统计代考 - 统计代写答疑辅导

分类：统计代考

澳洲代写｜PHYC30018｜Quantum Physics量子计算墨尔本大学

Posted on 2023年10月16日2024年1月7日 by statistics-lab

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课程介绍：

Quantum mechanics plays a central role in our understanding of fundamental phenomena, primarily in the microscopic domain. It lays the foundation for an understanding of atomic, molecular, condensed matter, nuclear and particle physics.

Quantum Physics量子计算问题集

问题 1. Consider a two-dimensional strip of material of length $L$ and width $W$, placed in a magnetic field perpendicular to the strip and with an electric field established in the direction of the length $L$.
(a) Suppose that the resistivity matrix is given by the classical result
$$
\rho=\left(\begin{array}{cc}
\rho_0 & -\rho_H \
\rho_H & \rho_0
\end{array}\right)
$$
where $\rho_H=B /$ nec is the Hall resistivity and $\rho_0$ is the usual Ohmic resistivity. Find the conductivity matrix, $\sigma=\rho^{-1}$. Write it in the form:
$$
\sigma=\left(\begin{array}{cc}
\sigma_0 & \sigma_H \
-\sigma_H & \sigma_0
\end{array}\right) .
$$
What are $\sigma_0$ and $\sigma_H$ ?
(b) Suppose $B=0$, so the Hall resistivity is zero. Notice that the Ohmic conductivity, $\sigma_0$, is just $1 / \rho_0$. In particular, note that $\sigma_0 \rightarrow \infty$ as $\rho_0 \rightarrow 0$. Now suppose $\rho_H \neq 0$. Show that $\sigma_0 \rightarrow 0$ as $\rho_0 \rightarrow 0$, so it is possible to have both $\sigma_0$ and $\rho_0$ equal to zero

问题 2.

This problem asks you to give a complete presentation of a calculation that is almost the same as one you saw in lecture.

Consider a constant electric field, $\vec{E}=\left(0, E_0, 0\right)$ and a constant magnetic field, $\vec{B}=\left(0,0, B_0\right)$.
(a) Choose an electrostatic potential $\phi$ and a vector potential $\vec{A}$ which describe the $\vec{E}$ and $\vec{B}$ fields, and write the Hamiltonian for a charged particle of mass $m$ and charge $q$ in these fields. Assume that the particle is restricted to move in the $x y$-plane.
(b) What are the allowed energies as a function of $B_0$ and $E_0$ ? Draw a figure to show how the Landau levels (energy levels when $E_0=0$ ) change as $E_0$ increases.

问题 3.

You will see the “standard presentation” of the Aharonov-Bohm effect in lecture, on the day that this problem set is due. The standard presentation has its advantages, and in particular is more general than the presentation you will work through in this problem. However, students often come away from the standard presentation of the Aharonov-Bohm effect thinking that the only way to detect this effect is to do an interference experiment. This is not true, and the purpose of this problem is to disabuse you of this misimpression before you form it.

As Griffiths explains on pages 385-387 (344-345 in 1st Ed.), the Aharonov-Bohm effect modifies the energy eigenvalues of suitably chosen quantum mechanical systems. In this problem, I ask you to work through the same physical example that Griffiths uses, but in a different fashion which makes more use of gauge invariance.

Imagine a particle constrained to move on a circle of radius $b$ (a bead on a wire ring, if you like.) Along the axis of the circle runs a solenoid of radius $a<b$, carrying a magnetic field $\vec{B}=\left(0,0, B_0\right)$. The field inside the solenoid is uniform

and the field outside the solenoid is zero. The setup is depicted in Griffiths’ Fig. 10.10. (10.12 in 1st Ed.)
(a) Construct a vector potential $\vec{A}$ which describes the magnetic field (both inside and outside the solenoid) and which has the form $A_r=A_z=0$ and $A_\phi=\alpha(r)$ for some function $\alpha(r)$. I am using cylindrical coordinates $z, r$, $\phi$.
(b) Since $\vec{\nabla} \times \vec{A}=0$ for $r>a$, it must be possible to write $\vec{A}=\vec{\nabla} f$ in any simply connected region in $r>a$. [This is a theorem in vector calculus.] Show that if we find such an $f$ in the region
$$
r>a \text { and }-\pi+\epsilon<\phi<\pi-\epsilon,
$$
then
$$
f(r, \pi-\epsilon)-f(r,-\pi+\epsilon) \rightarrow \Phi \text { as } \epsilon \rightarrow 0 .
$$
Here, the total magnetic flux is $\Phi=\pi a^2 B_0$. Now find an explicit form for $f$, which is a function only of $\phi$.
(c) Now consider the motion of a “bead on a ring”: write the Schrödinger equation for the particle constrained to move on the circle $r=b$, using the $\vec{A}$ you found in (a). Hint: the answer is given in Griffiths.
(d) Use the $f(\phi)$ found in (b) to gauge transform the Schrödinger equation for $\psi(\phi)$ within the angular region $-\pi+\epsilon<\phi<\pi-\epsilon$ to a Schrödinger equation for a free particle within this angular region. Call the original wave function $\psi(\phi)$ and the gauge-transformed wave function $\psi^{\prime}(\phi)$.
(e) The original wave function $\psi$ must be single-valued for all $\phi$, in particular at $\phi=\pi$. That is, $\psi(\pi-\epsilon)-\psi(-\pi+\epsilon) \rightarrow 0$ and $\frac{\partial \psi}{\partial \phi}(\pi-\epsilon)-\frac{\partial \psi}{\partial \phi}(-\pi+\epsilon) \rightarrow 0$ as $\epsilon \rightarrow 0$. What does this say about the gauge-transformed wave function? I.e., how must $\psi^{\prime}(\pi-\epsilon)$ and $\psi^{\prime}(-\pi+\epsilon)$ be related as $\epsilon \rightarrow 0$ ?
[Hint: because the $f(\phi)$ is not single valued at $\phi=\pi$, the gauge transformed wave function $\psi^{\prime}(\phi)$ is not single valued there either.]
(f) Solve the Schrödinger equation for $\psi^{\prime}$, and find energy eigenstates which satisfy the boundary conditions you derived in (e). What are the allowed energy eigenvalues?
(g) Undo the gauge transformation, and find the energy eigenstates $\psi(\phi)$ in the original gauge. Do the energy eigenvalues in the two gauges differ?
(h) Plot the energy eigenvalues as a function of the enclosed flux, $\Phi$. Show that the energy eigenvalues are periodic functions of $\Phi$ with period $\Phi_0$, where you must determine $\Phi_0$. For what values of $\Phi$ does the enclosed magnetic field have no effect on the spectrum of a particle on a ring? Show that the

Aharonov-Bohm effect can only be used to determine the fractional part of $\Phi / \Phi_0$.
[Note: you have shown that even though the bead on a ring is everywhere in a region in which $\vec{B}=0$, the presence of a nonzero $\vec{A}$ affects the energy eigenvalue spectrum. However, the effect on the energy eigenvalues is determined by $\Phi$, and is therefore gauge invariant. To confirm the gauge invariance of your result, you can compare your answer for the energy eigenvalues to Griffiths’ result, obtained using a different gauge.]

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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澳洲代写｜COMP30027｜Machine Learning机器学习墨尔本大学

Posted on 2023年10月12日2023年10月12日 by statistics-lab

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课程介绍：

Machine Learning, a core discipline in data science, is prevalent across Science, Technology, the Social Sciences, and Medicine; it drives many of the products we use daily such as banner ad selection, email spam filtering, and social media newsfeeds. Machine Learning is concerned with making accurate, computationally efficient, interpretable and robust inferences from data. Originally borne out of Artificial Intelligence, Machine Learning has historically been the first to explore more complex prediction models and to emphasise computation, while in the past two decades Machine Learning has grown closer to Statistics gaining firm theoretical footing.

澳洲代写｜COMP30027｜Machine Learning机器学习墨尔本大学

Machine Learning机器学习问题集

问题 1.

The data and scripts for this problem are available in hw2/prob1. You can load the data using the MATLAB script load_al_data. This script should load the matrices y_noisy, y_true, X_in. The $y$ vectors are $n \times 1$ while $\mathrm{X}{-}$in is a $n \times 3$ matrix with each row corresponding to a point in $\mathcal{R}^3$. The $y{\text {true }}$ vectors correspond to the ideal $y$ values, generated directly from the “true” model (whatever it may be) without any noise. In contrast, the $y_{\text {noisy }}$ vectors are the actual, noisy observations, generated by adding Gaussian noise to the $y_{\text {true }}$ vectors. You should use $y_{n o i s y}$ for any estimation. $y_{\text {true }}$ is provided only to make it easier to evaluate the error in your predictions (simulate an infinite test data). You would not have $y_{\text {true }}$ in any real task.
(a) Write MATLAB functions theta = linear_regress $(\mathrm{y}, \mathrm{X})$ and $\mathrm{y}$ hat $=$ linear_pred(theta, X_test). Note that we are not explicitly including the offset parameter but instead rely on the feature vectors to provide a constant component. See part (b).
(b) The feature mapping can substantially affect the regression results. We will consider two possible feature mappings:
$$
\begin{aligned}
& \phi_1\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left[1, x_1, x_2, x_3\right]^T \
& \phi_2\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left[1, \log x_1^2, \log x_2^2, \log x_3^2\right]^T
\end{aligned}
$$
Use the provided MATLAB function feature mapping to transform the input data matrix into a matrix
$$
X=\left[\begin{array}{c}
\phi\left(\mathbf{x}1\right)^T \ \phi\left(\mathbf{x}_2\right)^T \ \cdots \ \phi\left(\mathbf{x}{\mathbf{n}}\right)^T
\end{array}\right]
$$
For example, $\mathrm{X}$ = feature_mapping ( $\mathrm{X}_{-}$in, 1 ) would get you the first feature representation. Using your completed linear regression functions, compute the mean squared prediction error for each feature mapping (2 numbers).

问题 2.

