 00$使得对于$N \geq N_0$有
$$
\sup {t \in[\delta, 1 / 2]} F_N(t)<\varepsilon $$ We now have $$ \begin{aligned} & \left(F_N * f\right)\left(x_0\right)-f\left(x_0+\right)=\int{\mathbf{T}^1} F_N(-t)\left(f\left(x_0+t\right)-f\left(x_0+\right)\right) d t, \
& \left(F_N * f\right)\left(x_0\right)-f\left(x_0-\right)=\int_{\mathbf{T}^1} F_N(t)\left(f\left(x_0-t\right)-f\left(x_0-\right)\right) d t .
\end{aligned}
$$
取这两个恒等式的平均值并利用被积函数为偶，我们得到
$$
\begin{aligned}
& \left(F_N * f\right)\left(x_0\right)-\frac{f\left(x_0+\right)+f\left(x_0-\right)}{2} \
& \quad=2 \int_0^{1 / 2} F_N(t)\left(\frac{f\left(x_0+t\right)+f\left(x_0-t\right)}{2}-\frac{f\left(x_0+\right)+f\left(x_0-\right)}{2}\right) d t
\end{aligned}
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Almost Everywhere Convergence of the Fejer Means

我们已经看到，一个相对较好的函数(比如有界变分函数)的fej均值处处收敛。关于一般可积函数的fej均值我们能说些什么呢?由于fej郁闷核是一个表现良好的近似恒等式，所以下面的结果不应该让人感到惊讶。
3.3.3定理。(a)对于$f \in L^1\left(\mathbf{T} \ n\right)$，令
$$
\mathscr{H}(f)=\sup _{N \in \mathbf{Z}^{+}}|f * F(n, N)|
$$
然后$\mathscr{H}$将$L^1\左(\mathbf{T}^n\右)$映射到$L^{1， $ infty}\左(\mathbf{T}^n\右)$和$L^p\左(\mathbf{T}^n\右)$映射到$1的自身
0美元。对于$x=$ $\left(x_1， \ldots, x_n\right) \in \mathbf{R}^n$和$\varepsilon>0$，我们也设置
$ $
\Phi(x)=\varphi\left(x_1\right) \cdots \varphi\left(x_n\right)
$ $
和$ \ Phi_ {\ varepsilon} (x) = \ varepsilon ^ {n} \φ\离开(\ varepsilon ^ {1} x \右)美元。然后$ | | \ leq \ t压裂{1}{2}我们有美元\左| fn (t) \右| \ leq \压裂{\π^ 2}{2}\ varphi_ {\ varepsilon} (t)与美元\ varepsilon = $ $ (N + 1) ^{1},美元和美元y \ \左[- \压裂{1}{2},\压裂{1}{2}\右]^ N我们有美元
$$
|F(n, N)(y)| \leq\left(\frac{\pi^2}{2}\right)^n \Phi_{\varepsilon}(y), \quad \text { with } \varepsilon=(N+1)^{-1}
$$
现在设$f$是$\mathbf{T}^n$上的可积函数，设$f_0$表示它在$\mathbf{R}^n$上的周期扩展。为$ x \ \离开[- \压裂{1}{2},\压裂{1}{2}\右]^ n我们有美元
$$
\begin{aligned}
\mathscr{H}(f)(x) & \leq \sup {N>0}\left|\int{\mathbf{T}^n} F(n, N)(y) f(x-y) d y\right| \
& \leq\left(\frac{\pi^2}{2}\right)^n \sup {\varepsilon>0} \int{\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]^n}\left|\Phi_{\varepsilon}(y)\right|\left|f_0(x-y)\right| d y \
& \leq 5^n \sup {\varepsilon>0} \int{\mathbf{R}^n}\left|\Phi_{\varepsilon}(y)\right|\left|\left(f_0 \chi_Q\right)(x-y)\right| d y \
& =5^n \mathscr{G}\left(f_0 \chi_Q\right)(x),
\end{aligned}
$$
其中$Q$是立方体$[-1,1]^n$和$\mathscr{G}$是算子

$$
\mathscr{G}(h)=\sup {\varepsilon>0}|h| * \Phi{\varepsilon}
$$

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统计代写|生存模型代写survival model代考|The Basic Moment Relationship

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如果你也在怎样代写生存模型survival model这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

