澳洲代写|MATH3228|Advanced Complex Analysis高级复分析 澳洲国立大学

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课程介绍:

This course is intended both for mathematics students continuing to honours work and for other students using mathematics at a high level in theoretical physics, engineering and information technology, and mathematical economics.

Topics to be covered include:

Complex differentiability, conformal mapping; complex integration, Cauchy integral theorems, Taylor series representation, isolated singularities, residue theorem and applications to real integration. Topics chosen from: argument principle, Riemann surfaces, theorems of Picard, Weierstrass and Mittag-Leffler.

Note: This is an HPC. It emphasises mathematical rigour and proof and develops the material from an abstract viewpoint.

澳洲代写|MATH3228|Advanced Complex Analysis高级复分析 澳洲国立大学
FieldInformation
Course CodeMATH3228
Prerequisite CoursesNot explicitly mentioned
MajorsMathematics
TeachersDr James Tener
Units6 units

Advanced Complex Analysis高级复分析问题集

问题 1.

Consider
$$
\begin{aligned}
& f(z)=\frac{x y^2(x+\mathrm{i} y)}{x^2+y^4} \quad(z=x+\mathrm{i} y \neq 0) \
& f(0)=0
\end{aligned}
$$
Verify that $\lim _{z \rightarrow z_0}\left(f(z)-z_0\right) /\left(z-z_0\right)=0$ as $z \rightarrow 0$ along any straight line, $z=(a+\mathrm{i} b) t, t \in \mathbb{R}$. This does not prove that $f^{\prime}(0)=0$, however. By considering $z \rightarrow 0$ along the path $z(t)=t^2+\mathrm{i} t$, show that $f$ is not differentiable at 0 . (This shows that when computing $f^{\prime}$ it is not enough to consider a limit taken along certain specific paths or types of path. An entire neighbourhood of the point concerned must be considered.)

问题 2.

Prove that if each of the series $\sum a_n z^n, \sum b_n z^n$, and $\sum a_n b_n z^n$ has radius of convergence equal to 1 , then so have the series $\sum a_n b_n^2 z^n$ and $\sum a_n^2 b_n z^n$.

For $\left|a_n\right| \leq 1$, show that $\sum a_n z^n$ is absolute convergent for all $|z|<1$. If $\sum a_n z^n=$ $f(z)$ for $\left|a_n\right|<1,|z|<1$, show that
$$
|f(z)| \leq \frac{1}{1-|z|}
$$

Prove that, for $z \neq 1$,
$$
\sum_{n=1}^k \frac{z^n}{n}=\frac{z}{1-z}\left(\sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{n(n+1)}-\sum_{n=1}^{k-1} \frac{z^n}{n(n+1)}+\frac{1-z^k}{k}\right)
$$
Show that the series $\sum_{n=1}^{\infty} z^n / n$ and $\sum_{n=1}^{\infty} z^n /(n(n+1))$ have radius of convergence 1 ; that the latter series converges everywhere on $|z|=1$, while the former series converges everywhere on $|z|=1$ except $z=1$.

问题 3.

Suppose that the power series $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ has a recurring sequence of coefficients; that is, $a_{n+k}=a_n$ for some fixed positive integer $k$ and all $n$. Prove that the series converges for $|z|<1$ to a rational function $p(z) / q(z)$ where $p, q$ are polynomials, and that the roots of $q$ are all on the unit circle.
What happens if $a_{n+k}=a_n / k$ instead?

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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