(c) The selection of points to query in an active learning framework might depend on the feature representation. We will use the same selection criterion as in the lectures, the expected squared error in the parameters, proportional to $\operatorname{Tr}\left[\left(X^T X\right)^{-1}\right]$. Write a MATLAB function $\mathrm{idx}=\operatorname{active_ learn}(\mathrm{X}, \mathrm{k} 1, \mathrm{k} 2)$. Your function should assume that the top $k_1$ rows in $X$ have been queried and your goal is to sequentially find the indices of the next $k_2$ points to query. The final set of $k_1+k_2$ indices should be returned in idx. The latter may contain repeated entries. For each feature mapping, and $k_1=5$ and $k_2=10$, compute the set of points that should be queried (i.e., $\mathrm{X}(:, \mathrm{idx})$ ). For each set of points, use the feature mapping $\phi_2$ to perform regression and compute the resulting mean squared prediction errors (MSE) over the entire data set (again, using $\phi_2$ ).

问题 3.

(d) Let us repeat the steps of part (c) with randomly selected additional points to query. We have provided a MATLAB function $i d x=\operatorname{randomly}(\operatorname{select}(\mathrm{X}, \mathrm{k} 1, \mathrm{k} 2)$ which is essentially the same as active_learn except that it selects the $k_2$ points uniformly at random from $X$. Repeat the regression steps as in previous part, and compute the resulting mean squared prediction error again. To get a reasonable comparison you should repeat this process 50 times, and use the median MSE. Compare the resulting errors with the active learning strategies. What conclusions can you draw?

问题 4.

(e) Let us now compare the two sets of points chosen by active learning due to the different feature representations. We have provided a function plot_points(X,idx_r,idx_b) which will plot each row of $X$ as a point in $\mathbf{R}^3$. The points indexed by $i d x _r$ will be circled in red and those marked by idx_b will be circled (larger) in blue (some of the points indexed by idx_r and idx_b might be common). Plot the original data points using the indexes of the actively selected points based on the two feature representations. Also plot the same indexes using $\mathrm{X}$ from the second feature representation with its first constant column removed. In class, we saw an example where the active learning strategy chose points at the extrema of the available space. Can you see evidence of this in the two plots?

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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澳洲代写｜MAST30021｜Complex Analysis复杂分析墨尔本大学

Posted on 2023年10月12日2023年10月12日 by statistics-lab

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课程介绍：

Complex analysis is a core subject in pure and applied mathematics, as well as the physical and engineering sciences. While it is true that physical phenomena are given in terms of real numbers and real variables, it is often too difficult and sometimes not possible, to solve the algebraic and differential equations used to model these phenomena without introducing complex numbers and complex variables and applying the powerful techniques of complex analysis.

Topics include:the topology of the complex plane; convergence of complex sequences and series; holomorphic functions, the Cauchy-Riemann equations, harmonic functions and applications; contour integrals and the Cauchy Integral Theorem; singularities, Laurent series, the Residue Theorem, evaluation of integrals using contour integration, conformal mapping; and aspects of the gamma function.

澳洲代写｜MAST30021｜Complex Analysis复杂分析墨尔本大学

Complex Analysis复杂分析问题集

问题 1.

By writing $z$ in the form $z=a+b \mathrm{i}$, find all solutions $z$ of the following equations:
(i) $z^2=-5+12 \mathrm{i}$
(ii) $z^2=2+\mathrm{i}$
(iii) $(7+24 \mathrm{i}) z=375$
(iv) $z^2-(3+\mathrm{i}) z+(2+2 \mathrm{i})=0$
(v) $z^2-3 z+1+\mathrm{i}=0$

问题 2.

If $\lambda$ is a positive real number, show that
$$
{z \in \mathbb{C}:|z|=\lambda|z-1|}
$$
is a circle, unless $\lambda$ takes one particular value (which?)

问题 3.

Draw the set of points
$$
{z \in \mathbb{C}: \operatorname{re}(z+1)=|z-1|}
$$
by substituting $z=x+\mathrm{i} y$ and computing the real equation relating $x$ and $y$.
Now note that re $(z+1)$ is the distance from $z$ to the line $y=-1$, and $|z-1|$ is the distance between $z$ and 1. Compare with the classical ‘focus-directrix’ definition of a parabola: the locus of a point equidistant from a fixed line (here $y=-1$ ) and a fixed point (here $(x, y)=(1,0)$ ).

问题 4.

Let $r, s, \theta, \phi$ be real. Let
$$
\begin{aligned}
z & =r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) \
w & =s(\cos \phi+\mathrm{i} \sin \phi)
\end{aligned}
$$
Form the product $z w$ and use the standard formulas for $\cos (\theta+\phi), \sin (\theta+\phi)$ to show that $\arg (z w)=\arg (z)+\arg (w)$ (for any values of $\arg$ on the right, and some value of arg on the left).
By induction on $n$, derive De Moivre’s Theorem
$$
(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)^n=\cos n \theta+\mathrm{i} \sin n \theta
$$
for all natural numbers $n$.

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

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澳洲代写｜MAST90125｜Bayesian Statistical Learning贝叶斯统计学习墨尔本大学

Posted on 2023年10月12日2023年10月12日 by statistics-lab

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课程介绍：

Bayesian inference treats all unknowns as random variables, and the core task is to update the probability distribution for each unknown as new data is observed. After introducing Bayes’ Theorem to transform prior probabilities into posterior probabilities, the first part of this subject introduces theory and methodological aspects underlying Bayesian statistical learning including credible regions, comparisons of means and proportions, multi-model inference and model selection. The second part of the subject focuses on advanced supervised and unsupervised Bayesian machine learning methods in the context of Gaussian processes and Dirichlet processes. The subject will also cover practical implementations of Bayesian methods through Markov Chain Monte Carlo computing and real data applications.

澳洲代写｜MAST90125｜Bayesian Statistical Learning贝叶斯统计学习墨尔本大学

Bayesian Statistical Learning贝叶斯统计学习问题集

Example 3: Given the condition $C$ of a symmetrical die the probability is $2 / 6=1 / 3$ to throw a two or a three according to the classical definition (2.24) of probability.
$\Delta$
Example 4: A card is taken from a deck of 52 cards under the condition $C$ that no card is marked. What is the probability that it will be an ace or a diamond? If $A$ denotes the statement of drawing a diamond and $B$ the one of drawing an ace, $P(A \mid C)=13 / 52$ and $P(B \mid C)=4 / 52$ follow from (2.24). The probability of drawing the ace of diamonds is $P(A B \mid C)=1 / 52$. Using (2.17) the probability of an ace or diamond is then $P(A+B \mid C)=$ $13 / 52+4 / 52-1 / 52=4 / 13$.

Example 5: Let the condition $C$ be true that an urn contains 15 red and 5 black balls of equal size and weight. Two balls are drawn without being replaced. What is the probability that the first ball is red and the second one black? Let $A$ be the statement to draw a red ball and $B$ the statement to draw a black one. With $(2.24)$ we obtain $P(A \mid C)=15 / 20=3 / 4$. The probability $P(B \mid A C)$ of drawing a black ball under the condition that a red one has been drawn is $P(B \mid A C)=5 / 19$ according to (2.24). The probability of drawing without replacement a red ball and then a black one is therefore $P(A B \mid C)=(3 / 4)(5 / 19)=15 / 76$ according to the product rule (2.12).

Example 6: The grey value $g$ of a picture element, also called pixel, of a digital image takes on the values $0 \leq g \leq 255$. If 100 pixels of a digital image with $512 \times 512$ pixels have the gray value $g=0$, then the relative frequency of this value equals $100 / 512^2$ according to (2.24). The distribution of the relative frequencies of the gray values $g=0, g=1, \ldots, g=255$ is called a histogram.
$\Delta$

Axioms of Probability
Probabilities of random events are introduced by axioms for the probability theory of traditional statistics, see for instance KосH (1999, p.78). Starting from the set $S$ of elementary events of a random experiment, a special system $Z$ of subsets of $S$ known as $\sigma$-algebra is introduced to define the random events. $Z$ contains as elements subsets of $S$ and in addition as elements the
10
2 Probability
empty set and the set $S$ itself. $Z$ is closed under complements and countable unions. Let $A$ with $A \in Z$ be a random event, then the following axioms are presupposed,

Axiom 1: A real number $P(A) \geq 0$ is assigned to every event $A$ of $Z . P(A)$ is called the probability of $A$.
Axiom 2: The probability of the sure event is equal to one, $P(S)=1$.
Axiom 3: If $A_1, A_2, \ldots$ is a sequence of a finite or infinite but countable number of events of $Z$ which are mutually exclusive, that is $A_i \cap A_j=\emptyset$ for $i \neq j$, then
$$
P\left(A_1 \cup A_2 \cup \ldots\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\ldots .
$$
The axioms introduce the probability as a measure for the sets which are the elements of the system $Z$ of random events. Since $Z$ is a $\sigma$-algebra, it may contain a finite or infinite number of elements, whereas the rules given in Chapter 2.1.4 and 2.1.5 are valid only for a finite number of statements.
If the system $Z$ of random events contains a finite number of elements, the $\sigma$-algebra becomes a set algebra and therefore a Boolean algebra, as already mentioned at the end of Chapter 2.1.2. Axiom 1 is then equivalent to the requirement 1 of Chapter 2.1.4, which was formulated with respect to the plausibility. Axiom 2 is identical with (2.13) and Axiom 3 with (2.21), if the condition $C$ in (2.13) and (2.21) is not considered. We may proceed to an infinite number of statements, if a well defined limiting process exists. This is a limitation of the generality, but is is compensated by the fact that the probabilities (2.12) to (2.14) have been derived as rules by consistent and logical reasoning. This is of particular interest for the product rule (2.12). It is equivalent in the form
$$
P(A \mid B C)=\frac{P(A B \mid C)}{P(B \mid C)} \text { with } \quad P(B \mid C)>0,
$$
if the condition $C$ is not considered, to the definition of the conditional probability of traditional statistics. This definition is often interpreted by relative frequencies which in contrast to a derivation is less obvious.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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澳洲代写随机过程Stochastic process代考2023