生存分析是统计学的一个分支，用于分析直到一个事件发生的预期时间长度，如生物体的死亡和机械系统的故障。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写生存模型survival model方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写生存模型survival model代写方面经验极为丰富，各种代写生存模型survival model相关的作业也就用不着说。

我们提供的生存模型survival model及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|生存模型代写survival model代考|The Basic Moment Relationship

If $n_x$ is the total number of persons who contribute to $(x, x+1]$, then the total number of expected deaths is $\sum_{i=1}^{n_x} s_i-r_i q_{x+r_i}$. (For convenience we will use $n$ for $n_x$ in our summations.) When equated to the actual number of observed deaths, we obtain the moment equation
$$
E\left[D_x\right]=\sum_{i=1}^n s_{i-r,} q_{x+r_i}=d_x,
$$
where $D_x$ is the random variable for deaths in $(x, x+1]$, and $d_x$ is the observed number.

To solve (6.2) for our estimate of $q_x$, we will use the approximation
$$
s_i-r_i q_{x+r_i} \approx\left(s_i-r_i\right) \cdot q_x
$$
Then (6.2) becomes
$$
E\left[D_x\right]=q_x \cdot \sum_{i=1}^n\left(s_i-r_i\right)=d_x
$$
from which we easily obtain
$$
\hat{q}x=\frac{d_x}{\sum{i=1}^n\left(s_i-r_i\right)}
$$
the general form of the moment estimator in a single-decrement environment.

统计代写|生存模型代写survival model代考|Special Cases

If $r_i=0$ and $s_i=1$ for all $n_x$ persons who contribute to $(x, x+1]$, then we have $s_{s_i-r_i} q_{x+r_i}=q_x$, and (6.2) becomes
$$
E\left[D_x\right] \neq n_x \cdot q_x=d_x
$$
so that (6.5) becomes
$$
\hat{q}_x=\frac{d_x}{n_x}
$$
Recall that this is Special Case A, as defined in Section 5.2.

We recognize (6.7) as the binomial proportion estimator already encountered in Chapter 4. We also recognize it as the maximum likelihoo estimator of the conditional mortality probability $q_x$, where the model for the likelihood is a simple binomial model. Thus the number of persons in the sample, $n_x$, can be thought of as a number of binomial trials. The standard characteristics of a binomial model are assumed to apply. Thus each trial is considered to be independent, and the probability of death on a single trial $\left(q_x\right)$ is assumed constant for all trials. In such a situation, the sample proportion of deaths, which is given by (6.7), is a natural estimator for this parameter $q_x$.

If $s_i=1$ for all, but $r_i>0$ for some of the $n_x$ persons who contribute to $(x, x+1]$, then we have $s_i-r_i q_{x+r_i}=1-r_i q_{x+r_i}$, and (6.2) becomes
$$
E\left[D_x\right]=\sum_{i=1}^n{ }{1-r_i} q{x+r_i}=d_x
$$
The general approximation given by (6.3) then becomes
$$
1-r_i q_{x+r_i} \approx\left(1-r_i\right) \cdot q_x
$$
which is the same as (3.77). Substituting (6.9) into (6.8), we obtain the result
$$
\hat{q}x=\frac{d_x}{\sum{i=1}^n\left(1-r_i\right)},
$$
the moment estimator for Special Case B.

生存模型代考

统计代写|生存模型代写survival model代考|The Basic Moment Relationship

如果$n_x$是参与$(x, x+1]$的总人数，那么预期死亡的总人数就是$\sum_{i=1}^{n_x} s_i-r_i q_{x+r_i}$。(为方便起见，我们将在总结中使用$n$代替$n_x$。)当与实际观察到的死亡人数相等时，我们得到力矩方程
$$
E\left[D_x\right]=\sum_{i=1}^n s_{i-r,} q_{x+r_i}=d_x,
$$
其中$D_x$是$(x, x+1]$中死亡人数的随机变量，$d_x$是观察到的数字。

为了求解(6.2)对$q_x$的估计，我们将使用近似
$$
s_i-r_i q_{x+r_i} \approx\left(s_i-r_i\right) \cdot q_x
$$
然后(6.2)变成
$$
E\left[D_x\right]=q_x \cdot \sum_{i=1}^n\left(s_i-r_i\right)=d_x
$$
从中我们很容易得到
$$
\hat{q}x=\frac{d_x}{\sum{i=1}^n\left(s_i-r_i\right)}
$$
单减量环境下矩估计量的一般形式。

