数学代写|变分法代写variational methods代考|ME333
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变分法是一种数学方法，用于近似计算困难量子系统的能级。它也可以用来近似计算一个可解系统的能量，然后通过比较已知和近似的能量来获得方法的准确性。
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- Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|变分法代写variational methods代考|Sufficient Statistics
When working with statistical models, it is necessary to recover some, or even all, of its parameters from a set of randomly drawn samples $x_1, x_2, \cdots, x_n$. Assuming these observations are iid and sampled from a PDF $f(x ; \theta)$, estimating the parameter $\theta$ is the goal of many statisticians and engineers, imposing a real challenge sometimes. A rather common approach is to capture and summarize some information from the observations and use it to estimate the parameter $\boldsymbol{\theta}$ instead of using the observations themselves. This strategy is known as data reduction, whereas engineers and computer scientists call it feature extraction.
The problem of the data reduction is the loss of information. How do we guarantee that with the statistics we computed from the observations, call it $T(\mathbf{X})$, we are not discarding information to estimate $\theta$ ? The answer to this question is provided by the Sufficiency Principle, which defines $T(\mathbf{X})$ as a sufficient statistics when, for any two samples $\mathbf{x}_1$ and $\mathbf{x}_2$, where $T\left(\mathbf{x}_1\right)=T\left(\mathbf{x}_2\right)$, the estimation of $\theta$ yields the same results despite observing $\mathbf{X}=\mathbf{x}_1$ or $\mathbf{X}=\mathbf{x}_2$.
Computing the sufficient statistics for a parameter is a rather difficult task in most scenarios, but a rather simple way to do that is by using the Fisher-Neyman Theorem (also known as factorization theorem).
Theorem $2.2$ (Fisher-Neyman Factorization Theorem) Let $x_1, x_2, \cdots, x_n$ be random observations from a discrete distribution with $P D F f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})$, and $\mathbf{x}=$ $\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^t . T(\mathbf{X})$ is a sufficient statistics if, and only if, there exist functions $g(T(\mathbf{x}) ; \boldsymbol{\theta})$ and $h(\mathbf{x})$, such that $h(\mathbf{x}) \geq 0$ and, for all sample points $\mathbf{x}$ and all values of $\boldsymbol{\theta}$, the distribution $f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})$ can be factorized as follows:
$$
f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})-g(T(\mathbf{x}) ; \boldsymbol{\theta}) h(\mathbf{x}) .
$$
For example, for a one-dimensional Poisson distribution with unknown mean $\theta$, if we draw a sample $\mathbf{x}$ formed by $n$ iid observations, it is possible to write the probability function as:
$$
f(\mathbf{x} ; \theta)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta\right)=\prod_{i=1}^n \frac{e^{-\theta} \theta^{x_i}}{x_{i} !}=\frac{e^{-n \theta} \theta \sum_{i=1}^n x_i}{\prod_{i=1}^n x_{i} !}=g(T(\mathbf{x}) ; \theta) h(\mathbf{x})
$$
where $g(T(\mathbf{x}) ; \theta)=e^{-n \theta} \theta \sum_{i=1}^n x_i$ and $h(\mathbf{x})=\left(\prod_{i=1}^n x_{i} !\right)^{-1}$. So, from the factorization theorem, $T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^n x_i$ is a sufficient statistics for $\theta$.
数学代写|变分法代写variational methods代考|Fisher Information
The Fisher information measures the variance in the distribution $f(x ; \theta)$ inflicted by changes in the parameter space $\Theta$. Intuitively, it quantifies the amount of information about $\theta$ that lies in the random variable $X$.
For the $k$-dimensional parameter space $\boldsymbol{\Theta}$ and random variable $\mathbf{X}$ with PDF $f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})$, the elements of the Fisher information matrix are
$$
I_{i, j}(\boldsymbol{\theta})=\operatorname{Cov}\left(\frac{\partial}{\partial \theta_i} \log f(\mathbf{X} ; \boldsymbol{\theta}), \frac{\partial}{\partial \theta_j} \log f(\mathbf{X} ; \boldsymbol{\theta})\right),
$$
where $\operatorname{Cov}(\cdot, \cdot)$ is the covariance function.
The vector $\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(\mathbf{X} ; \boldsymbol{\theta})$ is called the score function and indicates the sensitivity of the likelihood to the parameter $\boldsymbol{\theta}$. When a likelihood $L(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{x})$, corresponding to the PDF $f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})$, is very sensitive to variations in $\boldsymbol{\theta}$ it is easier to find strong candidates to the true parameter value: even small changes in $\theta$ are enough to cause the likely observations to be considerably different. However, since the score function has mean equal to zero [9], a high $I_{i, j}(\theta)$ implies that the score function is generally high and then, $\mathbf{X}$ distinguishes well the plausible values of $\boldsymbol{\theta}$. We state “generally” because, being the covariance of the score, the Fisher information is an expectation over all possible values of $\mathbf{x}$.
The Fisher information encodes the curvature of the parameter space and plays an important role in optimization. In Chap. 4 we shall see one method that relies on the Fisher information and in Appendix A.4 we show that the Fisher matrix is the negative of the expected value of the Hessian of the log-likelihood.