Posted on 2023年10月10日2023年10月10日 by statistics-lab

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随机过程Stochastic process代考

在数学中，更确切地说，在概率论中，随机过程（或随机过程）是动态系统概念的概率版本。随机过程是某个参数（通常是时间）的实函数的有序集合，具有某些统计特性。一般来说，可以将这一过程确定为实数随机变量 $X(t)$ 的单参数族，代表从初始状态到一定时间 $t$ 之后的状态的变换。更精确地说，这是基于实数极限上的随机变量（如 $\mathbb{R}^n$，或函数空间，或实数的连续）。当时间参数也被考虑在内时，随机过程就是随机变量概念的扩展。

随机过程Stochastic process包含几个不同的主题，列举如下：

泛函分析Functional analysis代写代考

函数分析（也写作函数分析，Analyse fonctionnelle，法语。也称拓扑分析）。是数学（尤其是分析）的一个分支，起源于对傅立叶变换、微分方程和积分方程的研究。它研究函数空间的结构，为由某类函数组成的向量空间定义了某种拓扑结构，并研究由其公理化得到的线性拓扑空间。主要兴趣在于通过各种函数空间上由积分和微分定义的线性算子的行为，对积分和微分方程进行线性代数处理，这通常被视为无穷维向量空间上的线性代数。它也可被视为无穷维空间上的微分和积分微积分，因为它涉及无穷维空间上的导数（如弗雷谢特导数）。

傅立叶分析Fourier analysis代写代考

在数学分析中，傅里叶分析，也称为调和分析，是一个研究分支，始于让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶的研究，他在十九世纪初成功地用数学方法证明了如何将任何周期函数分解为无限“适当”正弦函数或分量（正弦和余弦）的总和，称为谐波。从这一观察中诞生了将复杂函数分解为一系列函数（称为傅里叶级数）的想法，使它们的分析更简单、更有利。傅里叶变换的概念以及相关的频域概念也源自傅里叶级数的数学概念。

其他相关科目课程代写：

数学模型Mathematical model
线性代数Linear algebra
概率学Probability

随机过程Stochastic process定义

随机或随机过程可以定义为由某个数学集合索引的随机变量集合，这意味着随机过程中的每个随机变量都与集合中的某个元素唯一相关。从历史上看，索引集是实线的某个子集，如自然数，这就赋予了索引集时间的解释[1]。例如，状态空间可以是整数、实线或……。n 维欧几里得空间]。增量是随机过程在两个指数值之间的变化量，通常被解释为两个时间点。由于随机性，随机过程可以有很多结果，随机过程的单一结果被称为样本函数或实现。

许多领域使用观测值作为时间的函数（或者，更罕见的是，空间变量）。在最简单的情况下，这些观察结果会产生一条明确的曲线。事实上，从地球科学到人文学科，观测或多或少都会出现不稳定的情况。因此，对这些观察结果的解释存在一定的不确定性，这可能反映在使用概率来表示它们上。

随机过程概括了概率中使用的随机变量的概念。它被定义为与所有值 t ∈ T（通常是时间）相关的一系列随机变量 X(t)。

从统计的角度来看，我们将所有可用的观测值x(t)视为过程的实现，这会带来一定的困难。第一个问题涉及以下事实：构建过程的持续时间通常是无限的，而实现则涵盖有限的持续时间。因此，不可能完美地再现现实。第二个更严重的困难是，与随机变量问题不同，有关过程的可用信息通常被简化为单个实现。

A stochastic or stochastic process can be defined as a collection of random variables indexed by some mathematical set, which means that each random variable in the stochastic process is uniquely related to some element in the set. Historically, the index set was some subset of the real lines, such as the natural numbers, which gave the index set a temporal interpretation. For example, the state space can be integers, solid lines, or… n-dimensional Euclidean space]. An increment is the amount of change of a random process between two exponential values, usually interpreted as two points in time. Due to randomness, a random process can have many outcomes, and a single outcome of a random process is called a sample function or realization.

Many fields use observations as functions of time (or, more rarely, spatial variables). In the simplest case, these observations yield a well-defined curve. In fact, from the earth sciences to the humanities, observations are more or less unstable. Therefore, there is a certain uncertainty in the interpretation of these observations, which may be reflected in the use of probabilities to express them.

Stochastic processes generalize the concept of random variables used in probability. It is defined as a sequence of random variables X(t) related to all values t ∈ T (usually time).

From a statistical perspective, we treat all available observations x(t) as realizations of the process, which creates certain difficulties. The first problem concerns the fact that the duration of the build process is usually infinite, whereas the implementation covers a finite duration. Therefore, it is impossible to perfectly reproduce reality. A second, more serious difficulty is that, unlike random variable problems, the available information about the process is often reduced to a single realization.

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随机过程Stochastic process的重难点

什么是伯努利过程Bernoulli process？

每个单一随机变量 $X_{mathrm{i}}$ 只能提供两种结果：成功 (1) 或失败 $(0)$，概率分别为 $p$ 和 $q=1$ – $p$ ：

$p$ e $q=1$ – $p$ :
$$
\begin{aligned}
& P\left(X_i=1\right)=p ; \
& P\left(X_i=0\right)=q=1-p .
\end{aligned}
$$

遵循二项式定律 $B(n,p)$，概率为

$$
P\left(S_n=k\right)=\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) p^k q^{n-k}
$$

等于$k$成功和$n-k$失败的序列数乘以其中任何一个出现的概率。
获得一次成功所需的投掷次数由随机变量 $N$ 给出，该随机变量遵循几何比率定律 $q$。

$$
P(N=n)=P\left(S_{n-1}=0\right) \cdot P\left(X_n=1\right)=q^n \frac{p}{q} .
$$

更一般地说，获得 $k$ 成功所需的投掷次数由随机变量 $N_k$ 给出，其规律为
$P\left(N_k=n\right)=P\left(S_{n-1}=k-1\right) \cdot P\left(X_n=1\right)=\left(\begin{array}{c}n-1 \ k-1\end{array}\right) p^k q^{n-k}$
特别是，失败的次数由帕斯卡定律（或负二项式）的随机变量 $P_k=N_k-n$ $P(p, k)$ 给出

$$
P\left(P_k=r\right)=P\left(N_k=r+k\right)=\left(\begin{array}{c}
r+k-1 \
k-1
\end{array}\right) p^k q^r=(-1)^k\left(\begin{array}{c}
-r \
k
\end{array}\right) p^k q^r
$$
Applicazioni
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什么是随机漫步Random walk？

在一维随机游走中，研究了被约束在两个允许方向上沿直线移动的点粒子的运动。每次移动时，它都会（随机）向右移动一步（以固定概率 $p$）或以概率 $1-p$ 向左移动，并且每一步长度相等且彼此独立。我们的目标是计算在 $\mathrm{N}$ 运动后粒子将返回（如果它返回的话！）到起点的概率。我们引入以下随机变量 $X(N)$，它提供 $N$ 运动后向左迈出的步数；特别是，它模拟了经过适当操纵的硬币投掷 $N$ 后出现的正面的数量。显然这是一个二项式分布的离散随机变量。我们还注意到，事件“返回原点”相当于在 $2 N$ 总步数中向左精确走了 $N$ 步；因此，所寻求的概率相当于 $P{X=N}$，其中二项式 $X$ 的参数为 $n=2 N, k=N, p$ 因此

什么是因子分析Factor analysis？

该模型试图用一组 $k$ 的公共因子 $\left(f_{i, j}\right)$ 来解释 $n$ 个体中每个个体的 $p$ 观察值，其中每个单位的因子数量少于每个单位的观察值 $(k<p)$。每个个体都有自己的 $k$ 共同因子，这些因子通过因子载荷矩阵 $(left(L)(in\mathbb{R}^{p\times k}\right)$与观测值相关，对于单个观测值，根据

$$
P{X=N}=\frac{(2 N) !}{N !(2 N-N) !} p^N(1-p)^N=\left(\begin{array}{c}
2 N \
N
\end{array}\right)\left(p-p^2\right)^N .
$$

例如，如果粒子在每一步 $(p=1 / 2)$ 向左或向右移动的机会均等，则在 $2 N$ 步骤后返回原点的概率为

$$
P{X=N}=\left(\begin{array}{c}
2 N \
N
\end{array}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{2 N} \approx \frac{1}{\sqrt{N \pi}},
$$我们对足够大的 $N$ 应用斯特林近似，

$$
N ! \sim \sqrt{2 \pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^N .
$$现在记住随机变量的期望值由下式给出

$$
E[X]=\sum_{n=0}^{\infty} n P(n)
$$

随机过程Stochastic process的相关课后作业范例

这是一篇关于多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的作业

问题 1.

Show that in successive tosses of a fair die indefinitely, the probability of obtaining no 6 is 0 .

Solution: For $n \geq 1$, let $E_n$ be the event of at least one 6 in the first $n$ tosses of the die. Clearly,
$$
E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq E_{n+1} \subseteq \cdots .
$$
Therefore, $E_n$ ‘s form an increasing sequence of events. Note that $\lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcup{i=1}^{\infty} E_i$ is the event that in successive tosses of the die indefinitely, eventually a 6 will occur. By the Continuity of the Probability Function (Theorem 1.8), we have
$$
P\left(\lim {n \rightarrow \infty} E_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(E_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty}\left[1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\right]=1-\lim {n \rightarrow \infty}\left(\frac{5}{6}\right)^n=1-0=1 .
$$
This shows that, with probability 1 , eventually a 6 will occur. Therefore, the probability of no 6 ever is 0 .