统计代写|生存模型代写survival model代考|Special Cases

如果对$(x, x+1]$做出贡献的所有$n_x$人都是$r_i=0$和$s_i=1$，那么我们有$s_{s_i-r_i} q_{x+r_i}=q_x$，并且(6.2)变成
$$
E\left[D_x\right] \neq n_x \cdot q_x=d_x
$$
那么(6.5)就变成了
$$
\hat{q}_x=\frac{d_x}{n_x}
$$
回想一下，这是第5.2节中定义的特例A。

我们认为(6.7)是在第4章中已经遇到的二项比例估计量。我们还认为它是条件死亡概率$q_x$的最大似然估计量，其中似然模型是一个简单的二项模型。因此，样本中的人数$n_x$可以被认为是二项试验的数量。假定二项模型的标准特征适用。因此，每个试验被认为是独立的，并且假设单个试验$\left(q_x\right)$的死亡概率对所有试验都是恒定的。在这种情况下，由(6.7)给出的样本死亡比例是该参数$q_x$的自然估计量。

如果$s_i=1$代表所有人，而$r_i>0$代表一些为$(x, x+1]$做出贡献的$n_x$人，那么我们有$s_i-r_i q_{x+r_i}=1-r_i q_{x+r_i}$，(6.2)变成
$$
E\left[D_x\right]=\sum_{i=1}^n{ }{1-r_i} q{x+r_i}=d_x
$$
由式(6.3)给出的一般近似值则为
$$
1-r_i q_{x+r_i} \approx\left(1-r_i\right) \cdot q_x
$$
等于(3.77)将式(6.9)代入式(6.8)，得到结果
$$
\hat{q}x=\frac{d_x}{\sum{i=1}^n\left(1-r_i\right)},
$$
特殊情况B的矩估计量。

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统计代写|生存模型代写survival model代考|Estimation of S(t) from {pi}

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统计代写|生存模型代写survival model代考|Estimation of S(t) from {pi}

We recall that $S(t)$ is the unconditional probability of surviving from time 0 to time $t$, and the direct approach to estimating $S(t)$, given by (4.12), is an unconditional approach.

As an alternative to estimating $S(t)$ by (4.12), we could use the approach introduced in Section 2.4.6, producing
$$
\hat{S}(t)=\hat{p}0 \cdot \hat{p}_1 \cdot \cdots \cdot \hat{p}{t-1} .
$$
This estimation approach follows logically from the conceptual relationship
$$
S(t)=p_0 \cdot p_1 \cdot \cdots \cdot p_{t-1} .
$$
It is easy to see by general reasoning that, although each $p_i$ in (4.23) is a conditional probability, the product of them, which is $S(t)$, is unconditional. Thus $S(t)$ is the same unconditional probability concept, whether estimated by the direct (unconditional) approach of (4.12) or the indirect (conditional)

approach of (4.22). Furthermore, for a given sample outcome in the cohort, complete data study design of this chapter, it is easy to see that the same numerical value of $\hat{S}(t)$ will result from both (4.12) and (4.22), provided each $\hat{p}_i$ in (4.22) is determined by (4.19). The demonstration of this is left as an exercise.

In studies which are not restricted to an initial cohort, or which allow for withdrawals or termination of observation before all have died, the (4.12) approach to $\hat{S}(t)$ will not be possible. In these studies, described in Chapters $5-7$, the (4.22) approach to $\hat{S}(t)$ will be taken.

统计代写|生存模型代写survival model代考|Estimation of the Hazard Function

For our cohort, complete, grouped deaths sitıation, we have estimated each conditional $p_t$ and the survival distribution function $S(t)$. In this section we will consider the estimation of the HRF of $T$. The approach here will be to express the hazard function in terms of a function whose estimation has already been discussed, and then to substitute the estimator of that function.
Let $t^=t+\frac{1}{2}$ represent the midpoint of the interval $(t, t+1]$. (Recall that the HRF relates to a point of time, not an interval.) To express the hazard rate $\lambda\left(t^\right)$ in terms of $p_t$ (or $q_t$ ), we need to make a distribution assumption, such as one of those described in Section 3.5 in the context of the life table.

