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图论代写Graph Theory代考
图形可用于显示不同事物之间的关系。
由六个节点和七条边组成的图形示例
例如，在考虑铁路或公共汽车线路图时，问题是车站（节点）如何通过线路（边）连接起来，而铁路线的具体弯曲度往往不是一个重要问题。
因此，线路图对车站之间的距离、微妙的布局和线路形状的描述往往与地理实际情况不同。 换句话说，对于线路图的用户来说，车站之间 “如何 “连接才是最重要的信息。
图论探讨了图的各种特性。
当问题不仅是 “如何连接”，而且是 “从哪里连接到哪里 “时，就会在边上附加箭头。 这种图称为有向图或数字图。 没有箭头的图称为无向图。
图论Graph Theory包含几个不同的主题，列举如下：
数学结构Mathematical structure代写代考
在数学中，集合的结构是由额外的数学对象组成的，这些对象在某种程度上与集合重叠，使集合可视化、可研究、可用作计算工具，并为集合及其元素赋予特定的意义。
一些可能的结构包括度量、代数结构（群、场等）、拓扑、度量、排序、等价和微分结构。有时，一个集合会同时被赋予几种结构，这使得数学家可以研究结构之间丰富的协同作用。例如，阶诱导拓扑。另一个例子是，集合既是群又具有拓扑结构，如果这两种结构以某种方式相关联，它们就会成为拓扑群。
在数学的许多领域中，保留某些结构的集合之间的应用（如域上的结构映射到代域上的等效结构）都非常重要，被称为态。例如，保留代数结构的同态；保留拓扑结构的同态；以及保留微分结构的差分同态。
离散数学Discrete mathematics代写代考
离散数学是原则上处理离散（换句话说，非连续、零星）对象的数学。 它有时也被称为有限数学或离散数学。
在涉及图论、组合学、优化问题、计算几何、程序设计和算法理论的应用领域中，它经常被用来全面而抽象地描述相关领域[1]。 当然，离散数学也包括数论，但除了初等数论之外，它还与分析和其他领域（解析数论）相关，超出了离散数学的范围。
其他相关科目课程代写：
- 多图式Multigraph
- 代数图论Algebraic graph theory
图论Graph Theory历史
欧拉发表的 “哥尼斯堡七桥 “是第一篇将图形视为数学实体的文章。这篇文章也代表了拓扑几何中一个不依赖于任何测量的问题：哥尼斯堡桥问题的首次讨论。
19 世纪，人们提出并讨论了四色问题，事实证明这个问题非常具有挑战性，直到 20 世纪下半叶才得到解决。汉密尔顿路径问题也被提出。直到 20 世纪中叶，几乎没有其他发现。
20 世纪下半叶，随着组合学和自动计算的蓬勃发展，研究和成果也得到了广泛的发展。一方面，计算机的引入使图论的实验研究得以发展（特别是四色定理的证明），另一方面，图论需要研究具有强大应用影响力的算法和模型。短短五十年间，图论已成为数学中高度发达的一章，成果丰富而深刻，应用影响巨大。
The first text to consider graphs as mathematical entities is Euler’s publication on the ‘Seven Bridges of Königsberg’. This text also represents the first time that a problem in topological geometry, which does not depend on any measurement, is addressed: the Königsberg bridges problem.
In the 19th century, the four-colour problem was posed and discussed, which proved to be very challenging and was only solved in the second half of the 20th century. The problem of Hamiltonian paths was also introduced. Until the middle of the 20th century little else was discovered.
In the second half of the 20th century, studies and results developed extensively, in tune with the strong developments in combinatorics and automatic calculation. On the one hand, the introduction of the computer allowed for the development of experimental investigations of graphs (as, in particular, in the proof of the four-colour theorem) and, on the other hand, required graph theory to investigate algorithms and models with a strong application impact. Within fifty years, graph theory has become a highly developed chapter of mathematics, rich in profound results and with strong application influences.