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澳洲代写多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考2023

Posted on 2023年10月10日2023年10月17日 by statistics-lab

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多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考

多元统计是统计学的一个分支，包括同时观察和分析一个以上的结果变量，即多元随机变量。多元统计涉及了解每种不同形式的多元分析的不同目的和背景，以及它们之间的关系。将多元统计实际应用于某一特定问题时，可能会涉及几种类型的单变量和多元分析，以便了解变量之间的关系及其与所研究问题的相关性。

此外，多元统计还涉及多元概率分布，既包括

如何使用它们来表示观测数据的分布；
如何将它们用作统计推断的一部分，特别是在同一分析涉及多个不同数量的情况下。
涉及多元数据的某些类型的问题，例如简单线性回归和多元回归，通常不被视为多元统计的特例，因为分析是通过考虑给定其他变量的单一结果变量的（单变量）条件分布来处理的。

多元统计分析Multivariate Statistical Analysis包含几个不同的主题，列举如下：

概率论Probability distribution代写代考

在概率论中，当随机变量单独成为概率讨论的主题时，就要考虑该变量的分布。例如，如果知道变量的分布，就可以计算出随机变量取某值的概率、期望值和方差等量。反之，如果考虑分布，变量 $\omega$ 与随机变量之间就失去了对应关系，与其他随机变量的关系也变得不明确。例如，如果给出随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布分别为 $P_X$ 和 $P_Y$，由于不知道两个变量之间的关系，因此无法计算 $X+Y$ 取某值的概率、乘积 $X Y$ 的期望值和 $X+Y$ 的方差等量。要计算这些量，需要同时得到 $X$ 和 $Y$ 的概率分布 $P_{X，Y}$。
常用的概率分布都有自己的名称，其性质也得到了很好的研究。研究成果可用于具有此类分布的随机变量。例如，如果随机变量的分布是均值为 0、方差为 1 的正态分布，那么从表中可以看出变量值为 2 或 2 以上的概率为 2.28%$。

简单线性回归Simple linear regression代写代考

在统计学中，简单线性回归是一种具有单一解释变量的线性回归模型。也就是说，它涉及具有一个自变量和一个因变量（通常是直角坐标系中的 x 坐标和 y 坐标）的二维样本点，并找到一个线性函数（非垂直直线），尽可能准确地预测因变量值与自变量的函数关系。形容词 “简单 “指的是结果变量与单一预测因子相关。

通常还规定应使用普通最小二乘法（OLS）：每个预测值的准确性由其残差平方（数据集点与拟合线之间的垂直距离）来衡量，目标是使这些平方差之和尽可能小。其他可替代普通最小二乘法的回归方法包括最小绝对偏差法（最小化残差绝对值之和）和 Theil-Sen 估计法（选择一条斜率为样本点对确定的斜率中值的直线）。戴明回归（总最小二乘法）也能找到一条与二维样本点集合拟合的直线，但（与普通最小二乘法、最小绝对偏差和中位斜率回归不同）它并不是真正的简单线性回归，因为它没有将坐标分为一个因变量和一个自变量，有可能返回一条垂直线作为拟合结果。

其他相关科目课程代写：

回归分析Regression analysis
因变量和自变量Dependent and independent variables
统计推断Statistical inference

多元统计分析Multivariate Statistical Analysis定义

多变量分析（MVA）以多变量统计原理为基础。通常，多变量分析用于处理对每个实验单元进行多次测量的情况，这些测量之间的关系及其结构非常重要：

正态和一般多元模型及分布理论
关系的研究与测量
多维区域的概率计算
数据结构和模式的探索
多变量分析可能会因希望进行物理分析以计算变量对分层 “系统体系 “的影响而变得复杂。希望使用多变量分析的研究常常因问题的维度而停滞不前。使用代用模型（基于物理的代码的高精度近似值）往往可以缓解这些问题。由于代用模型采用方程形式，因此可以非常快速地进行评估。这为大规模 MVA 研究提供了有利条件：在设计空间内进行蒙特卡罗模拟对于基于物理的代码来说非常困难，而在评估代用模型（通常采用响应面方程的形式）时则变得微不足道。

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多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的重难点

什么是多变量方差分析Multivariate analysis of variance？

在统计学中，多元方差分析（MANOVA）是一种比较多元样本均值的程序。作为一种多变量程序，它适用于有两个或两个以上因变量的情况，并且通常会对各个因变量分别进行显著性检验。

在与图像无关的情况下，因变量可以是在连续时间点测量的 k 个生活满意度得分和在连续时间点测量的 p 个工作满意度得分。在这种情况下，有 k+p 个因变量，它们的线性组合遵循多元正态分布、多元方差-协方差矩阵同质性和线性关系，不存在多重共线性，且每个因变量都没有异常值。

假设有 $n q$ 维观测值，其中第 $i^{prime}$ 个观测值 $y_i$ 被分配到组 $g(i) \in{1, \ldots, m}$ 中，并围绕组中心 $\mu^{(g(i))} 分布。\in \mathbb{R}^q$ 与多变量高斯噪声：
$$
y_i=\mu^{(g(i))}+\varepsilon_i \quad \varepsilon_i \stackrel{text { i.i.d. }}{\sim} \mathcal{N}_q(0, \Sigma) \quad \text { for } i=1, \ldots, n
$$
其中 $\Sigma$ 是协方差矩阵。然后，我们将零假设表述为
$$
H_0: \mu^{(1)}=\mu^{(2)}=\cdots=\mu^{(m)}
$$

什么是主成分分析Principal component analysis？

PCA 被定义为一种正交线性变换，它将数据转换到一个新的坐标系中，使数据的某个标量投影的最大方差位于第一个坐标上（称为第一个主成分），第二个最大方差位于第二个坐标上，以此类推${ }^{[12]}$
考虑一个$n \times p$ 的数据矩阵, $\mathrm{X}$,其列的经验平均值为零（每列的样本平均值已被移至零），其中每行 $n$ 表示实验的不同重复，每列 $p$ 表示一种特定的特征（例如，来自特定传感器的结果）。
在数学上，变换由一组大小为 $l$ 的 $p$ 维权重或系数向量定义 s $\mathbf{w}{(k)}=\left(w_1, \ldots, w_p\right){(k)}$、将$\mathbf{x}_{(i)}$的每个行向量 $\mathbf{X}$映射到一个新的主成分得分向量s $\mathbf{t}{(i)}=\left(t_1, \ldots, t_l\right){(i)}$。
上图是一个树枝图，用于帮助解释 PCA 并决定保留多少个成分。折线的起点（拐点）应表示保留多少个成分，因此在本例中，应保留三个因子。

$$
t_{k(i)}=\mathbf{x}{(i)} \cdot \mathbf{w}{(k)} \quad \text { for } \quad i=1, \ldots, n \quad k=1, \ldots, l
$$

这样，在数据集上考虑$t_1, \ldots, t_l$ of $\mathbf{t}$ 的单个变量 $t_1，\ldots，t_l$ 将连续地从 $\mathbf{X}$ 继承可能的最大方差，每个系数向量 $\mathbf{w}$ 被约束为一个单位向量（通常选择 $l$ 严格小于 $p$，以降低维度）。

什么是因子分析Factor analysis？

$$
x_{i, m}-\mu_i=l_{i, 1} f_{1, m}+\cdots+l_{i, k} f_{k, m}+\varepsilon_{i, m}
$$
其中

$x_{i, m}$ 是第 $m$ 个体的第 $i$ 次观测值、
$mu_i$ 是第 i 个观测值的观测平均值、
$l_{i, j}$ 是 $i$ 观测值在 $j$ 因子中的负荷、
$f_{j, m}$ 是第 $m$ 个体的第 $j$ 个因子的值，以及
$varepsilon_{i, m}$ 是第 $(i, m)$ 个未观测到的随机误差项，其均值为零，方差有限。
用矩阵符号表示
$$
X-\mathrm{M}=L F+\varepsilon
$$
其中，观测矩阵$X \in \mathbb{R}^{p \times n}$，加载矩阵$L \in \mathbb{R}^{p \times k}$，因子矩阵$F \in \mathbb{R}^{k \times n}$，误差项矩阵$\varepsilon \in \mathbb{R}^{p \times n}$，均值矩阵$\mathrm{M} \in \mathbb{R}^{p \times n}$ 个元素为 $\mathrm{M}_{i, m}=\mu_i$。
同时，我们将对 $F$ 作如下假设：
$F$ 和 $\varepsilon$ 是独立的。
$\mathrm{E}(F)=0$; 其中 $\mathrm{E}$ 是期望值。
$operatorname{Cov}(F)=I$；其中，$operatorname{Cov}$ 是协方差矩阵，以确保各因子互不相关，而 $I$ 是同一矩阵。
假设 $\operatorname{Cov}(X-\mathrm{M})=\Sigma$。那么
$$
\Sigma=\operatorname{Cov}(X-\mathrm{M})=\operatorname{Cov}(L F+\varepsilon)、
$$
因此，根据上述施加于 $F$ 的条件 1 和 2，$E[L F]=L E[F]=0$ 和 $\operatorname{Cov}(L F+\epsilon)=\operatorname{Cov}(L F)+\operatorname{Cov}(\epsilon)$ ，得出
$$
\Sigma=L \operatorname{Cov}(F) L^T+\operatorname{Cov}(\varepsilon)
$$
或者，设置 $\Psi:=\operatorname{Cov}(\varepsilon)$、
$$
\Sigma=L L^T+\Psi .
$$
请注意，对于任意正交矩阵 $Q$，如果我们设置 $L^{\prime}=L Q$ 和 $F^{\prime}=Q^T F$，因子和因子载荷的标准仍然成立。因此，一组因子和因子载荷只有在正交变换时才是唯一的。

多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的相关课后作业范例

这是一篇关于多元统计分析Multivariate Statistical Analysis的作业

问题 1.

If $\mathbf{\Sigma}$ is positive definite, so that $\Sigma^{-1}$ exists, then
$$
\mathbf{\Sigma} \mathbf{e}=\lambda \mathbf{e} \text { implies } \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}=\left(\frac{1}{\lambda}\right) \mathbf{e}
$$
so $(\lambda, \mathbf{e})$ is an eigenvalue-eigenvector pair for $\mathbf{\Sigma}$ corresponding to the pair $(1 / \lambda, \mathbf{e})$ for $\mathbf{\Sigma}^{-1}$. Also, $\mathbf{\Sigma}^{-1}$ is positive definite.