For example, assuming that $T$ is exponentially distributed over $(t, t+1]$, so that $\lambda(t)$ is a constant, we recall from (3.67) that
$$
\lambda\left(t^\right)=-\ln p_t, $$ so $\lambda\left(t^\right)$ is estimated by
$$
\hat{\lambda}\left(t^\right)=-\ln \hat{p}t $$ Recall that $p_t$ is estimated by the binomial proportion estimator $\frac{N{t+1}}{n_t}$, conditional on the value of $n_t$ being given. (Note that $N_{t+1}$ is the random variable here.) Thus the estimator for $\lambda\left(t^\right)$ can be written as
$$
\hat{\lambda}\left(t^*\right)=-\ln \frac{N_{l+1}}{n_t}
$$
which is a biased estimator. The random variable $\hat{\lambda}\left(t^\right)$ is a natural log function of the binomial random variable $N_{t+1}$, so the variance of $\hat{\lambda}\left(t^\right)$, conditional on $n_t$, can be approximated by the method of statistical differentials using formula (2.76). This results in
$$
\operatorname{Var}\left[\hat{\lambda}\left(t^*\right) \mid n_t\right] \approx \frac{q_t}{p_t n_t}
$$

生存模型代考

统计代写|生存模型代写survival model代考|Estimation of S(t) from {pi}

我们记得$S(t)$是从时刻0到时刻$t$的无条件生存概率，由(4.12)给出的直接估计$S(t)$的方法是无条件方法。

作为用(4.12)估算$S(t)$的替代方法，我们可以使用第2.4.6节介绍的方法，生成
$$
\hat{S}(t)=\hat{p}0 \cdot \hat{p}1 \cdot \cdots \cdot \hat{p}{t-1} . $$ 这种估计方法在逻辑上遵循概念关系 $$ S(t)=p_0 \cdot p_1 \cdot \cdots \cdot p{t-1} .
$$
通过一般推理很容易看出，虽然(4.23)中的每个$p_i$都是一个条件概率，但它们的乘积$S(t)$是无条件的。因此$S(t)$是相同的无条件概率概念，无论是通过(4.12)的直接(无条件)方法还是间接(条件)方法来估计。

接近(4.22)。此外，对于本章完整数据研究设计的队列中给定的样本结果，很容易看出(4.12)和式4.22都会得到相同的数值$\hat{S}(t)$，只要式4.22中的每个$\hat{p}_i$都由式4.19决定。对此的论证留作练习。

在不局限于初始队列的研究中，或者允许在所有人死亡之前退出或终止观察的研究中，(4.12)方法$\hat{S}(t)$将不可能。在这些研究中，在$5-7$章中描述，(4.22)的方法$\hat{S}(t)$将采取。

统计代写|生存模型代写survival model代考|Estimation of the Hazard Function

对于我们的队列，完整的分组死亡sitıation，我们估计了每个条件$p_t$和生存分布函数$S(t)$。在本节中，我们将考虑对$T$的HRF的估计。这里的方法是用一个函数来表示危险函数，这个函数的估计已经讨论过了，然后代入这个函数的估计量。
设$t^=t+\frac{1}{2}$表示区间$(t, t+1]$的中点。(请记住，HRF与一个时间点有关，而不是一个间隔。)为了用$p_t$(或$q_t$)表示危险率$\lambda\left(t^\right)$，我们需要做一个分布假设，例如在生命表上下文中第3.5节中描述的分布假设之一。

例如，假设$T$在$(t, t+1]$上呈指数分布，因此$\lambda(t)$是一个常数，我们回想一下(3.67)式
$$
\lambda\left(t^\right)=-\ln p_t, $$所以$\lambda\left(t^\right)$是由
$$
\hat{\lambda}\left(t^\right)=-\ln \hat{p}t $$回想一下，$p_t$是由二项比例估计量$\frac{N{t+1}}{n_t}$估计的，条件是$n_t$的值给定。(注意，$N_{t+1}$是这里的随机变量。)因此$\lambda\left(t^\right)$的估计量可以写成
$$
\hat{\lambda}\left(t^\right)=-\ln \frac{N_{l+1}}{n_t} $$ 这是一个偏估计量。随机变量$\hat{\lambda}\left(t^\right)$是二项随机变量$N_{t+1}$的自然对数函数，因此以$n_t$为条件的$\hat{\lambda}\left(t^\right)$的方差可以用统计微分法(2.76)近似表示。这导致 $$ \operatorname{Var}\left[\hat{\lambda}\left(t^\right) \mid n_t\right] \approx \frac{q_t}{p_t n_t}
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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统计代写|生存模型代写survival model代考|METHODS FOR NON-INTEGRAL AGES