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图论Graph Theory的重难点
什么是顶点（图形理论）Vertex (graph theory)？
在离散数学中，更具体地说，在图论中，顶点（复数顶点）或节点是构成图的基本单位：无向图由一组顶点和一组边（无序的顶点对）组成，而有向图由一组顶点和一组弧（有序的顶点对）组成。在图的示意图中，顶点通常用带有标签的圆来表示，而边则用从一个顶点延伸到另一个顶点的线或箭头来表示。
从图论的角度来看，顶点被视为无特征且不可分割的对象，但根据图的应用情况，顶点可能具有额外的结构；例如，语义网络就是一个顶点代表概念或对象类别的图。
有 6 个顶点和 7 条边的图，其中最左边的 6 号顶点是叶顶点或垂顶点
构成一条边的两个顶点称为这条边的端点，这条边称为顶点的入射边。如果图中包含一条边 $(v,w)$，则顶点 $w$ 与另一个顶点 $v$ 相邻。顶点 $v$ 的邻域是由与 $v$ 相邻的所有顶点组成的图的诱导子图。
什么是有向图Directed graph？
从形式上看，有向图是一对有序的 $G=（V，A）$，其中
- $V$ 是一个集合，其元素称为顶点、节点或点、
简单有向图 - $A$ 是一组有序的顶点对，称为弧、有向边（有时简称为边，相应的集合称为 $E$ 而不是 $A$）、箭或有向线。
它与普通或无向图不同，后者是由无序的顶点对定义的，通常称为边、链接或线。
上述定义不允许有向图具有具有相同源节点和目标节点的多条弧，但有些作者考虑了一个更宽泛的定义，允许有向图具有这样的多条弧（即允许弧集是一个多集）。有时，这些实体被称为有向多图（或多图）。
另一方面，上述定义允许有向图具有循环（即直接连接节点与自身的弧），但有些作者认为狭义的定义不允许有向图具有循环。没有循环的有向图可称为简单有向图，而有循环的有向图可称为循环图（参见 “有向图的类型 “一节）。
什么是图形着色Graph coloring？
图形着色是为图形中的某些元素分配颜色，使其满足某些约束条件。 最简单地说，就是给所有顶点着色，使相邻顶点不具有相同颜色。 这就是顶点着色。 同样，边着色是给所有边着色，使相邻边不具有相同颜色的问题；面着色是给平面图中边所围成的每个区域（面）着色，使相邻面不具有相同颜色的问题。
图论Graph Theory的相关课后作业范例
这是一篇关于图论Graph Theoryry的作业
Let $T$ be a normal tree in $G$.
(i) Any two vertices $x, y \in T$ are separated in $G$ by the set $\lceil x\rceil \cap\lceil y\rceil$.
(ii) If $S \subseteq V(T)=V(G)$ and $S$ is down-closed, then the components of $G-S$ are spanned by the sets $\lfloor x\rfloor$ with $x$ minimal in $T-S$.
Proof. (i) Let $P$ be any $x-y$ path in $G$. Since $T$ is normal, the vertices of $P$ in $T$ form a sequence $x=t_1, \ldots, t_n=y$ for which $t_i$ and $t_{i+1}$ are always comparable in the tree oder of $T$. Consider a minimal such sequence of vertices in $P \cap T$. In this sequence we cannot have $t_{i-1}t_{i+1}$ for any $i$, since $t_{i-1}$ and $t_{i+1}$ would then be comparable and deleting $t_i$ would yield a smaller such sequence. $\mathrm{Sp}$
$$
x=t_1>\ldots>t_k<\ldots<t_n=y
$$
for some $k \in{1, \ldots, n}$. As $t_k \in\lceil x\rceil \cap\lceil y\rceil \cap V(P)$, the result follows.
(ii) Since $S$ is down-closed, the upper neighbours in $T$ of any vertex of $G-S$ are again in $G-S$ (and clearly in the same component), so the components $C$ of $G-S$ are up-closed. As $S$ is down-closed, minimal vertices of $C$ are also minimal in $G-S$. By (i), this means that $C$ has only one minimal vertex $x$ and equals its up-closure $\lfloor x\rfloor$.
Normal spanning trees are also called depth-first search trees, because of the way they arise in computer searches on graphs. This fact is often used to prove their existence. The following inductive proof, however, is simpler and illuminates nicely how normal trees capture the structure of their host graphs.
最后的总结：
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