Proof. For $\Sigma$ positive definite and $\mathbf{e} \neq \mathbf{0}$ an eigenvector, we have $0<\mathbf{e}^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{e}=\mathbf{e}^{\prime}(\mathbf{\Sigma} \mathbf{e})$ $=\mathbf{e}^{\prime}(\lambda \mathbf{e})=\lambda \mathbf{e}^{\prime} \mathbf{e}=\lambda$. Moreover, $\mathbf{e}=\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{\Sigma} \mathbf{e})=\mathbf{\Sigma}^{-1}(\lambda \mathbf{e})$, or $\mathbf{e}=\lambda \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}$, and division by $\lambda>0$ gives $\mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}=(1 / \lambda)$ e. Thus, $(1 / \lambda, \mathbf{e})$ is an eigenvalue-eigenvector pair for $\mathbf{\Sigma}^{-1}$. Also, for any $p \times 1 \mathbf{x}$, by $(2-21)$
$$
\begin{aligned}
\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{x} & =\mathbf{x}^{\prime}\left(\sum_{i=1}^p\left(\frac{1}{\lambda_i}\right) \mathbf{e}i \mathbf{e}_i^{\prime}\right) \mathbf{x} \ & =\sum{i=1}^p\left(\frac{1}{\lambda_i}\right)\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}i\right)^2 \geq 0 \end{aligned} $$ since each term $\lambda_i^{-1}\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}_i\right)^2$ is nonnegative. In addition, $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}_i=0$ for all $i$ only if $\mathbf{x}=\mathbf{0}$. So $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ implies that $\sum{i=1}^p\left(1 / \lambda_i\right)\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{e}_i\right)^2>0$, and it follows that $\mathbf{\Sigma}^{-1}$ is positive definite.
The following summarizes these concepts:
Contours of constant density for the $p$-dimensional normal distribution are ellipsoids defined by $\mathbf{x}$ such the that
$$
(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})=c^2
$$
These ellipsoids are centered at $\boldsymbol{\mu}$ and have axes $\pm c \sqrt{\lambda_i} \mathbf{e}_i$, where $\mathbf{\Sigma} \mathbf{e}_i=\lambda_i \mathbf{e}_i$ for $i=1,2, \ldots, p$.

A contour of constant density for a bivariate normal distribution with $\sigma_{11}=\sigma_{22}$ is obtained in the following example.

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澳洲代写｜STAT3023｜Statistical Inference统计推断悉尼大学

Posted on 2023年10月10日2023年10月10日 by statistics-lab

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课程介绍：

In today’s data-rich world more and more people from diverse fields are needing to perform statistical analyses and indeed more and more tools for doing so are becoming available; it is relatively easy to point and click and obtain some statistical analysis of your data. But how do you know if any particular analysis is indeed appropriate? Is there another procedure or workflow which would be more suitable? Is there such a thing as the best possible approach in a given situation? All of these questions (and more) are addressed in this unit. You will study the foundational core of modern statistical inference, including classical and cutting-edge theory and methods of mathematical statistics with a particular focus on various notions of optimality. The first part of the unit covers various aspects of distribution theory which are necessary for the second part which deals with optimal procedures in estimation and testing. The framework of statistical decision theory is used to unify many of the concepts. You will apply the methods learnt to real-world problems in laboratory sessions. By completing this unit you will develop the necessary skills to confidently choose the best statistical analysis to use in many situations.

澳洲代写｜STAT3023｜Statistical Inference统计推断悉尼大学

Attribute	Detail
Course Code	STAT3023
Course Title	Statistical Inference
Coordinating Unit	Mathematics and Statistics Academic Operations
Semester	Semester 2, 2023
Mode	Normal day
Delivery Location	Camperdown/Darlington, Sydney
Number of Units	6
Pre-Requisites	Not provided in the text
Lecturers	Associate Professor Paola Labrecciosa

Statistical Inference统计推断案例

问题 1.

Let $X$ be $P(\lambda)$; that is,
$$
f(x)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x !}, \quad x=0,1,2, \ldots, \quad \lambda>0 .
$$
Then, if $\lambda$ is not an integer, $f(x)$ has a unique mode at $x=[\lambda]$. If $\lambda$ is an integer, then $f(x)$ has two modes obtained for $x=\lambda$ and $x=\lambda-1$.

PROOF For $x \geq 1$, we have
$$
\frac{f(x)}{f(x-1)}=\frac{e^{-\lambda} \lambda^x / x !}{e^{-\lambda} \lambda^{x-1} /(x-1) !}=\frac{\lambda}{x} .
$$
Hence $f(x)>f(x-1)$ if and only if $\lambda>x$, and $f(x)=f(x-1)$ if and only if $x=\lambda$ in case $\lambda$ is an integer. Thus, if $\lambda$ is not an integer, $f(x)$ keeps increasing for $x \leq[\lambda]$ and then decreases. Thus the maximum of $f(x)$ occurs at $x=$ [ $\lambda$ ]. If $\bar{\lambda}$ is an integer, then the maximum occurs at $x=\lambda$. But in this case $f(x)=f(x-1)$, which implies that $x=\lambda-1$ is a second point which gives the maximum value to the p.d.f.

问题 2.

(i) Consider the r.v.’s $X$ and $Y$ with $E X=E Y=0$ and $\operatorname{Var}(X)=$ $\operatorname{Var}(Y)=1$. Then always $-1 \leq E(X Y) \leq 1$, and $E(X Y)=1$ if and only if $P(X=Y)=1$, and $E(X Y)=-1$ if and only if $P(X=-Y)=1$.
(ii) For any r.v.’s $X$ and $Y$ with finite expectations and positive variances $\sigma_X^2$ and $\sigma_Y^2$, it always holds:
$$
-\sigma_X \sigma_Y \leq \operatorname{Cov}(X, Y) \leq \sigma_X \sigma_Y,
$$
and $\operatorname{Cov}(X, Y)=\sigma_X \sigma_Y$ if and only if $P\left[Y=E Y+\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X-E X)\right]=1$, $\operatorname{Cov}(X, Y)=-\sigma_X \sigma_Y$ if and only if $P\left[Y=E Y-\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X-E X)\right]=1$.

(i) Clearly, $0 \leq E(X-Y)^2=E X^2+E Y^2-2 E(X Y)=2-2 E(X Y)$, so that $E(X Y) \leq 1$; also, $0 \leq E(X+Y)^2=E X^2+E Y^2+2 E(X Y)=2+2 E(X Y)$, so that $-1 \leq E(X Y)$. Combining these results, we obtain $-1 \leq E(X Y) \leq 1$. As for equalities, observe that, if $P(X=Y)=1$, then $E(X Y)=E X^2=1$, and if $P(X=-Y)=1$, then $E(X Y)=-E X^2=-1$. Next, $E(X Y)=1$ implies $E(X-Y)^2=0$ or $\operatorname{Var}(X-Y)=0$. But then $P(X-Y=0)=1$ or $P(X=Y)=1$ (see Exercise 2.4 in Chapter 3). Also, $E(X Y)=-1$ implies $E(X+Y)^2=0$ or $\operatorname{Var}(X+Y)=0$, so that $P(X=-Y)=1$ (by the exercise just cited).
(ii) Replace the r.v.’s $X$ and $Y$ by the r.v.’s $X^=\frac{X-E X}{\sigma_X}$ and $Y^=\frac{Y-E Y}{\sigma_Y}$, for which $E X^=E Y^=0$ and $\operatorname{Var}\left(X^\right)=\operatorname{Var}\left(Y^\right)={ }^{\sigma_X}$. Then the inequalities $-1 \leq E\left(X^* Y^\right) \leq 1$ become $$ -1 \leq E\left[\left(\frac{X-E X}{\sigma_X}\right)\left(\frac{Y-E Y}{\sigma_Y}\right)\right] \leq 1 $$ from which (31) follows. Also, $E\left(X^ Y^\right)=1$ if and only if $P\left(X^=Y^\right)=$ 1 becomes $E[(X-E X)(Y-E Y)]=\sigma_X \sigma_Y$ if and only if $P\left[Y=E Y+\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right.$ $(X-E X)]=1$, and $E\left(X^ Y^\right)=-1$ if and only if $P\left(X^=-Y^*\right)=1$ becomes $E[(X-E X)(Y-E Y)]=-\sigma_X \sigma_Y$ if and only if $P\left[Y=E Y-\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X-E X)\right]=1$. A restatement of the last two conclusions is: $\operatorname{Cov}(X, Y)=\sigma_X \sigma_Y$ if and only if $P\left[Y=E Y+\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X-E X)\right]=1$, and $\operatorname{Cov}(X, Y)=-\sigma_X \sigma_Y$ if and only if $P\left[Y=E Y-\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\left(\stackrel{\sigma_X}{X}-E X\right)\right]=1$.

问题 3.

COROLLARY 1 If the r.v.’s $X_1, \ldots, X_k$ are independent and distributed as $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, then their sample mean $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{k}\right)$, and $\frac{\sqrt{k}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1)$.

PROOF Here $\bar{X}=Y_1+\cdots+Y_k$, where $Y_i=\frac{X_i}{k}, i=1, \ldots, k$ are independent and $Y_i \sim N\left(\frac{\mu}{k}, \frac{\sigma^2}{k^2}\right)$ by Theorem 2 in Chapter 3 , applied with $c=1 / k$ and $d=0$. Then the conclusion follows by Theorem 4 . The second conclusion is immediate by the part just established and Proposition 1 in Chapter 3, since $\frac{\sqrt{k}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2 / k}}$.