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如果你也在怎样代写生存模型survival model这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

生存分析是统计学的一个分支，用于分析直到一个事件发生的预期时间长度，如生物体的死亡和机械系统的故障。

我们提供的生存模型survival model及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|生存模型代写survival model代考|METHODS FOR NON-INTEGRAL AGES

A review of the functions that we have developed, and summarized in Table 3.2 , shows that not many of them can be numerically determined from a life table that gives values of $\ell_x$ only for integral $x$. Actually, only the probability function ${ }n p_x$ (and its complement ${ }_n q_x$ ) for integral $x$ and $n$ can be so determined. (Note that ${ }_x p_0$ and ${ }_x q_0$, for integral $x$, are special cases of ${ }_n p_x$ and ${ }_n q_x$.) The determination of all other functions requires that values of $\ell{x+s}$ be available for all $s, 0 \leq s \leq 1$. This is obtained in the life table model by assuming that $\ell_{x+s}$ has a certain mathematical form between $x$ and $x+1$. This assumed form for $\ell_{x+s}$ will be differentiable on the open interval $0<s<1$, but not at $s=0$ or $s=1$.

The ability to determine $\ell_{x+s}$ numerically for any $s, 0 \leq s \leq 1$, will allow us to calculate probabilities of the form ${ }s p_x$ and ${ }{1-s} p_{x+s}$, and their complements ${ }s q_x$ and $1{-s} q_{x+s}$. The differentiability of $\ell_{x+s}$ will allow us to evaluate $\mu_{x+s}$, and hence the conditional density function $f(s \mid X>x)={ }s p_x \mu{x+s}$, for all $s$ on the open interval $0x$ ).

These between-the-integral-ages assumptions are extremely important and useful, so we want to acquire a complete familiarity with them. We will later see that they are essential elements in the estimation of the model, as well as being useful for making calculations from the life table model.
We should not lose sight of the fact that we assume a mathematical form for $\ell_{x+s}$ only between $x$ and $x+1$, not for the entire domain of $x$; the latter case would return us to the continuous parametric models described in Chapter 2. We will also see that each particular mathematical form that we assume for $\ell_{x+s}$ will correspond to a certain interpolation method.

统计代写|生存模型代写survival model代考|Linear Form for $\ell_{x+s}$

If $\ell_{x+s}$ is a linear function between $x$ and $x+1$, then it is of the form $a+b s$. To provide continuity for $\ell_{x+s}$, we require, at $s=0$, that $\ell_x=a$, and at $s=1$, that $\ell_{x+1}=a+b$, so that $b=\ell_{x+1}-a$, or $b=\ell_{x+1}-\ell_x=-d_x$. Thus we have
$$
\ell_{x+s}=\ell_x-s \cdot d_x
$$
An alternate form is to use $\ell_x-\ell_{x+1}$ in place of $d_x$, obtaining
$$
\ell_{x+s}=\ell_x-s\left(\ell_x-\ell_{x+1}\right)=s \cdot \ell_{x+1}+(1-s) \cdot \ell_x .
$$
Both (3.52) and (3.52a) reveal that the linear assumption for $\ell_{x+s}$ allows us to determine values of $\ell_{x+s}$ from $\ell_x$ and $\ell_{x+1}$ by linear interpolation.
The determination of other functions follows easily from (3.52). Thus
$$
{ }s p_x=\frac{\ell{x+s}}{\ell_x}=1-s \cdot \frac{d_x}{\ell_x}=1-s \cdot q_x,
$$
and
$$
s q_x=1-s p_x=s \cdot q_x .
$$
We also have
$$
{ }{1-s} p{x+s}=\frac{\ell_{x+1}}{\ell_{x+s}}=\frac{\ell_{x+1}}{\ell_x-s \cdot d_x}=\frac{p_x}{1-s \cdot q_x},
$$
and
$$
{ }{1-s} q{x+s}=1-{ }{1-s} p{x+s}=\frac{1-s \cdot q_x-p_x}{1-s \cdot q_x}=\frac{(1-s) \cdot q_x}{1-s \cdot q_x}
$$