变分法代写
数学代写|变分法代写variational methods代考|Sufficient Statistics
使用统计模型时，有必要从一组随机抽取的样本中恢复部分甚至全部参数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$. 假设这些观察是 $\mathrm{iid}$ 并从 PDF 中采样 $f(x ; \theta)$ ，估计参数 $\theta$ 是许多统计学家和工程师的目标，有时会带来真正的挑战。一种相当常见 的方法是从观察中捕获和总结一些信息，并用它来估计参数 $\theta$ 而不是使用观察结果本身。这种策略被称为数据缩 减，而工程师和计算机科学家称之为特征提取。
数据缩咸的问题是信息丢失。我们如何保证我们从观察中计算出的统计数据，称之为 $T(\mathbf{X})$ ，我们不会丢弃信 息来估计 $\theta$ ? 这个问题的答案是由充足性原则提供的，它定义了 $T(\mathbf{X})$ 作为充分的统计量，对于任意两个样本 $\mathbf{x}1$ 和 $\mathbf{x}_2$ ， 在哪里 $T\left(\mathbf{x}_1\right)=T\left(\mathbf{x}_2\right)$ ，的估计 $\theta$ 尽管观察得到相同的结果 $\mathbf{X}=\mathbf{x}_1$ 或者 $\mathbf{X}=\mathbf{x}_2$. 在大多数情况下，计算参数的充分统计量是一项相当困难的任务，但一种相当简单的方法是使用 FisherNeyman 定理（也称为因式分解定理）。 定理2.2 (Fisher-Neyman 分解定理) 让 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自离散分布的随机观察值 $P D F f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})$ ，和 $\mathbf{x}=\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^t . T(\mathbf{X})$ 是充分统计当且仅当存在函数 $g(T(\mathbf{x}) ; \boldsymbol{\theta})$ 和 $h(\mathbf{x})$, 这样 $h(\mathbf{x}) \geq 0$ 并且，对于 所有样本点 $\mathbf{x}$ 和所有值 $\boldsymbol{\theta}$ ，分布 $f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})$ 可以分解如下: $$ f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})-g(T(\mathbf{x}) ; \boldsymbol{\theta}) h(\mathbf{x}) . $$ 例如，对于均值末知的一维泊松分布 $\theta$ ，如果我们抽取样本 $\mathbf{x}$ 由 $n$ iid 观察，可以将概率函数写为: $$ f(\mathbf{x} ; \theta)=\prod{i=1}^n f\left(x_i ; \theta\right)=\prod_{i=1}^n \frac{e^{-\theta} \theta^{x_i}}{x_{i} !}=\frac{e^{-n \theta} \theta \sum_{i=1}^n x_i}{\prod_{i=1}^n x_{i} !}=g(T(\mathbf{x}) ; \theta) h(\mathbf{x})
$$
在哪里 $g(T(\mathbf{x}) ; \theta)=e^{-n \theta} \theta \sum_{i=1}^n x_i$ 和 $h(\mathbf{x})=\left(\prod_{i=1}^n x_{i} !\right)^{-1}$. 所以，根据分解定理， $T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^n x_i$ 是一个充分的统计量 $\theta$.
数学代写|变分法代写variational methods代考|Fisher Information
Fisher 信息衡量分布的方差 $f(x ; \theta)$ 由参数空间的变化引起 $\Theta$. 直观上，它量化了有关的信息量 $\theta$ 在于随机变量 $X$
为了 $k$-维参数空间 $\Theta$ 和随机变量 $\mathbf{X}$ 附PDF $f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})$, Fisher 信息矩阵的元素是
$$
I_{i, j}(\boldsymbol{\theta})=\operatorname{Cov}\left(\frac{\partial}{\partial \theta_i} \log f(\mathbf{X} ; \boldsymbol{\theta}), \frac{\partial}{\partial \theta_j} \log f(\mathbf{X} ; \boldsymbol{\theta})\right),
$$
在哪里Cov $(\cdot, \cdot)$ 是协方差函数。
载体 $\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(\mathbf{X} ; \boldsymbol{\theta})$ 称为得分函数，表示似然对参数的敏感度 $\boldsymbol{\theta}$. 当一个可能性 $L(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{x})$, 对应 $\operatorname{PDF} f(\mathbf{x} ; \boldsymbol{\theta})$ ，对 变化非常敏感 $\theta$ 更容易找到真实参数值的有力候选者: 即使是微小的变化 $\theta$ 足以使可能的观察结果大不相同。然 而，由于得分函数的均值为零 [9]，一个高 $I_{i, j}(\theta)$ 意味着得分函数通常很高，然后， X很好地区分了合理的价值 $\boldsymbol{\theta}$. 我们说“一般“是因为，作为分数的协方差，Fisher 信息是对所有可能值的期望 $\mathbf{x}$.
Fisher 信息对参数空间的曲率进行编码，在优化中起着重要作用。在第一章 在图 4 中，我们将看到一种依赖 Fisher 信息的方法，在附录 A.4 中，我们证明了 Fisher 矩阵是对数似然 Hessian 矩阵期望值的负值。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