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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多尺度模型代写Multilevel Models代考2023

Posted on 2023年10月9日2023年10月9日 by statistics-lab

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多尺度模型代写Multilevel Models代考

多层次模型（MLM），又称层次线性模型（HLM）、线性混合效应模型、混合模型、嵌套数据模型、随机系数模型、随机效应模型、随机参数模型、拆分模型。也称小区设计，是一种参数在多个层次上变化的统计模型。由学生个人成绩和学生所属班级成绩组成的学生成绩模型就是一个例子。它可以看作是线性模型（特别是线性回归）的一般化，但也可以扩展到非线性模型。自从有了足够的计算能力和软件之后，这些模型变得越来越普遍。

多层次模型特别适用于将参与者数据分为多个层次（嵌套数据）的研究设计。分析单位通常是个人（较低层次），嵌套在上下文和集体单位（较高层次）中。多层次模型的最低层次通常是个体，但也可以对个体进行重复测量。因此，多层次模型为重复测量的单变量或多变量分析提供了另一种选择。可以研究生长曲线的个体差异。此外，多层次模型还可用作方差分析的替代方法，即在根据协变量（如个体差异）调整因变量得分后，检验处理方法的差异。多层次模型可以分析这些实验，而无需假设协方差分析所要求的回归系数的一致性。

虽然多层次模型可以应用于多层次数据，但本文将只讨论最常见的两层模型。因变量需要在最低的分析层次上考虑。

多尺度模型Multilevel Models包含几个不同的主题，列举如下：

随机截距模型Random Intercept Model代写代考

随机截距模型是一种允许截距在组间变化的模型。该模型假定斜率在各组间是恒定的。此外，该模型还提供了类内相关性的信息。这有助于确定是否首先需要多层次模型。

随机斜率模型Random Slope Model代写代考

随机斜率模型是一种允许斜率变化的模型；在这种模型中，不同组间的斜率不同，但假定不同组间的截距不变。

其他相关科目课程代写：

广义线性模型Generalized linear model
广义线性混合模型 Generalized linear mixed model
贝叶斯分层模型Bayesian hierarchical modeling

多尺度模型Multilevel Models分析手法

分析分层数据的方法有几种，其中大多数都存在问题。

首先，根据传统的统计方法，可以将高阶变量分解为个体层次，并在个体层次上进行分析（为每个个体分配类变量）。这种方法的问题在于它违反了独立性假设，可能会使结果产生偏差。这就是所谓的原子谬误。

传统统计方法的另一种可行替代方法是将个体层面的变量汇总为高阶变量，并在高阶变量上进行分析。在这种方法中，由于取的是个体变量的平均值，组内的所有信息都被丢弃了；多达 80-90% 的方差被浪费掉了，汇总变量之间的关系被夸大，从而被扭曲。这就是所谓的生态谬误，从统计学角度看，会导致信息丢失和能力下降。

另一种分析分层数据的方法是使用随机系数模型。该模型假定每个组都有一个不同的回归模型，每个模型都有自己的截距和斜率。由于分组是抽样的，该模型还假设截距和斜率是从分组截距和斜率群体中随机抽取的。这样，分析就可以假设斜率是固定的，但截距可以变化。然而，这样做也有问题。这是因为个体成分和独立成分是独立的，而群体成分只是群体之间独立，群体内部依存。也可以分析斜率是随机的，但误差项的相关性取决于个体水平变量的值。因此，使用随机系数模型分析层次数据的问题在于无法纳入高阶变量。

There are several ways to analyse stratified data, most of which are problematic.

First, according to traditional statistical methods, higher order variables can be decomposed into individual levels and analysed at the individual level (assigning class variables to each individual). The problem with this approach is that it violates the assumption of independence and may bias the results. This is known as the atomic fallacy.

Another viable alternative to the traditional statistical approach is to aggregate the individual level variables into higher order variables and analyse them at the higher order variables. In this approach, all information within the group is discarded as the average of the individual variables is taken; up to 80-90% of the variance is wasted, and the relationships between the aggregated variables are exaggerated and thus distorted. This is known as the ecological fallacy and statistically leads to lost information and reduced power.

Another way to analyse stratified data is to use a random coefficient model. This model assumes that each group has a different regression model, each with its own intercept and slope. Since the groups are sampled, the model also assumes that the intercepts and slopes are randomly drawn from the grouped intercept and slope populations. In this way, the analysis can assume that the slopes are fixed, but the intercepts can vary. However, there are problems with this. This is because the individual and independent components are independent, whereas the group components are only independent between groups and dependent within groups. It is also possible to analyse the slope as random, but the correlation of the error term depends on the value of the individual level variable. The problem with using a random coefficient model to analyse hierarchical data is therefore the inability to incorporate higher order variables.

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多尺度模型Multilevel Models的重难点

什么是第 1 级回归方程Level 1 regression equation？

如果第 1 层有一个自变量，则第 1 层模型如下。
$$
Y_{i j}=\beta_{0 j}+\beta_{1 j} X_{i j}+e_{i j}
$$
$$Y_{i j}$$ – 每个观察值在第 1 层的因变量得分，其中 i 是个案，j 是组。

$X_{i j}$$-第 1 层的预测因子
$\beta_{0 j}$-因变量在第 j 组的截距（第 2 层）
$\beta_{1 j}$- 因变量 $Y_{i j}$ 与第 1 层预测因子 $X_{i j}$ 在第 j 组（第 2 层）之间的斜率
▪ $E_{i j}$-预测第 1 层方程的随机误差 $\left(r_{i j}\right.$)
第 1 级假设一组内的截距和斜率要么没有变化（现实中很少见），要么是非随机变化（可从第 2 级自变量中预测），要么是随机变化（有自己的总体分布）[2]。
如果存在多个一级自变量，则可以通过将向量或矩阵代入方程来扩展模型。
如果响应 $Y_{i j}$ 与预测变量 $X_{i j}$ 之间的关系是非线性的，则可以用非线性函数来表示这种关系，从而将模型扩展为非线性混合效应模型。例如，如果响应 $Y_{i j}$ 代表第 i 个国家的累积感染轨迹，而 $X_{i j}$ 代表第 j 个时间点，则每个国家的有序对 $\left(X_{i j}, Y_{i j}\right)$ 的形式可能类似于 logistic 函数。

什么是开发多层次模型Developing multi-level models？

要进行多层次模型分析，应从固定系数（截距和斜率）开始。每次只能改变一个方面，并与之前的模型进行比较。当研究人员评估一个模型时，他们会检查三件事。第一，它是一个好模型吗？第二，更复杂的模型是否更好？第三，各个预测因子对模型有什么贡献？

为了评估一个模型，需要检查各种模型拟合统计量[2]。其中一种统计量是卡方似然比检验，用于评估模型之间的差异。似然比检验可用于一般模型的建立、检验模型中的效应变化时的情况、将虚拟代码分类变量作为单一效应进行检验等。然而，只有当模型是嵌套的（一个更复杂的模型包括一个更简单模型的所有效应）时，才能使用这种检验。在测试非嵌套模型时，可以使用 Akaike 信息准则（AIC）或贝叶斯信息准则（BIC）对模型进行比较。

什么是2级回归方程Level 2 regression equation？

图形着色是为图形中的某些元素分配颜色，使其满足某些约束条件。最简单地说，就是给所有顶点着色，使相邻顶点不具有相同颜色。这就是顶点着色。同样，边着色是给所有边着色，使相邻边不具有相同颜色的问题；面着色是给平面图中边所围成的每个区域（面）着色，使相邻面不具有相同颜色的问题。

因变量是㧍到第 2 级组的第 1 级自变量的截距和斜率。

$$
\begin{aligned}
& \beta_{0 j}=\gamma_{00}+\gamma_{01} W_j+u_{0 j} \
& \beta_{1 j}=\gamma_{10}+u_{1 j}
\end{aligned}
$$

$\gamma_{00}$ -总截距（当所有预测因子等于 0 时，所有组的因变量得分平均值）

$W_j$ – 二级预测因子。
$\gamma_{01}$ – 因变量 $\beta_{1 j}$与二级预测因子 $W_j$ 之间的总体回归系数（斜率
$u_{0 j}$- 组截距与总体截距之差的随机误差
$\gamma_{10}$ – 因变量$\beta_{1 j}$ 与第 1 层预测因子$X_{i j}$ 之间的总体回归系数（斜率
$u_{1 j}$斜率的误差成分${ }^{[2]}$（总体斜率与组斜率之差）

多尺度模型Multilevel Models的相关课后作业范例

这是一篇关于图论Graph Theoryry的作业

问题 1.

This box summarizes the terminology for the various algebraic terms used in the models i

$y_{i j}$ is the dependent variable: the outcome for individual $i$ living in neighbourhood $j$. Individuals are numbered from $i=1, \ldots, N$ and each lives in one neighbourhood $j=1, \ldots, J$. There are $n_j$ individuals from neighbourhood $j$ so $N=\sum_{j=1}^J n_j$.
$x_{p i j}$ are the independent variables, measured on individual $i$ in neighbourhood $j$. The subscript $p$ is used to distinguish between the variables.
$x_{p j}$ are independent variables, measured at the neighbourhood level; this variable takes the same value for all individuals living in neighbourhood $j$.
$\beta_0$ is used to denote the intercept.
$\beta_p$ is the regression coefficient associated with $x_{p i j}$ or $x_{p j}$.
$u_{0 j}$ is the estimated effect or residual for area $j$. This is the difference in the outcome for an individual in neighbourhood $j$ compared to an individual in the average neighbourhood, after taking into account those characteristics that have been included in the model. The 0 in the subscript denotes that this is a random intercept residual, a departure from the overall intercept $\beta_0$ applying equally to everyone in neighbourhood $j$ regardless of individual characteristics.
$u_{p j}$ is the slope residual for neighbourhood $j$ that is associated with the independent variable $x_{p i j}$ or $x_{p j}$. Just as $u_{0 j}$ denotes a departure from the overall intercept $\beta_0, u_{p j}$ indicates the extent of a departure from the overall slope in a random slope model.
$e_{0 i j}$ is the individual-level residual or error term for individual $i$ in neighbourhood $j$.
$\sigma_{u 0}^2$ is the| variance of the neighbourhood-level intercept residuals $u_{0 j}$.
$\sigma_{u p}^2$ is the variance of the neighbourhood-level slope residuals $u_{p j}$.
$\sigma_{u 0 p}$ is the covariance between the neighbourhood-level intercept residuals $u_{0 j}$ and slope residuals $u_{p j}$.
$\sigma_{e 0}^2$ is the variance of the individual-level errors $e_{0 i j}$.
$\rho_{\mathrm{I}}$ is the intraclass correlation coefficient or the proportion of the total variation in the outcome that is attributable to differences between areas.