生存模型代考

统计代写|生存模型代写survival model代考|METHODS FOR NON-INTEGRAL AGES

回顾一下我们所开发的函数，并在表3.2中进行了总结，可以看出，没有多少函数可以从只对积分$x$给出$\ell_x$值的生命表中进行数值确定。实际上，只有积分$x$和$n$的概率函数${ }n p_x$(及其补${ }n q_x$)可以这样确定。(请注意，对于积分$x$, ${ }_x p_0$和${ }_x q_0$是${ }_n p_x$和${ }_n q_x$的特殊情况。)确定所有其他函数要求所有$s, 0 \leq s \leq 1$都有$\ell{x+s}$的值。这是在生命表模型中通过假设$\ell{x+s}$在$x$和$x+1$之间具有一定的数学形式而得到的。$\ell_{x+s}$的这种假定形式在开放区间$0<s<1$上是可微的，但在$s=0$或$s=1$上则不然。

为任何$s, 0 \leq s \leq 1$确定$\ell_{x+s}$数值的能力，将允许我们计算形式${ }s p_x$和${ }{1-s} p_{x+s}$的概率，以及它们的补体${ }s q_x$和$1{-s} q_{x+s}$。$\ell_{x+s}$的可微性将允许我们计算$\mu_{x+s}$，从而计算条件密度函数$f(s \mid X>x)={ }s p_x \mu{x+s}$，对于所有$s$在开放区间$0x$)。

这些积分年龄之间的假设是非常重要和有用的，所以我们要完全熟悉它们。稍后我们将看到，它们是模型估计中的基本元素，对于从生命表模型进行计算也很有用。
我们不应该忽视这样一个事实，即我们只对$x$和$x+1$之间的$\ell_{x+s}$假定了数学形式，而不是对$x$的整个域;后一种情况将使我们回到第2章中描述的连续参数模型。我们还将看到，我们为$\ell_{x+s}$假设的每个特定的数学形式将对应于特定的插值方法。

统计代写|生存模型代写survival model代考|Linear Form for $\ell_{x+s}$

如果$\ell_{x+s}$是$x$和$x+1$之间的线性函数，那么它的形式是$a+b s$。为了提供$\ell_{x+s}$的连续性，我们需要在$s=0$上输入$\ell_x=a$，在$s=1$上输入$\ell_{x+1}=a+b$，因此需要$b=\ell_{x+1}-a$或$b=\ell_{x+1}-\ell_x=-d_x$。因此我们有
$$
\ell_{x+s}=\ell_x-s \cdot d_x
$$
另一种形式是使用$\ell_x-\ell_{x+1}$代替$d_x$，获得
$$
\ell_{x+s}=\ell_x-s\left(\ell_x-\ell_{x+1}\right)=s \cdot \ell_{x+1}+(1-s) \cdot \ell_x .
$$
(3.52)和(3.52a)都揭示了$\ell_{x+s}$的线性假设允许我们通过线性插值从$\ell_x$和$\ell_{x+1}$确定$\ell_{x+s}$的值。
其他函数的确定很容易从(3.52)中得到。因此
$$
{ }s p_x=\frac{\ell{x+s}}{\ell_x}=1-s \cdot \frac{d_x}{\ell_x}=1-s \cdot q_x,
$$
和
$$
s q_x=1-s p_x=s \cdot q_x .
$$
我们还有
$$
{ }{1-s} p{x+s}=\frac{\ell_{x+1}}{\ell_{x+s}}=\frac{\ell_{x+1}}{\ell_x-s \cdot d_x}=\frac{p_x}{1-s \cdot q_x},
$$
和
$$
{ }{1-s} q{x+s}=1-{ }{1-s} p{x+s}=\frac{1-s \cdot q_x-p_x}{1-s \cdot q_x}=\frac{(1-s) \cdot q_x}{1-s \cdot q_x}
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Evaluating the Linearity Assumption Using Hypothesis Testing Methods

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如果你也在怎样代写回归分析Regression Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

回归分析是一种强大的统计方法，允许你检查两个或多个感兴趣的变量之间的关系。虽然有许多类型的回归分析，但它们的核心都是考察一个或多个自变量对因变量的影响。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写回归分析Regression Analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写回归分析Regression Analysis代写方面经验极为丰富，各种代写回归分析Regression Analysis相关的作业也就用不着说。

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Evaluating the Linearity Assumption Using Hypothesis Testing Methods

Here, we will get slightly ahead of the flow of the book, because multiple regression is covered in the next chapter. A simple, powerful way to test for curvature is to use a multiple regression model that includes a quadratic term. The quadratic regression model is given by:
$$
Y=\beta_0+\beta_1 X+\beta_2 X^2+\varepsilon
$$
This model assumes that, if there is curvature, then it takes a quadratic form. Logic for making this assumption is given by “Taylor’s Theorem,” which states that many types of curved functions are well approximated by quadratic functions.

Testing methods require restricted (null) and unrestricted (alternative) models. Here, the null model enforces the restriction that $\beta_2=0$; thus the null model states that the mean response is a linear (not curved) function of $x$. So-called “insignificance” (determined historically by $p>0.05$ ) of the estimate of $\beta_2$ means that the evidence of curvature in the observed data, as indicated by a non-zero estimate of $\beta_2$ or by a curved LOESS fit, is explainable by chance alone under the linear model. “Significance” (determined historically by $p<0.05$ ) means that such evidence of curvature is not easily explained by chance alone under the linear model.

But you should not take the result of this $p$-value based test as a “recipe” for model construction. If “significant,” you should not automatically assume a curved model. Instead, you should ask, “Is the curvature dramatic enough to warrant the additional modeling complexity?” and “Do the predictions differ much, whether you use a model for curvature or the ordinary linear model?” If the answers to those questions are “No,” then you should use the linear model anyway, even if it was “rejected” by the $p$-value based test.

In addition, models employing curvature (particularly quadratics) are notoriously poor at the extremes of the $x$-range(s). So again, you can easily prefer the linear model, even if the curvature is “significant” $(p<0.05)$.

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Testing for Curvature with the Production Cost Data

The following R code illustrates the method.
ProdC $=$ read.table(“https://raw.githubusercontent.com/andrea2719/
URA-DataSets/master/ProdC.txt”)
attach(ProdC)
plot (Widgets, Cost); abline(lsfit(Widgets, Cost))
Widgets.squared = Widgets^2
Prodc $=$ read.table $($ “https $: / /$ raw.githubusercontent.com/andrea2719/
URA-Datasets/master/ProdC.txt”)
attach (ProdC)
plot (Widgets, Cost); abline(lsfit(Widgets, Cost))
Widgets.squared $=$ Widgets $^{\wedge} 2$

fit.quad $=1 \mathrm{~m}$ (Cost $~$ Widgets + Widgets.squared); summary (fit.quad)
lines(spline(Widgets, predict(fit.quad)), col = “gray”, lty=2)
Figure 4.3 shows both the linear and quadratic (curved) fit to the data. Since the linear and quadratic fits are so similar, it (again) appears that there is no need to model the curvature explicitly in this example.
Relevant lines from the summary of fit are shown as follows:
Coefficients :
(Intercept)
widgets
Widgets.squared
$\begin{array}{cccc}\text { Estimate } & \text { Std. Error } & t \text { value } & \operatorname{Pr}(>|t|) \ 4.564 e+02 & 7.493 e+02 & 0.609 & 0.546 \ 9.149 e-01 & 1.290 e+00 & 0.709 & 0.483 \ 2.923 e-04 & 5.322 e-04 & 0.549 & 0.586\end{array}$
Residual standard error: 241.3 on 37 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7987 , Adjusted R-squared: 0.7878
F-statistic: 73.42 on 2 and $37 \mathrm{DF}$, p-value: $1.318 \mathrm{e}-13$
Notice the $p$-value for testing the $\beta_2=0$ restriction: Since the $p$-value is 0.586 , the difference between the coefficient 0.0002923 (2.923e-04) and 0.0 is explainable by chance alone. That is, even if the process were truly linear (i.e., even if $\beta_2=0$ ), you would often see quadratic coefficient estimates $\left(\hat{\beta}_2\right)$ as large as 0.0002923 when you fit a quadratic model to similar data. If this is confusing to you, just run a simulation from a similar linear process (where $\beta_2=0$ ), and fit a quadratic model. You will see a non-zero $\hat{\beta}_2$ in every simulated data set, and most will be within 2 standard errors of 0.0 (the $\hat{\beta}_2$ above is $T=0.549$ standard errors from 0.0 ).