最后的总结：

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图论代写Graph Theory代考2023

Posted on 2023年10月7日2023年10月7日 by statistics-lab

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图论代写Graph Theory代考

图形可用于显示不同事物之间的关系。

由六个节点和七条边组成的图形示例
例如，在考虑铁路或公共汽车线路图时，问题是车站（节点）如何通过线路（边）连接起来，而铁路线的具体弯曲度往往不是一个重要问题。

因此，线路图对车站之间的距离、微妙的布局和线路形状的描述往往与地理实际情况不同。换句话说，对于线路图的用户来说，车站之间 “如何 “连接才是最重要的信息。

图论探讨了图的各种特性。

当问题不仅是 “如何连接”，而且是 “从哪里连接到哪里 “时，就会在边上附加箭头。这种图称为有向图或数字图。没有箭头的图称为无向图。

图论Graph Theory包含几个不同的主题，列举如下：

数学结构Mathematical structure代写代考

在数学中，集合的结构是由额外的数学对象组成的，这些对象在某种程度上与集合重叠，使集合可视化、可研究、可用作计算工具，并为集合及其元素赋予特定的意义。

一些可能的结构包括度量、代数结构（群、场等）、拓扑、度量、排序、等价和微分结构。有时，一个集合会同时被赋予几种结构，这使得数学家可以研究结构之间丰富的协同作用。例如，阶诱导拓扑。另一个例子是，集合既是群又具有拓扑结构，如果这两种结构以某种方式相关联，它们就会成为拓扑群。

在数学的许多领域中，保留某些结构的集合之间的应用（如域上的结构映射到代域上的等效结构）都非常重要，被称为态。例如，保留代数结构的同态；保留拓扑结构的同态；以及保留微分结构的差分同态。

离散数学Discrete mathematics代写代考

离散数学是原则上处理离散（换句话说，非连续、零星）对象的数学。它有时也被称为有限数学或离散数学。

在涉及图论、组合学、优化问题、计算几何、程序设计和算法理论的应用领域中，它经常被用来全面而抽象地描述相关领域[1]。当然，离散数学也包括数论，但除了初等数论之外，它还与分析和其他领域（解析数论）相关，超出了离散数学的范围。

其他相关科目课程代写：

多图式Multigraph
代数图论Algebraic graph theory

图论Graph Theory历史

欧拉发表的 “哥尼斯堡七桥 “是第一篇将图形视为数学实体的文章。这篇文章也代表了拓扑几何中一个不依赖于任何测量的问题：哥尼斯堡桥问题的首次讨论。

19 世纪，人们提出并讨论了四色问题，事实证明这个问题非常具有挑战性，直到 20 世纪下半叶才得到解决。汉密尔顿路径问题也被提出。直到 20 世纪中叶，几乎没有其他发现。

20 世纪下半叶，随着组合学和自动计算的蓬勃发展，研究和成果也得到了广泛的发展。一方面，计算机的引入使图论的实验研究得以发展（特别是四色定理的证明），另一方面，图论需要研究具有强大应用影响力的算法和模型。短短五十年间，图论已成为数学中高度发达的一章，成果丰富而深刻，应用影响巨大。

The first text to consider graphs as mathematical entities is Euler’s publication on the ‘Seven Bridges of Königsberg’. This text also represents the first time that a problem in topological geometry, which does not depend on any measurement, is addressed: the Königsberg bridges problem.

In the 19th century, the four-colour problem was posed and discussed, which proved to be very challenging and was only solved in the second half of the 20th century. The problem of Hamiltonian paths was also introduced. Until the middle of the 20th century little else was discovered.

In the second half of the 20th century, studies and results developed extensively, in tune with the strong developments in combinatorics and automatic calculation. On the one hand, the introduction of the computer allowed for the development of experimental investigations of graphs (as, in particular, in the proof of the four-colour theorem) and, on the other hand, required graph theory to investigate algorithms and models with a strong application impact. Within fifty years, graph theory has become a highly developed chapter of mathematics, rich in profound results and with strong application influences.

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图论Graph Theory的重难点

什么是顶点（图形理论）Vertex (graph theory)？

在离散数学中，更具体地说，在图论中，顶点（复数顶点）或节点是构成图的基本单位：无向图由一组顶点和一组边（无序的顶点对）组成，而有向图由一组顶点和一组弧（有序的顶点对）组成。在图的示意图中，顶点通常用带有标签的圆来表示，而边则用从一个顶点延伸到另一个顶点的线或箭头来表示。

从图论的角度来看，顶点被视为无特征且不可分割的对象，但根据图的应用情况，顶点可能具有额外的结构；例如，语义网络就是一个顶点代表概念或对象类别的图。
有 6 个顶点和 7 条边的图，其中最左边的 6 号顶点是叶顶点或垂顶点
构成一条边的两个顶点称为这条边的端点，这条边称为顶点的入射边。如果图中包含一条边 $(v,w)$，则顶点 $w$ 与另一个顶点 $v$ 相邻。顶点 $v$ 的邻域是由与 $v$ 相邻的所有顶点组成的图的诱导子图。

什么是有向图Directed graph？

从形式上看，有向图是一对有序的 $G=（V，A）$，其中

$V$ 是一个集合，其元素称为顶点、节点或点、
简单有向图
$A$ 是一组有序的顶点对，称为弧、有向边（有时简称为边，相应的集合称为 $E$ 而不是 $A$）、箭或有向线。
它与普通或无向图不同，后者是由无序的顶点对定义的，通常称为边、链接或线。
上述定义不允许有向图具有具有相同源节点和目标节点的多条弧，但有些作者考虑了一个更宽泛的定义，允许有向图具有这样的多条弧（即允许弧集是一个多集）。有时，这些实体被称为有向多图（或多图）。
另一方面，上述定义允许有向图具有循环（即直接连接节点与自身的弧），但有些作者认为狭义的定义不允许有向图具有循环。没有循环的有向图可称为简单有向图，而有循环的有向图可称为循环图（参见 “有向图的类型 “一节）。

什么是图形着色Graph coloring？

图论Graph Theory的相关课后作业范例

这是一篇关于图论Graph Theoryry的作业

问题 1.

Let $T$ be a normal tree in $G$.
(i) Any two vertices $x, y \in T$ are separated in $G$ by the set $\lceil x\rceil \cap\lceil y\rceil$.
(ii) If $S \subseteq V(T)=V(G)$ and $S$ is down-closed, then the components of $G-S$ are spanned by the sets $\lfloor x\rfloor$ with $x$ minimal in $T-S$.

Proof. (i) Let $P$ be any $x-y$ path in $G$. Since $T$ is normal, the vertices of $P$ in $T$ form a sequence $x=t_1, \ldots, t_n=y$ for which $t_i$ and $t_{i+1}$ are always comparable in the tree oder of $T$. Consider a minimal such sequence of vertices in $P \cap T$. In this sequence we cannot have $t_{i-1}t_{i+1}$ for any $i$, since $t_{i-1}$ and $t_{i+1}$ would then be comparable and deleting $t_i$ would yield a smaller such sequence. $\mathrm{Sp}$
$$
x=t_1>\ldots>t_k<\ldots<t_n=y
$$
for some $k \in{1, \ldots, n}$. As $t_k \in\lceil x\rceil \cap\lceil y\rceil \cap V(P)$, the result follows.
(ii) Since $S$ is down-closed, the upper neighbours in $T$ of any vertex of $G-S$ are again in $G-S$ (and clearly in the same component), so the components $C$ of $G-S$ are up-closed. As $S$ is down-closed, minimal vertices of $C$ are also minimal in $G-S$. By (i), this means that $C$ has only one minimal vertex $x$ and equals its up-closure $\lfloor x\rfloor$.

Normal spanning trees are also called depth-first search trees, because of the way they arise in computer searches on graphs. This fact is often used to prove their existence. The following inductive proof, however, is simpler and illuminates nicely how normal trees capture the structure of their host graphs.

最后的总结：

通过对图论Graph Theory各方面的介绍，想必您对这门课有了初步的认识。如果你仍然不确定或对这方面感到困难，你仍然可以依靠我们的代写和辅导服务。我们拥有各个领域、具有丰富经验的专家。他们将保证你的 essay、assignment或者作业都完全符合要求、100%原创、无抄袭、并一定能获得高分。需要如何学术帮助的话，随时联系我们的客服。

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PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
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信息论代写Information Theory代考2023

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如果你也在信息论Information Theory这个学科遇到相关的难题，请随时添加vx号联系我们的代写客服。我们会为你提供专业的服务。

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信息论代写Information Theory代考

信息论是对信息和通信的数学研究。它是应用数学的一个分支，主要研究数据的量化问题，目的是在媒介中存储尽可能多的数据或通过通信信道发送数据。一种被称为信息熵的数据测量方法是用存储或通信数据所需的平均比特数来表示的。例如，如果每天的天气用 3 比特的熵来表示，我们就可以说，经过足够天数的观察，”平均 “每天需要大约 3 比特（每个比特的值为 0 或 1）来表示每天的天气。

信息论的基本应用包括 ZIP 格式（无损压缩）、MP3（无损压缩）和 DSL（传输线编码）。该领域也是一个跨学科领域，与数学、统计学、计算机科学、物理学、神经科学和电子学相互交叉。它的影响体现在各种事件中，如旅行者号深空探测任务的成功、CD 的发明、移动电话的实现、互联网的发展、语言学和人类感知的研究以及对黑洞的理解。

信息论包含几个不同的主题，列举如下：

概率论Probability theory代写代考

概率论（英语：probability theory，法语：théorie des probabilités，德语：Wahrscheinlichkeitstheorie）是数学的一个分支，提供并分析偶然现象的数学模型。

它最初起源于对赌博（如掷骰子）的研究。现在，它仍被用作保险和投资等领域的基础理论。

虽然 “概率论 “一词有时也用来指概率计算领域，但本文并不涉及。

计算机科学Computer science代写代考

计算机科学或计算机科学或 CS 是研究信息和计算的理论基础及其在计算机上的实现和应用的领域。计算机科学也被翻译为 “信息科学 “或 “信息工程”。计算机科学有许多不同的领域。一些领域以应用为导向，如计算机制图，而另一些领域则更具数学性质，如被称为理论计算机科学的领域。计算科学是一个响应科学和技术计算的 “计算需求 “的领域，研究实现这一需求的手段就是高性能计算。另一种看似简单的分类是 “硬件”（如计算机工程）和 “软件”（如程序设计），但有些领域可同时被描述为 “硬件 “和 “软件”，如可重构计算，因此这并不是一种简单的分类。

其他相关科目课程代写：

统计推断Statistical inference
统计力学Statistical mechanics
量子计算Quantum computing

信息论Information Theory历史

1948 年 7 月和 10 月，克劳德-香农（Claude Shannon）在《贝尔系统技术杂志》（Bell System Technical Journal）上发表了《通信的数学理论》（A Mathematical Theory of Communication）一文，这是决定信息论诞生并立即引起世界关注的决定性事件。
在这篇文章发表之前，贝尔实验室几乎没有发展出什么信息理论概念，处理等价事件的假设也一直是隐含的。哈里-奈奎斯特（Harry Nyquist）在 1924 年发表的文章《影响电报速度的某些因素》（Certain Factors Affecting Telegraph Speed）中包含了一些理论部分，量化了 “情报 “及其在通信系统中传输的 “速度”，给出了 $W=K \log m$ 的关系式，其中 $W$ 是情报传输的速度，$m$ 是每一步可选择的不同电压水平的数量，而 K 是一个常数。1928 年拉尔夫-哈特利（Ralph Hartley）发表的文章《信息的传输》（Transmission of Information）用信息一词来表示一个可测量的量，反映了接收者将一个符号序列与另一个符号序列区分开来的能力；文中对信息的定义是：$H=\log S^n=n \log S$，其中 S 是可能的符号数，$n$ 是传输的符号数。因此，信息的自然计量单位是十进制数位，后来为了纪念他，改称为哈特里。阿兰-图灵在 1940 年对第二次世界大战中德军使用的英格玛密码的破译进行统计分析时使用了类似的想法。

In July and October 1948, Claude Shannon published A Mathematical Theory of Communication in the Bell System Technical Journal, which was the decisive event that determined the birth of information theory and immediately brought it to the attention of the world. This was the decisive event that determined the birth of information theory and brought it to the world’s attention immediately.
Prior to this article, Bell Labs had developed few information-theoretic concepts, and the assumption of dealing with equivalent events had been implicit. Harry Nyquist’s 1924 article Certain Factors Affecting Telegraph Speed contained some theoretical parts that quantified “intelligence” and its “speed” of transmission through a communication system, giving $W=K \log m $ where $W$ is the speed at which the intelligence is transmitted, $m$ is the number of different voltage levels that can be selected at each step, and K is a constant.The 1928 article Transmission of Information by Ralph Hartley used the term information to denote a measurable quantity that It reflects the ability of a receiver to distinguish one sequence of symbols from another; information is defined in the article as $H=\log S^n=n \log S$, where S is the number of possible symbols and $n$ is the number of symbols transmitted. Thus, the natural unit of measurement for information is the decimal digit, later renamed Hartree in his honour. Alan Turing used a similar idea in 1940 when he statistically analysed the breaking of the Enigma code used by the Germans in World War II.

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信息论Information Theory的重难点

什么是概率质量函数Probability mass function？

概率质量函数（PMF）是概率论和统计学中的一种函数，它将离散随机变量映射为取该值的概率（有时简称为概率函数）。

给定离散随机变量 $X：S \rightarrow \mathbb{R}$，概率函数为
$$
p_X(x)=P(X=x)=P(\s \in S: X(s)=x))
$$
该函数将随机变量 $X$ 取的每个值 $x$ 与变量 $X$ 取该值的概率联系起来。此外，必须满足以下等式：$\Sigma_{i=1}^{\infty} p_X\left(x_i\right)=1$
为了将此定义扩展到整个实数直线，我们假设对于 $X$ 不能取的每个值 $x$（即不包含在 $X$ 的支持中），其值为 0，即
$$
p_X： \³mathbb{R} \longrightarrow[0,1], p_X(x)= \begin{cases}P(X=x), & x \in S, \ 0, & x \in \mathbb{R}. \backslash S .\end{cases}
$$
由于 $S$，即 $X$ 的支持，是一个可数集，$p_X(x)$ 几乎到处都是空函数。
在离散多元变量（即支持是 $\mathbb{R}^n$ 的离散子集）$X=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ 的情况下，联合概率函数定义如下：
$$
p_X\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=P\left(\left(X_1=x_1\right) \cap \left(X_2=x_2\right) \cap \ldots \cap\left(X_n=x_n\right)\right)
$$
为了记号的方便，第二个成员通常被写成更简单的 $P\left(X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_n=x_n\right)$

什么是定向信息Directed information？

有向信息是一种信息论度量，它量化了从随机字符串 $X^n=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ 到随机字符串 $Y^n=\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)$ 的信息流。有向信息一词由詹姆斯-梅西（James Massey）提出，其定义为
$$
I\left(X^n \rightarrow Y^n\right) \triangleq \sum_{i=1}^n I\left(X^i ; Y_i \mid Y^{i-1}\right)
$$
其中 $I\left(X^i ; Y_i \mid Y^{i-1}\right)$ 是条件互信息 $I\left(X_1, X_2, \ldots, X_i ; Y_i \mid Y_1, Y_2, \ldots, Y_{i-1}\right)$ 。
有向信息可应用于因果关系起重要作用的问题，如具有反馈能力的离散无记忆网络的信道容量、具有块内记忆的网络容量、具有因果侧信息的赌博、具有因果侧信息的压缩、实时控制通信设置和统计物理学等。

什么是概率分布Probability distribution？

更正式地说，给定一个概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \nu$ ) （其中 $\Omega$ 是一个称为样本空间或事件集的集合、 $\mathcal{F}$是$\Omega$上的西格玛代数，$\nu$是概率度量），给定一个可测空间$(E, \mathcal{E})$，一个$(E, \mathcal{E})$变量随机是一个可测函数$X： \Omega \rightarrow E$ 从样本空间到 $E$。

在这个定义中，我们可以理解，如果对于每个 $A \ in \mathcal{E}$ 我们都有 $X^{-1}(A) \ in \mathcal{F}$ ，那么函数 $X$ 就是可测的。这个可测性定义是 Lindgren（1976）所定义的定义的一般化：当且仅当事件 $\omega \in \Omega: X(\omega) \leq \lambda}$ 对于每个 $\lambda$ 都属于 $\mathcal{B}$ 时，定义在样本空间 $\Omega$ 上的函数 $X$ 才被称为相对于 Borel 场 $\mathcal{B}$ 是可测的。
如果 $E$ 是拓扑空间，并且 $mathcal{E}$ 是波尔的西格玛代数，那么 $X$ 也被称为 $E$ 随机变量。此外，如果 $E=\mathbb{R}^n$，那么 $X$ 就被简单地称为随机变量。
换句话说，随机变量 $X$ 是由定义在事件集 $\Omega$ 上的概率度量诱导目标可测空间 $E$ 上的概率度量的一种方法。

一维随机变量（即值在 $\mathbb{R}$ 中）被称为简单或单变量。
多维随机变量被称为多变量或多元变量（双变量、三变量、$k$-uple）。
取决于参数 $t$（其中 $t$ 通常代表时间）的随机变量被视为随机过程。

信息论Information Theory的相关课后作业范例

这是一篇关于信息论Information Theory的作业

问题 1.

For nonnegative numbers, $a_1, a_2, \ldots, a_n$ and $b_1, b_2, \ldots, b_n$,
$$
\sum_{i=1}^n a_i \log \frac{a_i}{b_i} \geq\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \log \frac{\sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n b_i}
$$
with equality if and only if $\frac{a_i}{b_i}=$ const.

Proof: Assume without loss of generality that $a_i>0$ and $b_i>0$. The function $f(t)=t \log t$ is strictly convex, since $f^{\prime \prime}(t)=\frac{1}{t} \log e>0$ for all positive $t$. Hence by Jensen’s inequality, we have
$$
\sum \alpha_i f\left(t_i\right) \geq f\left(\sum \alpha_i t_i\right)
$$
for $\alpha_i \geq 0, \sum_i \alpha_i=1$. Setting $\alpha_i=\frac{b_i}{\sum_{j=1}^n b_j}$ and $t_i=\frac{a_i}{b_i}$, we obtain
$$
\sum \frac{a_i}{\sum b_j} \log \frac{a_i}{b_i} \geq \sum \frac{a_i}{\sum b_j} \log \sum \frac{a_i}{\sum b_j},
$$
which is the log sum inequality.
We now use the $\log$ sum inequality to prove various convexity results. We begin by reproving Theorem 2.6.3, which states that $D(p | q) \geq 0$ with equality if and only if $p(x)=q(x)$. By the log sum inequality,
$$
\begin{aligned}
D(p | q) & =\sum p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} \
& \geq\left(\sum p(x)\right) \log \sum p(x) / \sum q(x) \
& =1 \log \frac{1}{1}=0
\end{aligned}
$$
with equality if and only if $\frac{p(x)}{q(x)}=c$. Since both $p$ and $q$ are probability mass functions, $c=1$, and hence we have $D(p | q)=0$ if and only if $p(x)=q(x)$ for all $x$.

最后的总结：

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