回归分析代写

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Evaluating the Linearity Assumption Using Hypothesis Testing Methods

在这里，我们将略超前于本书的流程，因为多元回归将在下一章中讨论。测试曲率的一个简单而有力的方法是使用包含二次项的多元回归模型。二次回归模型为:
$$
Y=\beta_0+\beta_1 X+\beta_2 X^2+\varepsilon
$$
这个模型假设，如果存在曲率，那么它是二次型的。做出这种假设的逻辑是由“泰勒定理”给出的，该定理指出，许多类型的曲线函数都可以很好地近似于二次函数。

测试方法需要受限制(null)和不受限制(alternative)的模型。在这里，null模型强制限制$\beta_2=0$;因此，零模型表明平均响应是$x$的线性(而不是曲线)函数。所谓的$\beta_2$估计的“不显著性”(历史上由$p>0.05$确定)意味着观测数据中的曲率证据，如$\beta_2$的非零估计或弯曲的黄土拟合所表明的那样，在线性模型下只能由偶然解释。“重要性”(历史上由$p<0.05$决定)意味着这种曲率的证据在线性模型下不容易单独用偶然来解释。

但是，您不应该将这个基于$p$值的测试的结果作为模型构建的“配方”。如果“重要”，您不应该自动假设一个曲线模型。相反，您应该问:“曲率是否足够大，足以保证额外的建模复杂性?”以及“使用曲率模型还是普通线性模型，预测的差异是否很大?”如果这些问题的答案是“否”，那么无论如何都应该使用线性模型，即使它被基于$p$值的测试“拒绝”。

此外，采用曲率(特别是二次曲线)的模型在$x$ -范围的极值处是出了名的差。所以，你可以很容易地选择线性模型，即使曲率是“显著的”$(p<0.05)$。

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Testing for Curvature with the Production Cost Data

下面的R代码演示了该方法。
ProdC $=$ read.table(“https://raw.githubusercontent.com/andrea2719/
“ura – dataset /master/ product .txt”)
附件(产品)
plot (Widgets, Cost);abline(lsfit(Widgets, Cost))
小部件。^2 = Widgets^2
产品$=$阅读。表$($ “https $: / /$ raw.githubusercontent.com/andrea2719/
“ura – dataset /master/ product .txt”)
附件(产品)
plot (Widgets, Cost);abline(lsfit(Widgets, Cost))
小部件。squared $=$小部件 $^{\wedge} 2$

适合。quad $=1 \mathrm{~m}$(成本$~$ Widgets + Widgets.squared);总结(fit.quad)
线条(样条(Widgets, predict(fit.quad))， col = “gray”， lty=2)
图4.3显示了数据的线性拟合和二次(曲线)拟合。由于线性拟合和二次拟合是如此相似，它(再次)似乎没有必要在这个例子中明确地建模曲率。
拟合总结的相关行如下:
系数:
(截语)
小部件
widgets。squared
$\begin{array}{cccc}\text { Estimate } & \text { Std. Error } & t \text { value } & \operatorname{Pr}(>|t|) \ 4.564 e+02 & 7.493 e+02 & 0.609 & 0.546 \ 9.149 e-01 & 1.290 e+00 & 0.709 & 0.483 \ 2.923 e-04 & 5.322 e-04 & 0.549 & 0.586\end{array}$
37个自由度的残差标准误差:241.3
多元r平方:0.7987，调整r平方:0.7878
f统计量:73.42对2和$37 \mathrm{DF}$, p值:$1.318 \mathrm{e}-13$
请注意用于测试$\beta_2=0$限制的$p$ -值:由于$p$ -值为0.586，因此系数0.0002923 (2.923e-04)和0.0之间的差异只能通过偶然来解释。也就是说，即使这个过程是真正线性的(即，即使$\beta_2=0$)，当您将二次模型拟合到类似的数据时，您经常会看到二次系数估计$\left(\hat{\beta}_2\right)$大到0.0002923。如果这让您感到困惑，只需从类似的线性过程($\beta_2=0$)运行模拟，并拟合二次模型。您将在每个模拟数据集中看到一个非零$\hat{\beta}_2$，并且大多数将在0.0的2个标准误差范围内(上面的$\hat{\beta}_2$是0.0的$T=0.549$标准误差)。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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